Upload
rodica
View
252
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
1/21
ENUNURI
(Soluiile sunt prezentate ncepnd cu pagina 7)
1. Se consider un gaz molecular, plasat ntr-un cmp electric Er
. Se cunoate numrul demolecule din unitatea de volum, n. Fiecare molecul are un moment electric dipolar p. Sistemul
este izolat fa de alte aciuni externe. Calculai polarizarea electric P a gazului, n funcie detemperatur.
2. ntr-un recipient de volum V se afl un gaz la temperatura T, compus din N particule cu masade repaos nul.tiind c energia i impulsul particulei sunt corelate prin relaia E = pc,scrieiecuaia de stare i deducei expresia energiei interne a gazului.
3. Calculai procentul q de molecule ale cror viteze nu difer cu mai mult de q = 10% de viteza:a) cea mai probabil; b) medie; c) ptratic medie.
4.
a) Precizai curba pe care se plaseaz maximele distribuiei maxwelliene, cnd temperaturavariaz;b) Precizai cel de al doilea punct de intersecie al unei curbe de distribuie cu curba maximelor;c) Calculai raportul temperaturilor pentru care dou curbe de distribuie se intersecteaz chiar n
punctul de maxim al celei de a doua curbe?
5. ntr-un cuptor se afl un gaz perfect la temperatura T. Moleculele gazului pot prsicuptorul printr-un mic orificiu ajungnd ntr-o incint vidat.a).Estimai numrul total de molecule ce prsesc cuptorul n unitatea de timp, pe uni-tatea de arie;b).Estimai energia cinetic medie a moleculelor emise prin orificiu i comparai valoa
rea acesteia cu valoarea energiei cinetice medii datorate translaiei moleculelor din in-teriorul cuptorului;c).Stabilii expresia vitezei celei mai probabile a moleculelor ntr-un astfel de fascicul molecular.
6. Stabilii expresia probabilitii ca o molecul aflat n cmp gravitaional terestru, consideratomogen, s se gseasc la o nlime cuprins n intervalul z, z+dz i s aib viteza cuprins nvolumul elementar dvxdvydvz din spaiul vitezelor, centrat pe v.
7. Se presupune c la temperatura T apropiat de punctul de fierbere, moleculele superficiale aleunui lichid se mic dup o repartiie a vitezelor de tip Maxwell. Cunoscnd cldura latent deevaporare L i numrul de molecule din unitatea de volum n, precizai:
a)
viteza de evaporare pe unitatea de arie;b) expresia dependenei presiunii vaporilor saturai de temperatura la echilibrul statistic.
8. Se consider un gaz rarefiat aflat n echilibru termodinamic la temperatura T. Fiecare atom algazului emite o singur linie spectral cu frecvena 0 n sistemul de coordonate legat de atom.Masa unui atom gram de gaz este M. Se cere:a) S se gseasc repartiia spectralI() a luminii emise de gaz;
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
2/21
b) Definind lrgimea Doppler a liniei spectraleD ca intervalul de frecvene, pentru care I()este egal cu jumtate din valoarea sa maxim stabilii expresia acestei lrgimi.
c) Calculai D a liniei 0=6328 nm emise de neon la T=300K, cunoscnd Ne=20KgKmol-1
9. Calculai numrul moleculelor dN(v) care lovesc unitatea de suprafa a peretelui n unitatea de
timp i au modulul vitezei cuprins ntre v i v+dv. Calculai apoi numrul total N de moleculecare lovesc unitatea de suprafa a peretelui n unitatea de timp. Care este energia cinetic detranslaie Ec a celor dN(v) molecule?
10. Precizai traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor pentru un corp de masm care este aruncat de jos n sus cu viteza iniial v0 n cmp gravitaional de la nli-mea h0.
11. Precizai traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor pentru un oscilator armonic liniarcare oscileaz dup legea: ( ) += tAq cos Verificai prin calcul direct conservarea volumului din spaiul fazelor n timpul micrii.
12. Se consider un oscilator amortizat, a crui lege de micare este de forma:( ) += tAeq t cos
a) precizai i reprezentai grafic traiectoria punctului figurativ n spaiul fazelor;b) dac
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
3/21
jurul unei axe verticale ce trece printr-unul din capete. Se va considera pentru variaia presiunii
gazului cu distanax fa de ax, relaia: )(pp,ep)x(p TRx
0002
22
==
19.Se consider un gaz n cmpul gravitaional terestru considerat omogen. Precizai pentru acestsistem:a) greutatea coloanei de gaz de nlime h;b) energia potenial medie a unei molecule din gaz;c) cldura molar suplimentar pe care o are n cmp gravitaional.
