Mehanika Fluida Za Studente Gradjevinskog Fakulteta

8/10/2019 Mehanika Fluida Za Studente Gradjevinskog Fakulteta

1/131

Mehanika fuida za studenteGradjevinskog akulteta

Dusan Prodanovic

Chapter 2Fizicka svojstva fuida

Sva fizicka svojstva fluida se mogu vezati ili za konacnu kolicinu fluida ili za jednu tacku unutar fluida. Najpoznatija svojstva konacne kolicine fluida su masa i zapremina . Vrednosti tih svojstava se mogu odreditisamo za odredjenu kolicinu materije. Na primer, moze se izmeriti masa vode u casi, dodavanjem vode u casu,masa e se poveati.

Svojstva fluida koja su vezana za jednu tacku, ne zavise od ukupne kolicine materije. Temperatura vode u casiiz prethodnog primera, koja se meri u jednoj tacki, se nee promeniti ako se odlije jedna kolicina fluida. Ako sedolije voda, temperatura e se mozda i promeiti ali ne kao rezultat poveanja mase fluida vekao rezultat

procesa difuzije i konvekcije.

Do svojstva fluida u tacki se cesto dolazi normalizacijom svojstava konacne mase. Na primer, gustina fluida se moze definisati u jednoj tacki kao odnos mase i zapremine: !"V #poglavlje $.%&.

U veini slucajeva, posebno u oblasti hidrodinamike gde se proucava kretanje fluida, jednostavnije jeraditi sa velicinama koje su vezane za jednu tacku nego za odredjenu kolicinu fluida. Poznavanje

vrednosti svojstava fluida (pritiska, gustine, temeprature, itd.) u svakoj tacki i u svakom trenutkuvremena je jedan od osnovnih zadataka predmeta "Mehanika fluida" . U nastavku se daju definicije iobjasnjenja za nekoliko osnovnih, najvaznijih svojstava fluida, koja (pritiska, gustine, temeprature,itd.) u svakoj tacki i u svakom trenutku vremena je jedan od osnovnih zadataka predmeta "Mehanika

fluida" . U nastavku se daju definicije i objasnjenja za nekoliko osnovnih, najvaznijih svojstavafluida, koja \'ce se intenzivno "trositi" tokom kursa "Mehanike fluida".

2.1 elicine! di"enzionalni siste" i jedinice "ere'ojam velicine je direktno povezan sa pojmom merenja : velicina je sve ono sto se moze izmeriti . Na primer, ako

je sirina stola (.) m, velicina koja se meri je sirina #ili duzina&, vrednost te velicine je (.), a jedinica mere koja je korisena u merenju je metar . Velicine su i vreme, sila, u*rzanje itd.

+dredjene velicine su medjuso*no zavisne. *rzanje je *rzina u jednici vremena, dok se duzina moze izrazitikao *rzina pomnozena sa vremenom. Na primer, sirina stola iz prethodnog primera se moze izmeriti i kaovreme potre*no mravu da predje preko stola idui odredjenom #standardnom-& *rzinom .

Da *i se uveo red, sedam velicina koje su medjuso*no nezavisne su proglasene osnovnim velicinama , a sveostale su izvedene velicine . ta*eli $. su date osnovne velicine cija imena i sim*oli su medjunarodnodogovoreni.

Velicina /edinica Sim*ol jedinice

Duzina metar m

!asa kilogram kg

Vreme sekund s/acina struje amper A

0emperatura kelvin 1

Svetlosna jacina kandela cd
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Sec-FSvojstva-Gustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Tab-OsnovneVelicinehttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Tab-OsnovneVelicinehttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Sec-FSvojstva-Gustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Tab-OsnovneVelicine


2/131

1olicina supstance mol mol

0a*le $. : +snovne velicine

'rve tri osnovne velicine iz ta*ele $. cine dimenzionalni sistem koji odgovara !ehanici: duzina definise prostor i geometriju tela cije se kretanje proucava, masa opisuje inercijalnost materijalnog tela koje se protivi promenama u svom kretanju i vreme ili vremenski interval u kome nastaje promena u kretanju materijalnog tela.+vakav dimenzionalni sistem se naziva jos i apsolutni sistem .

usvojenom dimenzionalnom sistemu, *ilo koja izvedena velicina 2 u o*lasti !ehanike se moze napisati kao:

324 35 a ! * 0 c4 #$. &gde su 5, ! i 0 oznake za duzinu, masu i vreme. izrazu se koriste uglaste zagrade kao oznaka zadimenzionalni izraz jer su uspostavljene relacije samo izmedju velicina a ne i izmedju vrednosti tih velicina.

Do vrednosti velicine se dolazi merenjem, uporedjivanjem nepoznate velicine sa nekom drugom, istorodnomvelicinom, koja je uzeta kao osnovna jedinica mere. 6z*or osnovnih jedinica mere je slo*odan. Na primer, sirinastola je (.) ako se koristi metar kao jedinica mere, % .7 sirina palca #inci& ili %.% visine knjige 87 formata.

/asno je da slo*odan iz*or jedinica mere dovodi do prilicne konfuzije #9moj palac je malo siri od tvog9&, pa suse sve drzave o*avezale da koriste jedinstveni medjunarodni sistem jedinica S6 #5a S st;me 6nternational

d< nit;s&. S6 sistem propisuje osnovne velicine i za te osnovne velicine definise jedince mera$

. Definicije jedinica mera se povremeno menjaju, u skladu sa razvojem nauke, cime se smanjuje merna neizvesnost i poveava prakticna upotre*a jedinice mere.

1ada je definisan sistem jedinica kojima se meri odredjena velicina, iz dimenzionalnog izraza # $. & se do*ijavrednost velicine 2 kao:

2 N 2 m a kg * sc #$.$& pri cemu je postovan S6 sistem mera. izrazu # $.$&, N2 je merni *roj, vrednost velicine 2 u usvojenom sistemu jedinica.

1roz vei deo ove knjige e se postovati S6 sistem mera. 0aj sistem, medjutim, *udui da je propisan uzuvazavanje svih naucnih o*lasti, u o*lasti !ehanike, pose*no statike, unosi jednu veliku nelogicnost. Sila je

prema S6 sistemu izvedena velicina, dimenzionalno jednaka 35 ! 0 $4. 'rema takvoj definiciji, sila zavisiod vremena iako se razmatraju pro*lemi u o*lasti statike, gde je vreme konstantno, iskljuceno iz razmatranja.8ilo *i prirodnije da sila *ude osnovna velicina a masa izvedena #nekada je *io u upotre*i takav tehnickidimenzionalni sistem &. 0ada *i se u o*lasti statike koristile dve osnovne velicine #duzina i sila& a u o*lastikinematike tri #duzina, sila i vreme&.

6ako je S6 sistem propisan i mora se koristiti, uo*icajena je praksa da se u fazi analize fizicke zavisnosti pojedinih velicina koje opisuju neki fenomen, koristi slo*odan iz*or osnovnih velicina. Na primer, ako seizucava momenat ! na kraju grede u funkciji od duzine 5 i kontinualnog optereenja =, logicno je duzinu ikontinualno optereenje uzeti kao osnovne velicine a konkretne 5 i = kao jedinice mere. z uslov o

dimenzionalnoj homogenosti direktno se do*ija da je 3!4 35 $ = 4 odnosno da je vrednost momenta ! N ! 5 $ = . +*last koja se *avi ovakvim analizama se zove dimenzinalna analiza , veoma se cesto koristi u!ehanici fluida i izucavae se detaljnije u glavi ove knjige.

2.2 iskoznost>luid je po definiciji supstanca koja se neprekidno deformise kada na nju deluje smicui napon, ma koliko malitaj napon *io. Na slici $. je u formi promene kroz vreme prikazan rezultat veoma prostog eksperimenta,delovanja konstantne *ocne, tangencijalne sile > na cvrsto telo i na fluid. ?vrsto, idealno elasticno telo je

prikazano u formi kocke koja je svojim *azisom pricvrsena za nepokretnu podlogu, a fluid je u sloju de*ljine hizmedju donje nepokretne ploce i gornje na koju se deluje silom >.

>igure $. : @azlika u vremenskom deformisanju cvrstog tela i fluida kada se na njih deluje *ocnom tangencijalnom silom
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Tab-OsnovneVelicinehttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-DimenzionalniIzrazhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-VrednosniIzrazhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Tab-OsnovneVelicinehttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-DimenzionalniIzrazhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-VrednosniIzrazhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01a


3/131

pocetnom trenutku t ( ( cvrsto telo i fluid su u stanju mirovanja, sila > nije jos pocela da deluje. trenutkut t, sila > pocinje da 9gura9 gornju ivicu kocke i gornju plocu. Bornja ivica kocke se istog trenutka pomeri,deformise , za C1 a gornja ploca, odnosno gornji sloj fluida za C>. sledeem trenutku t $ t, ukupnadeformacija kocke je jos uvek C1 dok se gornja ploca kod fluida pomerila za dodatno C> pa je sada ukupnadeformacija $ C>.

Nakon n t vremena, ako je cvrsto telo *ilo idealno elasticno, deformacija kocke ostaje i dalje C1 dok jeukupna deformacija kod fluida n C>. Na osnovu rezultata eksperimenta, moze se zakljuciti da su sledee dvevelicine konstantne:deformacija


4/131

C1 kocke, koja je ocigledno karakteristicna velicina kod cvrstih tela, ibrzina deformacija

fluida, izrazena kao odnos deformacije i vremenskog prirastaja 3# C>&"#t&4 3#$C>&"#$t&4 3#nC>&"#nt&4 pa se moze definisati velicina brzine deformacije kao 3#C>&"#t&4 ?onst. .

