TEVENENOVA TEOREMA

7/23/2019 TEVENENOVA TEOREMA

1/18

Vremenski konstantne struje 25

METODE REAVANJA ELEKTRINIH MREA

ng broj grana mree n- broj vorova mree

Mrea se reava pisanjem odgovarajueg broja jednaina po I i IIKirhofovom zakonu. Broj nepoznatih koje teba odrediti jednak je broju

grana mree, ng.

E1=12V

E4=6V

E3=2V

E2=4V

5R2

E2

3

R1

R3

R5

E4

R6

IS

R7

E1

E3

42

1

R1=R7=1k

IS=10mAV

R2=2k

R3=8k

R5=3k

R6=5k

Analiza (reavanje) el. mrea

ZADATO: svi elementi i strukturamree.

ODREDITI: jainu struje ili napon(izmeu prikljuaka) svakogelementa.

Sinteza el. mrea

ZADATO:funkcija mree.

ODREDITI: elemente istrukturu mree.

E

++

R

U=E-RI

I +

R U=RI

I

IS US=?

+

+

U=E

I=?

+


2/18


GRAF MREE struktura u kojoj su grane mree prikazane linijama avorovi takama.

STABLO GRAFA ine grane grafa koje povezuju sve vorove alitako da se ne zatvori nijedna kontura. Stablo grafa se sastoji od n-1

grane.SPOJNICE grane koje ne pripadaju stablu. Broj grana spojnicajednak je nk=ng (n- 1).

Uz pomografa se mogu odrediti neke opste osobine mreza (kao stoje broj nezavisnih jednaina po I ili II Kirhofovom zakonu) koje nezavise od toga od kojih elemenata se sastoji mrea.

Graf mree

Stablo grafa mree

R2

E2

3

R1

R3

R5

E4

R6

IS

R7

E1

E3

42

1

5

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

3

5

4

1

2

1

2

3

5


3/18


Od ng nepoznatih struja u granama, nezavisno je nk= ng (n 1)

struja. Ostale su zavisne od njih i ta se zavisnost iskazuje kroz (n

1)jednainu po I Kirhofovom zakonu.

Od ng nepoznatih napona izmei prikljuaka grana, nezavisan jenn=(n 1) napon. Ostali se mogu iskazati preko njih uz pomojednaina po II Kirhofovom zakonu.

3

2

1

Za svaku mreu se moenapisati nk=ng (n - 1)nezavisna jednaina po IIKirhofovom zakonu.

Uz dokaz da je nk brojnezavisnih kontura.

3

5

4

1

2

I2

I1

I7

I3I4

I5

IS

I6

Za svaku mreu se moenapisati (n - 1) nezavisnajednaina po I Kirhofovomzakonu.

Uz dokaz da je brojnezavisnih vorova n- 1.


4/18


REAVANJE MREA DIREKTNOM PRIMENOM KIRHOFOVIH ZAKONA

5. Preuredimo sistem jednaina i reimo ih. Time smo reili mreu.Rezultate proveravamo teoremom o odranju snaga.

I3R2

E2

R1

R3

R5

R4

E1 E3

4

2

1I4

I1

I2

I5

R6

I6

3

C1

C2

C3

0.1 421 III

Teorema o odranju snaga.

1. Odaberemo ref. smer struja ugranama mree, i oznaimo ih.

2. Prebrojimo grane i vorove iodredimo broj nezavisnih vorovai kontura.

3. Odaberemo (n-1) vor inapiemo jednaine po IKirhofovom zakonu.

4. Odaberemo nk nezavisnihkontura i napiemo jednaine po IIKirhofovom zakonu.

0.2 531 III

0.4 632 III

044662222 IRIRIREC

044551111 IRIRIREC

033665533 IRIRIREC

46 cg nn 331 kc nn

2

11

i

r

i

i

m

i

gi IRP


5/18


METODA KONTURNIH STRUJA

Metoda omoguava lake reavanje mrea, pisanjem manjeg sistemaod samo nkjednaina na jednostavan, ematski nain.

