Texto de Estudiante 10mo EGB Matematica

8/12/2019 Texto de Estudiante 10mo EGB Matematica

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Distribucin

gratuita

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la

venta

PRESIDENTE DE LA REPBLICARafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACINAugusto Espinosa Andrade

VICEMINISTRO DE EDUCACIN

Jaime Roca Gutirrez

GRUPO EDEBProyecto: Matemticas 1,2,3 y 4

Educacin Secundaria Obligatoria

DIRECCIN GENERALAntonio Garrido Gonzlez

DIRECCIN EDITORIALJos Luis Gmez Cutillas

DIRECCIN DE EDICINDE EDUCACIN SECUNDARIAJos Francisco Vlchez Romn

DIRECCIN PEDAGGICASantiago Centelles Cervera

DIRECCIN DE PRODUCCINJuan Lpez Navarro

EQUIPO DE EDICIN GRUPO EDEB Grupo edeb, 2008

Paseo San Juan Bosco, 6208017 Barcelonawww.edebe.com

En alianza conEDITORIAL DON BOSCO

OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIN

GERENTEGENERAL

Marcelo Meja MoralesDIRECCIN EDITORIAL

Mara Alexandra Prcel Alarcn

ADAPTACIN Y EDICIN DECONTENIDOSEquipo Editorial Don Bosco

Humberto Buitrn A.

CREACIN DE CONTENIDOS NUEVOSMarcia Pea AndradeSal Serrano Aguirre

Lorena Valladares Perugachi

REVISIN DE ESTILOHernn Hermosa Mantilla

Isabel Luna RiofroPabloLarretegui Plaza

COORDINACINGRFICAY REDIAGRAMACIN EDITORIALPamela Cueva Villavicencio

DIAGRAMACIN DE PGINAS NUEVASSusana Zurita Becerra

Franklin Ramrez TorresPatricio Llivicura PiedraFreddy Lpez CanelosErikaDelgado Chvez

Sofa Vergara Anda

ILUSTRACIN DE PORTADAEduardo Delgado Padilla

Darwin Parra Ojeda

Editorial Don Bosco, 2011

MINISTERIO DE EDUCACIN DEL ECUADORPrimera edicin, febrero 2011

Sptima reimpresin febrero 2014

Impreso por: EL TELGRAFO

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquierforma que sea, por cualquier medio mecnico o electrnico, noautorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cual-quier utilizacin debe ser previamente solicitada.

DISTRIBUCIN GRATUITA

SUBSECRETARIA DE FUNDAMENTOS EDUCATIVOSPaulina Dueas Montero

DIRECTORA NACIONAL DE CURRCULO (E)Isabel Ramos Castaeda

VICEMINISTRO DE GESTIN EDUCATIVA

Quito Ecuador

El uso de un lenguaje que no discrimine ni reproduzca esquemas discriminatorios entre hombres ymujeres es una de las preocupaciones de nuestra Organizacin. Sin embargo, no hay acuerdoentre los lingistas acerca de la manera de hacerlo en espaol.

por usar la forma masculina en su tradicional acepcin genrica, en el entendido que es de utilidadpara hacer referencia tanto hombres y mujeres sin evitar la potencial ambigedad que se derivarade la opcin de usar cualesquiera de las formas de modo genrico.

Tomado de UNESCO, Situacin educativa de Amrica Latina y El Caribe: Garantizando la educacin decalidad para todos. UNESCO. Santiago de Chile, agosto 2008.

IMPORTANTE

Freddy Peafiel Larrea


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Distribucin

gratuita

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Vamos a compartir el conocimiento, los colores, las palabras.

El Ecuador ha sido, segn el poeta Jorge Enrique Adoum, un pas irreallimitado por s mismo,partido por una lnea imaginaria, y es tarea detodos convertirlo en un pas real que no tenga lmites.

Con este horizonte, el Ministerio de Educacin realiz la Actualizacin yFortalecimiento del Currculo de la Educacin General Bsica que buscaque las generaciones venideras aprendan de mejor manera a relacionar-se con losdems seres humanos y con suentorno y, sobre todo, a soarcon la patria que vive dentro de nuestros sueos y de nuestros corazo-nes.

Los jvenes de octavo a dcimo aos van a recibir un libro de texto que lespermitir desarrollar sus habilidades.

Estos libros tienen un acompaante para los docentes. Es una gua didc-tica que presenta alternativas y herramientas didcticas que enriquecenel proceso de enseanza-aprendizaje.

El Ecuador debe convertirse en un pas que mire de pie hacia el futuro yeso solo ser posible si la educacin nos permite ser mejores ciudada-nos. Es una inmensa tarea en la que todos debemos estar comprometi-dos, para que el Buen Vivir sea una prctica cotidiana.

Ministerio de Educacin

2014


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Los contenidos que vas a aprender se organizan en seis mdulos que estn trabajados de maneraintegrada a partir de los siguientes bloques:

Numrico Medida Estadstica y probabilidad

Conoce tu libro

Geomtrico Relaciones y funciones

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Pginas iniciales

Una imagen y unaactividad inicial nosmuestran la presen-cia de las matemti-cas en nuestro en-torno y la relacin

entre los bloquesmatemticos.

Destrezas con criteriosde desempeo

Se muestra un listado de las

destrezas con criterios de de-

sempeo que se desarrollarn

enel mdulo.

Prerrequisitos

Definiciones, ejemplos y activida-

des para recordar los conocimien-tos previos necesarios para elaprendizaje.

Estructura de los mdulos

Desarrollo

Ejemplos

En muchos casos, el de-sarrollo de los conoci-mientos finaliza con unoo varios ejemplos para fa-cilitar el aprendizaje.

Contraejemplo

Ejemplos que no cum-plen con los conocimien-tos estudiados.

Los conocimientos se

organizan en aparta-dos y subapartados.

Actividades

Al finalizar el desarrollo deun conocimiento, se pro-ponen ejercicios a pie depgina para afianzarlo.

En los mrgenes se in-cluyen explicacionescomplementarias.

Buen Vivir

Eje transversal valorativo queacompaa a los contenidos ypermite una formacin integral.

Conocimientos que se tra-bajarn dentro del mdulo.

Buen Vivir

Enunciacin del artculo de la Constitu-cin de la Repblica del Ecuador, rela-cionado con el proyecto del Buen Vivir.


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Mdulo 1: Nmeros reales. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas1. De los naturales a los reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1. Los conjuntos , y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. El conjunto de los nmeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Intervalos en los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Las aproximaciones en los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1. Aproximacin decimal de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Operaciones con irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Propagacin del error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1. Raz ensima de un nmero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2. Operaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3. Extraccin e introduccin de factores de un radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4. Potencias de base real y exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5. Racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6. Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.1. Resolucin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2. Mtodos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8. Aplicacin a la resolucin de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.1. Pasos para resolver problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Mdulo 2: Notacin cientfica. Funcin lineal. Funcin exponencial1. Notacin cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.1. Revisin de potencias de base entera y exponente natural . . . . . . . . . . . . . . . 541.2. Potencias de base entera y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.3. Notacin cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1. Imgenes y antiimgenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2. Dominio y recorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Caractersticas de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1. Funcin: criterio grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Interseccin con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3. Crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4. Monotona de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Funcin constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655. Funcin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1. Funcin lineal o de proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2. Funcin afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Ecuacin de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1. Obtencin de la ecuacin de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737. Funcin de proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1. Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Funcin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.1. Grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Mdulo 3: Expresiones algebraicas y numricas. Polinomios y fracciones algebraicas1. Expresiones algebraicas y numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.1. Valor numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943. Adicin y sustraccin de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954. Multiplicacin y divisin de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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5. Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1. Mltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1. Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Mdulo 4: ngulos notables. Razones trigonomtricas1. Operaciones con ngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.1. Relaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152. ngulos internos en polgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1. ngulos orientados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204. Razones trigonomtricas de un ngulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1. Razones trigonomricas de los ngulos de , y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2. Resolucin de tringulos y rectngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5. Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.1. Circunferencia goniomtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2. Propiedades y relaciones de las razones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3. ngulos coterminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4. ngulos cuadrantales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5. Reduccin al primer cuadrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Mdulo 5: reas y volmenes de cuerpos geomtricos. Media aritmtica

1. Cuerpos geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.1. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.2. Cuerpos de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.3. Teorema de Pitgoras en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2. reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.1. reas de la pirmide y pirmide truncada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.2. reas del cono y del cono truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3. Volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.1. Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.2. Volmenes de prismas y cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.3. Volmenes de pirmides y conos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.4. Volumen de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.5. Clculo aproximado de volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4. Media aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1. Resolucin de problemas utilizando la media aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Mdulo 6: Probabilidad. Conversiones entre unidades del Sistema Internacional1. Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1.1. Experimentos deterministas y experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701.2. Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711.3. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2. Concepto de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742.1. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2.2. Definicin de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753. Clculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.1. Asignacin de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.2. Tcnicas de recuento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4. Magnitudes y su medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.1. Sistema Internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5. Longitud, masa, capacidad, superficie y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.1. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Solucionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Simbologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Frmulas de geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

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9

Distribucingratuita-Prohibidalaventa

Nmeros realesSistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

Resolver operaciones combinadas de adicin, sus-traccin, multiplicacin, divisin, potenciancin yradicacin con nmeros reales .

