Teorias de Falla Estatica

Versin 2004

CCAAPPIITTUULLOO 22

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIINN DDEE PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFSSIICCOOSS

Divisin 4

Teoras de Falla Esttica

Anlisis de Casos

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Introduccin En esta divisin 4 del captulo 2, se vern las diferentes teoras de falla esttica con sus respectivas metodologas de clculo y anlisis y aplicaciones a casos reales. Esto significa que se analizar desde el punto de vista esttico o quasi-esttico la resistencia de un rgano de mquina. Se sabe que la resistencia es una propiedad o caracterstica de un elemento mecnico. Esta propiedad depende en conjunto de diversos factores, a saber: la identidad del material, el aspecto geomtrico de la pieza, y los aspectos debidos a la solicitacin. Todas estas facetas se deben considerar apropiadamente antes de poder establecer algn cuantificador para la resistencia de una parte del elemento. Las tablas de materiales y tablas de dispositivos (embragues, frenos, etc) no dan informacin alguna sobre la resistencia de partes especficas. La resistencia de una parte del elemento es una propiedad especfica de un elemento de mquina antes de ser ensamblado en la mquina. Tal propiedad es un indicador muy importante para caracterizar la respuesta del elemento de mquina. Sin embargo se debe tener en cuenta que este tipo de indicadores es de carcter aleatorio cuando se trate de elementos producidos en serie o sometidos a variaciones en los procesos de carga o seleccin del material. En esta divisin se analizarn las relaciones entre cargas estticas y resistencias estticas con el fin de tomar decisiones respecto del material y su tratamiento, condiciones de geometra y de carga para poder garantizar un funcionamiento eficiente a un rgano de mquina. Se analizar el concepto de falla y de rotura y la distincin entre ambas.

2. Concepto de Rotura y de Falla La idea de rotura o de falla de una pieza est asociada a la idea de desafectar la misma del mecanismo o mquina en la cual acta. Sin embargo entre ellas existe una diferencia conceptual que permite efectuar un anlisis diferente en cada caso y tomar decisiones afines. Un proceso de rotura significa que la pieza se divide en dos o ms partes dejando as de cumplir con la funcin que tiene asignada como rgano de mquina. Un proceso de falla aunque es entendido de la misma manera que el anterior como que la pieza deja de cumplir con la funcin asignada en la mquina, de por s constituye un concepto algo ms general ya que contempla al anterior sin embargo la falla de una pieza puede ocurrir sin necesidad de su rotura. Esta diferencia se puede apreciar en una comparacin entre dos probetas de ensayo compresivo tal como la que se ve en la Figura 2.54


Existen diferentes mecanismos de falla en diferentes tipos de piezas construidas con diferentes tipos de materiales (En algunos casos se presentan dos o ms como en la Figura

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2.55, donde pueden aparecen deformacin por fuerzas, impacto, erosin superficial entre otras), algunas de las cuales se pueden enunciar a continuacin:

Figura 2.54. Distincin del proceso de falla y de rotura

Figura 2.55. Multiplicidad de efectos de falla en una misma pieza

1. Deformacin inducida por fuerzas y/o Temperatura 2. Desplazamientos inducidos por fuerzas o temperatura (pandeo) 3. Lmite de Fluencia 4. Rotura Dctil 5. Rotura Frgil 6. Fatiga estructural 7. Fatiga Superficial 8. Impacto o falla dinmica 9. Desgaste por friccin 10. Endurecimiento parcial 11. Dao por Radiacin: tpico en materiales como los plsticos. 12. Corrosin 13. Desgaste por Corrosin 14. Fatiga por Corrosin 15. Fatiga por Fretting 16. Desgaste por Fretting 17. Relajacin Trmica. 18. Rotura por tensiones trmicas: Efectos concentradores de tensiones 19. Falla por efectos Creep: presencia de deformaciones sostenidas en el tiempo 20. Fatiga Trmica: 21. Shock o Golpe Trmico: modificacin estructural por efecto trmico