Sistem jedanina se dobija tako to se, iz jednaina po I Kirhofovom zakonu,izrazi n-1 struja u granama stabla preko stuja grana spojnica i zameni u nkjednaina po II Kirhofovom zakonu. Tako se dobija sistem od nkjednaina sanknepoznatih struja grana spojnica konturnih struja.

Metoda je dobila ime po tome to (kad se izvri napred opisana transformacijasistema jednaina) formalno izgleda kao da svaka nezavisna kontura ima svojukomponenetu struje, jednaku struji spojnice te konture.

Sistem jednaina koji se dobija posle smene:

214421 0.1 kk IIIIII

315531 0.2 kk IIIIII 11 kII

22 kII

33 kII 326632 0.4 kk IIIIII

135241541 )( EIRIRIRRR kkk

236264214 )( EIRIRRRIR kkk

336532615 )( EIRRRIRIR kkk

Ik1

Ik2

Ik3I4

I6

I5


6/18


Opti oblik jednaina po metodi konturnih struja za mreu koja imank=n nezavisnih kontura.

Znaenje koeficijenata (j=1, ..., n):

Kada mrea sadri grane sa idealnim strujnim generatorima metodakonturnih struja se primenjuje na sledei nain:

a)

nezavisne konture se odaberu tako da su grane sa strujnimgeneratorima obavezno spojnice;

b)

strije strujnih generatora postaju konturne strujeodgovarajuih kontura;

c)

poto su konturne struje ovih kontura poznate iz gornjeg

sistema se izbace njima odgovarajue jednaine i zamenejednainama oblika Iki=ISi.

1111212111 EIRIRIRIR knnkjjkk

2222222121 EIRIRIRIR knnkjjkk

1 1 2 2j k j k jj kj jn kn jjR I R I R I R I E

nnknnnkjnjknkn EIRIRIRIR 2211

jkontureduzmjj RR )(

kiikjzahzajednickimjiij RRR )(

jkontureduzmjj EE )(

Predznak koeficijenta+ ako su Ikii Ikjistog smera;- ako su Ikii Ikjsuprot. smera

Predznak koeficijenta uvek +.

Predznak sabirka Em+ ako su Emi Ikjistog smera;- ako su Emi Ikjsuprot. smera


7/18


METODA KONTURNIH STUJA. PRIMER. Reiti zadatu elektrinu mreu irezultate proveriti primenom teoreme o odranju snaga. Brojne vred.:E1=6V; E2=E3=2V; Ig1=2Ig2=10mA; Ri=R= 1k.

3

E3 E2

E1

Ig1 Ig2

R9R8

R7

R6

R5

R4

4

6

21

5

k3

E3 E2

E1

Ig1 Ig2

R9R8

R7

R6

R5

R4

k2

k1

I1

I5

4)1( cgk nnn

269 Scg nnn

11414313212111 EIRIRIRIR kkkk

22424323222121 EIRIRIRIR kkkk

2413 gkgk IIII

3226176 )( EEIRIRR kk

115265416 )( EIRIRRRIR gkk

43

42

21

21

kk

kk

II

II

mAImAI kk 4,22,3 21

mAIII kg 6,2221

mAIII kg 8,1122

mAIII kg 8,6113

mAII k 4,224

mAIII gk 6,7125

mAIII kk 8,0216

mAII k 2,317

mWIEPe 6,15111

mWIEPe 6,3222

mWIEPe 6,13333

mWIIREIRP ggS 196)( 1183551

2 9 2 2 1 2( ) 5S g gP R I E E I mW

mWPmWIR genii

i 4,1994,1992

9

4


8/18


METODA POTENCIJALA VOROVA

Metoda omoguava lake reavanje mrea, pisanjem manjeg sistemaod samo nn jednaina na jednostavan i ematski nain.

