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Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un’urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l’urna ed estraggo una pallina. E’ più probabile pescare una pallina bianca o una nera? ......... E se nell’urna ci fossero 400 palline bianche e 600 nere? ......... B) In un’urna voglio introdurre 1000 palline. Quante bianche e quante nere dovrò mettere nell’urna se voglio che sia uguale la probabilità di estrarre una bianca o una nera?..... Osserva che ai quesiti proposti hai risposto facilmente e senza esitazioni. E non c’è stato disac- cordo nelle risposte fra te e i tuoi compagni. Eppure non abbiamo iniziato il discorso spiegando cosa si debba intendere per "probabilità". Esempio 1 Immagina di occuparti delle vendite in una fabbrica di provette di vetro. Il docente di labora- torio di scienze della SSPSS vorrebbe acquistare una partita di tali contenitori per il nuovo labo- ratorio e ti chiede di esaminare un campione della merce in vendita. Da tale esame dipenderà l’acquisto delle provette. Immagina di aver a disposizione in magazzino 12 recipienti già imbal- lati, dei quali però uno è crepato (mentre i rimanenti 11 sono perfetti). Il tuo capo ti aveva rac- comandato di metterlo da parte, ma tu te ne eri dimenticato e ora ti trovi piuttosto in imba- razzo. Posto di fronte ai 12 pacchi, il possibile compratore ne indica uno perché sia aperto: c’è 1 possibilità su 12 che la provetta scelta sia quella crepata? Speriamo che tu non sia così sfortu- nato! Esempio 2 Il lancio di un dado da gioco: il numero "6" ha 1 su 6 possibilità di uscire nel lancio. Le situazioni descritte sono esempi di prova aleatoria (aleatoria deriva dalla parola latina "alea" che significa proprio "dado da gioco" ) cioè una prova della quale non si sa con certezza il risul- tato che uscirà. Nella prova dell’esempio 1 può succedere uno dei seguente eventi: "il pacco scelto contiene una provetta crepata" (e questo può succedere in 1 caso su 12); "il pacco scelto contiene una provetta intatta" (e questo può succedere in 11 casi su 12). L’evento "il pacco scelto contiene la provetta crepata" ha probabilità di accadere 1 12 0, 083 mentre l’evento "il pacco scelto contiene una provetta intatta" ha probabilità 11 12 0.917. Infatti la probabilità p di un evento e (quando tutti i casi sono egualmente possibili quindi equi- probabili) è definita dal rapporto p(e)= numero dei casi favorevoli numero dei casi possibili Da questa definizione si deduce la seguente condizione: 1

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Elementi di calcolo delle probabilità

Definizione di probabilità

A) Qui davanti a me ho un’urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto unabenda sugli occhi, scuoto ripetutamente l’urna ed estraggo una pallina.

• E’ più probabile pescare una pallina bianca o una nera? .........

• E se nell’urna ci fossero 400 palline bianche e 600 nere? .........

B) In un’urna voglio introdurre 1000 palline. Quante bianche e quante nere dovrò metterenell’urna se voglio che sia uguale la probabilità di estrarre una bianca o una nera?.....

Osserva che ai quesiti proposti hai risposto facilmente e senza esitazioni. E non c’è stato disac-cordo nelle risposte fra te e i tuoi compagni. Eppure non abbiamo iniziato il discorso spiegandocosa si debba intendere per "probabilità".

Esempio 1

Immagina di occuparti delle vendite in una fabbrica di provette di vetro. Il docente di labora-torio di scienze della SSPSS vorrebbe acquistare una partita di tali contenitori per il nuovo labo-ratorio e ti chiede di esaminare un campione della merce in vendita. Da tale esame dipenderàl’acquisto delle provette. Immagina di aver a disposizione in magazzino 12 recipienti già imbal-lati, dei quali però uno è crepato (mentre i rimanenti 11 sono perfetti). Il tuo capo ti aveva rac-comandato di metterlo da parte, ma tu te ne eri dimenticato e ora ti trovi piuttosto in imba-razzo. Posto di fronte ai 12 pacchi, il possibile compratore ne indica uno perché sia aperto: c’è 1possibilità su 12 che la provetta scelta sia quella crepata? Speriamo che tu non sia così sfortu-nato!

Esempio 2

Il lancio di un dado da gioco: il numero "6" ha 1 su 6 possibilità di uscire nel lancio.

Le situazioni descritte sono esempi di prova aleatoria (aleatoria deriva dalla parola latina "alea"che significa proprio "dado da gioco" ) cioè una prova della quale non si sa con certezza il risul-tato che uscirà.

