Teorie Des Fonctions

8/18/2019 Teorie Des Fonctions

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Théorie générale desfonctions / de Paul Du

Bois-Reymond ; traduitde l'allemand par G.Millaud,... et A. Girot,...

Source gallica.bnf.fr / Ecole Polytechnique

http://www.bnf.fr/http://gallica.bnf.fr/


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Bois-Reymond, Paul du (1831-1889). Théorie générale des fonctions / de Paul Du Bois-Reymond ; traduit de l'allemand par G. Millaud,... et A. Girot,.... 1887.

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BOIS REYMOND~ PAUL DU.

T/tcor~e ~yterc~e ~es

/b~c~o~s

Imprimerie niçoise

Mc~ 1887


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Original illisible


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A~, n,~

THHORtE GÉNÉRALE

DES FONCTIONS

PREMIEREPARTIE


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THEORtE GÉNÉRALE

DES FONCTIONSDM

PAUL DU BOIS-RKYMONDT!m)m'[)EL'.U,LE)H\t)

PAR

0-- Iv~irjUA.'U'D

AKC!EX).:j,HVEnE[.'t:CO!.EKORMA;.RSUPER)Et;RH

)'RO).'ESSEUH DF. MAT)tKMAT)QUKS St'KC[A).E8 AU LYO~H ~L- HAVREnROrrssr.:ua ne w~rnr::vn~ryur~a sri;cr.4t.ra nu Lvci :r nu t~nva c

)'r

A. G. 11~0 T

PROCESSEUR AORÉHH D'AD.EXAKn AU t ~rn'1~*RTt~*f)-r

NICEÏMPRmKRtR NIÇOISE, DËSCKNTt': CROTTI. 8

1887

'L'E~PREMIERE PARTIE "–

MM~bysifiueet ThÉnnedes ConceptsmatMmtiffmfo~amestaux

[irandEUt',Limite, Artfument e! Fonctiot!


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Quand MM. Milhaud et Girot m'ont fdit part dé

leur intention de traduire ma 7'o/C G~er~e des

Fo~c~o?!s qui, publiée en 1882, avait même été rédigée

environ cinq ans auparavant,j'ai voulu profiter d'une aussi

belle occasion pour remanier quelques passages, pour

insistct- sur plusieurs points qui ont acquis aujourd'hui

plus d'actualité, enfin, pour faire quelques additions. Ces

changements ne touchent d'aitleurs nullement au fond

des matières exposées dans mon livre. Au contraire, les

critiques assez nombreuses qui en ont paru, plus souvent

encore contradictoires entre elles qu'en opposition avec

mes vues, m'ont convaincu plus que jamais que j'ai réussi

à mettre au jour la vraie nature de la connaissance exacte

et des concepts métaphysiques sur lesquels elle se fonde.

PAUL DU BOIS-REYMOND.

~e~M, Mai /.SS7-.


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Le souci trop exclusif de la rigueur donne & l'enseignement

des mathématiques une forme souvent dogmatique. Ceux quiont reçu cet enseignement dans les lycées ou les facultés

sont

longtemps sans comprendre qu'il puisse y avoir, à propos de

ces sciences, des questions capables de diviser les penseurs, et

toute discussion philosophique sur les notions essentielles des

mathématiques est souvent mal accueiflie par la simple raison

qu'on en sent difficilement la nécessité.

Or, voici précisément un livre, écrit par un éminent géomètre

de Berlin, rempli de discussions savantes sur les concepts

fondamentaux de grandeur, limite. fonction. Que la manière

de voir de l'auteur soit juste ou inexacte, peu importe il met

en question des problèmes philosophiques du plus haut intérêt

touchant ainsi a ce que les mathématiciens considèrent tropd'ordinaire comme une arche sainte Voila

pourquoi, il nous

a paru utile d'en publier une traduction.

Nous n'entrerons pas dans les débats que soulève ce livre.

Nous voulons seulement , pour préparer à sa lecture ceux quiont puisé lenr instruction mathématique dans des

traités ou

cours spéciaux faire comprendre à grands tr aits comment les

mathématiques peuvent donner lieu à de-< discussions intéres-

santes sur l'origine et. la formation de 'eurs concepts. Nous

ferons voir pour cela que l'enchaînement rigoureux des déduc-

tions auquel tend l'enseignement est, en réalité, postérieur au

développement normal de ces sciences et qu'il n'atteint cet

idéal de rigueur que pour devenir de plus en plus formel et,

i par cela même, de plus en plus subjectif.

Quand on o.tvre un traité de mathématiques, on est frappéde l'importance du rôle que jouent les définitions.

Chacune

d'el les sert de base à un développement plus ou moins long

formant tout un chapitre

n ouveau. Ce sont, pour ainsi dire,

les éféments vitaux des mat.hémntiques la puissance de

déduction de l'esprit semblait épuisée sur les premiers objets

de ses études; une définition survient et apporte un nouvel

alimenta, son activité. C'est ainsi que les définitions semblent


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8-

chaque f ois assurer une prolongation de vie aux mathémati-

ques de manière en reculer l es homes a l 'infini. Or querenferme une définition ? A quelle condition est-elle accep-table ?

Une définition a pour objet de construire une chose ou unfait. M'aide de certaines propriétés reliant l'élément nouveaua ceux déjà connus et la seule condition imposée a ces pro

priétés parait être qu'elles ne présentent entre elles aucunecontradiction logique. C'est le seul point sur lequel on jugeutile d'insister,

quand, en

mathématiques, on sent le besoin de

~'MS/te/' une définition. Mais alors la premier.' impr ession quedonne la lectur e d'un traité spécial est des .plus étranges. Ilsemble que l'esprit puisse se donner libre carrière n'a-t-il

pas, pour c réer ses définitions, un champ sans limites ? – etnon seulement, on sent , bien que la science mathématique nesaurait avoir de bornes, mais encore un se demande s'il ne

pourrait exister une inimité de mathématiques distinctes decelles qui sont enseignées, si enfin celles-ci ne sont pas duesa un caprice de I'ini,e)Iigence humaine qui se serait plu a suivreune voie parmi tant d'autres également accessibles?

– En

géométrie, passe e ncore On se sent vaguement guidé par des

corps, par des formes, semblables a ce que nous montre lemonde extérieur, mais que dire de l'analyse, maintenantsurtout que, grâce aux travaux de reconstruction des Lagrange,Cauchy, Abe), etc. il est facile de parvenir aux notions les

plus élevées sans faire intervenir d'aut re donnée expérimentaleque le nombre. (')

Pour se rassur er et voir disparaître le caractère capricieuxet, a rbit rai re des mathématiques il faut remonter à la genèsedes notions qu'elles étudient et regarder un peu par-dessous

s cet arrangement parfai t qu'on nous présente aujourd'hui.On distingue ordinairement les mathémat iques pures et les

mathématiques appliquées, les premières étant la géométrie el,

t'analyse, les autres étant des applications de celles-là C'est.ma) indiquer qu'une seule question de degré justifie cettedistinction. La géométrie et. l'analyse sont les premières et les

plus simples applications de la )~/


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-9

!e point,, la ligne droite, avec toutes leurs p!'opri6t6s !nt.uitives.

L'analyse est, fondée sur !c nombre, dont, l'idée nous est fournie

par l'expérience, et , sur ses propriétés. Ce sont la d es vérités

naïves sur lesquelles i l est inutile d 'insister. Mais les pointsde départ. ainsi fixes, l'indétermination du eliemin à suivren'en subsisterait, pas moins, s i la g6ometrie ou l'analyse ne se

laissaient guider par des données extérieures, et. c'est, précisé-ment,, en dépit des apparences, ce qu'e'tes font sans cesse .

