SadržajTermofizika

177

Temperatura i toplota 178Toplota i masena količina toplote 180Latentna toplota faznog prelaza 181Širenje čvrstih tela pri zagrevanju 183Širenje tečnosti pri zagrevanju 184Širenje gasova pri zagrevanju 185Prenošenje toplote. Provođenje toplote. 187Prenošenje toplote konvekcijom 189Prenošenje toplote zračenjem 190Molekulsko kinetička teorija gasova 192Atomsko-molekulski sastav materije 193

Makroskopski opis idealnog gasa 195Jednačina stanja idealnog gasa 196Gasni zakoni. Bojl-Mariotov zakon. 198Gej-Lisakov i Šarlov zakon 199Kinetička teorija gasova 201Osnovna jednačina kinetičke teorije gasova 203Molekularni model pritiska idealnog gasa 204Daltonov zakon 207Molekularni model temperature idealnog gasa 208Raspodela energije po stepenima slobode 210Unutrašnja energija idealnog gasa 211Toplota i masena količina toplote idealnog gasa 212

178

TERMODINAMIKA - Temperatura i toplota.Temperatura je mera unutrašnje energije tela ili mera zagrejanosti tela (ste-pen toplotnog stanja), pri čemu se uvek vrši poređenje sa drugim telima.Za tela se kaže da su u toplotnoj ravnoteži, ako im je temperatura jednaka.Za merenje temperature se koriste termometri, čiji se rad zasniva nareverzibilnoj promeni neke fizičke osobine sa temperaturom (dužinačvrstog tela, zapremina tečnosti, pritisak gasa pri stalnoj zapremini,električni otpor, …).Gasni termometri (H2, He), termometri sa tečnošću (Hg, alkohol), metalnitermometar, termoelement (termopar).Temperaturne skale: Celzijusova, Farenhajtova, Reomirova, skala apsolutnetemperature.

]K[][16.273 o CtT +=

179

Termometri i temperaturne skale

Temperaturna skala Celzijusa i skala apsolutne temperature

K][16.273 ][ CtT °+=

Gasni termometar →Živin termometar ↓

Termopar ↓

180

Toplota i masena količina toploteToplota je jedan od vidova energije i manifestuje se kada se ona razmenjujeizmeđu tela kao rezultat razlike u temperaturi između njih.U kontaktu dvaju tela različitih temperatura, toplota prelazi sa tela više natelo niže temperature sve dok se one ne izjednače.Pošto je temperatura mera unutrašnje energije (mera ukupne energije kretanjamolekula tela, ali i potencijalne energije koju oni poseduju zbog interakcije sa ostalimmolekulima), proces prelaska toplote je proces razmene unutrašnje energijeizmeđu tela.Količina toplote je unutrašnja energija razmenjena između tela. Jedinica je Džul ([J]).

Masena količina toplote c je toplota koju treba dovesti telu jedinične maseda bi mu se temperatura promenila za jedinicu. Jedinica je [J/kg°C].

tcmQ Δ=Δtm

QcΔ

Δ=

Toplotni kapacitet Ck nekog tela je količinatoplote koju treba dovesti telu da bi mu setemperatura povisila za jediničnu vrednost.

tmQcd

d=ttcmQ

t

t

d)(2

1

∫=

mctQCk ==

dd

181

Latentna toplota faznog prelazaFazni prelaz je promena u obliku postojanja neke materije. U širem smi-slu, osim promene agregatnog stanja (čvrsto - tečno - gasovito), promenafaze podrazumeva i promene u unutrašnjoj građi (strukturi) materijala.

Prilikom faznog prelaza usled dovođenja ili odvođenja toplote menja seunutrašnja energija tela, ali bez promene temperature tela.Promena agregatnog stanja strukturno uređenih (kristalnih) materijalapraćena je apsorpcijom ili oslobađanjem toplote i dešava se na tačnodefinisanoj temperaturi.

182

Latentna toplota faznog prelaza

mQq Δ

=

Prilikom promene agregatnog stanja, bilo da supstanca prima toplotu,bilo da je oslobađa, temperatura se ne menja.

Latentna toplota q (u [J/kg]) je toplota oslobođena ili apsorbovana prilikompromene agregatnog stanja (faznog prelaza) jedinične mase supstance.

