Teoria Della Plasticita

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Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà

MODELLI IDEALI1) ELASTICO-PERFETTAMENTE PLASTICO

2) RIGIDO - PERFETTAMENTE PLASTICO

3) ELASTICO – PLASTICO INCRUDENTE

Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

E F

y

E

Fy

FE1E2

y

E1

E2

Teoria della PlasticitTeoria della PlasticitààCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

SUPERFICIE DI SNERVAMENTO

LUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO

2


SUPERFICIE DI SNERVAMENTO

CRITERIO DI SNERVAMENTO

Wp= lavoro di deformazione plastica

Nello spazio σ’1, σ’2 ,σ’3 la funzione individua la superficie di

snervamento che può cambiare dimensione e forma (poiché dipende anche da εp

ij)

Superficie di snervamento ≤ Superficie di rotturaCoincidono solo per mat. perfettamente plastico


1= a

r3=

Regione Elastica

Superfici successive di snervamento

Superficie di rottura

r3=r

a1=

a

( ) 0=pijijF εσ ,'

( )[ ] 0=pij WhF ,'σ

( )[ ] 0=pij WhF ,'σ


La superficie di snervamento deve sempre seguire l’evoluzione dello statotensionale (incrudimento) in modo che sia sempre verificata lacondizione di consistenzacondizione di consistenza(un punto (un punto rapprrappr. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di sne. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di snervamento)rvamento)

Condizioni di sollecitazioneCarico dF>0 def. plasticheScarico dF<0 def. elasticheNeutrale dF=0 sulla sup. di snervamento

Se la condizione di plasticità è indipendente dalla deformazione plastica (metalli…)

La superficie di plasticizzazione rimane, nel corso della deformazionePlastica, di forma e dimensioni costanti e ferma nella posizione originaria

MEZZO PERFETTAMENTE PLASTICOMEZZO PERFETTAMENTE PLASTICO

( )[ ] 0≤pij WhF ,'σ

0≤∂∂

ij

F'σ

( ) 0=ijF 'σ

3


COMPORTAMENTO PERFETTAMENTE PLASTICOPer un mezzo perfettamente plastico si ha cheSuperficie di Snervamento = Superficie di RotturaSuperficie di Snervamento = Superficie di Rotturadi conseguenza, noto lo stato tensionale agente, conosco per ogni incremento di carico la direzione della deformazione plastica (ortogon. alla superficie di rottura)

y

( ) 0=ijF 'σ

( ) 0=ijF 'σ

Mezzo isotropo

( ) 0321 =IIIF ,,

Metalli (def. plastiche indip. da p)

( ) 032 =JJF ,

Invarianti di tensione

Invarianti del deviatore di tensione

CRITERI: - Tresca (1869)

- Von Mises (1913)


COMPORTAMENTO DEI TERRENI

CARICO produce DEFORMAZIONIche sono

REVERSIBILI IRREVERSIBILIelastiche plastiche

Espresse con la teoria della plasticità si ha:

N.B. Il legame costitutivo elastico isotropo consente di calcolare le δεePoiché, nell’ipotesi di isotropia, la direzione principale di tensione coincide con la direzione principale di deformazione, noto l’incremento di stato tensionale sono noti non solo modulo ma anche direzione del vettore δεe


pij

eijij ddd εεε +=

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MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICIComportamento INCRUDENTE

L’incremento della tensione di snervamentoa causa di deformazioni plastiche

x

x

x3x2

x1

O1 O2 O3

x1pl

Y1

Y2Y3

plx 1δε

= INCRUDIMENTO


MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICIComportamento RAMMOLLENTE

La riduzione della tensione di snervamentoa causa di deformazioni plastiche = RAMMOLLIMENTO

x

A

B

O1 O2

x

plx

x

xel

x

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ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO

1) Legge costitutiva elastica

2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij

3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp• definisce le componenti del vettore {εp}

4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie disnervamento• stabilisce come l’entità del vettore {εp} èlegata al cambiamento di dimensioni dellasuperficie di snervamento



MATERIALI ELASTICIMATERIALI ELASTICICaratteristiche:

1) Sono materiali CONSERVATIVI:il lavoro svolto dagli sforzi esterni per un incremento di deformazione viene immagazzinato e restituito allo scarico, cioè tutte le deformazioni sono restituite se l’incremento di carico che le ha prodotte viene rimosso.

2) EFFETTI volumetrici e distorsionali DISACCOPPIATI:per mat. elastici ed isotropi effetti volumetrici e distorsionali sono disaccoppiati, quindi la relazione costitutiva può essere espressa da:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

elv

els

δε

δε

'K0

0'G3

pδ

'qδ

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Nella meccanica dei terreni conviene adoperare i

moduli di elasticitmoduli di elasticitàà trasversale Gtrasversale G’’ e di dilatazione cubica Kdilatazione cubica K’’(piuttosto che i moduli elastici di Young E’ e del coeff. di Poisson ν’) perché èimportante disaccoppiare gli effetti.