Nous ne voulons pas parler i ci seulement, du postulat d'Euctidc

qui, loin d'être un axiome iogique, est nettement déjà l'aftir-mation d'un tait expérimenta). On peut, !c joindre aux donnéesini tiâ tes. Cel les-c i sont s i complexes qu'i) importe peu de penser ou non que ce fait nouveau est implique clans les notionsintuitives sur lesquelles est. fondée la géométrie. D'ailleurs, ))

n'y a eu d'arrangement d'aucune espèce dissimulant le fuit,tout. nu, et. il y aurait peu d'intérêt a dénoncer t et, emprunt, a

l'expérience.Ma's il y a plus tous les éléments nouveaux qu'étudie la

géométrie, angle, angle droit, cercle, longueur de circon-

férence, etc., ne sont, suggères que par le monde extérieur. ] [en est, de même en analyse du nombre fractionnaire, du nombre

incommensurable, de fa limite, elc. Les nom!)) es imaginaireseux-mêmes sont, apportes par l'experlo.icc, quoique cela

paraisse paradoxal. C'est qu'ici cette expérience s'est affinée,

pour ainsi dire, et est devenue la constatation du résultat, d 'un

calcul ou. d'une transformation algébrique. Mais tout. cela e stloin d'être évident,. Chaque fois qu'un nouvel objet, d 'é tude est

suggéré, les mathématiques se l'assimilent au point, d'en dissi-muler l'origine, on plutôt, a l'occasion de cet, etement, citesconstruisent logiquement un être nouveau, el les le créent detoutes pièces, et si l'unique souci qui les guide parait -et rc ianon contradict ion des propriétés dont elles l'a nubien), e t la

possibilité de l es exprimer a t 'aide des déments anciens, enreaHtc la préoccupation première a été que cette création

logique correspondit exactement , a l'objet concret. Cette préoc-cupation est peu visible, parce qu'elte importe peu a la, rigueur des raisonnements mais, s i on ne veut , pas la isser aux mathé-

matiques une beauté purement platonique, s'il faut qu'ellesmf''rit,ent leur t itre de science, tous ces développements logiquessont destines à être ut,i!isesdans la connaissance générale dumonde physique, et, alors, pour la s olution du problème le

plus simple, on

sera bien obtige d'admettre I'iden(.it/; de l'objet.extérieur et , du concept, purement logique A cet instant, précisse trouve dénoncée l'origine expérimentale de jout.e définitionSi on a pu I:). dissimuler, c'est ta seule condition d'y substituer,pour l' instant de ('application, une proposition indémontrable,


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–tO-

un véritable postulat,'par lequel nous affirmons que nos

théories logiques peuvent donner l'expticatiou d 'un fait objctif.

Quctques exemptes simples aideront, a éefaircir ces idées.

Après l'étude de quelques propriétés (!cs lignes droites

considéré'es enscmb)e. la géométrie uti lise ces propriétés il

l 'occasion d'un élément nouveau le cercle. La définition qui

lui sert. pour ainsi dire, do passe-port, est la. suivante La

ci rconférence de cercle est , t e lien géométrique d'un point, situé

a une distance donnée d'un point, déterminé. Traduisez Que

par le point, détermine on mené une droite quelconque, qu'on prenne sur cette droite, il partir du point, une tongucur égale

a

ia distance donnée l' ext rémité de cett.e longueur est ce qu'on

appelte un point do cercle. La possih'nite do construire ainsi

autant do points de cercle qu'on voudra, voi)a tout re que

contient la notion de lieu géométrique qui entre dans ce tte

définition. On déduit, de celte-ci toutes sortes de propriétés; par

exemple, une droite qui a un point, commun avec un cercle en

a un second; un diamètre partage le cercle en deux parties

symétriques, en d'autres termes, a t out point, de cercto on

peut en faire correspondre un second symétrique par rapport,a un diamètre quelconque. e!c.

– La considération des

po)ygoncs inscrits, c'est, a-dire dont, tes sommets sont points

de cercle. permet de définir )a longueur de la circonférence, ce

sera la limite des périmètres des polygones inscrit s dont , le

nombre des côtes augmente indéfiniment.

Dans ( .ont ce dévetoppemeat

il n'entre en aucune façon l'idée

de la forme du cercle, de ce rond parfai t que nous tirons par

abstration de ceux que fourmi l'expérience. Ce rond est. forme

par un contour continu; ii divise le plan en deux parties,l'une qu'il limite et que nous disons intérieure

et une aut re

extérieure: toutes notions absolumenLdistinctcsde ladéfmition

et. des déductions géométriques. De même le concept purement

logique de l a longueur de )a circonférence est. essentiellement

distinct de ce que par intuition nous entendons par )a longueur d'un rond. le tour d'une roue, par exempte, ou )a longueur

d'un fit d 'abord exactement, appliqué sur la conférence de )a

roue. puis déroulé. C'est, ainsi que ia même ou les mathéma-

tiques semblent êtr e le plus voisines des objets concrets de

l'intuition expérimentale, ciïes se développent parallèlementaces objets, et sans jamais faire disparaître la dualité qu'of-frent la donnée des sens, affinée même par l'abstraction, et la

construction logique de l'esprit. Mais ici du moins ce parafté-lismc estas.sez parfait pour que nous sentions fort bien comment

a procédé la géométrie. L'expérience a d'abord fourni non

seu!ement la notion du cercle, mais une foufc doses propriétés;

parmi cefies-ci a une époque de beaucoup postérieure, ic


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géomètre a choisi celles qui, tout en ne s'exprimant qu'al 'a ide de droites,


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une dernière e t, intér essante confirmation tirée de l'analyse

supérieure.

Supposons qu'a. un instant quelconque de l'histoire des

mathématiques, on sente le besoin d'u ti liser une propriéténouvelle des quantités concrètes il ne sera. pas toujours facile

de l'énoncer simplement, de l'expliquer, de la ramener a

d'autres connues, de débroui ller les éléments complexes qu'e])o

implique. Il se peut cependant que des esprits é)evés devinent

comme par instinct qu'il s'agit, la d 'une notion féconde, et

qu'un dévotoppf'.ment fonde sur elle réalisera un grand progrèsdans la connaissance générale des choses. A. priori, nous

n'avons pas de peine a admettre l'existence de tout un long

chapitre mathématique construi t sur des not ions qu'on n'cxph-

que pas la géométrie et. l'arithmétique n'ont-elles pas pour données ini tiâtes des concepts impossibles a définir? Si nous

supposons enfin que les chercheurs appliques aux idées

nouvelles, frappes de l'intér êt des résultats, se soient avant

tout préoccupes d'en enrichir la liste, la reconstruction logiquedes données expérimentales risquera fort de rester longtemps

inachevée; longtemps, ]a branche analytique qui aura ainsi

pousse brusquement semblera ne point se rattacher au tronc

primitif. C'est précisérncut. la ce qui s'est passe pour l'analyse

supérieure, pour cette partie de l 'analyse qui tr.' itc des incom-

mensurabtes, des limites. des séries et produits inunis, dos

intiniments petits, des dift'ercntiettes, etc . Le fai t expérimental

qui e n est le

point de

départ, et dont, l'introduction dans

l'analyse r emonte a une époque impossible & fixer e st ! a notion

~M, de ~/M


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s 'énonce a insi ~unp quantité variable croit sans cesse,

tout en restant inférieure une (juantité déterminée, cite a une

limite.

Duhamel en donne la démonstration suivante (')

« Soit A la valeur au-dessous de laquelle est toujours la

« variable, e t B une de celles qu'e!ic prendra qu'on partage« l'intervalle de B à A e n parties égaies aussi petites que l'on

« voudra la variable pourra bien dépasser tous les points de'

« division, mais ne peutaHerjusqu'à ~'extrémité il pourra« aussi se fai re qu'elle no les dépasse pas tous, et alors il y en« aura un qui sera le dernier qu'elle dépasse elle restera

« donc toujours comprise entre celui-ci et l e suivant, c'est-a-

« dire dans un interval le aussi resserré que l 'on aura voulu et

« dans lequel e lle i ra toujours en croissant . En subdiv isant« cet intervalle en un nombre aussi grand qu'on voudra de

« parties égales, on reconnai tra de même que la grandeur ne

« peut se trouver que dans un nouvel intervalle fixe e ntre B et

« A, et d'une étendue aussi voisine de zéro qu'on le voudra.« Il existe donc une certaine valeur fixe entre B et A, dont la« variable s'approche indéfiniment; el le a donc une l imite . »

Le raisonnement est rigoureux jusqu'à la conclusion exclu-sivement Quant, a passer d e ce que l'intervalle qui comprendla grandeur peut devenir aussi petite qu'on veut à l 'existence

do ta limite, ce n'est pas moins difficile que d'admettre d'em-

blé" la conclusion, sans démonstration aucune. Ainsi que lemontr e nettement M. Paul du Bois Reymond, la diminution del'intervalle qui comprend la grandeur n'atténue pas la difficulté

qu'il y a a concevoir la limite. Le raisonnement, de Duhamelcache une illusion et cela est s i vrai que souvent, au contraire,

pour expliquer qu'une grandeur resserrée dans un intervallede plus en plus petit a une limite, on se fonde sur ce que lesvaleurs qui la comprennent forment deux séries l'une

croissante, l'autre décroissante, admettant chacune une limite

d'âpres le principe en question, et il suffit ensuite de

remarquer que les l imites senties mêmes.

