Донецький інститут залізничного транспорту Української державної академії залізничного транспорту

Факультет «Управління на залізничному транспорті»

Кафедра «Теоретична та прикладна механіка»

Ю.В. Тимохін, В.Я. Бєланов, В.М. Савєнков, В.Ю. Тимохіна

Теорія механізмів і машин

Конспект лекцій для студентів спеціальності “Рухомий склад та спеціальна техніка залізничного транспорту”

Донецьк 2009

2

УДК 621.0 Теорія механізмів і машин. (Конспект лекцій для студентів механічних спеціальностей) / Ю.В. Тимохін, В.Я. Бєланов, В.М. Савєнко В.Ю. Тимохіна, Донецьк: ДонІЗТ, 2009 – 144с.

Розглянуто на засіданні кафедри «Теоретична та прикладна механіка» «_____» _____________ 2009 р., протокол №

Затверджено методичною комісією факультету управління залізничним транспортом ДонІЗТ «_____» _____________ 2009 р., протокол №

Викладені структурний аналіз і синтез, а також кінематичний та

кінетостатичний аналіз механізмів. Приведені синтези зубчастого і кулачкового механізмів.

Конспект призначений для студентів фаху «Рухомий склад та спеціальна техніка залізничного транспорту», що вивчають учбову дисципліну «Теорія механізмів і машин».

Автори доцент Ю.В. Тимохін (ДонІЗТ) доцент В.Я. Бєланов (ДонНТУ) доцент В.М. Савєнков (ДонНТУ) ст. викладач В.Ю. Тимохіна (ДонІЗТ)

Рецензенти доцент С.О. Вірич (КІІ ДонНТУ) доцент Н.В. Ніжник (ДонІЗТ)

3

Зміст

Задачі дисципліни «Теорія механізмів і машин» 5 Розділ 1. Структура та основи класифікації механізмів 5 § 1.1. Поняття машини і механізму 5 § 1.2. Ланки. Кінематичні пари та їх класифікація 7 § 1.3. Кінематичні ланцюги та їх класифікація 9 § 1.4. Механізми та їх класифікація 10 § 1.5. Структурні формули просторових і плоских механізмів 14 § 1.6. Структурний синтез механізмів 16 § 1.7. Заміна вищих пар нижчими 18 Розділ 2. Кінематичний аналіз плоских механізмів 21 § 2.1. Задачі і методи кінематичного аналізу механізмів 21 § 2.2. Графо-аналітичні методи кінематичного аналізу плоских механізмів 22 § 2.2.1. Визначення положень ланок механізму та траєкторій руху його окремих точок 22 § 2.2.2. Визначення лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок плоских механізмів методом планів швидкостей 25 § 2.2.3. Приклади побудови планів швидкостей плоских механізмів 29 § 2.2.4. Властивості плану швидкостей 36 § 2.3. Визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок плоских механізмів методом планів 37 § 2.3.1. Приклади побудови планів прискорень плоских механізмів 38 § 2.3.2. Властивості планів прискорень 48 § 2.4. Кінематичний аналіз фрикційних і зубчастих механізмів 49 § 2.4.1. Передаточне відношення простого фрикційного та зубчастого механізму з нерухомими осями обертання 49 § 2.4.2. Загальне передаточне відношення багатоступеневих зубчастих передач з нерухомими осями 51 § 2.4.3. Передаточне відношення планетарних зубчастих передач і кутові швидкості ланок 53 Розділ 3. Динамічний аналіз механізмів 57 § 3.1. Задачі (силового) динамічного аналізу механізмів 57 § 3.1.1. Сили, діючі на ланки механізмів 57 § 3.1.2. Умова статичної визначеності кінематичного ланцюга 61 § 3.1.3. Визначення реакцій в кінематичних парах 63 § 3.1.4. Теорема Жуковського 67 § 3.2. Рівняння руху механізмів 70 § 3.3. Приведення мас і сил до ланки приведення 73 § 3.4. Стадії руху машинного агрегату 79 § 3.5. Механічні критерії якісної оцінки механізмів 81 Розділ 4. Синтез зубчастих механізмів 86 § 4.1. Основна теорема зачеплення 86 § 4.2. Евольвенти кола та їх властивості 88

4

§ 4.3. Евольвентне зачеплення 91 § 4.4. Основні розміри зубців коліс 93 § 4.5. Утворення спряжених поверхонь за Олів’є 94 § 4.6. Кінематика виготовлення спряжених поверхонь зубців циліндричних евольвентних зубчастих коліс 95 § 4.7. Геометричний розрахунок евольвентних зубчастих передач при заданих зміщеннях 97 § 4.8. Побудова картини зовнішнього евольвентного зачеплення 101 § 4.9. Перевірка додаткових умов при синтезі евольвентного зачеплення 107 § 4.10. Підрізання зубців 109 § 4.11. Швидкість ковзання зубців коліс циліндричної передачі 110 Розділ 5. Синтез кулачкових механізмів 113 § 5.1. Визначення основних розмірів кулачкових механізмів. Види кулачкових механізмів. 113 § 5.2. Силовий аналіз кулачкового механізму з урахуванням тертя 117 § 5.3. Визначення профілю кулачка 125 Додаток 1 Таблиця значень евольвентної функції invα =ϑ =tgα -α 143 Додаток 2 Таблиця значень Cosα 143 Список літератури 144

5

Задачі дисципліни “Теорія механізмів і машин”

Задачі ТММ самі різноманітні, але важливіші із них можна згрупувати за трьома розділами:

• аналіз механізмів; • синтез механізмів; • теорія машин-автоматів.

Аналіз механізмів полягає в дослідженні кінематичних і динамічних властивостей механізму за заданою його схемою, а синтез механізму – в проектуванні схеми механізму за заданими його властивостями. Отже, будь-яка задача синтезу механізму є протилежною по відношенню до задачі аналізу.

Розвиток теорії машин-автоматів зв’язаний головним чином з удосконаленням методів побудови схеми системи управління, яка визначає узгодження руху виконавчих органів.

До теорії машин-автоматів відноситься також розробка методів проектування промислових роботів.

Розділ перший

Структура та основи класифікації механізмів

§ 1.1. Поняття машини і механізму Сучасне виробництво передбачає використання у всіх його галузях

всіляких механічних систем, які розділяються на машини, машинні установки (агрегати), механізми, механічні пристосування і прибори.

Машиною називається система рухомо з’єднаних ланок, яка здійснює механічні рухи для перетворення або енергії, або матеріалів, або інформації з метою заміни або полегшення фізичної або розумової праці людини.

Усі машини ділять на дві великі групи: енергетичні машини і робочі машини. Робочі машини, в свою чергу, розділяються на технологічні, транспортні та інформаційні.

Енергетичні машини призначені для перетворення будь-якого виду енергії в механічну (та навпаки). До них належать, наприклад, електродвигуни, двигуни внутрішнього згоряння, пневмодвигуни, електрогенератори та інші.

Машини для перетворення матеріалів підрозділяються на технологічні та транспортні. В технологічних машинах відносно матеріалу розуміється оброблений предмет, який може бути в твердому, рідкому або газоподібному стані. Перетворення матеріалу у цих машинах відбувається в зміні його розмірів, властивостей або стану. Прикладами технологічних машин є

6

металообробні верстати, прокатні стани, ткацькі верстати, машини харчової та хімічної промисловості.

У транспортних машинах відносно матеріалу розуміється переміщуваний предмет. Приклади транспортних машин: автомобілі, тепловози і електровози, літаки, голікоптери, підйомні крани, конвеєри та інші.

Машини, які призначені для перетворення інформації, називаються інформаційними. Якщо інформація представлена у вигляді чисел, то інформаційна машина називається лічильною, або обчислювальною.

Машинною установкою називається сукупність машини – двигуна (Д), передаточного механізму (ПМ) і робочої машини (РМ), виготовлених у вигляді окремих агрегатів (рис. 1.1). Для узгодження роботи двигуна (Д) і робочої машини (РМ) є система управління (СУ). Якщо вказані складові частини конструктивно об’єднані в один агрегат, то така система розглядається як єдина машина: токарний верстат, автомобіль та інші.

Устрій, який приводе до руху робочу машину, називається приводом робочої машини. Привод складається із машини – двигуна (Д) і передаточного механізму (ПМ). Найчастіше використовується електромеханічний привод (ЕМП).

Рисунок 1.1 – Схема машинної установки

Механізмом називається система рухоме з’єднаних ланок, яка

призначена для циклічного перетворення руху одного або декількох вхідних ланок у потрібний рух вихідних ланок.

За функціональним призначенням механізми ділять на наступні види: • двигунові механізми, тобто механізми, які вмонтовані в машини-двигуни; • передаточні механізми; • виконавчі механізми, тобто механізми, які вмонтовані в робочу машину.

Як приклад, на рис. 1.2 наведена кінематична схема стержневого механізму, призначеного для перетворення обертального руху вхідної ланки 1 у зворотно-поступальний рух вихідної ланки 3.

Ланки цього механізму мають таку назву: 1 – кривошип, тобто ланка, яка робить повнооборотне обертання

відносно нерухомої вісі, яка проходить через точку О; 2 – шатун – ланка, яка робить складний плоский рух і з’єднана тільки з

рухомими ланками; 3 – повзун – ланка, яка робить зворотно-поступальний рух;

7

4 – стійка, тобто нерухома ланка (рама, корпус). Застосовується цей механізм у двигунах внутрішнього згоряння

(двигуновий механізм), у поршневих насосів (виконавчий механізм), у манометрах (передаточний механізм).

Рисунок 1.2 – Кінематична схема кривошипно-повзунковий механізм

На прикладі кривошипно-повзункового механізму робимо висновок, що

механізм має ту ж структуру, що і машина. Механізм можна вважати машиною, якщо він в умовах руху долає зовнішній опір, зв’язаний безпосередньо з процесом виробництва, або транспорту.

§ 1.2. Ланки. Кінематичні пари та їх класифікація

З’єднання двох стичних ланок, яке допускає їх відносний рух, називається кінематичною парою. Кожне із двох тіл, які складають кінематичну пару, називається ланкою. Ланка – це деталь, або декілька деталей, нерухомо з’єднаних між собою. Деталь – це виріб, виготовлений із одного куска матеріалу без будь-яких складальних операцій.

Вхідною ланкою (вхід) називається ланка, якій задається рух, перетворюваний механізмом в необхідний рух других ланок.

Вихідною ланкою (вихід) називається ланка, здійснююча рух, для виконання якого і призначений механізм. Останні рухомі ланки називаються проміжними. Сукупність поверхонь, ліній, або точок ланок, по яким вони можуть торкатися, утворюючі кінематичну пару, називається елементами кінематичної пари.

За геометричною ознакою кінематичної пари ділять на нижчі та вищі. У нижчої пари ланка торкається по поверхні, а у вищої – в точці, або по лінії.

Для того, щоб елементи кінематичних пар знаходились в контакті, пари повинні бути замкнуті. Замикання може бути геометричним і силовим. Нижчі пари у більшості замкнуті геометрично. У вищих парах силове замикання відбувається силою ваги, або силою пружності пружини.

Класифікують кінематичні пари за умовами в’язей. Відомо, що вільне тіло в просторі має 6 ступенів рухомості. Обмеження, перешкоджаючі вільному руху тіла, називаються умовами в’язей.

8

Таблиця 1. Приклади кінематичних пар та їх умовне зображення за ДСТ

Клас

пари

Число

умов

в’язі

Чи

сло

ступенів

свободи

Назва

Рисунок к.п. для плоского руху

Клас пари

Чи

сло

умов

в’язі

Чи

сло

ступенів

свобо ди

Назва

Рисунок к.п. для просторового

руху

5 5 1

Поступальна

5 5 1

Гвинтова

5 5 1

Обертальна

4 4 2

Циліндрична

4 4 2

Зубчасте

зачеплення

3 3 3 Сферична

4 4 2

Колесо-рейка

2 2 4

Циліндр

на

площ

ині

4 4 2

Сферична з

пальцем

4 4 2

Кулак

-ролик

1 1 5

Шарик

-площ

тна

9

Входження двох ланок у кінематичну пару накладає на відносний рух цих ланок певні обмеження (умови в’язі), кількість яких не може бути більше п’яти, оскільки при шести обмеженнях ланки гублять відносний рух, тобто кінематична пара переходить в жорстке з’єднання.

Кінематичні пари в залежності від числа умов в’язі розділяють на п’ять класів: Клас пари S = 6 – H 1 2 3 4 5Число умов в’язі S 1 2 3 4 5Залишки ступені рухомості H 5 4 3 2 1

Приклади кінематичних пар та їх умовне зображення за ДСТ приведені в табл.1

Як можна бачити із таблиці, нижчі пари можуть бути обертальні та циліндричні, поступальні та гвинтові, а також сферичні кінематичні пари. Вищі кінематичні пари можна схематично представити у вигляді криволінійного контуру, який торкається з другим криволінійним контуром. Такі кінематичні пари трапляються в зубчастих, кулачкових та інших механізмах.

Нижчі пари відносяться до 5-го класу, до 4-го і 3-го класу. Вища пара, яка має кочення з ковзанням одного елемента по другому, відноситься до 4-го класу.

§ 1.3. Кінематичні ланцюги та їх класифікація

Система ланок, зв’язаних між собою кінематичними парами,

називається кінематичним ланцюгом. Кінематичні ланцюги підрозділяються на замкнуті і незамкнуті, прості

та складні, плоскі та просторові.

Рисунок 1.3 – Приклади кінематичних ланцюгів

10

Незамкнутими називаються ланцюги з такими ланками, які входять тільки в одну кінематичну пару (рис.1.3, а, б, в, г).

У замкнутих ланцюгах кожна ланка входить не менше, ніж у дві кінематичні пари (рис.1.3, д, е).

Простим називається кінематичний ланцюг, у якого кожна ланка входить не більше, ніж у дві кінематичні пари (рис.1.3, а, в, д).

Складним називається кінематичний ланцюг, у якого є хоча би одна ланка, яка входить більше, ніж у дві кінематичні пари (рис.1.3, б, г, е).

Плоским називається кінематичний ланцюг, у якого траєкторії руху точок усіх ланок лежать в паралельних площинах. Якщо траєкторії руху точок ланок знаходяться не в паралельних площинах, або є просторові криві лінії, то такий кінематичний ланцюг буде просторовий.

§ 1.4. Механізми та їх класифікація

Механізмом називається кінематичний ланцюг, поставлений на одну із своїх ланок, у якого при заданому русі однієї, або декількох вхідних ланках, усі останні ланки одержують наперед визначені рухи.

Плоскі механізми з нижчими парами. Із плоских механізмів найбільше розповсюдження мають шарнірні механізми, ланки яких з’єднані тільки обертальними кінематичними парами (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 – Кривошипно-коромисловий механізм

У цьому механізмі ланка 2, яка утворює кінематичні пари тільки з рухомими ланками, називається шатуном. Ланка 1 робить повне обертання навколо нерухомої вісі, яка проходить через точку О1, називається кривошипом. Ланка 3 робить хитаючі рухи відносно вісі, яка проходить через точку О2. Замінюючи у шарнірній чотирьохланці одну, або дві обертальні кінематичні пари на поступальні, одержимо різні механізми: з однією поступальною кінематичною парою можна одержати кривошипно-повзунковий механізм. Такий механізм можна одержати, якщо стійкою зробити ланку, яка входить в поступальну пару (рис. 1.5).

11

Рисунок 1.5 – Кривошипно-повзунковий механізм

При цьому у механізмі буде повзун – 3, тобто ланка, яка входить тільки в нижчі кінематичні пари і робить прямолінійний поступальний рух. Якщо після заміни обертальної кінематичної пари на поступальну стійкою виконати ланку, яка входить у дві обертальні кінематичні пари О і А, то ми одержимо кривошипно-кулісний механізм (рис.1.6).

1 – стійка 2 – кривошип 3 – кулісний камінь 4 - куліса

Рисунок 1.6 – Кривошипно-кулісний механізм

Тут ланка 4 – куліса, тобто ланка, яка обертається навколо нерухомої вісі і утворює з другою ланкою поступальну кінематичну пару.

Із чотирьохланкового кінематичного ланцюга, який має дві суміжні поступальні пари, можна одержати синусний механізм (рис. 1.7).

Рисунок 1.7 – Синусний механізм

У цьому механізмі повзун 2 переміщується пропорційно синусу кута

повороту кривошипа 1, якщо кут між осями поступальних пар дорівнює 900.

12

Із чотирьохланкового кінематичного ланцюга, з двома несуміжними поступальними парами, можна одержати тільки тангенсний механізм (рис. 1.8), який зветься так через те, що переміщення повзуна 2 пропорційно тангенсу кута повороту φ куліси 1.

Рисунок 1.8 – Тангенсний механізм

Кулачкові механізми. Кулачком називається ланка, яка має елемент

вищої пари, виготовлений у вигляді поверхні змінної кривизни. Механізм, який має кулачок 1, називається кулачковим, який за формою нагадує стиснутий кулак людини, має поверхню змінної кривизни і торкається ролика 2, утворюючи з ним вищу пару А. Постійне торкання елементів вищої пари забезпечується пружиною, яка розміщується між стійкою 4 і вихідною ланкою 3 (штовхач).

Ясно, що різноманітність форм, яку можна надати кулачку, визначає надзвичайну різноманітність перетворень руху виготовлених кулачкових механізмів.

Рисунок 1.9 – Кулачковий механізм

13

Зубчасті механізми. Так називається механізм, до складу якого входять

зубчасті ланки. За ДСТ 16530-83 зубчаста ланка визначається як ланка, що має виступи (зубці) для передачі руху завдяки взаємодії з виступами другої ланки (також зубчастої). Кожний зуб можна розглядати як кулачок, а весь механізм – як багатократно повторений кулачковий механізм.

Обертальна зубчаста ланка називається зубчастим колесом. На схемі механізмів циліндричні зубчасті колеса зображуються у вигляді кола, яке котиться без ковзання. Наприклад на рис. 1.10, показаний зубчастий планетарний механізм, у якого колесо 2 (сателіт) обертається навколо своєї вісі і одночасно рухається разом з ланкою 3 навколо вісі центрального (сонячного) колеса 1, тобто робить рух, подібний руху планети (звідси назва механізму).

Рисунок 1.10 – Планетарний зубчастий механізм

Фрикційні механізми. Механізми, в яких для передачі руху між

ланками, які торкаються, використовується тертя, називаються фрикційними. Наприклад, для передачі обертання з постійним відношенням кутових швидкостей відбувається за рахунок тертя циліндричних поверхонь котків 1 і 2 (рис. 1.11).

Рисунок 1.11 – Фрикційний механізм з циліндричними котками

Механізми з гнучкими ланками. Під гнучкими ланками слід розуміти звичайно паси, канати, нитки, ланцюги, які обхвачують дві чи більше ланок і установлюють певний зв'язок між переміщеннями цих ланок.

14

На рис. 1.12 наведений найпростіший механізм з гнучкою ланкою, який на відміну від зубчастого і фрикційного механізмів, може служити для передачі обертання від ланки 1 до ланки 2 за значних відстаней між осями їх обертання.

Рисунок 1.12 – Механізм з гнучкою ланкою

В залежності від типу гнучкої ланки цей механізм називається пасовим,

канатним, або ланцюговим. § 1.5. Структурні формули просторових і плоских механізмів

Структурна формула механізму визначає ступінь його рухомості W в

залежності від кількості n рухомих ланок і числа кінематичних пар різних класів. Позначимо кількість пар 1, 2 … 5 класів, які входять в механізм, відповідно через р1, р2, р3 … р5. Число ступенів свободи n рухомих ланок, якщо на них не було б накладено ніяких в’язей, дорівнювало б 6n. Але кожна пара 5-го класу віднімає 5 ступенів свободи, кожна пара 4-го класу – 4 ступені свободи і т.д. Через це ступінь рухомості просторового механізму виразиться так:

12345 23456 pppppncW −−−−−= (1.1)

Якщо механізм і кінематичні пари, які до нього входять, є плоским, то

можна примінити площинну класифікацію пар, беручи до уваги при цьому, що вільне тіло у плоскому русі має три ступені свободи. Тоді кількість умов в’язі, а отже і клас пари будуть:

HS −= 3 (1.2)

де H – число ступенів свободи у відносному русі ланок; S – клас пари при площинній класифікації.

Вочевидь, що обертальна і поступальна пари за площинною класифікацією будуть відноситись не до 5-го, а до 2-го класу.

Вища пара за площинною класифікацією відноситься не до 4-го, а до 1-го класу. Тоді ступінь рухомості плоского механізму буде мати вигляд:

4523 ppnW −−= (1.3)

15

Вираз (1.3) називається формулою Чєбишева, яка дає змогу визначити ступінь рухомості плоского механізму, якщо відома кількість рухомих ланок і кінематичних пар 2-го (р5) і 1-го (р4) класів за площинної класифікації.

В плоскому механізмі з нижчими парами (рис. 1.13) можна виділити: 1) вхідні ланки, кожна із яких з’єднується за допомогою обертальної (а), або

поступальної (б) кінематичної пари до стійки і має одну ступінь рухомості (W = 1).

Рисунок 1.13 – Вхідні ланки плоских механізмів

2) кінематичні ланцюги, або структурні групи ланок, які мають число

ступенів рухомості (W = 0). Кількість ланок і кінематичних пар в структурній групі можна визначити із формули (1.3)

023 5 =−= pnW (1.4)

звідки

532 pn = і np

23

5 = (1.5)

Із формули (1.5) виходить, що кількість ланок в групі повинна бути чіт,

а кількість кінематичних пар кратному трійці. Більшість плоских механізмів з нижчими парами складають із двохповідкових груп (рис. 1.14), а деякі мають трьохповідкові групи (рис. 1.15).

Рисунок 1.14 – Двохповідкова група ланок

Рисунок 1.15 – Трьохповідкова група ланок

16

Замінюючи в двохповідковій групі (рис. 1.14) обертальні пари на

поступальні, одержують ще чотири різних модифікацій цієї групи, одна із яких наведена на рис. 1.16 (з однією поступальною парою).

Рисунок 1.16 – Модифікації двохповідкової групи ланок з однією поступальною

парою

Численні модифікації трьохповідкових груп ланок засновані на різних сполученнях обертальних і поступальних пар. Одна з них показана на рис. 1.17.

Рисунок 1.17 – Модифікація трьохповідкової ланки з двома поступальними

кінематичними парами

§ 1.6. Структурний синтез механізмів

Структурним синтезом механізмів називається проектування структурної схеми механізму, на якій зазначають стійку, рухомі ланки, види кінематичних пар і їх взаємне розташування. Структурна схема може бути представлена графічно з застосуванням умовних позначень ланок і кінематичних пар або аналітичним виразом, з орієнтацією на використання ПЕЛМ.

Для структурного синтезу замкнутих багатоланкових механізмів зручно знаходити структурні схеми шляхом приєднання (нашарування) деяких кінематичних ланцюгів (структурних груп ланок Ассура) (рис. 1.14 … 1.17) до вхідних ланок (рис. 1.13, а,б).

17

При цьому структурною групою називається кінематичний ланцюг, приєднання якого до механізму не змінює число ступенів рухомості W, причому група не повинна розпадатися на більш прості кінематичні ланцюги, задовольняючи цій умові.

Перш ніж пояснювати принцип нашарування структурних груп ланок при проектуванні схеми механізму, відмітимо що кожна із вказаних структурних груп, будучи приєднаною до стійки, дає нерухому систему, тобто W = 0 (рис. 1.18).

Рисунок 1.18 – Нерухомі стержньові системи

Тепер пояснимо принцип нашарування на прикладі утворення плоского

шестиланкового шарнірного механізму (рис. 1.19).

Рисунок 1.19 – Принцип утворення схеми механізму

На рис. 1.19 наведено: початкова ланка 1, яка має W = 1. Тоді і

механізм, в цілому, також повинен мати W = 1. Через це ми можемо приєднувати (нашаровувати) тільки такі кінематичні ланцюги, які мають W = 0. Такими кінематичними ланцюгами і являються двохповідкові групи II (2-3) і II (4-5). В результаті одержали шестиланковий механізм, у якого W = 1, тобто структурна схема утворена за формулою: I (1) → II (2-3) → II (4-5). Формула I (1) → II (2-3) → III (4-5-6-7) свідчить про приєднання до двохповідкової групи II (2-3) трьохповідкової групи III (4-5-6-7) (рис. 1.20).