Nella prova dell’esempio 1 può succedere uno dei seguente eventi:

• "il pacco scelto contiene una provetta crepata" (e questo può succedere in 1 caso su 12);

• "il pacco scelto contiene una provetta intatta" (e questo può succedere in 11 casi su 12).

L’evento "il pacco scelto contiene la provetta crepata" ha probabilità di accadere1

12< 0, 083

mentre l’evento "il pacco scelto contiene una provetta intatta" ha probabilità11

12< 0.917.

Infatti la probabilità p di un evento e (quando tutti i casi sono egualmente possibili quindi equi-probabili) è definita dal rapporto

p(e) =numero dei casi favorevoli

numero dei casi possibili

Da questa definizione si deduce la seguente condizione:

1

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06 p(e)≤ 1

Analogamente nell’esempio 2 l’evento "esce il numero 6" ha probabilità1

6(1 su 6), mentre il suo

evento contrario "esce un numero diverso da 6" ha probabilità5

6(5 su 6).

Quindi la somma delle probabilità di un evento e e del suo evento contrario c vale sempre 1.Dunque:

p(e)+ p(c)= 1 ⇒ p(e)= 1− p(c)

Un evento si dice evento certo quando ha probabilità 1, cioè quando i casi favorevoli sono tuttiquelli possibili.

Esempio 1

La probabilità che dal lancio di un dado esca un numero più piccolo di 10 è ovviamente 1.

Riassumendo:

Teoria Esempio: lancio di un dado

SiaS lo spazio campionario, cioé l ′insieme S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

di tutti gli esiti possibili.

Sia e un evento dell′insiemeS Per esempio e1 = esce 1, e2 = esce 2� .

0≤ p(e)≤ 1 p(e1)=1

6In particolare

p(e) =1 se l′evento è certo e = esce un numero tra 1e6⇒ p(e)= 1

p(e) =0 se l′evento è impossibile e= esce un numero piu grande di 7 ⇒ p(e) =0

Sia e un evento ec il suo evento contrario e = esce 1; c = esce un numero diverso da 1

p(e) + p(c)= 1 p(e)=1

6p(c) =

5

6⇒

1

6+

5

6=1

Notazione insiemistica e somma di probabilità

Esempio 2

Visualizziamo la prova aleatoria con i diagrammi di Venn.

L’insieme di tutti i casi possibili è detto spazio campione S mentre gli eventi "esce il numero 1"E1 = {1} oppure "esce il numero 2"E2 = {2}, oppure ... "esce il numero 6"E6 = {6} sono dei sot-toinsiemi di S.

2

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Nel diagramma di Venn qui sopra, prova tu a disegnare l’evento "esce un numero pari" E ={numero pari}, come sottoinsieme di S.

Esempio 1

L’evento "la provetta è crepata" e l’evento "la provetta è intatta" sono eventi che non si possonoverificare simultaneamente, e si dicono incompatibili o disgiunti. In questo caso sono anche con-trari o complementari, perché o accade l’uno oppure l’altro, cioè insieme esauriscono le possibi-lità.

Esempio 2

Gli eventi Ep = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e E1 = {1} (esce il numero 1) sonoincompatibili ma non contrari.

Gli eventi Ep = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e Ed = {dispari} (esce un numerodispari) sono contrari (e quindi incompatibili).

L’evento Ep = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e l’evento E2 = {2} (esce il numero2) invece non sono incompatibili.

In generale:

due eventi E1, E2 sono incompatibili o disgiunti se la loro intersezione E1∩E2 = ∅

due eventi E1, E2 sono contrari o complementari se la loro intersezione E1 ∩ E2 = ∅ e se lasomma delle loro probabilità è p(E1)+ p(E2)= 1

Esempio 2.1

Qual è la probabilità che lanciando un dado "esca un numero pari" oppure "il numero 3" ?Visualizza nel diagramma di Venn il sottoinsieme che ci interessa.

Tra tutte le 6 possibilità, i casi favorevoli sono "esce 2, 4, 6" e "esce 3": in tutto 4 casi, dunque

la probabilità è3

6+

1

6=

4

6< 0, 667.

Dal punto di vista insiemistico, la congiunzione "o", "oppure" si traduce con il simbolo diunione ∪ .

Dunque se Ep = {2, 4, 6}, E3 = {3}, il quesito posto sopra chiede la probabilità di E ∪E3.

In questo caso p(E ∪E3)= p(E)+ p(E3), cioè

la probabilità di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli

eventi!

Esempio 2.2

Qual è la probabilità che "esca un numero pari" oppure "esca un numero multiplo di 3"?