M. Bertrand, à propos des séries .a termes positif's, dit

simplement « I! est clair que s i dans la somme Mo + Mt -)-(( + Mu on prend un nombre de termes toujours croissant,« les résult.ats obtenus iront en augmentant et s'ils ne peuvent« pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement

(*) Duhamel. – Z)ef< Mte


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~autant qu'on vcutdu plus pctitdcs nombres qu'il ne peuvent~« pas dépasser.)) C'est de la même manière (~ne raisonne

j\).)!ri(jt.Maisquinescnt ([no L'existence do ce minimum

parmi les valeurs


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.15–

de l'existence de la limite, rien ne.sera changé dans lil suite

(les déductions. Le principe des limites aura disparu de l'ana-

fvse en tant que proposition il établir et,avec iui,)a dernière

trace de tout. donnée expérimentale !)Utre (juc la donnée initiale

de l'arithmétique.ic nombre. Mais,pour appliquer & ce dernier

exemple les idées indiquées a grandes l ignes dans cet te pré-face, i l est bien entendu (juo des qu'on touchc'ra l'outil ainsi

affine pour résoudre ]e plus enfantin des problèmes, ayant, trait,

a des longueurs, par exempte , la solution ne sera justifiée et

int.erpret.ec que grâce a. l 'opinion que les symbotcs corrcspon-

dentadcs réalités.La tendance à éhmincr toute donnée expérimentale autre

que les données initiales est-el le une simple manie des mathé-

maticiens? Manie dangereuse en ce cas, puisqu'elle a pour conséquence de donner a leur science une allure capricieuseet l'apparence d'un simple jeu d~esprit? – Cette tendance

répond au cont rai re a une haute nécessité philosophique. Les

éléments de notre connaissance, qu'eUe qu'on soit, l'origine,expérimentale ou rationneUc, se combinent dans notre esprit,de tel le sorte que le degré e t, )a nature de )a certitude qu'ils

comp(~rtentsont. souvent fort. difficiles a préciser. Or, la recons-trucLion logique des faits mathématiques il pour résul ta t, de

séparer net tement d'une part,cc


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]cs choses clios-memes une indication précieuse elle nous

appr end quel est le minimun de propriétés qu' il suffit, de

supposer dans ces choses pour.justifter l'application des vérités

logiques. Toutes lus propriétés géométriques du cercle, par

exemple, s'étendront aux ronds concrets, s 'i l en existe, dont

tous ]es points s ont a h) , même d istance d'un cent re. L'analyse

supérieure s'appliquera aux quantités dont il existe des états

correspondant & tous les symboles qu'elle a crées, e tc . Et ainsi

on apprend à connaitrc le minimum de propriétés caracté-

ristiques par lesquelles un t'ail concret, peut entrer dans l'en-

grenage des déductions de la mathématique pure.Voila d 'où celle-ci t ire sa raison d'être. Mais quel que soit

l'intérêt qu'cHe présente, nous croyons avoir suffisamment

montre que, par son essence purement IbrmcIIe, elle ne saurait

donner la solution d'aucun problème de connaissance concrète.

C'est pourquoi les t raites de mathématiques,si rigoureuxqu'ils

soient, et précisément d'ailleurs cr) raison de leur rigueur

exLreme, ne pourront jamais rendre superflue ['étude des

problèmes de la connaissance tels que ceux que traite ce

livre.

Le Hnvrc, ce 1"' AvrH 18S7.

G. MiLHAUD.


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P R E F A C E

Le besoin d e voir clair dans la nature intime des intégralesdes équations aux diftcrcnticliespariieHes du second ordre

me conduisit a l'étude des formules g~'nér.des qui, comme

co)to de Courier, servent acxprimcries fonctions arbitraires.

Ces reciieruhesm'o))!igérent ensuit .a considérer t' es :nced~

(onctions indépendantes ([c toute hypothèse e;. cetles de ieur's

intégrâtes. Sur ce point, je ne parvins et je ne pouvais parvenir a une intcHigencc parfaite, qu'en soumettant a l'épreuve de )a.

critupje de la connaissance les concepts aua)yti()ues t'ondame.tr-

tauxdograntfeuretdclimitc.Jcveux maintcnan!,dans!e[t'avait (font ce l ivre contient la première partie, parcourir en

sens inverse, mais e n moins de tem;)-i, je ['cspure. te ctu'œin

(juc j'ai suivi moi-mêmeIl s'agit., en en'et, d'un cuaen!!)!edeLneoric.([uimeri!.ûnL

d'êtt'o bien soti(tement,et.abUes dans un expose spécial eL dont.

Fidee [ond:m)cnta]e devient, e\'iL)cnLe, des qu'on porte sa j)e!iseosur la reparLit.ion des sciences medica)cs. Des t))corics générales

s'opposent, ici a des théories spéciales, comme a ]'ana!omie.

spéciale, a. la paLhotogie sp6cia)e. eLc., s'opposent !cs sciences

générales de même nom. D e t~eme il paraitraiL & propos de

distinguer dans l'ana)yse une Lueorie speciaic des fonct .ions et,

une. Lheorio générale.La première, en étudiant, d'une manière t.usgen6ra!e]es

(bncHons de variables comp!cxcs, a pour but. de reprcscnt.cr des l 'onctions de prop.iet.es déterminées et d 'eLudier ta nature

de grandes classes do transcendantes, en particulier de celles

qui ont des relations avec les fonctions algébriques.La. théorie ~e/:e~e des fonctions embrasse, a mon avis,

tout ce qui se r attache a l'idée la plus génefaic do fonction:En tête je place la métaphysique des concepts de grandeur et

délimite, comme servant de base a la théorie de l'argument,de la. fonction, et de ]a condition commune de convergence et


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de divergence des différentes opérations infinies . Ce sont, là,suit. dit en passant, les questions traitées dans la première

partie (te mon travail . Puis, on trouvera ta théorie géncraiedes s~'ries,l'étude de l'integrabihtuctdeiadifferentiahilite desfouc.tions et les propositio)isgf'nera)cs relatives a l'intégraledf'tiui. ensuite ta tueoric de )'expressiou de fonctions ditesa.rhih'aires a t'aided'integt'atcs et de séries, mais en particulier les expressions de l'~ourier qui précisent davantage le conceptde fo!iction,cn(mdif]V'rcntcs parties qui s'y rapportent dans lath~orie des équations aux diitercnticttcspartie'des du second

ordre.Ainsi, en peu de mots,ce que contient, la théorie générale

des fonctions, c 'est, l a théorie des rapports de grandeurs et, des

opérations en gênerai c'cst-a-dirc sans qu'on ait essentielle-ment en vue ta représentation de c


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Les représentations, éléments simples de la pensée, et dont

la succession accompagne et , régi t, tout acte mental, étant, les

matériaux primitifs de toute étude qui porte sur la théorie de

la connaissance, doivent êt re précédées, comme not re étude

sur les concepts analytiques fondamentaux, d'une définition

suffi sante du mot « représentation H ~Fo)'.f


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Des concepts de ())'a!tdon' et de limite