20. Scriei funcia care descrie distribuia canonic a strilor unei molecule de gaz ideal, nesupusnici unui cmp de fore exterior.
21. Se consider o cavitate cubic de latur a n care se formeaz unde staionare. Deduceiexpresia densitii spectralo-volumice a numrului de unde staionare
+=
30
),(lim
a
n care ( ) +, reprezint numrul undelor staionare distincte, de frecvene cuprinse ntrei + care pot exista n cavitate.
22.Precizai dependena de altitudine a raportului concentraiilor a dou gaze cu maselemoleculare 1 i 2 i calculai nlimea la care coninutul de hidrogen se dubleaz fa deconinutul de bioxid de carbon.Se cunosc:T=280K,
2H=2 [kg/kmol],
2CO=44 [kg/kmol].
23. Se consider un corp paramagnetic caracterizat de o magnetizaie totalM. Demonstrai c ncazul acestui sistem fizic exist relaia:
.0,
=
p
M
H
V
pT
24. Precizai efectul produs de polarizarea unitii de volum a unui dielectric atunci cnd seneglijeaz variaia volumului la temperatur constant i particularizai pentru cazul n
careT
ctT
.1)( += .
25. Se consider un sistem continuu de volum constant ce conine un singur component izotop in interiorul cruia se creeaz un gradient de temperatur. Neglijnd celelalte fenomene detransport n afara conduciei termice, se cere:
a)s se scrie expresia sursei de entropie i ecuaia fenomenologic n acest caz;b)s se arate c n starea staionar este valabil principiul produciei minime de entropie;
c)s se verifice prin calcul direct c n general 0
dt
Sd
t
i ,n care
dt
Sdi este producia
minim de entropie =V
Si dVdt
Sd .
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
4/21
26. n cazul unei substane para e ideale, magnetizaia variaz cu temperatura nmagnetic
conformitate cu legea lui Curie:T
CHM =
at adiabatic,
. Artai c n condiiile n care cmpul magnetic
variaz, iar sistemul este izol ,0 dHTc
CH
dT H
= n care cHeste capacitatea caloric anitii de volum.u
27. Susceptibilitatea a unei substane paramagnetice este de forma: ,T
= unde C este o
constant pozitiv. Determinai cldura schimbat de unitatea de volum a substanei cu mediulextern cnd temperatura se menine la va
C
loarea T1 iar intensitatea cmpului magnetic crete de lalaH. Se neglijeaz variaia volumului.
e de temperatur dupgea U=aT4,n care a este o constant. Se neglijeaz variaia volumului.
l H/T, este independent de M. Se neglijeaz variaia volumului. Stabilii expresiantropiei.
nd energia E este nchis n volumul V. S se
espunztor din spaiul fazelor
0
28. Determinai variaia temperaturii ntr-un proces de demagnetizare adiabatic a unei substane
paramagnetice pentru care energia intern a unitii de volum u depindle29. Artai c energia intern a unitii de volum pentru o substan a crei magnetizaie depindede raportue30. Un gaz ideal format din N particule i avexprime cu ajutorul distribuiei microcanonice:a) Volumul cor .
) Ecuaia de starea a gazului.
1. S se calculeze volumul unei sfere de raz R ntr-un spaiu n dimensional.
ticul a unui gaz ideal plasat ntr-
n cmp exterior
b) Entropia S.
c)
Temperatura T a sistemului.d332. Estimai n baza distribuiei canonice, probabilitatea ca o par
)rU s aib coordonata cuprins n intervalul )rdr,r + .u33. Un gaz ideal ce conine n molecule de masm n unitatea de volum, este nchis la temperaturaT ntr-un vas care are pe unul din perei un mic orificiu. Care este viteza medie cu care ies
oleculele n direcia axei x prin orificiu?m
34. S se determine 2xv peste o distribuie maxwellian a vitezelor moleculelor unui gaz, apoi s
e identifice energia cinetic medie ce revine unui grad de libertate n micarea de translaie.
nea din numrul total al moleculelor unui gaz cu modulul vitezelor mai mic dect
s35. Calculai:a) Fraciu
v .viteza
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
5/21
b) Fraciunea din numrul moleculelor cu viteza mai mare dect viteza cea mai probabil, vp.c) Ce fraciune din numrul total al moleculelor gazului au energia cinetic a micrii de
laie mai mare dect energia cinetic medie2
3KTtrans .