3

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Qui la questione è più complicata perché il 6 è sia pari sia multiplo di 3, e non dobbiamo con-tarlo come caso favorevole due volte.

Se Ep = {2, 4, 6} e F = {3, 6}, allora

p(Ep∪F )= p(Ep)+ p(F )− p(Ep∩F )=3

6+

2

6−

1

6=

4

6< 0, 667.

La differenza fra i due esempi è che nell’esempio 2.1 gli eventi erano incompatibili, mentrenell’esempio 2.2 non lo sono.

In generale

la probabilità di un evento A o di un evento B è:

seA∩B = ∅ ⇒ p(A∪B)= p(A)+ p(B)

se A∩B � ∅ ⇒ p(A∪B) = p(A) + p(B)− p(A∩B)

ESEMPIO 3

Nel gioco della roulette è previsto di poter puntare su uno o su due numeri (tale puntata sichiama "cavallo") compresi tra lo 0 e il 36 (in tutto sono 37 numeri), oppure sui numeri pari(sono 18) o sui dispari (sono 18), oppure sui numeri rossi (sono 18) o su quelli neri (sono 18).Osserva che lo 0 è verde.

La probabilità che esca lo 0 è 1/37;

la probabilità che esca un numero nero è 18/37;

la probabilità che esca un numero pari è 18/37;

la probabilità che esca un numero nero e pari è10

37;

la probabilità che esca un numero nero o un numero pari é26

37

4

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Riassumendo

P (A∪B)= P (A)+P (B)

P (A∪B)= P (A)+ P (B)−P (A∩B)

Probabilità composta

Analizziamo in questo paragrafo il caso in cui le prove aleatorie sono più d’una. Le due provepossono essere indipendenti l’una dall’altra oppure il risultato della prima prova può influire sulrisultato della seconda.

Abbiamo la seguente regola

Regola della moltiplicazione

Se A e B sono eventi indipendenti (cioè se il verificarsi di A non è influenzata dal verificarsi diB) abbiamo

p(A∩B)= p(A) · p(B)

Nel caso di eventi dipendenti vedremo come risolvere il problema mediante un esempio.

Il diagramma ad albero

Se un esperimento è a più stadi il problema di descrivere i possibili risultati può essere semplifi-cato mediante l’uso dei diagrammi ad albero: - per ogni stadio ci sono tanti rami quante sono lepossibilità - il numero totale dei percorsi rappresenta il numero totale di eventi possibili - adogni percorso è associata la probabilità corrispondente all’evento

5

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Ecco la regola generale per "muoversi" su un diagramma ad albero

Esempio 0

Da un’urna contenente 6 palline bianche (B) e 4 nere (N) se ne estraggono due a caso, una diseguito all’altra senza reimbussolamento.

Si vuole determinare qual è la probabilità:

• p(B1∩B2)= che la prima pallina sia bianca e la seconda bianca

• p(B1∩N2) = che la prima pallina sia bianca e la seconda nera

• p(N1∩B2) = che la prima pallina sia nera e la seconda bianca

• p(N1∩N2)= che la prima pallina sia nera e la seconda nera

Questo esempio di probabilità composta di eventi non indipendenti può venir visualizzatamediante il seguente diagramma ad albero:

6

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Supponiamo di voler determinare, ad esempio, la probabilità che la seconda pallina estratta sianera. Risulterà:

p(N2) = p(B1∩N2)+ p(N1∩N2)=4

15+

2

15=

7

15

Esempio 1

Torniamo all’esempio della fabbrica di provette di cui tu sei il magazziniere. Finora ti è andatabene: la provetta che il docente della SSPSS ha scelto è intatta, tuttavia non è del modello chedesidera acquistare.

Tu, pronto, gli proponi l’acquisto di provette di un altro tipo che si trovano nel locale adiacentesu una scaffalatura a tre ripiani. Su ciascun ripiano sono poste 12 scatole contenenti una pro-vetta, ma anche questa volta qualcuno di tali recipienti vitrei è difettoso:

• sul primo ripiano 2 provette su 12 sono crepate;

• sul secondo ben 3 su 12 sono rovinate;

• sull’ultimo ripiano tutte le 12 provette sono perfette.

Il docente compratore decide di controllare 1 recipiente imballato fra tutti i 36 che gli haimostrato, per vedere se fa al caso suo. Procederà nel seguente modo: prima sceglierà uno dei 3ripiani, estraendo a sorte un biglietto fra tre biglietti numerati da 1 a 3, poi sceglierà una delle12 provette su quel dato ripiano, pescando un biglietto tra 12 biglietti numerati da 1 a 12.