18

Рисунок 1.20 – Механізм, побудований за схемою

I (1) → II (2-3) → III (4-5-6-7)

§ 1.7. Заміна вищих пар нижчими

При структурному аналізі плоских механізмів з вищими парами, останні замінюють кінематичними ланцюгами з нижчими парами. При цьому кількість в’язей, які накладають замінюючим кінематичним ланцюгом, повинно дорівнювати числу в’язей вищої пари (ступінь рухомості механізму повинна бути незмінною), а також характер відносно миттєвого руху досліджуючих ланок повинен залишатися. Припустимо, що даний механізм має n рухомих ланок, р5 пар 5-го класу і р4 пар 4-го класу. Ступінь рухомості механізму визначається формулою:

4523 ppnW −−= .

Замінимо вищі пари (4-го класу) кінематичними ланцюгами, які мають

тільки нижчі пари (5-го класу); нехай n´ - число ланок замінюючи х ланцюгів, р5´ - число додаткових нижчих пар, в які входять ці ланки. Ступінь рухомості замінюючого механізму:

( ) ( )5523 ppnnW ′+−′+= .

Оскільки ступінь рухомості замінюючого і заміненого механізмів

повинна бути однакова, то

( ) ( ) 4555 2323 ppnppnn −−=′+−′+ , звідки

( )45 321 pnp +′=′ .

Нехай р4 = 1, тоді

( )1321

5 +′=′ np .

19

Саме просте рішення цього рівняння одержимо, прийнявши n´= 1, що

дає р5´= 2, тобто кожну вищу пару можна замінити однією ланкою, яка входить у дві нижчі пари.

Рисунок 1.21 – Кулачковий механізм з обертальним штовхачем і замінюючий чотирьохланковий механізм тільки з нижчими парами

Для заданого положення ланок (рис. 1.22, а) замінюємо вищу пару В

ланкою 3, яка входить в обертальну пару О з ланкою 1, а з ланкою 2 входить в поступальну пару через те, що ланка 2 пряма лінія, радіус кривизни якої заходить в безкінечність. В результаті одержуємо замініючий чотирьохланковий механізм (рис. 1.21, б).

Рисунок 1.22 – Кулачковий механізм з обертальним штовхачем 3 з роликом 2 і замінюючий чотирьохланковий механізм з нижчими парами

20

Для заданого положення ланок замінюємо вищу пару Д ланкою 2', яка входить в обертальні пари О і В, центри яких співпадають з центром кривизни ланки 1 і центром кола 2.

В механізмах з простими незамкнутими кінематичними ланцюгами ступінь рухомості визначається за формулою (1.1).

Приклад 1. Визначити ступінь рухомості захвата, тобто пристрою,

який дозволяє хватати предмет, що рухається.

Розв’язання: n = 3; p5 = 3; p4 = p3 = p2 = p1 = 0; .3353656 5 =⋅−⋅=−= pnW

Приклад 2. Визначити W для механізму маніпулятора.

Розв’язання: n = 3; p4 = 3; p5 = p3 = p2 = p1 = 0 .6343646 4 =⋅−⋅=−= pnW

21

Другий розділ

Кінематичний аналіз плоских механізмів

§ 2.1. Задачі і методи кінематичного аналізу механізмів

1. Визначення положень ланок механізмів і траєкторій руху його окремих точок.

2. Визначення лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок механізму.

3. Визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок механізмів.

4. Визначення передаточних відношень механізму. Результати досліджень кінематики використовують для оцінки

відповідності кінематичних властивостей механізмів заданим умовам, а також для наступних динамічних розрахунків.

Визначення положень ланок механізму та траєкторій руху їх характерних точок дає можливість проаналізувати правильність дії механізму, аналізувати відповідність траєкторій робочих органів машини технологічним процесам, для виконання яких вони призначені, а також визначити простір, необхідний для розміщення механізмів.

Знання швидкостей руху ланок і їх точок необхідно для визначення кінетичної енергії окремих ланок і механізму машини в цілому при розв’язанні задач динаміки машин.

За векторами прискорень визначають числові значення і напрямок сил інерції, а отже, і значення дійсних навантажень, прикладених до деталей механізмів, за якими можна перевірити міцність деталей машин, які експлуатуються, або розрахувати розміри машин, які проектуються, з забезпеченням доцільної міцності. За відомими силами і переміщенням ланок визначається ККД машини і потужність, необхідна для джерела енергії.

Для виконання кінематичного дослідження механізму повинні бути задані його схема і розміри ланок, а також закон руху вхідної ланки.

При проектуванні нових механізмів (синтезі) за заданими кінематичними параметрами вибирають схеми і визначають основні розміри ланок (метричні параметри) механізму.

Кінематичний аналіз може бути виконаним аналітичними, графічними, експериментальними та комбінованими методами.

Найбільше розповсюдження в інженерній практиці має використання графо-аналітичного методу.

Аналітичні методи дослідження кінематики найбільш точні та універсальні. Суть їх полягає в установленні функцій зміни параметрів руху (переміщень, швидкостей і прискорень) ланок і їх точок в залежності від заданого закону руху, вхідної ланки.

Для розв’язання знайдених рівнянь з метою визначення кількісних характеристик руху ланок, звичайно використовують ЕЛМ, а оснащення ЕЛМ

22

засобами наглядного відображення результатів обчислення в значній мірі усувають недоліки аналітичних методів через відсутність наглядності.

Графічні методи застосовують для визначення траєкторій точок ланок і положень ланок механізмів.

Експериментальні методи використовують для визначення дійсних положень, швидкостей і прискорень ланок даного механізму і порівняння їх з розрахунковими. Чутливі елементи – датчики перетворюють параметри руху ланок в електричні сигнали, які реєструються відповідною апаратурою.

Графо-аналітичні методи поступаються в точності аналітичним методам, дають можливість наглядно представити картину зміни основних параметрів руху ланок у вигляді планів і діаграм.

§ 2.2. Графо-аналітичні методи кінематичного аналізу плоских механізмів

Графо-аналітичні методи широко застосовують в інженерній практиці при орієнтовних розрахунках кінематики плоских механізмів. Вони характеризуються простотою і надійністю; за ретельного виконання графічних побудов середня похибка не перевищує 7..8 %.

§ 2.2.1. Визначення положень ланок механізму та траєкторій руху його окремих точок

Визначення положень ланок і траєкторій руху точок ведеться на кінематичній схемі механізму, яка відображає тільки ті розміри, які визначають відносні положення кінематичних пар.

Кінематична схема, яка накреслена в масштабі, на якій зафіксовано певне положення вхідної ланки і в зв’язку з ним положення усіх інших ланок, називається планом положення механізму.

При кресленні кінематичної схеми механізму необхідно вибрати масштабний коефіцієнт довжин ланок, який позначається літерою μl; при цьому

ABlAB

l =м ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ммм (2.1)

Масштабним коефіцієнтом фізичної величини називається

відношення чисельного значення фізичної величини у властивій їй одиниці виміру до довжини відрізка (в мм), який відображає цю величину.

Масштабний коефіцієнт довжин рекомендується вибирати кратним 2, 4, 5, наприклад, μl = 0,001; 0,002; 0,0025; 0,005 і т.д. Вибираючи масштабний коефіцієнт довжин ланок μl необхідно керуватися досягненням потрібної точності дослідження і відведеним полем листа для зображення механізму.

23

При кресленні плану положень механізму необхідно в першу чергу нанести положення нерухомих центрів обертальних пар і нерухомих направляючих для поступальних пар. Потім для вибраного положення вхідної ланки послідовно визначаються положення кінематичних пар і ланок, приєднаних до вхідної ланки. При цьому широко використовується метод засічок для визначення положень рухомих кінематичних пар.

Для освоєння сказаного розглянемо приклад побудови плану положень кривошипно-повзункового механізму, структурна схема якого наведена на рис. (тобто схема, яка накреслена без масштабу). Відомо lОА= 0,2 м; lАВ= 0,6 м і ω1 = 10 рад/с. необхідно побудувати графік переміщень повзуна

1) Виходячи із того, що на папері відведена площа 60×120 мм, і те, що 25≥ОА мм, приймаємо масштабний коефіцієнт довжин ланок lм ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ммм за

відношенням

ммм0080

2520м ,,

ОАlОA

l === ,

де OAl - довжина кривошипу, м; ОА - довжина кривошипу на плані положень.

Рисунок 2.1 – План положень кривошипно-повзункового механізму

Можна рекомендувати інший шлях вибору ABlAB

l =м , приймаючи

м150...250м=АВ . 2) Довжина шатуна на кресленні:

24

( ) 75008060

м===

,,lАВ

l

АВ мм.

3) Вибираємо на відведеному полі аркуша паперу положення нерухомого центру обертання кривошипу О і напрямній «х-х» для повзуна 3. 4) Будуємо траєкторію руху центра шарніра обертальної кінематичної пари А, окреслив із центру О обертання кривошипа коло радіуса ОА. 5) Приймаючи за початок відліку положень механізму і кривошипу одне із крайніх положень вихідної ланки, яке відповідає початку робочого ходу, зробимо циркулем засічку із центру О радіуса OAABRn −= . Одержимо крайнє положення шарніра В вихідної ланки В0. (Крайні положення вихідної ланки виникають, коли повздовжні осі кривошипа і шатуна співпадають). Друге крайнє положення шарніра В веденої ланки відповідає кінцю робочого ходу і визначається точкою В4 на лінії «х-х», яка визначається засічкою циркулем радіуса OAABRк += із центра О. 6) Виконуємо розмітку положень вхідної ланки (кривошипу), починаючи від точки А0 за напрямком обертання, розбивши траєкторію шарніра А на декілька рівних частин, наприклад, на 8. 7) Шляхом засічок циркулем радіуса ABR = на лінії «х-х» знаходимо відповідні положення шарніра В вихідної ланки. Маючи відповідні положенню кривошипа положення шарніра В від початкового крайнього положення, можна побудувати графік його переміщень за цикл (за 1 оберт кривошипу). Для цього, вибравши прямокутну систему координат, вздовж вісі абсцис відкладемо 8 рівних відрізків: 0-1; 1-2 і т.д. Позначимо відрізок 0-8 через ht (зображення терміну одного обороту кривошипа).

Термін одного обороту кривошипа:

628010р2р2 ,

щТ === с.

Отже, масштабний коефіцієнт часу:

ммc0050

1206280м ,,

hT

tt === .

Далі вибираємо зручну величину масштабного коефіцієнта переміщень

sм повзуна:

ss h

H=м ,

де ( ) м40008050м40 ,,BBH l =⋅=⋅= .

25

Прийнявши hs = 80 мм, маємо ммм0050

8040м ,,

s ==

Рисунок 2.2 – Графік переміщення повзуна

При цьому переміщення точки В, в метрах, відліковується від В0, наприклад

( ) м04000805м1071

,,BBSS lBB =⋅=== .

З урахуванням sм на діаграмі ( )tfSB =

( ) мм80050040

м11 1 ===′−

,,S

S

B і т.д. (рис. 2.2).

Примітка: Циклом руху вхідної ланки механізму називається відрізок

часу, після закінчення якого, положення, швидкість і прискорення цієї ланки приймає початкові значення.

§ 2.2.2. Визначення лінійних швидкостей точок і кутових

швидкостей ланок плоских механізмів методом планів швидкостей

Ланки простих механізмів можуть провадити поступальний, обертальний і складний плоский рух.

Поступальний рух – це рух, при якому будь-яка пряма лінія, будучи проведеною в рухомому твердому тілі, залишається паралельною собі самої.

26

Такий рух в механізмі робить повзун (рис. 2.3), який рухається в нерухомих напрямних. Оскільки при цьому русі швидкості всіх точок однакові, а вектори їх паралельні і направлені в одну сторону, то достатньо вибрати будь-яку точку на повзуні і визначити її швидкість, це і буде швидкість повзуна, лінія дії вектора швидкості повзуна паралельна напрямним, по яким повзун переміщається.

Рисунок 2.3 – До питання визначення поступального руху ланки

Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі характеризується тим, що всі його точки описують концентричні кола або дуги.

В механізмах точки кривошипу і обертальних куліс описують кола, а точки коромисел і гойдаючих куліс – дуги.

Рисунок 2.4 – Кулісний механізм

Якщо l > r – обертальний рух кривошипу 1 перетворюється в

поворотньо-обертальний рух куліси 3 (рис. 2.4, а), при l < r (рис. 2.4, б) – механізм з обертаючою кулісою зі змінною кутовою швидкістю.

Між величиною кутової швидкості ω обертального руху і лінійною (коловою) швидкістю υ будь-якої точки ланки існує залежність:

rщх ⋅=

де r – радіус обертання, який дорівнює відстані від точки, швидкість якої визначається, до вісі обертання.

Вектор колової швидкості хr

завжди перпендикулярний до радіусу обертання і направлений в сторону обертання.

27

Складний плоский рух. Під складним плоским розуміється такий рух, за якого будь-яка пряма, будучи проведеною в рухомому тілі, не залишається собі паралельною, а всі точки тіла при цьому описують різні за видом траєкторії, які розміщені в одній чи деяких, але паралельних, площинах.

Складний плоский рух твердого тіла визначається рухом відрізка прямої, яка з’єднує дві довільні точки цього тіла і яке рухається в одній площині.

Теорема 1.

Рисунок 2.5 – До питання розкладення складного руху тіла на прості рухи

Миттєвий абсолютний плоский рух вільного твердого тіла в загальному

випадку (рис. 2.5) складається з двох рухів: поступального руху разом з довільною точкою А цього тіла, названою полюсом, і обертального руху навколо вісі, яка проходить через цю точку А. (Саме так можна розглядати переміщення тіла на плоскості від положення А0В0 через проміжне положення АВ' в положення АВ).

Якщо в механізмі, нерухому систему координат зв’язати зі стійкою, а рухому – з полюсом ланки, то поступальний рух буде переносним рухом, а обертальний – відносним рухом. Рух же ланки відносно нерухомої системи координат називається абсолютним рухом.

Розглянутий метод розкладання складного плоского руху в реальних механізмах застосовується до шатунів (рис. 2.6).

Рисунок 2.6 – Розкладання складного руху шатуна на два прості рухи

28

Наприклад, точки шатуна кривошипно-повзункового механізму

роблять складний рух по відношенню до стійки О. Але коли розглянути рух точок шатуна по відношенню до системи відліку, яка рухається поступально з пальцем кривошипа А, то це буде просте обертання їх відносно пальця, в свою чергу, рух системи координат, скріпленої з пальцем також просте – це поступальний коловий рух.

Так складний рух шатуна можна розглядати як складений з двох простих рухів: обертального навколо пальця кривошипу і поступального кругового (колового) руху системи координат, зв’язаної з пальцем.

Користуючись поняттями абсолютного, переносного і відносного руху, розглянемо.

Теорема 2. Абсолютна швидкість ахr

будь-якої точки ланки, яка робить

складний плоский рух, дорівнює геометричній сумі переносної ехr

і відносної

rхr

швидкостей:

reа ххх rrr+= .

Стосовно точки В ланки 2, це векторне рівняння можна записати у наступному вигляді

ВААВ ххх rrr+= ,

де Вх

r- швидкість точки В в абсолютному русі ланки; Ах

r - швидкість точки В в

переносному русі ланки, яка дорівнює абсолютній швидкості точки А, оскільки переносний рух ланки АВ поступальний рух; ВАх

r - швидкість точки В у

відносному (обертальному) русі ланки відносно вісі, яка проходить через точку А (полюс).

Крім шатуна складний плоский рух в механізмах провадять також кулісні камені, тобто повзуни, які переміщуються в рухомих напрямних (кулісах) (рис. 2.7).

Рисунок 2.7 - Розкладання складного руху каменя на прості рухи

29

В цьому випадку складний плоский рух каменя 2 розкладається на переносне обертальне разом з кулісою Вх і відносне – поступальне по відношенню до куліси:

3232 СССС ххх rrr+= ,

де 2Схr - швидкість точки С каменя в абсолютному русі; 3С

хr - швидкість точки С каменя в переносному русі, що означає – абсолютна швидкість тієї точки куліси 3, яка в цю мить співпадає з точкою С каменю 2; 32ССх

r- швидкість точки С

каменя в поступальному русі по кулісі, або швидкість відносного руху точки С каменя 2 відносно точки С куліси 3.

Визначення лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок методом планів швидкостей застосовується для плоских механізмів, зокрема, для стержньових.

Планом швидкостей називається векторне зображення швидкостей характерних точок ланок механізму для заданого його положення.

§ 2.2.3. Приклади побудови планів швидкості плоских механізмів.

Приклад 1. Відомо: lOA; lAB; lBC; lAC; ω1 = const. Необхідно визначити швидкість характерних точок ланок і кутову ω2 швидкість ланки 2 (рис.2.8, а)

Рисунок 2.8 - План кривошипно-повзункового механізму в масштабі μl і план швидкостей Розв’язання. Виконується побудовою плану швидкостей (рис. 2.8, б). 1) Побудову плану швидкостей починаємо з визначення швидкості точки А. Кривошип А обертається навколо нерухомої вісі, яка проходить через точку О, через це швидкість точки А чисельно дорівнює:

30

( ) lOAА ОАщlщх м11 == , м/с.

Направлена швидкість точки А перпендикулярно до ОА в сторону обертання кривошипу. Вибираємо положення полюса плану швидкостей – точку Рv. 2) Вибравши відрізок ( )аРv (мм), який зображує швидкість точки А, вирахуємо масштабний коефіцієнт плану швидкостей vм :

( )( )( )aPOAщ

aPV

v

l

v

Av

мм 1== , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ммм/с (2.2)

Довжину відрізка ( )aPv вибираємо довільно (в межах 50…100 мм), але таку,

щоб vм одержати у вигляді числа, зручного для рахування (кратне 2, 4, 5).

3) Із полюсу швидкостей Pv проводимо перпендикулярно ( )ОА в сторону обертання відрізок довжиною ( )aPv . 4) Визначаємо швидкість точки В. Для визначення абсолютної швидкості точки В у відповідності з теоремою 1 розглянемо рух ланки 2 (шатуна) як суму поступального переносного руху разом з полюсом (за полюс приймаємо точку, параметри руху якої відомі) – точкою А і відносного обертального навколо вісі, яка проходить через полюс А. Векторне рівняння, яке визначає абсолютну швидкість точки В, запишеться на підставі теореми 2 і має вигляд:

ВААВ ххх rrr+= . (2.3)

У цьому рівнянні вектори, які відомі за модулем і напрямком, підкреслені двічі, а вектори, для яких відома тільки лінія дії, підкреслені один раз. Для графічного розв’язання цього рівняння із точки а плану швидкостей, яка зображує кінець вектора Ах

r, проводимо лінію дії вектора швидкості точки В в

обертальному русі ланки 2 навколо полюсу А, тобто АВхВА ⊥ , а через полюс

Рv плану – лінію дії Вхr

паралельно напрямній «х-х» повзуна 3. Річ в тому, що точка В належить і ланці 3, лінія дії швидкості якої відома і паралельна (||) напрямній «х-х». Точка b перетину цих ліній дії визначає відрізок ( )bРv ,

зображуючий вектор Вхr

; згідно з векторним рівнянням напрям цього вектора від точки а до точки b.

Векторний трикутник Рvаb – графічне розв’язання початкового рівняння (2.3); модулі знайдених векторів швидкостей:

( ) vvВ bРх м= ; ( ) vBA abх м= .

31

5) Визначаємо абсолютну швидкість точки С ланки 2. Для точки С ланки 2 швидкість можна визначити за умови представлення складного плоского руху ланки 2 з однієї сторони, як поступального зі швидкістю Ах

rі обертального навколо точки А, а з другої – як поступального зі

швидкістю Вхr

та обертального навколо точки В:

ВААВ ххх rrr+= ,

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

СВВС

СААС

ххх

хххrrr

rrr

.

Розв’язуючи цю систему графічно, визначаємо швидкість точки С. При цьому ( ) vvс сРх м= .

Із побудови виходить, що трикутник Δabc на плані швидкостей подібний ΔАВС на плані положення механізму і повернутий на 900 за напрямком ω2. Правильність побудови визначається однаковою послідовністю літер при однаковому обході контуру ланки і контуру відносних швидкостей на плані швидкостей. 6) Визначаємо кутову швидкість ланки 2 в його русі відносно точки А:

АВ

ВА

lхщ =2 .

Для визначення напрямку кутової швидкості ω2 вектор аb переносимо подумки з плану швидкостей на план механізму в точку В і бачимо, що ланка 2 обертається відносно точки А проти годинникової стрілки. Приклад 2. Відомо: АО1

l ; ВО2l ; ω1 = const. Визначити абсолютні швидкості точок

ланок і кутову швидкість ланки 3 (рис. 2.9).

Рисунок 2.9 – План положення кулісного механізму з обертальною кулісою і план швидкостей

32

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки В1 куліси 1, яка в цю мить співпадає з точкою В каменя 2:

( ) lВOВ ВОщlщх м111 11== , м/с.

2) вибравши відрізок ( )1bPv (мм), який відображає вектор 1Вхr , вирахуємо

масштабний коефіцієнт швидкостей:

( )( )( )1

11

1

мм 1

bPBOщ

bPV

v

l

v

Вv == , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ммм/с

у вигляді числа з кратністю 1, 2, 5. 3) Із полюса плану швидкостей Рv, перпендикулярно (О1А) в сторону обертання куліси відкладаємо відрізок довжиною ( )1bPv . 4) Для визначення абсолютної швидкості точки В2 каменю будемо мати на увазі, що абсолютний рух повзуна 2 розглядається як сума переносного руху разом з рухомою напрямною 1 (кулісою) і відносного руху вздовж куліси. Тоді для абсолютної швидкості точки В2 каменю запишемо наступне рівняння (за теоремою 2):

12132 ВВВВВ хххх rrrr+== , (2.4)

де 32 ВВ х,х rr

- абсолютна швидкість точки В2 каменю 2 і ланки 3 (В3); 1Вхr -

швидкість точки В куліси, яка розглядається як переносна по відношенню до каменю 2; 12ВВх

r- поступальна швидкість каменю 2 (точки В2) відносно куліси 1

(точка В1). Модулі вектора швидкості:

( ) vvВВ bРхх м232== ; ( ) vВB bbх м2112

= . Кутова швидкість ланки 3 (кривошипу):

ВО

В

lх

щ2

23 = .

Приклад 3. Відомо: АО1

l ; ВО2l ; ω1 = const. Визначити швидкості характерних

точок ланок і кутову швидкість ланки 3 (рис. 2.10).

33

Рисунок 2.10 – План положення кулісного механізму з коливальною кулісою і план швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки А, відносячи її до ланки 1 (кривошипу):

( ) l111 м11

АОщlщх АOА == , м/с.

2) Із полюса плану швидкостей Рv відкладаємо відрізок ( )1аPv , перпендикулярно (О1А) в сторону обертання (рис. 2.6, б) і визначаємо масштабний коефіцієнт швидкостей:

( )( )( )1

11

1

мм 1

аPАOщ

аPх

v

l

v

Аv == , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ммм/с

3) З другої сторони рух точки А можна розглядати як такий, що складається з двох рухів: переносного разом з ланкою 3 і відносного по відношенню до ланки 3. Тоді маємо:

32312 ААААА хххх rrrr+== ,

але 2323 ОАОА ххх rrr

+= ;

отже 3223212 ААОАОАА ххххх rrrrr++== (2.5)

34

Беручи до уваги, що в даному випадку 02=Оυ ; АОхх АОА 2323

⊥= і ВОх АА 232,

розв’язуємо графічно рівняння (2.5). Для цього через кінець а1 проводимо пряму лінію паралельно (О2В), а через полюс Рv – пряму лінію перпендикулярно до О2В. В перетині а3 цих прямих ліній одержуємо кінець вектора

2333 OAAv ххaР rr== і вектора

32АА13 хааr

= , тобто ( ) vvОАА аРхх м3233== ;

( ) vАА аах м1332= , звідси знаходимо

АО

А

lх

щщ2

332 == .