>igure $.$: @aspored *rzina u fluidu, gornja ploca je pokretna sa konstantnom *rzinom a donja nepokretna

Velicina *rzine deformacije spada u jedno od fizickih svojstava svih fluida. Na slici $.$ je prikazan detaljnijemehanizam deformacije fluida koji se nalazi izmedju dve ravne ploce, pri cemu je samo jedna ploca pokretna#na primer, kod osovina u lezaju gde je fluid sredstvo za podmazivanje&. 6zmedju ploca fluid miruje, nemasopstvenog protoka fluida, pa su *rzine u fluidu samo rezultat pomeranja gornje ploce.

1ada se gornja ploca gura nekom silom >, tacka 8#t ( & e se pomeriti na mesto 8 #t( t&, pa 89#t( $ t& itd, a prav ugao koji je zaklapala duz 3 A84 sa osom C se deformise u ugao manji od E( ( i postaje , 9 .... Ako se *rzina pomeranja gornje ploce oznaci sa , eksperimenti su pokazali da je ta *rzina direktno proporcionalna sili> i rastojanju izmedju ploca h, a o*rnuto proporcionalna povrsini ploca A, odnosno, ako se sila > stavi sa levestrane izraza, do*ija se:

> A h #$.%&

Fa koeficijenat proporcionalnosti standardno se koristi oznaka i zove se dinamicki koeficijenat viskoznosti :

> A h #$.G&

'rosecan smicui napon C % se definise kao odnos sile i povrsine na koju ta sila deluje:

>A Ah

A h #$.7&

H

Velicina 3 "h4 je ugaona *rzina linije 3 A84 #slika $.$ , levi deo& ili *rzina ugaone deformacije. Ako se pretpostavi da su *rzine deformacija male G, u slucaju kada je donja ploca nepokretna, raspored *rzina po visini he *iti linearan #desni deo slike $.$& pa se *rzina u# & moze definisati kao # Iugaona *rzina linije 3 A84&.'rosecni tangencijalni napon je tada isti kao i napon na *ilo kom odstojanju od donje ploce, odnosno, # &.

>igure $.%: @aspored *rzina u fluidu kada postoji protok fluida, gornja ploca je pokretna sa konstantnom *rzinom a donja nepokretna
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-01


5/131

Fa raspored *rzina izmedju dve ploce razlicit od pravolinijskog, kao na primer prikazanom na slici $.% gde sesuperponiraju *rzine usled tecenja fluida 7 i usled pomeranja gornje ploce J , tangencijalni napon na udaljenju oddonje ploce e i dalje *iti proporcionalan ugaonoj *rzini ali sada ne prosecnoj veonoj na mestu , definisanojkao izvod 3 du"d 4. Sada se moze napisati:

# & dud #$.J&

+*razac # $.J & je poznat kao Njutnov 7 zakon viskoznosti . Fakon kaze da postoji proporcionalnost izmedjunapona smicanja i ugaone *rzine, odnosno *rzine deformacije. Svi fluidi koji podlezu tom zakonu se zovu

Njutnovski fluidi . Na primer, Njutnovski fluidi su voda, alkohol, med, ulje, ....

/edinica mera za dinamicki koeficijenat viskoznosti nema odredjeno ime:

3

4 34

3 uh 4

! 5 0 $

5 0

53! 5 0 4

kg

m sS6 sistem

#$.H&

vese cesto koristi jedinica 3'a s4. starom ?BS #centimetar gram sekund& sistemu koristila se jedinica 'oaz#poise&:

' grcm s odnosno (( puta manja jedinica, centipoaz c' (( '

pa je veza ?BS i S6 sistema: 3#kg&"#m s&4 ( '.

praksi se cesto koristi i kinematicki koeficijenat viskoznosti #ili kinematski koeficijenat& koji je jednak:

gde je 3 4 35$ 0 4

>igure $.G: @eoloski dijagrami za razlicite fluide
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-NjutnovZakonViskoznostihttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-NjutnovZakonViskoznostihttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAH


6/131

Na slici $.G je prikazan dijagram zavisnosti tangencijalnog napona od *rzine deformacije #takav dijagram secesto zove i reoloski dijagram &. 1ao i prema definiciji, Njutnovski fluid je predstavljen pravom linijom koja

polazi iz koordinatnog pocetka i ciji nagi* je jednak koeficijentu viskoznosti.

Na dijagramu se vidi da postoje i fluidi koji ne slede Njutnov zakon viskoznosti. Na primer, gusta smesa vode i pepela koja se koristi za hidraulicki transport pepela od termoelektrane do mesta gde se odlaze pepeo, nee poceti da tece sve dok sila koja gura smesu #komponenta sile gravitacije u pravcu toka& ne predje odredjenukriticnu vrednost, a nakon toga e se ponasati kao i svaki drugi Njutnovski fluid. 0akvi fluidu se nazivajuidealno plasticni fluidi , ili Bingamovi fluidi .

'ostoje i pseudo plasticni fluidi sa nelinearnom vezom *rzine deformacije i tangencijalnog napona. Na

reoloskom dijagramu se pravom linijom duz ordinatne ose mogu prikazati i cvrsta tela : *rzina deformacija jenula za sve tangencijalne napone manje od napona loma tela.

'ose*an slucaj predstavljaju idealni fluidi , na reoloskom dijagramu predstavljeni pravom linijom duz apscisneose. 1od idealnog fluida koeficijenat viskoznosti je nula: za *eskonacno mali tangencijalni napon, *rzinadeformacija je *eskonacno velika, odnosno, idealan fluid nema unutrasnjeg trenja . 6dealan fluid se cesto koristiu toku izvodjenja i o*jasnjenja osnovnih jednacina !ehanike fluida: cinjenica da nema trenja olaksava pisanje

jednacina jer se zanemaruju svi clanovi u kojima figurise gu*itak energije. 1ada se izraz napise za idealan fluid,uvodjenjem raznih koeficijenata #koeficijenta protoka, koeficijenta *rzine, ...&, do*ijeni rezultati se pre*acuju naslucaj tecenja realnog fluida.

Fa razliku od idealnog fluida, kod realnog, Njutnovskog fluida, koeficijenat viskoznosti je vei od nule pa postoji unutrasnje trenje. 0o trenje je odgovorno za gubitak energije 8 koji postoji kad god se fluid kree .

>igure $.7: Viskoznost je rezultat 9kocenja9 molekula usled medjumolekularne sile kao i usled razmene kolicinekretanja izmedju molekula koji se slo*odno kreu
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAI


7/131

nutrasnje trenje, odnosno viskoznost, je posledica postojanja dva mehanizma na nivou molekula . 'rvi je posledica postojanja privlacnih medjumolekularnih sila . 0e sile deluju 9kocei9, sto su molekuli medjuso*no *lizi, vee su sile izmedju njih pa je vea i viskoznost. Na slici $.7 su prikazani molekuli u dva sloja, koji se poddejstvom neke spoljne sile #na slici nije prikazana& kreu razlicitim *rzinama. !olekuli iz sloja , koji se kreu

*rze od molekula iz sloja $, *ivaju usporeni usled delovanja medjumolekularne sile #na slici prikazana sirokom *elom strelicom& dok se molekuli iz sloja $ u*rzavaju. 1od tecnosti su te sile jake, pa je i njihov efekat naviskoznost znacajan. 1od gasova je razmak izmedju molekula toliko veliki E da su medjumolekularne silezanemarljive, pa ovaj mehanizam skoro uopste ne utice na viskoznost.

Drugi mehanizam je posledica stalnog slobodnog, haoticnog kretanja molekula unutar fluida #na slici $.7 prikazanoj u formi strelica izmedju dva sloja&. +ni molekuli koji u tom haoticnom kretanju dodju iz sloja usloj $, sa so*om ponesu i svoju veu *rzinu, odnosno veu kolicinu kretanja. sudaru sa molekulima iz sloja $,dolazi do razmene kolicina kretanja, odnosno do u*rzavanja sporijih molekula. 6sti proces se dogadja i usuprotnom smeru: sporiji molekuli iz sloja $ kada se u svom haoticnom kretanju zadese u sloju , usporie *rzemolekule. 'roces razmene kolicine energije se dogadja i kod tecnosti i kod gasova, i njegov intenzitet ne zavisi

od pritiska ve zavisi samo od pokretljivosti molekula, odnosno od temperature fluida : sa porastom temperatureraste i pokretljivost pa i viskoznost.

>igure $.J: 'romena viskoznosti vode i vazduha pri razlicitim temperaturama

ticaj temperature na viskoznost proistice iz sadejstva opisana dva mehanizma. 1od gasova na normalnom

pritisku je delovanje medjumolekularnih sila zanemraljivo pa viskoznost zavisi samo od stepena pokretljivostimolekula. Sa poveanjem temperature gasa, viskoznost skoro linearno raste , sto se i vidi na slici $.J , gde je dat

primer za vazduh pri atmosferskom pritisku.

1od tecnosti je uticaj medjumolekularnih sila dominantan, pa sa poveanjem temperature i poveanjem pokretljivosti molekula, te sile opadaju. @ezultujua viskoznost sa porastom temperature tecnosti opada , ali
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04


8/131

stepen opadanja nije konstantan vese postepeno smanjuje #slika $.J , zavisnost viskoznosti vode odtemperature&, jer sa visim temperaturama mehanizam razmene kolicine kretanja izmedju molekula ima sve veiuticaj na ukupnu viskoznost.

