Universidad Privada Antenor OrregoProf. Ana L. Gamarra CarrascoCurso: Matemática IV

Ciclo: IV - Ingeniería Civil

PRÁCTICA N◦ 3

1. Localice gráficamente las raíces de las ecuaciones a seguir:

a) 4 cos x− e2x = 0

b) x2− tanx = 0

c) 1− x lnx = 0

d) 2x − 3x = 0

e) x3 + x− 1000 = 0

2. Si en el método de bisección tomamos sistemáticamente x = ak+bk2

,tenemos que |x− ξ| ≤ bk−ak

2. Considerando esto:

a) Estime el número de iteraciones que efectuará el método.

b) Escriba un nuevo algoritmo.

3. La ecuación x2 − b = 0 tiene como raíz ξ =√b. Considere MPF con

φ(x) = bx:

a) Compruebe que φ′(ξ) = −1

b) ¿Qué acontece con la sucesión {xk} tal que xk+1 = φ(xk)?.

4. Verifique analíticamente que en el MPF, si φ′(x) < 0 en I, intervalocentrado en ξ, entonces, dado x0 ∈ I, la sucesión {xk}, donde xk+1 =φ(xk), oscila en torno de ξ.

5. Considere la función f(x) = x3 − x − 1. Resuelva por el MPF con lafunción iteración φ(x) = 1

x+ 1

x2 y x0 = 1. Justifique sus resultados.

6. Use el método de Newton para obtener la menor raíz positiva de lasecuaciones a seguir con precisión ε = 10−4.

a) x2− tanx = 0

b) 2 cos x = ex

2

c) x5 − 6 = 0.

7. Aplique el método de Newton a la ecuación x3− 2x2− 3x+10 = 0 conx0 = 1,9. Justifique lo que acontece.

8. Deduzca el método de Newton a partir de su interpretación geométrica.

9. Sea f(x) = ex−4x2 y ξ su raíz en el intervalo (0, 1). Tomando x0 = 0,5.Encuentre ξ con ε = 10−4, usando:

a) El método de Punto fijo con φ(x) = 12e

x2

b) El método de Newton

Compare la rapidez de convergencia.

10. El valor de π puede ser obtenido a través de la resolución de las si-guientes ecuaciones:

a) sin x = 0

b) cos x+ 1 = 0

Aplique el método de Newton con x0 = 3 y precisión 10−7 en cada casocompare los resultados obtenidos.

11. Sea f(x) = x2

2+ x(lnx− 1). Obtenga sus puntos críticos con el auxilio

de un método numérico.

12. La concentración C de una bacteria contaminante en un lago decrecesegún la expresión

C(t) = 80e−2t + 20e−0,5t

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita pa-ra que el número de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el método deNewton).

13. Una determinada sustancia se desintegra según la ecuación

A = Pe−0,0248t

donde P es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resul-tante después de t años. Si inicialmente se depositan 500 miligramos dedicha sustancia, ¿cuánto tiempo habrá de transcurrir para que quedeel 1 por ciento de está?. Utilizar el Método de Newton.

14. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en periodoscortos suponiendo que el crecimiento de la población es una funcióncontinua en t mediante una ecuación diferencial cuya solución es:

N(t) = N0eλt +

v

λ(eλt − 1)

donde N(t) es el número de individuos en el tiempo t (medido en años),λ es la razón de natalidad, N0 es la población inicial y v es un razónconstante de inmigración, que se mide en número de inmigrantes alaño. Supóngase que una población dada tiene un millón de individuosinicialmente y una inmigración de 400000 individuos al año. Se observaque al final del primer año la población es de 1506000 individuos. Sepide:

a) Determinar la tasa de natalidad.b) Hacer una previsión de la población al cabo de tres años.

15. En ingeniería civil se trabaja constantemente con los desplazamientosde estructuras los cuales están determinados por oscilaciones armónicas.Así en cierta estructura se encontró bajo experimentos la función quedivide el desplazamiento, dada por:

f(t) = 10e−0,45t cos(2t)

donde t es el tiempo, se pide determinar cuanto tiempo pasará para queel desplazamiento disminuya hasta la mitad del desplazamiento inicial(t = 0).

a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula de Newton para estecaso.

b) Calcula hasta la cuarta iteración y con la cuarta y tercera iteracióndetermina la cantidad de cifras significativas exactas. Consideran-do la iteración inicial igual a 1.

16. Una partícula se mueve con una velocidad (metros/segundo) dada enfunción del tiempo por medio de la función:

v(t) = t3 − 2t2

Utilizando el método de Newton-Raphson aproxima el tiempo en el quela partícula alcanza una velocidad de 1m/s, a partir del reposo.

a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula del método de Newton-Raphson para este caso.

b) Calcula hasta la quinta iteración, considerando la iteración inicialigual a 3.

c) ¿Se puede considerar al valor cero como iteración inicial? Explicatu respuesta.

17. Se han hecho estudios sobre una plaga que ataca los árboles de gua-yaba, obteniendo una función que describe el comportamiento de sureproducción en días, dada por:

c(t) =0,35e0,75t

t, t > 1

en donde t es el tiempo en días. Se pide determinar cuánto tiempopasará hasta que se tengan 50 insectos de la plaga.

a) Plantea la ecuación a resolver y la fórmula del método de Newton-Raphson para este caso.

b) Calcula las iteraciones necesarias hasta que la aproximación ten-ga 4 cifras significativas exactas. Considerando la iteración inicialigual a 8.

18. El factor de fricción f para fuidos pseudoclassical que siguen el Modelode Ostwald-De Waele se calcula mediante la siguiente ecuación

1

f=

4

n0,75log(Ref 1−0,5n)− 0,4

n1,2

Encuentre el factor de fricción f , si se tiene un numeros de ReynoldsRe de 6000 y un valor de n = 0,4.

19. La siguiente relación entre el factor de función f y el numero de ReynoldsRe se cumple cuando hay flujo turbulento de un fluido en un tubo liso:

1

f= −0,4 + 1,74 log(Ref

√f)

construya una tabla de valores de f correspondientes a numeros deReynolds de 10−4 hasta 10−6 con intervalos de 10−4.

20. Para determinar la constante de nacimientos de una población se ne-cesita λ en la siguiente ecuación:

1,564x106 = 106eλ +0,435x106

λ(eλ − 1)

con una aproximación de 10−3. Determine λ.

Observación: Para el desarrollo de cada ejercicio, tener en cuenta:

1. Graficar en maple.

2. Desarrollar algebraicamente.

3. Usar matlab.

Presentación de informe: martes 23 de abril del 2013.