p gravitaionalmogen, cunoscnd acceleraia gravitaieig, masa moleculei m, i temperatura, T.
prinse ntervalele: vx ntre 200 i 202 ms
-1; vy ntre 450 i 455 ms-1; vz ntre 300 i 299 ms
-1.
zot cu vitezele cuprinse la 0 C n intervalul 250
60
36. Precizai poziia centrului de greutate al unei coloane de gaz ideal aflat n cmo37. Se consider oxigen ntr-o incint avnd volumul de 1 mm3, la temperatura 300Ki presiunea2 at. Calculai numrul moleculelor al cror componente de vitez au valori cuin38. Calculai numrul relativ de molecule de a 0
sm2 . Se cunoate masa molar a azotului 013,28= .
rilor s se calculeze numrul moleculelor dintr-un kmol de H2
cu
m/s.
) care au viteza m/s.
ell s se determine numrul de particule care au energia mai mic,spectiv mai mare dectKT.
mic P0 pentru ca temperatura
urma ndepr-rii peretelui izolant. Volumele celor dou compartimente sunt egale.
2. Exprimai energia intern U cu ajutorul funciei de partiie a distribuiei canonice (3.81):
are satisface repartiia Maxwell. Calculai pentru o molecul:
39. Folosind funcia erotemperatura T = 500 K:a) care au proiecia x a vitezei vx < 500 m/s.b) care au mrimea vitezei v < v0 = 10
3
3c 0 102vv =>40. Folosind distribuia Maxwre41. Se consider un sistem izolat, alctuit din 2 subsisteme la temperaturile T1 i T2 de valoriapropiate desprite de un perete adiabatic i care conin cte un mol de gaz ideal. S se
determine de cte ori este mai mare probabilitatea termodinasubsistemelor s devin aceeai dect probabilitatea termodina-mic P1 pentru ca sistemele s rmn la temperaturile avute iniial, nt443. Se consider un gaz molecular c
a. Energia cinetic medie, cE .2b. Energia cinetic ptratic medie, cE .
2c2c EE c. Abaterea ptratic medie a energiei, .
m/s. Se cunosc: masa molar a oxigenului i
onstanta R gazelor perf
44. Estimai numrul relativ de molecule de oxigen a cror vitez la temperatura T = 300K este
cuprins n intervalul 200 s/m -210 1Kmol32 =
ecte, 8310 11KKmolJ .c
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
6/21
45. Se defin te drumul liber mediu ntre dou ciocniri ale moleculelor,e ca distaolecul ntre dou alte molecule. Calculai numrul mediu
na medieparcurs de o m ciocniri succesive cu
de ciocniri N ale moleculelor unui gaz n unitatea de timp cunoscnd m104 6= i viteza
ptratic medie 12 sm900v = .
46. Calculai va sei ce poate fi estimat prloarea minim a ma in folosirea unei balane cu fir de
uar, la 300K cunoscnd constanta elastic a resortului. Se cunosc: constanta
47. Se consider c nivelele energetice E cu gradele de degenerare gi sunt populate ncomformitate cu repartiia la echilibru n statistica Maxwell Boltzmann:
16 mN106k =clui Boltzmann 123B KJ1038,1k
= i acceleraia gravitaiei 2sm8,9g = .
KT
1,egZ,eg
Z
NN
i
Ei
Eii
ii === 0
48. Scriei expresiile urmtoarelor mrimi termodinamice: energia intern
volum constant, energia liber, presiunea, entalpia i entalpia liber. Se va folosi pentru
,capacitatea caloric la
probabilitatea termodinamic n statistica Maxwell Boltzmann, expresia: =i i !N
!NP .
49. Precizai funcia de p
Nig
i
artiie, energia intern, entropia i capacitatea caloric la volum constant
ergie E i E2 ( ) de ponderi statistice g1 i respectiv g2. Se presupune clibru cu un termostat la temperatura T i ascult de statistica Maxwell
Boltzmann.Aplicaie numeric:
51. S considerm unnul de altul i cu ponderile statistice
. Sistemul se afl la temperatura 300K. s se determine capacitatea caloric
3. Deducei expresia vitezei medii n cazul distribuiei lui Maxwell a moleculelor dup valoarea
pentru un gaz molecular n care fiecare molecul are dou nivele de energie electronice deaceeai degenerescen.
50. Determinai probabilitile de regrupare a nivelelor energetice, funcia de parie Z i energiaintern U pentru un sistem molecular ce conine N molecule n care fiecare molecul are dounivele de en 21 EE
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
7/21
2v54. Stabilii expresia vitezei ptratice medii n cadrul distribuiei Maxwell Boltzmann a
moleculelor dup valoarea absolut a vitezelor.