Viskoznost, kao sto je verezeno, ne zavisi od pritiska. Standardna vrednost viskoznosti za vodu jevode .(K ( %3#kg&"#m s&4, a za vazduhvazduha .)K ( 73#kg&"#m s&4 . prilogu knjige se daju ta*lice sa razlicitimvrednostima viskoznosti u funkciji temperature, za neke od najcese korisenih fluida.

rimer !.!.

priloguknjige, dati su

podaci oosnovnimoso*inamafluida. 6zta*lice sedo*ijajuvrednosti zakoeficijenatviskoznosti vode( .H7%I ( % 'a s i

)( %.7 (I ( G 'a s.

+*im osovine je + os dI (.( $I%. G 7 (.(%HH m pa je tangencijalna *rzina (.(%HJ)I 7(("J( (.EG$ m"s. 'rosecnitangencijalni napon u fluidu je 3 "h4 uz neophodnu proveru pretpostavke o laminarnom toku u vodi:

h

EEE.) I(.EG$ I(.7I ( % .H7%I ( %

$J).J L 7((

gde je uzeta gustina vode iz ta*lice za 0 ( ( ?, ( EEE.) kg"m %.0angencijalni napon za temperature 0 ( ( ? i 0 )( ( ? je:

( .H7%I ( % (.EG$(.7I ( % %.%($H 'a s

)( %.7 (I ( G (.EG$(.7I ( % (.JJ $) 'a s

Sila kojom tre*a okretati osovinu je IA gde je povrsina A o*im pomnozen sa duzinom, A + osI5 (.(%HHI(.( (.%HHI ( % m$ a silana remenici je za odnos krakova sile D"d manja. 1onacno, sila na remenici koja je samo posledica trenja usled viskoznosti vode je:

>( ( IA dD %.%($HI(.%HHI (% .$

( (. 7I (% N (. 7 mN

odnosno za )( ( ? sila je

>)( )( IA dD (.JJ $)I(.%HHI (% .$

( (.(%I (% N (.(% mN

2.# Gustina $speci%cna "asa& fuida

>igure $.H: 1ruto telo konacne mase ! i delielementarne mase d!

+sovina vodene pumpe se podmazuje vodomkoja prolazi kroz samu pumpu. 'recnikosovine je d $ mm, de*ljina vodenog sloja

je h (.7 mm a duzina na kojoj se podmazujeosovina je 5 cm. 8roj o*rtaja osovine

pumpe je 7(( o"min. Ako se pumpa pogoni preko remenika precnika D ( cm, kolika je potre*na sila u remenici za savladavanje samootpora trenja zimi, na temperaturi t ( ( ( ? akolika kada se voda zagreje usled rada motorana t )( )( ( ?-
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-04


9/131

1ao sto je venapomenuto u uvodnom o*jasnjenju ove glave, masa i zapremina su fizicka svojstva koja sevezuju uz konacnu kolicinu jasno razgranicenog tela #slika $.H&.Srednja gustina tog tela je:

!V

i ako se pretpostavi da je telo homogeno, srednja gustina je svojstvo materije u bilo kojoj tacki tela .

a nehomogena tela , sa gustinom u prostoru koja nije konstantna, umesto srednje gustine, treba poznavatiraspodelu gustine po prostoru #C, ,z&. izrazu za gustinu, dakle, potre*no je smanjiti posmatranu zapreminudo nivoa elementarne zapremine dV koja e imati masu d!:

#C, ,z& d!dV>igure $.): Dva homogena fluida razlicitih gustina u istom sudu

1ao i kod cvrstih tela i kod fluida se moze uociti ogovarajua elementarna zapremina dV mase d! i izracunatigustina. Ako je const., fluid je homogen . veini zadataka u okviru ovog kursa 9!ehanike fluida9 e seraditi sa homogenim fluidima.

Na slici $.) je prikazan slucaj kada se dva homogena fluida, tecnosti, nalaze u istom sudu. svim zadacimakoji e se raditi, pretpostavlja se da ne dolazi do mesanja tih fluida i da se formira jasna horizontalna granica ( .>luid manje gustine e uvek zauzimati gornji deo suda dok e fluid vee gustine $ zauzimati donji deo suda.Bustina fluida se menja sa promenom temperature, ali u znatno manjoj meri nego sto se menja viskoznost.

prilogu knjige su date vrednosti gustina za vodu, za razlicite vrednosti temperature. veini zadataka,medjutim, uzimae se aproksimativna vrednost gustine vode ((( kg"m % kg"dm %.Bustina suvog vazduha na $( ( ? i na pritisku od ( % m8ar a je .$ kg" m %, sto je )%% puta manje od gustinevode. zadacima iz hidrostatike, gustina vazduha e se zanemarivati , jer se radi sa malim visinskim razlikama.Sile usled delovanja tezine tecnosti su dominantne, pa se za gustinu vazduha uzima da je nula.

2.' (ezina i speci%cna tezina
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-05http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-05http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-06http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABAhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-05http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-06http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABA


10/131

Tezina je sila , jednaka proizvodu mase krutog tela i u*rzanja zemljine teze B !Ig, odnosno, tezinaelementarnog delia zapremine dV je dB d!Ig. 1ada se posmatra fluid, uo*icajeno je da se umestoelementarne mase pise dV pa je tezina elementarnog delia fluida:

dB g dVAko se tezina posmatra kao jedno od svojstava vezanog za konacnu kolicinu fluida, normalizacijom se dolazido specificne tezine :

dBdV

d!IgdV

d!dV Ig Ig

starijim knjigama se specificna tezina cesto koristila, ali kako ga S6 sistem jedinica ne poznaje, u ovoj knjizie se umesto specificne tezine dosledno koristiti proizvod gustine #specificne mase& i gravitacionog u*rzanjag. 1ako vrednost gravitacionog u*rzanja zavisi od geografske lokacije, u svim zadacima e se koristiti

prosecna vrednost g E.) m"s $.

2.) *lasticne de or"acije! stisljivost fuidaSve materije su u izvesnoj meri stisljive, jer odredjena promena pritiska uvek donosi promenu zapremine .

Stisljivost fluida se definise preko modula stisljivosti 1:

dVV

1 dp #$.)&

gde znak minus u izrazu ukazuje na to da poveanje pritiska uvek izaziva smanjenje zapremine .

'osto je masa fluida konstantna, ne zavisi od stepena deformacije, elementarna zapremina se moze napisati kao:

dV d

m

m d#

& m$ d

pa se prethodni izraz # $.) & moze napisati u funkciji od mase i gustine:

1

dpm d

$ m

dpd

p #$.E&

6z izraza #$.E& se vidi da je modul stisljivosti jednak odnosu poveanja pritiska prema relativnom poveanjugustine usled poveanog pritiska. Fnak parcijalnog izvoda ukazuje na to da je pritisak jedina nezavisna

promenljiva : promena gustine je iskljucivo rezultat promene pritiska.

rimer !.#.Fa vodu na normalnoj temperaturi modul stisljivosti je 1 $.(H B'a # B'a ( E 'a&. Ako je gustina vode na povrsini ( ((( kg"m %,kolika e *iti gustina na ( m du*ine- 1olika je relativna promena zapremine-

'ritisak na ( m du*ine vode je: p ( g h (((IE.) I ( E). k'a. 'romena gustine vode se do*ija iz izraza #$.E&:

1 p p1

((( E) (($.(HI ( E (.(GH%E kg"m%

pa je gustina vode na ( m du*ine ( ((( (.(GH%E (((.(GH%E kg"m %.

'ri promeni pritiska p od E). k'a, relativna promena zapremine e *iti #prema izrazu # $.) &&:

VV

E) (($.(HI ( E

(.((GHGM GH.G ppm
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostZapreminahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostGustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostGustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostGustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostZapreminahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostZapreminahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostGustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostGustinahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-StisljivostZapremina


11/131

gde oznaka 3ppm4 znaci 9parts per million9.

prethodnom primeru se vidi da su promene gustine tecnosti sa du*inom veoma male. F*og toga e se u veinizadataka u ovom kursu 9!ehanike fluida9 smatrati da su tecnosti nestisljive . Samo kod veoma malog *roja

pro*lema, nastalih usled velike promene pritiska, stisljivost fluida se ne moze zanemariti. /edan od takvih pro*lema je analiza hidraulickog udara , neustaljene pojave koja nastaje naglim zatvaranjem ili otvaranjemcevovoda pod pritiskom. F*og stisljivosti fluida kao i materijala od koga je napravljen sam cevovod, talas

poveanja #ili smanjenja& pritiska putuje *rzinom zvuka duz cevovoda, dovodei u opasnost sve elementemreze.

!odul stisljivosti vazduha na normalnoj temperaturi je 1 G( k'a, sto je oko ( ((( puta manje od modulastisljivosti vode. 6ako se stisljivost gasova ne moze zanemariti, u okviru 9!ehanike fluida9 za Bradjevinskeinzenjere se nee izucavati pro*lemi vezani za stisljivost i termodinamicke procese u gasovima. Basovi e seuzimati u razmatranje samo u dva slucaja: kao dodatno optereenje u zatvorenim rezervoarima u strogoustaljenim uslovima, i kao sredina kroz koju se kreu tela na koja izucavamo otpore pri kretanju.