)'(''ν+

=12EG

)'(''ν213 −

=EK

deformazioni tangenziali = variazioni di forma

deformazioni di compressione = variazioni di volumeq

sel

3G '

Comportamento mat. elastico lineare a TAGLIO

p'

p'0

K'

elv

Comportamento mat. elastico lineare a COMPRESSIONE E RIGONFIAMENTO








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CRITERIO DI TRESCACRITERIO DI TRESCA (1869)Condizione di plasticità: quando la massima tensione di

taglio raggiunge il valore critico

max (σi – σj)= 2c(i,j= 1, 2, 3)2c: tensione di snervamento in trazione sempliceIl crit. di Tresca non dipende dalla tensione principale intermedia σ2.

CRITERIO DI VON MISESCRITERIO DI VON MISES (1913)Condizione di plasticità: il secondo invariante del deviatore di

tensione raggiunge un valore criticoF(J2) = costante

2c = tensione di snervamento in trazione semplice (σ2 = σ3 =0)

( ) ( ) ( )[ ] 22212

232

231 86 cK ==−+−+− σσσσσσ

crit=c


SUPERFICIE DI TRESCASUPERFICIE DI TRESCA

SUPERFICIE DI VON MISESSUPERFICIE DI VON MISES

CONFRONTOCONFRONTO

Asse Idrostatico

Asse Idrostatico

Tresca

Von Mises

30°

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CRITERIO MOHRCRITERIO MOHR--COULOMBCOULOMB (1773)Condizione di plasticità: si ha quando la massima tensione di

taglio raggiunge il valore critico

c’= intercetta di coesioneφ’= angolo di attrito interno

N.B. Per φ’=0 (metalli): σ1- σ3=2c criterio di Tresca

CRITERIO DRUCKERCRITERIO DRUCKER--PRAGERPRAGER (1952)E’ il criterio di Von Mises modificato sulla base di Mohr-Coulomb permateriali aventi coesione c’ e φ’.

'tan''' φστ += c

'φsen)'σ'σ('φcos'c2'σ'σ 3131 ++=−

05021 =−+= KIIf .α )'(

'φ

φαsen

sen−

=332

)'('cos'φφ

sencK−

=33

6

c'


SUPERFICIE DI MOHRSUPERFICIE DI MOHR--COULOMBCOULOMB

SUPERFICIE DI DRUCKERSUPERFICIE DI DRUCKER--PRAGERPRAGER

CONFRONTOCONFRONTO

Asse Idrostatico

Asse Idrostatico

L1

L2

Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

)'('cos

φφ

senKL−

=326

1

)'('cos

φφ

senKL+

=326

2

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SUPERFICIE DI SNERVAMENTOLUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO

Supponiamo che il terreno abbia sup. di snervamento definita dall’equazione:

p’0 definisce la dimensione di una superficie della famiglia

In forma differenziale:

p'

q

p'0

( ) 00 == ',', pqpf

0'pδ'pfqδ

qf'pδ

'pf

00

=∂∂

+∂∂

+∂∂








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DEFINIZIONE: POTENZIALE PLASTICOSUPERFICIE CHE DEFINISCE LA DIREZIONE DEL VETTORE DELLE DEFORMAZIONI PLASTICHE

Le deformazioni plastiche prodotte sono dipendenti dallo stato tensionalein corrispondenza del quale avviene lo snervamento (non del percorso tensionale seguito)

scomposizione del vettore deformazione plastica nelle due componenti

La direzione del vettore uscente, normale alla superficie di potenziale plastico, definisce il rapporto (grandezza relativa) delle varie componenti di deformazione plastica

Splq

Y ppl

q

p'

qpl

plp

Y

Data un’espressione generale per la famiglia di curve di potenziale plastico, un membro della famiglia può essere tracciato in corrispondenza di ciascuno stato tensionale Yi al quale avviene lo snervamento.

1) per un dato stato tensionale si raggiunge lo lo snervamento, indicato dal punto Y

2) in Y si generano deformazioni plastiche:vettorecomponenti3) se Yi sono i punti di snervamento appartenenti a diverse superfici (diverse combinazioni tensionali)4) da ciascun punto di snervamento Yi si generano vettori di deformazioni plastiche


p'

q

Y

pldεplpd 'ε pl

qdε

pldε

plq

Y ppl

pl

Diverse famiglie di potenziale plastico

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POSTULATO DI “NORMALITA’”1) Superficie di snervamento = Potenziale PlasticoIl vettore incremento di deformazioni ha direzione normale allasuperficie di snervamento

MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO ASSOCIATALEGGE DI FLUSSO ASSOCIATA

2) Superficie di snervamento ≠ Potenziale Plastico

MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO NONNON ASSOCIATA

{ }pldε

q

p'

Y

G

F

pld

pld V

d Spl


POTENZIALE PLASTICOIl potenziale plastico può essere espresso come:

g(p’, q, ξ)

ξ = parametro che controlla la dimensione del potenziale plastico che passa in corrispondenza dello stato tensionale p’;q

Gli incrementi di deformazione plastica sono ortogonali alpotenziale plastico in corrispondenza dello stato tensionale corrente p’;q:

(1) (2)

χ = moltiplicatore scalare il cui valore sarà ricavato dalla legge diincrudimento assunta

'pgχδεpl'p ∂∂

=qgχδεplq ∂∂

=

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LEGGE DI INCRUDIMENTODETERMINA LA GRANDEZZA (SCALARE) DEGLI INCREMENTI DI

DEFORMAZIONE PLASTICA

=LEGGE DELLA “VARIAZIONE” DELLA SUPERFICIE DI

SNERVAMENTOSi ipotizza che il cambiamento di dimensione della superficie di snervamento,espresso come variazione di p’0, sia legato agli incrementi di deformazione plasticasia volumetrici dεpl

p’ che di taglio dεplq.