22. Spalling

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23. Debonding: Prdida de contacto entre fibras y resina en materiales compuestos 24. Delamination Prdida de contacto entre laminas de materiales compuestos La lista anterior es solo una muestra de la gran cantidad de mecanismos de falla que se pueden presentar en piezas construidas con diversos materiales y formas. Cada una de las precedentes tiene un proceso de anlisis especfico para caracterizar el potencial estado de falla de la pieza. Si bien cada caso es diferente en su enfoque y en las variables que se ponen en juego y los mtodos de clculo que se utilizan (en complejidad y representatividad), todas tienen en comn la necesidad de caracterizar aspectos geomtricos relativos al proceso de falla.

La concentracin de Tensiones La concentracin de tensiones es un efecto geomtrico sumamente localizado. En algunos casos se puede deber a una grieta superficial, en otros se puede deber a un maquinado no adecuado o a la seleccin de radios de acuerdo muy bruscos entre superficies no concordantes. Si el material es dctil, la carga esttica de diseo, puede generar una fluencia en el punto crtico sobre la mueca. Esta fluencia puede conducir a un endurecimiento por deformacin del material y a un incremento de la resistencia de fluencia en tal punto. Suele suceder que siendo las cargas estticas, la fluencia localizada no conduce a fluencia general y en consecuencia la pieza globalmente puede soportar la solicitacin.

Figura 2.56. Distribucin y concentracin de tensiones evidenciado por foto elasticidad

Figura 2.57. Distribucin y concentracin de tensiones evidenciado por termo elasticidad radiomtrica


Un concentrador de tensin, es una discontinuidad que altera la distribucin de la tensin en inmediaciones de la discontinuidad. Este tipo de discontinuidades se puede ver en las Figuras

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2.56 a 2.57. La concentracin de tensiones es la zona donde se hallan los concentradores de tensiones. Normalmente se define el factor de concentracin de tensiones, como el indicador del incremento de tensiones en la concentracin de tensiones, y se calcula de la siguiente manera:

PuntualomedioPrTensinPuntualMximaTensinKC

= (2.155)Los factores concentradores de tensin, histricamente han sido y actualmente son muy tiles para poder emplear metodologas de clculo tradicionales (Resistencia de Materiales) sin incurrir en graves errores de representatividad del estado tensional. De manera que el estado tensional en un punto viene dado por la siguiente expresin:

NomCMax K = (2.156)Donde Max es la tensin normal o tangencial que se pretende valorar en la zona concentradora de tensiones, KC el coeficiente concentrador de tensiones y Nom la tensin nominal obtenida por clculo de resistencia de materiales (Flexin, Traccin, torsin, etc.). Para la obtencin de los factores de concentracin de tensiones usualmente se recurra a ensayos de foto-elasticidad (Figura 2.56) o termo-elasticidad radiomtrica (Figura 2.57) los cuales son mtodos costosos en trminos generales. Sin embargo hoy en da con el avance computacional es mucho ms fcil y obtener los factores concentradores de tensin mediante el empleo de plataformas de clculo por elementos finitos bidimensionales y/o tridimensionales, con las cuales se puede hallar en forma precisa el valor de las tensiones en los puntos de inters. Aun as en casos de importancia superlativa, por el riesgo que implica la mala prediccin de los estados de tensiones, se suelen efectuar modelos computacionales de elementos finitos y correlacionarlos con modelos de foto elasticidad a escala o de tamao real tal como se puede ver en el ejemplo de un tren de aterrizaje en la Figura 2.58. Normalmente los factores de concentracin de tensiones se condensan en grficos o bacos o programas de clculo para una configuracin de solicitacin determinada, un elemento estructural determinado para varias configuraciones de parmetros geomtricos, como por ejemplo relaciones de alturas de vigas a radios de acuerdo en muescas, de agujeros, chaveteros, etc.