Racionalizar expresiones numricas.

Evaluar y simplificar potencias de nmeros ente-ros con exponentes fraccionarios.

Simplificar expresiones de nmeros reales con ex-ponentes fraccionarios con la aplicacin de las re-glas de potenciacin y radicacin.

Utilizar las estrategias y las herramientas matem-ticas adecuadas para resolver problemas mos-trando seguridad y confianza en sus capacidades.

Calcular el error cometido en operaciones con apro-ximaciones de nmeros reales.

Representar y resolver un sistema de dos ecua-ciones lineales con dos incgnitas, con grficos yalgebraicamente.

Destrezas con criterios de desempeo

En este mdulo aprenders arelacionarlos nmeros racionales y los nmeros irracionales con los reales, a operaryaproximar con los nmeros reales y a determinarel error cometido. Consolidars los procedimientos de clculo conpotencias y radicales. Tambinresolvers sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

Buen

Vivir

DCDDCD

Inclusin y equidad

Art. 340. El sistema nacional de inclusin y equidad social es el conjunto articulado y

coordinado de sistemas, instituciones y servicios que aseguran el ejercicio, garanta yexigibilidad de los derechos reconocidos en la Constitucin y el cumplimiento de losobjetivos del rgimen de desarrollo.Constitucin de la Repblica del Ecuador, 2008.

Prerrequisitos

Recuerda

Los nmeros racionales se forman por fraccionesentre enteros, cuya forma es , con denominadordiferente de cero.

Los nmeros irracionales tienen una expresin de-cimal ilimitada y no peridica.

La unin de los conjuntos de los nmeros raciona-

les y los nmeros irracionales determina el conjun-to de los nmeros reales, y se denota por .

La potencia cuya base es un nmero racional ay de exponente un nmero natural n es la multi-plicacin de la base por s misma tantas veces comoindique el exponente. La definicin tambin seaplica a los nmeros reales.

an = a a a a

n - veces

La raz cuadrada de un nmero bpositivo o cero

es otro nmero positivo o cero a, tal que elevadoal cuadrado, nos da b.

si a = b

El smbolo " " es el radical, b es el radicando (o can-tidad subradical) y aes la raz.

A cada punto de la recta numrica le correspondeun nmero real y cada nmero real le correspondeun punto de la recta numrica.

En el sistema de coordenadas cartesianas, a cada pun-to del plano le corresponde un par de nmeros (par or-denado), denominados coordenadas, y viceversa.

Evaluacin diagnstica

Clasifica los siguientes nmeros, en racionales e irra-cionales.

Resuelve:

Calcula: 2x + 3x 7x;

Calcula:

A qu potencia debes elevar 13 para obtener comoresultado 169?

Ubica en la recta numrica los siguientes nmeros:3; 2; ; 8

Ubica en el sistema de coordenadas cartesianas eindica en que cuadrante estn situados: (3, 5);(2, 1); (2, 3); (4, 1); (0, 5); (3, 0)

Expresa en lenguaje algebraico: El doble de la edadde Juan hace 3 aos es la mitad de la edad quetendr dentro de 6 aos

a

b

b = a

11 2

5 31 25

1 2 6 34 1 202 002

; ; ; , ;

; , ; , ...

+

5

4

5

1

4

2

3

3

4

5

3

7

8

1

2

17b.b3

-25

5b

16

25

49

81

121

4


10/208

10


1 De los naturales a los reales

1.1. Los conjuntos , yComo ya has estudiado, los nmeros naturales surgen de la necesidad de con-

tar u ordenar. As, por ejemplo, los nmeros 0, 1, 2, 3 son nmeros naturales.El conjunto de todos los nmeros naturales se simboliza mediante la letra.

Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarsemediante nmeros naturales como, por ejemplo, la temperatura ambiente, 2 C,0 C, +25 C Por ello, surge la necesidad de ampliar el conjunto de los nmerosnaturales con un nuevo conjunto numrico, el de los nmeros enteros, que re-presentamos con la letra .

Pero este nuevo conjunto de nmeros no nos sirve para representar situacio-nes como andarla mitad de un camino, que se representa mediante el nme-

ro .

Por eso, se introduce un nuevo conjunto de nmeros, los nmeros racionales,que se representan con la letra . Adems, este conjunto coincide con el con-junto de los nmeros decimales limitados o ilimitados y peridicos. Esto es asporque:

Todo nmero racional puede expresarse como un nmero decimal limitado oun nmero decimal ilimitado y peridico.

Y al revs, todo nmero decimal limitado y decimal ilimitado y peridico tieneuna fraccin generatriz asociada.

Fjate en estos ejemplos:

1

2

Dos fracciones son

equivalentes si se verifica:

a d=b c

Una fraccin es irredu-

cible si su numerador y

su denominador son n-

meros primos entre s; es

decir:

M.C.D. (m, n) = 1

Cada nmero racional est

formado por una fraccin y

todas sus equivalentes.

Cada una de estas fraccio-

nes es un representante del

nmero racional.

La fraccin irreducible de

denominador positivo es el

representante cannico de

dicho nmero.

a

b

c

dy

m

n

MUCHO OJO

El resto de la divisina bes 0 despus de extraer unao varias cifras decimales: n-mero decimal limitado.

El resto de la divisina b nunca es 0, por muchos decimales que extraigamos: nme-ro decimal ilimitado y peridico.

El perodo comienza inmediatamente despusde la coma: nmero decimal ilimitado peri-dico puro.

1 4545 1 45, ,...

El perodo no comienza inmediatamen-te despus de la coma: nmero decimalilimitado peridico mixto.

2 8333 2 8 3, ,...

30 420 0,750

3 40,

16 1150 1,45456050605

17 650 2,83320

202

x

x

x

=

=

= =

0 75

100 75

75

100

3

4

, x

x

x

x

x

=

=

=

=

= =

1 45

100 145 45

1 45

99 144

144

99

16

1

,

,

,

11

x

x

x

x

x

=

=

=

=

= =

2 8 3

100 283 33

10 28 33

90 255

255

90

,

,

,

117

6

Expresin decimal de un nmero racionala

b

Fraccin generatriz de un nmero decimal

y


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11


1.2. Los nmeros irracionales

Hemos visto que el conjunto de los nmeros racionales coincide con el delos nmeros decimales limitados o ilimitados y peridicos.

= nmeros racionales = Observa ahora el siguiente nmero decimal:

0,1010010001000010000010000001

Como puedes comprobar es un nmero decimal ilimitado no peridico, por lotanto, no es un nmero racional. Hemos obtenido un nuevo tipo de nmero.Decimos que este nmero esirracional.

nmeros decimales limitadoso ilimitados y peridicos

Un nmero es irracional si es un nmero decimal ilimitado no peridico.El conjunto de nmeros irracionales se designa con la letra o .

Nmeros irracionales destacados

Cualquier raz cuadrada no entera.

El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un nmero irracional connmeros racionales.

El nmero = 3,141 592 653..., el cual no pudo demostrarse que erairracional hasta el siglo XVIII.

5 36 2

82 2

1 2 2

6+

2 3 5 7 8, , , , ...

En tu cuaderno, relaciona con flechas cada nme-ro de la izquierda con el trmino que le correspon-de de la derecha.

Expresa cada enunciado con un nmero.

a) La tercera planta del stano.

b) He recorrido las tres cuartas partes del camino.

c) El permetro de una circunferencia cuyo radiomide 3 cm.

Indica si los siguientes enunciados son ciertos.En caso de que no lo sean, escribe un ejemplo quelo contradiga.

a) Si restamos dos nmeros naturales, obtenemos

un nmero natural.b) Si dividimos dos nmeros enteros, obtenemos

un nmero entero.

c) Si restamos dos nmeros racionales, obtene-mos un nmero racional.

d) Si multiplicamos dos nmeros irracionales, ob-tenemos un nmero irracional.

e) Los nmeros naturales tambin son enteros.

f) Los nmeros enteros tambin son racionales.

g) Los nmeros racionales tambin son irracionales.

3

2

1

2

5

56

10

1

Actividades

entero

racional

irracional

natural


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12

Distribucin

gratuita-Prohibidalaventa

Representacin de

Trazamos una recta y marcamos en ella los puntos 0, 1 y 2. De esta manera tene-

mos el origen y los dos nmeros enteros entre los que se sita .

1 < 1,4... < 2

Levantamos sobre el punto 1 un segmento perpendicular de una unidad de lon-gitud.

Unimos el extremo superior de este segmento con el origen.

As formamos un tringulo rectngulo cuyos catetos miden una unidad cada uno

y cuya hipotenusa mide:

h 2 = 1 2 + 1 2 = 2 h =

Trasladamos el segmentoh sobre la recta con un comps.