Remarques préliminaires et énonciation la plus simpledu problème principal

Pur concept de limite, on entend un c ertain m ode deraisonnement en vertu duquel, de la n ature d'une suite devaleurs susceptibles d être mesurées ou observées on conclut.a l'existence ds valeurs (jui échappent a toute percention etdont. l'existence ne peut jamais s e démontrer au sens ordinairedu mot. Maigre tout, d'aiflenrs, nous sommes habitues a nouscontenter sans sourciller de cette conclusion que nous appli-

quons constamment,.Cette façon de conclure n l'existence f ffective d'objets que

ne peut atteindre aucune perception immédiate ou médiate,est, comme on sait, famiticro a certaines sciences, ou l 'on fait

.appel a une manière commune il t ous tes hommes de c oncevoir

,par intui tion e t de sentir. Mais ne faut-il pas s'ctonner qu'uneforme do pensée, qui est a peine p lus rigoureuse, doive servir a consotider les notions fondamentales les plus indispensableset tes plu-i fécondes des matbem.'diques, c'cst-a-dirc. precise-ment d 'une science qui plus que toutes les autres, se fait, gloirede la rigueur la plus méticuleuse et la ptus nette, et, qui chaque

ijour se montre incontestablement p!us di~'no de sa réputa tion ?'?

Que) mathématicien pourrait mer que (surtout dans t'idee

qu'on s'cn fait ordinairement) le concept de limite et ses

proches parents, ceux de ri)limitc, de t'infiniment j.;rand, del'infiniment petit, des irrationneHos, etc. manquent encore de

so)id it6! Le professeur~ qu'i) écrive ou qu'il parie, a coutumede parcourir a pas rapides cette peritleuso introduction a

l'analyse, pour se promener d'autant p)us aisément su' leschemins si commodes du calcul .


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En vérité, on fai t rarement fausse route, quand on cherche

les choses les plus curieuses en dehors des chemins que suit lafoule: Eh bien, nous nous proposons de parcourir précisément,ce terrain qu'évitent les autres.

Comme c'était a présumer, nous reconnaitrons bientôt queles di ff icul tés inhérentes aux concepts que j' ai mentionnés plushaut ne sont pas de nature mathématique el les seraient sanscela aplanies depuis longtemps Elles ont bien plutôt leur

origine dans les éléments simples de notre entendement, dans

les représentations.

La s olution de l'énigme, si je ne me suis pas trompé, est,

que c'est et ce sera toujours une énigme seulement, cette

énigme est, me semble-t-il, ramenée à son expression psycho-logique la plus simple. L'observation la plus tenace de notre

pensée et de ses rapports avec la perception ne nous conduit

pas au-delà de la constatation que voici II y a, pour l'esprit,doux manières tout-a-fait distinctes de saisir les choses, quiont uu d ro it égal à être prises pour l'intuition fondamentale dela science exacte, parce que aucune des deux n'apporte derésultats absurdes, du moins tant qu'il s'agit des mathémati-

ques pures. Et lorsque, dans d'autres sciences, l'une de cesdeux formes de pensée semble aboutir à des contradictions, la

majorité des penseurs a préféré jusqu'à nos jours supporter cet inconvénient, plutôt que de r enoncer à l 'intuition corres-

pondante du monde.

Toujours est-il fort

s ur prenant, qu'alors que tout ce qui pouvait cacher M, vérité a été éliminé et qu'on peut s'attendre,a en contempler enfin l'image cfa ire e t nette, elle nous apparaîtsous une double f orme. Celui qui le premier a vu travers uncristal transparent la double image de l 'objet simple, n'a puen témoins ses amis avec plus d'émotion que j'en ai moi-même a cet instant, où, arrivé au t erme de l'examen le plusscrupuleux et le plus infatigable, je dois me r ésoudre n exposer au l ecteur le double mode d 'intu ition dos principes fondamen-taux de notre science.

Ces deux modes de représentations, je les nomme, merattachant en cela il des concepts familiers, Idéalisme et

Empirisme Pour les caractériser tous deux en peu de mots,l'Idéalisme croit a la vérité do certa ines formes limites de nosidées exigées par notre entendement, mais qui sont en dehorsde toute perception et de toute représentation sensible l'Em-

pu'ismc est l e

système de complet" abnégation, il n'admftcomme existant ou comme correspondant a l'existence, cequi peut-être perçu il ne s e confond ainsi en aucune façonavec le pyrrhonisme classique.


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–23-

Nous avons indiqué dans le concept, de limit.e le probiemc

auquel reviennent. nos recherches actuotics, ii nous faut,

indef'mimeu!, de tet!.cfa(;.on(p.('it existe toujours (te.s valeurs

suffisamment, ~r.uidcs de x, pour (pL]C à parLirdeccs valeurs la

ddteroncoY–f(x) devienne et, reste ensuite plus petitefjue'


30/230

-24–

n'importe quelle grandeur si petite qu'on l'imagine, Ys'appellela limite de t'(\) et on écrit:

Y – Iim)'(x).

Ainsi, x croissant. )')ar des valeurs quelconques, 1 est la limite de

~––, et. x prenant toutes les valeurs entières, 2 est la limite

i i 1 1 r~~ r cosxde i -r–(- -j- Lnnu,

zéro est tu hmd.edo–:–.

Au L'onf.raH'e il n'y .'t pas rin timite. par exemple, à la série des

notnbrcs entiers 1,2,3,pas de limite non plus, par consé-quent, aJa suite de tous les nombres x, quand ce symbolereprésente tout nombre entier ou fractionnaire. Les phénomènes

périodiques, c~mme les révolutions sidérales, n'ont pas de

limite, suppose que le mouvement des planètes reste d. inst'aveni r ce qu'il a été dans le passe. Le concept gênerai del'onction comprend a ussi: les opérations dites infinies; par exemple les serins et les produits infinis les fractions

continues, !es intégrales, etc. Dans les séries elles produitsinfinis, x désigne, comme dans l'exemple cite plus haut, le

ran~'dn dernier (cément auqL!eI on limite provisoirementl'opération.

Presque a cliaque pas dansl'analyse on se trouve en face

decetie(pu'stion:TeI!couteHefbnctiouf'(x)a-t-e)Ieounonune limite, lorsque x ou bien tend vers une valeur déterminéeou ));C!) croit indéfiniment? L'analyse nous pose si souvent

cette question que, pour la résoudre, i l s 'est amassé dans lecours des années un trésor extrêmement abondant, de proposi-tions, de règles et d e théories, dont quelques unes n ous sont sit'amitiéres que nous les appliquons inconsciemment comme les

régies du calcul é!ément;m'e . Dans les opérations infinies, dontJe v iens de parier, on nomme critérium de eon\ergence ou de

di~'er~encelcs règles qui décident de l'existence ou d e la nonexistence d'une limite.

Mantenant, toutes les propositions, règles ou théories,semblent pouvoir être considérées comme Iransfbrmations etraisonnements purement mathémat iques, grâce auxquels dansle cas même le plus compliqué, apparaît toujours certaincritérium extrêmement, simple qui résoud immédiatement la

question det'cxistence d'une l imite. Ce critérium est fourni par ta proposition suivante qui certa inement est très acceptablequand même o n la laisserait sans démonstration:

N /r< ~ye~


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.)_

) m~e'e. M


32/230

26–

comme dans nos exemples simples donnes plus haut, mais

que, la condition pos6e par le principe générât étant remptie,on afurmc()ue la fonction doit avoir une timito, voici alors

exactement te sens de ce qu'on affirme Le symtjole I(x) crocou engendre une grandeur donton ne savait r ien jusqu'ici et

([ui, sans l'opération f'(x), n'avait pas besoin non plus d'exister.

Mais en quoi consiste une grandeur limite a insi engendréeComment doit-on la concevoir?.