Приклад 4. Відомо: ОАl ; ω1. Визначити швидкості характерних точок ланок синусного механізму (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 – План положення синусного механізму і план швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо швидкість точки А1 кривошипу:

( ) lOААА ОАщlщхх м1121=== , м/с.

2) Абсолютна швидкість каменя:

3232 AAАА ххх rrr+=

Таким чином, із точки Pv відкладаємо відрізок ( )1аPv ,

перпендикулярно ОА, який відображає швидкість точки А1 кривошипу і вираховуємо масштабний коефіцієнт швидкостей:

( )( )( )1

1

1

мм 1

аPOАщ

аPх

v

l

v

Аv == , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ммм/с

35

Далі розглядаючи рух каменю 2, як складний, можемо представити його як переносний разом з ланкою 3 і відносний рух каменя 2 відносно ланки 3. Тоді із полюсу Рv проводимо пряму лінію, паралельно DB , а із кінця вектора

1Ах (точка а1) проводимо пряму лінію, паралельну CD. В перетині цих прямих одержуємо точку а3. Переносна швидкість каменю:

( ) vvА аРх м33= .

Швидкість каменю у відносному русі

( ) vАА аах м3132= .

Приклад 5. Відомо: ОАl ; ОВl ; ω1 = const. Визначити швидкості характерних точок механізму та кутову швидкість ланки 2 (рис. 2.12).

Рисунок 2.12 – Кулісний механізм з коливальною кулісою та каменем і план

швидкостей

Розв’язання. 1) Визначаємо абсолютну швидкість точки А1 кривошипу:

( ) lOАА ОАщlщх м111== , м/с.

2) Приймаємо Рvа1 = 60 мм, вираховуємо масштабний коефіцієнт плану швидкостей

36

( )1

1

1

мм 1

aPOАщ

aРх

v

l

v

Аv == , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ммм/с

3) Складаємо векторні рівняння для визначення швидкостей:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

+=

3232

22

ВВВВ

АВАВ

ххх

ххх

rrr

rrr

При цьому 0

3=Вх . Тоді

АВАВВ ххх

232

rrr+= (2.6)

4) Будуємо план швидкостей за векторним рівнянням (рис. 2.12, б) і знаходимо ω2:

2

22

АВ

АВ

lх

щ = .

§ 2.2.4. Властивості плану швидкостей

1. Вектори, які виходять із полюсу Рv плану швидкостей, зображають собою в масштабі vм абсолютні швидкості відповідних точок механізму; вектори, які не проходять через полюс, є відносні швидкості точок.

2. Всі точки, швидкості яких дорівнюють нулю, зображаються в полюсі Рv.

3. Незмінній фігурі на плані механізму – ланці, відповідає фігура на плані швидкостей подібна і схоже розташована.

4. По плану швидкостей можна визначити: а) швидкість будь-якої точки механізму, з’єднавши полюс із зображенням цієї точки на плані швидкостей; б) кутову швидкість будь-якої ланки, скориставшись виразом лінійної швидкості точки ланки в обертальному русі; в) напрямок дотичної і нормалі до траєкторії будь-якої точки механізму, враховуючи, що вектор абсолютної швидкості направлений по дотичній до траєкторії руху точки.

37

§ 2.3. Визначення лінійних прискорень точок і кутових прискорень ланок плоских механізмів методом планів

Поступальний рух – лінійні прискорення всіх точок однакові (повзун), а їх вектори паралельні й направлені в одну сторону. Лінія дії вектора прискорення повзуна паралельна напрямним, в яких повзун рухається. Кутове прискорення ланки, яка рухається поступально, дорівнює нулю.

Обертальний рух зазнають кривошип, коромисло та куліса. Для

кривошипу (рис. 2.13) абсолютне прискорення точки В дорівнює геометричній сумі нормального n

Bar і дотичного фBar прискорень:

фB

nBB aaa rrr+= .

Модулі цих векторів визначають за формулами:

CBфB еla = ;

CB

BCCB

nB l

хlщa2

2 == ; ( ) ( ) 2422 ещlaaa CBфB

nBB +=+=

Рисунок 2.13 – До визначення абсолютного прискорення точок ланки у

разі обертального руху Складний плоский рух Теорема 3. Абсолютні прискорення точки аа в складному русі дорівнює

геометричній сумі переносного еаr , відносного rа

r і коріолісового kаr

прискорень:

( )rek

krea

хщa

;aaaa

rrr

rrrr

×=

++=

2

38

де eщ - кутова швидкість переносного руху; rх - відносна лінійна швидкість. У разі, коли відносний рух обертальний, прискорення ra , в свою чергу,

складається із двох прискорень: нормального rщan 2= , направленого вздовж радіуса до центру обертання, і дотичного фa , направленого перпендикулярно до радіусу. Таким чином

( ) k

фnea aaaaa rrrrr

+++=

У разі, коли переносний рух поступальний, ак = 0. § 2.3.1. Приклади побудови планів прискорень плоских механізмів Приклад 1. Знайти прискорення характерних точок і кутове

прискорення другої ланки механізму (рис. 2.14).

Рисунок 2.14 – План положення кривошипно-повзункового механізму і план прискорень

Вихідними даними для побудови плану прискорень механізму є

побудований план швидкостей. Розв’язання: 1) Побудову плану прискорень починаємо з визначення

прискорення точки А кривошипу. Кривошип виконує обертальний рух, через це

39

фA

nAА aаa rrr+=

Модулі векторів прискорень точки А:

OAфAOA

nA lе; alщa 1

21 ==

Оскільки кривошип обертається рівномірно 01 =е і 0=ф

Aa . Отже, OA

nAA lщaa 2

1== м/с2. Вектор нормального прискорення направлений по радіусу до вісі обертання, тобто від А до О. 2) Вибравши відрізок (Раа), мм, який зображає прискорення точки А (в межах 50…100 мм), підрахуємо масштабний коефіцієнт прискорень:

( ) ( )( )( )aPOAщ

aPlщ

aРа

a

l

a

OA

a

Аа

мм21

21 === , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ммм/с2

.

При цьому ам повинно бути числом, зручним для рахування (бути кратним 2, 4, 5). 3) Визначаємо прискорення точки В, яка належить до ланки 2. Ланка 2 виконує складний плоский рух. Через це для визначення прискорення точки В розглянемо абсолютний рух ланки 2 як суму переносного поступального разом з полюсом і відносного обертального навколо вісі, яка проходить через полюс. Отже, спираючись на теорему 3, робимо висновок, що абсолютне прискорення будь-якої точки цієї ланки може бути представлено як геометрична сума прискорень полюсу та прискоренню цієї точки в обертальному русі навколо вісі, яка проходить через полюс. Прийнявши за полюс точку А, прискорення якої відоме, маємо

ВAAВ aаa rrr+=

У цьому рівнянні коріолісове прискорення відсутнє, оскільки

переносний рух поступальний, і, отже, кутова швидкість ещ переносного руху ланки дорівнює нулю. Оскільки вектор прискорення точки В ВAar у відносному обертальному русі ланки може бути розкладеним на нормальне і тангенціальне прискорення, то остаточно одержимо:

фВА

nВAAВ аaаa rrrr++= . (2.7)

Вектор нормального прискорення має модуль:

40

AB

BAAB

nВА l

хlщa2

22 ==

r [ ]2м/с

і направлений по прямій АВ від точки В до центру відносного обертання – точці А. Вектор тангенціального прискорення ф

ВAаr перпендикулярний до прямої АВ. Лінія дії вектору Ва

r, відома – паралельна напрямній «х-х» повзуну 3. У

рівнянні (2.7) двома рисками підкреслені прискорення, відомі за модулем і напрямком, а однією рискою – коли відома тільки лінія дії.

Графічний метод розв’язання векторного рівняння (2.7) дає можливість визначити шуканий вектор абсолютного прискорення точки В.

Звернемося до будованого плану прискорень і векторного рівняння. Відрізок (Раа) представляє собою перший доданок векторного рівняння –

прискорення Ааr

. Від точки а відкладаємо відрізок ( )a

nBAaanм

= , який зображає

вектор nВAar і направлений паралельно прямій АВ від точки В до точки А. Далі,

через кінець відрізку (аn) проводять лінію дії АВaфВA ⊥r

, а із полюсу Ра проводиться лінія дії вектора Вar паралельно напрямній «х-х» повзуна 3. На перетині ліній дій ф

ВAar і Вar , знаходять шукану точку b; відрізок (Раb) зображає вектор Вar .

Модулі знайдених векторів:

( )

( ) .м

м

aфBA

aaB

nba

;bPa

=

=

4) Визначаємо прискорення точки С ланки 2. Для цього представимо складний рух ланки 2 як суму двох простих: поступального з прискоренням Вar і обертального навколо вісі, яка проходить через точку В, а також поступального з прискоренням Аar і обертального навколо вісі, яка проходить через точку А, тоді

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

фCB

nCBBC

фCA

nCAАС

aaaa

aааa

rrrr

rrrr

або

фCB

nCBBCA

nCAA aaaaaa rrrrrr

++=+= ,

41

де CBnCBCA

nCA lщ; alщa 2

222 == .

Розв’язуючи цю систему графічно, відкладаємо nCAa у вигляді відрізку

( )a

nCAaanм1 = і відповідно ( )

a

nCBabnм2 = , визначаємо точку С. Із побудови

виходить, що Δabc на плані прискорень подібний ΔАВС на плані положення механізму і повернутий відносно його на кут π-α в сторону обертання, якщо ωε

> 0, або проти обертання, якщо ωε < 0; де 2щеarctgб = .

5) Кутове прискорення ланки 2 у його відносному обертальному русі можна визначити, використовуючи тангенціальне прискорення з плану прискорень

( )( )AB

nblaе

l

a

AB

фBA

мм

2 == , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2C1

.

Для визначення напрямку кутового прискорення ε2 ланки 2 переносимо вектор ф

ВAar в точку В на плані механізму і бачимо, що вектор обертає ланку навколо точки А проти руху годинникової стрілки. Отже, ε2 направлено в ту ж сторону.

Зіставляючи напрямки ω2 і ε2, робимо висновок, що ланка 2 рухається відносно точки А прискорено.

Приклад 2. Знайти прискорення характерних точок і ланок механізму,

якщо відомі їх швидкості (рис. 2.15).

Рисунок 2.15 – План положення кулісного механізму і план прискорень

42

Розв’язання: 1) Механізм розпадається на групу 1-го класу, яка утворена ланкою 1 і стійкою О і на групу 2-го класу, утвореною ланками 2 і 3 (діадою).

Для визначення прискорення точки В маємо два векторних рівняння:

фОВ

nOBBB

rBB

кВВВВ

аaaa

aaaа

232323

121212

rrrr

rrrr

++=

++=

. (2.8)

Перше рівняння одержано, відносячи точку В до ланки 2 і розглядаючи рух ланки як такий, що складається із рухів: переносного обертального відносного О1 разом із ланкою 1 і відносного поступального по відношенню до ланки 1.

При цьому вектор переносного прискорення nОВВ аa

111

rr= (оскільки ω1

= const, тобто модуль ( ) lВOВ ВОщlщa м121

21 11

== , а напрям співпадає з 1ВО ;

прискорення Коріоліса- ( )1212 12 ВВ

кВВ хщa rrr

×= , тобто модуль цього вектора

1212 12 ВВкВВ хщa = (оскільки

121 ВВхщ rr⊥ ), а напрям його одержуємо, обертаючи

відносну швидкість 12ВВх

r точки В2 каменю 2 на 900 в сторону переносного

обертання; відносне прискорення rВВa

12

r точки В2 направлено по вісі 1

поступальної пари, а за модулем невідоме. Друге векторне рівняння (2.8, 2) одержане, відносячи точку В до ланки

3, яке в загальному випадку виконує складний рух. Тоді прискорення 2В

ar крайнього шарніру О2 двохповідкової групи повинно бути заданим: у даному випадку 0

2=Вar ; вектор n

OВa23

r направлений по О2В, його модуль

( ) lВOn

OВ ВОщlщa м323

23 323

== ; вектор фOВa

23

r направлений перпендикулярно до

радіусу обертання О2В, а за модулем невідомий. Оскільки 32 ВВ аa rr

= , маємо

фОВ

nOB

rBB

кВВВ аaaaа

232312121

rrrrr+=++ . (2.9)

Від довільного полюсу Ра (рис. 2.15, б) відкладаємо вектор

11 Вa abР r= ,

від кінця останнього – вектор кВВakb

121r

= і через точку К проводимо пряму rВВaк

121вr

(тобто паралельно вісі поступальної пари ( )AO1 ). Потім від того ж

полюсу Ра відкладаємо вектор ( ) nOВa anP

23

r= і через його кінець проводимо пряму

rOВan

23в r

(тобто перпендикулярно до О2В). Перетин прямих 1вк і вn дає точку b2(b3) плану прискорень, з якою співпадають кінці векторів:

43

;aкb rВВ 122

r= ;anb ф

OВ 233r

= 323 ВВa aabР rr

==

тобто ( ) ;kba arВВ м212= ( ) ;nba a

фOВ м323= ( ) a3 м32

bPaa aВВ == .

Кутове прискорення ланки 3:

( )( ) l

a

BO

фOВ

BOnb

la

емм

2

33

2

23 == .

Для встановлення напряму ε3 ланки 3, переносимо вектор ф

OВa23

r з плану

прискорень на план механізму в точку В. Можна бачити, що ланка 3 зазнає уповільненого руху через різні

напрямки ω3 і ε3. Приклад 3. Визначити прискорення характерних точок механізму і

ланок, якщо відомі швидкості (рис. 2.16).

Рисунок 2.16 – План положення кулісного механізму і план прискорень

44

Розв’язання: 1) Механізм розкладається на групу 1-го класу, утворену

ланкою 1 і стійкою О, і групу 2-го класу, утворену ланками 2 і 3. Отже, відносячи точку А до ланки 1, знаходимо її прискорення

1Ааr , яке

направлене по АО1, а його модуль:

( ) lАOА АОщlщa м121

21 11

== ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2см

2) Приймаємо масштабний коефіцієнт прискорень aм . 3) З другої сторони, для визначення прискорення точки А, маємо два векторних рівняння:

фОА

nOАОА

rАА

кАААА

аaaa

aaаа

232323

323232

rrrr

rrrr

++=

++=

. (2.10)

Перше рівняння (2.10, 1) одержали, відносячи точку А до ланки 2 і

розглядаючи її рух складений із рухів: переносного обертального разом із ланкою 3 (

3Аar ) і відносного поступального по відношенню до ланки 3 ( r

ААa32

r).

Друге рівняння (2.10, 2) одержали відносячи точку А до ланки 3, у якого 0

2=Оar .

Отже маємо

rАА

кААА

фОА

nOААА aaaаaaa

32323232312

rrrrrrr++++== . (2.11)

В цьому рівнянні ( ) lАO

nOА АОщlщa м2

23

23 223

== , а його напрям співпадає з

ВО2 ; вектор кААa

32

r одержав обертання на 900 по відношенню до вектора

32ААхr

в

сторону обертання ланки 3, а його модуль 3232 32 АА

кАА хщa = ; вектор ВОa r

ОА 223⊥

r,

а вектор ВОa rАА 232

r, але невідомі за модулем.

Таким чином, із багатокутника прискорень необхідно найти модулі векторів r

ОАa23

r і r

ААa32

r.

Із полюсу Ра (рис. 2.16, б) відкладаємо вектор 11 Аa aаР r

= , потім із того

ж полюсу відкладаємо вектор nOАа anР

23

r= і через точку n проводимо пряму

BOn 2б ⊥ , по якій необхідно буде направити вектор фОАa

23

r. Оскільки модуль

цього вектора, а отже, і кінець а3, зображуючий його, невідомий, то наступне додатне r

ААa32

r, обходимо і до кінця вектора ( )1аPa добудовуємо вектор

кААaка

321r

= . Тепер із початку «к» цього вектора проводимо лінію BOк 2б′ ,

45

тобто rААa

32

r. Точка перетину а3 прямих бn і б′к є кінцем вектора ф

ОАana233

r= і

початком вектора rААaка

323r

= , тобто ( ) ( ) ( ) avAa

rAАa

фОА aP; aka; anаa ммм 333 33223

=== . Кутове прискорення куліси 3:

( )( ) l

a

АO

фOА

АOnа

la

емм

2

33

2

23 == .

Напрям ε3 одержимо, якщо вектор ф

ОАa23

r перенесемо з плану прискорень

в точку А куліси на плані механізму. Можемо зробити висновок, що ланка 3 рухається прискорено, оскільки

співпадають з напрямком ω3 і ε3. Приклад 4. Визначити прискорення характерних точок синусного

механізму для заданого його положення, якщо відомо lОА; ω1 = const і відомі швидкості (рис. 2.17).

Рисунок 2.17 – Плани положення і прискорення синусного механізму

46

Розв’язання: 1) Механізм розкладається на групу 1-го класу, яка

утворена ланкою 1 і стійкою О і на групу 2-го класу, утвореною ланками 2 і 3 (діадою).

Для визначення прискорення точки А маємо два векторних рівняння:

rAAАA

nAАА

aаa

aаа

3232

121

rrr

rrr

+=

==

. (2.12)

Перше рівняння одержано, відносячи точку А до ланки 1; модуль прискорення точки ( ) lOA

nA ОAщlщa м2

1211

== . Друге рівняння одержали, відносячи точку А до ланки 2 і розглядаючи ї

рух як такий, що складається із поступального руху разом з ланкою 3 і відносного поступального руху ланки 2 відносно ланки 3.

Отже, вибравши масштабний коефіцієнт прискорень із довільного полюсу Ра креслимо відрізок n

Ааа aаРаР121

r== паралельно ОА; із того ж

полюсу проводимо пряму ( )баР паралельно лінії DB , а із кінця вектора 1А

аr

(точка а1) проводимо лінію ( )в1а ; точка а3 перетину ліній ( )баР і ( )в1а є кінець вектору

3Ааr і початок вектора

32ААar . Приклад 5. Визначити прискорення характерних точок кулісного

механізму та ланок, якщо відомі швидкості (рис. 2.18).

Рисунок 2.18 – План положення кулісного механізму і план прискорень

47

Розв’язання: 1) Механізм розкладається на групу 1-го класу, яка утворена ланкою 1 і стійкою О і на групу 2-го класу, утвореною ланками 2 і 3.

Отже, відносячи точку А до ланки 1, знаходимо вектор її прискорення Ааr

, який направлений по АО, а його модуль

( ) lOAA ОAщlщa м21

21 == ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2см

2) Приймаємо масштабний коефіцієнт прискорень aм , ммм/с2

.

3) Для визначення прискорення точки В маємо два векторних рівняння:

rВВ

кВВВВ

фАВ

nАВАВ

aaaа

аaаа

323232

222

rrrr

rrrr

++=

++=

. (2.13)

Перше рівняння (2.131) одержано, відносячи точку В до ланки 2 і розглядаючи її рух, складений із рухів: переносного поступального разом з ланкою 2 з прискоренням полюсу (точки А) і відносного обертального руху ланки 2 навколо вісі, яка проходить через полюс (точку А).

Вектор нормального прискорення nАВa

2

r має модуль

( ) lAВn

AВ AВщlщa м22

222

== , а направлений паралельно АВ від В до А. Напрям дії

вектора прискорення фВАar відомий ( )АВ⊥ , але модуль його невідомий.

Друге рівняння (2.132) одержано, відносячи точку В2 до ланки 2, але розглядаючи рух ланки як такий, що складається із рухів: переносного поступального з прискоренням полюсу (точки В3 ланки 3, яка співпала з точкою В2 ланки 2) і відносного поступального руху ланки 2 відносно 3. Оскільки при цьому змінюється напрям вектора r

ВВa32

r відносного руху ланки 2 по

відношенню до ланки 3 через те, що відбувається одночасно обертання разом з ланкою 3, виникає коріолісове прискорення к

ВВa32

r, модуль якого дорівнює:

3232 22 ВВкВВ хщa = , а напрям його визначається обертанням відносно

32ВВυr

на 900 в сторону дії 2щ

r. Напрям вектора прискорення точки В2 при відносному русі

ланки 2, тобто rВВa

32

r, також відомий – паралельно АВ. Отже, графічно необхідно

розв’язати рівняння (2.14):

rBB

кВВ

фАВ

nАBА aaаaа

323222

rrrrr+=++ , (2.14)

48

03=Вar , оскільки точка В3 не переміщується. Із полюсу Ра відкладаємо

відрізок Аа aаР r= ; із точки а проводимо відрізок n

АBaаn2

r= ; з точки n

проводимо лінію АBn ⊥в , тобто лінію дії вектора фАВa

2

r. Через полюс Ра

будуємо вектор коріолісового прискорення точки В куліси 2 ( )кВВa

32

r, а потім із

точки к проводимо лінію АBкб . Перетин ліній вn і бк дає точку В2 і, отже,

рішення рівняння (2.14): ( ) ; nba aфАВ м22= ( ) ; kb a a

rBB м232= ( ) aaB bP a м23

= . Визначаємо кутове прискорення ланки 2 і 3:

( )( ) l

a

АВ

фАВ

АBnb

la

еемм2

322 === ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2c1

Напрямок ε3 = ε2 одержимо, якщо вектор ф

АBa2

r перенесемо з плану

прискорень в точку В куліси на плані механізму. Можна зробити висновок, що ланка 2 у відносному русі зазнає

уповільнення, оскільки за напрямком ω2 і ε2 не співпадають.

§ 2.3.2. Властивості планів прискорень 1. Вектори, які починаються з полюсу Ра плану прискорень,

зображають в масштабі aм абсолютні прискорення відповідних точок ланок механізму; вектори, які не проходять через полюс – це відносні прискорення точок ланок.

2. Усі точки механізму, прискорення яких дорівнює нулю, зображаються в полюсі Ра.

3. Незмінній фігурі на плані механізму – ланці на плані прискорень відповідає фігура подібна і схоже розташована (на плані прискорень повертати в сторону обертання відносно фігури на плані механізму, якщо ωε > 0, або

проти обертання, якщо ωε < 0, на кут π-α, де 2бще

arctg= .

4. За плану прискорень можна визначити: - прискорення будь-якої точки механізму, з’єднавши цю точку на плані

прискорень з полюсом; - кутові прискорення ланок, скориставшись вектором тангенціального

прискорення і враховуючи, що саеф

= ;

49

- положення центру кривизни траєкторії руху будь-якої точки,

скориставшись залежністю 2

2

ща

ахс

n

n == ;

- положення миттєвого центру прискорень ланки, скориставшись властивостями 2 і 3.

§ 2.4. Кінематичний аналіз фрикційних і зубчастих механізмів § 2.4.1. Передаточне відношення простого фрикційного та

зубчастого механізму з нерухомими осями обертання

Рисунок 2.19 – Кінематичні схеми фрикційних передач з

циліндричними шківами

Відношення кутової швидкості ωі ланки і до кутової швидкості ωj ланки j називається передаточним відношенням.

j

iiju

ωω

= ; i

jjiu

ωω

= . (2.15)

Його можна виразити через конструктивні параметри передачі (рис.

2.19, а,б):

1

2

2

112 d

du m==ωω

, (2.16)

де d1 і d2 - діаметри шківів.

50

Ця умова виходить з того, що кола шківів є центроїди у відносному русі ланок (як відомо з теоретичної механіки, центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів обертання ланок у відносному русі). Знак «плюс» відноситься до однакового напрямку обертання ланок (рис. 2.19, а), знак «мінус» - протилежному (рис. 2.19, б). У відповідності з розташуванням центроїд механізм з додатним передаточним відношенням називають механізмом з внутрішнім зачепленням, а з від’ємним – механізмом з зовнішнім зачепленням.

Рисунок 2.20 – Кінематична схема простої зубчастої циліндричної

передачі

Простим зубчастим механізмом є трьохланковий механізм круглих циліндричних коліс, у яких діаметри dw1 і dw2 є діаметрами центроїд у відносному русі ланок 1 і 2, а точка П є миттєвим центром обертання у відносному русі.