183

Širenje čvrstih tela pri zagrevanjuPri zagrevanju povećava se zapremina tela jer seravnotežna rastojanja između molekula i atoma, kojičine građu tela, postepeno povećavaju.

U slučaju da je jedna dimenzija tela znatno veća odostalih, tada se širenje može svesti na linearno širenje.

)1( 320 Lll +α ′′+α′+α+= ttt

)1(0 tα+= lltΔ

Δ=α 0l

l

Termički koeficijent linearnog širenja α predstavlja relativnu promenulinearnih dimenzija tela pri jediničnoj promeni temperature.Zapreminsko širenje čvrstih tela opisuje:

U opštem slučaju važi:

Za uže temperaturne intervale, relacija koja sasvimzadovoljavajuće opisuje promenu linearnih dimenzijatela sa temperaturom glasi:

⇒

α=γ 3)1(0 tVV γ+=

184

Širenje tečnosti pri zagrevanjuUsled toga što tečnosti nemaju stalan oblik, kod njih možemo govoritisamo o zapreminskom širenju.

)1(0 tVV γ+=

Voda ima anomalno ponašanje u pogledu termičkog širenja zbog posebneprirode hemijskih veza u molekulima i između njih. Od 0 °C do 4 °Ckoeficijent γ je negativan, dok je iznad 4 °C pozitivan.

185

Širenje gasova pri zagrevanjuKao i kod tečnosti, i gasovi se mogu okarakterisati samo termičkimkoeficijentom zapreminskog širenja.

Pri promeni temperature, kod gasova se istovremeno menjaju i zapremina ipritisak.

)1(0 tVVt γ+=

Ako se pritisak održava konstantnim (p=const.):

1oC0036604.015.273

1 −==γ

γ - koeficijent zapreminskog širenja

Svi gasovi imaju isti termički koeficijent širenja (Šarlov zakon).

186

Koeficijenti termičkog širenja nekih materijala

187

Prenošenje toplotePrenos toplote sa jednog na drugo telo se odvija spontano i to sa toplijegna hladnije telo.Principijelno, razlikuju se tri načina prenosa toplote: provođenje,konvekcija (strujanje) i zračenje.

Provođenje toplotePrenos toplote provođenjem se ostvaruje interakcijom delića koji vršetermičko kretanje, pri čemu se delovi tela ne pomeraju.Provođenje toplote je proces u kome se toplota prenosi direktno krozmaterijal pri čemu ne dolazi do premeštanja sastavnih delova materijala.Materijale, prema tome kako provode toplotu, delimo na toplotneprovodnike i toplotne izolatore.

188

Provođenje toplote

λ – koeficijent toplotne provodljivosti (u [W/mK])(t2−t1)/L = Δt/Δx – gradijent temperature

τΔ−

λ=ΔL

ttSQ 12

Količina toplote ΔQ koja se provođenjem prenosi kroz materijal u oblikušipke zavisi od:• vremena provođenja Δτ,• razlike temperatura (t2−t1),• površine poprečnog preseka S,• dužine šipke L.

Veća količina toplote se prenese za duži period provođenja, pri većoj razlici temperaturauspostavljenoj na kraćem rastojanju i pri većem poprečnom preseku kroz koji se toplotaprenosi.

189

Prenošenje toplote putem pokretanja (strujanja) toplog materijala (fluida)je konvekcija.

Prirodna konvekcija je pojava kada se topli materijalkreće sam od sebe (spontano) zbog razlika u gustini.

Prinudna konvekcija je kretanje (strujanje) toplogmaterijala pod uticajem spoljašnjih faktora.

Razmena toplote između površine na jednoj temperaturi t1 i fluida nadrugoj temperaturi t2 zavisi od niza činilaca:

- oblik i nagib dodirne površine;- gustina, viskoznost, masena količina toplote, toplotna provodljivost fluida;- način kretanja fluida (laminarno ili turbulentno), …

Prenošenje toplote konvekcijom (strujanjem)

Količina toplote ΔQ koju površina S primi ili preda konvekcijom u tokuvremena Δτ, ako je između površine i fluida razlika temperatura Δt, iznosi:

τΔΔ=Δ thSQ h - koeficijent konvekcije

190

Prenošenje toplote zračenjemToplota se između tela može prenositi i bez direktnog kontakta -zračenjem, tj. emisijom elektromagnetnog toplotnog zračenja.Sva tela neprestano zrače, ali istovremeno i apsorbuju energiju u oblikuelektromagnetnih talasa. U tome značajnu ulogu ima površina tela.Ukupna energija zračenja koje pada na neko telo delimično se apsorbuje,delimično reflektuje, a delimično prođe kroz njega.Kada je neko telo u termodinamičkoj ravnoteži sa okolinom, znači da sujednake količine emitovane i apsorbovane energije putem zračenja.