2.+ Pritisak

>igure $.E: 'ritisak je normalna sila d> podeljena sa povrsinom na koju deluje A

Normalna sila koja deluje na ravnu povrsinu podeljena sa povrsinom na koju deluje predstavlja srednji pritisak :

#n

&p limA (

d>

A#$. (&

'ritisak je skalar i predstavlja jedno od svojstava fluida vezanih za jednu tacku #kao i gustina, temperatura, ...&.+znacava se malim slovom p #veliko slovo ' se koristi za oznacavanje sile& i ima dimenziju:

3p4 3>43A4 Nm $ 'a 3! 5

0 $4

'rema S6 sistemu jedinica za pritisak je paskal 3'a4 $ @anije je *ila u upotre*i jedinica 3Atm4 #atmosfera&, koja je jednaka srednjem vazdusnom pritisku na nivou mora. Vrednost atmosfere izrazena u paskalima je:

Atm ( %$7 'aF*og toga sto je atmosferski pritisak veoma zgodan da se uzme kao referentni pritisak u veini primena, S6

sistem je dozvolio da se paralelno sa paskalima koristi i jedinica *ar 38ar4, koja je (( ((( puta vea od paskala. 0ako je:

8ar (( ((( 'a .( % Atm Atm
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABBhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABBhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABC


12/131

izrazu # $. ( & za pritisak je uveden znak # & da *i se do*ili pozitivni pritisci za silu 3> vec4 koja deluje ka povrsini A. 0o je u suprotnosti sa konvencijom koju uvodi opsta teorija otpornosti krutih tela, gde se za pozitivne sile i pozitivne napone uzima smer koji zateze presek. 1ako tecnosti ne trpe zatezanje, vesamo pritisak , da se ne *i stalno racunalo sa negativnim *rojevima, standardna praksa je da se u predmetima koji se *ave fluidima, konvencija o smeru promeni, pa se uzima za pozitivan smer !i pozitivan pritisak", smer sile ka fluidu .

+so*ine pritiska su:. 'ritisak uvek deluje upravno na zid . stvari, pritisak je skalar pa on i nema definisan pravac delovanja.

1ada se posmatra pritisak na zid suda, posmatra se sila na neku povrsinu. Sila je vektor sa orijentacijomorta povrsine na koju deluje, a to je normala na zid.

>igure $. (: 'ritisak uvek deluje upravno na zid

$. Vrednost pritiska u jednoj tacki fluida koji miruje, odnosno na istoj koti, je ista bez obzira na smer . +vo je definisao i 'askal u formi zakona: #ada nema tangencijalnih napona, pritisak je nezavisan od smera .

>igure $. : Sile na elementarni delitrougaonog o*lika

Na slici $. je prikazan elementarni deo fluida trougaonog o*lika, jedinicne sirine. Ako su p C, p z i p s

pritisci, odnosno normalni naponi koji deluju na strane dA C, dA z i dA s, tada je iz uslova o mirovanjufluida potre*no postii jednakost svih sila u C i z pavcu:

pC dC p s ds sin
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-SrednjiPritisakhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-08ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-SrednjiPritisakhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-08a


13/131

pz dz ps ds cos g dC dz$

0ezina trougla g 3 dC dz"$4 je mala velicina drugog reda, pa se moze izostaviti iz izraza. 6z geometrijetrougla sledi da je ds sin dz i ds cos dz, pa se do*ija:

p p C p z p s #$. &

?injenica da je pritisak isti u svim pravcima u jednoj tacki e se koristiti u narednoj glavi knjige $idrostatika , gde e se utvrditi da pritisak u homogenom fluidu zavisi samo od vertikalne z koordinate ane i od horizontalnih C i koordinata. Na slici $. ( je, na koti z to prikazano istom duzinom linija kojereprezentuju vrednost pritiska p .

Ako se fluid kree , postoje tangencijalni naponi, pa normalni naponi u jednoj tacki vise nisu isti u svim pravcima. 'ritisak se tada definise kao srednja vrednost *ilo koja tri medjuso*no upravna normalnanapona u tacki:

p pC p p z % #$. $&

%. 'ritisak na zatvoreni fluid se podjednako prenosi na sve zidove suda . +vu oso*inu je jos davno definisao8lez 'askal %, pa se po njemu i zove 'askalov zakon.

>igure $. $: 'ritisak na zatvoreni fluid se podjednako prenosi na sve zidove suda

'rema 'askalovom zakonu, uz uslov da su klipovi povrsina A i A$ u sistemu datom na slici $. $ na istojvisinskoj koti #prema prethodnoj oso*ini pritiska& i da se zanemare sile trenja izmedju klipova i zidovasuda, sledi da je sila:

>$ > A $ A

odnosno, malu silu > mozemo onoliko puta 9pojacati9 koliko puta poveamo odnos precnika klipova.

rimer !.$.'omou hidraulicke dizalice tre*a podii auto mase 7(( kg. Ako su precnici klipova hidraulicke prese A $ cm $ i A$ (. m $, kojomsilom tre*a pritisnuti klip - 1oliki je pritisak u fluidu-
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-08http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-08http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABDhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABDhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-09http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-08http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABDhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-09


14/131

Sila > $ koju tre*a podii je: > $ 7((IE.) G.H 7 kN. Sila > je prema 'askalovom zakonu:

> > $ A A$

G.H 7 $I (G

(.G.H 7I(.( $ (. HJ7) HJ.J N

'ritisak u fluidu, na koti klipa je:

p > A HJ.7)$I ( G GH. 7 k'a

'ritisak je apsolutna, ne negativna velicina p aps ( 'a #kao sto je to i temperatura&. Slucaj kada je pritisak jednak nuli se zove vakuum G. 'ritisak koji je posledica samo sopstvene tezine suvog vazduha se nazivaatmosferski pritisak i na nultoj nadmorskoj visini ima vrednost p atm ( %(( 'a. Sa poveanjem visineatmosferski pritisak pada za .G 'a"m, tako da je na nadmorskoj visini od ((( m nad morem, atmosferski

pritisak p atm )E E(( 'a.

>igure $. %: Apsolutni pritisak je z*ir atmosferskog i hidrostatickog pritiska

okviru predmeta 9!ehanika fluida9 najveim delom se izucavaju optereenja na o*jekte relativno malihdimenzija #do nekoliko desetina metara visine&, pa se u veini zadataka smatra da je atmosferski pritisakkonstantan i da iznosi p atm (( k'a. kupni, apsolutni pritisak u tacki A #slika $. %& sa strane fluida gustine

je jednak z*iru atmosferskog pritiska p atm koji deluje iznad povrsine fluida i pritiska p A koji je posledicadodatnog sloja fluida h. Sa druge strane zida suda, u vazduhu, na tacku A deluje apsolutni pritisak koji je jednak atmosferskom, pri cemu se zanemaruje promena pritiska u vazduhu usled razlicitih kota povrsine fluida i tackeA. @ezultujui pritisak u tacki A je jednak pritisku usled fluida :

pA #p atm p A& patm i zove se hidrostaticki pritisak , ili manometarski pritisak , ili u ovoj knjizi najcese, samo pritisak 7 .

Veza izmedju pritiska, apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska je data sa jednacinom:

p p aps patm #$. %&6z napisane jednacine, znajui da je apsolutni pritisak uvek vei ili jednak nuli, i uz uslov da je atmosferski

pritisak konstantan, sledi za pritisak da je p (( k'a. Drugim recima, pritisak !hidrostaticki" u fluidu nemoze biti manji od %&& k'a.

rimer !.$.Dva suda istih dimenzija, ispunjena su istim fluidom do iste kote, pri cemu je prvi sud otvoren #u spoju je sa atmosferom& a drugizatvoren sa gornje strane. 'osmatra se pritisak u tacki na dnu o*a suda. Ako je pritisak #hidrostaticki pritisak& u posmatranoj tacki uo*a suda isti, da li su isti i apsolutni pritisci u toj tacki-

+dgovor je: da, isti su i apsolutni pritisci. 'rvi sud je otvoren i na povrsinu fluida sigurno deluje atmosferski pritisak. Drugi sud jezatvoren i pitanje je da li u njemu i dalje postoji atmosferski pritisak. 'otvrdan odgovor lezi u samoj definiciji pritiska, dat

jednacinom # $. %&: uvek je apsolutni pritisak jednak z*iru atmosferskog #koji je konstantan& i #hidrostatickog& pritiska.
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-10http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-HidrostatickiPritisakhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-10http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-HidrostatickiPritisak


15/131

2., Povr-inski napon i kapilarnostSlo*odna povrsina tecnosti se ponasa kao razapeta i zategnuta gumena mem*rana. Sila po jedinici duzine nazamisljenom preseku po povrsini tecnosti je povrsinski napon . Sim*ol za povrsinski napon je J , dok jedimenzionalno povrsinski napon jednak sili po jedinici duzine, 3 4 3! 0 $4.>igure $. G: Sile kohezije su odgovorne za povrsinski napon a sile adhezije za kapilarno penjanje fluida uza zid

@azlog postojanja povrsinskog napona je znatna razlika u intenzitetu medjumolekularnih sila izmedju molekulau tecnosti # sile kohezije & i izmedju molekula tecnosti u povrsinskom sloju i molekula spoljnjeg fluida #gasa ilineke druge tecnosti&. Na slici $. G je prikazan jedan molekul H unutar fluida, koji sa svim okolnim molekulimaformira ravnotezu medjumolekularnih sila, i drugi molekul pri povrsini tecnosti koji prakticno nemamedjumolekularnih sila sa molekulima iz drugog fluida ) . F*og neravnoteze sila, povrsinski napon tezi daminimizuje slobodnu povrsinu tecnosti. 0o je upravo i razlog zasto kapi vode i mehuri od sapunice imaju sfernio*lik.