En las Figuras 2.59 a 2.70 se muestran las grficas de factores de concentracin de tensiones para diferentes configuraciones geomtricas y de carga. Ntese que las curvas se grafican en funcin de la razn del radio de acuerdo (o agujero) a una longitud caracterstica (dimetro menor o altura menor, etc). En las Figuras a su vez se indican las formulas particulares de cada caso, homnimas a la (2.156) para calcular la tensin mxima en funcin de la denominada tensin nominal. En el disco que la ctedra suministra se hallan como rutinas de clculo en una planilla excel denominada Formulas-Calculo-Basico.xls, todos los casos

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identificados en las Figuras 2.59 a 2.70 y otros adicionales que fueron adaptados de la referencia [3]. El mencionado archivo se halla en D:\Programas-Calculos Varios.

Figura 2.58. Modelo de foto elasticidad de tren de aterrizaje (Tomado de Referencia [4])

Figura 2.59. Concentracin de tensiones para planchuela traccionada con radio de acuerdo


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Figura 2.60. Concentracin de tensiones para planchuela flexionada con radio de acuerdo

Figura 2.61. Concentracin de tensiones para planchuela traccionada con muesca


Figura 2.62. Concentracin de tensiones para planchuela flexionada con muesca

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Figura 2.63. Concentracin de tensiones para eje traccionado con radio de acuerdo

Figura 2.64. Concentracin de tensiones para eje flexionado con radio de acuerdo


Figura 2.65. Concentracin de tensiones para eje torsionado con radio de acuerdo

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Figura 2.66. Concentracin de tensiones para eje con muesca sometido a traccin.

Figura 2.67. Concentracin de tensiones para eje con muesca sometido a flexin


Figura 2.68. Concentracin de tensiones para eje con muesca sometido a torsin

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Figura 2.69. Concentracin de tensiones para planchuela con agujero sometida a traccin

Figura 2.70. Concentracin de tensiones para planchuela con agujero sometida a flexin.

En la expresin (2.156), el factor KC cambia de significado cuando cambia el tipo de tensin que magnifica. Esto quiere decir que en los casos de las Figuras 2.65 y 2.68, KC significa un factor de concentracin de tensiones de corte o tangenciales, en cambio para los restantes casos se trata de un factor de concentracin de tensiones normales. La importancia en el uso de los diagramas 2.59 a 2.70 radica en que son indispensables cuando se usa una metodologa de clculo basada en modelos de resistencia de materiales. En caso de contar con una plataforma computacional de anlisis por elementos finitos u otra semejante, las graficas mencionadas dejan de prestar utilidad.


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3. Prediccin de falla esttica Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado ms general que puede presentarse ante una condicin de solicitacin, sin embargo aquel puede reducirse a estados biaxiales o triaxiales. En la prctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinacin de tensiones, puesto que tal circunstancia se debe al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal razn se necesitan modelos o teoras que permitan evaluar, comparar y relacionar las tensiones tridimensionales con los resultados experimentales del ensayo de traccin tpico, cuyo costo es relativamente muy bajo.

TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES DUCTILES Entre los materiales dctiles se encuentran la mayora de los metales y plsticos polimricos. Se debe tener presente que en trminos generales, los materiales dctiles tienen la misma resistencia a la traccin y a la compresin y no son tan susceptibles a las zonas de concentracin de tensiones en trminos comparativos con los materiales frgiles. Se puede considerar que un material dctil ha fallado cuando en trminos globales la tensin que est soportando alcanza la tensin de fluencia.

