Teorija elektromagnetskihvalova

Prof. dr. sc. Dina imuniPredavanja

Ampereov zakonGaussov zakon za elektrino poljeGaussov zakon za magnetsko polje

Ampereov zakon

dlG

HG

iG

lH dl i =v GG

Linijski integral magnetskog polja po zatvorenom putu jednak je struji koju taj put obuhvaa.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Prijelaz iz integralnog u diferencijalni oblik

Stokesov teorem: ( )l SA dl xA dS = v GG G G

Struja se moe izraziti kao povrinski integral gustoe struje JG

Si J dS= GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

( )l S SH dl xH dS J dS i = = =v G G GG G G

Integracija je po istoj povrini S, te se integrandi mogu izjednaiti:

xH J =G G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Jednadba kontinuiteta:

Jt

= G

ili S V

I dS dVt

= wGG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Provjera Ampereovog zakona za vremenski promjenjiva polja sastoji se u primjeni operatora divergencije:( )xH J = G GRotor divergensa je jednak nula, te vrijedi:

0 J= GGornja relacija odgovara sluaju za statiko polje, no ne odgovara jednadbi kontinuiteta.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Stoga je Maxwell predloio uvoenje struje pomaka

c dxH J J J = = +G G G G d

JG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

JG

se sastoji od provodne i pomane komponente

Provodna strujaengl.: conduction current cJ E=

G G

Struja pomaka: engl.: displacement current d

D EJt t

= = G GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Stoga vrijedi:

D ExH E Et t

= + = + G GG G G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Ponovna primjena operatora divergencije:

( ) c DxH J t = + GG G

0 cDJt

= + GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

( )cJ Dt t = = G G

Zbog Gaussovog zakona:

D = G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Jednadba kontinuiteta struje:Kontinuitet struje se oituje u nastavku kondukcijske struje u dielektrinom sredstvu s vremenskom promjenom elektrinog polja. Diskontinuitet struje dakle ne postoji.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Ako se diferencijalni oblik Ampereove jednadbe integrira:

( ) cS S S

DxH dS J dS dSt

= + w w wGG G GG G

Primjenom Stokesova teorema dobiva se:

cl S S

DH dl J dS dSt

= + vGG G GG G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

DG

Maxwell je pokazao da uz promatranje vremenske promjene elektrinog polja kao struje pomaka, postoji kontinuitet struje.

DG

c2

c1 s1

Usint, r

ic

s2

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Analiza slikePrva povrina S1 obuhvaa vodi sa slobodnom strujom elektrona, koja je u relaciji prema krivulji c1, koja je obuhvaa (Ampereov zakon)

Druga povrina S2 obuhvaa plou kondenzatora i slobodna struja kroz nju ne protie, ali krivulja c2, koja je obuhvaa, obuhvaa i vodi, i kroz nju protie struja.Ako se polaritet sinusnog generatora promijeni, slobodni naboji na ploama kondenzatora zamijenit e se putem vodia u krugu.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

za c1 i S1 nema struje pomaka

1 1

c cc S

H dl J dS J = =v G GG G G

1

0S

D dSt

=G G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

za c2 i S2 nema provodne struje:

2

0cS

J dS =GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Ampereov zakon

Izmeu ploa kondenzatora postoji vremenski promjenjivo elektrino polje zbog promjene naboja na ploama kondenzatora pod utjecajem izvora. Silnice elektrinog tijeka ulaze u povrinu:

2 2

dc S

H dl D dS Jt

= =vG GG G G

Zakljuak: Struja pomaka omoguava kontinuitet elektrinog tijeka.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za elektrino polje

dSGDG S

. . . . .

. . . . . q

SD dS q = =w GG

Izlazni elektrini tijek iz bilo koje zatvorene povrine jednak je naboju kojeg ta povrina obuhvaa.

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za elektrino polje

Tijek d kroz diferencijalnu povrinu dSG jednak je: d D dS = GG

Ukupni izlazni tijek dobiva se integracijom po d po cijeloj povrini S

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za elektrino polje

Prijelaz iz integralnog u diferencijalni oblik

Teorem divergencije: ( )S V

A dS A dV = w G G G

( )S V

D dS D dV = w GG G

SD dS q =w GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za elektrino polje

( ) VV V

D dV dV = GV

Vq dV=

( ) VD = G

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za magnetsko polje

Izlazni magnetski tijek iz bilo koje zatvorene povrine jednak je nuli.

0S

B dS =w GG dSGBG S

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za magnetsko polje

Prijelaz iz integralnog u diferencijalni oblik

Teorem divergencije: ( )S V

A dS A dV = w G G G

( )S V

B dS B dV = w GG G

0S

B dS =w GG

MAXWELLOVE JEDNADBE

Gaussov zakon za magnetsko polje

( ) 0B =GMAXWELLOVE JEDNADBE

Diferencijalni oblikIntegralni oblik

( ) 0B =G

MAXWELLOVE JEDNADBE

xH J =G GlH dl i =v GG

0S

B dS =w GG( ) VD = GS D dS q =w GG

lE dl

t = v

GGG BxEt

= GG