1=++ tra a - koeficijent apsorpcijer - koeficijent refleksijet - koeficijent transparencije

Za a=1 - apsolutno crno telo - apsorbuje svu toplotuZa r=1 - apsolutno belo telo - reflektuje svu toplotuZa t=1 - apsolutno transparentno telo - propušta svu

toplotu (zračenje)

191

Prenošenje toplote zračenjemKoličina toplote ΔQ koja se putem zračenja emituje od strane apsolutnocrnog tela srazmerna je vremenu emitovanja Δτ, površini S, ali i emisionojsposobnosti (moći) tela Wec, koja je srazmerna T4.

4TWec σ=σ=5.7⋅10−8 W/m2K4

Štefan-Bolcmanova konstanta

Emisiona moć (sposobnost) We bilo kojeg tela zavisi od relativne emisionesposobnosti tela e (0<e<1), koja je karakteristika materijala i strukturepovršine tela koje zrači:

4TeWe σ=

Ukupna emisiona moć (sposobnost) crnog tela Wec (energija koju telo izračisa jedinične površine u jedinici vremena) data je Štefan-Bolcmanovimzakonom:

τΔσ=Δ STQ 4

192

TERMOFIZIKAMolekulsko - kinetička teorija gasova i

jednačina stanja idealnog gasaPrva saznanja i iskustva o tome da toplota može izvršiti korisni rad - XVIIvek - uticaj na razvoj nauke o toploti – termofizike.

Rezultat intenzivnih istraživanja u hemiji i fizici u XVII, XVIII i XIX vekuje zaključak da su atomi i molekuli su osnovni sastavni delovi materije -materija je diskretne prirode.

Rezultat saznanja da je materija sastavljena od atoma i molekula pogodovaoje nastanku tzv. molekulsko-kinetičke teorije gasova – teorije kojapolazeći od proučavanja ponašanja mikroskopskih sastavnih delova materijepokušava (i uspeva) da objasni mnoge makroskopske pojave i termičkeveličine (pritisak gasa, temperatura i njena promena, promena agregatnogstanja, prenošenje toplote, …).

193

Atomsko-molekulski sastav materijeRelativna atomska masa Ar - neimenovan broj koji pokazuje koliko je putaprosečna masa atoma nekog elementa veća od 1/12 mase atoma izotopaugljenika C-12 (tzv. atomska jedinica mase u=1.66⋅10−27 kg).Prosečna masa atoma je srednja vrednost mase atoma normalne izotopskesmeše koja se u prirodi nalazi.

Relativna molekulska masa Mr - neimenovan broj koji pokazuje koliko jeputa prosečna masa nekog molekula veća od 1/12 mase izotopa atomaugljenika C-12.

1 mol je ona količina supstance (atomi, molekuli, joni, elektroni, …), kojasadrži toliko elementarnih jedinki koliko je atoma sadržano u 0.012 kgizotopa ugljenika C-12.

194

Atomsko-molekulski sastav materije

Molarna masa je odnos mase supstance m i broja molova n:

Molarna masa je masa 1 mola supstance.

1 mol sadrži Avogadrov broj čestica NA

Broj molova neke supstance se, nasuprot tome, nalazi preko odnosa masesupstance m i molarne mase M:

Količina od 1 mola bilo kog gasa pri normalnim uslovima (101325 Pa, 273 K)zauzima istu zapreminu. Ova zapremina se naziva molarna zapremina:

nmM =

123 mol10022.6 −⋅=AN

ANN

Mmn ==

30 dm415.22=V

195

Makroskopski opis idealnog gasa.Jednačina stanja idealnog gasa.