Hemos representado exactamente sobre la recta el nmero .2

2

2

2

2

210

2

210

h

1

1

Comprobemos:

Comprobemos que la raz cuadrada de 2 es irracional

El nmero 2 es irracional?

Las conclusiones de quea yb son pares, contradice la

toma de la fraccin irreductible equivalente a 2.

Una vez comprobado que no existe la fraccin, sa-

bemos que el nmero 2 no es racional, debemos con-

cluir que es irracional.

El mtodo utilizado para demostrar, se conoce

como reduccin al absurdo, ste mtodo inicia

al suponer que, lo que se demostrar es falso, la

tarea es encontrar una contradiccin durante el

proceso de la demostracin, si descubrimos la

contradiccin diremos categricamente que lo que

se quiere probar es verdadero.

Los nmeros irracionales se pueden representar grfi-

camente sobre una recta numrica de forma aproximaday de forma geomtrica.

Representacin aproximadaTodo nmero irracional, por ejemplo =3,1415 , se puede representar grficamente sobre una recta numrica como

se observa a continuacin:

Representacin geomtrica

Algunos nmeros irracionales pueden representarse sobre una recta numrica de manera exacta, por ejemplo los n-

meros que son races cuadradas de los naturales que no son cuadrados perfectos.

3 4 3 1 3 2 3 14 3 15< < < < <


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13


Reales ( )Racionales ( )

Enteros ( )

Naturales (

( )

)

Enterosnegativos

Fraccionarios

Irracionales = )

=

Dados dos nmeros realesa yb, diremos queb es mayor quea si al efec-tuar su representacin gr fica sobre la recta real,b queda situado a laderecha dea.

a b

La raz cuadrada de 1 no

es un nmero real.

i ; i pertenece a los

nmeros complejos que

estudiars en cursos supe-

riores.

CONTRAEJEMPLO

1 =

1.3. El conjunto de los nmeros reales

La necesidad de resolver numerosos problemas aritmticos, geomtricos y dela vida nos ha llevado a ampliar los conjuntos numricos.

Hemos avanzado de los nmeros naturales a los enteros por la necesidad dela resta, de los enteros a los racionales por la necesidad de la divisin, hemos

encontrado a los nmeros irracionales, al descubrir que existen decimales ili-mitados no peridicos y que algunos de ellos son las races no exactas o cier-tos nmeros particulares como .

Diremos en adelante que la unin del conjunto de los nmeros racionales y delconjunto de los nmeros irracionales forma al conjunto de los nmeros reales,y se representa por .

{nmeros reales}={nmeros racionales} {nmeros irracionales}

= =

Los conjuntos de los nmeros racionales y de los nmeros irracionales sondisjuntos, es decir no existe ningn nmero que pertenezca a los dos conjuntos,por tanto un nmero real o es racional o es irracional.

Los nmeros reales establecen una relacin biunvoca con la recta numrica,puesto que a cada nmero real le corresponde un nico punto en la recta y acada punto de la recta le corresponde un nico nmero real, por ello se hablade la recta real.

Ordenacin de los nmeros reales

Al conjunto de los nmeros reales se le llama conjunto ordenado, puesto quese puede determinar que entre dos reales diferentes uno es mayor que el otro,al representarse en la recta, es posible ordenar siguiendo el mismo orden queel establecido en el conjunto de los nmeros racionales.

Observa la representacin sobre una recta de los nmeros reales y 1,5.

Como 1,5 queda situado a la derecha de ,concluimos que:

< 1,5

2

2

21,5

10

2


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14


1.4. Intervalos en los nmeros reales

El orden en los nmeros reales nos permite hablar del conjunto de nmeros reales com-prendidos entre dos nmeros reales determinados.

Tomemos dos nmeros reales, tales que el primero sea menor que el segundo,a, b ;a


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15

Distribucin


2 Las aproximaciones en los nmerosreales

2.1. Aproximacin decimal de un nmero real

La expresin decimal de un nmero irracional, obtenido por clculo o por me-

dida, es siempre una aproximacin, puesto que no podemos trabajar con unnmero infinito de decimales.

En la prctica, operamos con aproximaciones decimales de los nmeros rea-

les; es decir, con valores prximos al valor exacto que sean manejables.

Las aproximaciones menores que el valor exacto reciben el nombre de aproxi-

maciones por defecto y las aproximaciones mayores se denominan aproxima-ciones por exceso.

rdenes de aproximacin

Dado un nmero real cualquiera, existen diferentes aproximaciones que nos per-

miten expresarlo. Segn el grado de precisin requerido, tomaremos una uotra.

Observa estos dos nmeros reales aproximados: 2,7 y 2,70.

Cuando se trabaja con nmeros aproximados, 2,7 se distingue de 2,70, pues

no sabemos cul es la cifra de las centsimas del primero, mientras que en el

segundo se tienen 0 centsimas.

Decimos que 2,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 2,70 tiene tres.

07,27,2

dos cifras significativas tres ci fras significativas

Para distinguir los 0 que son significativos de los que no lo son, estos ltimos

suelen indicarse como potencias de 10.As:

20500 = 2,05 104

nos indica que el nmero tiene tres cifras significativas (2, 0 y 5).

Observa el orden de la ltima cifra significativa en las siguientes aproximaciones.

El orden de la ltima cifra significativa de un nmero aproximado se dice que

es su orden de aproximacin.

Redondeo y truncamiento

Veamos ahora dos formas de tomar aproximaciones de nmeros reales. Fjate

en los siguientes ejemplos de aproximaciones. Hemos sealado, en cada

caso, la que est ms prxima al valor real.

43,21267,4

75643,2183267,4

53,21367,4

Aproximacin

0,023

240 102

11,30

Nmero de cifras

significativas

dos

tres

cuatro

Orden de la ltima

cifra significativa

milsima

centena

centsima

Aproximaciones

=3,141 592654

3 4

3,1 3,2

3,14 3,15

3,141 3,142

3,1415 3,1416

3,141 59 3,141 6 0

3,141592 3,141593

FJATE

por

defe

cto

porexceso


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16

Distribucin


Al tomar 4,762 en vez de 4,762 38, hemos redondeado 4,762 38 hasta las mi-

lsimas. Al tomar 12,35 en vez de 12,346 57; hemos redondeado 12,346 57 has-

ta las centsimas.

Para redondear un nmero hasta un cierto orden de aproximacin observa-

mos la primera cifra que debe suprimirse:

Si es inferior a 5, las cifras anteriores se dejan igual.

Si es mayor o igual que 5, se aumenta en una unidad la cifra anterior a laprimera que debe suprimirse.

Otras veces, para aproximar un nmero real suprimimos las cifras decimales a

partir del orden de aproximacin dado. En tal caso, diremos que hemos efec-

tuado una aproximacin por truncamiento.

2.2. Error

Cuando utilizamos aproximaciones de nmeros reales en vez de su valor

exacto, cometemos un error.

Observa la diferencia entre el valor exacto y el aproximado en las aproximacio-

nes siguientes y el valor absoluto de esta diferencia.

Imagina la siguiente situacin:

Pesamos dos objetos A y B en una balanza y obtenemos las siguientes medi-

das: la masa del objeto A es de 50 g y de 2,5 kg del objeto B .

Despus de efectuar la pesada, nos damos cuenta de que la balanza no esta-

ba equilibrada, sino que marcaba 10 g sin poner ningn objeto.

El error absoluto cometido en estas medidas ha sido el mismo. Sin embargo, est

claro que tiene ms importancia aadir 10 g a la masa del objeto A que a la del

objeto B. La masa real de A ser, pues, 40 g y 2 490 g la de B.

Para relacionar el error absoluto con el valor exacto de la medida, calculamos

el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la masa de cada uno de

los objetos.

Error absoluto Valor exacto Valor aproximado=

Nmero

3,758

8,545

Orden de

aproximacin

centsimas

dcimas

Aproximacin por

truncamiento

3,75

8,5

Aproximacin por

redondeo

3,76

8,5

Valor exacto

16,539789

0,006543

7,054 36

Valor aproximado

16,539

0,0066

7,06

Valor exacto

Valor aproximado

0,000 789

0,000 057

0,005 64

Valor absoluto

0,000 789

0,000 057

0,005 64

Se denomina error absoluto de una aproximacin al valor absoluto dela diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.

La aproximacin de un nme-

ro real por redondeo puede ser

por defecto o por exceso,

mientras que la aproximacin

por truncamiento siempre es

por defecto.

FJATE

El valor absoluto de un n-mero real es el nmero queresulta de prescindir de su sig-no.

3,14 =3,14 =

FJATE

Objeto A10

400 25= ,

Objeto B10

2490

0 004 02= ,


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17


El error relativo tambin puede expresarse en porcentaje.

0,25 25 %0,004 02 0,402 %

Observa que el error relativo expresa el error cometido por unidad medida.

Cotas de error absoluto

No siempre es posible calcular el error cometido al tomar una aproximacin deun nmero. Por ejemplo, plantate si puedes calcular el error absoluto cometi-do al tomar 3,14 como aproximacin de .