11 1Si, par exemple ]a série, i

-f -7

-t-

~–, + ~"y~)

a

pour limite 3, c'est-à-dire un nombre, comme on peut t'établir taci tement en faisant voir que ce nombre .satisfait a la condition

de la limite, c'cst-a-dire que la duterence 2 – ( 1 +~-+.. -n,.)

quand croit indennimen!, devient aussi petit qu'on veu!, l,aucun homme n'a encore vu le nombre ou la fraction dccimateou une aut re chose quelconque qui représente la limite delà

1 1 1sutte 1 -)- + ~– +

+. Personne n'a vu le résultat,

numérique de l'extraction de l a racine carr6e de 2, supposée prolongée indeuniment, résultat que nous désignons par !7pour effectuer sur ce symbole t outes les opérations aussi

na[,urel)emen[, par exempte, que sur le nombre 2 lui-même.Si cependant on iiffu'mc que ces tim'ues existent, ou bien cette.'d'firmaticn est fausse, ou bien ~eabcsom (t'uno explication

qu'on cherche vainement, dans tes ouvrages (te mathématiquesspéciaux et a plus forte raison d~ns les écrits philosophiquesqui s 'y rapportent.

Toutefois, la Formation de la l imite par la variation absolu-ment, indéterminée d'une fonction f(x)(c'estainsi que nous ta

supposons jusqu'ici) est (' 'videmmonL comme )(x) elte-memeun ensemble très vaste de représentations ou nous nous effor-cerons plus tard d'apporter de l'ordre clans le chapitre qui atrait au principe général de convergence et de divergence. Il ya un cas particulier du principe générât, suivant lequel unefonction qui varie toujours dans le même sens (') et qui n'aug-

(*)!prpssif)n!thr\c('pnn)'d


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-27-

mente ni ne dimminue au-delà de toute limite, doit. nécessaire-

ment avoi r une l imi te déterminée. 11 conviendrait déjà bien

mieux, comme représentation plus simple, à la recherche de

l'origine du concept de limite, et enfin il présente lui-même

dans un cas tout spécial un mode de construction de ta l imite bien plus simple encore grâce auquel, comme je le montrai

aussi dans le chapitre cité, la lacune que j 'a i relevée dans

la déduction des propositions générales se trouve diminuée.

J'ai en vue l'expression h abituelle de ce qu'on nomme les

irrationnelles à l'aide de fractions décimales i ll imitées. Elleéquivaut ainsi, pour nous, a l'expression la plus simple de tout

ce qui dans l'analyse des opérations infinies apparaît encoreen définitive comme non démontre.

Dès que l'origine de la limite de la fraction décimale n'aura

plus d'obscurité pour nous, le c harme sera rompu et l'analyseser a maîtresse chez file. Elle gouvernera alors aussi aisément.et sûrement dans l 'immense variété des rapports de grandeurs,que l'a fait de tout temps la théorie des nombres entiers,dans son domaine plus étroit.

On le voit, les réflexions que suscite le mode de raisonne-ment fondé sur le concept de limite pourraient déjà être

soulevées par les opérations arithmétiques les plus usuelles,comme le développement d'une fraction décimale il iimitéc .

Seulement,dans les mathématiques élémentaires ouïes fractionsdécimales illimitées no s ervent tout au plus qu'au calcul,

qu'est ce qui aurait pu éveil ler le soupçon que tout n'y est pasabsolument net. ? L'examen du problème do la limite qui vasuivre a é té bien plutôt, amené par certaines combinaisonsnouvelles et hardies qui prennent naissance quand on tran-

sporte aux variations des fonct ions les d ifférences infin iment

petites du « continuum des nombres, et c'est précisémentdans ces combinaisons qu'ont par u sur gir des difficultés de

conception insurmontables.En effet, Fourier qui, en donnant aux géomètres dos

,'exemples nombreux de discontinuité dos fonctions, nous amis sur la voie de la n otion moderne de la fonction analy-

tique, ne connaissait pourtant que des fonctions continues,comme celles que l 'on avait , étudiée-! jusqu'à lui et ne

présentant que dans des points isolés dos interruption de

~continuité, à savoirdes changements brusques de v.'dour. Cette

'représentation trop restreinte des fonctions, comme devant, a

.'l'exception de

quelques poin ts iso)és. varier

d'une mann'ro

continue à l'instar des fonctions algébriques et des trauscen-dantes les plus simples, c'est, Lejeune Dirichk't, que je sache,

qui le premier en a fait sentir l 'insuffisance. Mais ces idées

~préconçues sur l a marche des f onctions n'out disparu pour tout


34/230

28–

df bon que devait, tes foncfions continues ([ui n'admettent pasde dérivées, et, les fonctions toujours discontinues cL pourtant,

int6gra.blcs fonctions qui ont 6te sauvées pouL' la science, du

trosor d'idées qu'un des plus profonds et. malheureusement, des

plus laconiques chercheurs de ce siec ie a emporta (tans son

tombeau prématuré les unes. par des etcvcs digues do son

enseignement, tes autres. par une circonstance heureuse.

Vue rapide sur la, recherche qui va suivre

Une recherche aussi sérieuse que celle que nous allons

faire sur la demonstfation du concept, delà limite, devrait,

raisonnablement , se demander avant tout. En quoi consiste

une démonstration mathématique? Quel critérium ta tera

déclarer satisfaisante ou detbcLueuse? Laissons pourtant de

côte ces questions embrouil lées. Je crois que pour juger ]a

vatcur d'une démonstration, on peut. aujourd'hui s 'en nerau

sens [ogiquc, devenu depuis quelque temps beaucoup plus

délicat, d'un mathématicien de profession. La définition scien-

linquedcla démonstration mathemalique. réussira peut-êtreun jour par une voie analogue a celle qu'a ouverte ta logiquedu calcul de Boole, que M Schroo.lcr, en la remaniant, nous

a rendue plus accessihte.ït est, pourtant, bien évident que, pour demom.rcr ou conce-

voir, il faut relier a u ne représentation inuiaie dej~ cxistant.c

ou a u n concept, (c'est-à-dire a i'ensembtc de qualités communesa une classe de roprcsentaUons) une représentation Imale, quiest, précisément l 'objet, nouveau ft démontr er ou a concevoir,e t. ce la a t' aide d'une, chaîne de renresenta tions dont ta généra t. ionsuccessive, et . cont inue ne surprend jamais, jamais no trouble

la quiétude de notre conscience att.entive. Pour concevoir,

l'esprit, remont.era de la représentation nouve))o a la repre-sentat.ion initiale pour démontrer, il suivra le chemin inverse.

En tout, cas, notre eLu'Ie qui porte sur )cs !


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–29–

tâcherons de décrire deux modes d'intuition absolument

opposés l'un à l'autre, dont. aucun cependant, ne saurait avoir

notre préférence. Pour les développer aux yeux du lecteur

tout-a-t'ait indépendamment l'un de l'autre avec leurs pro-

positions inconciliables, j'ai adopte une l 'orme particuiiure

d'exposition.

Que le lecteur veuille bien se supposer par la pensée dans

le cas suivant. Apres q ue je me serais par occasion, entretenu

avec deux savants amis sur les intuit ions fondament.dcs de

l'analyse, je les aurais

priés de me

communiquer

leurs idées

par- lettre avec plus (le d6tails, ce qu'ils m'auraient promis de

t'aire do bonne grâce. Ensuite j'aurais, avec leur permission,soumis a chacun des deux les communications de l'autre, et

j'aurais ainsi provoque cet échange écrit d'opinions que j e me

permettrai de soumettre au lecteur, après avoir analyse te

concept de grandeur. Je me suis ef force de faire raisonner me.s

deux interlocuteurs avec ta m ême rigueur, et il ne dépend donc

pas de ma bonne votante que le lecteur réussisse a montrer

une faute de logique dans les raisonnem' nts de l '!dcahsto ou

de l'Hmpiristc. L'Idéaliste prendra le premier la parole.

L'idée, suivant l.iqueitc deux modes d'intuition essentielle-

ment, distincts pour les concepts fondamentaux de l'analyse.

sont non-seulement indiques clans ce qui suit, mais reaiises

methodiquemetu, peut d'une manière g


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-30-

La. conclusion des considérations suivantes, qui doivent

servir d'introduction a la théorie générale des fonctions, sera

[burnie par la théorie mathématique du concept de limite et d u

principe générai de convergence. C'est seulement après une

aussi longue traversée sur une mer philosophique, que nous

t'ou!erons pour la première fois avec celte question un terrain

mathématique, et il n e nous arrivera plus désormais, – ce

sera ]e résultat de notre étude sur les concepts – de sentir ce

sol nous manquer sous les pieds.