Osnovni parametri (veličine) koji opisuju stanje gasa su:

pritisak p [Pa]zapremina V [m3]temperatura T [K]količina n [mol]

Eksperimentima je jednostavno utvrđena međuzavisnostizmeđu parametara za slučaj gasa na relativno niskimpritiscima, reda atmosferskog, i temperaturama reda sobne(gasovi male gustine).

196

Pod tim uslovima idealan gas predstavlja skup velikog broja čestica(atoma ili molekula)

- koje se kreću potpuno nasumično;

- koje imaju zanemarljivu zapreminu u poređenju sa zapreminom suda ukome se gas nalazi (posmatraju se kao materijalne tačke);

- u kome su rastojanja između molekula velika, pa su međumolekularnesile zanemarljive;

- u kojima molekuli međusobno interaguju isključivo elastičnim sudarima.

Dakle, pri niskim pritiscima i visokim temperaturama svi gasovi se mogusmatrati idealnim.

Jednačina stanja idealnog gasa.

197

Eksperimenti su pokazali sledeće:ako se gas održava na konstantnoj temperaturi, pritisak određene količinegasa je obrnuto proporcionalan zapremini suda u kome se nalazi (Bojl-Mariotov zakon);ako se pritisak gasa održava konstantnim, zapremina određene količinegasa je direktno proporcionalna temperaturi gasa (Šarlov zakon);ako se zapremina gasa održava kostantnom, pritisak određene količine gasaje direktno proporcionalan temperaturi (Gej-Lisakov zakon).

Ova zapažanja su objedinjena u jednačini stanja idealnog gasa:

nRTpV =

R=8.314 J/molK – univerzalna gasna konstanta; k=1.38⋅10−23 J/K – Bolcmanova konstanta (k=R/NA).

Jednačina stanja idealnog gasa.

NkTRTNNRT

MmpV

A

=== NkTpV =

Svaka promena nekog od parametarauzrokuje promenu ostalih. const.=

TpV

198

Gasni zakoni. Bojl-Mariotov zakon.

Ponašanje idealnog gasa opisuju Bojl-Mariotov, Gej-Lisakov i Šarlovzakon.

Bojl-Mariotov zakon: Pri konstantnoj temperaturi, zapremina date masegasa obrnuto je srazmerna pritisku.

Krive na p-V dijagramu koje opisujuprocese promene stanja gasa prikonstantnoj temperaturi su izoterme.

)const. const.,( == Tn

const.=pV

nRTpV =

199

Gej Lisakov i Šarlov zakonŠarlov zakon: Zapremina određene količine idealnog gasa pri konstantnom pritisku menja se linearno sa promenom temperature:

Gej-Lisakov zakon: Pritisak određene količine idealnog gasa pri konstantnoj zapremini menja se linearno sa promenom temperature:

Krive na p-V dijagramu koje opisuju procese promene stanja gasa pri konstantnom pritisku, odnosnozapremini su izobare, odnosno izohore.

)const. const.,( == pn )1(0 tVV γ+=

)1(0 tpp γ+=)const. const.,( == Vn

200

Gej Lisakov i Šarlov zakonGej-Lisakov i Šarlov zakon ukazuju na najnižu moguću temperaturu uprirodi - apsolutnu nulu (−273.16 °C), na kojoj idealan gas ne vrši pritisakna zidove suda. Ovo je početak skale apsolutne temperature (Kelvinovaskala).

Pošto je pritisak posledica udara molekula o zidove suda, sledi da na ovojtemperaturi molekuli prestaju da se kreću.

201

Kinetička teorija gasovaOsnovne pretpostavke kinetičke teorije gasova (XIX vek)

Sva tela se sastoje od velikog broja stabilnih čestica (atoma, molekula) imeđumolekulskog prostora. To znači da se njihovo ponašanje možeizučavati primenom statističkog računa.

Rastojanje između pojedinih čestica je veliko u poređenju sa njihovimsopstvenim dimenzijama. To znači da se molekuli gasa posmatraju kaomaterijalne tačke.

Molekuli se u gasovima stalno i haotično kreću. Na ovo (haotično)kretanje se može uticati samo promenom temperature. Haotičnost(nasumičnost) kretanja znači da se bilo koji molekul može kretati u bilokom pravcu sa jednakom verovatnoćom i to sa brzinom koja ima širokspektar vrednosti.