Teora de la mxima tensin cortante La teora de la mxima tensin cortante fue introducida en forma independiente por Coulomb (1773) y por Tresca (1868), y se la suele llamar tambin Criterio de Fluencia de Coulomb-Tresca o Criterio de Fluencia de Tresca. De acuerdo con la evidencia experimental sobre laminas de titanio y otros metales, segn las cuales los mismos se deformabas segn planos de corte perfectamente definidos. Estas observaciones condujeron a definir el criterio de fluencia como sigue: Una pieza sujeta a cualquier combinacin de cargas sufrir falla cuando la tensin cortante mxima exceda un valor crtico. El valor crtico se puede obtener a partir de los ensayos de traccin y compresin convencionales. La forma analtica de representar este comportamiento es la siguiente

s

yji n

S=/ donde

=31

32

21

ji Mx

/ (2.157)

si se supone que 321 , entonces (2.157) se puede escribir de la siguiente manera

s

y31 n

S= (2.158)


En (2.157) y (2.158), ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensin de fluencia del material. Las diferentes combinaciones de tensiones que verifican el criterio definido por la

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ecuacin (2.157) o la (2.158) se pueden representar grficamente y el lugar geomtrico de todos los puntos que verifican fluencia. En la Figura 2.71.a se puede apreciar la zona correspondiente a un caso en el plano.

(a) (b)

Figura 2.71. Grficas de (a) teora de tensin de corte mximo (b) Teora de la energa de distorsin

Teora de la Energa de Distorsin Esta teora postula que la falla es causada por la energa elstica asociada con la energa de deformacin por corte. La hiptesis de la energa de distorsin surge de la observacin que los materiales dctiles sometidos a tensiones hidrostticas tienen resistencias a la fluencia que exceden los valores de los experimentos de traccin simples (Ver Figura 2.71.b). Esto da la idea que la fluencia no es un proceso de traccin o compresin simples sino que hay involucrada cierta distorsin angular en el volumen unitario ms solicitado. Esta teora predice la fluencia bajo cargas combinadas con mayor exactitud que cualquier otra teora conocida. La teora de la energa de distorsin se puede deducir matemticamente de varias maneras. Se analizarn algunas formas de obtener la expresin que rige el comportamiento de fluencia, para poder cotejarlas y mostrar la utilidad en cada contexto. En la Figura 2.72 se muestra un volumen elemental con las tensiones principales y como el estado tensional puede disgregarse en dos, uno de tensiones hidrostticas y otro de tensiones de distorsin. Las tensiones hidrostticas se pueden hallar de la siguiente manera:

3321

h ++= (2.159)

La energa de deformacin total del cuerpo de la Figura 2.72 viene dada por la expresin:

( )[ ]312321232221T 2E21U ++++= (2.160)


Para hallar la energa de deformacin para producir solo un cambio de volumen (como en el caso de la Figura 2.72.b), se tiene que sustituir en (2.160) h por cada 1, 2 y 3, as se obtiene:

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( ) 21E2

3U2h

h = (2.161)Ahora reemplazando (2.159) en (2.161) y operando se tiene:

[ ]312321232221h 222E6 21U +++++= (2.162)Ahora la energa para distorsionar el cuerpo (Figura 2.72.c) se obtiene de la diferencia entre (2.160) y (2.162), en consecuencia se obtiene:

( ) ( ) ( )

+++==

2E31UUU

232

221

231

hTd (2.163)

Ntese que la energa de distorsin es nula si las tensiones principales son todas iguales es decir si 1 =2 =3.

Figura 2.72. Volumen elemental bajo tensiones principales. Tensiones hidrostticas y de distorsin.

Ahora bien, la hiptesis de la energa de distorsin postula que la fluencia ocurrir cuando la energa de distorsin de un volumen unitario sea igual a la energa de distorsin del mismo volumen cuando se lo someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia a la fluencia. Para un ensayo de traccin se cumple que 1 =e, 2 =3 =0, luego la energa de distorsin se obtiene como:

2ed E3

1U += (2.164)siendo e la denominada tensin efectiva o tensin de Von Mises.

( ) ( ) ( )2

232

221

231

e ++= (2.165)

En consecuencia la expresin de la teora de la energa de distorsin se puede escribir como:

s

ye n

S= (2.166)Donde ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensin de fluencia del material.