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i'ar grandeur ou quantité mathématique (quantum, quan-

titas, Grosse) on entend une qualité c ommune ;( des oi)jc!s de

différentes espèces, par rapport, à laquelle ils sont comparables

numerifjucment, comme ]cur longueur ou leur poids. Cepen-dant toutes les suites de représentations qui peuvent être

soumises aux opérations mathématiques sont foin d'être

comprises daus cette définition. Généralement parlant, il faut;

entendre par grandeur ou quantité m!d.hemati(mc )f;nscmb!e

d'une sniLo de rcprcsent.aUons soumises au moins aux conditions

suivantes i° Chaque rcpresent.at.ion iso)6e occupe dans cettesuite une phicesuf'fi.sammenLdetermmee 2°Kntre les grandeursde la suite ou crti .ro ces grandeurs et. ccHes d'autre. sui tes

également, ordonnées, il existe dos rapports qui peuvent être

combines et donner naissance a de nouveaux rapports.Seulement hâtons-nous de le dire, avec ces deiinitions

générâtes , que l'on formule do manière a ne laisser échapper ancun cas particulier, on n'avance guère. Car pour parvenir de

]a a une idée claire et. précise du concept de la grandeur

mathcmrd.ique dans le sens ordinaire qui est, et qui restera

la notion fbndamenttJe delà géométrie, de la mécanique, et

n'en doutons pas, aussi de l'analyse abstraite, il faudrait res-

treindre la définition gënoraie,,jusqu'à ce qu'elle s'adaptât, au

concept voulu. Cette manière de procéder que l'on trouve chez

quelques auteurs a un défaut capital. C'est que, au fond, pour savoir ou s'arrêter en rest reignant la d6finition générale, il f'ant

déjà ê tre en possession du concept final. Aussi les résul ta tsque l'on obtient de cette manière me paraissent-ils peu satis-

faisants, assez vagues et même contradictoir es selon qu'ils se

fondent sur différentes idées préconçues.

CHAPITRE 1

Des Grandeurs ou Quantités mathcmatiqties

INTRODUCTION


38/230

_gg_

Pour comprendre à fond les concepts puissants qui domi-

nent, toute h) , pensée comme ceux de f'cspace et du temps et

aussi des concopLs moins vastes quoique encore très bien

délimites, tels que celui qui nous occupe, il parait plus naturel

et même plus intéressant de procéder de ia manière inverse,en essayant de remonter a f'origine du concept, d'examiner

attentiveme nt, par quelles abstractions il peut s'Être forme, de

le poursuivre dans les di fférents domaines de la connaissance

ou il se manifeste, e t d'é tabli r cntin solidement les caractères

communs do ces différentes manifestations. Ce n'est qu'ainsi

qu'un concept a ramifications si riches et si délicates, commecelui de la grandeur mathématique peut être finalement

débarrasse de tout accessoire, ce qui doit être notre but. Car

les grands concepts présentent en gênerai deux états de déve-

loppement bien distincts, dont le premier est commun a tous

les hommes, el, l'autre, de nature scient if ique, tend i une

détermination exacte du concept commun. Ceci peut être fort

difficife. la vér ité, comme par exempte s'il s'agit du conceptd e mat ic 're organisée, ou de r ug nc v égé ta l o u an im al Quelque

manifeste que s oit la différence entre un f ion et u n pommier, la

science n'a pas encore réussi à tracer fa ligne de séparationentre. le rcgnc animal et le règne végétal.

Nous donnons dans cet. ouvrage deux exemples de la

méthode indiquée. Celui qui va suivre sur le concept de l a

gr andeur, et plus loin l'examen du concept de la l imile, Maisnous nous proposons de soumettre aifleurs a une analyse sem-

blable d'autres concepts, a savoir ceux de l'espace et du tempset les concepts mécaniques de force, efc.

Quant, a la présente recherche, nous serons assez vite con-

duits iL une forme fondamentale du concept mathématique de

grandeur qui domine non seulement le monde extérieur, mais

aussi la vie intér ieure de l 'âme.

L~' fyu

grandeurs linéaires, et si nous cherchons par quelles propriétéselles en différent.

La grandeur mathématique peut, par sa nature, no prendre

que des valeurs discontinues, comme le nombre d'objets,~4H?a/t~ ou bien elle correspond à une espèce de représentations

passant d'une manière continue de l'une & l'autre, comme celaa lieu pour les longueurs. Ceci trace pour nous, il est vrai, une


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33

3

ligne de séparation de chaque côté de laquelle nous porterons bientôt not re observat ion . Cet te ligne pourtant, comme on lereconnaîtra bientôt, ne réalise pas à proprement parler une

scission d ans le concept de grandeur, parce que la quantité

mathématique continue dont il s'agit essentiellement ne peutservir à ~MMrer qu'après l' int roduction du concept de nombre,et parcequ'ainsi le concept de grandeur continue dans son déve-

loppement scientifique suppose celui de grandeur discontinue.

1. –Quantités mathématiques discontinues. Maintenant,

pour

en venir tout de suite aux quantités mathématiquesdiscontinues, le concept de nombre d 'objets (c'est &. cette

espèce de grandeurs discontinues que nous voulons ic i borner nos considérations) a son origine dans la représentation del'état isolé dos objets de l a perception et on s'explique sur ce concept à l'aide de mots ou cle signes par lesquels on

exprime le nombre d'objets et qui s'appellent les nombres.

Le concept du nombre d'objets est tout-a-fait indépendantde l'espèce des objets. Raphaël, un théorème, un canon, font

ensemble


40/230

34–

du concept, on fait. réapparaître devant la pensée une ou

plusieurs des représentations particulières d'où Étaient abs-

traits les caractères communs. Aussi peut-on obser ver sur

soi-même que des concepts pour lesquels il n'existe e ncore ni

mot ni signe se rattachent une certaine représentation

émergeant d'une façon particulière du groupe auquel elle

appartient, représentation qui leur sert ainsi de signe. C'est

bien là d'une façon générale le début de la formation du

concept et de la forme la plus vraisemblable de ce conceptchez ceux qui pensent sans la faculté de parler.

Les caractères communs une suite deconcepts se réunis-sent ensuite pour former un nouveau concept plus général et

par cela même plus pauvre el a insi de suite.

3. Quantités mathématiques discontinues (suite). Le

concept du nombre exprimé par des chiffres ou par des mots

appartient de sa nature a ceux qui s e s ont le plus détachésdes représentations réeUes qui l es ont engendrés. Cela t ient

a ce que on ne peut s e faire une représentation que de

iout petits nombres, tty a

peu d'hommes qui, du premier coup

d'œi!, puissent reconnait rc un nombre d~objets convenablement

choisis, (par exemple de boules de même forme et de m ême

couleur,) – qui dépasserait cinq ou six. J'admets là quel'ordre géométrique des objets s'est, trouvé autant que possiblele même pour les différentes collections d'objets, que par exemple i ls sont rangés a peu près en ligne d roite. Dans la

disposition unil'orme sur une ligne droite ou même dans la

disposition sur un cercle, où do plus il manquait uu point dedépart nettement distinct, D ahse ne pouvait, a ce qui m'a été

dit, compter du premier coup d'œil qu'un nombre remarqua- blement plus petit que lorsque les objets étaient distr ibués sur une surface plane, où ils formaient des figures géomé!riqucsirrégulières qui les lui rendaient plus fac iles a compte')'.

Ainsi admettons que nous ayons une représentation nettedes n ombres à peu près .jusqu'au nombre sept, nous pouvonsalors, jusque la, faire correspondre le concept de nombre

d'objets à une suite de représentations particulières, commenous pouvons faire correspondre la concept chêne a la repré-sentation de t ous lcs chênes que nous avons dans notresouvenir. Au-delà de c e chiffre nous avons bien des représen-talions réelles de plurali tés p lus ou moins grandes, mais

cependant les représentations de nombres un peu grands serattachent a la représentation du dénombrement. 31 par

exemple, n'est pas une représentation tirée directement de la perception, mais elle suppose le fait préalable du dénombre-ment.