1ako povrsinski napon zavisi od medjumolekularnih sila, njegov intenzitet zavisi od vrste tecnosti, temperature#odnono kineticke energije molekula& ali i od vrste spoljnog fluida. ta*eli u prilogu knjige su dati podaci za

povrsinski napon vode, u kontaktu sa vazduhom, u funkciji od temperature. Vidi se da povrsinski napon opada sa porastom temperature , jer sa poveanjem srednje kineticke energije molekula sile kohezije opadaju. drugojta*eli su dati podaci za povrsinski napon nekih najcese korisenih tecnosti, u kontaktu sa vazduhom.

>igure $. 7: zavisnosti od odnosa sila kohezije i adhezije, tecnost ili vlazi zid suda ili ga ne vlazi
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABI


16/131

Na slici $. G , sa desne strane, su prikazane i sile adhezije #medjumolekularne sile izmedju molekula tecnosti imolekula u zidu suda u kome se tecnost nalazi& i njihovo dejstvo na slo*odnu povrsinu tecnosti. zavisnosti ododnosa sila adhezije i kohezije, kao i vrste fluida iznad tecnosti, tecnost e vlaziti zid #penjae se uz zid& ili neevlaziti. Na slici $. 7 su prikazana o*a slucaja, i to sa leve strane kada je tecnost u kontaktu sa vertikalnim zidoma sa desne strane kada kap tecnosti stoji na horizontalnoj povrsini.

1ao karakteristicna velicina moze se definisati ugao vlazenja . gao zavisi od vrste tecnosti, materijala odkoga je napravljen zid, kao i od oso*ina okolnog fluida. Fa uglove manje od E( ( tecnost kvasi zid #na primer, nakontaktu vode i stakla&, dok za uglove vee od E( ( ne kvasi #kontakt zive i staklenog zida&. ta*eli u priloguknjige su dati uglovi kvasenja za neke standardne kom*inacije tecnosti i materijala zidova suda.

>igure $. J: F*og povrsinskog napona pritisak u kapi tecnosti je vei nego okolni pritisak #levi deo slike& itecnost se kapilarno 9penje9 duz tankih cevi #desni deo slike&

'ovrsinski napon je odgovoran za poveanje pritiska unutar kapi tecnosti. sled postojanja stalnih zatezuihsila u povrsinskom sloju tecnosti, kap zauzima sferni o*lik, tako da ima minimalnu spoljnu povrsinu
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-12http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-12


17/131

#slika $. J &. Sila u preseku kapi, na jednu poluloptu, usled povrsinskog napona je jednaka O I gde je O do*im presecnog kruga. 0a sila mora *iti u ravnotezi sa silom usled poveanog pritiska A I p :

d d$ G

p p G d

#$. G&

'ovrsinski napon se uglavnom zanemaruje u inzenjerskoj praksi. (enomen kapilarnog izdizanja #ili spustanja&tecnosti, koji je takodje rezultat povrsinskog napona, medjutim, cesto se sree: z*og kapilarnosti, vlaga u zemljise dize znatno iznad nivoa slo*odne povrsine podzemne vode, a nivo vode u tankoj staklenoj cevi #pijezometru&

je uvek iznad stvarnog nivoa vode.

Na desnoj strani slike $. J je prikazan stu* tecnosti visine h u tankoj kruznoj cevi unutrasnjeg precnika d. sleddelovanja povrsinskog napona , sila po o*odu stu*a tecnosti zaklapa sa vertikalom ugao #ugao vlazenja& iuravnotezuje se sa sopstvenom tezinom stu*a tecnosti:

d cos d$ G

g h pa je visina kapilarnog dizanja:

h Gcos g d #$. 7&

>igure $. H: Dijagram kapilarnog dizanja vode i zive u staklenim cevima

Visina kapilarnog dizanja je funkcija precnika cevi d, vrste tecnosti i materijala od koga je napravljen zid cevi.@ezultati jednacine # $. 7 & uglavnom precenjuju visinu kapilarnog dizanja, jer i najmanje necistoe u vodi

znatno smanjuju povrsinski napon. Na dijagramu datom na slici $. H su date visine kapilarnog dizanja h za cistu destilovanu vodu, o*icnu vodu izcesme kao i za zivu #gde se javlja kapilarno spustanje&, u funkciji od unutrasnjeg precnika pijezometarskihstaklenih cevi.

rimer !.%.Fa koliko je vei pritisak unutar mehura od vode precnika d mm pri temperaturi od $( ( ?-

Fa razliku od skice kapi vode, koja je prikazana na slici $. J , i koja ima samospoljnu stranu tecnosti u kontaktu sa

vazduhom, mehur od vode ima i spoljnu iunutrasnju stranu. Sila usled povrsinskognapona je dvostruko vea od one dateizrazom # $. G &, tako da je:
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-VisinaKapilarnogDizanjahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-14http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-POvecanjePritiskaUKapihttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-VisinaKapilarnogDizanjahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-14http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-13http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-POvecanjePritiskaUKapi


18/131

$I O I A I p

$ d d$ G

p

'ritisak unutar mehura je:

p $ G d

$G I(.(H%

(.(( 7)G 'a

2. /adaci za vez0u. Ako se osovina okree ... itd. SA!+ '+S0AV1O FADA0A1A, resenje je u appendiC u

$. Vidi malo Naka amu%. 8aci pogled i na SchaummaG. !asse zadatak . ( strana GJ

Footnotes

Fa vee duzine se moze upotre*iti zec, a za manje puz. !ada, ovakva definicija duzine nije *as prikladna zasvakodnevnu upotre*u. >araoni u starom Ogiptu su *ili nesto domisljatiji, pa su svoju *eskrajnu vlast pokazivalii time sto se standard za duzinu odredjivao rastojanjem od lakta do vrha njihovog kaziprsta. Naravno, sa

promenom faraona, menjao se i etalon duzineP$Definicije za osnovne tri velicine S6 sistema koje se koriste u !ehanici #u zagradi je data godina donosenja

pojedine definicije&:Metar

# ))E.& !etar je jednak duzini izmedju glavnih crtica !edjunarodnog prototipa metra koji se nalazi natemperaturi topljenja leda.# EJ(.& !etar je duzina jednaka .J7(.HJ%,H% talasnih duzina, u vakuumu, zracenja koje odgovara

prelazu izmedju nivoa $p ( i 7d 7 atoma izotopa kriptona 1r )J.# E)%.& !etar je duzina putanje koju u vakuumu predje svetlost za vreme od "$EE.HE$.G7) sekunde.

&ilogram

# ))E.& 1ilogram je masa medjunarodnog etalona kilograma.ekunda

# E7J.& Sekunda je "% .77J.E$7,EHGH tropske godine za (. januar E((. godine u $ ?asova efemerida.# EJH.& Sekunda je trajanje od E. E$.J% .HH( perioda zracenja koje odgovara prelazu izmedju dvahiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma %%.

%'ozitivan smer napona C je onaj koji smanjuje ugao elementarnog delia u prvom kvadrantu, odnosno ovde,$ je pozitivno ako ima smer C ose. 0o je pozitivna orijentacija koja se koristi u mehanici cvrstih tela, gde je

pozitivan smer normalnih napona onaj koji zateze presek. 1ako fluidi ne trpe zatezanje, kasnije u knjizi#poglavlje Brzina deformacije i naponi na materijalni deli & e se okrenuti konvencija o pozitivnom smeru, pae i definicija tangencijalnog napona da se promeni: umesto du"d napon e postati du"d . 'ogledatii poglavlje Navie)Stoksove jednacine .G'od malim *rzinama deformacija podrazumevaju se takve *rzine pri kojima je odnos 3# h&"#&4 L 7((,odnosno kada je u fluidu laminaran tok. 0akav dvo dimenzionalni paralelan tok konstantnog gradijenta *rzinegde jedna ploca miruje a druga se kree, se zove jos i 1uet ov #?ouette& tok.
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAE


19/131

75aminaran dvo dimenzionalan paralelan tok izmedju dve ploce koje miruju, sa para*olicnim rasporedom *rzina u fluidu, se zove jos i 'oaz ov #'oiseuille& tok.J+vde se radi o superpoziciji 'oaz ovog i 1uet ovog toka.H6saac NeQton # JG$ H$H& engleski matematicar, fizicar i astronom, studirao na 1em*ridzu. /edan od najveihnaucnika koji je se smatra utemeljivacem modernih prirodnih nauka. 0ri najpoznatija otkria su: spektralnaanaliza svetla, univerzalna gravitacija i diferencijalni i integralni racun.) Naravno da se energija ne moze izgu*iti. 'od gu*itkom energije misli se na transformaciju korisne kineticke

energije u nama *eskorisnu mehanicku i toplotnu energiju.E'retpostavka o velikom razmaku izmedju molekula gasa vazi samo za gasove pod normalnim pritiskom. Akose gas izlozi visokim pritiscima, pocinje da se ponavsa kao tecnost.( Da li je granica izmedju dva fluida ostra ili ne je vise stvar razmere u kojoj se analizira neki pro*lem. Ako seizucavaju sile na rezervoar visine par metara, da li je granica izmedju fluida ostra ili sa kontinualnim prelazom uzoni od par santimetra, zaista nije od sustinskog pitanja. Fa druge, mikro pro*leme, mozda je upravo procesdifuzije i mesanja dva fluida *itan, pa ga nije mogue zanemariti.