5. S se obin expresia mediei statistice a puterii a n a a valorii absolute a vitezei n cadrul
6. Descriei expresia energiei cinetice medii de translaie
5distribuiei maxwelliene.
5 i expresia mediei ptratului energiei
cinetice de translaie a moleculelor unui gaz ideal 2 n cadrul distribuiei maxwelliene.
57. Calculai probabilitatea ca n cazul distribui ell direcia vitezei s fie cuprins ntr-ununghi solid dat.
58. Se consider un gaz ideal ntr-un cilin
ei Maxw
dru vertical de nlime h0i raz r0 care se rotete n
mpul magnetic terestru cu viteza unghiularc n jurul unei axe verticale. Stabilii expresiadistribuiei moleculelor dup coordonate.
mpul electric orienteaz dipolii moleculari pe o direciecorespunznd unei energii de interaciune. Energia de interac oleculei cu cmpul este de
c ,
*
SOLUII
1. n absena cmpului electric, orientarea momentelor dipolare ale moleculelor este haoticdatorit vibraiilor moleculelor. C
ie a mnatur poteniali se exprim prin:
cos)( 0EpEpW ==rr
unde este unghiul ntre momentul de dipol electric
0pr
i cmpul ele tric Er
. Valoarea medie acomponentei momentului dipolar molecular, paralelcu direcia cmpului
== dppp )(coscos 00 Pr
unde
=
de
KTE
d KTW )()(exp)(
P
reprezint fraciunea din moleculele dipolare ce se afl n unghiul solid d, adic n unghiulcuprins ntre conurile de unghiuri i +d. Se obine d=2sind, [ ] ,0
=
0
00
0
d
desincospp
cos
cosKTEp
r
Introducem notaia
0
esin KTEp
KT
Epa 0 i obinem:
d
p0cos
0pr d
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
8/21
( )
),a(Lpa
acthpaash
achpash
aln
ap
eea
lna
pea
lna
pd aacosa
esinlna
pp cosa
=
=
=
1
11
0
u T foarte mic)
= 0r
=
=
=
=12
L(a) fiindfuncia lui Langevin.Distingem dou cazuri de interes:
ppa
acth =r
01
1a.) a>>1 (E foarte mare sa ceea ce arat c n
apropierea lui 0K practic toate moleculele sunt orientate paralel cu cmpul.
b.)n cele mai multe cazuri, E este mic i a
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
9/21
b) pentrum
vv
= ,KT8
%,qeq 16182
==
64 4
c)m
KTvv
32 == i %,eqq 5182
312 2
3
==
4. a) Maximul distribuiei maxwelliene are loc pentru viteza cea mai probabil, vpi are valoarea
ppmax
v
,f
83014==
ve
echivalent cu830,vf pmax =
Rezult aadar c aceste maxime se distribuie pe o hiperbol de ecuaie
T2=2,14T1f2=0,688f1 T1
2pv
1pv
T2
v
f(v)
1
8301
pv
,f =
x
,y
830=
a) Punem condiia ca dou curbe de distribuie s se intersecteze:KT
mvTK
mv
eTeT 22
23
122
23
11 =
Rezult,
12
3
11
3
22 b) Punem condiia ca intersecia s pentru v=v . Se obine ecuaia:
2
1
2
2
1
1
2
2
=
=
T
T
Tln
v
TTm
TlnK
v pmc
se produc p
TT
( )
1
ln
2
31
1
Cu o prim soluie T1
2
12
=
T
T
TT
=T2i o alta 1421
2T ,T
= . Raportul maximelor corespunztoare, T1 este
6880142
1830
2
1
12
vf p
2 ,,T
T,f====
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
10/21
Rezult aadar c al doilea punct de intersecie dintre curba maximelori o curb de distribuieare loc pentru viteza
pv,m
,KTv 451
1422=
=
care confer funciei de distribuie valoarea: maxf,f 6880=
5.a)Restriciile impuse n problem viznd numrul moleculelordin unitatea de volum, n unitatea
v i v+dv, presupun folosireadistributiei Maxwell dup valoarea absolut a vitezelor. Rezult c numrul moleculelor dinunitatea de volum care prsesc cuptorul n unitatea de timp pe unitatea de arie i pentru careviteza are valoarea cuprins ntre v i dv este:
de timp, pe unitatea de arie i cu viteza cuprins ntre valorile
dvvenKT
mdn KT
vm3
2
223
2
=
Prin integrarea acestei relaii se obine numrul total de molecule
42
21
0
vnKTnN =
= m
a) dvevKTn 00 2222 m
mdn
vmvmE KTmv
c
=== 522 2
223
111 i folosind integrala
KTErezultA
dvevI cAv 2,
1230
5 === n interiorul cuptorului energia cinetic medie a moleculelor, este:
cc EKTE
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
11/21
2
22exp
==
m
KTdv
KT
mvy
y i
1
2exp
2exp
0
2
0
2
0
2
=
dv
KT
mvdv
KT
mvz
zx
x
mg
KTdz
KT
mgz
=
0
exp
Se obine, 12
D
0
I0
I()
8 mgm1 2
3
=KTKT
A
din care, rezult:2
5
2 KTexpresia final a probabilitii cutate:
16 =m
gA Acum se poate scrie
dzK
dvdvdvKTKT
gd zyx
= exp2
exp2
16
PT
mgzmvm
7. a) Molecula va prsi lichidul cnd energia cinetic a moleculei este mai mare dect lucrulmecanic L necesar pentru a ndeprta la infinit mole
225
cula din lichid.