Якщо в механізмах фрикційних передач центроїди це гладкі круглі циліндричні колеса, то в механізмах зубчастих передач колеса для передачі руху наділяються зубцями. Для зубчастого механізму, складеного із двох зубчастих коліс і стійки, формула (2.16) залишається придатною, якщо підставити діаметри центроїд (початкових кіл) dw1 і dw2:

1

2

2

112

w

w

ddu m==

ωω

. (2.17)

Передаточне відношення зубчастого механізму можна виразити також

через числа зубців, якщо прийняти до уваги співвідношення 11р zpd ww = і

22р zpd ww = , де wp - крок зубців на початковому колі:

51

1

2

1

2

2

112 z

zddu

w

w mm ===ωω

. (2.18)

§ 2.4.2. Загальне передаточне відношення багатоступеневих

зубчастих передач з нерухомими осями

Рисунок 2.21 – Кінематична схема трьохступеневої зубчастої передачі

Розглянемо багатоступеневий зубчастий ряд, наведений на рис. 2.21.

(Ступінь зубчастого ряду – це сполучення зубчастих коліс, на яких відбувається зміна кутової швидкості). Отже, приведений зубчастий ряд складається з трьох зубчастих передач z1 і z2, z3 і z4, z5 і z6. Виразимо передаточне відношення u16 зубчастого ряду через передаточні відношення зубчастих передач, які до нього входять (стрілками показаний напрям обертання валів).

Маємо:

6

116 ω

ω−=u , (а)

2

112 ω

ω−=u , звідки

52

12

12 u

ωω −= , (б)

4

334 ω

ω−=u .

Оскільки 32 ωω = , можна записати з урахуванням (б) 412

134 ω

ωu

u = ,

звідки

3412

14 uu

ωω = . (в)

6

556 ω

ω−=u . Оскільки 54 ωω = , то з урахуванням виразу (в), маємо

63412

156 ω

ωuu

u −= , звідки з урахуванням виразу (а), маємо

5634126

116 uuuu −=−=

ωω

, (г)

або в загальному випадку (для будь-якого зубчастого ряду) будемо мати

q

nnn uuuu )1(... )1(34121 −= − , (2.19)

де q – число зубчастих передач зовнішнього зачеплення, які входять в зубчастий ряд.

Таким чином, передаточне відношення будь-якого зубчастого ряду дорівнює добутку передаточних відношень усіх передач, які входять в зубчастий ряд.

Виразимо тепер передаточне відношення зубчастого ряду через числа зубців коліс, які входять в зубчастий ряд. Підставивши передаточні відношення

1

212 z

zu −= ; 3

434 z

zu −= ; 5

656 z

zu −=

у вираз (2.19), одержимо

53

3

531

64216 )1(−=

zzzzzzu ,

або в загальному випадку для зубчастого ряду, який складається із n ступенів:

q

ВЧ

ВНn z

zu )1(1 −∏∏

= . (2.20)

Отже, передаточне відношення будь-якого зубчастого ряду дорівнює

дробі, чисельник якої є добуток усіх чисел зубців ведених коліс ( ВНz∏ ), а знаменник – добуток усіх чисел ведучих коліс ( ВЧz∏ ).

§ 2.4.3. Передаточне відношення планетарних зубчастих передач і

кутові швидкості ланок

Рисунок 2.22 – Кінематична схема однорядного зубчастого планетарного механізму

Планетарними називають передачі, які мають зубчасті колеса,

геометричні осі яких переміщуються у просторі. Найбільше розповсюдження має однорядна планетарна зубчаста передача (рис. 2.22), яка складається із центрального колеса а з зовнішніми зубцями, нерухомого центрального (корончатого) колеса в з внутрішніми зубцями та водима H, на якому закріплені механічні осі планетарних коліс, або сателітів д. Сателіти обкочуються по центральним колесам і обертаються навколо своїх осей, тобто відтворюють рух, подібний руху планет. Водило разом з сателітами обертається навколо

54

центральної вісі механізму. Якщо нерухомим колесом є колесо в, то рух передається від колеса а до водила Н, або навпаки. Коли в планетарній передачі всі ланки є рухомими, тобто два колеса а і в та водило Н, то такий механізм називають диференціальним механізмом, або диференціалом. За допомогою диференціала один рух можна розкласти на два, або два рухи скласти в один. Наприклад, рух від колеса в можна передавати одночасно колесу а і водилу Н, або від колеса а і в – водилу Н і т.д.

При визначенні передаточного відношення застосовують метод зупинки водила (метод Вілліса). За цим методом усій планетарній передачі подумки надається додаткове обертання з кутовою швидкістю водила Нω , але в зворотньому напрямку. При цьому водило як би зупиняється, а закріплене колесо звільняється. Одержується так званий обернений механізм, який є звичайною не планетарною передачею з нерухомими геометричними осями коліс. Сателіти при цьому стають проміжними (паразитними) колесами, тобто не впливаючи на передаточне відношення механізму.

Умовимося приписувати кутовим швидкостям (частотам обертання) індекс ланки та індекс нерухомої ланки в оберненому русі, тобто абсолютна кутова швидкість: аω , дω , вω , нω ; відносна кутова швидкість (в оберненому русі): на

на ωωω −= ; нд

нд ωωω −= ; нв

нв ωωω −= ; 0=−= нн

нн ωωω .

Передаточне відношення також будемо супроводжувати індексами у напрямку руху та індексами нерухомої ланки, тобто н

авu - означає передачу руху від а до в за нерухомим Н. Тоді для одержаної передачі з нерухомим водило можна записати

нв

нанв

нан

авuωωωω

ωω

−−

== , (1)

або

нв

нанав nn

nnu−−

= . (1*)

Для наведеного механізму маємо

а

в

д

в

а

днав z

zzz

zzu −=⋅−=

і, отже

а

в

нв

нанав z

zu −=−−

=ωωωω

. (2)

55

Якщо, наприклад, відомо, що 0=вω , то із (1) одержимо

ван

н

а

н

нанав uu −=−=

−−

= 11ωω

ωωω

,

тобто

ван

нав uu −=1 . (3)

Вираження (3) можна узагальнити за таким визначенням:

розташувавши довільно індекси при u в лівій частині та помінявши місцями верхній і другий ніжній індекси, одержимо розташування індексів при u в правій частині.

Наприклад, якщо 0=аω , то

нва

авн uu −=1 .

Вираження (3) може бути представлений і так:

а

внав

ван z

zuu +=−= 11 ; (4)

крім того, маємо, що

ва

а

а

вван

вна zz

z

zzu

u+

=+

==1

11.

Виведемо тепер формули, які установлюють співвідношення між

кутовими швидкостями ланок планетарного механізму. Для цього скористаємося формулами (1) і (3):

ван

нв

нанав uu −=

−−

= 1ωωωω

,

або

ваннн

ванвна uu ωωωωω +−−=− )1( ,

56

звідки

нванв

нава uu ωωω += . (5)

Вираження (5) також можна узагальнити, підмітивши, що перший

індекс при буквах u той же, що і при ω(n) в лівій частині, а другий – той же, що і при ω(n) в правій частині, тобто

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

+=

+=

;

;

;

ванва

внан

навна

нвав

внавн

вана

uu

uu

uu

ωωω

ωωω

ωωω

(6)

або

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=

+=

+=

.

;

;

ванва

внан

навна

нвав

внавн

вана

nunun

nunun

nunun

(6*)

57

Розділ третій

Динамічний аналіз механізмів

§ 3.1. Задачі (силового) динамічного аналізу механізмів В динамічний аналіз механізмів входять дві задачі: - перша задача полягає у визначенні зовнішніх невідомих сил, діючих

на ланки механізмів, а також реакцій в кінематичних парах, які виникають при русі механізмів;

- друга задача полягає у визначенні істинного закону руху механізму під дією прикладених до нього сил, а також у підборі таких співвідношень між силами, масами і розмірами ланок механізму, за яких рух механізму був би близьким до необхідного; це питання відноситься до теорії регулювання ходу машини.

Першу задачу динамічного аналізу механізмів називають силовим аналізом механізмів, а другу – динамікою механізмів.

§ 3.1.1. Сили, діючі на ланки механізмів Сили на ланки механізмів поділяються на задані і реакції в’язей. Реакції в кінематичних парах виникають не тільки через дію зовнішніх

сил, які задаються, але і в результаті руху ланок з прискоренням. Складові реакцій, які виникають від руху ланок з прискореннями, є допоміжними динамічними тисками в кінематичних парах. Їх можна знайти із рівняння рівноваги ланок, якщо до заданих сил і реакцій в’язей добавити сили інерції.

Задані сили, в свою чергу, можна підрозділяти на наступні: 1) рушійні сили Fруш; 2) опір корисних, або виробничих, сил Fк.с; 3) опір шкідливих, або невиробничих, сил Fш.с; 4) сила ваги ланок G. Рушійними називають сили, які виникають у машинах-двигунах.

Рушійні сили від ведучих ланок передаються через механізм на його ведену ланку, а потім, у вигляді моменту – на ведучу ланку виконавчого механізму робочої машини. Будь-яка рушійна сила співпадає за напрямком зі швидкістю точки її прикладення, або складає з нею гострий кут α1. Робота рушійних сил додатна.

58

Рисунок 3.1 – До визначення сил Fруш і Fк.с

Силами виробничого опору називають сили, для подолання яких і

створена машина. Будь-яка сила виробничого опору направлена в сторону, яка протилежна напрямку швидкості точки її прикладення, або складає з цією швидкістю тупий кут α2. Робота сил виробничого (технологічного) опору від’ємна і називається корисною.

Опір шкідливих сил, або сили тертя, виникають як результат взаємного опору дотичних між собою ланок та їх відносному переміщенню. Робота сил тертя від’ємна і називається шкідливою силою.

Сила ваги ланок завжди направлена вниз (до центру ваги землі). Робота цих сил додатна, або від’ємна в залежності від того опускається чи піднімається центр ваги ланки.

До заданих сил відносяться і сили інерції, за якими розуміють кінетичну реакцію тіла на прискорення, надане йому зовні. Сили інерції прикладені не до тіла, яке розглядається, а до прискорюючого тіла, хоча за всіма кінетостатичними розрахунками воно умовно переноситься на ланку, яка розглядається. У цьому і полягає фіктивність сил інерції, яка використовується при розрахунках.

Визначення сил, діючих на ланки, і реакції в кінематичних парах з урахуванням сил інерції є основною задачею кінетостатики механізму. При визначенні реакцій в кінематичних парах частіше всього приймають, що ω1 = const, а силами тертя нехтують.

Кінетостатичний розрахунок базується на принципі Даламбера: якщо до системи, яка рухається під дією заданих сил (наприклад, до ланок механізму), прикласти сили інерції, то для кожної миттєвості систему можна вважати як би зрівноваженою реакціями в’язей.

Силу інерції ланки можна привести до головного вектору сили інерції, прикладеної в центрі має S ланки:

Si amF rr−= (3.1)

де m – маса ланки; Sar - вектор прискорення центра мас, і до пари сил, момент якої називається головним моментом сил інерції:

59

SSi еIМ −= , (3.2)

де SI - момент інерції ланки відносно вісі, яка проходить через центр мас; Sе - кутове прискорення ланки.

Знак мінус вказує на те, що вектор сили інерції, прикладений в центрі ваги ланки, направлений в протилежну сторону вектора прискорення центра ваги Sar , а момент iМ , направлений протилежно напрямку кутового прискорення Sе . Сили інерції, які виникають при русі ланок, залежать від характеру руху цих ланок.

Сили інерції ланок з обертальним рухом. При рівномірному обертальному русі ланок циліндричної форми (рис. 3.2) 0=iF

r і 0=iМ ,

оскільки 0=Sa і 0=Sе .

Рисунок 3.2 – До визначення сил інерції і моменту інерції ланки циліндричної форми при рівномірному обертальному русі

При рівномірному обертанні кривошипу (рис. 3.3) 0≠−= Si amF rr

, оскільки 0≠Sa , 0=iМ , оскільки 0=Sе .

Рисунок 3.3 – До визначення iF і iМ для кривошипу, якщо 0=Sе

При нерівномірному обертанні кривошипів (рис. 3.4), коромисел і куліс

Si amF rr−= ; SSi еIМ −= .

При поступальному русі ланки (рис. 3.5) Si amF rr−= .

60

Рисунок 3.4 – До визначення iF і iМ для кривошипів, коромисел, куліс при рівномірному обертанні

Рисунок 3.5 – Сили інерції для ланки з поступальним рухом

Силу інерції і пару сил інерції для ланки при плоско паралельному русі (шатун) можна замінити однією силою, яка повинна бути зміщена паралельно

силі інерції на плече h (рис. 3.6), яке визначається за умови i

i

FMh = , причому

момент сили iF відносно центру мас повинен мати той же напрям, що і момент пари сил інерції.

Рисунок 3.6 – Сила інерції для ланки зі складним рухом (шатун)

61

Рисунок 3.7 – Заміна iFr

і iМr

силою iFr

в точці К при обертальному русі ланки

При обертальному русі ця сила проходить через центр качання К (рис.

3.7). Відстань між центром мас і центром качання знаходиться за формулою:

OS

SSK ml

Il = , (3.3)

яка виходить із виразу для плеча h після підстановки iМ і iF з урахуванням

формул кінематики OS

SS laе дsin

= ; дsinSKlh = . І дійсно:

дsinдsinSK

S

SS

S

SS

i

i lma

aImaеI

FMh =

⋅=== ,

OSS

SSK lm

Il = .

§ 3.1.2. Умова статичної визначеності кінематичного ланцюга Число невідомих, які визначаються за будь-якої системи рівнянь,

повинно співпадати з числом рівнянь. Через це, перш ніж розв’язувати задачу про визначення реакцій в кінематичних парах, необхідно з’ясувати, для яких кінематичних ланцюгів дотримується умова рівності числа рівнянь статики (кінетостатики) числу невідомих складових реакцій в кінематичних парах (умова статичної визначеності). Звичайно, в першому наближенні, кінетостатичний аналіз виконується без урахування сил тертя.

Розглянемо, як будуть направлені реакції в різних кінематичних парах плоских механізмів.

62

Рисунок 3.8 – Реакції в плоских кінематичних парах

Нехтуючи тертям, можна вважати, що в обертальній парі (рис. 3.8, а) 5-го класу сила 12R

r тиску ланки 2 на ланку 1 проходить через центр А шарніра.

Модуль і напрямок цього вектора залежать від значення і напрямку сил, прикладених до ланок пари. В поступальній парі (рис. 3.8, б) 5-го класу сила

10Rr

(тиск ланки О на ланку 1) перпендикулярна до напрямної «х-х», тобто відома лінія її дії, але невідомі напрямок, модуль і точка прикладення (відстань h). У вищій парі 4-го класу без тертя (рис. 3.8, в) реакція 10R

r прикладена до

ланки 1 в точці С контакту і направлена по спільній нормалі «n-n» дотичних поверхонь.

Таким чином, для визначення реакцій в кожній нижчій парі 5-го класу необхідно знайти по дві невідомі скалярні величини, а у вищій 4-го класу – тільки одну.

Позначимо число рухомих ланок плоского кінематичного ланцюга через n, число пар 5-го класу – через число р5 і число пар 4-го класу – р4. Складемо умову статичної визначеності плоского кінематичного ланцюга. Оскільки для кожної ланки, яка має плоско-паралельний рух, можна написати три рівняння рівноваги, то число рівнянь, яке ми зможемо скласти при n ланках, буде дорівнювати 3n. Число невідомих, яке необхідно визначити, буде

63

дорівнювати для пар 5-го класу 2р5 і для пар 4-го класу р4. Отже, кінематичний ланцюг буде статично визначеним, якщо виконується умова:

4523 ppn += . (3.4)

Як відомо, будь-який механізм з парами 4-го і 5-го класів може бути

заміненим механізмом з парами 5-го класу. Через це для розгляду загального випадку достатньо обмежитися розглядом груп, ланки яких входять тільки в пари 5-го класу.

Групи з парами 4-го класу можуть бути приведеними до груп з парами 5-го класу і можуть бути розраховані тими ж методами. Тоді формула (3.4) може бути написана так:

523 pn = . (3.5)

Звідки np23

5 = .

Таким чином, число ланок і пар зв’язані між собою відношенням (3.5).

Оскільки числа n і р5 повинні бути цілими, то цьому співвідношенню задовольняють наступні ряди чисел ланок і кінематичних пар

32 5 =→= pn - група II класу 64 5 =→= pn - група III класу і т.д.

Таким чином, статично визначеними є кінематичні ланцюги, які називаються групами.

І ще про одне. При кінематичному дослідженні механізмів послідовність дослідження співпадає з послідовністю приєднання груп, тобто спочатку розглядається група, яка приєднується до початкової ланки, або початкової ланки і стійки. Потім розглядується наступна група і т.д. Послідовність силового розрахунку є протилежним послідовності кінематичного дослідження, тобто силовий розрахунок починається з останньої (рахуючи від початкової ланки) приєднаної групи і закінчується силовим розрахунком початкової ланки.

§ 3.1.3. Визначення реакцій в кінематичних парах Враховуючи статичну визначеність структурних груп, тиск ланки на

ланку визначають окремо для кожної структурної групи, а потім для ведучих ланок. Як уже сказано, розрахунки починають для групи, приєднаної до механізму останньою. При виділенні із механізму структурної групи дію відкинутої її частини замінюють відповідною силою. Ці сили належить визначити.

64

Графічне визначення реакцій в кінематичних парах плоских механізмів за допомогою планів сил застосовується не тільки через наглядність, але і тому, що зовнішні сили, які діють на ланки механізму, звичайно відомі тільки дуже приблизними, а тому точність простіших графічних будувань часто виявляється сповна достатньою.

Побудову планів сил покажемо на прикладі визначення реакцій в кінематичних парах шарнірного чотирьохланкового механізму без урахування сил тертя (рис. 3.9, а). Припустимо, що за заданим законом руху початкової ланки 1 виконаний кінематичний аналіз і визначені сили і пари сил інерції:

( )321 ,,jFij =

r, ( )321 ,,jM ij = .

Розв’язання задачі почнемо з розгляду умов рівноваги двохланкової

групи, утвореною ланками 2 і 3 (рис. 3.9, б). Підлягають визначенню реакції

21Rr

, 30Rr

, 3223 RRrr

−= , тобто три вектора, або шість скалярних величин. В даному прикладі система рівнянь для визначення невідомих реакцій розділяється на два скалярних рівняння, кожне із яких утримує одну невідому величину, і два векторних рівняння, які розв’язуються незалежно. Відповідно, все розв’язання складається із трьох етапів.

65

66

Рисунок 3.9 – Плани сил для двохповідкової групи та початкової ланки

Перший етап – визначення тангенціальних складових tR21

r і tR30

r. Кожну

із реакцій 21Rr

і 30Rr

розкладуємо на дві складові: нормальні складові nR21

r і nR30

r

направлені по відрізкам ВС і СD, а тангенціальні складові tR21

r і tR30

r,

перпендикулярні їм. Напрямок цих складових (знак) вибираємо довільно. Складаючи рівняння моментів відносно точки С для ланки 2 і для ланки 3, одержуємо два рівняння, лінійних відносно шуканих величин tR21 і tR30 :

,hFMhGh-R

;hFMhGhR

it

it

FiiGRt

FiiGRt

0

0

3330

2221

33330

22221

=−−+

=−−+

де

33302221 it

it FGRFGR ,h,h,h,h,hh - плечі відповідних сил, які є в позначенні цих плечей

відносно точки С. Якщо після рішення рівнянь будь-яка складова вийшла зі знаком «плюс», то на схемі (рис. 3.9, б) знак її напрямку був вибраний правильно, а якщо зі знаком «мінус» - знак напрямку необхідно змінити на протилежний.

Другий етап – визначення нормальних складових nR21

r і nR30

r -

виконується на підставі графічного розв’язання векторного рівняння суми сил, діючих на всю групу в цілому:

0303033222121 =+++++++ nt

iitn RRFGFGRR

rrrrrrrr (3.6)

67

Сума вказаних векторів утворює замкнутий векторний контур, який називається планом сил.

Вибравши масштабний коефіцієнт ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ммН

Fм , відкладаємо на плані сил

(рис. 3.9, в) вектори, які їх зображають, а модулі їх дорівнюють, наприклад,

( )F

i

F

F; bcGab

мм22 == і т.д. При цьому tR21

r необхідно відкладати поряд з 2G

r, а

tR30

r - з 3iF

r. Лінії дії векторів nR21

r і nR30

r проводимо із початку векторів tR21

r і tR30

r

відповідно. Точку перетину цих ліній визначають відрізки nf і mf, які зображають nR21

r і nR30

r відповідно. Суми нормальних і тангенціальних складових

дають повні реакції 21Rr

і 30Rr

.

Третій етап – визначення реакції 3223 RRrr

−= . Ця реакція визначається за умови рівноваги ланки 2, або ланки 3. Наприклад, для ланки 2 маємо наступне векторне рівняння (рис. 3.9, г):

0232221 =+++ RFGR i

rrrr.

Кінетостатичне дослідження механізму закінчується силовим

розрахунком ведучої ланки АВ. Оскільки до ланки прикладений обертовий момент Тg (рис. 3.9, д), то його значення визначаємо за умови:

( )

112112 112112 звідки ,0 ,0 GRgGRgiA hGhRThGh-RTFm −==+=∑ . Реакцію в кінематичній парі А знаходимо за векторним рівнянням (рис.

3.9, д): .0101112 =+++ RFGR i

rrrr

§ 3.1.4. Теорема Жуковського Розглянемо ланку механізму, абсолютні швидкості Ах і Вх точок А і В

якого відомі; до ланки в точці С прикладена сила jF (рис. 3.10, а). План швидкостей точок цієї ланки побудований на рис. 3.10, б, а на

рис. 3.10, в, – обернений на 900 план цієї ж ланки. Момент сили jF відносно точки Рv:

( ) ( ) ( ) jvjvjjP CPFLPFFMv

бcos== .

68

Оскільки відрізок ( )CPv зображує в масштабі vм швидкість Cх точки С, то ( ) vvC CPх м= . Тоді

( )v

jj

v

СjjP

PхFFMv м

бcosм

== .

Рисунок 3.10 – До виведення формули Жуковського

Це рівняння є аналітичним виразом теореми Жуковського: якщо силу, прикладену до будь-якої точки ланки плоского механізму перенести паралельно самої собі в однойменну точку оберненого плану швидкостей, то момент цієї сили відносно полюсу плану швидкостей буде пропорційним її потужності Рj. Якщо на ланку діє пара сил, то на обернений план швидкостей необхідно переносити кожну складову цієї пари окремо.

Теорема Жуковського застосовується у багатьох задачах динаміки. Зокрема, її можна використати для визначення зрівноважуючого моменту, якщо

69

бажають уникнути послідовного визначення усіх реакцій в кінематичних парах. На рис. 3.11, б для розглянутого прикладу силового аналізу кривошипно-коромислового механізму наведений план швидкостей, обернений на 900 Pvbc і сили G1, G2, G3, Fi1, Fi2, Fi3, прикладені в точках, однойменних з точками прикладення цих сил в механізмі.

Рисунок 3.11 – Важіль Жуковського для визначення зрівноважуючого

моменту Tg на ведучій ланці механізму

70

Пари сил з моментами Tg, Mi2, Mi3, представлені складовими F1, F2, F3, прикладеними в точках A, B, C і D перпендикулярно напрямкам відрізків AB, BC і CD. Модулі цих складових знайдені за умов:

;1AB

g

lT

F = ;22

BC

i

lM

F =′ .33

CD

i

lM

F =′

Кожна складова пари сил перенесена в однойменну точку плану

швидкостей без зміни її напрямку. На підставі загального рівняння динаміки сума потужностей всіх

зовнішніх сил, прикладених до n ланок механізму та сил інерції ланок дорівнює нулю:

011

=+∑∑==

n

jij

n

jj PP .

За умовою теореми Жуковського це рівняння рівносильне рівнянню

моментів відносно полюсу оберненого плану швидкостей (важіля Жуковського):

( ) ( ) 011

=+∑∑==

n

jijP

n

jjP FMFM

vv

rr (3.7)

В нашому прикладі сили інерції об’єднані з зовнішніми силами і через

це рівняння (3.7) має вигляд:

( ) ( ) ( ) .abFcdFbcFrFr-Fr-GrGrG iiiiGGG 01323312321 321=+′−′−−+

Звідки знаходимо ABg lFT 1 = .