6 sama cinjenica da se kroz tecnost prostiru zvucni talasi ukazuje na to da je svaki fluid stisljivP$ /edinica za pritisak je do*ila naziv prema 8laise 'ascal u # J$% JJ$&, svestranom francuskom matematicaru,

filozofu i pronalazacu, koji je kao mlad otkrio osnovne zakone !ehanike fluida. 1oliko je *io svestran pokazuje i cinjenica da je patentirao J7$. prvu mehanicku masinu za racunanje.

%!ada su ovu zakonitost poznavali sigurno i stari Brci i @imljani, kao i stari graditelji piramida koji su koristili pesak kao fluid kojim su pomerali velike *lokove stena.

GVakuum je zadavao dosta glavo*olja starim naucnicima i filozofima. Stari Brci, izmedju kojih je *io iAristotel, su smatrali da apsolutna 9praznina9, odnosno vakuum, u kojoj nema nicega nije mogu. 1oliko je *io

jak uticaj takvog misljenja pokuzuju i kasniji zapisi iz Aleksandrije, koji opisuju pojedine hidraulicke i pneumatske uredjaje, gde se kaze da 9iako je prirodni vakuum nemogu, mogue ga je stvoriti vestackiunosenjem dodatnih sila, kao sto se dodatnim silama molekuli mogu i sa*iti9. 0ek je 0oriceli JGG. #strana &godine pomou *arometra pokazao da 9nije tacno da priroda ne voli vakuum9.7 Sa recju pritisak oznacavae se uvek hidrostaticki pritisak . Ako se misli na apsolutni pritisak, to e seeksplicitno naglasavati.J 1ao sim*ol za povrsinski napon, cesto se koristi i .H!olekul na slici $. G je, naravno, !A5+ uvelican da *i mogao da se vidiP) 'ovrsinski napon se moze posmatrati i kao energija po jedinici povrsine potre*na da se molekuli izunutrasnjosti tecnosti dovedu do povrsine tecnosti.

Chapter #idrostatika

Ridrostatika je o*last !ehanike fluida koja proucava mirovanje fluida konstantne gustine pod uticajem tezine .'osto fluid miruje, ne dolazi do medjuso*nog relativnog kretanja fluidnih delia, pa ne postoji uticaj viskoznihnapona. Naravno, pretpostavka o mirovanju se odnosi na fluidni deli, definisan u uvodnom poglavlju Nacin i

predmet izucavanja , razmatranja na nivou molekula nisu predmet ove knjige.

Nakon definisanja pretpostavki, u nastavku e se izvesti osnovna jednacina hidrostatike, koja omoguava

proracun pritiska u *ilo kojoj tacki fluida za poznate granicne uslove. /ednacina e se izvesti za slucajhomogenog fluida, koji se iskljucivo koristi u daljem tekstu. Daje se, medjutim i resenje jednacine zanehomogene fluide, sa primerom proracuna pritiska u Femljinoj atmosferi.
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABAhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABBhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABDhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABAhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABBhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABDhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-Uvod-11http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFrefABI


20/131

pose*nom poglavlju se o*radjuju pro*lemi merenja apsolutnog, atmosferskog, hidrostatickog kao idiferencijalnog hidrostatickog pritiska. vodi se i novi pojam, pijezometarska kota tecnosti, kao kota na kojojsu pritisci u nekom fluidu jednaki nuli, odnosno, apsolutni pritisci jednaki atmosferskom.

Najcesi zadatak gradjevinskog inzenjera je da odredi sile na neku konstrukciju, kako *i je dimenzionisao. Naosnovu poznatog rasporeda pritiska, integracijom se do*ija optereenje od fluida, koje se deli na horizontalne ivertikalne sile. knjizi se razmatraju razliciti granicni uslovi i daju o*rasci i uputstva za proracun tih sila. Nakraju glave, daju se i osnovne jednacine za analizu sta*ilnosti tela koje pluta na povrsini tecnosti, kao i o*rasciza proracun o*lika slo*odne povrsine tecnosti u slucaju kada se sud kree.

#.1 Pro"ena pritiska u zavisnosti od polozaja#.1.1 Pretpostavke za izvodjenje jednacine

'osmatra se fluid koji ispunjava sledee uslove i pretpostavke:

>luid miruje nema relativnog kretanja izmedju fluidnih delia.

>luid je izotropan ima iste oso*ine u svim pravcima u jednoj tacki #za sada se ne ogranicava nahomogeni flud&.

+d zapreminskih sila, na fluid deluje samo tezina, i to:o po jedinici mase, tezina iznosi g gravitaciono u*rzanje,o po jedinici zapremine, tezina iznosi # g&.

+d povrsinskih sila na fluid deluju samo normalni naponi, pritisci, pomnozeni sa povrsinom na kojudeluju. 0angencijalni naponi #jednacina #&& ne deluju #osim kod kapilarnih pojava& jer nema kretanja.

>igure %. : @avnoteza vertikalnih i horizontalnih sila na elementarni delihomogenog fluida

fluidu koji ispunjava postavljene pretpostavke, posmatraju se pritisci na jedan izdvojeni deli, elementarnu prizmu dimenzija dCId Idz, slika %. . 'ozitivan smer pritiska je u skladu sa usvojenim principom da fluidi ne

trpe zatezanje #strana &. Delije tako postavljen da ima jednu osu vertikalnu, orijentisanu na gore. 'ritisak p ucentru delia se uzima za referentni pritisak. 'osto fluid miruje, prema jednacini #& isti pritisak vazi za sva trikoordinatna pravca.

'ritisak sa gornje strane delia se promenio u odnosu na pritisak u centru, u skladu sa nekom funkcionalnomzavisnosu p z f#z&, prikazanoj na slici %. desno. Fa poznati p#z&, vrednost p#z dz"$& se moze pri*lizno odrediti
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01


21/131

iz nagi*a tangente na dijagram u tacki p#z&. 0o se do*ija razvojem u 0ejlorov red promene pritiska u funkciji odkoordinate z uz zadrzavanje samo prvog clana reda:

p#z dz$ & p#z&

pz

dz$

O

gde je O ostatak, razlika izmedju tacne i pri*lizne vrednosti pritiska. Fanemarivanjem ostatka kao male velicinedrugog reda i uz uslov #& da je p p C p p z, pritisak sa gornje strane elementarne prizme je:

p#z dz$ & p pz

dz$ #%. &

Na slican nacin se moze do*iti i pritisak na donjoj strani prizme:

p#z dz$ & p pz

dz$ #%.$&

i pritisci u horizontalnim pravcima C i :

p#C dC$

& p p

C dC

$ p#C dC

$& p

p

C dC

$

p# d$ & p p

d$ p#

d$ & p

p

d$ #%.%&

#.1.2 3snovna jednacina hidrostatike

1ao rezultat razlicitih pritisaka na suprotnim stranama elementarne prizme #slika %. levo&, javljaju se sile. Da *i se zadovoljio polazni uslov da se posmatra fluid koji miruje, sve sile na elementarnu prizmu moraju *iti uravnotezi. Fa vertikalni pravac, ravnoteza sila daje:

p pz dz$ dA z g dV p pz dz$ d Az

gde je g dV tezina prizme. Sredjivanjem izraza i zamenom dA zIdz dV, do*ija se promena pritiska povertikali:

pz g ( odnosno

pz g #%.G&

6z jednakosti sila za horizontalni pravac C ili , do*ija se:

pC (

p ( #%.7&

odnosno, pritisak se ne menja po horizontali , pa p nije funkcija #C, &. 6z ovog uslova, kao i na osnovu # %.G&sledi, takodje, zakljucak da se kod svih fluida pored pritiska i gustina ne menja po horizontali . pravo z*ogtoga je povrsina na spoju dva fluida koja se ne mesaju uvek horizontalna #osim uza zidove z*og povrsinskihnapona&.

1ako je pritisak samo funkcija vertikalne koordinate p p#z&, parcijalni izvod 3# p&"#z&4 u jednacini #%.G& semoze zameniti totalnim izvodom 3 dp"dz4, tako da se do*ija:

dp

dzg #%.J&

/ednacina # %.J& predstavlja osnovnu jednacinu hidrostatike u diferencijalnom obliku i daje vezu izmedju promene pritiska i promene vertikalne kote u fluidu. Fnak # & u izrazu pokazuje da sa porastom kote, u istom fluidu pada pritisak . Da *i se odredio pritisak u *ilo kojoj tacki, tre*a integrisati jednacinu # %.J&:
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaParcJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaParcJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-01http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaParcJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaParcJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHS


22/131

p g dz #%.H&

Favisnost gravitacionog u*rzanja od vertikalne kote g#z& se u svim prakticnim zadacima zanemaruje, jer gopada za (.(%M sa poveanjem visine od ((( m. Da *i se resio integral # %.H&, potre*no je poznavati zavisnostgustine od kote #z&.#.1.# 4esenje osnovne jednacine hidrostatike za ho"ogeni fuid

Fa homogeni #nestisljivi& fluid, vazi uslov ?onst., pa se jednacina # %.H& moze napisati kao:

p g dz g

dz

cijom integracijom se do*ija:

p g z ? #%.)&6ntegraciona konstanta ? se do*ija iz granicnog uslova, poznatog pritiska u jednoj tacki. /ednacinu # %.)& jezgodnije napisati u o*liku:

pg z ? $ #%.E&

jer sada ceo izraz ima dimenziju duzine:

pg 3z4 3? $4 354

/ednacina # %.E& se cesto zove i osnovna jednacina hidrostatike . ?lan 3 p"# g&4 se zove jos i visina pritiska , jer se pritisak izrazava pomou iste jedinice kao i visina z .