Considernd ca ax Ox direcia normalei la suprafaa lichidului, scriem Lmvx >2
2
1.
Num u componenta x a vitezei cuprins n intervalul vx, vx+dvx esterul de molecule care a
n carexx dvvndn )(P= KTxvm
eKT
m)v( x
2
223
2
=
P .Considernd c aceste molecule au aceeai
tea de tim
vitez vx, numrul de ciocniri n care se implic aceste molecule n unitatea de timp rezultdin xxxx dvvvnfvdndN c)(== iar numrul de molecule ce prsesc unitatea de arie a suprafeei
libere a lichidului n unita p, se va obine prin
integrare:( )( )
=
==
=x
mL
KTL
mL xx
em
KTndvvndN
21
2 21
2
21
2)(
P
rul moleculelor N2 care se introduc n lichid diea vaporilor. a echilibru statistic,
=x
v
vN1
b) Numpresiun L
n stare de vapori este proporional cu
1 NN = .Cum2
pC
eTCN KTL
2
11 =
rezult
N2 =
KT
E
eTCp =
8.a) Frec
vena msurat a radiaiei emise de atom ce se deplaseaz cu viteza vx va avea n
sistemul laboratorului, valoarea:
+=
c
vx10 unde 0 este
frecvena radiaiei vzut n sistemul propriu al atomului.
Rezult, ( )00
=c
vx
Probabilitatea ca viteza atomului de gaz s fie cuprins nintervalul (vx, vx+dvx) este egal cu probabilitatea ca radiaiaemis de atom s aib frecvena cuprins n intervalul , +d.
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
12/21
( )
demc
ddvvdpKTmc
xx
22
020
22
1
)()(
=== PP
i, ntruct
KT20
N
dNdp = (dN fiind numrul atomilor ce emit radiaii la o frecven cuprins ntre i
+d), se obine: ( )3
2 2202
0 2x
cc m dN N e dvKT
=
nsitatea radiaiei este proporional cu numrul de emitoriCum inte( )
deconstdNconstd)(IdITR
c
220
20
2 ===
Rezult
RT)(
eI)(I2
0
02
0
=
c 22
n careI0=I(0)cvena radiaiei emiseb) Dac notm 1/2 fre de gaz pentru careI()=1/2Imax, 0212 =D
i din Imax =I0 rezult
2
0
0
2
2
00I2
1
2
1
=
KT
c
eI Se obine astfel expresia lrgimii Doppler:
c
b) A2106.1 =
TD 2
0=
9. n virtutea distribuiei Maxwell, numrul m elor cuprinsentre (vx, vx+dvx), (vy, vy+dvy)i ( vz, vz+dvz)
Rln22
oleculelor a nd componentele vitezeste:
v
( ) ( )dvvf4
=
ferice v,i : dddvvdvdvdv yx sin2=
Deci numrul dn (v,,) olecule avnd viteza
nm vm22
3
zdvydvxdveKT
nzv,yv,xvdnKT
22
=
Exprimm elementul de volum n coordonates
de mcuprins ntre v i v+dvi orientarea n interiorulunghiurilor sferice i +d, respectiv , + va fi:
z
y
z
d
ddsindvveKT
mn),,v(dn KT
mv 22
223
2
=
onsiderm normala la perete ca ax OZ. Numrulmoleculelor care lovesc n timpul dt elemC entul desuprafa dS al peretelui i au viteza v
rn
intervalul (v,v+dv) cu orientarea cuprins n
ds
ds
vzdt
intervalele (,+d) i (, +d) va
:vcos dt.