Sistem jedanina po metodi potencijala vorova se dobija tako to se ujednainama po I Kirhofovom zakonu struje u granama izraze preko razlikepotencijala (napona izmeu) vorova na koje je grana prikljuena. Tako sedobija sistem od nn=n-1 jednaina sa nnepoznatih potencijala vorova.

Problem vika jedne nepoznate reava se tako to se onaj vor, za koji nijepisana jednaina po I kirhofovom zakonu, proglasi referentnom takom.Potencijal tog (referentnog ) vora postane jednak nuli.

Pokaimo proces nastajanja jednaina na jednom primeru.

Kada se jednaine ree, i odrede potencijali vorova, jaine struja seizraunaju prema relacijama izmeu struje i napona grane.

R3E2

E1

R2

R1

R4

Ig R5

I1

I3

I5

I4

I2

3

21

0.1 4321 IIII

0.2 451 gIIII

11121 IREVV

)( 12111

1211 EVVGR

EVVI

0)()()()( 21413321321211 VVGVVGEVVGEVVG

0)()()( 2143251211 gIVVGVVGEVVG

03 V

221124114321 )()( EGEGVGGVGGGG

gIEGVGGGVGG 112541141 )()(


9/18


Opti oblik jednaina po metodi potencijala vorova za mreu kojaima nn=n nezavisnih vorova (napona).

Znaenje koeficijenata (j=1, ..., n)

Kada mrea sadri vei broj idealnih naponskih generatora, rasporeenih naproizvoljan nain, metoda potencijala vorova se NE MOE direktnoprimeniti za reavanje ovakve mree. Od ovog pravila se odstupa u dvasluaja:

a) kada u mrei postoji samo jedan idealni naponski generator;b) kada u mrei postoji vie idealnih naponskih generatora koji su svi

jednim krajem vezani za isti vor.Usluaju a) jedan od dva vora za koji je prikljuen generator usvoji se za

referentni. U sluaju b) zajedniki vor se proglasi referentnim.Poto potencijal drugog vora generatora tada postane jednak njegovoj ems zataj vor ne piemo jednainu.

1111212111 IVGVGVGVG nnjj

2222222121 IVGVGVGVG nnjj

jjnjnjjjjj IVGVGVGVG 2211

nnnnnjnjnn IVGVGVGVG 2211

uvekPredznak)( jcvoragranamjj GG

uvekPredznak)( jiicvoraizmedjugranamijji GGG

jcvoragranagmjcvoragranammjj IEGI )()(

Em,I mj

Em,I mj


10/18


METODA POTENCIJALA VOROVA. PRIMER. Reiti zadatu elektrinumreu i rezultate proveriti primenom teoreme o odranju snaga. Br.vred.: E1=4V; E4= E6=5V; E7=1V; IS=3A; R2=2; R3= =R6= R7=1;R4=6; R5=3;

R6

1

3

2

R2 E6E1

IS

E4 E7

R3

R4

R3

R7R5

22323222121 IVGVGVG

VEV 411

33333232131 IVGVGVG 76

32233

21

111

RRGG

RG

1

34

2

R2 E6E1

IS

E4 E7

R3

R4

R3

R7

R5

R6

76322

431

1111

RRRGRG

765433

1111

RRRRG

7

7

6

622 R

E

R

EII S

7

7

6

6

4

433 R

ERE

REI

323

331512

32

32

VV

VV

VV

VV

3

1

3

2

AIIIAR

VIA

R

VI 312 521

5

35

2

12

AR

EVVIAR

EVVI

AR

EVVIA

R

VVI

33

13

7

7237

6

6326

4

4314

3

213

ng=8 n=4 nk=5 nn=3


11/18


EKVIVALENCIJA VEZE OTPORNIKA U ZVEZDU I TROUGAO

Aktivna mrea Pasivna mrea

Veza otpornika u trougao. Veza otpornika u zvezdu.