Nel piano q;p’ si ha:

(3)

Superficie di snervamento (4)in forma differenziale:

plqpl

q

0pl'ppl

'p

00 δε

ε'pδε

ε'p'pδ

∂∂

+∂∂

=

0'pδ'pfqδ

qf'pδ

'pf

00

=∂∂

+∂∂

+∂∂

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Relazione Generale tra: SFORZI-DEFORMAZIONI PLASTICHE

In termini di invarianti p’; q, il legame tra gli incrementi ditensione efficace dp’;dq e le deformazioni plastiche corrispondenti ediventa:

OCCORRE DETERMINARE LA MATRICE DIRIGIDEZZA [K]

[ ] ijplij 'δσKδε =

plqdεpl

pdε

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

qδ

'pδ

K

δε

δε

plq

plp


Combinando le equazioni (1) - (4) si ottiene un’espressione per lo scalare χ

Sostituendo questa espressione di χ nelle precedenti (3) e (4) si ottiene:

Nel caso in cuiPOTENZIALE PLASTICO e SUPERFICIE DI SNERVAMENTO coincidonosi ha: f=gf=g LEGGE DI FLUSSO LEGGE DI FLUSSO

ASSOCIATAASSOCIATALa matrice delle rigidezza [K] è simmetrica

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂+

∂∂

−=

qg

ε'p

'pg

ε'p

'pf

qδqf'pδ

'pf

χ

plq

0plp

0

0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

∂∂

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

qδ

'pδ

qg

qf

qg

'pf

'pg

qf

'pg

'pf

qg

ε'p

'pg

ε'p

'pf

1

δε

δε

plq

0pl'p

0

0

plq

pl'p

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MODELLO SEMPLICEBlocco scorrevole su Comportamento plasticosuperficie con attrito dei materiali

A) Agisce solo Qx

Condizione di scorrimentoCon: µ = coeff. di attrito

P = peso proprio

B) Agiscono Qx e Qy

Condizione di scorrimentoIl corpo si muove nella direzione della risultante

Da A) e B) si ottiene la formula generale:

Analogia

xz P

Qx

P Qx

Qy

x

y

PQQ yx µ=+ 22

PQx µ=

02222 =−+= PQQf yx µ


Condizione di scorrimento = Superficie di scorrimento nello spazio Qx, Qy, P

3D

Condizioni generalif<0 BLOCCO FERMOf=0 BLOCCO SCIVOLAf>0 NON AMMISSIBILE

Es. agisce solo Qx che provoca scorrimento in ASezione Qy=0

02222 =−+= PQQf yx µ

P

Qy

Qx

sz

xs

P

Qx

QxABO

Psx

ys Qy

0222 =−= PQf x µSezione P=cost

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Ip: esistono deformazioni elastiche di taglio xe

esistono deformazioni plastiche di scorrimento xs

1) Applico solo Qx ( O A)In A scorrimento in direzione x (Il blocco non si solleva: δz=0)

2) Dopo un certo scorrimento in direz. Xriduco il il carico di taglio: Qx=µP/2senza variare P ( A B)

3) Applico Qy: B Cscorrimento in C quando:

Qx

xxe

P

se xxx δδδ +=

C

QxABO

Psx

ys Qy

sz

xs

P

Qx

23 /PQy µ=

Qx

xxe

P


N.B.: anche se lo scorrimento è indotto da Qy, esso avviene nella direzione della risultante del carico di taglioPertanto il vettore scorrimento, di componenti δxs :δys, èsempre ortogonale alla sezione circolare della superficie di scorrimento nel piano Qx:Qy

Si ricorda che la deformazione plastica dipende dallo stato dicarico agente e NONNON dal percorso del carico che la innesca

QY

x

C

Relazione carico-spostamento Qx:x

Relazione carico-spostamento Qy:x

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Anche se causato dall’incremento di una sola componente (Qy) la direzione dello scivolamento coincide con la direzione della risultante dei carichi, ovvero è ortogonale alla sezione circolare della superficie di snervamento f

POTENZIALE DI SCIVOLAMENTO

K= costante = ampiezza del cilindro nello spazio P:Qx:Qy

Gli spostamenti che si ottengono sono:

χ: moltiplicatore scalare

N.B. SUPERFICIE DI SCIVOLAMENTO CONOPOTENZIALE DI SCIVOLAMENTO CILINDRO

0222 =−+= KQQg yx

xx

Q2χQgχxδ ⋅=

∂∂

= yy

Q2χQgχyδ ⋅=

∂∂

= 0Pgχzδ =∂∂

=

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