§ 3.2. Рівняння руху механізмів Для розв’язання головної задачі динамічного розрахунку – визначення

закону руху механізму за заданим законам зміни рушійних сил і сил опору необхідно розглядати не окремий механізм, а машинний агрегат, відображаючий собою кінематичний ланцюг, який складається із механізмів двигуна, передаточного пристрою і технологічної машини.

Для знаходження закону руху ланок механізму за різних законах зміни рушійних сил і сил опору розглянемо найпростіший машинний агрегат, який складається із однієї рухомої ланки – ротора двигуна, з’єднаного безпосередньо з ротором технологічної машини, тобто тверде тіло, яке обертається навколо

71

нерухомої вісі. Прикладами такого машинного агрегату можуть слугувати електродвигун, з’єднаний з відцентровим насосом, турбіна (парова, газова, водяна), яка з’єднана з генератором і т.д. Як відомо із теоретичної механіки, рівняння руху у цьому випадку можна написати у вигляді:

TdtdщI = (3.8),

де I – момент інерції обертаючої ланки відносно вісі обертання; Т – різниця моментів рушійних сил і корисних сил опору ( )kp TTT −= відносно вісі обертання.

В праву частину рівняння (3.8) входять моменти рушійних сил Тр і корисних сил опору Топ; які можуть бути функціями переміщення (кута φ), швидкості (ω), або часу (t).

Тоді можна мати

( ) ( )щTщTdtdщ I oпp −= , (3.9)

( ) ( )ϕϕ oпp TTdtdщI −= , (3.10)

( ) ( )tTtTdtdщI oпp −= . (3.11)

Рівняння (3.9) приводиться до вигляду:

( ) ( )∫∫ −=

kk щ

щ oпp

t

t щTщTdщIdt

00

. (3.12)

Проводячи інтегрування, знаходимо

( ) ( )∫ −+=

kщ

щ oпpk щTщT

dщItt0

0 . (3.13)

За повторним інтегруванням, визначимо закон руху ( )tϕϕ =

( ) ( )∫∫ ==kk t

t

dttщd; tщdtdщ

00

ϕ

ϕ

ϕ (3.14)

72

і далі ( )∫+=kt

tk dttщ

0

0ϕϕ . (3.15).

Для розв’язання рівняння (3.10) його ліву частину помножимо і

розділимо на dφ:

( ) ( )ϕϕϕϕ oпp TT

dtd

ddщ I −=⋅ ,

звідки маємо ( ) ( )[ ] ϕϕϕ dTTdщIщ oпp −=⋅

і далі ( ) ( )[ ]∫∫ −=kk

dTTщdщI oпp

щ

щ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ00

. (3.16)

Інтегруючи, одержимо:

( ) ( )[ ]∫ −=− k

dTTщщ I oпpок

ϕ

ϕ

ϕϕϕ0

2

22

. (3.17)

Вираз (3.17) є рівнянням руху механізму машинного агрегату у формі

рівняння кінетичної енергії. Із рівняння (3.17)

( ) ( )[ ]∫ +−=k

ooпpк щdTTI

щϕ

ϕ

ϕϕϕ0

22 . (3.18)

Знаючи ( )ϕщщ = , для визначення часу руху машинного агрегату

скористаємося залежністю dtdщ ϕ

= . Тоді ( )ϕϕ щdtd = , звідки

( )∫∫ =kk

щddt

t

t

ϕ

ϕ ϕϕ

00

. (3.19)

Після інтегрування

( )∫+=k

щdttk

ϕ

ϕ ϕϕ

0

0 . (3.20)

73

Таким чином, закон руху ( )t ϕϕ = знайдено. В рівнянні (3.11) змінні розділяються одразу:

( ) ( )[ ]∫∫ −=kk t

toпp

щ

щ

dttTtTdщ I00

. (3.21)

Звідки ( ) ( )[ ]∫ −+=kt

toпpok dttTtT

Iщ щ

0

1. (3.22)

Одержавши залежність ( )tщ щ = і замінюючи ω його значенням

dtdщ ϕ

= , одержимо ( )tщdtd =ϕ

.

Після повторного інтегрування визначимо закон руху:

( )∫∫ =kk t

t

dttщd00

ϕ

ϕ

ϕ , (3.23)

звідки ( )∫+=kt

tk dttщ

0

0ϕϕ . (3.24)

§ 3.3. Приведення мас і сил до ланки приведення Для визначення закону руху ланок механізмів складного машинного

агрегату з однією ступінню рухомості зручно скористатися методом приведенням мас і сил, завдяки якому складний механізм замінюють еквівалентним йому простим, який має одну рухому ланку – ланку приведення. Одержане рішення переносять на початкову систему. Приведення мас проводять за умови рівності суми кінетичних енергій ланок початкової системи кінетичній енергії ланки приведення

n

n

ii KK =∑

=1 (3.25)

де ∑=

n

iiK

1 - сума кінетичних енергій ланок механізму; nK - кінетична енергія

ланки приведення.

74

Кінетична енергія ланки, яка робить плоско-паралельний рух, визначається рівнянням:

22

22iiii

iхmщIK += , (3.26)

де Ii – момент інерції ланки і відносно вісі, яка проходить через центр ваги; ωi – кутова швидкість ланки i; mi – маса ланки i; υ i – швидкість центра ваги ланки i.

При поступальному русі кінетична енергія ланки приведення визначається рівнянням

2

2nn

nхmK = , (3.27)

при обертальному русі 2

2n

nnщIK = , (3.28)

де mn – приведена маса механізму; υn – швидкість ланки приведення; In – приведений момент інерції відносно вісі обертання ланки приведення; ωn – кутова швидкість ланки приведення.

Підставивши значення iK і nK в рівняння (3.25), знаходимо

222

2

1

22nn

n

i

iiii

хmхmщI =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=, (3.29)

222

2

1

22n

n

n

i

iiii

щIхmщI =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

= . (3.30)

Розв’язуючи рівняння (3.29) і (3.30) відносно mn і In, одержимо вирази

для визначення приведеної маси і приведеного моменту інерції:

∑= ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i n

ii

n

iin х

хmхщIm

1

22

, (3.31)

∑= ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i n

ii

n

iin щ

хmщщII

1

22

. (3.32)

Таким чином, приведеною масою називають умовну масу, яка має

швидкість ланки приведення і наділена у кожному фіксованому положенні кінетичною енергією початкового механізму.

75

Приведеним моментом інерції називають момент інерції фіктивного твердого тіла, який обертається навколо нерухомої вісі з кутовою швидкістю ланки приведення і наділена в кожному фіксованому положенні кінетичною енергією початкового механізму. Із рівнянь (3.31) і (3.32) виходить, що величини приведеної маси і приведеного моменту інерції залежать від квадрату відношення швидкостей. Отже, в загальному випадку ці величини є змінними, які залежать від положення механізму. В окремому випадку, коли передаточне відношення кінематичних ланцюгів механізму сталі, приведена маса і приведений момент інерції також сталі.

Приведення сил і моментів проводять за умови рівності суми елементарних робіт всіх сил і моментів, діючих на ланки початкового механізму, елементарній роботі приведеної сили, або приведеного моменту. При розрахунках елементарні роботи сил і моментів замінюють потужностями. Математично це можна виразити так:

n

n

ii РР =∑

=1, (3.33)

де ∑=

n

iiР

1 - сума потужностей сил і моментів, діючих на ланки початкового

механізму; nР - потужність приведеної сили, або приведеного моменту. Якщо ланка приведення рухається поступально, то усі сили і моменти,

діючі на ланки механізму, зручно приводити до сили. В цьому випадку

nnn хFР = ,

де nF - приведена сила; nх - швидкість ланки приведення. Якщо ланка приведення обертається, то усі сили і моменти, діючі на

ланки механізму, зручно приводити до моменту. Тоді

nnn щTР = ,

де nT - приведений момент; nщ - кутова швидкість ланки приведення. У загальному випадку на кожну ланку механізму може діяти і сила, і

момент, через це

iiiiii гхFщTР cos+= , (3.34)

де iT - момент, діючий на ланку i; іщ - кутова швидкість ланки і; іF - сила, діюча на ланку і; іх - швидкість центра ваги ланки і; γі – кут між напрямком сили і швидкості.

76

Підставивши значення iР і nР в рівняння (3.33), знаходимо

( ) nn

n

iiiiii хFгхFщT =+∑

=1cos , (3.35)

( ) nn

n

iiiiii щTгхFщT =+∑

=1cos . (3.36)

Розв’язуючи рівняння (3.35) і (3.36) відносно nF і nT , одержимо вирази

для визначення приведеної сили і приведеного моменту:

∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

n

ii

n

ii

n

iin г

ххF

хщTF

1cos , (3.37)

∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

n

ii

n

ii

n

iin г

щхF

щщTT

1cos . (3.38)

Таким чином, приведеною силою називають умовну силу, прикладену

до ланки приведення, елементарна робота якої в кожному фіксованому положенні дорівнює сумі елементарних робіт сил і моментів, діючих на ланки початкового механізму.

Приведеним моментом називають умовний момент, прикладений до обертаючої ланки приведення, елементарна робота якого в кожному фіксованому положенні дорівнює сумі елементарних робіт сил і моментів, діючих на ланки початкового механізму.

Із рівнянь (3.37) і (3.38) видно, що величини приведеної сили і приведеного моменту залежать від величини сил і моментів, діючих на ланки початкового механізму, а також від відношення швидкостей, тобто від передаточних відношень між окремими ланками початкового механізму і ланкою приведення.

В результаті введення понять приведеної маси mn, приведеного моменту інерції In, приведеної сили nF і приведеного моменту nT рівняння руху багатоланкового машинного агрегату (в формі рівняння кінетичної енергії) можна написати як рівняння руху одноланкового механізму, який має приведену масу і приведений момент інерції такий, що находиться під дією приведеної сили, чи приведеного моменту (рис. 3.12, рис. 3.13), тобто рівняння

∑∫∑∑===

=−n

i

t

ti

n

iio

n

iik

k

dtPKK111 0

(3.39)

77

можна замінити рівнянням

∫=−nk

no

dTщ

Iщ

I nno

nonk

nk

ϕ

ϕ

ϕ22

22

(3.40)

(ланка приведення обертається), або

∫=−nk

no

S

Sn

nono

nknk dSFхMхM

22

22

(3.41)

(ланка приведення рухається поступально).

Тут iкK , iоK і Рі – відповідно кінетичні енергії і потужність ланки і в положеннях К і О; nkI , noI , nkM , noM - приведені моменти інерції і приведені маси в положеннях К і О ланки приведення.

;TTT n.onnpn −= ,FFF n.onnpn −=

де npT і n.onT - приведені моменти рушійних сил і сил опору відповідно; npF і

n.onF - приведені рушійні сили і сили опору відповідно.

Рисунок 3.12 – Ланка приведення рухається поступально

Рисунок 3.13 – Ланка приведення обертається

78

Для визначення закону руху ланки приведення у багатьох випадках користуються рівнянням кінетичної енергії в диференціальній формі. Для його одержання, диференціюємо за часом рівняння (3.40), вважаючи, що In є функція кута обертання φn ланки приведення:

dtdT

dtd

ddIщ

dtdщщI n

nn

n

nn

nnn

ϕϕϕ

=⋅+ 2

21

.

Оскільки nn щ

dtd

=ϕ

,

nnn

nn

nnn щT

ddIщ

dtdщщI =+

ϕ3

21

.

Скорочуючи на nщ , одержимо

nn

nn

nn T

ddIщ

dtdщI =+

ϕ2

21

. (3.42)

Рівняння (3.42) називають диференціальним рівнянням руху

машинного агрегату. В механізмах, де ланки мають тільки обертальний рух, передаточне

відношення ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

iin щ

щu кінематичних ланцюгів сталі, а отже, сталі і їх

приведені маси і приведені моменти інерції. Для таких механізмів рівняння (3.40) і (3.42) запишуться наступним чином:

;dTщщInk

no

пnоnк

n ∫=− ϕ

ϕ

ϕ2

22

(3.43)

пn

n Tdt

dщ I = . (3.44)

Ці рівняння співпадають з рівняннями (3.8) і (3.17), написаних для тіла,

який робить обертальний рух. Якщо диференціювати за часом рівняння (3.41), вважаючи, що mn є функцією переміщення Sn ланки приведення, то одержимо:

.dt

dSFdtdS

dSdmх

dtdххm n

nn

nn

nn =⋅+ 2

21

79

Оскільки nn х

dtdS

= ,

.хFdS

dmхdt

dххm nnn

nn

nn =+ 3

21

(3.45)

Скорочуючи на nх , одержимо

nn

nn

n FdS

dmхdt

dхm =+ 2

21

. (3.46)

Рівняння (3.46) називають диференціальним рівнянням руху

машинного агрегату. Якщо приведена маса залишається величиною сталою, незалежної від

положень механізму, то 0=dSdmn і рівняння (3.46) приймає вигляд

пn

n Fdt

dхm = , (3.47)

яке зовнішньо не відрізняється від рівняння прямолінійного руху матеріальної точки.

§ 3.4. Стадії руху машинного агрегату В роботі кожного машинного агрегату можна виділити три стадії руху:

розгін, сталий рух і вибіг (рис.3.14). В стадії розгону робота рушійних сил більше роботи сил опору. За

рахунок цієї різниці робіт швидкість ланок змінюється від нуля до номінального значення.

В стадії сталого руху в залежності від виду механічних характеристик двигуна і технологічної машини швидкість ланок постійна, або змінюється циклічно, тобто її значення повторюються через визначений відрізок часу – цикл.

80

Рисунок 3.14 – Стадії руху машинного агрегату

Із цього виходить, що за термін циклу приріст кінетичної енергії дорівнює нулю і робота рушійних сил дорівнює роботі сил опору.

Величину коливань швидкості в стадії сталого руху характеризують коефіцієнтом нерівномірності ходу:

срωωω minmaxд −

= , (3.48)

де 2minmax ωω

ω+

=ср - середня швидкість. Значення середньої швидкості

приймається за номінальну швидкість у сталому режимі. Для багатьох машин задається допустима величина коефіцієнта

нерівномірності ходу [ ]д . В цьому випадку при динамічних розрахунках необхідно перевірити умову [ ]дд ≤ .

Для машинних агрегатів, які мають сталий приведений момент інерції ( )constIn = , коефіцієнт нерівномірності ходу рахують за формулою, одержаною із рівнянь (3.48) і (3.43), записаних для відрізка шляху, або часу, відповідно зміні швидкості від максимального значення до мінімального:

( ) ϕϕωω ω

ω

ϕ

ϕ

dTI nn ∫=− max

max2

2min

2max . (3.49)

Помножимо чисельник і знаменник рівняння (3.48) на срω і в знаменнику срω

замінимо її значенням 2minmax ωω

ω+

=ср :

81

( ) ( )2

2min

2maxminmaxminmaxminmax

22д

срсрсрср

ср

ср ωωω

ωωω

ωωω

ωω

ωωω −

=+

⋅−

=⋅−

= , або

2д

2min

2max2 ωω

ω−

=ср .

Підставивши значення для 2

2min

2max ωω −

в рівняння (3.49), одержимо:

( ) ϕϕωω

ω

ϕ

ϕ

dTI nсрn ∫=max

max

2д , звідки

( )2

max

maxдсрn

n

I

dT

ω

ϕϕω

ω

ϕ

ϕ∫

= . (3.50)

Із рівняння (3.50) виходить, що у випадках, коли умова [ ]дд ≤ не виконується, необхідно збільшувати значення nI , тобто ставити маховик. Маховик буде мати меншу масу, якщо його встановлювати на вал, який має більшу швидкість обертання.

В стадії вибігу робота рушійних сил дорівнює нулю (двигун відключений) і діють тільки сили опору. Відповідно швидкість змінюється від номінального значення до нуля.

§ 3.5. Механічні критерії якісної оцінки механізмів Якість механізму прийнято оцінювати за співвідношенням робіт

рушійних сил, корисних і шкідливих сил опору. Для цього розглядають період сталого руху, оскільки при розгоні частина рушійних сил тратиться на приріст кінетичної енергії ланок механізму, а при вибігу робота рушійних сил дорівнює нулю.

В період сталого руху:

сшскр ААА .. += , (3.51)

82

де рА - робота рушійних сил; скА . - робота корисних сил опору, для подолання яких створена машина; сшА . - робота шкідливих сил опору, яка тратиться на подолання тертя в кінематичних парах і опір середовища.

Розділивши ліву і праву частину рівняння на рА , одержимо:

шз1 .. +=+=р

сш

р

ск

АА

АА

, (3.52)

звідки ш1з .. −=−

==р

сшр

р

ск

ААА

АА

, (3.53)

де з - коефіцієнт корисної дії (ККД), р

сш

АА .ш= - коефіцієнт втрати.

Із (3.52) і (3.53) виходить, що

1шз =+ . (3.54)

Отже, чим більше з , тим менше ш. Якщо при сталому русі зміна кінетичної енергії на протязі циклу незначна і нею можна знехтувати, то відношення робіт можна брати за будь-які однакові відрізки часу.

Воно може бути замінено відношенням потужностей:

;з .

р

ск

РР

= р

сш

РР .ш= . (3.55)

При проектуванні нових складних механізмів необхідно вміти

визначати можливий ККД розрахунковим шляхом в залежності від схеми з’єднання окремих механізмів між собою і від величини їх ККД (ці данні є у відповідних довідниках). Окремі механізми, створюючи складний механізм, можуть бути з’єднані послідовно, паралельно, або мати змішаний характер з’єднання.

Послідовне з’єднання механізмів

11 здРР = ; 21212 ззз дРРР == ; mдmро РРР ззз 21 K==

83

mд

mд

д

розаг Р

РРР

ззззззз 2121 KK

===

∏=

==m

ljmзаг

121 ззззз K (3.56)

Паралельне з’єднання механізмів.

роmророкс РРРР +++=∑ K21

дmддд РРРР +++= K21

д

ксзаг Р

Р ∑=з (а)

∑=

∑ =m

lксjкс РР

1 - сумарна потужність усіх робочих органів; дР -

потужність двигуна. Кожний складовий системи механізм передає тільки певну долю енергії

двигуна, яку можна врахувати за допомогою коефіцієнтів:

д

д

РР 1

1в = ; д

д

РР 2

2в = …д

дmm Р

Р=в ; при цьому 1в

1=∑

=

m

jj .

Робочі органи споживають потужність:

ддро РРР 11111 звз == ; ддро РРР 22222 звз == ; дmmроm РР зв= .

Підставивши роjР в (а), одержимо

д

дmmддзаг Р

РРР звзвзвз 2211 +++=

K, або

84

∑=

=m

jjjзаг

1звз (3.57)

Окремі випадки:

1) ,ззз 21 m=== K 1зз =заг , (3.58)

2) ,ввв 21 m=== K ∑=

=m

jjзаг

11 звз . (3.59)

Розрахунок загального ККД механічної системи зі змішаним

з’єднанням розглянемо на прикладі механізму друкування ЕЛМ, енергетична схема якого представлена на рис. 3.15.

Робочі органи – ролик Б протягнення паперу, блок К друкуючих коліс і ролик П протяжки фарбуючого пасу приводяться в рух електродвигуном Д.

Рисунок 3.15 – Енергетична схема механічної системи друкуючого пристрою ЕЛМ

д

КБПзаг Р

РРР ++=з , (а)

( )421з

1ррд РРР += , (б)

32ззБ

діРР = , (в)

85

( )654з

1ррді РРР += , (г)

5зК

діРР = , (д)

76ззП

діРР = . (е)

Підставивши (е) і (д) в (г), одержимо:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

7654 зззз1 ПК

діРРР . (ж)

Підставивши (ж) і (в) в (б), одержимо:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

7654321 зззз1

ззз1 ПКБ

дРРРР . (з)

Оскільки 5вдБ РР = , КдК РР в= , ПдП РР в= , тоді

( ) ( ) ( ) 1764П

154К

132Б

1

зззвззвззвзз −−− ++

=заг (3.60)

86

Розділ четвертий

Синтез зубчастих механізмів

§ 4.1. Основна теорема зачеплення Профілі зубців коліс передачі, які передають обертальний рух тиском

зубців, повинні бути окреслені кривими лініями, які відповідають вимогам основної теореми зачеплення: загальна нормаль n-n, яка проведена через точку К дотику двох профілей зубців коліс в будь-який момент зачеплення, діле міжосьову відстань 21OOаW = на частини обернено-пропорційні кутовим швидкостям спряжених коліс, тобто, (рис. 4.1):

РОРОu

1

2

2

12,1 ==

ωω

(4.1)

Рисунок 4.1 – До виведення основного закону зачеплення

Точка Р – полюс зачеплення (або миттєвий центр обертання у відносному русі ланок, утворюючих вищу кінематичну пару).

Доведення: Припустимо, що рух від ведучої ланки 1 до веденої ланки 2, які обертаються навколо осей О1 і О2, передається за допомогою робочих

профілей ∪

аb і ∪

cd цих ланок (зубців коліс). Відома кутова швидкість 1ω ланки

87

1, а, отже, і колові швидкості точок профілю ∪

аb , у тому числі і точки К дотику профілей: ( )КОК 111 ωυ = . Для точки К профілю веденої ланки відомий напрямок колової швидкості та її значення, тобто ( )КОК 222 ωυ = .

Але для забезпечення постійного дотику профілей ланок необхідна обов’язкова умова – рівність нормальних складових абсолютних швидкостей точок, тобто:

nK

nK

nK υυυ == 21 , або

( ) ( )222111 NОNО ωω = , звідки

11

22

2

12,1 NО

NОu ==ωω

.

Через подібність ΔО1N1P і ΔО2N2P виходить, що РОРО

NОNО

1

2

11

22 = і теорема

доведена. Проекції швидкостей t

K1υ і tK 2υ на дотичну t-t не рівні між собою, а їх

різниця є відповідно швидкість ковзання:

tК

tKКK 2121 υυυ −= ,

tК

tKКK 1212 υυυ −= .

Отже, при передачі обертання тиском ланок робочі їх профілі ∪

аb і ∪

cd не тільки перекочуються, але і ковзають один відносно другого зі швидкістю

tК

tKков 211 υυυ −= , причому ця швидкість тим більша, чим дальше віддалена точка

К від полюсу зачеплення Р. Ковзання профілей відсутнє, коли точка дотику їх знаходиться в полюсі зачеплення Р.

Висновки: 1. Для забезпечення constu =2,1 необхідно, щоб точка Р займала

постійне положення на міжосьової лінії О1О2. 2. Спряжені профілі зубців коліс (тобто такі, які відповідають

основному закону зачеплення) відтворюють таку ж передачу руху як і фрикційна передачі циліндричними котками. Справа в тому, що кола, які проходять через полюс зачеплення Р з радіусами 1Wr і 2Wr (початкові кола) при обертанні зубчастих коліс перекочуються один по одному без ковзання, про що

88

свідчить рівність швидкості точки Р в системі ланки 1 і ланки 2 на підставі основної теореми зачеплення:

оскільки 1

2

1

2

2

12,1

W

W

rr

РОРОu ===

ωω

, то 2211 WW rr ωω = , тобто PPP υυυ == 21 .

3. Якщо лінія 21NN , проходячи через полюс зачеплення Р, не змінює

свого положення, то вона називається теоретичною лінією зачеплення, тобто це траєкторія загальної точки контакту зубців.

Кутом зачеплення називається кут Wб між лінією 21NN зачеплення і

перпендикуляром до міжосьової лінії 21OO . § 4.2. Евольвенти кола та їх властивості Із безлічі кривих для профілей зубців коліс, які забезпечують стале

передаточне відношення, одержала евольвента кола (або просто евольвента). Евольвента (для стислості в подальшому пропускаємо слово «кола»)

може бути одержана як траєкторія точки прямої, яка перекочується без ковзання по колу. В теорії зачеплення коло, евольвента якої є профіль зубця, називається основним колом.