Puesto que no conocemos el valor exacto de , no es posible determinar el errorabsoluto cometido, aunque s podemos hallar un valor mayor o igual que este error.

Puesto que 3,1415... 3,14 = 0,0015...< 0,01, el error absoluto cometido altomar 3,14 siempre ser menor que una centsima.

As, diremos que 0,01 es una cota del error absoluto cometido al tomar 3,14 comovalor aproximado de .

Algo parecido ocurre cuando efectuamos una medida.

Si medimos un segmento con una regla graduada hasta los milmetros, creesque esta medida es exacta? Cul ser, como mximo, el error absoluto co-metido en la medicin?

Puesto que la cantidad ms pequea que puede apreciar esta regla es 1 mm,si realizas la medicin con cuidado y precisin, el error mximo cometido ser

de 1 mm. Para indicar que la medida del segmento est comprendida entre 4,5 cmy 4,7 cm, escribiremos:(4,6 0,1) cm

ErrorrelativoErrorabsoluto

Valor exacto=

El cociente entre el error absoluto y el valor exacto se denomina errorrelativo.

Una cota de error absoluto es cualquier nmero no menor que el errorabsoluto.

Da una aproximacin por defecto de con cincocifras decimales.

Escribe un intervalo abierto que contenga a . Qutipo de aproximacin a son los extremos de intervalo?

Redondea hasta las diezmilsimas.

Trunca con cuatro cifras decimales.

Redondea hasta las centsimas los siguientes n-meros decimales: 2,3476; 0,005; 3,899; 15,762.

Aproxima hasta las milsimas, por redondeo y portruncamiento, los siguientes nmeros decimales:6,345; 12,3987; 3,0056; 0,0001.

Compara en cada caso los resultados obtenidospor cada uno de los mtodos.

Si 2,567 es una aproximacin por defecto del n-mero 2,567929, calcula los errores absoluto y relati-vo cometidos al utilizar esta aproximacin. Expresael error relativo en porcentaje.

Cita diferentes instrumentos de medida que se usenen tu casa e indica situaciones en las que no esconveniente su utilizacin.

Si =3,141592... y tomamos como aproximacin 3,1415,cul es una cota del error absoluto cometido?

Al pesar un objeto en una balanza obtenemos4,6 kg. Si esta aproximacin tiene una cota de errorabsoluto de 40 g, entre qu valores estar com-prendida la masa exacta del objeto?

17

16

15

14

13

12

11

1710

Actividades

El pie de reyo calibrador seemplea para medir longitudesy dimetros, tanto interiorescomo exteriores.

El cronmetro permite me-dir tiempos muy pequeos conprecisin. Algunos puedenapreciar hasta las centsimasde segundo.

La balanza de precisin seutiliza para medir pequeasmasas. Existen algunas capa-ces de apreciar hasta el cien-miligramo.

LAS TIC Y LA MATEMTICA

Instrumentos de medidadigitales


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18


3 Operaciones con irracionales

En caso de que los nmeros reales sean racionales, ya sabes efectuar opera-

ciones con ellos. Veamos ahora cmo operar con nmeros reales cuando al

menos uno de ellos es irracional.

Vamos a calcular .

Dado que y son nmeros irracionales tienen infinitas cifras decimales

y es imposible manejarlas a todas, por tanto, es necesario tomar aproximacio-

nes de estos nmeros, con lo cual las operaciones con nmeros irracionales

se reducen a operaciones con nmeros racionales. El resultado ser tambin una

aproximacin del nmero irracional que es su suma. Para indicar el resultado que

es una aproximacin es preferible utilizar el smbolo "".

En el caso de la suma y de la resta, debe aproximarse a la misma cifra decimal,

para el ejemplo pediremos el resultado aproximado a milsimos, entonces:

Observa que las aproximaciones tomadas para los sumandos se han realizado a

diezmilsimas (una aproximacin ms que el pedido para el resultado). Esto se

lo ha hecho para que el error cometido no afecte a la aproximacin pedida.

No debemos olvidar que un nmero irracional no es igual a su aproximacin

y, por lo tanto, cada vez que utilizamos una aproximacin cometemos un error.

As pues, todas las aproximaciones y el trabajo con ellas debe efectuarse con

mucho cuidado.

Si se usa una calculadora, se recomienda usar todas las cifras que provee la m-

quina y aproximar el resultado al final.

En el caso de la multiplicacin, y de la divisin, a ms de la aproximacin hayque observar el nmero de cifras significativas que tiene la aproximacin del

nmero, pues el resultado no puede tener ms cifras significativas que el me-

nor nmero de cifras significativas de cada uno de sus factores.

Multipliquemos , util icemos la aproximacin a centsimas en el pri-

mer nmero y a milsimas del segundo nmero, entonces:

Pero el resultado debe tener tres cifras significativas, puesto que el primer n-

mero tuvo tres cifras significativas, entonces el resultado vlido es:

En el caso de la divisin:

El resultado con las tres cifras significativas es: 0,814.

Los ceros anteriores a la primera cifra diferente de cero no se consideran ci-

fras significativas.

2 3+

2 3 2,44

2 3 1,41 1,732 = 0,814 087

Calcula .

Redondea hasta las diezmilsimas. Calcula su suma, su resta, su pro-

ducto y su cociente.

Si tomamos 3,14 y 2,83, calcula + y .

15 27y

88820

19

2 13+18

Actividades

2 = 1,414 213 1,4142 y 3 = 1,732 050 1,7321

2 + 3 1,414 2 + 1,732 1 = 3,146 3

2 + 3 3,146

2 3 1,41 1 ,732 = 2,442 12

2 3

2 3

2 3

FJATE

El nmero 13,42 tiene

4 cifras significativas,

mientras que el 0,013

tiene solamente 2.


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3.1. Propagacin del error

Al tomar una aproximacin de un nmero real estamos cometiendo un error.Veamos qu sucede con el error al operar con estas aproximaciones.

La operacin que vamos a efectuar es .

Redondeamos hasta las diezmilsimas y calculamos su suma:

Veamos si todas las cifras de este resultado son correctas. Para ello, observa es-tas desigualdades:

El resultado de sumar ser un nmero comprendido entre 3,1462 y3,1464. Por tanto, slo podemos aceptar tres de las cuatro cifras decimales

obtenidas inicialmente para :

3,146

Si queremos obtener una mayor aproximacin del resultado, deberemos to-mar ms cifras decimales en los sumandos iniciales.

Veamos ahora qu sucede con la multiplicacin. La operacin que vamos a efec-

tuar es .

Redondeamos y hasta las milsimas, y efectuamos la multiplicacin:

2,236 3,142 = 7,025 512

Slo podemos asegurar las dos primeras cifras decimales. Al igual que en lasuma, si queremos obtener una mayor aproximacin del resultado, deberemostomar ms cifras decimales en los factores iniciales.

2 236 5 2 237 3 141 3 142

2 236 3 141 5 2

, , , ,

, ,

,, ,

, ,

237 3 142

7 023 276 5 7 028 654

5

2 3+

5

5

2 3+

2 3+

2 3+

1 414 2 2 1 414 3 1 732 0 3 1 732 1

1414 2

1 732 0

, , , ,

, ,

+ + +

+ 2 3 1 414 3 1 732 1

3 146 2 2 3 3 146 4, ,

, ,

2 1 414 213 5 1 414 2

3 1 732 050 8 1 732 1

=

=

,

,

...

...

+2 3 3 146 3,

,

2 3y

Cuntas cifras decimales deberas tomar en las actividades 24 y 25 para queal multiplicar aseguraras cuatro cifras decimales?

Efecta la operacin correspondiente.

21

Actividades

Observa la operacin siguiente ycmo podemos resolverla de 3maneras diferentes.

a) 435 2400 = 1044000

1044000 32 = 32625

b) 2400 32 = 75

75 435 = 32625

c) 435 32 = 13,59375 13,6

13,6 2400 = 32640

Fjate en que en el tercer caso elerror absoluto cometido es 15.

Esto es debido a que al multi-plicar el resultado aproxima-do de la divisin por 2400 he-

mos hecho el error 2400 vecesmayor.

435 2400

32

FJATE


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20


4 Potencias de base real y exponenteentero

La potencia cuya base es un nmero real y su exponente es un nmero natu-ral, abrevia al producto de esa base por s misma tantas veces como indica el

exponente, as por ejemplo: = 4

Para el caso en que se seale la primera potencia de un nmero real, se tomacomo valor a la propia base, as, por ejemplo: 1 =

Para el caso en que se seale la potencia de exponente cero de un nmeroreal diferente de cero, su resultado es la unidad, as, por ejemplo: 0 = 1.

Las potencias antes descritas se refieren a potencias de base un nmero real y

de exponente un nmero natural, que son justamente las potencias de baseun nmero real y de exponente un nmero entero positivo o cero. Pero, qu ocu-rre si el exponente es un entero negativo?

Consideremos seguidamente el caso en que el exponente sea un nmero en-tero negativo.