Fa odredjivanje konstante ? $ iz osnovne jednacine hidrostatike, potre*no je poznavati granicni uslov, pritisak p p ( u tacki z z ( :

? $ p ( g z (

pa je pritisak u *ilo kojoj tacki A istog fluida $ dat sa:

pA g z A ? $ pA g #? $ zA&

'rethodni izraz se moze napisati i u o*liku veze izmedju razlike pritiska i visinskog polozaja tacaka:

pA p ( g #zAz( & #%. (&odnosno, poveanje pritiska u jednoj neprekidnoj sredini konstantne gustine direktno je proporcionalnosmanjenju kote #poveanju du*ine&.

6z*or nulte kote #z ( & kao i nultog pritiska je potpuno proizvoljan. /ednom usvojena referentna kota z ( od kojese odmerava kota tacke A, z A, medjutim, u jednom zadatku se ne sme menjati . Nulti, ili referentni pritisak, moze

*iti apsolutni ili hidrostaticki #jednacina #&&, pa e i sracunati pritisak p A *iti u istom sistemu. ovoj knjizi e seuglavnom pod imenom 9pritisak9 podrazumevati hidrostaticki pritisak p p a*s patm a za atmosferski pritisak e seuzimati konstantna vrednost p atm (( k'a.

#.1.' Pijezo"etarska kota kod ho"ogenog fuida

>igure %.$: Visine pritisaka u razlicitim tackama otvorenog suda i pijezometarska kota
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSIntegralnohttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSIntegralnohttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSC1http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSLhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSIntegralnohttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSIntegralnohttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSC1http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSLhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAABhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAC


23/131

'osmatra se otvoreni sud proizvoljnog o*lika sa tecnosu konstantne gustine , slika %.$. tacki pritisak % je p ( jer je p ,a*s p atm, pa osnovna jednacina hidrostatike glasi:

p g z ? $ ? $ z #%. &

+znaka predstavlja pijezometarsku kotu , z*ir visine pritiska u tacki i polozajne kote te tacke. sistemima safluidom koji ima slo*odnu povrsinu, pijezometarska kota se poklapa sa kotom tacke na slo*odnoj povrsini. 1odfluida zatvorenih u sud pod pritiskom, pijezometarska kota pokazuje do koje kote bi se popeo fluid kad bi bio

slobodan , odnosno, do koje kote *i se popeo fluid kad *i se postavio pijezometar , cevcica *eskonacno malezapremine, otvorena sa gornje strane #kao kod tacke $. na slici %.$&G.

Vrednost pijezometarske kote zavisi od iz*ora referentnog sistema. Fa isti sud i iste podatke, kota moze imatirazlicite vrednosti jer polazna kota z ( ne mora uvek *iti na istom mestu. Stvarni polozaj kote e, medjutim,uvek *iti na istom mestu.

'ijezometarska kota se vezuje za jedan fuid, konstantne gustine, a ne za tacku* 'ogresno je pisati indeks neketacke uz kotu. Na slici %.$ *i *ilo pogresno napisati , jer indeks oznacava tacku, a ne fluid. koliko usudu postoji vise od jednog fluida, sa gustinama A i 8 , na primer, svaki od fluida e imati odgovarajuu

pijezometarsku kotu, A i 8 .1ada je poznata pijezometarska kota za neki fluid, pritisak u *ilo kojoj tacki tog fluida se do*ija iz osnovne

jednacine hidrostatike. Na primer, za tacku $. sa slike %.$ pritisak se do*ija iz:

p$ g z $ p$ g # z$&

koliko je u sudu vise fluida, svaki od fluida ima svoju pijezometarsku kotu . 'ri proracunu tih kota, koristi secinjenica da je pritisak u tacki na spoju dva fluida isti , *ez o*zira da li ta tacka 9pripada9 donjem ili gornjem

fluidu.

rimer (.).

Fa zatvoreni sud sa slike odrediti pijezometarskekote i pritisak na koti poklopca #tacka %& ako je

poznat pritisak na dnu suda p $) k'a. Ako se promeni polozaj referentne kote, da li se menjavrednost pijezometarske kote za fluid A, polozajte kote i da li se menja pritisak u tacki $-

'rvo se usvaja referentni sistem, polozaj kotez( . o*icajeno je da to *ude na visini najnizetacke suda, tacke .
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAADhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAEhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02


24/131

Fa iza*ranu referentnu kotu, moze seizracunati pijezometarska kota fluida 8:

8 p 8 g z $)I ( %

I ( %IE.) (

8 $.)7G m'ritisak u tacki $, koja je na spoju fluida A i8 se do*ija iz uslova da je ta tacka u fluidu8:

p$ 8 g #8 z$& p$ IE.) I#$.)7G .7& p$ %.$)7 k'a

0acka $ pripada i fluidu A, pa vesracunati pritisak se moze iskoristiti za odredjivanje pijezometarske kote A:

A p$ A g z $ %.$)7

(.) IE.) .7 %. E% m

'ritisak na poklopac, u tacki % je:

p% A g #Az%& (.)IE.) I#%. E% $.7& 7.G%H k'a


25/131

1ad *i se referentna kota postavila na visini spoja dva fluida, polozajna kota tacke *i *ila z .7 m. 'ijezometarska kota fluida 8 jetada:

8 p 8 g z $)

IE.) # .7& .%7G mVrednost kote je promenjena, ali u novom referentnom sistemu ta kota ostaje na istom mestu, $.)7G m udaljena od tacke . 'ritisak utacki $ je sada:

p$ 8 g #8 z$& IE.) I# .%7G (.(& %.$)7 k'adakle, ostaje ne promenjen.

prethodnom primeru, u zatvorenom sudu su *ila dva nestisljiva fluida, tecnosti. Ako je gornji fluid vazduhcija je gustina zanemarljiva 7, iz jednacine # %. & sledi da je pijezometarska kota vazduha A , odnosno da

pritisci u vazduhu ne zavise od polozajne kote tacke . tom slucaju, u prethodnom primeru *i pritisak u tacki %#kod poklopca& *io isti kao i pritisak u tacki $, na spoju tecnosti i vazduha.

#.1.) 4esenje osnovne jednacine hidrostatike za neho"ogeni fuid

'romena pritiska po visini je definisana diferencijalnom jednacinom # %.J&. Fa stisljivi izotropni fluid, gustinanije konstantna vezavisi od pritiska i temperature. Ako se pretpostavi da je fluid idealan gas J , prema 8ojl H

!ariotovom)

zakonu apsolutni pritisak je:

p @ 0 #%. $&gde je 0 apsolutna temperatura a @ univerzalna gasna konstanta koja za vazduh ima vrednost @ $)J.H /"#kg 1&.Diferencijalna jednacina # %.J& je tada:

dpdz g

p g@0

dp p

g@0 dz #%. %&

Vrednost gravitacionog u*rzanja se moze smatrati konstantnim. Ako se pretpostavi izotermni proces, apsolutnatemperatura 0 je takodje konstantna, pa se integracijom jednacine # %. %& do*ija:

ln

p p (

g@0 #zz( & #%. G&

Fa referentni apsolutni pritisak p ( na koti z ( ( uz smenu @0 p ( "( , do*ija se:

p p (

e 3 gz"@04 p p ( e3#gz( &"#p( &4 #%. 7&

rimer (.). aeronautici su prihvaene sledee oso*ine atmosfere na koti mora #z ( (&: p ( .( %$7I ( 7 'a, 0 ( $)). 7 1 i ( .$$7 kg"m %. izotermnim uslovima, kolika je gustina vazduha na ((( m nadmorske visine-

6z jednacine # %. 7&, apsolutni pritisak na visini od ((( m je:

p p ( e3#gz( &"#p( &4 .( %I ( 7 e3 E.) I (((I .$$7"# .( %I(7&4 )E.EJ) k'aBustina atmosfere se do*ija iz 8ojl !ariotovog zakona, uz zadrzavanje konstantne temperature 0 0 ( #izotermni proces&:

p@0 ( p 0 (

p ( 0( p p ( .$$7I

)E.EJ)I ( % ( .%$7I ( % .()) kg"m

%

>igure %.%: @aspored temperature i pritiska u Femljinoj atmosferi
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PiKotahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHSZaGashttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuIzotermnihttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAFhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PiKotahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAGhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAHhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAIhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHShttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHSZaGashttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuIzotermni


26/131

resavanju prethodnog primera, pogresno je pretpostavljeno da je temperatura konstantna. Na slici %.% je prikazana promena pritiska i temperature u atmosferi, gde se vidi da u prvih km, u troposferi, postoji linearan pad temperature do 7J.7 ( ? sa nagi*om:

0

z (.((J7 1"m

Favisnost temperature od visine 0 0 (z se moze staviti u diferencijalnu jednacinu # %. %&. Nakon integracije,uz uslov da je z ( (, do*ija se jednacina koja daje vezu izmedju pritiska i visine u atmosferi:

ln

p p (

g@ ln

0 (z0 (

odnosno, sredjivanjem:

p p (

z0 (

g"@

#%. J&

Ako se desna strana jednacine # %. J & razvije u red i uz uslov o malim visinama z se izostave svi ostali clanoviosim prva dva, do*ija se:

p p (

gz@0( p p ( p ( @0(

gz p ( ( gz

6zraz za pritisak ima isti o*lik kao i osnovna jednacina hidrostatike za nestisljive fluide #jednacina # %.)&& pg

z ?onst., na osnovu cega se zakljucuje da se za male promene visine !manje od +&& m u vazduhu" moze sadovoljnom tacnosu pretpostaviti da je gustina vazduha konstantna . Fa vee promene visine, medjutim, mora sekoristiti jednacina # %. J &.

rimer (.).Fa iste podatke kao u prethodnom primeru, kolika je gustina vazduha na ((( m visine ako se ne zanemari promena temperature-

'rema jednacini # %. J &, pritisak je:

p p (

z0 (

g"@

1oeficijenat opadanja temperature je (.((J7 1"m, a gasna konstanta se do*ija iz jednacine # %. $&:

@ p (

( 0 ( ( .%$7I ( % .$$7 I$)). 7 $)J.H /"kg 1
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02bhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02bhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHSZaGashttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSC1http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-BojlMariothttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02bhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaDifJedHSZaGashttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-OsnovnaJedHSC1http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-PritisakUGasuVarThttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Eq-BojlMariot


27/131

tako da je pritisak:

p ( .%$7I ( %

(.((J7I ((($)). 7

E.) "#$)J.HI(.((J7&

)E.)7H k'a

0emperatura na ((( m visine je 0 0 (z $)). 7 (.((J7I ((( $) .J7 1, pa je gustina atmosfere:

p@0 ( p 0 ( p ( 0

.$$7I )E.)7HI (% I$)). 7

( .%$7I ( % I$) .J7 .()J kg"m%

#.2 Merenje pritiska poglavlju 'ritisak , na strani jednacinom #& su uvedene 9dve vrste9 pritisaka, apsolutni i hidrostaticki.@azlika izmedju tih pritisaka je u iz*oru referentnog sistema: apsolutni pritisak je pritisak u odnosu naapsolutnu nulu, dok se hidrostaticki pritisak izrazava u odnosu na atmosferski pritisak.

Apsolutni pritisak je uglavnom interesantan za proucavanje stisljivih fluida, gasova, cije oso*ine zavise od merez*ijenosti njihovih molekula. 1od tecnosti oso*ine uglavnom ne zavise od pritiska, pa je u izucavanju sila nakonstrukciju jednostavnije koristiti hidrostaticki pritisak #videti sliku &.

!erenje pritiska se uvek svodi na merenje razlike izmedju referentnog pritiska i pritiska u fluidu . S ma pijezometarska cev prikazana na slici %.$ je jedan od mernih uredjaja: pritisak u tacki $ je jednak p $ g h, uodnosu na atmosferski pritisak, jer je drugi kraj pijezometra u spoju sa atmosferom. Dakle, pijezometrom semeri visina hidrostatickog pritiska . Naravno, prikazana pijezometarska cev je jedan od najprostijih nacina zamerenje pritiska i to samo u tecnostima. nastavku se daje kratak prikaz standardnih metoda za merenje

pritiska, u gasovima i tecnostima.

#.2.1 5aro"etar

8arometar je instrument za merenje apsolutog pritiska. Sastoji se od staklene cevi zatvorene sa gornje strane,koja se ispuni tecnosu, potopi u sud sa istom tecnosu i pazljivo podigne u vertikalni polozaj. Ako je cevdovoljno dugacka, u zatvorenom prostoru iznad tecnosti e se pojaviti deo u kome nema vazduha i u kome jeapsolutni pritisak nula #idealan *arometar&, kao sto je to prikazano na slici %.G.

>igure %.G: 'rincip rada *arometra
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-03http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-02http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-03


28/131

Ako u tacki A vlada samo atmosferski pritisak, tada je hidrostaticki pritisak jednak nuli pa se moze za tecnost u *arometru napisati:

pA ( F A (gde je za referentnu kotu uzeta kota tacke A. Fa tacku ? koja se nalazi u istoj tecnosti vazi:

p? g z ?

p? g R ( p? g R

'ritisak u prostoru iznad tacke ? je isti kao i u tacki ?, pa se prema jednacini #& moze napisati:

pa*s? p ? p atm p? p a*s? patm 6zjednacujui pritiske u tacki ? iz prethodne dve jednacine, uz uslov da je apsolutni pritisak iznad tecnosti nula

pa*s? (, odnosno da je iznad tecnosti idealan vakuum, do*ija se:

patm p? g R #%. H&Fa merenje standardnog atmosferskog pritiska od p atm ( .%$7 k'a, ako se kao tecnost koristi voda, visinastu*a R *i *ila:

R patm g

( .%$7 IE.) (.%% m

sto nije *as zgodno za svakodnevnu upotre*u. Ako se za merenje upotre*i ziva specificne gustineF %.7$ kg"dm %, tada je visina stu*a R HJ$.% mm.Fivin *arometar za merenje atmosferskog pritiska je prvi otkrio 0oriceli E. 'ored smanjenja duzine *arometra,upotre*om zive se smanjuju i greske nastale iz pretpostavke o idealnom vakuumu iznad tecnosti. Naime, u

prostoru iznad tecnosti nije apsolutni pritisak nula, veje jednak apsolutnom pritisku pare za korisenu tecnost.Fa temperaturu od $( ( ?, pritisak zivine pare je p V .HI ( G k'a i ne zavisi mnogo od temperature, dok je za

vodu skoro ( ((( puta vei i dosta se menja sa temperaturom.#.2.2 Mano"etri

!anometri su uredjaji kojim se meri razlika pritisaka izmedju dve tacke . opsteno gledajui, najcese se sreudva osnovna principa na kojima rade manometri. 'rvi princip je koricenje pijezometra ali u kom*inaciji sanekim drugim fluidom, koji se ne mesa #ne rastvara& sa radnim fluidom #na primer zive kada se meri pritisak uvodi& i koji omoguava efikasno merenje nivoa za potre*an opseg pritisaka. Drugi princip se zasniva namerenju sile ili deformacije elasticne mem*rane koja je u kontaktu sa mernim fluidom, pri cemu s m nacinmerenja movze *iti mehanicki ili elektricni ( .

>igure %.7: !anometar sa cevi za pozitivne pritiske #levo&, negativne pritiske #sredina& i diferencijalni

manometar #desno&
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABAhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtAAJhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABA


29/131

Na slici %.7 je prikazano nekoliko varijanti manometara sa pijezometrima. Na slici levo, za slucaj pozitivnog pritiska u vazduhu, visoka pijezometarska kota uslovljava dugacku pijezometarsku cev . Ako se upotre*i ziva,koja je %.J puta gusa od vode i sipa se u pijezometar, uz uslov da je pritisak u tacki isti za vodu i za zivu,do*ja se znatno niza pijezometarska kota zive F :

F p F g z V g #Vz &

F g z

!ada je pijezometarska kota zive kod ovakvog manometra zgodnija za ocitavanje od pijezometarske kote vode,ovakav manometar se ne koristi #zato je na slici i precrtan& jer postoji opasnost od prodiranja zive u sud ukolikose smanji pritisak. 8olji nacin merenja je pomou pijezometra o*lika, prikazanog u donjem levom uglu suda.6z uslova da je pritisak u tacki % isti za tacku koja se nalazi u vodi i u zivi, i uz uslov da je pijezometarska kotazive $ F$ z G, do*ija se:

p% V g#Vz%& F g #F$ z%& F g R pa je razlika nivoa zive u cevi R:

R V F #V z%&

Ako je poznata #izmerena& razliku nivoa zive u cevi, uz smenu z Gz% R, moze se odrediti pijezometarskakota vode:

V F g #F$z%&V g z % F V R z % R

F V

z G

!anometar sa cevi se moze koristiti i za pozitivne i za negativne pritiske u fluidu. Na slici %.7, u sredini, je prikazan isti sud samo sa negativnim pritiscima. Nacin proracuna ostaje isti: za izmerenu razliku nivoa zive u cevi, i za poznatu kotu tacke G, kao i u prethodnom sluzaju, racuna se pijezometarska kota vode.

Ako drugi kraj pijezometra nije u spoju sa atmosferom, uslov da je pritisak na tom kraju nula i da je kota tetacke istovremeno pijezometarska kota se vise ne moze koristiti. 0akvi manometri se zovu diferencijalni

manometri jer direktno mere samo razliku pritisaka izmedju dva preseka . 'omou diferencijalnog manometranije mogue odrediti pritisak u jednoj tacki.

Na slici %.7 desno, prikazane su dve varijante diferencijalnog manometra: donji sa zivom, za merenje veihrazlika pritisaka i gornji, sa o*rnutom cevi, za merenje manjih razlika pritisaka. !anometri su postavljeni
http://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABBhttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#tthFtNtABChttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#Slika-HStat-03ahttp://hikom.grf.bg.ac.yu/web_stranice/KatZaHidr/Predmeti/MehFluida/Skripta/Tekst/#

Documents

Mehanika Fluida Za Studente Gradjevinskog Fakulteta