Рисунок 4.2 – Евольвента кола

89

На рис. 4.2 показана побудова евольвенти основного кола b при перекочуванні по ній прямої лінії n-n, яка зветься утворюючою прямою лінією. Нехай утворююча пряма лінія показана в положенні, коли вона торкається основного кола в точці А і необхідно побудувати евольвенту, яку описує точка М. Для цього ділимо відрізок АМ на рівні частини (наприклад, на чотири частини) і відкладаємо на основному колі дуги, які дорівнюють

відповідним частинам відрізка АМ: 4343 =∪

; 3232 =∪

і т.д. (за малих центральних кутах дуги можна замінити хордами). Через одержані точки ділення кола проводимо до неї дотичні і відкладаємо на них відрізки, послідовно зменшуючи довжину кожного відрізку на одну частину. Наприклад, із точки 3 відкладаємо відрізок, який має три частини, із точки 2 – дві частини і т.д. З’єднуючи кінці відкладених відрізків, одержуємо евольвенту.

Якщо необхідно продовжити евольвенту, то на утворюючій прямій

відкладаємо відрізки 5645 = і т.д., а на колі – дуги ∪

45 , ∪

56 , які дорівнюють по довжині відрізкам 45 , 56 . Для побудови точок евольвенти із точки 5 проводять дотичну до основного кола і на ній відкладають відрізок, який має п’ять частин і т.д.

Рівняння евольвенти в параметричній формі одержується із умови перекочування утворюючої прямої по основному колу:

АМАМ =∪

(4.2).

Позначимо через хб гострий кут між дотичною t-t до евольвенти і

радіус-вектором OМrx =r

евольвенти. В теорії евольвентного зачеплення він називається кутом профілю. Кут хθ , який утворений початковим радіус-

вектором 0OМrb =r

евольвенти і її поточним радіус-вектором OМrx =r

, називається евольвент ним кутом.

Тоді умова (4.2) приймає вигляд

( ) xbхxb tgrr биб =+ , звідки

xxх tg бби −= . (4.3).

Тригонометрична функція xxtg бб − називається інволютою і позначається xinvб , тобто рівняння (4.3) може бути записано у вигляді

xх invби = .

90

Радіус-вектор евольвенти xrr знаходиться із ΔОАМ

x

bx

rrбcos

= (4.4).

Рівняння (4.3) і (4.4) визначають рівняння евольвенти в полярних

координатах xrr і хи , виражене через параметр хб . Із побудови евольвенти можна установити її основні властивості: 1. Утворююча пряма лінія торкається основного кола (наприклад, в

точці А) і нормальна до евольвенти в точці М, яку вона в цю мить утворює. 2. Радіусом кривизни евольвенти в будь-якій точці є відрізок

утворюючої прямої лінії між евольвентою і точкою дотику до основного кола, тобто, АММ =ρ . При збільшенні радіуса основного кола до безкінечності (тобто, при ∞→br ) евольвента перетворюється в пряму лінію, а зубчасте колесо в рейку (рис. 4.3). При цьому початкове коло зубчастого колеса діаметра

Wd перекочується без ковзання по ділильної прямої лінії с-с.

Рисунок 4.3 – Зачеплення рейки з зубчастим колесом

91

§ 4.3. Евольвентне зачеплення

Рисунок 4.4 - Евольвентне зачеплення

Нехай профіль зуба ланки 1 (рис. 4.4) окреслений евольвентою основного кола радіуса 1br , а профіль зуба 2 - евольвентою основного кола радіуса 2br . Помістимо центри цих кіл в центри обертання О1 і О2 і приведемо евольвенти в дотик в точці К. Нормаль до евольвенти 1е в точці К повинна бути дотичною до основного кола ланки 1, а нормаль до евольвенти 2е - дотичною до основного кола ланки 2. В точці дотику нормаль повинна бути загальною до обох профілей, отже, точка К лежить на загальній дотичної до основних кіл.

Звідси маємо першу властивість евольвентного зачеплення – загальна нормаль до двох евольвент є одночасно і загальною дотичною до основних кіл.

Повернемо основне коло з евольвентою 1 на деякий кут 1ϕ навколо центру О1. При цьому евольвента 1 зробить тиск на евольвенту 2, яке може передаватися тільки по загальній нормалі до обох кривих, тобто по лінії 21NN . Отже, загальна нормаль є і лінією тиску. Оскільки лінія тиску не проходить через точку О2, то друге основне коло разом з евольвентою 2 повернеться на деякий кут 2ϕ . Таким чином, за допомогою двох евольвент них профілей можна здійснити передачу руху. У новому положенні евольвенти торкаються

92

в точці К', маючи загальну дотичну і загальну нормаль, яка торкається основних кіл, тобто нормаль 21NN . Таким чином, загальна нормаль 21NN є геометричним місцем точок контакту взаємодіючих евольвент; її називають лінією зачеплення. Із сказаного виходить, що лінія зачеплення є лінією тиску.

Оскільки при обертанні евольвент положення О1 і О2 не змінюється, то не змінюється положення полюсу зачеплення Р; тим самим задоволена вимога основної теореми зачеплення.

При обертанні евольвент відповідні дуги основних кіл ∪′11АА і

∪′22АА

рівні між собою, оскільки кожна з них дорівнює відстані КК ′ по загальній нормалі, тобто

∪∪′=′=′ 2211 ААККАА ,

що має значити 2211 ϕϕ bb rr = . Оскільки кутові швидкості пропорційні кутам повороту, то

constrr

ub

b ====1

2

2

1

2

12,1 ω

ωϕϕ

, (4.5)

тобто, відношення кутових швидкостей двох взаємодіючих евольвентних профілей обернено пропорційно радіусам їх основних кіл і не залежить від міжосьової відстані цих кіл.

Проведемо із центрів О1 і О2 кола, які торкаються в полюсі Р зачеплення і зв’язані з евольвентними дугами 1 і 2; ці кола називаються початковими колами. Радіуси початкових кіл POrW 11 = і POrW 22 =

змінюються при зміні міжосьової відстані 21OO . Із подібності трикутників О1РN1 і О2РN2 маємо

2

1

1

2

1

2

ωω

==b

b

W

W

rr

rr

і 2211 ωω WW rr = .

У такому разі швидкості точок початкових кіл 111 ωυ Wr= і 222 ωυ Wr=

рівні між собою, тобто початкові кола перекочуються без ковзання. Оскільки евольвентні профілі взаємодіють різними ділянками (відліковуючи від основи евольвенти), тобто дугами різної довжини, то їх відносний рух проходе з ковзанням: чим дальше від полюсу, тим більша різниця у відповідних дугах і більше ковзання, найбільше ковзання має місце у основи евольвенти. В полюсі ковзання немає; при переході через полюс змінюється напрям ковзання.

93

§ 4.4. Основні розміри зубців коліс Евольвентні профілі зубців, як показано, задовольняють основній умові

синтезу зубчастого зачеплення – одержанню заданого передаточного відношення. Виконання допоміжних умов синтезу залежить в першу чергу від розмірів зубців. Ці розміри зручно задавати у долях якої-небудь, однієї лінійної величини, зв’язаної з зубцем. Для того, щоб пояснити вибір цієї величини, виразимо довжину деякого кола, який має діаметр d, через число зубців z:

zpd =р ,

де р – коловий крок, тобто відстань, виміряна по дузі кола діаметра d між двома відповідними точками сусідніх зубців. Звідси

zpdр

= , або mzd = , (4.6)

де m – відношення колового кроку до числа π, який зветься модулем зубця.

Коловий крок р і модуль m для одного і того ж зубця залежать від діаметра кола, до якого вони відносяться.

Рисунок 4.5 – Зовнішні і внутрішні зубці коліс

Умовились для деякого кола, яке зветься ділильним, вибирати модуль із ряду раціональних чисел (СТ СЕВ 310-76). Тоді діаметр ділильного кола за (4.6) також виражається раціональним числом, що і послужило підставою для вибору модулю в якості величини, яка характеризує розміри зубця. Ділильне коло можна визначати як коло, для якого модуль має стандартне значення, або як коло, яке є базовим для визначення розмірів зубців. Інколи початкові і ділильні кола співпадають, але при цьому необхідно мати на увазі їх принципову відмінність. Ділильне коло є характеристика зубчастого колеса і

94

діаметр його сталий. Початкові кола дають характеристику зачеплення двох зубчастих колес, і діаметри цих кіл залежать від міжосьової відстані Wа . Річ в тому, що при зміні в допустимих межах міжосьової відстані Wа , змінюються і діаметри початкових кіл шестерні і колеса. Отже, у пари зубчастих коліс може бути безліч початкових кіл, які визначаються у результаті монтажу. У окремо взятого колеса початкового кола не буває. Ділильне коло належить окремо взятому колесу. При зміні міжосьової відстані його діаметр d залишається незмінним.

Ділильне коло діаметра d (рис. 4.5) ділить зуб на дві частини: голівку і ніжку. Ділильною голівкою (скорочено – голівкою) зубця називається частина зубця, яка розташована між ділильним колом і колом вершин, діаметр якого позначається через dа. Ділильною ніжкою (скорочено – ніжкою) зубця називається частина зубця, яка розташована між ділильним колом і колом впадин, діаметр якого позначається через df. Допускається також застосування термінів «початкова голівка» і «початкова ніжка», якщо зуб ділиться за висотою не ділильним, а початковим колом.

Розрізнюють зовнішні (рис. 4.4, а) і внутрішні (рис. 4.4, б) зубці. У зовнішніх зубців коло вершин знаходиться зовні кола впадин, а у внутрішніх – в середині кола впадин. Висота голівки позначається через ha, висота ніжки – через hf , загальна висота зубця – через h. Висота ніжки більша висоти голівки, оскільки між колом вершин зубців одного колеса і колом впадин зубців другого колеса повинен бути зазор, який називається радіальним зазором. Кожний зуб окреслюється двома симетрично розташованими профілями. Відстань між цими профілями, яка вимірюється по будь-якому колу, називається товщиною зубця. Товщина зубця по ділильному колі позначається через s. Варіюючи величини ha, hf , s, можна забезпечити допоміжним умовам синтезу. Варіювання виконується звичайно зміною взаємного розташування заготівки колеса та інструменту при обробці профілю зубця, яке характеризується величиною, що зветься зміщенням.

§ 4.5. Утворення спряжених поверхонь за Олів’є Більшість сучасних зачеплень утворювалась на основі розробок і

удосконалення способів їх обробки ріжучим інструментом. Рух ріжучих окрайок зуборізного інструменту в загальному випадку складається із трьох незалежних рухів.

Перший рух – рух різання – провадиться відносно основи, на якій закріплений інструмент. Воно може бути прямолінійним або обертальним. Поверхня, яка утворюється ріжучими окрайками інструменту при русі різання, називається утворюючою (іноді – інструментальною) поверхнею.

Другий рух – рух огинання (іноді – обкатка) – провадиться відносно оброблювальної заготівки. При цьому русі бокова поверхня зубця одержується як огинаюча положень утворюючої поверхні (звідси і назва цього руху).

95

Третій рух – рух подачі – має бути в поступовому приближенні інструменту до заготівки з метою зменшення сили різання. В подальшому рух подачі не розглядується, і вважається, що інструмент входе в заготівку на повну висоту зубця.

Розрізнюють два способи утворення спряжених профілей: спосіб копіювання і спосіб огинання.

При способі огинання вид бокової поверхні зубця залежить не тільки від виду утворюючою поверхні, але й від руху огинання. Наприклад, за допомогою однієї і тієї ж утворюючої площини можна одержати на заготовці конічну поверхню, сферу і т.п.

Теоретичне обґрунтування способу огинання було дане Олів’є, за яким спряжені поверхні зубців нарізаються однією утворюючою поверхнею, яка відрізняється від потрібних спряжених поверхонь.

При способі копіювання рух огинання відсутній і бокова поверхня зубця одержується як копія утворюючої поверхні. Цей спосіб застосовується рідко, оскільки необхідно мати великий комплект зуборізного інструменту.

§ 4.6. Кінематика виготовлення спряжених поверхонь зубців

циліндричних евольвентних зубчастих коліс Застосування способу Олів’є покажемо на прикладі обробки

евольвентних зубців за допомогою ріжучого інструменту, який виконується або як зубчасте колесо з ріжучими гранями на зубцях (довбяк), або як зубчаста рейка (гребінка), яку можна розглядати як граничну форму зубчастого колеса при наближенні числа зубці до безкінечності. Для рейки всі кола переходять в паралельні лінії, а евольвентний профіль зубця – в пряму лінію, утворюючою кут α з перпендикуляром до цих прямих ліній (рис. 4.6). Крім гребінки до ріжучих інструментів рейквого типу відносять також черв’ячну фрезу, яка виконується як гвинт з ріжучими окрайками на зубцях.

Найбільше розповсюдження має рейковий інструмент. Довбяк застосовують звичайно для нарізки внутрішніх зубців.

Рисунок 4.6 – Початковий контур зубців рейки

96

На рис. 4.6 наведений контур зубців рейки, який називається

початковим, оскільки він служить основою для визначення форм і розташування ріжучих окрайок. Профіль зубця ріжучого інструменту відрізняється від початкового профілю тим, що висота головки збільшена на величину радіального зазору (штрихова лінія); голівка зубця ріжучого інструменту вирізає ніжку зубця в заготовці. Цей контур називається утворюючим, оскільки при русі ріжучого інструменту він формує утворюючу поверхню. Пряма лінія СС, яка проходить посередині прямолінійної частини зубця, називається ділильною прямою лінією. По ній товщина зубця дорівнює ширині впадини.

Модуль m, в долях якого визначаються розміри початкового контуру, вибирають із стандартного ряду модулей. Останні параметри за ДСТ 13754-68 і СТ СЕВ 309-76 мають наступні значення: кут профілю 020б = ; коефіцієнт висоти голівки 0,1=∗

ah ; коефіцієнт радіального зазору 25,0=∗c ; радіус закруглення mf 4,0=ρ .

На рис. 4.7 показані три різних варіанти нарізання зубців реєчним інструментом, які відрізняються розташуванням утворюючого контуру і заготівки.

Рисунок 4.7 – Варіанти нарізання зубців

В першому варіанті (рис. 4.7, а) ділильна пряма лінія утворюючого контуру СС торкається ділильного кола заготівки. Інструменту і заготівці надаються такі рухи, за якими ділильна пряма лінія котиться без ковзання по ділильному колу. В залежності від конструкції станка для нарізання зубців необхідний відносний рух (огинання) може бути одержаним або при нерухомій заготівці, або при взаємно згодженому переміщенні інструменту і заготівки. Товщина зубця по ділильній прямій лінії

97

ms р5,0= . (4.7)

У другому варіанті (рис. 4.7, б) ділильна пряма лінія СС зміщена від центру заготівки і по ділильному колу котиться без ковзання початкова пряма лінія НН, яка розташована від ділильної прямої лінії на величину xm, де x – коефіцієнт зміщення. Товщина зуба по ділильному колу у другому варіанті дорівнює ширині впадини рейки на початковій прямій лінії НН:

б2р5,0 xmtgms += , (4.8)

тобто товщина зуба по ділильному колу при x > 0 становиться більша, ніж у колеса, нарізанного без зміщення.

У третьому варіанті (рис. 4.7, в) ділильна пряма лінія зміщена до центру заготівки на величину xm, причому коефіцієнт зміщення вважається від’ємним. Товщина зубця по ділильному колу цього колесу визначається за формулою (4.8) і, через те, що x < 0, становиться меншою, чим у колеса без зміщення.

Всі зубчасті колеса, які нарізаються вказаним способом при одному і тому ж утворюючому контурі і модулю m, як зі зміщенням, так і без зміщення, з будь-яким числом зубців, мають спряжені поверхні. Замітимо також, що незалежно від зміщення, радіус основного кола зв’язаний з радіусом ділильного кола відношенням

бcosrrb = , або бcos5,0 mzrb = , (4.9)

тобто зміщення впливає тільки на товщину зубця по ділильному колу і на розташування ділянки евольвенти, яка використана.

§ 4.7. Геометричний розрахунок евольвентних зубчастих передач

при заданих зміщеннях В залежності від зміщень кожного колеса можна одержати три типа

передач, які відрізняються розташуванням початкових і ділильних кіл. Ці кола співпадають у тих передачах, у котрих по ділильним колам товщина зуба одного колеса дорівнює ширині впадини другого. Вказаній умові задовольняють передачі при 021 =+ xx , тобто передачі, складені із коліс без зміщень, і передачі, в котрих від’ємне зміщення одного колеса дорівнює за абсолютною величиною додатному зміщенню другого колеса. Міжосьова відстань в цих передачах ( )215,0 zzmа += називається ділильною міжосьовою відстанню, а кут зачеплення α дорівнює куту профіля утворюючого контуру (рис. 4.8, а).

98

Рисунок 4.8 – Типи передач

В передачах, у котрих по ділильним колам товщина зубця одного із

коліс більша ширини впадини другого, для зачеплення без бокового зазору міжосьова відстань Wа повинна бути збільшена по зрівнянню з ділильним. Одночасно збільшується і кут зачеплення Wб , оскільки діаметри основних кіл не змінюються (рис. 4.8, б). Ці передачі одержують при 21 xx + > 0. Аналогічно, для передач, у яких по ділильним колам товщина зуба одного із коліс менше ширини впадини другого, маємо: Wа < а і Wб < α (рис. 4.8, в). Ці передачі одержують при 21 xx + < 0.

Рисунок 4.9 – До визначення товщини зубця

99

Для обчислення Wа і Wб визначимо спочатку товщину зубця по

початковому колу. Для цього визначимо кути b

b

rs2 і r

s2 , які стягуються

половинами дуг на основному і ділильному колах:

WW

W

b

b

b

b

invr

sr

s

invrs

rs

б22

б22

+=

+=

,

звідки

б2

б2

invrsinv

rs

WW

W +=+ ,

звідки

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= WWW invinv

rsrs б2б2 .

Підставивши значення товщини зубця по ділильному колу із (4.8) і

беручи до уваги, що 2mzr = і р2

zpr WW = , де Wp - крок по початковому

колу, одержуємо

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += W

WW invinv

mzxmtgmzps б2б22б2

2р

р2 , або

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++= W

WW invinvzxtg

ps ббб2

2р

р .

Для початкових кіл сума товщин зубців дорівнює кроку:

WWW pss =+ 21 . Звідси, після підстановки значень 1Ws і 2Ws маємо

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −++= W

WW

WW invinvztgxpinvinvztgxpp ббб2

2р

рббб2

2р

р 2211

( ) ( )( )Winvinvzztgxx ббб2рр 2121 −++++= ,

звідки

100

( ) б2бб21

21 tgzzxxinvinv W +

++= . (4.10)

Після визначення WWW tginv ббб −= знаходимо за таблицями інволют

кут Wб . Радіуси початкових кіл визначаємо за формулами (4.11)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

===

WW

WWW

bW

mzr

mzrrr

бcos2бcos

бcos2бcos

бcosбcos

бcos

22

1111

. (4.11)

Отже, міжосьова відстань

( )W

WWWzzmrraбcos2

бcos2121

+=+= . (4.12)

Інколи (4.12) записують у вигляді ymaaW += , де y – коефіцієнт

сприймаючого зміщення. Тоді із (4.12) одержуємо

( ) ( ) ymzzmzzm

W

++

=+

2бcos2бcos 2121 , тобто

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 1

бcosбcos

221

W

zzy .

Радіуси кіл впадин rf одержуємо за умови, що ділильна голівка зубця

ріжучого інструменту, яка дорівнює по висоті ( )mcha∗∗ + , при обробці проходе

всередину ділильного кола на величину ( )mxcha −+ ∗∗ (див. рис. 4.7, б).

Звідси ( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+−=

−+−=

∗∗

∗∗

mxchmzr

mxchmzr

af

af

222

111

5,0

5,0

. (4.13)

Радіуси кіл вершин ra (радіуси заготівок) визначаються за умови

одержання радіального зазору mс∗ :

101

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−=

−−=

∗

∗

mcrar

mcrar

fWa

fWa

12

21

. (4.14)

Інколи вводять позначення

yxxy −+=Δ 21 .

Величину yΔ називають коефіцієнтом урівнюючого зміщення. Тоді формули (4.14) перетворюються до вигляду:

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) .

;22

1coscos

22

222

11

21

22

212121

myxhrr

myxhr

mxhmymzmcmxchmz

zzmzzmmcrymar

aa

a

aa

Wfa

Δ−++=

Δ−++=

=−++=−−++−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

+=−−+=

∗

∗

∗∗∗∗

∗

αα

§ 4.8. Побудова картини зовнішнього евольвентного зачеплення Властивості зовнішнього евольвентного зачеплення найбільш наглядно

можна пояснити на прикладі побудови картини зачеплення, тобто графічного зображення зубців, які знаходяться в зачеплені.

Нехай, наприклад, задані числа зубців z1 і z2, модуль m і коефіцієнти зміщення x1 і x2. Вимагається побудувати картину зачеплення, вважаючи, що кут профілю рейкового інструменту 020б = , коефіцієнт висоти голівки 1=∗

ah і коефіцієнт радіального зазору 25,0=∗c .

Вираховуємо спочатку інволюту кута зачеплення за (4.10)

( ) б2бб21

21 tgzzxxinvinv W +

++=

і знаходимо кут зачеплення Wб за таблицею інволют. Потім вираховуємо радіуси початкових кіл (4.11) і міжосьову відстань Wа (4.12):

102

WW

mzrбcosбcos

21

1 = ; W

Wmzr

бcosбcos

22

2 = ; ( )

WW

zzmaбcosбcos

221 += .

За даними обчислень будуємо початкові кола з центрами в точках О1 і

О2. Через точку їх дотику, тобто через полюс зачеплення Р, проводимо лінію nn, яка складає кут Wб з перпендикуляром до міжосьової лінії О1О2. Радіуси основних кіл знайдемо, опустивши на цю лінію перпендикуляри із точок О1 і О2. Для контролю обчислень і побудови маємо формули (4.9):

бcos5,0бcos 111 mzrrb == , бcos5,0бcos 222 mzrrb == .

Далі будуємо евольвентні профілі зубців, перекочуючи лінію nn

спочатку по одному основному колу, а потім по другому. Евольвентні профілі зубців продовжуються до кіл вершин, радіуси яких знаходять за (4.14) після обчислення радіусів кіл впадин за (4.13), тобто

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−−=

−−=

∗

∗

mcrar

mcrar

fWa

fWa

12

21

,

де

( )

( )mxchmzr

mxchmzr

af

af

222

111

5,0

5,0

−+−=

−+−=

∗∗

∗∗

.

Контроль побудови: між колом вершин одного зубця і колом вершин

другого зубця повинен бути радіальний зазор, який дорівнює 0,25m. Точки a і b перетину кіл вершин зубців з лінією зачеплення NшNк

визначають активну лінію зачеплення, тобто ту частину лінії зачеплення, по якій при вибраних розмірах зубців переміщається точка контакту профілей зубців. Активна ділянка профіля зубця колеса 1 (відмічено двома лініями з штриховкою) (рис. 4.9) розташовується від вершини зубця до точки перетину профілю з колом, проведеним із центра О1 через точку а. Відповідно для колеса 2 необхідно провести коло із центру О2 через точку b. Переходні (неробочі) ділянки профілю спрягаються біля кола впадин радіусом m4,0≈ , причому, якщо радіус основного кола більше радіуса кола впадин на величину більшу, чим m4,0 , то додатково вводиться ділянка, окреслена по радіусу. Переходні ділянки можна окреслювати і по другим кривим лініям при дотриманні обов’язкової умови, що вони не будуть приймати участі в зачепленні.

103

Після побудови однієї пари профілей будуються симетричні профілі кожного зубця з урахуванням, що товщина зубця по ділильному колу

( )mxtgs б2р5,0 += . Для визначення вісі симетрії зубця колеса 1 проводимо ділильне коло, радіус якого дорівнює mz5,0 , і від точки перетину профіля зубця з цим колом відкладаємо дуги 2/s . Аналогічно знаходимо вісь симетрії зуба колеса 2.

Далі шляхом копіювання будуються ще декілька зубців, віддалених на відстанях, які дорівнюють кутовим крокам

11

р2z

=τ ; 2

2р2

z=τ .

Контроль графічних побудувань зубців полягає в тім, що точки дотику

кожної пари зубців повинні лежати на лінії зачеплення NшNк . Втім, графічне будування картини зачеплення має лише учбово-методичне значення. Для виконання робочих і складальних креслень достатньо визначення геометричних параметрів зубчатих коліс за формулами (4.10) і (4.14). В залежності від заданих умов послідовність використання цих формул може бути інакшою, чим вказано при побудові картини зачеплень. Наприклад, якщо задана міжосьова відстань Wа , число зубців z1 і z2 і модуль m, то спочатку обчислюють кут зачеплення Wб за (4.12) і потім за (4.10) знаходять необхідну суму коефіцієнтів зміщення 21 xx + .