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-35-

Or le dénombrement lui-même exige, quand on dépassenotablement le nombre 20, c'est-à-dire le nombre des doigtsdes mains et des pieds, un système de numération et par

conséquent un certain degré de développement scientifique.

Le concept de nombre montr e ainsi nettement tout d'abord

deux degrés de développement dont le second comporte des

commencements de science et ensuite un t roisième complète-ment scientinqnc.

Au premier degré de développement nous trouvons les

commencements les plus grossiers do la mesure des pluralités

a l'aide de nombres ils se rattachent aux représentationstirées directement de la perception de t out petits nombres

comme peuvent en avoir aussi les animaux, qui se mettent en

défense contre plusieurs ennemis autrement que contre un seul.

D'âpres des rapports c oncor dants sur les peuples non civiiisésde l'époque actuelle, ainsi que sur les époques antérieures a

toute civilisation, cette numération primitive consistait simple-ment dans la comparaison avec les nombres des doigts (tes

mains et des pieds. Nous en avons encore un témoignage dans

notre système décimal de numération, ce détestable héritage de

nos porcs.–Le développement ul térieur du concept de nombre

a fourni la suite ill imitée des nombres entiers, déterminée par cette circonstance que chaque nombre représente une collection

contenant un objet de plus que la précédente, et a établi dans

cette suite des points de repère qui permettent de mesurer toutes les pluralités.

Enfin, le développement scientifique du concept de nombre

s'est marqué dans la recherche des rapports ent re les nombres

entiers et a conduit finalement des rcgtcs de c alcul les plus

simples a la théorie des nombres. En vérité cependant, le

chemin tut loin d'être aussi direct. Bien au contraire, les

commencements du développement scientifique du concept de

nombre concordent avec ceux du concept de quantité continue,tous deux se sont d'abord développés et formés par l es exi-

gences qu'ils ont montrées l'un !t l'égard de l'autre, jusqu'à ce

que une pensée plus profonde se soit plu aux belles propriétésdes nombrespour clles-memescfque, aucours des années, ollo

ait posé les germes multiples d'une science qui. dans les doux

derniers siècles, a a ttein t un s i riche développement.

4. – Des quantités mathéma.tiques continues. – Voici des

exemples de grandeurs mathématiques continues: Longueur,

surface, volume, poids, temps, vitesse, force, quantité dochaleur,intensité de lumière et de son, tension électrique, force

de courant, etc.


42/230

–36-

Quand on parle des quantités mathématiques, on ne pensetout de suite qu'aux quantités géométriques~ et, en particulier,à la ligne droite limitée en longueur, a laquelle on cherche àramener les aut res quantités parce que c'est incontestablement)a représentation de cette espèce la plus simple, la plus inva-riable et la plus répandue. Ce n'est pas une représentationdans le sens déjà donné plus haut a l'occasion du nombre

d'objets c'est plus proprement un concept mais qui, ici, al'encontre du nombre, est s i voisin le plus souvent d'une des

représentations particulières d'où il a é'.é tiré que dans !a

pensée cette

représentation y supplée. Ainsi l'un eu

y pensantse représente une arête ou la limitat ion d'un plan; pour unautre la longueur apparaît sous la représentation d'un fil oud'un trait ou d 'un rayon. Enfin, on y voit aussi la trajectoireparcourue par un point mobile a la manière des étoiles filantes.

Les quantités mathématiques continues que j'ai citées onttout d'abord ceci de commun que leur mesure et leur compa-raison dépendent des perceptions du sens de la vue, ensuite

que leur qualité comparatle ou mesurable devient toujoursfinaIcmenU'étendue rectifigne, et qu'elles se laissent, comme

celle-ci, partager et combiner par addition. Observons, pour expliquer ceci, les représentations mesurables de la géométrie.

5. Caractères communs aux quantités déjà c itées et aux

quantités géométriques. Sur la mosaïque d'un champ visuel,

apparaissent des images telles que chaque morceau qu'on en

découperait n'importe ou possède les mêmes propriétés que

l'image complète. L' intuit ion la plus immédiate de telles pro- priétés nous est offerte par l'image de l a ligne droite limitée.Mais ce serait une erreur de vouloir l 'a ff irmer aussi d'un arcde cercle non rectifié, p ane que le rapport de la corde a l'a rcne reste pas invariable lorsque l 'arc devient de plus en pluspetit; parce que, bien loin de là, clans une division p< uiongéede l'arc de cercle, la représentation cesse peu a peu d'êtrecc!le d'un arc et se change en celle de la ligne droite.

Au contraire, il en e st des surfaces planes uniformémentcolorées et éclairées, quel le qu'en soit la forme, comme des

lignes droites seulement cela n'est plus le fait d'une intuitiondirecte. L'analogie ent re les propriétés mesurables des lignesdroites et la représentation de mesure qu'ofl'rent de tellessurfaces planes est rendue possible par l' intervent ion du conceptnouveau de l'aire, c 'est-à-dire de ~ea;/«)!M~


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37

« épuisement )) la. comparaison e t la mesure des surfaces sem-

blahles sont tout-à-fait ramenées à celles des longueurs. Si

nous imaginons ensuite que notre représentation visuelle soit

complétée par la représentation de l'espace, alors apparaît le

concept de volume, dont nous exprimons la mesure à l'aide

d'une longueur, absolument comme nous l 'avons fait pour l'aire.

Ce concept, tout comme la longueur, jouit de cette propriété,

que les parties sont de même nature que le tout auquel elles

appartiennent, ou que n'importe quel autre tout de même

espèce. Dans les autres quantités mathématiques déjà citées

on découvre également e t sans peine la longueur qui fournitla mesure. Pour citer quelques exemples fami liers: l 'a rc de

cercle que décrit l'aiguille de l'horloge, une fois rectifié, fait

dépendre le temps d'une longueur la graduation du levier de

la bascule mesure le poids la force devient proportionnelleà l'énergie des phénomènes de pression et de mouvement,

qui de leur côté peuvent être immédiatement exprimés en

longueur, etc.

Maintenant, dans le cas où nos perceptions et nos observa-

tions nous apportent une espèce de représentations qui ne

différent entre-elles que par le plus ou le moins, nous nous

sentons provisoirement satisfaits quand nous avons posé les

divers degrés de cette représentation dans des rapports déter-

minés avec les représentations mesurables de la géométrie.

quand, par conséquent, nous y avons trouvé une longueur don-

nant la mesure. Ceci nous apparaît, en effet, comme le premier

pas fait vers l'intelligence mécanique des choses. Nous nefaisons en cela que suivre notre tendance a ramener ce qui

est

nouveau et compliqué, et par cela même trouble la quiétude de

notre âme, à des choses vulgaires et familières, parmi lesquellesil faut compter en première ligne les représentat ions géomé-

triques mesurables. Ca.r,comparer etpartagcr les étendues sont

p our nous choses si naturelles que ces faits, comme le premier

degré du concept de nombre d'objets, ne sont, peut-être pas

spéciaux a l'homme. Les concepts d'aire et d e v olume appar-tiennent aussi vraisemblablement, aux premières acquisitionsde l'esprit humain. L'espèce naissante pouvait les abstraire

d'observations sans nombres. Le besoin d'étoffe pour les vête-

ments et pour les c ouvertures des tentes, la capacité de

di fférents vases ou aut res objets de même nature, la semence

nécessaire à des champs,de formes et de grandeurs différentes

ensuite, par les progrès de l 'état, de société de l'homme, les

concepts de propriété foncière et des mesures conventionnelleset une foule de choses semblables ont fait de l 'aire et du volume

une des f ormes fondamentales d'intuition de notre esprit,L'enfant acquiert ces concepts, s 'i ls ne sont innés, par exemple,


44/230

-38–

en déchir ant du papier et en jouant avecdes vases qu'il remplitde sable ou de liquide.