Una de las formas ms simples e inmediatas para obtener la mencionada expresin es empleando el concepto de tensiones octadricas. Se recordar de la expresin (2.35) donde se

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definen las tensiones octadricas tangenciales y normales. Entonces, comparando (2.165) y (2.35) se puede obtener

eto 32 = (2.167)

Lo que significa que la falla se obtendr cuando la tensin tangencial octadrica alcance o supere la tensin tangencial octadrica de fluencia. En consecuencia es fundamental calcular tener varios esquemas con los cuales calcular e, es decir la tensin equivalente. En el caso que el cuerpo se halle en un sistema cartesiano tridimensional la tensin equivalente se puede obtener como:

( ) ( ) ( ) ( )2

6 2xz2yz

2xy

2yyzz

2zzxx

2yyxx

e

+++++= (2.168)En el caso de tensiones en el plano:

23 2xyyyxx

2yy

2xx

e

++= (2.169)La teora de la energa de distorsin tambin puede denominarse de las siguientes formas:

- Criterio de Von Mises Hencky - Hiptesis de la tensin cortante octadrica - Hiptesis de la energa cortante

En la Figura 2.73 se puede apreciar una comparacin entre las dos teoras: de la energa de deformacin y de la mxima tensin de corte:

Figura 2.73. Comparacin de las teoras de energa de distorsin y de mxima tensin cortante.


NOTA: Es importante tener en cuenta que los contornos de las regiones de definicin de los criterios de falla (Figuras 2.72 y 2.73), corresponden a un factor de seguridad unitario en las ecuaciones de clculo. Esto se puede ver claramente en la Figura 2.74.

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Figura 2.74. Zona de tensiones lmite y perfil de tensiones permitidas

Teora o hiptesis de la Friccin Interna (para materiales dctiles) Esta teora se basa en una serie de hiptesis y observaciones efectuadas por Mohr a principios del siglo XX, mediante los nicos mtodos prcticos con que se contaba, es decir con los crculos Mohr e ideas afines al mismo. Aunque la idea es antigua, sigue siendo til conceptualmente. La intencin central de esta hiptesis involucra hallar una forma de clculo para la tensin de fluencia representativa, conociendo los resultados experimentales de los tres ensayos de fluencia, a traccin, compresin y corte puro, luego describir sus estados en respectivos crculos de Mohr y finalmente trazar la envolvente de los tres crculos (Figura 2.75.a) la cual podra ser una recta, parbola o curva cualquiera. Sin embargo es ms fcil obtener una frmula de resistencia a la fluencia por corte puro en funcin de los otros dos experimentos, en vez de efectuar el ensayo de caracterizacin de fluencia por corte puro (entindase torsin).

(a) (b)

Figura 2.75. (a) crculos tangentes de compresin, traccin y corte (b) Teora de la friccin interna (dctiles)


La hiptesis de la friccin interna establece en un estado de tensiones multiaxiales que la falla se produce cuando el mayor crculo de Mohr asociado al estado de tensiones en el

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punto crtico se hace tangente o excede los lmites de la envolvente de falla establecidos por las condiciones de falla de los ensayos de traccin, compresin y corte. Lo til de esta teora radica en que conociendo solamente las tensiones de falla por traccin y por compresin, la tensin de falla por corte se obtiene segn la siguiente expresin derivada del grfico 2.75.a, como:

ycyt

ycytys SS

SSS += (2.170)

Ahora bien, en la hiptesis de friccin interna se puede proponer adems la idea de que la envolvente es una lnea recta, denominada hiptesis de Coulomb-Mohr, de tal forma que para cualquier circulo tangente a la lnea envolvente BCD con tensiones principales 1 y 3, siendo 1 positiva y 3 negativa, se cumplir que:

syc

3

yt

1

n1

SS= siendo 01 y 03 (2.171)

En la Figura 2.75.b se puede apreciar el dominio de esta teora. Por otro lado viendo las Figura 2.75 se puede inferir claramente que si la tensin de falla a compresin posee el mismo valor absoluto que para traccin, esta teora se reduce a la teora de mxima tensin de corte.

TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES FRAGILES Los materiales frgiles a diferencia de los materiales dctiles, se fracturan prcticamente sin presentar fluencia. Una consideracin importante y necesaria de involucrar en un criterio de falla para estos materiales, es la evidencia de que muchos de ellos poseen una resistencia a la compresin mayor que su contraparte a la traccin.

Teora de la tensin normal mxima Tambin denominada Teora de Rankine. Esta hiptesis establece que la falla ocurre cuando una de las tres tensiones principales alcanza o supera la tensin de resistencia (rotura). As pues esto se puede escribir matemticamente como:

s

ut1 n

S= o s

uc3 n

S= siempre que 321 (2.172)En (2.170) Sut y Suc son las resistencias a fractura de traccin y compresin respectivamente, mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 2.76.a se puede observar la zona de definicin de este criterio (recordando la nota del apartado anterior, con ns = 1).

Teora o hiptesis de la Friccin Interna (para materiales frgiles)


A semejanza de la homnima teora para materiales dctiles esta teora utiliza los mismos conceptos a diferencia que los valores lmite de resistencias corresponden a las resistencias a

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la rotura de los materiales frgiles en vez de las correspondientes resistencias a fluencia. De manera que se emplear la siguiente expresin

suc

3

ut

1

n1

SS= siendo 01 y 03 (2.173)

En (2.173) Sut y Suc son las resistencias a fractura de traccin y compresin respectivamente, mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 2.76.b se muestra el dominio de esta hiptesis.

(a) (b)

Figura 2.76. Teoras de (a) mxima tensin normal (b) friccin interna (frgiles) y Mohr-Coulomb modificada

Teora o hiptesis de la Friccin Interna de Mohr modificada La teora de Mohr modificada se funda en la necesidad de ajustar los resultados experimentales para materiales frgiles a un modelo matemtico que los reproduzca. En estas circunstancias ya no vale la idea que la envolvente de los crculos Mohr para los tres experimentos bsicos sea una lnea recta. De tal forma que se puede demostrar que la ley de comportamiento viene dada por:

utucs

ucut

utuc

3ut1 SSn

SSSS

S=

si 01 y ut3 S (2.174)de la cual surgen otros dos casos particulares

s

ut1 n

S= si ut3 S> (2.175)

s

uc3 n

S= si 01

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Comparacin de Criterios y seleccin En la Figura 2.77 se muestra la comparacin de las teoras o criterios para materiales frgiles y dctiles. Ntese como la teora de la energa de distorsin mxima es la ms representativa para los dctiles y la teora modificada de Mohr la ms representativa para los materiales fragiles como las fundiciones de hierro. Tambin se puede apreciar que para el hierro fundido la teora de mxima tensin normal ofrece buenos resultados

Figura 2.77. Comparacin de las teoras y criterios de fallas con resultados experimentales (Tomado de [2])

Cuando se tiene que elegir un criterio de falla, adems de ser experimentalmente representativo para el estereotipo de material (Frgil o dctil o hbrido entre ambos), se debe pensar en los siguientes aspectos:

- Facilidad de clculo para dimensionar y/o verificar - La seleccin de una situacin segura es decir el coeficiente de seguridad o diseo.

Figura 2.78. Concepcin de los Mrgenes de seguridad para diferentes criterios de falla


En lo que atae al primer tem, el asunto compete a la dificultad del modelo matemtico para encarar ciertos problemas de dimensionamiento. En cuanto al tem segundo, tiene que ver con la interpretacin que se le da a la tensin admisible para dimensionado y para mantener la seguridad del diseo. Esto significa la seleccin de una zona como la que se muestra en la

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Figura 2.74; as la seleccin de un coeficiente para fijar un margen de seguridad debe interpretarse como en los casos de la Figura 2.78 para las teoras correspondientes.

6. Bibliografa [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseo en Ingeniera Mecnica, McGraw Hill 2002. [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, Elementos de Mquinas, McGraw Hill 2000 [3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, Elementos de Mquinas, Prentice Hall 1998.


[4] Measurements Group Product Binder. http://www.measurementgroup.com.

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