En caso de que la potencia de base un nmero real de exponente un nmero en-tero negativo, la potencia es el inverso multiplicativo de otra potencia de igualbase pero con exponente opuesto al original, veamos:

Las operaciones con potencias de base real y exponente entero tienen las mis-mas propiedades que las de base racional y exponente natural. Obsrvalas

La potencia de base un nmero reala y exponente un nmero naturaln es el producto del nmeroa por s mismo,n veces.

n veces

an =a a a ... a

La potencia de base un nmero reala y exponente 1 es igual aa.a 1 =a

FJATE

L a p o ten c i a 0 0 n o es tdef in ida.

5=

15 =

1

La potencia de base un nmero reala diferente de 0 y exponente 0 esigual a 1.

a 0 = 1; a0

La potencia de base un nmero reala, a 0, y exponente un nmero enteronegativon es igual al inverso de la potencia de base el mismo nmero real yexponente positivo.

a 1

a

n

n

=


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21


Expresa:

a) 4 6 en forma de una sola potencia de base .

b) a7 a4 en forma de una sola potencia de base el n-mero real a.

c) (a 3 2)2 como producto de potencias.

d) (a6)3 en forma de potencia de base el nmero real a.

ejemplo 1

d) (a6) 3= a6(3) = a18

c) ( )( )

aa a a

a3 2

2

3 2 2 6 4 6 4

61 1 1 1

= = = = 4

b) : : a a aa

a a a a7 4 7

4

7 4 7 4 111

+= = = =

a)

= = = =4 6

4

66

4

6 4 21

Aplicamos las propiedades de las operaciones con potencias.

Transforma las siguientes potencias para que ten-gan exponente positivo.

a) c) 1+

b) d)

Expresa en forma de una sola potencia:

a)

b) (35 32)6 [(5 2)2]7

c) [(3 + )6 (3 + )2]5

3

4

3

4

3

4

5 4 3

2322

92

4x

33

x-32

4

Actividades

La potencia de base un nmero reala, a 0,y exponente 0 es igual a 1.

a 0 = 1, cona 0

a2 a2 a2 =a2+ 2+ 2 =a 6

(a 2)3 =a2 3 =a6

Para elevar una potencia a otra potencia se deja la mis-ma base y se multiplican los exponentes.

(am)n =am n

(a b)3 = (a b) (a b) (a b) =

=a a a b b b=a 3 b 3

Para elevar un producto de nmeros realesa

yb

auna potencia de exponente naturaln se eleva cada unode los factores a dicha potencia.

(a b)n =an bn

4 veces

a 7 a 3 =

a 73 =a 4

Para dividir dos potencias de la misma base realam yan siendoa 0,m yn nmeros naturales ym >n, se dejala misma base y se restan los exponentes.

am an =amn cona 0 ym>n

a a a a a a a

a a aa a a a a

= = 4

7 veces

(a a a a a) (a a)=a a a a a a a =a7

a 5 a 2 =

a 5+2 =a 7

Para multiplicar potencias de la misma base real yexponentes nmeros naturales, se deja la misma basey se suman los exponentes.

am an =am+n

Multiplicacin de potencias de la misma base Divisin de potencias de la misma base

Potencia de un producto Potencia de una potencia


22/208

22


FJATEnes el ndice del radical.bes el radicandoaes la raz; sinespar entoncesb0.

{; donde

5 Radicales

Recuerda que el valor absoluto de un nmero real a, se denota por |a|, es elmismo nmero a cuando es positivo o cero, y es el opuesto de a, si es nega-tivo. Geomtricamente representa la distancia entre el nmero real y el cero 0.

Los radicales estn estrechamente relacionados con las potencias. En este apar-tado veremos cmo se relacionan y aprenderemos a trabajar con expresionesen las que aparecen radicales o potencias de exponente racional.

5.1. Raz ensima de un nmero real

Para iniciar el estudio de cualquier raz de un nmero real, recordemos las

caractersticas de la raz cuadrada.Sabemos que 5 elevado al cuadrado es25, 52 = 25, entonces la raz cuadradade 25 es igual a 5, .

Para ratificar el tratamiento de la raz cuadrada diremos:

Sea el nmero real a tal quea2 = b entonces:

Por tanto debemos concluir que:

Si el radicando es negativo, no existe raz cuadrada real, puesto que ningnnmero real elevado a la segunda potencia puede ser un nmero real negati-vo. Por ejemplo:

Las races de ndice par se definen de forma parecida a las races cuadradas.Se concluye que no existe raz real de ndice par si el radicando es negativo.

Por ejemplo, el nmero 81 es el resultado de elevar a la cuarta potencia el n-mero 3. As el nmero 3 es la raz cuarta de 81,

Las races de ndice impar se definen de forma parecida a las races de ndicepar, con la consideracin de que el radicando s puede ser negativo, en ese casola raz tambin es negativa.

Por ejemplo, el nmero 125 es el resultado de elevar al cubo el nmero 5. Asel nmero 5 es la raz cbica de 125, 5. Y el nmero -125 es el resulta-do de elevar al cubo el nmero -5. As el nmero -5 es la raz cbica de

-125, .

= 2 = | | = ; 0 ; < 0

25 = 5

25 = 5

25

814

= 3.

1253

=

125

3

= 5

25 5=

La raz cuadrada de un nmero real positivob o0 es el nmero real positi-voa si y solo si: a2 = b. Se expresa:

b a==

b an

==

Si a o Si a< oa= a a= -a

0 a 0a


23/208

23


Signo de la raz

Para averiguar cul es el signo de la raz, observaremos el signo del radicandoy la paridad del ndice. Fjate en la siguiente tabla.

Podemos concluir:

Si el ndice es impar, la raz tiene el mismo signo que el radicando.

Si el ndice es par y el radicando es positivo, existen dos races que son dosnmeros reales opuestos.

Si el ndice es par y el radicando es negativo, no existe ninguna raz real.

Expresiones radicales semejantes

Observa el resultado de la siguiente suma:

El nmero 3 es el coeficiente. En general, en una expresin de la formase llama coeficiente al nmeroa que multiplica al radical.

Observa las expresiones siguientes: . En todos loscasos tenemos un coeficiente que multiplica a un mismo radical.

Las expresiones radicales tambin reciben el nombre de radicales.

3 5 2 5 5 12 5, , ,

a bn

5 5 5 3 5+ + =

Raz

Paridad del ndice Impar Impar Par Par

Signo del radicando + +

Nmero de races Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No existe en .

343 73

= = 343 73 16

81

2

3

4=

=

16

814 ?

Dos expresiones radicales de la forma son semejantes sitienen el mismo ndice y el mismo radicando.

a b c bn ny

Seala en cules de las fracciones siguientes el nu-

merador y el denominador son cuadrados per-fectos.

Escribe las races cuadradas de todas las frac-ciones.

Clasifica las races obtenidas en nmeros racio-nales y nmeros irracionales.

Indica el signo de las races de estos nmeros rea-

les y efectalas si es posible.

Agrupa las expresiones radicales semejantes.

4 2 2 5 6 5 7 3 6 23 4 3; ; ; ;

26

11

13

13

18

27

64

3

24

108

172

111

333

4 3 3 8

3

, , , , ,

,

6625

81

1052

4 208

1

2

4 5, ,

25

125

4

9

16

99

35

16

25

111

38

169

81, , , , ,

24

Actividades


24/208

24


5.2. Operaciones con radicales

Podemos multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer la raz de cual-quier radical. Sin embargo, para sumar o restar dos radicales, stos deben sersemejantes.

Observa en la tabla siguiente cmo efectuar las operaciones.

Suma y resta de radicales

Multiplicacin de radicales Divisin de radicales

La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma oresta de los coeficientes de los radicales sumandos.

Por ejemplo:

+ + = + + =

+ =

2 3 2 4 2 8 2 1 3 4 8 2 6 2

7 5 6 3 8 5 3 3 4 3

( )

( 77 8 5 6 3 4 3 15 5 13 3+ + = ) ( )

a b c b a c bn n n+ = +( )

El producto de radicales del mismo ndice es iguala otro radical con igual ndice cuyos coeficiente yradicando son iguales, respectivamente, a los pro-ductos de los coeficientes y los radicandos de los fac-tores.

Por ejemplo:

a b c d a c b dn n n=

2 1

4

7 3 2 7 1

4

3 14 3

4

= =

El cociente de dos radicales del mismo ndice es igual a otroradical con igual ndice cuyos coeficiente y radicando soniguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y los ra-dicandos de los radicales dividendo y divisor.

Por ejemplo:

5 3

4 2

5

4

3

2

5

4

3

2= =

a b

c d

a

c

b

d

n

n

n=

Potencia de un radical Raz de un radical

La potencia de un radical es igual a otro radical cu-yos coeficiente y radicando estn elevados a dichapotencia.

Por ejemplo:

( )a b a bn m m mn=

( ) ( )2 7 2 7 2 75 5 5 5 5= =

La raz de un radical es otro radical cuyo radicando es elmismo y cuyo ndice es el producto de los ndices de las ra-ces.