Se la provetta così designata andrà bene, il docente stipulerà con te un contratto per l’acquistodi un’intera partita di recipienti, altrimenti? la tua ditta ha perso un cliente. Qual è la probabi-lità che il contratto venga stipulato?

Chiaramente il problema è formato da due prove aleatorie consecutive: la scelta del ripiano (1 su3) e la scelta della provetta su un ripiano (a seconda della prima scelta, hai 10 su 12 possibilitàche il recipiente estratto vada bene, oppure 9 su 12 possibilità che vada bene, oppure 12 su 12).Il complesso di tale prova si chiama prova composta.

Schematizziamo la procedura di sorteggio con un diagramma ad albero formato da due stratidi ramificazione e da 36 rami.

La prima prova aleatoria è costituita da 3 eventi "è stato scelto il primo ripiano r1 " , "è statoscelto il secondo ripiano r2 " oppure "è stato scelto il terzo ripiano r3"; il totale dei casi possibilio spazio campione è:

Sprima prova = {r1, r2, r3}.

7

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Ognuno dei 3 eventi ha la stessa probabilità di accadere:

p(r1)= p(r2)= p(r3) =1

3e p(r1)+ p(r2)+ p(r3)= 1

La seconda prova aleatoria dipende dalla prima:

• se è stato scelto il primo ripiano r1, gli eventi possibili sono:

− e1 = è stata estratta una provetta crepata la cui probabilità è p(e1)=2

12=

1

6

− e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2)=10

12=

5

6

• se è stato scelto il secondo ripiano r2, gli eventi possibili sono:

− e1 = è stata estratta una provetta crepata la cui probabilità è p(e2)=3

12=

1

4

− e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2)=9

12=

3

4

• se è stato scelto il terzo ripiano r3, gli eventi possibili sono:

− e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2)=12

12= 1

− (e1 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e1)=0

12= 0)

La probabilità di uno dei 36 eventi della prova composta (ad esempio che venga scelto il primoripiano e che la provetta estratta sia crepata) si calcola "percorrendo" il ramo dell’albero proba-bilistico descritto (il primo ramo) e moltiplicando i valori della probabilità dei singoli

eventi lungo il ramo.

La prova aleatoria composta è data dai seguenti eventi:

• se è stato scelto il primo ripiano r1, gli eventi possibili sono:

− E11 = è stata estratta una provetta crepata sul primo ripiano la cui probabilità è:p(E11) =

1

1

6=

1

18

8

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− E12 = è stata estratta una provetta perfetta sul primo ripiano la cui probabilità è:p(E12) =

1

5

6=

5

18

• se è stato scelto il secondo ripiano r2, gli eventi possibili sono:

− E21 = è stata estratta una proveta crepata sul secondo ripiano la cui probabilità è:p(E21) =

1

1

4=

1

12

− E22 = è stata estratta una provetta perfetta sul secondo ripiano la cui probabilitàè: p(E22) =

1

3

4=

1

4

• se è stato scelto il terzo ripiano r3, gli eventi possibili sono:

− E32 = è stata estratta una provetta perfetta sul terzo ripiano la cui probabilità è:p(E32) =

1

3· 1 =

1

3

− (E31 = è stata estratta una provetta crepata sul terzo ripiano la cui probabilità è:p(E31) =

1

3· 0 =0)

Verifica che la somma di tutte le probabilità è 1.

La risposta al quesito iniziale "qual è la probabilità che il contratto venga stipulato" è dato dallaprobabilità degli eventi E12 E22 E32 . Dunque:

p= p(E12) + p(E22)+ p(E32)=5

18+

1

4+

1

3=

10 + 9+ 12

36=

31

36

Verifica che la probabilità che il contratto non venga stipulato è:

q = p(E11)+ p(E21) + p(E31)=5

36

Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e sono quandonon si verifica E: lo indichiamo con il simbolo E .

Es.: nel lancio di una moneta, l’evento contrario dell’uscita "testa" è l’uscita "croce".

Dato un evento E e il suo contrario E , si ha che p(E )= 1− p(E).

Esempio 2

Lanciando due dadi qual è la probabilità che escano due 6 (per un totale di 12 punti)?Costruisci un diagramma ad albero e verifica che la probabilità di questo evento è:

1

1

6=

1

36< 2, 78%

E qual è la probabilità che esca un totale di 11 punti (con un dado 5 e con l’altro dado 6,oppure con il primo dado 6 e con il secondo 5)? Sullo stesso diagramma ad albero verifica che laprobabilità è:

1

1

6+

1

1

6=

1

36+

1

36=

1

18< 5, 56%

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Glossario dei termini più utilizzati e riassunto

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Problemi vari

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