R5

R4R3

R2R1

A BIS

E1

E2

R3R1

R5

R4

R6

A B

BAEekvRekv

BRe

A

RcRb

b

a

Ra

Ia

IcIb

c

O

Ibc

a

Iab

cb Rbc

RabIca

Rca

Ia

Ib

Ic

0 cacabcbcabab IRIRIR

aabcababbc IIIIII

cabcab

bbcacaab RRR

IRIRI

cabcab

bbcabacaabababab

RRRIRRIRRIRU

bbaaab IRIRU

cabcab

caaba

RRR

RRR

cabcab

cabcc RRR

RRR

cabcab

bcabb RRR

RRR


12/18


Jednostavnom transformacijom izraza za otpornosti Ra, Rb i Rcdobijaja se izrazi za otpornosti Rab, Rbci Rca.

Simetrina zvezda i simetrian trougao.

Primer.

c

babaab

R

RRRRR

a

cbcbbc

R

RRRRR

b

acacca

R

RRRRR

cabcab

caaba

RRR

RRR

cabcab

cabcc RRR

RRR

cabcab

bcabb RRR

RRR

R5

R4R3

R2R1

A B

C

D

R15

R12

R25

R3 R4BA

D

R5

R4R3

R2R1

A Ba

c

d

b

OR4

R2

R03

R01

R02

A B

a

c

db


13/18


TEOREMA O SUPERPOZICIJI

Iskaz teoreme: jaina struje u bilo kojoj grani linearne elektrinemree jednaka je algebarskom zbiru (prema istom referentnom smeru)jaina struja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatorimree kada bi delovali pojedinano.

Teorema superpozicije je posledica linearnosti jednaina postavljenihna osnovu I i II Kirhofovog zakona.

Ako se sistem jednaina po metodi konturnih struja predstavi umatrinoj formi

nnkn

k

k

nnnn

n

n

E

E

E

I

I

I

RRR

RRR

RRR

..

...

............

...

...

22

11

2

1

21

22221

11211

i primeni metod determinanata i Kramerovo pravilo za reavanjesistema, lako se pokae da konturna struja konture j ima oblik:

.......2221

11 D

DE

D

DE

D

DE

D

DEI njnn

jjjj

jjkj

D je vrednost determinante sistema, a Dij( i=1, 2, ... n) vrednostisubdeterminanata dobijenih razvojem determinante po koloni j.

Jaina struje u proizvoljnoj grani mree, p, jednaka je algebarskomzbiru koturnih struja:

.1

kn

jkjpjp IbI

Koeficijent bpj=( 1, -1, 0), u zavisnosti od toga da li konturna struja Ikjprolazi ( i u kom smeru) ili ne prolazi kroz granu p.


14/18


Poto slobodni koeficijenti Ejj(j=1, 2, ...n) sadre elektromotorne silesvih generatora, prethodna jednaina se moe preformulisati ovako:

ee npnpppp EgEgEgEgI ...332211

Kada mrea osim nenaponskih sadri i nSstrujnih generatora, slinimrezonovanjem se moe pokazati da e struja Ip imati komponenteproporcionalne strujama strujnih generatora:

....... 22112211 SSee SnpnSpSpnpnppp IaIaIaEgEgEgI

Koeficijenti gpi mogu biti pozitivne ili negativne brojke i iskazuju se usimensima (S).

Koeficijenti apisu pozitivni ili negativni neimenovani brojevi.

Prema teoremi o superpoziciji, dakle, struja u poizvoljnoj grani mreedobija se superpozicijom struja koje u toj grani stvaraju generatori

pojedinano.

Teorema o superpoziciji vai i za napone izmeu krajeva grana kao iza napone izmeu bilo koje dve taake u mrei.

Teorema o superpozicijine vaiza snage (nisu linearne funkcije).