Por ejemplo:

3 3 32 2 4= =

a anm mn=

b)

b)

c)

c)48 48 483 2 3 6= =

483

6 5 6 5

8 5

6 6

85

9

25

= =

6 5 6 5

8 5

= + =( )12 8 9 7 13 7

a) 12 7 8 7 9 7 + =

a) 12 7 8 7 9 7 +

ejemplo 2

Operaciones combinadas

Tambin podemos encontrar series de operaciones combinadas en las que apa-rezcan radicales. Para resolverlas tendremos en cuenta el orden de prioridadde las operaciones que ya conoces.

Calcula:


25/208

25


Decimos que una suma de radicales y su diferencia son expresiones conjugadas.

As, es la expresin conjugada de y, recprocamente,

es la expresin conjugada de .

Al multiplicar dos expresiones conjugadas desaparecen las races cuadradasque pudieran existir.

a b a b a b+ =

a b+a b

a ba b+

Calcula:

Aplicamos la propiedad distributiva.

Agrupamos trminos semejantes.

Observa que el ltimo resultado no tiene radicales. Esto se debe a que es el producto de la suma de dos nmerospor su diferencia, que da como resultado la diferencia de los cuadrados: (a+b) (a b) =a 2 b2. Y esto, en el casode una raz cuadrada, conlleva la eliminacin de la raz. Tambin se poda haber resuelto de esta manera:

( ) ( )6 2 6 2 6 2 36 2 3422

+ = ( ) = =

d) ( ) ( ) ( ) ( )6 2 6 2 6 6 2 2 6 2 36 6 2 6 2 2 2 36+ = + = + = 22 34=

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 2 32

+ = + + = + + + = + + + 33 3

4 4 3 3 7 4 3

=

= + + = +

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 2 2 5 2 3 2 5 2 2 5 2 2 3 5 2 3+ = = + + 22 2

10 2 2 15 2 6 4 13 2

=

= + = +

a) 2 (3 4 5 ) b) (2 3 2 ) (5 2 ) c) (2 3 ) d) (6 2 ) (6 22 + + + ))

a) 2 (3 4 5 ) 3 2 4 2 5 3 2 4 10 = =

ejemplo 3

Efecta:

Expresa como la raz de un cociente:

Di si son ciertas o falsas las siguientes igualdades.

Calcula:

Efecta:

Calcula:

Escribe la expresin conjugada de cada una de estasexpresiones.

Multiplica cada expresin por su conjugada.

2 3 3 5 2 1 2 3 5+ ; ; ;

a) c)

b) d)

11 2 10 17 10 17

6 5 7 21

2

2

+( ) ( ) +( )( ) ( )

77 21+( )33

32

a) c)

b) d)

2 7 3 7 9 2

11 11 3 5 3 5

+( ) +( )

+ +

31

625 5 12

716

24

; ; ;( )

30

a) d)

b) e)

c)

8 2 93 93

2

3

2

381 3

81 3 27 3

3 3

a a= =

= =

= = 227 8 2 2f) =

29

24

6 2

144

16

12

3; ; ;

a

b c

a

a

28

c) 5 11 3 17 4 11 9 11 8 17 +

b) 1

3 22 2 7 2

1

6 2 +

a) + + +2 7 5 7 8 7 3 7 5 7 7 7

27

Actividades

La expresin conjugada de

es .a ba b+

FJATE


26/208

26


5.3. Extraccin e introduccin de factores de un radical

En determinados clculos, es conveniente extraer factores de un radical. Paraello, es necesario que el exponente del factor sea mayor o igual que el ndicedel radical. Veamos en los siguientes ejemplos cmo se procede.

Podemos extraer un factor de un radical si su exponente es igual al ndice dela raz y lo escribimos como factor del radical elevado a la unidad.

Siempre que sea posible extraeremos los factores de un radical para simplifi-car el radicando. Observa este ejemplo.

De la misma manera que hemos extrado factores de un radical, tambin po-demos introducir factores en l. Observa el procedimiento:

Para introducir un factor en un radical se eleva dicho factor al ndice del radical.a b a bn nn =

3 5 3 5 3 5

3 5

2 3 4 2 2 3 2 4 2 4 6 8

2 3

= =

a b a a b b

= = a b a b a b4 3 2 3 3 3 4 33 6 9 1233 5 3 5

an b a bn n=

5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5

43 33 33 3 3

7 2 2 2 2 2 2

= = =

= =

5 5 5 5 5 5 5

7 5 7 5 7 7 5 5

3

6 53 63 53 3 33 3 2

= =

= = 33 33 33 33 23

23 2 23

7 7 5 5

7 7 5 5 7 5 5

= =

= =

Extrae todos los factores posibles de los radicales.

a) Puesto que 500 = 22 53, se tiene que:

b) Del mismo modo podemos calcular .

512

45

2

3 5

2

3 5

2 2

3 5

2

3

2

5

9

2

9

2

4 4

= = = =

512

45

500 2 5 2 5 5 10 52 3= = =

a) 500 b) 512

45

ejemplo 4

Extrae todos los factores que puedas de los si-guientes radicales.

Introduce en los radicales los factores que estnfuera de ellos.

a) c)

b) d) 2

16

3

1

43

7 11 2 3

3 3

3 3

a b b

a a b b

35

a) c)

b) d)

3 5 12 2

7 16

5

25

2

2 3 2 4 7 7

10 93

a b a

a b

34

Actividades

Para extraer factores de un ra-dical:

Descomponemos en facto-res el radicando.

Si hay un factor cuyo expo-nente es mayor o igual que elndice de la raz, dividimos di-cho exponente entre el ndi-ce de la raz.

El cociente de esta divisinser el exponente del factorfuera del radical.

El resto de la divisin serel exponente del factor den-tro del radical.

FJATE


27/208

27


5.4. Potencias de base real y exponente racional

Hasta ahora hemos considerado nicamente potencias de exponente naturalo entero. Veremos ahora que el exponente de una potencia tambin puede serun nmero racional.

Las potencias de exponente racional se definen mediante radicales del modo si-guiente.

As, observamos que los radicales pueden expresarse como potencias de ex-ponente racional y viceversa. En los siguientes ejemplos aprenderemos cmose transforman mutuamente unos en otros.

Las potencias de exponente racional se definen de manera que las propieda-

des de las potencias de exponente entero continen siendo vlidas.As, paraoperar con potencias de exponente racional, aplicaremos las propiedades quese recogen al margen. Fjate en el ejemplo siguiente.

La potencia de base un nmero reala y de exponente un nmero racional

se define como la raz de ndicen y radicandoam.

a am

n mn=

m

n

Expresa como potencias de exponente racional.

Aplicamos la definicin.

a) 12 b) 3

5

3

4

5

a)

b)

=

=

12 12

3

5

3

5

3

1

3

4

5

4

5

( )

ejemplo 5

Expresa en forma de radical.

Aplicamos la definicin.

a)

b)

124 124

1

5

1

5

1

25

1

4 4

2

32

3 3

=

=

=

a) 124 b) 1

5

1

4

2

3

ejemplo 6

Propiedades de las opera-ciones con potencias deexponente entero

Multiplicacin de potenciasde la misma base

am an =am +n

Divisin de potencias de lamisma base

am an =am n (a > 0)

Potencia de un producto

(a b)n =an bn

Potencia de una potencia

(am)n =am n

MUCHO OJOCalcula:

Aplicamos las propiedades de las operaciones con potencias.

( ) ( ) ( )( )

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 231

4

3

23

1

4

3

2+ + + = + = ++ +

a a a a a119

4

3

2

1

3

3

2

1

34 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2b) + + = + = +

33

9 9

7

6

2

3

11

3

11

3

112

3

11 = =

c) ( ) ( ) ( a b a b 99

7 7

3

11

3

11

6

11

3

2

5

4

)

=

a b

d)

=

3

2

5

4

15

8

7

( )

a) (2 + ) (2 + ) (2 + ) c) ( 9 )

b) 4

3

1

4

3

2 2

3

11a a a a b

+ 22 3 4 2 3 d)7

3

2

1

3

3

2

5

4

( )

+

ejemplo 7


28/208

28


Las potencias de exponente racional y negativo pueden transformarse enpotencias de exponente positivo, como en el caso de potencias de exponenteentero. Para ello, tendremos en cuenta que una potencia de exponente negati-vo es igual al inverso de la potencia de la misma base con exponente positivo.

Fjate en cmo expresamos con exponente positivo estas potencias:

El siguiente cuadro recoge las propiedades de las operaciones con potencias debase real y exponente racional, a las cuales se aade esta ltima, relativa a laspotencias de exponente negativo.

5 1

5

3

4

1

3

4

4

3

1

3

1

3

5

6

5

6

5

6

=

=

=

a

a

m

n

m

n

=

1

a a a

a a a a

m

n

p

q

m

n

p

q

m

n

p

q

m

n

p

q

m

n

p

q

( )

=

=

+

(con 0)

a ==

=

=

a

(a b) a b

a 1

a

m

n

p

q

m

n

m

n

m

n

m

nm

n

Potencias de base real y exponente racional

Las teclas para el clculo de races suelen ser:

Para el clculo de la raz cuadrada.