fi egal cu numrul moleculelor care umplucilindrul cu baza dS i generatoarea vdt de nlime vzdt=v cosdt; adic
dn(v,,)dSvcos dt= nf(v) dv sin dddS
x
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
13/21
Dintre aceste molecule dN(v,,) lovesc unitatea de arie a peretelui n unitatea de timp i aumodulul vitezei cuprins ntre v i v+dv, se va obine integrnd pentru [ ] [ ] 2,0,0 2 i :
= )(4
)(
ndvvfvdN==
22
223
0
2
0
3
2)(
4sincos
dvve
KT
mdvvvf
ndd
mKT
mv
Integrm dup v i obinem: vndvveKTmnN v KT
mv
41
23
0
2
22
3
=
= sau
mKTnN
22==
pRT
p fiind presiunea gazului.Energia cinetic de translaie dEc a celordN(v) molecule, va fi:
dvvvfdvvvnmfmv
vdN 332
)(1
)(1
)( == 882
n care =nm reprezint densitatea gazului. Pr area contribu r moleculelor seobine
in nsum iilor tuturo
( )
== 54
121 222
3
dvevm
vE KTmv
sau2
3
28
=
KTEc .
0288 KTc
m10. Alegem drept coordonat generaliza de Pmnt. Considerm energia
:t q , nlimea famecanic total
qM
p
q
0mW2mW2
constmgqm
pW =+=
2
2
.
de unde ,gm
pWq
2
= mg 22
Constanta W rezult din condiiile iniiale.
021 mghmvW += 0
Maximul curbei, se obine pentru p=02
02h
gmgqM +=
20vW
11.Impulsul oscilatorului este p=m =-mA sin(t+) astfel, c se poate scrie:
=
q&
( )
( )si
=+
=+
Am
ptn
A
qtcos
rezult )(,1cos2 = : ,12222
2
2
=+Am
p
A
q
i cum sin2 +
La t=0, avem:
sin0
0
Amp
q
=
cosA=
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
14/21
iar elementul de volum, este .La un moment oarecare t,= 000 dqdp
= 0000 ),(),(
dqdpqp
qp
Folosind relaiile de mai sus, obinem:
= dpdq
( )
1100
00
0
0
=
=
+=
+=
tcostsinm
tsinmtcos
)q,p(
)q,p(
castfel,tcospqtsinmp
tsinmptcosqq
12.a) Scriem impulsul corespunztor coordonatei q
adic( ) ( ) +++== tsintetcostemAqmp &
teA
qtmAeqmp
22
21
=
Se obine:
( ) ( ) temAqmqmp 22222 =++ Aceast ecuaie reprezint
:
]
o elice eliptic prezentat n figur.
b) Condiiile iniiale presu un la t=0
p
[ sincoscos
0
0
+==
mAp
Aq
Cum
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
15/21
te
tcostetsintem
tsinm
tetcoste
q
q
q
p
q
p
p
p
)q,p(
)q,p(
2
00
00
00
=
=
=
reprezint jacobianul transformrii.Se obine:
02 te)t( =
= 000 dqdp fiind volumul ocupat de sistem n spaiul fazelor la momentul iniial. Relaiaexprim faptul c n acest caz teorema lui Liouville nu se mai verific volumul 0 reducndu-seexponenial n timp.
*13.a)n cazul unui gaz ideal, energia potenial a moleculelor sale este nul i prin integrarea
elementelor de volum pentru cele NA molecule se obine un factor constant . R mneintegrarea dup impulsuri ce trebuie calculat pentru valorile impulsurilor ce conduc la o energie
cel mult egal cu E, .
AN
V
= N
i
i Econstp1
n spaiul impulsurilor, aceste puncte sunt situate n interiorul unei sfere de raz egal cumembrul drept al acestei inegaliti i volum proporional cu puterea a treia a acesteiraze.Presupunnd c volumul delimitat n spaiul fazelor de suprafa de energie constant E este
(E), obinem: .AA NNEVconstE 3)( =n continuare, folosim relaia lui Boltzmann
ElnAKNVlnAKN.const)E(lnKS 3++==
i ntruct RKNT
ECiKTNEobinem
TE
SAvA 333,
1==
===
b) Se folosete integrala statistic de stare
= niKTc
pd...pdpdp
e...NVZ 21
unde dp reprezint elementul de volum n spaiul impulsurilor.Cum dp=4p2dp, integrala dup
impulsuri se compune din produsul a NA integrale de forma:
=0
244 pdpeI TKpc
Cu sustituia =KT
ci schimbarea de variabilp = x2 integrala devine:
34
054
2
=
= cTK
dxxxeI
i integrala statistic devine:
( ) NNN
NN TVctc
KTVZ 3
3
4 =
=
Energia liber3lnln TVctNKTZKTF ==
ntruct
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
16/21
NKvCrezult,T
FTvC 32
2=
=
valoare de dou ori mai mare dect n cazul gazului monoatomic nerelativist i reprezintclduramolar a unui corp cristalin.