202

Kinetička teorija gasova

Između molekula deluju sile električne prirode koje zavise od vrstemolekula i međumolekularnog rastojanja.

Pošto se molekuli idealnog gasa kreću se haotično, u svim pravcimapodjednako verovatno, oni interaguju sa drugim molekulima i zidovimasuda i neprekidno menjaju pravac i intenzitet brzine (menja se količinakretanja koju poseduju) usled razmene energije sa ostalim molekulima

Interakcije (sudari) između molekula su potpuno elastične i ostvaruju sesamo putem kratkodometnih sila (na malom rastojanju). Na većimrastojanjima se uzima da molekuli ne utiču jedan na drugog.

Gas se posmatra kao čista supstanca. To znači da su svi molekulijednaki.

203

Osnovna jednačina kinetičke teorije gasovaMolekuli gasa u sudu se haotično kreću i sudarajući se sa zidovima sudadeluju izvesnom silom na njih. Iako je sila slaba, zbog ogromnog brojamolekula, ukupna sila delovanja gasa na zidove suda je velika. Kada se onaobračuna po jedinici površine, dobija se veličina pritiska gasa.Pritisak gasa je uslovljen toplotnim kretanjem molekula i zavisi od njihovebrzine, odnosno kinetičke energije translatornog kretanja.Osnovna jednačina kinetičke teorije gasovadaje zavisnost između pritiska i srednjakinetičke energije translatornog kretanjamolekula gasa.

)( τε= fp

204

Molekularni model pritiska idealnog gasa

Svaki i-ti molekul (mase m) u skupu od N molekula se elastično odbija od zidazamišljenog zatvorenog suda oblika kocke sa stranicom dužine L.

Posmatra se kretanje molekula duž jedne koordinatne ose, recimo x-ose (dužpreostale dve je razmatrenje problema identično).

205

δt - vreme trajanja sudara i-tog molekula sa zidom sudaΔt - vreme trajanja između dva uzastopna sudaraΔfi - sila udara molekula o zid

- srednja sila delovanja i-tog molekula na zid (jednaka brzini pro-mene količine kretanja do koje dolazi pri sudaru sa zidom suda)

Molekularni model pritiska idealnog gasa

Ukupna sila kojom N molekula deluje na zid suda (krećući se različitim brzinama vxi) dobija se sumiranjem:

tfmvtf ixii Δ⋅Δ==δ⋅Δ 2

ifΔ

∑∑ =Δ=N

ixi

N

ii v

LmfF 2

Lmv

vL

mvt

mvmvf xi

xi

xixixii

2

22)(

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Δ−−

=Δ

⇒=∑

N

vv

N

ixi

x

2

2 2xvN

LmF =

206

Osnovna jednačina kinetičke teorije gasova

22

222

2222

2222

3 x

zyx

zyx

ziyixii

vv

vvv

vvvv

vvvv

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

++=

++=

LvmNF

2

3=

Ukupna srednja sila i pritisak na dati zid suda u kome se molekuli gasa nalaze:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

232

3

2

3

2

2

vmVN

LvmN

LFp

Srednja kinetička energija translatornog kretanja jednog molekula: kTvm23

2

2

==ετ

Osnovna jednačina kinetičke teorije gasova – pritisak idealnog gasa jeproporcionalan koncentraciji molekula (broju molekula po jedinici zapremine) isrednjoj kinetičkoj energiji translatornog kretanja molekula gasa:

τε=VNp

32

207

Daltonov zakonOsnovna jednačina kinetičke teorije gasova primenjena na smešu gasova:

Daltonov zakon:

Za idealne gasove pritisak smeše jednak je zbiru parcijalnih pritisakagasova koji čine smešu.

L++=VN

VN

VN 21

ττ ε++=ε= )(32

32 21 L

VN

VN

VNp

L++= 21 ppp

pi - parcijalni pritisak - pritisak koji vrši pojedina komponenta smeše, kadabi se u sudu nalazila sama u istoj količini kao i u smeši.

Ni/V – koncentracija molekula i-tog gasa u smeši gasova

208

Molekularni model temperature idealnog gasa

Osnovna jednačina kinetičke teorije gasova (drugi oblik):

kTVNp =

Na T=0 K (apsolutna nula) teorijski prestaje kretanje molekula gasa i pritisak postaje jednak nuli.