Приклад. Розрахунок і побудова геометричної картини зовнішнього евольвентного зачеплення зубчастих коліс, якщо 201 =z , 4=m мм, 2,1=u ;

020б = (рис. 4.10). 1. Розрахунок геометричних параметрів зубчастих вінців коліс

242,120 =⋅== uzz шк .

Діаметр ділильного кола шестерні 80204 =⋅== шш mzd мм, колеса 96244 =⋅== кк mzd мм. Міжосьова відстань

( ) ( ) 8896805,05,0 =+=+= кш dda мм.

Висота голівки зубця

104

4== mha мм. Висота ніжки зубця

5425,125,1 =⋅== mhf мм. Повна висота зубця

954 =+=+= fa hhh мм. Діаметр кола виступів (голівки) шестерні 8842802 =⋅+=+= mdd шаш мм, колеса 10442962 =⋅+=+= mdd как мм. Діаметр кола впадин (ніжок) шестерні 7045,2805,2 =⋅−=−= mdd шfш мм, колеса 8645,2965,2 =⋅−=−= mdd кfк мм. Діаметр основного кола шестерні 175,7520cos80бcos 0 =⋅== шbш dd мм, колеса 21,9020cos96бcos 0 =⋅== кbк dd мм. Крок зачеплення 566,124р =⋅== πmp мм. Товщина зуба s і ширина впадини е

283,6414,35,0р5,0 =⋅⋅== ms мм.

2. Побудова картини зачеплення. Згідно з обчисленими параметрами зубчасте зачеплення будується у

такій послідовності: 2.1. Для побудови масштаб обирається таким, щоб висота зубця на

кресленні (формат А1) знаходилась в межах 30…60 мм. Тоді масштабний коефіцієнт лінійних розмірів буде:

3,0309м ===

μhh

l , мммм

де h - дійсна висота зубця; μh - висота зубця на кресленні. 2.2. Проводиться лінія центрів, де відмічаються центри колеса Ок і

шестерні Ош на відстані

2933,0

88м

===l

ааμ мм.

2.3. Згідно з масштабним lм із центрів Ок і Ош проводяться кола зубчастих коліс: основні, початкові (ділильні), виступів і впадин.

2.4. Крізь полюс Р зачеплення слід провести перпендикуляр tt до лінії центрів шкОО . Лінія зачеплення проводиться дотично до основних кіл, при цьому кут зачеплення α повинен дорівнювати 200.

2.5. Із центрів Ок і Ош до лінії зачеплення nn слід опустити перпендикуляри ккNО і шшNО (довжина цих перпендикулярів дорівнює

105

радіусам основних кіл). Лінія шкNN зветься теоретичною лінією зачеплення.

Частина лінії шкNN , що відсікається колами виступів (точка a і b), зветься практичною, або активною лінією зачеплення.

2.6. Будуються евольвентні профілі пари сполучених зубців, що дотикаються один одного у полюсі Р зачеплення. Нехай утворююча пряма nn знаходиться у положенні, коли вона торкається основних кіл bкd і bшd у точках

кN і шN . Для побудови евольвенти, яку описує точка Р, слід поділити відрізок РNк на рівні частини (наприклад, на чотири частки) і відкласти на основному

колі bкd від точки кN дуги, що дорівнюють відповідним часткам відрізка РNк :

4334 =′′∪

, 2112 =′′∪

і т.д. (при малих центральних кутах дуги можна замінити хордами). Через знайдені точки поділення кола до неї проводять дотичні і відкладають на них відрізки, послідовно зменшуючи довжину кожного відрізка на одну частку. Наприклад, із точки 3′ відкладається відрізок, що вміщує три частки, із точки 2′ - дві частки і т.д. З’єднуємо кінці відкладених відрізків (точки 2,3 ′′′′ і т.д.), отримуємо евольвенту.

Для одержання продовженя евольвенти на утворюючій прямій nn від точки кN ліворуч відкладаються відрізки 5645 = і т.д., а на колі bкd - дуги

∪∪′′′′ 65,54 . Для одержання точок евольвенти із точки 5′ проводиться дотична до

основного кола, на якій відкладаються відрізки, що вміщують п’ять часток і т.д. Для спряженого зубця шестерні евольвентний профіль будується подібно.

Неевольвентна частина профілю зубців, тобто частина в межах від основного кола до кола впадин, окреслюється радіальними прямими, які сполучені у основі зубця з колом впадин радіусом ( ) .4,0...25,0 mr =

Для побудови симетричного профілю зубця слід відкласти товщину зубця s вздовж дуги початкового кола, знайти її середину і провести вісь симетрії зубця. Далі за методом дзеркальної симетрії, або за допомогою шаблону будується другий профіль зуба. Побудова профілю сусідніх зубців виконується за допомогою шаблону, однак спочатку слід провести осьові лінії профілю зубців згідно з кутовим, або дуговим кроком.

2.7. Визначається активна (робоча) частина профілю зубця. Враховуючи, що у точці а починається зачеплення, тобто у ній контактує крайня точка зубця колеса, радіусом аОш слід зробити зарубку на профілі зубця шестерні, яка визначить положення крайньої робочої частини зубця шестерні. Зарубка, яку слід зробити на профілі зубця колеса радіусом bОк , визначить крайню точку, що бере участь у зачепленні для колеса.

2.8. Визначається довжина дуги зачеплення вздовж початкового кола, в межах якого відбувається зачеплення зубців. Попередньо пунктиром проводять крізь точки а і b спряжені профілі у положенні початку і кінця зачеплення. Дуги cd і ef між положеннями відповідних профілей зубців на початку і в кінці

106

зачеплення для кожного з коліс є шлях, виміряний вздовж початкового кола, який проходять зубці під час зачеплення однієї пари зубців. Ці дуги звуться дугами зачеплення.

Рисунок 4.10 – Побудова картини зачеплення евольвентних зубчастих коліс

107

§ 4.9. Перевірка додаткових умов при синтезі евольвентного зачеплення

Умова безперервності взаємодії зубців полягає в тому, що друга пари

взаємодіючих зубців повинна увійти в зачеплення раніше, чим вийде із зачеплення перша пара.

Якщо обертання колеса 1 (рис. 4.11) проходе проти ходу годинникової стрілки, то зубець входить в зачеплення, коли його профіль перетинає лінію зачеплення в точці а і виходить із зачеплення в точці b. Кут повороту зубчастого колеса від входу зубця в зачеплення до виходу його із зачеплення називається кутом перекриття колеса аϕ . Відношення кута перекриття до його кутового кроку називається коефіцієнтом перекриття. Для колеса 1

1

1

фа

аϕ

ε = . (4.15)

Для безперервності зачеплення необхідно, щоб кут перекриття був

більшим за кутового кроку, тобто аε > 1.

Рисунок 4.11 – До виведення формули коефіцієнта перекриття

За властивістю утворення евольвенти дуга, яку проходить початкова

точка евольвенти від входу зубця в зачеплення до виходу його із зачеплення,

108

дорівнює довжині активної лінії зачеплення ab. Отже, кут перекриття для колеса 1

11

bа r

ab=ϕ .

Підставивши значення кута перекриття і кутового кроку в (4.15),

одержимо

( ) ;р21

1

brzab

=αε або ( ) ,

bрab

=αε (4.16)

де бcosрmрb = - крок зубців по основному колу. Формулу (4.16) можна одержати також, якщо взяти відношення кута

перекриття 2аϕ колеса 2 до його кутового кроку 2ф . Відрізок ab може бути обчислений за умови

PNaNPNbNab 2211 −+−= .

Підставивши значення указаних відрізків із трикутників O1N1b, O1N1P, O2N2a, O2N2P, одержимо

( ) ( )WabWab tgtgrtgtgrab бббб 2211 −+−= ,

де 1б a і 2б a - кути профілю зубця у вершин, визначені із співвідношень:

1

11бcos

a

ba r

r= ;

2

22бcos

a

ba r

r= ;

звідси коефіцієнт перекриття

( ) ( )

бcosр2бббcos

бcosр2бббcos 2211

mtgtgmz

mtgtgmz WaWa −

+−

=αε ,

або 2

2

1

1

фбб

фбб WaWa tgtgtgtg −

+−

=αε . (4.17)

109

§ 4.10. Підрізання зубців За невеликих числах зубців колеса може бути інтерференція зубців

інструменту і оброблюваного колеса. У цьому випадку ріжучі окрайки інструменту зріжуть частку оброблюваного зубця, на яку накладається зубець інструменту. Якщо інтерференція проходе між голівкою зубця інструменту і ніжкою оброблюваного зубця, то вона називається підрізанням. Значне підрізання послабляє ніжку зубця і через це є недопустимим; невелике підрізання вигідно для покращення умов контакту зубців на початку (або в кінці) зачеплення.

При рейковому зачепленні лінія зачеплення обмежена тільки точкою А (рис. 4.12).

Рисунок 4.12 – До визначення підрізання зубців

Граничний випадок, коли нема підрізання, характеризується проходженням через цю точку прямої, яка обмежує прямолінійну частину утворюючого контуру, тобто збіг точок А і а. Тоді із трикутника АРО маємо

бcos5,05,0 2zmmhmxzm a =−+ ∗ ,

звідси бsin5,0 2zhx a −= ∗ .

При 020б = , 0,1=∗

ah

1717 zx −

≅ . (4.18)

110

Отже, якщо число зубців оброблюваного колеса менше 17, то при нарізанні зубців рейковим інструментом з кутом 020б = і 0,1=∗

ah необхідно приймати додаткове зміщення за формулою (4.18). Зі збільшенням кута профілю рейки α мінімальне число зубців коліс, які нарізаються без зміщення, зменшуються.

§ 4.11. Швидкість ковзання зубців коліс циліндричної передачі

Рисунок 4.13 – До визначення швидкості ковзання зубців коліс

111

Швидкість ковзання зубців для моменту контакту їх в точці К:

( ) ( )2111212121 бббб KKbKKNК

tК

tКККковз tgtgrtgtg −=−=−== ωυυυυυ , (а)

де

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

+=

2

22

1

11

б

б

b

kpK

b

kpK

rll

tg

rll

tg

. (б)

Питоме ковзання зубців шестерні враховується коефіцієнтом питомого

ковзання:

;11

1бб11л

1

221

1

2

1

2

1

111

2

222

111

222

1

2

1

211

ρρ

ρωω

ω

ω

ωω

υυ

υυυ

uсr

llr

rll

r

tgrtgr

b

kpb

b

kpb

Kb

KbtК

tК

tК

tК

tК

−=−=

=+

−

−=−=−=−

=

Позначаючи ,21 lNN = ,1 x=ρ маємо коефіцієнти питомого ковзання

зубців шестерні λ1 і колеса λ2:

21211 1л uxlu −+= .

Аналогічно ,1л 122

122 xl

xutК

tК

tК

−−=

−=

υυυ

або 12122 1л uxl

lu−

−+= .

Тут ,1

2

2

112 z

zu ==ωω

,2

1

1

221 z

zu ==ωω

x – відстань від точки N1 дотику

теоретичної лінії зачеплення з основним колом першого (меншого) колеса, відліковане у напрямку до точки N2.

Користуючись формулами у прямокутних дужках, складемо таблицю значень λ1 і λ2. Для цього заміряємо довжину l, підставляємо одержане значення в формули, а потім рахуємо ряд значень λ1 і λ2, змінюючи x в межах від 0 до l з інтервалами 15…30 мм.

112

Таблиця значення λ1 і λ2

x 0 … … … … … N1P l λ1 - ∞ 0 1 λ2 1 0 - ∞

Необхідно знати, що в полюсі Р коефіцієнти λ1 і λ2 дорівнюють нулю. Користуючись даними, наведеними в таблиці, будуємо діаграми для

значень коефіцієнтів λ1 і λ2 в прямокутній системі координат (рис. 4.14).

Рисунок 4.14 – Діаграми питомих ковзань зубців шестерні λ1 і колеса λ2 .

113

Розділ п’ятий

Синтез кулачкових механізмів

§ 5.1. Визначення основних розмірів кулачкових механізмів. Види кулачкових механізмів.

Вхідною ланкою в кулачковому механізмі звичайно є кулачок, тобто

ланка, якій належить елемент вищої пари, виготовлений у вигляді поверхні змінної кривизни. Прямолінійно рухаюча ланка зветься штовхачем, а обертаюча (коливаюча) – коромислом. Для зменшення тертя по поверхні кулачка вихідна ланка часто наділяється роликом.

Рисунок 5.1 – Види кулачкових механізмів

Постійне торкання ланок у вищій парі забезпечується силовим, або геометричним замкненням.

При силовому замкненні (рис. 5.1, а, б) постійне притискання ланок відбувається під дією пружини, сили ваги і т.д.

При геометричному замкненні можливість віддаленню однієї ланки від другої унеможливлюється введенням допоміжної (залишкової) в’язі, яка не накладає нових обмежень на відносний рух ланок. Одним із розповсюджених способів геометричного замкнення є застосування пазового кулачка (рис. 5.1, в).

Еквівалентні (замінюючі) механізми Якщо в механізмі з вищою парою обидві її ланки утворені поверхнями

с постійною кривизною, то цей механізм може бути заміненим кінематично еквівалентним механізмом з нижчими парами. Наприклад, ексцентрикові механізми замінені на кривошипно-повзунковий (рис. 5.2, а), або на кривошипно-коромисловий (рис. 5.2, б). Якщо один із профілей – пряма лінія,

114

то його центр кривизни віддаляється у безкінечність і замість шарніра у замінюючого механізму буде поступальна пара (рис. 5.2, в).

Рисунок 5.2 – Заміна кулачкового механізму шарнірно-стержньовим

Кут тиску на ведену ланку кулачкового механізму. Основні розміри

кулачкового механізму вибираються за умов виконання заданих обмежень із яких, в першу чергу необхідно відмітити обмеження по куту тиску.

Визначимо, наприклад, кут тиску на веденій штовхач 2 для механізму (рис. 5.3), у якого центр ролика В рухається по прямій, зміщеної відносно центру обертання кулачка 1.

Рисунок 5.3 – До визначення кута тиску для кулачкового механізму

115

Зміщення е вважаємо додатним, якщо напрям швидкості штовхача при його підйомі складає гострий кут з напрямною швидкості точки контакту на кулачці.

Переміщення штовхача s і кут повороту кулачка φ відліковуються від положення початку фази підйому, тобто від найнижчого положення центра ролика, який знаходиться на відстані Rо від центра О обертання кулачка. Ця відстань, яка зветься початковим радіусом, співпадає з мінімальним радіус-вектором центрового профілю кулачка, під яким розуміється траєкторія центра ролика відносно кулачка.

Кут тиску ϑ на ведений штовхач дорівнює куту між нормаллю n-n до центрового профілю (або, те ж саме, до профілю кулачка) і швидкістю центра ролика. Його величину можна знайти із повернутого на 900 плану швидкостей, побудованого за рівнянням

1212 BВВВ υυυ

rrr+= . (5.1)

Полюс плану швидкостей Pv сполучаємо з центром ролика, а точку b1 плану – з центром обертання кулачка. Тоді масштабний коефіцієнт плану швидкостей буде дорівнювати:

( )( )( ) l

lOBВv OB

OBOBl

hB

ωμμωωυμ

υ

====1

1 , (5.2)

де lμ - масштабний коефіцієнт довжин; ω – кутова швидкість кулачка. Із точки b1 проводимо напрямок вектора 12BВυ

r (у повернутого плану швидкостей

паралельно нормалі (n-n) до перетину з проведеного із полюсу Pv перпендикуляром до швидкості штовхача 2Вυ

r. Одержаний відрізок Pvb2 дає

модуль швидкості 2Вυr

:

( ) vvВ bР μυ 22 = . (5.3)

Підставивши в цю формулу масштабний коефіцієнт із (5.2) і

враховуючи, що ωυ SВ ′= 2 (оскільки ( )ϕSS = і dtd

ddS

dtdS ϕ

ϕ⋅= ), ϕd

dSS =′ - аналог

швидкості штовхача, одержимо

( ) ωμω lvbPS 2=′ , звідки

( )l

vSbPμ′

=2 , (5.4)

116

тобто відрізок ( )2bPv в масштабі схеми відображає аналог швидкості штовхача. Із трикутника 21кbb з урахуванням (5.4) знаходимо

( )2222

2

1

2

eRSeS

eRS

ebPкbкbtg

oo

v

−+

−′=

−+

−==ϑ . (5.5)

Для кулачкового механізму з центральним штовхачем, тобто для

механізму без зміщення (е = 0), маємо

0RSStg+′

=ϑ . (5.5)

Етапи синтезу кулачкового механізму

1 етап – визначення мінімального радіус-вектора кулачка Rо; 2 етап – визначення елемента вищої парі на кулачці за заданою

залежністю між переміщенням вхідної і вихідної ланки.

Рисунок 5.4 – Типова залежність між переміщення штовхача s і кутом

повороту кулачка ϕ

У відповідності з видом графіка ( )ϕSS = ділянка на куті вϕ - фаза віддалення; на куті нϕ - фаза наближення. Між ними можуть бути фази стояння:

св.ϕ - верхнього стояння; сн.ϕ - нижнього стояння.

117

§ 5.2. Силовий аналіз кулачкового механізму з урахуванням тертя При силовому аналізі напрям відносних швидкостей у всіх

кінематичних парах вважаються заданими. Через це в рівняннях кінетостатики сили тертя увійдуть з відомим знаком на відміну від шуканих реакцій.

Рисунок 5.5 – До силового аналізу кулачкового механізму

Тертя враховуємо тільки в напрямних поступальної пари, причому вважаємо, що внаслідок достатнього зазору в цій парі ланки 2 при його перекосі торкається напрямних у двох точках В і С на відстані l.

При силовому аналізі вважаємо заданими кутові швидкість 1ω і прискорення 1ε ланки 1, швидкість 2υ і прискорення 2а ланки 2, момент інерції I1 ланки 1 відносно вісі її обертання, масу m2 ланки 2, розміри l і z, коефіцієнт тертя f, кут ϑ і зовнішню силу F2, яка діє на ланку 2. Необхідно знайти реакції 21R

r, bR20

r, cR20

r і 10Rr

. Рівняння кінетостатичної рівноваги ланки 2 за наведеними на рисунку

напрямках реакцій записуємо у вигляді рівнянь проекцій на осі Ах і Аy і рівняння моментів відносно точки А:

118

;0sin212020 =−+−=∑ ϑRRRF cbix (5.7)

( ) ;0cos 222212020 =−−++−=∑ amFRRRfF cb

iy ϑ (5.8)

( ) ( ) .02020 =−+=∑ zRzlRFm cbcA (5.9)

Із (5.9) маємо .2020 zzlRR bc +

= Підставивши значення cR20 в (5.7),

знаходимо ,0sin212020 =−+

+− ϑRz

zlRR bb звідки 0sin2120 =− ϑRzlRb і

0sin2120 ==

lzRRb ϑ

. Тоді ϑsin2120 llzRRc +

= .

Тепер, із рівняння (5.8) одержуємо

,0cossin22222121 =−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− amFRRl

lzf ϑϑ

звідки .sin21cos 22221 amFlzfR +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− ϑϑ Тоді

ϑϑ sin21cos

22221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+=

lzf

amFR . (5.10)

Як можна бачити, bR20 , cR20 при 21R > 0 мають знак плюс, тобто

направлення реакцій були вибрані правильно. Якщо б величина bR20 (або cR20 ) вийшла від’ємною, то слід було б змінити напрям відповідної реакції на протилежне. При цьому систему рівнянь (5.7) і (5.9) довелось розв’язувати заново, оскільки в рівняннях (5.7) і (5.9) знак перед bR20 (або cR20 ) змінився б, а в рівнянні (5.8) залишається таким же через незмінність напрямку сил тертя.

Реакція на кулачок з боку стійки 10Rr

знаходиться із співвідношення

211210 RRRrrr

=−= , а рівняння моментів для ланки 1 відносно точки О дає тотожність

,01212111 =−− hRIT ε (5.11)

якщо закон руху початкової ланки, прийнятий при визначенні сил інерції, відповідає заданим зовнішнім силам.

119

Кут тиску і ККД Кутом тиску на ланку і збоку ланки j називається кут ijϑ між

напрямком сили тиску (нормальної реакції) на ланку і збоку ланки j і швидкістю точки прикладення цієї сили. Коли розглядається лише один кут тиску, індекси в позначеннях пропускаються. Наприклад, при синтезі кулачкового механізму має значення тільки кут тиску 21ϑ , який позначається через ϑ .

Зі збільшенням кута ϑ збільшуються складові bR20 і cR20 . Відповідно зростають втрати потужності на тертя. При великих значеннях кута тиску можливе навіть самогальмування. Воно настає при умові, якщо знаменник в (5.10) перетворюється в нуль, тобто при

( )zlfltg

2+=ϑ . (5.12)

ККД механізму вираховується за б.м. відрізок часу, як миттєвий ККД у

вигляді

,1

01

TT

=η

де 0

1T - момент рушійних сил без урахування сил тертя; 1T - те ж з урахуванням сил тертя без урахування сил інерції.

;sin21cos

1221

ϑϑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

lzf

hFT ϑcos1220

1hFT = ( ).0=f

Тоді ,21112 ϑη tglzf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= (5.12*)

звідси одержуємо, що коли 012 =η , то настає самогальмування ( )zlfltg

2+=ϑ ,

що співпадає з (5.12).

Вибір допустимого кута тиску Розрізнюють два основних випадків допустимого кута тиску в

кулачкових механізмах:

120

1) ставиться вимога одержати малі габарити механізму; 2) ставиться вимога одержати високий ККД. Для одержання малих

габаритів необхідно зменшувати початковий радіус 0R . Але при цьому, згідно з (5.5) збільшується кут тиску і ростуть реакції в кінематичних парах. Цей ріст реакцій можна оцінити коефіцієнтом росту реакцій

,21

FR

=ξ (5.13)

де 21R - модуль реакції на ведений штовхач з боку кулачка, чи ролика;

222 amFF += - модуль сили опору, яка діє на штовхач (включаючи і силу інерції). З урахуванням (5.10), маємо

.sin2cos

1

ϑϑξ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

lzlf

(5.14)

Звідси, задавшись граничним значенням коефіцієнта росту зусиль maxξ ,

одержуємо рівняння для визначення допустимого кута тиску

.1sin2cosmax

maxmax ξϑϑ =

+−

lzlf (5.15)

Наприклад, при ,2max =ξ ,0=f ,0=z одержуємо ;600=допϑ при ,2max =ξ 3,0=f і 0=z одержуємо 044=допϑ і т.д. Для одержання достатньо високого ККД при невеликих габаритах

необхідно вибрати оптимальне значення миттєвого ККД, позначеного оптη , і підставивши це значення в (5.12*) при допϑϑ = :

допопт tgl

zlf ϑη ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=21 .

Звідки

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

lzlf

tg оптдоп 2

1 ηϑ . (5.16)

121

Наприклад, при ,85,0=оптη 3,0=f і 0=z одержуємо ,5,0=допtgϑ 027≈допϑ . Отже, в першому випадку (найменші габарити) можна приймати

достатньо великі значення допустимого кута тиску, які все ж, менші кута, відповідного самогальмуванню. У другому випадку допустимий кут тиску не перевищує 300. Це значення кута тиску звичайно і вважається допустимим.

Визначення основних розмірів за умови обмеження кута тиску Допустимий кут тиску, як було показано вище, вибирають в широких

межах, через це визначення основних розмірів кулачкового механізму за умов обмеження кута тиску часто виконують шляхом простих графічних побудов.

При силовому замкненні кут тиску кулачка на штовхач враховують тільки на фазі віддалення (підйому), оскільки при наближенні (опусканні) штовхач рухається під дією сили пружини. Для визначення попереднього радіуса 0R в кулачковому механізмі з центральним штовхачем диференціюємо переміщення штовхача s за кутом повороту кулачка ϕ і будуємо графік

залежності аналога швидкості штовхача ωυ

ϕ==′

ddSS від переміщення S (рис.