14. n cazul gazului ideal, energia de interaciune ntre molecule este nul i energia total a
gazului este de natur pur cinetic: =
=N
i
i
m
pH
3
1
2
2
Probabilitatea ca molecula s zicem notat cu 1 s aib componentelep1,p2,p3 ale impulsuluicuprinse ntre (p1,p1+dp1), (p2,p2+dp2) i (p3,p3+dp3) indiferent de situaia celorlalte N-1
molecule, este 1 2 3 1 2 3
2 2 21 2 3
21p p p
mKTdp dp dp e dp dp dpZ
+ +
=P n care
++
= 3212
2
3
2
2
2
1
dpdpdpmKT
ppp
eZ
Integrala tripl se descompune n trei integrale simple de forma:
mKTcudue n
2
1==
Se obine ( )23
2 mKTZ = astfel c probabilitatea, devine:
( ) 3212321 223
22
21
23
dpdpdpeTKmdpdpdp mKTppp ++= P
sau exprimat n funcie de viteze: 3212
3212
223
dvdvdveKTm
mdvdvdv KT
vm
=
P
unde . S-a obinut astfel probabilitatea ca viteza v a moleculei 1 s aib
componentele cu valori cuprinse n intervalele (v1,v1+dv1), (v2,v2+dv2) i (v3,v3+dv3).
23
22
21
2 vvvv ++=
Pentru a obine probabilitatea f(v)dv ca mrimea vitezei v s fie cuprins ntre v i v+dvindiferent de orientare, se obine exprimnd volumul elementardv1dv2dv3 din spaiul vitezelor ncoordonate sferice i efectund apoi integrarea dup toate unghiurile i :
=
0
2
02
22
22
3
ddsindvveTK
mdv)v(f KT
vm
din care rezult funcia de distribuie maxwellian a vitezelor.
dvveKT
mdv)v(f KT
vm
2242
22
3
=
15. Calculm mai nti nlimea minimh0 la care energia potenial gravitaionalmgh0 este
egal cu energia cinetic medie de translaie KTEc 2
3=
Se obinemg
KTh
2
30 = .Numrul de molecule situate ntre cotele h i h+dh, este:
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
17/21
dhnCedn KThgm=
Deci ==
0h
dheCn
dnq KT
hgm
.Constanta C rezult din condiia de normare:
1
0
= dheCKT
hgm
Rezult %,edhe
hdhe
qKT
hgm
KT
hgm
322
0
2
3
0
==
=
16. Masa dm de aer coninut n stratul cilindric de nlime dy situat la cota y, va fi:
Sdydm =
Cotay0 a centrului de greutate rezult din relaia:
==
0
00
dyS
dyyS
dm
ydmy
sau innd
seama de variaia densitii cu altitudinea,g
RT
dye
dyyey
KT
yg
KT
yg
=
=
0
00 .La aceast cot, n virtutea
relaiei KTyg
e)()y(
= 0 se obinee
y)0(
)( 0
= .
17. Considerm relaiile:
KTS
NKT
dV
dNnKTp
P===
n care P este densitatea de probabilitate de tip Boltzmann, iar S sec iunea tubului.
Rezult KTU
e)(pp = 0 ,U fiind energia potenial a unei molecule
==x
xmxdxmU0
222
2
1
Rezult,
torre)(p)l(p RTl
7800 222
=
18.Densitatea a gazului rezult din ecuaia termic a gazului ideal: pRT
=
i fiind proporional cu presiunea, va urma o aceeai lege de variaie cu distana x
RT
x
e)x( 222
0
=
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
18/21
Masa de aer coninut n tub, este: ==l
dxeSl
dxSm RTx
0002
22
i n ipoteza c ,12
22
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
19/21
KTKT
mg
mg
KTmgp =
=
2
2)pentru h mult mai mic dectKT/mgse dezvolt n serie exponeniala de sub integra-l:
2
2
3
2...1
...1
2
2
0
0 hmg
KT
mghh
KTmghh
hmg
dzKT
mgz
dzKTmgzz
mgh
h
p
=
+
+=
i nu depinde de temperatur.b) Energia potenial medie a unui mol de gaz ntr-o coloan foarte nalt, este:
RTKTNNE AApp === i RT
EC
ppot
V =
=
comparabil cu contribuia energiei cinetice a moleculelor la cldura molar a gazului.n cazul unei coloane de nlime finit:
2
hmgNNE AApp == i 0=
=
T
EC
ppot
V
Aceasta arat c n cazurile de importan practic a unor coloane de gaz nu prea nalte,contribuia energiei poteniale n cmp gravitaional la cldura molar a gazului se poate neglija.