Les représentations mesurables de la géométrie formentdonc le point de départ auquel rev ient sans cesse notre penséedans ses déductions rigoureuses. Cette a ffirmation ne rencon-trera certainement pas de contradiction sérieuse.

6. Introduction du concept de quantité linéaire. Les

quantités citées jusqu'à présent ont donc une propriété com-mune remarquable; elles peuvent se ramener aux longueurs;

leurs différences, leurs parties et leurs multiples sont denouveau des quantités de même espèce, comme pour les

longueurs elles sont, comme les longueurs, susceptibles de

prendre des é ta ts très petits ou très grands comme les lon-

gueurs, elt~s sont comparables~ mesurables. Je nommerai les

quantités matbémathiques de cet te espèce Q


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donnée du but du ti reur. Si on la considère comme le rapport

du nombre de coups s'égarante cette dis tance à un nombre très

grand de coups tires, la différence de deux probabilités pareifies

peut de nouveau être envisagée comme une probabilité.

7. – Ce qui peut se graduer suivant l'étendue ou l'intensité

appartient aux quantités linéaires.–Toutes les espèces de

quantités que nous pouvons considérer comme quantités

mathématiques sont loin d 'ê tre linéaires, de sorte que notre

tâche est tout d'abord d'acquérir au moins une idée approchée

dc la dissémination des quantités linéaires dans les différents

domaines de la connaissance humaine. Cette tâche nous est

facilitée par la remarque suivante

On a coutume, on le sait, do partager les espèces de quan-tités en deux catégories selon qu'elles sont graduées

suivant

l'étendue ou l'intensité, (extensives et intensives). La mult'pfi-

cité n'en est certes pas ainsi épuisée, mais ce qui est importantc'est que toutes les suites de quantités se distinguant par

''étendue ou par l'intensité puissent être considérées comme

appartenant aux quantités linéaires.

Je dis


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Nous emp/o~otM /'eirp?'eM!'oM. « ~er en :M~t

autres selon l'intensité, ne constitue donc pas une différencedans le caractère mathématique de ces grandeurs, et ce quenous venons d'exposer constate pleinement la nature linéairedes quantités mathématiques qui din'ërent suivant l'intensité,quand, bien entendu, on les suppose en outre suffisammentdéterminées et continues. En effet, quand la variation d'unevariable se tait par des différences pour ainsi dire, de mêmenature que la variable, elle doit, s i elle est continue, commen-cer par zéro en outre, étant formée par des accroissementsaussi petits qu'on veut, elle admet aussi nécessairementdes multiples et des parties de même espèce, et c'est la préci-sément notre concept des quantités linéaires.

Pour éclaicir ce qui précède par des exemples, on dit de la


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aussi évidente d'elle-même que dans les cas qui se présentent,ordinairement,.

Jugeant ainsi la nature linéaire des suites de quantitésgraduées suivant l'étendue ou l'intensité comme suffisamment,fondée, cherchons maintenant à nous former une vue généraledes quantités mathématiques propres aux différents domainesde la pensée.

8. Les qua-ntités du monde extérieur. Tout d'abord, le

monde de l a perception que nous nommons monde extétieur.En première ligne,se trouvent les mystérieuses causes premièresqu'on nomme forces et, en les mettant en avant, nous fran-chissons les limites du domaine de la perception et nous noustrouvons alors en plein dans l'empire des créations de la penséehumaine. Sous l' influence d'une poussée intérieure, nousconcluons des phénomènes à l' existence des forces premières,et puisque enfin nous ne savons rien sur elles, nous devonsvoir dans les phénomènes leurs effets complets. Les effets sontainsi dans notre représentation équivatcnts en quantité à laforce qui les produit. Or ces effets, pressions, tensions, mou-vements, sont des grandeurs linéaires, il en est donc de mêmedes forces e t voilà pourquoi nous les avons citées comme telles.

Si loin que nous soyons, et pour toujours, do pouvoir représenter mathématiquement tous les phénomènes du

monde extérieur, aucune espèce de grandeur ne semble

devoir s'offrir qui ne puisse probablement, être un jour comprise dans le concept des quantités mathématiques l inéaires.ou mieux qui ne se révèle probablement un jour comme une

quantité linéaire. Car partoutou nous pénétrons, toute variationse montre graduée suivant l'étendue ou l'intensité, et nousconsidérons de pareilles quantités qnand elles sont susceptiblesd'une définition précise (ainsi que cela a été plus haut examinéde près), comme essentiellement linéaires, même si nous neles avons pas encore ramenées, comme pour la dureté à leursdernières variables l inéaires géométriques et mécaniques.

9, Les quantités du monde de la perception interne.Sensations graduées suivant l'intensité. Etudions ensuite enles considérant comme des quantités au point do v ue de leurs

propriétés, quelques phénomènes do taviou~e~g de l'âme.Les sensations par lesquelles des excitations ou irritationsse révèlent Il nous sont bien les

plus simples phénomènes quidoivent se présenter ici, et offrent une foule d'espèces de

quantités très instructives.

En premier lieu se trouvent les sensations graduées suivant,


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l'intensité, telles que la douleur, les sensations de la peau, lessensations d'intensité qui nous viennent des sons.

En appliquant aux sensations notre proposition relat ive auxquantités qui différent en intensité. nous reconnaitrons que cesont aussi des quantités linéaires, lorsque, bien entendu, elles

peuvent être considérées, avant tout, comme quantités mathé-matiques. On se représente bien, en effet, que si des excitationsd'une même espèce s'additionnent, une somme de sensations

produites respectivement par les différentes forces d'excitation,ne forme également qu'une seule et môme sensation plusintense. Ainsi, on s'imagine qu'une impression de chaleur plusvive qui correspond a une élévation de température est prodmte par un accroissement de l a ~ttM~'o~, lequel estlui-même une sensation de chaleur, de sorte que l'impressionde chaleur devient comme une image i ntérieure de la tempé-rature.

Il n'y a donc plus qu'a se demander si l 'intensité de sensationest une quantité mathématique, si elle admet des valeurs

particulières suffisamment déterminées pour être acceptéescomme une fonction d éfinie de quantités linéaires mesurables.La di fférence des forces de sensation qui correspondent dansdes circonstances di fférentes a la même excitation, la brièvetédu temps pendant lequel l'intensité de l a force de sensation

produite par uneexcitation constante teste la môme, l'influencedelà fat igue et , avant toute chose, le manque d'observation

méthodique de soi-même, prêtent principalementaux sensationsde l'odorat et du goût une apparence d'instabilité inappréciablequi peut nous entraîner donner tout de suite à cette questionune réponse négative.

L'investigation scientifique est foin d'être enrayée par unetelle apparence d'instabilité elle cherche d'autant ptus a fixer l'instable. [1 existe sans aucun doute clans l'organe cent ral unétat correspondant d'une façon précise A l'excitation, état quenotre conscience doit s'exercer à évaluer et distinguer desintluences voisines, et peut certainement apprendre à connaître pctttapetit.D'aitleurs les sensations d'intensité des sens dol'ouïe et de la vue, qui se prêtent ù une observation pluslongue et a une comparaison plus faci le que celles des sensdu goût et de l'odorat, présentent aussi en général plus desûreté et d e fixité. Une semble donc nullement invraisem-blable que, dans toutes les espèces de sensation o'j dans

quelques-unes qui sont graduées suivant hntensité, on puissetrouver les conditions sous lesquelles il nous serait possibh'de susciter Li chaque instant des intensités de sensations

parttcnhéres qui correspondraient à des quantités égalesd 'exci ta tion e t. qui nous paraîtraient absolument égales. Cela


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suffirait pour r econnaîtr e dans les sensations des fonctions

mathématiques des quantités d'excitation. surtout s i l 'on songea !a finesse quelquefois étonnante de nos sens pour ladistinction des degrés d'excitations pat' les intensités de sensa-

tions, f inesse des sens qui, comme l'apprennent do nombreux

exemples, s i elle n'est pas donnée naturellement, peut-être portée à un haut degré par l'exercice.

D'après cela nous pourrions être fondés

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