5.6, а).

Рисунок 5.6 – Визначення 0R кулачка графоаналітичним методом

Осі цього графіку розташовуємо у відповідності з повернутим планом швидкостей (див. рис. 5.3), тобто вісь S направляємо уверх, значення S ′ при обертанні кулачка проти ходу годинникової стрілки відкладаємо вліво на фазі

122

віддалення (підйому). Масштабні коефіцієнти на осях графіка повинні бути рівні масштабному коефіцієнту довжин lм .

Отже, для визначення 0R повинні бути відомими: а) закон переміщення ВS штовхача за фазу його віддалення як функція

кута повороту ϕ кулачка (або часу t); б) закон зміни аналогу швидкостей S ′ штовхача за фазу віддалення як

функція кута ϕ (або закон зміни швидкості як функція часу t); в) максимально допустимий кут тиску допϑ при віддаленні штовхача; г) дезаксіал е. Розв’язання аналітичне Із виразу (5.5) маємо

22

20 eS

tgeSR B

доп

B +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−′=

ϑ . (5.17)

Формула (5.17) показує, що при е= const 0R змінюється в залежності

від величини BS ′ і переміщення BS . Тому для кожного положення механізму буде свій радіус 0R , при якому maxϑϑ = .

Якщо визначити 0R для всіх положень механізму, то найбільше значення його буде шуканим. Але, щоб не визначати радіуси 0R для декількох положень механізму, можна за (5.17) визначити екстремальне його значення.

Для цього беремо часткову похідну ϕ∂∂ 0R

і прирівнюємо її до нуля:

.022

0 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−′

∂∂

=∂∂ e

StgeSR

Bдоп

B

ϑϕϕ

Тоді одержимо

.Bдоп

B Stg

S ′=′′

ϑ (5.18)

В (5.18) закон зміни ( )ϕfSB =′′ здається попередньо в умовах задачі,

або знаходиться шляхом диференціювання закону зміни BS ′ як функції кута ϕ . На підставі останнього рівняння визначають те значення кута, при якому радіус

123

0R буде найбільшим. Далі визначають BS ′ і BS за знайденим кутом ϕ і, під кінець, із (5.17) знаходять шуканий 0R .

Приклад. В кулачковому механізмі повний хід штовхача 50max == HS

мм; дезаксіал e = 10 мм; кут віддалення 090=bϕ і максимально допустимий кут тиску 030=допϑ . Замкнення пари силове. Закон руху штовхача

косінусоїдальний: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

b

HSϕϕрcos1

2 . Визначити найменший радіус 0R .

Розв’язання. 1) Користуючись рівнянням (5.18) визначаємо кут ϕ , за якого 0R буде найбільшим. Для цієї мети в (5.18) за заданим законом руху штовхача підставляємо значення BS ′ і BS ′′ :

,рsin2ррcos

2р

2

2

допbbbb

tgHH ϑϕϕ

ϕϕϕ

ϕ=

.рр

допbb tgtg

ϑϕϕϕ=

Підставивши значення 2р

=bϕ і 030=допϑ , маємо

;466,3577,02

3022 0 ===

tgtg ϕ

;9,73466,32 0== arctgϕ .753695,36 00 ′==ϕ

2) Визначаємо переміщення штовхача

( ) ( )

( ) .07,182773,0125

95,362cos12

502cos12

рcos12

0

мм

HHSb

B

=−=

=⋅−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ϕ

ϕϕ

3) Визначаємо аналог швидкості штовхача

124

.04,489608,0509,73sin50

2sinр

2рsinр2

2ррsin2р

0 мм

HHHSbb

B

=⋅==

==⋅⋅

==′ ϕϕϕϕ

ϕ

4) Визначаємо мінімальний радіус кулачка

222

02

220 313,23901007,18

301004,48 мм

tges

tgesR B

доп

B =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−′=

ϑ ,

звідки 89,480 =R мм; приймаємо 490 =R мм. Розв’язання графоаналітичне. Підставою такого методу розв’язання є вираз (5.4), який відображає в

масштабі lS мм = аналог швидкості штовхача для різних положень ланок механізму, тобто

( ) ,мм

мммм2 μμ ωωϕϕVzVV

dtddtV

ddSSbP

l

v

l

B

l

B

llv =====

′= (5.19)

де μV - значення ординат, що беруться з графіку ( )tfVB 2= для відповідних

положень механізму (в мм); ωlvz

мм

= . Після побудови графіку ( )222 BBB SSS ′=′

проводять дотичну τ-τ під кутом допϑ до вісі S. Тоді відстань ОВ0 і дає шукане значення 0R в прийнятому масштабі довжин lS мм = .

Доведенням цього твердження є наступні дві умови: 1) кут між віссю S і прямою 2bPv для будь-якої точки графіка ( )SS ′

дорівнює куту ϑ , оскільки тангенс цього кута відповідає формулі (5.6); 2) за наведеним рисунком максимальне значення кута тиску дорівнює

maxϑ . Слід помітити, що будь-яка точка b2 графіку ( )SS ′ , центр обертання кулачка О і ордината 2bPv утворюють трикутник, співпадаючий з повернутим планом швидкостей 12 bPb v (рис. 5.3). Початковий радіус 0R можна зменшити при тому ж значенні допϑ , якщо застосувати зміщений штовхач. Тоді центр обертання кулачка О знаходиться на перетині дотичної τ-τ з лінією, проведеною під кутом допϑ до вісі S через точку В0 (рис. 5.6, б). Положення точки О визначає зміщення (дезаксіал) е і початковий радіус 0R .

125

§ 5.3. Визначення профілю кулачка Вибір закону руху вихідної ланки кулачкового механізму Кулачкові механізми мають переважне розповсюдження в машинах-

автоматах, де головною умовою є виконання заданої послідовності переміщень оброблюваних виробів і інструментів. Ця умова визначає звичайно тільки фазові кути повороту кулачка, які наведені на рис. 5.4. В середині ж кожної фази підйому і опусканню залежність переміщення вихідної ланки від кута повороту кулачка або часу може вибиратися різною у відповідності з додатковими умовами.

Закони руху вихідних ланок, які задовольняють одним і тим же граничним умовам, порівнюють за допомогою безрозмірних коефіцієнтів, виражаючих кінематичні та динамічні характеристики механізму.

При проектуванні (синтезі) кулачкового механізму закон руху веденої ланки звичайно задають законом зміни прискорень, за яким інтегруванням визначають закон зміни швидкостей, а потім вторинним інтегруванням визначають закон переміщень.

На вибір закону руху веденої ланки, крім технологічних умов роботи механізму, можуть чинити вплив, зокрема, наступні міркування:

а) механізм повинен працювати без жорстких ударів, тобто швидкості веденої ланки не повинні миттєво одержувати кінцеві зміни. Жорсткі удари допустимі тільки в тихохідних машинах і невеликих масах рухомих частин;

б) м’які удари, тобто миттєві зміни на кінцеву величину прискорень веденої ланки, у багатьох випадках небажані і повинні бути зведені до мінімуму, або навіть зовсім усунути;

в) максимальна величина прискорень веденої ланки повинна бути можливо найменшою.

Розглянемо деякі закони руху веденої ланки за час її віддалення з крайнього ближнього до крайнього дальнього положення. Очевидно, протилежний рух веденої ланки буде характеризуватися аналогічними рівняннями і діаграмами.

1. Діаграма прискорень – два прямолінійних відрізка, паралельних

вісі абсцис (рис. 5.7, а). Вихідні дані: ;1000=bϕ 200=n об/хв; 15max =S мм. 1) Час, за який проходить кулачок на кут віддалення

cn

t bв 0833,0

2006100

6=

⋅==

ϕ.

126

2) Відрізок μвt , відповідний повороту кулачка на кут bϕ прийнятий 80=μвt мм. Тоді

00104,0800833,0м ===

μв

вt t

t мм

c,

0003,050015,0м

max

max ===μS

SS мм

м,

000164,00833,022

0003,0м1

=⋅

==t

Sv H μ

μ ммм/c

,

0000655,00833,030

000164,0ммм =

⋅==

t

va H мм

м/c2

.

В цьому випадку ведена ланка рухається спочатку рівномірно-прискорено, а потім – рівномірно-уповільнено. Хай час прискореного і уповільненого рухів однакове. Тоді прискорення і уповільнення за абсолютної величини однакові, але прискорений і уповільнений рухи виражаються різними рівняннями:

1) При 20 вtt ≤≤ (прискорений рух) маємо ,max consta

dtda =+==υ

звідки, враховуючи, що при ,0=t ,0== Sυ одержимо ;maxta=υ .21 2

maxtaS =

В кінці прискореного руху ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

2вtt ;

21

maxmax вta=′== υυυ

.81 2

max вtaSS =′=

2) При вв tt

t≤≤

2 (уповільнений рух) маємо ,max constadtda =−==υ

звідки,

;2maxmax

2

max ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−+′= ∫ в

t

t

ttadtaв

υυυ

.22

12

2

maxmax

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+′=+′= ∫ вв

t

t

ttattSdtSSв

υυ

127

Рисунок 5.7 – Діаграми руху штовхача

128

В момент ytt = ;81

41

81 2

max2

max2

maxmax ввв tatataSS −+==

2maxmax 4

1вtaSS == .

Одержані рівняння показують, що діаграма швидкостей в

розглянутому випадку складається із двох відрізків прямої (рис. 5.7, б), а діаграма переміщення – з двох парабол другої ступені (рис. 5.7, в). У відповідності з цим одержаний закон руху називають простим параболічним законом.

За рівномірного обертання кулачка

в

в

ttϕϕω == ,

де ϕ - кут повороту кулачка, відповідний довільному часу t, а ω – його кутова швидкість.

Звідси легко на підставі одержаних вище рівнянь знайти аналітичний вираз швидкості і переміщення штовхача в залежності від кута повороту кулачка. Оскільки величини maxS і вt при проектуванні кулачкового механізму задаються, то істотно через ці параметри виразити прискорення і максимальну швидкість штовхача:

2max

max 4вt

Sa = ; ;4

21

21

2max

maxmax вв

в tt

Sta ==υ

вtSmax

max 2=υ .

На рис. 5.7 (б, в) діаграми ( )t,υ і ( )tS , одержані із діаграми ( )ta,

графічним інтегруванням. При цьому необхідно звернути увагу на наступну особливість. Масштабом tм часу при побудові вказаних діаграм можна задатися, але діаграму ( )ta, приходиться будувати в невизначеному масштабі.

Істинний масштаб ам цієї діаграми зв’язаний з масштабами vм і Sм співвідношеннями:

tav H ммм = і .ммммм 2

11 tatvS HHH ==

Оскільки ордината CD діаграми ( )tS повинна зображати в масштабі Sм заданий хід maxS веденої точки, то ( ) ,мм maxmax SCDS SS == звідки

( ) .мmax

maxmax

μSS

CDS

S ==

129

Таким чином, знаючи масштаб Sм переміщень, легко визначити масштаби vм і ам швидкостей і прискорень. Отже, масштаби vм і ам можуть бути визначеними тільки після того, коли закінчена побудова діаграми переміщень, тобто

;м

мм1 t

Sv H= .

ммм

t

va H=

Діаграми ( )ta, , ( )t,υ і ( )tS , з параметром часу можна розглядати як діаграми ( )ϕ,a , ( )ϕυ, і ( )ϕ,S з параметром переміщень, якщо від масштабу tм перейти до масштабу tмм ωϕ = .

2. Діаграма прискорень – два рівнобедрених трикутників (рис. 5.8,

а)

Рисунок 5.8 – Діаграми руху штовхача

130

В цьому випадку аналітичні вираження для прискорення швидкості і переміщення веденої ланки приходиться складати для кожного із трьох інтервалів часу, відповідних трьом відрізкам ломаної, яка зображує діаграму прискорень.

1) При 0 < t < t', де 4вtt =′ , маємо .кt

dtda ==υ

Оскільки maxaa = при tt ′= , то ,4maxвtкtкa =′= звідки

.4 maxmax

вta

taк =′

=

;21 2

00

кtкtdtadttt

=== ∫∫υ .61

21 3

0

2

0

кtdtкtdtStt

=== ∫∫υ

При tt ′=

;814

21

1621

21

max

2max

22

вв

вв tat

tatккt ====′=υυ

.9614

6461

6461

61 2

maxmax

333

вв

вв tat

attккtSS =⋅===′=

2) При t'< t < t'', де вttt433 =′=′′ , маємо:

);(max ttкadtda ′−−==υ

( ) ( ) ;21 2

max ttкttaadtt

t

′−−′−+′=+′= ∫′

υυυ

( ) ( ) ( ) .61

21 32

max ttкttattSdtSSt

t

′−−′−+′−′+′=+′= ∫′

υυ

131

При tt ′= 2 швидкість сягає максимальної величини (рис. 5.8, б)

вв

вв

ввв tat

tatatкtata max

2max

max

2

maxmaxmax 41

164

21

83

1621

481

=−=−+==υυ .

При ttt ′=′′= 3

( )

;81

1644

21

42

81

4212

81

max

2max

maxmax

2maxmax

вв

в

вв

в

tatt

atata

tкtata

=−+=

=′−′+=′′=υυ

.9611

121

81

161

961

6484

61

164

21

42

81

961

2max

2max

2max

2max

2max

3max

2

maxmax2

max

ввввв

в

в

вввв

tatatatata

tt

atattataSS

=−++=

=−++=′′=

3) При t''< t < tв маємо:

);(max ttкadtda ′′−+−==υ

( ) ( ) ;21 2

max ttкttaadtt

t

′′−+′′−−′′=+′′= ∫′′

υυυ

( ) ( ) ( ) .61

21 32

max ttкttattSdtSSt

t

′′−+′′−−′′−′′+′′=+′′= ∫′′

υυ

При вttt =′= 4 (рис. 5.8, в)

132

;81

9612

644

61

1621

481

9611

2max

2max

3max

2

maxmax2

maxmax

вв

в

в

вввв

tata

tt

atattataSS

==

=+−+==

звідки 2max

max 8вt

Sa = ;

;016

421

481 2

maxmaxmax =+−= в

в

вв

tt

atataυ

;841

41

2max

maxmaxв

вв tS

tta ==υ

вtSmax

max 2=υ .

3. Діаграма прискорень – дві рівні рівнобокі трапеції (рис. 5.9, а) Прискорення, швидкості і переміщення веденої ланки мають різні

аналітичні вираження для кожного з п’яти інтервалів часу, відповідних п’ятьом відрізкам ламаної, яка зображає діаграму прискорень. Нехай вtt ξ=′ , тоді

( ).412

22

ξ−=′−=′−′′ вв tt

ttt

1) При 0 < t < t' маємо кtdtda ==υ

, де ;maxmax

вta

ta

кξ

=′

= ;21 2кt=υ

.61 3кtS =

При tt ′=

( ) ;21

21

max2max

ввв

tatt

aξξ

ξυυ ==′=

.61 22

max вtaSS ξ=′=

133

2) При t'< t < t'' маємо:

,max constadtda ===υ

через це ( ),max tta ′−+′=υυ ( ) ( ) .21 2

max ttattSS ′−+′−′+′= υ

При tt ′′=

( ) ( )ξξξυυ 312141

21

21

maxmaxmax −=−+=′′= ввв tatata ;

( ) ( )

( )

;81

43

67

281

41

65

168141

21

41

61

4121

2141

21

21

61

2max

2max

22max

22max

2max

2max

2max

22max

22max

22max

2max

22max

2

maxmax22

max

ввв

ввввв

вввв

вввв

tatata

tatatatata

tatatata

tattataSS

+−=

=+−++−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−⋅+=′′=

ξξ

ξξξξ

ξξξξξ

ξξξξ

( )31828241 22

max +−=′′= ξξвtaSS .

3) При t''< t < t''' маємо:

( ),max ttкadtda ′′−−==υ

звідки

( ) ( ) ;21 2

max ttкtta ′′−−′′−+′′=υυ

( ) ( ) ( ) .61

21 32

max ttкttattSS ′′−−′′−+′′−′′+′′= υ

134

Рисунок 5.9 – Діаграми руху штовхача

135

Аналогічно розв’язуються задачі для останніх двох інтервалів. При ttt ′′+= одержуємо

( ) ( ) ( )

( )

;21

21

23

21

2131

21

2131

21

maxmax

maxmaxmaxmax

22maxmaxmax

2maxmaxmaxmax

вв

вввв

вв

вв

вв

tata

tatatata

tt

atata

tt

atata

+−=

=−+−=

=−+−=

=′−′+−==

ξ

ξξξ

ξξ

ξξ

ξξυυ

( )ξυυ 2121

maxmax −== вta ;

( ) ( )

;41

81

61

21

23

21

67

43

81

61

2131

2128183

241

2max

2max

22max

22max

22max

2max

22max

2max

2max

33max22max

2max

22max

ввв

вввввв

вв

ввв

tatata

tatatatatata

tt

atatataS

ξξ

ξξξξξ

ξξ

ξξξξξ

−=−

−+−++−=

=−+−++−=

( )ξ2181

21 2

maxmax −== вtaSS .

Таким чином,

( )ξ2141 2

maxmax −= вtaS .

На рис. 5.9 (б, в) діаграми ( )t,υ і ( )tS , одержані шляхом графічного

інтегрування. Якщо ξ = 0, то

136

вtamaxmax 21

=υ і 2maxmax 4

1вtaS =

(результат, одержаний при розгляді випадку 1).

Якщо ,41

=ξ то

вtamaxmax 41

=υ і 2maxmax 8

1вtaS =

(результат, одержаний при розгляді випадку 2).

Виразимо maxa і maxυ через maxS :

2max

max 214

вtSa ⋅

−=

ξ ,

( ) ( ) ( )ξξ

ξυ 2121

42121

21

2max

maxmax −⋅−

⋅=−= вв

в tt

Sta ,

вtSmax

max 2=υ .

4. Діаграма прискорень – косинусоїда (рис. 5.10, а).

Позначивши через maxa максимальну абсолютну величину прискорення, маємо

,cosmax кtaа =

але при вtt = повинно бути ,π=вкt звідки .вt

к π=

Отже,

;cosmaxвtta

dtdа πυ

==

;sin max0

attt

adtв

вt π

πυ == ∫

.cos1max2

2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫

в

вt

tta

tdtS π

πυ

137

Рисунок 5.10 – Діаграми руху штовхача

138

При 2вtt = (рис. 5.10, б) маємо

maxmax atвπ

υυ == .

При вtt = (рис. 5.10, в) маємо

2max2max

2вtaSS

π== .

Отже,

2max

2max

2

max 93,42 вв t

St

Sa ==π

;

;2 2

max2

maxmax π

ππ

υ в

вв

tt

Sta== або

вв tS

tS maxmax

max 57,12

==πυ .

Як це випадає із одержаних результатів і рис. 5.10 (в), графік

переміщень в даному випадку зображує собою косинусоїду, зміщену відносно

вісі абсцис на відстань 2maxS

. У відповідності з цим одержаний закон руху

називають косинусоїдальним. 5. Діаграма прискорень – синусоїда (рис. 5.11, а) Аналогічно попередньому

,sinmax кtaа =

але при вtt = маємо ,2π=вкt через це вt

к π2= і .2sinmax

вttaа π

=

Отже,

;2cos12 max

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫

в

вt

ttatadt π

πυ

139

Рисунок 5.11 – Діаграми руху штовхача

140

.2sin24 max2

2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫

вв

вt

tt

ttatdtS ππ

πυ

При 2вtt = (рис. 5.11, б) маємо

maxmax atвπ

υυ == .

При вtt = (рис. 5.11, в) маємо

.2 max

2

max atSS в

π==

Звідси

2max

2max

max 28,62вв t

St

Sa == π ;

,2 2max

maxв

в

tSt

ππ

υ = або вt

Smaxmax 2=υ .

Хоча одержаний закон руху веденої ланки і називають звичайно

синусоїдальним, але крива відстаней не є синусоїда. Ординати S точок цієї

кривої складаються із ординат прямої вt

tSS max1 = і ординат синусоїди

вttSS π

π2sin

2max

2 = , що можна використати при побудові кривої відстань.

У всіх розглянутих вище випадків максимальне прискорення і максимальна швидкість штовхача виражаються в залежності від ходу maxS штовхача і часу tв віддалення наступним способом:

2max

maxв

а tSкa = ;

вtSк max

max υυ = ,

141

де ак і υк - коефіцієнти, які залежать від вибраного закону прискорень.

Порівняльну характеристику розглянутих випадків дає табл. 1. Таблиця 1

№ п/п

1 рис. 5.7

2 рис. 5.8

3 рис. 5.9

4 рис. 5.10

5 рис. 5.11

ак 4 8 ξ21

4− 4,93 6,28

υк 2 2 2 1,57 2 Число м’яких ударів за

час віддалення 3 - - 2 -

Визначення профілю кулачка за заданим законом руху штовхача.

Рисунок 5.12 – Визначення профілю кулачка

142

Розглянемо графічну побудову профілю кулачка для центрального механізму з роликовим штовхачем. При розв’язанні цієї задачі вважаємо відомими: графік переміщення штовхача на кут вϕ , відповідний віддаленню (підйому) штовхача на його хід maxS (рис. 5.12, а), тобто )(ϕSS = ; початковий радіус 0R і радіус ролика рr .

Побудова елемента профілю кулачка для центрального механізму з роликовим штовхачем виконують таким способом. Із центру О обертання кулачка (рис. 5.12, б) проводять коло радіуса 0R - рr , де рr - радіус ролика штовхача; 0R - радіус основного кола профілю штовхача. Від радіальної лінії ОS0, відповідній початковому положенню штовхача, відкладують в напрямку, протилежному ω, кут вϕ повороту кулачка, який ділять на таке ж число рівних частин, як і заданий графік )(ϕSS = . Потім від кола радіуса )( 0 рrR + по радіальним лініям відкладують переміщення S штовхача, взяті із графіка

)(ϕSS = (з урахуванням масштабів). Одержані точки S0, S1, S2, … з’єднують плавною кривою, яка є

теоретичним профілем кулачка. Для побудови дійсного профілю із центрів, розташованих на теоретичному профілі, проводяться дуги кола радіуса рr (рис. 5.12, б). Обгинаюча до цих дуг і є шуканий профіль кулачка.

143

Додаток 1

Таблиця значень евольвентної функції α−α=ϑ=α tginv

Кут α Порядок 0,0' 10' 20' 30' 40' 50'

20° 0,0 149 153 157 161 165 169 21° 0,0 173 178 182 187 191 19622° 0,0 200 205 210 215 220 22523° 0,0 230 236 241 247 252 25824° 0,0 263 269 275 281 287 29325° 0,0 300 306 313 319 326 33326° 0,0 339 346 353 361 368 37527° 0,0 383 390 398 406 414 42228° 0,0 430 438 447 455 464 47329° 0,0 482 491 500 509 518 52930° 0,0 537 547 557 567 577 58831° 0,0 598 608 619 630 641 65232° 0,0 664 675 686 698 710 72233° 0,0 734 747 759 772 785 79834° 0,0 811 824 838 851 865 87935° 0,0 893 908 922 937 951 96736° 0 098 100 101 103 10455 10637° 0 108 109 111 113 1145 11638° 0 118 120 122 123 125 12739° 0 129 131 133 135 137 13940° 0 141 143 145 147 149 151

Додаток 2 Таблиця значень cosα

Кут α Порядок 0,0' 10' 20' 30' 40' 50' 60'

20° 0 940 939 938 937 936 935 934 21° 0 934 932 931 930 929 928 92722° 0 927 926 925 924 923 922 92023° 0 920 919 918 917 916 915 91324° 0 913 912 911 910 909 907 90625° 0 906 905 904 903 901 900 89926° 0 899 897 896 895 894 892 '89127° 0 891 890 888 887 886 884 88328° 0 883 882 880 879 877 876 87529° 0 875 873 872 870 869 867 86630° 0 866 865 863 862 860 859 857

144

Список літератури

1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М., 1975. 2. Левитская О.Н., Левитский Н.И. Курс теории механизмов и машин.

М., 1985. 3. Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. и др. Теория механизмов и

машин. М., 1987. 4. Вербовский Г.Г. Теория механизмов и машин. Харьков, 1968.