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Teoria probabilità 4

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Dispense del corso di Dinamica delle Costruzioni - Università di Genova

Text of Teoria probabilità 4

  • 1. Appunti del Corso DINAMICA DELLE STRUTTURE TEORIA DELLA PROBABILIT DICAT Universit di GenovaVersione: 1.431.03.2011 Luigi Carassale 1
  • 2. Sommario1 Teoria della Probabilit ................................................................................................................ 5 1.1 Eventi e spazio campionario.................................................................................................. 5 1.2 Probabilit ............................................................................................................................. 6 1.2.1 Definizione classica (eventi equiprobabili, Laplace, 1812) ........................................... 6 1.2.2 Definizione empirica (frequentista, Von Mises 1920) ................................................... 7 1.2.3 Definizione assiomatica (Kolmogorov 1933) ................................................................ 8 1.3 Teoremi classici della probabilit.......................................................................................... 9 1.3.1 Teorema dellevento complementare ............................................................................. 9 1.3.2 Teorema dellevento totale........................................................................................... 10 1.4 Probabilit condizionata e composta ................................................................................... 11 1.5 Variabili Aleatorie ............................................................................................................... 14 1.5.1 Definizione ................................................................................................................... 14 1.5.2 Distribuzione di probabilit ......................................................................................... 14 1.5.3 Funzione di probabilit (di una variabile aleatoria discreta)........................................ 16 1.5.4 Densit di probabilit (di una variabile aleatoria continua) ......................................... 18 1.5.5 Valore atteso ................................................................................................................ 21 1.5.6 Momenti statistici di una variabile aleatoria ................................................................ 23 1.5.7 Funzione caratteristica di una variabile aleatoria continua .......................................... 26 1.6 Modelli di variabili aleatorie ............................................................................................... 26 1.6.1 Distribuzione normale (o Gaussiana) ........................................................................... 26 1.6.2 Distribuzione uniforme ................................................................................................ 28 1.6.3 Modello log-normale.................................................................................................... 28 1.6.4 Modello di Rayleigh..................................................................................................... 29 1.6.5 Modello di binomiale ................................................................................................... 29 1.6.6 Modello di Poisson....................................................................................................... 32 1.7 Rappresentazione della relazione probabilistica fra due grandezze .................................... 34 1.7.1 Distribuzione congiunta di probabilit......................................................................... 34 1.7.2 Densit congiunta di probabilit .................................................................................. 34 1.7.3 Variabili aleatorie statisticamente indipendenti ........................................................... 36 2
  • 3. 1.7.4 Valore atteso ................................................................................................................ 37 1.7.5 Correlazione e covarianza ............................................................................................ 37 1.7.6 Modello normale bi-variato ......................................................................................... 39 1.7.7 Distribuzione condizionata di probabilit di una variabile aleatoria ........................... 40 1.8 Propriet delle variabili aleatorie Gaussiane ....................................................................... 41 1.8.1 Indipendenza statistica di variabili non-correlate ........................................................ 41 1.8.2 Linearit dello spazio delle variabili Gaussiane .......................................................... 41 1.8.3 Teorema del limite centrale.......................................................................................... 422 Vettori Aleatori .......................................................................................................................... 44 2.1 Definizione .......................................................................................................................... 44 2.2 Momenti statistici ................................................................................................................ 44 2.3 Modello normale (Gaussiano) ............................................................................................. 45 2.4 Rappresentazione di vettori aleatori .................................................................................... 46 2.4.1 Analisi a componenti principali (PCA)........................................................................ 46 2.5 Simulazione di vettori Gaussiani......................................................................................... 473 Processi aleatori ......................................................................................................................... 49 3.1 Definizioni ........................................................................................................................... 49 3.1.1 Medie statistiche del primo ordine ............................................................................... 50 3.1.2 Medie statistiche del secondo ordine ........................................................................... 51 3.2 Processi aleatori stazionari .................................................................................................. 51 3.2.1 Medie temporali di una funzione campione ................................................................. 54 3.2.2 Processi aleatori ergodici ............................................................................................. 55 3.2.3 Rappresentazione nel dominio della frequenza di processi stazionari ......................... 56 3.3 Rappresentazione congiunta di una coppia di processi aleatori .......................................... 59 3.3.1 Medie statistiche congiunte del secondo ordine .......................................................... 59 3.3.2 Densit di Potenza spettrale incrociata ........................................................................ 61 3.3.3 Funzione di coerenza ................................................................................................... 61 3.4 Trasformazioni lineari di processi stazionari ...................................................................... 62 3.4.1 Risposta nel dominio del tempo di operatori lineari con eccitazione stazionaria ........ 64 3.4.2 Derivazione di processi stazionari ............................................................................... 64 3
  • 4. 3.5 Momenti spettrali ................................................................................................................ 653.6 Modelli di processi stazionari.............................................................................................. 67 3.6.1 Processo armonico ....................................................................................................... 67 3.6.2 Processo a banda stretta ............................................................................................... 68 3.6.3 Processo a banda estesa................................................................................................ 69 3.6.4 White random process .................................................................................................. 70 4