*20. Molecula de gaz ideal poate fi considerat ca un sistem cuasiizolat pentru care energiaE(p,q)a sistemului este chiar energia unei molecule.Pentru N=1 molecula are trei grade de libertate de translaie i deci spaiul fazelor are asedimensiuni, elementul de volum din spaiul fazelor fiind:
dxdydzdpdpdpd zyx=
Vom considera dxdydz=dVi exprimm impulsurile n coordonate sferice. Elementul de volumdin spaiul fazelor devine:
ddVddppd = sin2 n absena vreunui cmp de fore exterior energia moleculei este pur cinetic:
m
pqpE
2),(
2
=
i nu depinde de direcia de micare (unghiurile i ) sau de poziia sa n recipient. Astfel,energiei cuprins n intervalul E,E+dE i corespunde un numr de stri egal
cu: .DindpVpdddpdVpd 22 4sin == mEp 2= , rezult:
dEEmVd 2/12/3)2(4= Distribuia canonic a strilor unei singure molecule va fi descris de funcia:
dEEKT
E
Z
mVd
c
2/12/3
exp)2(4
P
=
Funcia de partiieZc pentru o singur molecul este:
2/1
0
2/3
0
exp)2(4exp EKT
EVmd
KT
EZc
=
=
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
20/21
Cu schimbarea de variabilE=x2,
VmKTKT
VxmdxxKT
xVmZc
2/32/3
2/3
0
22
2/3 )2(4
)()2(4exp)2(4 ==
=
Cu aceast expresie a sumei de stare, se poate scrie distribuia cerut:
dEEKT
E
KTd2/1
2/3 exp)(
4
=
P .
*21.Cnd mediul din exteriorul cavitii este mai dens dect cel coninut n cavitate, pe pereiiinteriori ai cavitii se vor forma noduri iar n cealalt situaie, cnd mediul din interiorul cavitiieste mai dens dect cel din exterior, se vor forma ventre. n cazul unei unde staionare formatentre feele cubului, perpendiculare pe axa Ox, avem:
2x
xna
= ia
nk xx
x
==
2
Analog, ankank zzyy
== ; , astfel c vectorul de und este cuantificat prin relaia:
a
nnnn
akkk
vk zyxzyx
22 222222
=++=++=== ,
n care
avannnn zyx
22222 ==++= are de regul valori mai mari de 1.
Vom considera un spaiu fictiv al numerelor reale nx, ny, nz n care fiecrei unde staionare
i se asociaz un punct cu coordonate ntregi. ntruct n este cu ctevaordine de mrime mai maredect 1 rezult c numrul undelor staionare diferite cu frecvene cuprinse ntre v, v + v esteegal cu volumul octantului (nx, ny, nz>0) de coroan sferic cuprins ntre sferele de raze ni n+n:
3v
a2
v
a
v
ann),(
3422
2
2
248
1=
==+
a
x
z
0
ynx
n+n
Figura 2
n
nz
ny
Figura 1
7/30/2019 Termodinamica - Probleme
21/21
Se obine astfel expresia densitii spectralo-volumice (dup frecvene) a numrului de striondulatorii distincte:
3v
2
a
),(
4
3=
+= ,
v fiind viteza de faz a undelor din cavitate. *Concentraia moleculelorn se modific funcie de altitudine dup legea:
)(KTgh
e)O(n
)O(n
n
n
KT
gh
e)O(nn
KT
gh
e)O(nn
KT
gh
enKT
mgh
enn
2
2
1
1
2
1
2
1
22
11
00
=
=
=
=
=
Dac2>1, rezultn1>n2 ceea ce arat c la o cretere a altitudinii crete coninutul de gaz maiuor fa de concentraia gazului mai greu.
2244
2
2 =
=)(
KT
gh
eCOn
Hn,
din care, prin logaritmare se obine
].m[.
g
lnRTh 9203
42
2==
*