NkTpV = NkTNpVVNp =ε=⇒ε= ττ 3

232

kT23

=ετ ⇒ τε=k

T32

Srednja kinetička energija transla-tornog kretanja molekula gasa sra-zmerna je apsolutnoj temperaturi.

Temperatura je mera srednje kineti-čke energije translatornog kretanjamolekula gasa i od nje zavisi ipritisak gasa.

209

Molekularni model temperature idealnog gasa

Slično tome:

kTkTvmvmvv xx 2

123

31

231

231 22

22 ===⇒=

kTvmvm zy

21

22

22

==

Svaki nezavisan pravac kretanja molekula gasa (duž x-, y- i z-ose)doprinosi ukupnoj kinetičkoj energiji translatornog kretanja u jednakomiznosu (kT/2).Nezavisni načini kretanja su tzv. stepeni slobode kretanja molekulaidealnog gasa.Broj stepeni slobode mehaničkog sistema je broj nezavisnih koordinatakoji određuju položaj sistema.Drugim rečima, to je broj mogućih vrsta kretanja pomoću kojihmožemo opisati složeno kretanje čestica sistema.

← Kinetička energija jednog molekula gasa duž jedne (x-)koordinatne ose.

210

Raspodela energije po stepenima slobode

jednoatomni molekul - 3t dvoatomni molekul - 3t+2r tro- i višeatomni molekul - 3t+3r

Prosečna energija po stepenu slobodekretanja (ne samo za translatorni, veći za rotacioni i oscilatorni):

kTii2

=ε′=εMolekul sa i stepeni slobode kretanjaima srednju kinetičku energiju:

kT21

=ε′

Molekuli gasa osim 3 translatorna načina kretanja (dužsve 3 ose koordinatnog sistema) imaju mogućnost irotacije, a na višim temperaturama atomi i znatno oscilujuoko ravnotežnih položaja u molekulu.

211

Unutrašnja energija idealnog gasaUnutrašnja energija U idealnog gasa je zbir energija kretanja pojedinihmolekula, ali u širem smislu i potencijalnih energija koje molekuli posedujuzato što na njih deluju ostali molekuli međumolekulskim silama. Akosmatramo da su međumolekulske interakcije zanemarljive, uzima se uobzir samo kinetička energija kretanja svih molekula.

Temperatura je mera srednje kinetičke energije molekula gasa.Unutrašnja energija U idealnog gasa zavisi od apsolutne temperature, ali,strogo uzevši, i od broja stepeni slobode molekula (vrsta molekula).

ε===ε= ∑∑==

NvmNvmUN

ii

N

ii 22

2

1

2

1

nRNNNkNk

A

A ==kTiNU2

= nRTiU2

=

kTi2

=ε

212

Toplota i masena količina toplote idealnog gasaToplota je jedan od vidova energije i manifestuje se kada se ona razmenjujeizmeđu tela.Masena količina toplote c (u [J/kgK]) je toplota koju treba dovesti telujedinične mase da bi mu se temperatura promenila za jedinicu.

tmQcd

d=Pri dovođenju toplote gasu, osim temperature, može se

značajno promeniti još i zapremina gasa.

Zagrevanje pri V=const.Gas ne vrši rad (nema promene zapremine) već se dovedena količinatoplote troši na povećanje unutrašnje energije.

RTMmiU

TU

mc

UTmcQ

V

V

2dd1

ddd

==

⇒==

MRicV 2

=

Primer vodonika (dvoatomski gas) – sa porastom temperature novi oblici kretanja doprinoseukupnoj specifičnoj toploti

213

Masena količina toplote idealnog gasa

TV

mpc

TVp

TU

mc

TmcQ

VpUQVp

pdd

dd

dd1

dd

ddd+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

+=

Zagrevanje pri p=const.Dovedena količina toplote se troši delom napovećanje unutrašnje energije, a delom na vršenjerada (dA=pdV) protiv spoljašnjeg pritiska.

Odnos masenih količina toplota cp/cV (adijabatska konstanta) kod idealnihgasova (niži pritisci i temperature reda sobne) ne zavisi od temperature, pritiska izapremine, već samo od vrste gasa (broja stepeni slobode).

MRicp 2

2+=R

Mm

TVp =

dd κ≡

+=

ii

cc

V

p 2

MRcc Vp +=