Para el clculo de la raz cbica.

Para el clculo de cualquier raz de ndice x.

As, para calcular efectuamos:

Para calcular :

Y, para calcular :

C1. Halla con tu calculadora:

C2. Utiliza la calculadora para hallar:

576 75 124 1 250 1

81

32

75

12

56

5 7 3 3 3; ; ; ; ; ;

346 64 1 250 6545 3 6; ; ;

2457

1253

144

3

x

=1 4 4

=1 2 53

=2 4 5x

7

La potenciacin y la radicacin

son operaciones inversas.

Lo cual puede demostrarse apli-

cando las propiedades de las

operaciones con potencias de

exponente racional.

a (a ) a a a2 21

22

1

2 1= = = =

a a2

=

FJATE

Una potencia de base real y

exponente entero negativo es

igual al inverso de la potencia

de la misma base con expo-

nente positivo.

a 1a

n

n

=

MUCHO OJO

p

q

p

q

p

q

LAS TIC Y LA MATEMTICA


29/208

29


La transformacin de races en potencias puede ser muy til a la hora de efec-tuar operaciones con radicales. stas pueden resolverse por los procedimientos yavistos al estudiar las operaciones con radicales o bien, transformando los radica-les en potencias de exponente racional y aplicando las propiedades de stas.

Comprobemos estas dos formas de proceder en el siguiente ejemplo.

Primera resolucin

Aplicamos las propiedades de las operaciones con radi-cales.

Agrupamos radicales semejantes.

Segunda resolucin

Aplicamos las propiedades de las operaciones con po-tencias.

Agrupamos potencias de la misma base.

3 5

3 2 2 53 5 3 2 2 5

3 54

35 25 4

3

2

5

4

1

2

3

5

2

5

=

=

= =

1

4

3

2

1

2

5

4

1

4

3

5

2

53 3 5 5 2 2

=

=

= =

= =

3

3

5

5

1

2 2

3 5 1

2

3 5 1

2

15

3 5

4

3 25

2 44

55

1 1

22

3 5

3 2 2 5

3

3

5

5

1

2 2

3 54

35 25 4

3 54

4 35 25

=

=

Resuelve:

3 5

3 2 2 5

3 54

35 25 4

ejemplo 8

Expresa como potencias de exponente racional:

Expresa en forma de raz. A continuacin, di culesson semejantes.

Expresa como potencias de exponente racional:

Expresa en forma de radical. A continuacin, di cu-les son semejantes.

El nmero puede expresarse en forma de

potencia de exponente negativo como .

Expresa de la misma forma:

Di cules de las siguientes igualdades son ciertas ycules no.

Expresa en forma de una sola potencia:

a)

b)

x x

2 2

3

4

3

4

1

3

3

5

4

+( )

+( )

2

5

33

51

2

3

4

1 2 1 2c)

d)

1

5

1

5

7 7

a)

b)

+( ) = +( )

=

3 2 7 1

3 2 7

25 1

25

5

3

3

3

5

4( )

(

a b

a bb

a a

a

3

5

4

2

3

2

3

1

1

4

6 6

)

( ) ( )

=

c)

d =

a a

1

3

1

4

1

3

42

41

1

5

1

2

1

5

2

9

2

33 5 4 3 6; ; ; ;

1

2340

( ) ; ; ( ) ; ; ; ; ( ) 3 4 7 9 25 4 9 2 31

3

1

5

1

3

1

6

1

4

1

6

1

3

39

18 5 4 5 3 18 4 163 5 3 4 6 4 6 5; ; ; ; ; ; ;

38

3 12 175 27 251

2

1

2

1

2

1

2

1

2; ; ; ;

37

99 365 44 75 3 18 243; ; ; ; ; ;

36

Actividades

= =3 5 2 15

21 1 1

= =

3 5 23

2

1

2

5

4

1

4

3

5

2

5

21

3


30/208

30


5.5. Racionalizacin

Al dividir un nmero real entre otro nmero real pueden aparecer expresionesen cuyo denominador haya algn radical:

Cuando nos encontramos con una expresin de este tipo, se acostumbra a bus-car otra equivalente en cuyo denominador no aparezcan radicales; es decir, se

racionaliza el denominador.

Para racionalizar multiplicamos el numerador y el denominador por una mismaexpresin de forma que desaparezca el radical del denominador.

Aprendamos con un ejemplo cmo hacerlo.

2

7

5

5

3

5 23

Racionaliza estas expresiones.

Efecta las siguientes sumas de expresiones fraccionarias. Previamente de-bes racionalizar cada uno de los sumandos.

a) b)1

1 2

3

1 2

3

3 2

2

3 2+

+ ++

44

a) c) e)

b) d) f)

1

8

1

5 2

9

14 10

17

2 17

3

7 15

2 5

2 63

+ +

+

43

Actividades

Por qu se racionaliza el de-

nominador de una fraccin y no

el numerador?

Para entenderlo recuerda que

el denominador representa el

nmero de partes en que se di-vide una cantidad (el numera-

dor). Esta interpretacin slo

tiene sentido si el denominador

es racional.

As, es la mitad de ,

pero qu parte de la uni-

dad representa ?

2

1

2

2

2

FJATE

Racionalizar el denominador de una expresin consiste en hallar otraexpresin equivalente sin radicales en el denominador.

Racionaliza:

a) Multiplicamos numerador y denominador por .

b) Eliminaremos la raz del denominador multiplicando por un radical del mismo ndice,

de modo que se obtenga una potencia de exponente igual a este ndice.

c) Multiplicamos por la expresin conjugada del denominador.

3

5 2

3 5 2

5 2 5 2

3 5 2

5 2

3 5 2

3=

+( )( ) +( )

= +( )

=

+( )

5

5

5 5

5 5

5 5

55

3

23

3 23

23

23=

=

=

2

7

2 7

7 7

2 7

7=

=

7

a) 2

7b)

5

5c)

3

5 23

ejemplo 9

MUCHO OJOPara racionalizar el denomi-nador de una expresin:

Si es de la forma

multiplicamos el numeradory el denominador por .

Si es de la forma

conn > m, multiplicamos el

numerador y el denomina-

dor por .

Si es de la forma

o , multiplica-mos el numerador y el de-nominador por la expresinconjugada correspondiente.

bn mn

a bmn

b

a b

a b

a b


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31


6 Ecuaciones de primer grado con dosincgnitas

Ahora, ampliaremos el estudio de las ecuaciones: trataremos las de primergrado con dos incgnitas.

Observa cmo procedemos para traducir la siguiente frase al lenguaje al-gebraico:

El triple de un nmero ms otro nmero es igual a 5.

En la ecuacin obtenida, 3x+y= 5, aparecen dos incgnitas (xey) con ex-ponente 1. Es una ecuacin de primer grado con dos incgnitas.

Una ecuacin es de primer grado con dos incgnitas si, una vez efec-tuadas las operaciones y reducidos sus trminos semejantes, aparecendos incgnitas cuyo mximo exponente es 1.

Veamos si la ecuacin anterior, 3x+y= 5, se cumple al dar diferentes valo-res axey.

Observamos que la igualdad slo se verifica para algunos pares de valoresdexey.

Una solucin de la ecuacin es cada par de valores numricos de las in-cgnitas que hacen cierta la igualdad.

As, el par de valoresx=1,y= 8 es una solucin de la ecuacin anterior.

Una ecuacin es una igual-

dad entre dos expresiones

algebraicas.

Segn los valores de las in-

cgnitas, la igualdad pue-de cumplirse o puede no

cumplirse.

MUCHO OJO

Escogemos las letras con las que represen-taremos las incgnitas.

xpara el primer nmero

ypara el segundo nmero

Traducimos al lenguaje algebraico la primeraparte del enunciado.

El triple del primer nmero:

3x

Traducimos al lenguaje algebraico la segunda

parte del enunciado.

El segundo nmero:

y

Escribimos la ecuacin correspondiente alenunciado completo.

3x+y= 5

x yPrimer miembro

(3x)

Segundo miembro

(y)Se cumple la

igualdad?

1

2

8

4

3

6

8

4

S

No

Actividades Redacta un enunciado que pueda expresarse algebraicamente mediante unaecuacin de primer grado con dos incgnitas.

Escribe la ecuacin que corresponde al enunciado.

45


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32


Resolucin

Para hallar soluciones de una ecuacin de primer grado con dos incgni-tas procederemos del siguiente modo:

Observamos que los pares de valoresx= 2,y= 11;x= 1,y= 8;x= 0,y= 5;

x= 1,y= 2;x= 2,y= 1 son soluciones de la ecuacin.

Representacin grfica de las soluciones

Las soluciones de una ecuacin de primer grado con dos in-cgnitas pueden representarse grficamente en un sistema decoordenadas cartesianas. Para ello, asignamos a cada parde valoresxeyque sean solucin de la ecuacin el punto

del plano que tiene estos valores por coordenadas: (x, y).