Anuliranje dejstva ostalihnaponskih generatora

R

Anuliranje dejstva ostalihstrujnih generatora

RR

RIS


15/18


PRIMERI PRIMENE TEOREME O SUPERPOZICIJI

12V

5

5

8

8

2A 4

AI 32,025884

4

1. PRIMER. Primenom teoreme o

superpoziciji, u zadatoj mrei,izraunati jainu struje krozotpornik otpornosti 5, u odnosuna prikazani ref. smer.

4

I

5

5

8

8

2A

5

5

8

8

4

12V

I

2. PRIMER. Primenom teoreme osuperpoziciji, izraunati promenunapona izmu taaka A i B posleprebacivanja prekidaa iz poloaja (1)

u poloaj (2). Ig=1A, R=10.

(1)

2E

R 3R

R

Ig

RE

A

B

(2)

( 1

Ig 2E

3R

R

RE

A

B

(2)

gRIU 4

3

( 2

3R

R

Ig

R

A

B

UA

I

AIII 16,0

AI 48,05884

12

+


16/18


TEVENENOVA I NORTONOVA TEOREMA

Iskaz Tevenenove teoreme. Svaka aktivna, linearna mrea se uodnosu na bilo koja svoja dva prikljuka ponaa kao realni naponskigenerator ( tzv. Tevenenov generator).

Elektromotorna sila (ekvivalentnog) Tevenenovog generatora jednakaje naponu izmeu posmatranih prikljuaka, kada je struja krozprikljuke jednaka nuli (napon praznog hoda).

Unutranja otpornost Tevenenovog generatora jednaka jeekvivalentnoj otpornosti izmei posmatranih prikljuaka pasivne

mree, koja nastaje iskljuivanjem generatora (na nain kako toodreuje teorema o superpoziciji).

RT=Rekv

ET=EekvR

A

B

RT

RET

A

B

Eekv

A

B

RU0

I=0I=IA

B

R

EekvRT=Rekv

R

A

B

I

Eekv

A

B

R

EekvI


17/18


Iskaz Nortonove teoreme.Svaka se aktivna, linearnamrea u odnosuna bilo koja dva prikljuka ponaa kao realni strujni generator.

Struja Nortonovog generatora jednaka je jaini stuje kroz priklju

ke,kada se oni kratko spoje. Otpornost Nortonovog generatora jednaka je

otpornosti Tevenenovog generatora.

Nortonov generator ekvivalentan je Tevenenovom (i obrnuto).

Tevenenova (Nortonova) teorema se primenjuje kada treba izraunativeliine vezane za samo jednu granu ili neki deo sloene mree.

Primer 1. U zadatoj mrei izraunati jainu struje kroz otpornik otpornostiR5=20. E=12V; R1=20; R2=40R3=80R4=60.

1

2

A

mARR

EIT

T 405

5

T

TN R

EI

RTET

1

2

IN RN

1

2

TN RR Iks

1

2

A

ksN II

E

a

R4

R3R1

Uab0

bR2

a

R4

R3R1

RT

bR2R4R2

R3R1

E

R5

a

b

RT

R5ET

a

b

I5 VERR

RE

RR

RUE abT 4,2

42

2

31

10

4042

42

31

31

RRRR

RRRRRT


18/18


Primer 2. Drei se definicija, u elektrinoj mrei sa slike, odreditielemente Nortonovog generatora u odnosu na prikljuke otpornikaotpornosti R1. Ig= 1A; E=10V; R=2.

Ekvivalentni generator redne i paralelne veze generatora.

R

R1RRR

E

Ig INRRR

E

Ig

R

RN

R

RR

RAR

EII gN 2)(3

1

2,15,2

5,1

R

RRRN

EnE2E1 RgnRg2Rg1 BA

Rekv

A B

Eekv nBAekv EEEUE ...)( 210

gnggekv RRRR ...21

A

B

Rg

E

RgRg

EE

EEekv n

RR gekv

Documents

TEVENENOVA TEOREMA