Si pudiramos obtener todas las soluciones de la ecua-

cin 3x+y= 5 y las representramos grficamente, ob-tendramos la recta de la figura de la derecha.

Fjate en que la representacin grfica de las soluciones

de una ecuacin de primer grado con dos incgnitas es unarecta.

Para cada valor arbitrario de

xpodemos obtener un va-

lor dey.

Comoxpuede tomar cual-

quier valor, una ecuacin de

primer grado con dos in-

cgnitas tiene infinitas so-

luciones.

FJATE

-1-1-2-3-4-5-6-7-8-9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-2

-3

-4

-5

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

y

x

Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enun-ciado.

La suma del doble de un nmero ms otro nmero

es igual a 4.

Haz una tabla con cinco soluciones de la ecua-

cin obtenida. A continuacin, represntalas.

Representa grficamente las soluciones de estasecuaciones.

a) 2y= 3x+ 4 b) 2( x+ 1) =y+ 3

Encuentra las soluciones de la siguiente ecua-

cin 3x 2(y 3) = 5 para estos valores.

En la grfica siguiente hemos representado las

soluciones de la ecuacin 3y= 2x+ 5.

Copia el plano, seala tres puntos de la recta y com-

prueba que sus coordenadas correspondan a

soluciones de la ecuacin.y y y= = =1 1

22; ;

48

47

46

Actividades

-1-1-2-3-4-5-6-7-8

1

2

3

4

5

-2

-3

-4

1 2 3 4 5 6 7 80

y

x

EjemploProcedimiento

Para ello, transponemos el primer tr-

mino.y= 5 3x

x y x=

=

=

=

5 3

2 5 3 2 11

1 5 3 1 8

0 5 3 0 5

1 5

( )

( )

33 1 2

2 5 3 2 1

=

=

Despejamos una de las incgnitas, por

ejemplo lay.

Asignamos valores cualesquiera a la

otra incgnita,x, para calcular, a con-tinuacin, los correspondientes a

lay.

De este modo, podemos construir una

tabla de soluciones.


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33


7 Sistemas de ecuaciones

Puede darse el caso de que dos ecuaciones deban cumplirse al mismo tiem-po. Lee el siguiente enunciado:

La suma de dos nmeros es igual a 5. Adems, al restar 4 al doble del pri-mer nmero, obtenemos el segundo.

Nos hacen falta dos ecuaciones para traducirlo al lenguaje algebraico.

Estas dos ecuaciones que deben cumplirse a la vez constituyen unsiste-ma de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones se escribe agrupando las ecuaciones que lo for-man con una llave.

Acabamos de ver que una ecuacin de primer grado con dos incgnitastiene infinitas soluciones, pero debemos determinar cuntos valores de lasincgnitas verifican simultneamente las dos ecuaciones.

Cada par de valoresxeyque verifica simultneamente todas las ecuaciones

de un sistema es una solucin del sistema.

Del mismo modo que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen lasmismas soluciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tie-nen las mismas soluciones.

As, los sistemas de ecuaciones:

son equivalentes puesto que tienen las mismas soluciones.

2 6

3 3 18

5 2 24

11 5 54

x y

x y

x y

x y

=

+ =

+ =

+ =

x y

x y

+ =

=

5

2 4

Expresa, en tu cuaderno, el siguiente enunciado mediante un sistema deecuaciones: La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su pa-dre y hace seis aos era siete veces menor.

Comprueba si el par de valores (7, 5) es una solucin del siguiente sis-tema de ecuaciones.

3 4 7

7 8 105

x y

x y

=

+ =

50

49

Actividades

La suma de dos n-meros es igual a 5.

El doble del primeromenos 4 es igual al se-gundo.

x y

x y

+ =

=

5

2 4

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que de-ben verificarse simultneamente.


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34


7.1. Resolucin grfica

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores delas incgnitas que verifiquen a la vez todas las ecuaciones.

La resolucin grfica de un sistema de ecuaciones de primer grado condos incgnitas consiste en representar las rectas correspondientes a las

soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Los puntos comu-nes a ambas rectas nos proporcionarn las soluciones del sistema.

Sepamos ahora cmo resolver grficamente el sistema planteado en la p-gina anterior.

Halla grficamente la solucin del siguiente sistema.

En primer lugar, despejamos yen la primera ecua-cin. En la segunda ecuacin no es necesario ha-

cerlo.

Construimos una tabla de soluciones de cada ecua-

cin asignando valores arbitrarios a xy calculando

los correspondientes a la y.

Representamos grficamente las soluciones de cada

una de las ecuaciones en un sistema de coorde-

nadas cartesianas.

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), por lo que

x= 3,y= 2 es la solucin del sistema.

Comprobamos el resultado obtenido. Para ello, sus-

tituimos los valores encontrados en las dos ecua-

ciones y verificamos que se cumplen.

Primera ecuacin Segunda ecuacin

x +y= 5 2x 4 =y

3 + 2 = 5 2 3 4 = 2

5 = 5 2 = 2

y x

y x

=

=

5

2 4

ejemplo 10

-1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

12

3

4

5

6

7

8

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

y

x

Representa grficamente las soluciones de lasecuaciones de los siguientes sistemas.

Escribe la solucin de cada sistema y com-prubalas.

Resuelve grficamente estos sistemas.

Comprueba las soluciones.

Se trata de dos sistemas equivalentes?

a b) )2 0

3 7

3 2 18

2 6 12

x y

x y

x y

x y

=

+ =

+ =

=

52

a b) )2 3 1

2 11

2 3 11

2 2

x y

x y

x y

x y

=

+ =

+ =

=

51

Actividades

x y

x y

+ =

=

5

2 4

xPrimera ecuacin

y= 5 xx

Segunda ecuacin

y= 2x 4

3 5 (3) = 8 2 2 ( 2) 4 = 8

1 5 (1) = 6 0 2 0 4 = 4

1 5 1 = 4 1 2 1 4 = 2

3 5 3 = 2 4 2 4 4 = 4


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35


7.2. Mtodos algebraicos

La resolucin grfica de sistemas puede ser imprecisa en caso de que las so-luciones no sean nmeros enteros.

As, para resolver sistemas, se utilizan habitualmente los denominados m-todos algebraicos:mtodo de sustitucin, mtodo de igualacin ymtodode reduccin.

Mtodo de sustitucin

Para resolver un sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin, enprimer lugar despejamos una de las incgnitas en una de las ecuaciones ysustituimos la expresin obtenida en la otra ecuacin.

Veamos el proceso de resolucin de un sistema por este mtodo.

Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de sustitucin.

Resuelve este sistema por el mtodo de sustitucin y por el mtodo grfi-co. Comprueba que obtienes la misma solucin.

2 3 7

2 2

y x

y x

=

=

54

a b) )5 8 13

2 3 4

5 3

2 0

x y

x y

x y

x y

=

=

=

+ =

53

Actividades

Ejemplo :3 2 11

2 5 11

x y

x y

=

=

Procedimiento

x y= +11 23

Despejamos xen la primera ecuacin.

211 2

35 11

+

=

yy

Sustituimos la xde la segunda ecua-cin por la expresin obtenida.

x= +

= +

=

= +

=

=

11 2

3

11 2 1

3

11 2

3

9

33

y Sustituimos el valor de y hallado enla expresin donde aparece despe-

jada x.

x= 3,y= 1Escribimos la solucin del sistema.

+ =

+

=

22 4

35 11

322 4

35 3 11

22

yy

yy ( )

++ =

= +

=

=

4 15 33

4 15 33 22

11 11

1

y y

y y

y

y

Resolvemos la ecuacin resultante,que es una ecuacin de primer gra-do con una incgnita.


36/208

36


Mtodo de igualacin

Este mtodo consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuacio-nes e igualar las expresiones obtenidas.

Observa el procedimiento que seguimos para resolver un sistema por elmtodo de igualacin.

Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de igualacin.

Soluciona este sistema grficamente y por el mtodo de igualacin. Com-prueba que obtienes el mismo resultado.

Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de igualacin y por el mtodode sustitucin.

2 2 8

3 2 11

x y

x y

+ =

+ =

57

2 3 1

2 11

x y

x y

=

+ =

56

a b) )y x

y x

y x

y x

=

+ =

=

+ =

3

2 3 16

2 3 6

8

55

Actividades

Ejemplo : 3 2 112 5 11x y

x y

=

=

Procedimiento

3 2 1111 2

3

2 5 1111 5

2

x y xy

x y xy

= = +

= = +

Despejamosxen las dos ecuaciones.

+=

+11 2

3

11 5

2

y yIgualamos las expresiones obtenidas.

x= +

= +

=

= + = =

11 2

3

11 2 1

3

11 23

93

3

y Sustituimos el valor deyhallado encualquiera de las dos expresiones en

que aparece despejadax.

x= 3,y= 1Escribimos la solucin del sistema.

611 2

3 611 5

2

2 11 2

+

=

+

+ =

y

y

y

( ) 33 11 5

22 4 33 15

4 15 33 22

11

( ) +

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Texto de Estudiante 10mo EGB Matematica