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7/21/2019 These_VF_Ayan_Mahamoud_Diagnostic.pdf

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COLE CENTRALE DE NANTES

COLEDOCTORALE

SCIENCES ETTECHNOLOGIESDE LINFORMATION ET DEMATHEMATIQUES

Anne : 2010 No B.U. :

Thse de Doctorat

Spcialit : Automatique et Informatique AppliquePrsente et soutenue publiquement par :

Ayan MAHAMOUD MOHAMED

le 21 juillet 2010 lcole Centrale de Nantes

TITRE

OBSERVATION ET DIAGNOSTIC DE PROCESSUS INDUSTRIELSA MODELE NON LINEAIRE

APPLICATIONS AUX MACHINES LECTRIQUES

Jury

Prsident F. PLESTAN Professeur des Universits, IRCCyN, cole Centrale de NantesRapporteurs G. BESANCON Matre de Confrences, HDR, GIPSA-LAB, INP Grenoble

V. COCQUEMPOT Professeur des Universits, LAGIS, Universit de LilleExaminateurs J.De LEON Professeur des Universits, FIME, UANL, Monterrey, Mexique

A. GLUMINEAU Professeur des Universits, IRCCyN, cole Centrale de NantesI. SOULEIMAN Matre de Confrences, CRUD, Universit de Djibouti

Invits E. SCHAEFFER Matre de Confrences, IREENA, Universit de Nantes

Directeur de thse : Alain GLUMINEAU

Laboratoire : IRCCyN, Ecole Centrale de NantesCo-Encadrant : Ibrahim SOULEIMAN

Laboratoire : CRUD, Universit de Djibouti

No ED : 503-092

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Waxbarashadu waa dhaxal u hadha aadmiga. Wuxuu ka dhashaa laba shay : hadafshakhsi iyo hadaf siyaasadeed oo waxbarasho. Kagungaadh kiisu u curiyay fursado.

Lducation est un hritage pour lHumanit. Son rsultat est la conjugaison de deuxchoses : un objectif personnel et une politique dducation qui crent des opportunits.

N. BOULHAN.

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... mes grands-parents Mohamed Barreh, Boulhan Houssein, Hawa Elmi et FatoumaCheick Egueh.

... mon pre, ma mre, mon frre et ma soeur.

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4

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Table des matires

Avant-propos v

Notations vii

1 Introduction Gnrale 11.1 Contexte et Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Organisation du rapport de thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Partie I pistmologie et tat de lart : Diagnostic et Obser-vation de systmes 5

2 Diagnostic de Systmes 72.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quelques Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Caractrisation de dfauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Principe du diagnostic : Dtection et Isolation des dfauts . . . . . . . . . 112.3.1 Dtection de dfauts - Problme Fondamental de la Gnration de

Rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Isolation de dfauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Procdures Post-Diagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Mthodes bases sur le modle pour la gnration de rsidus . . . . 16

2.4 Robustesse et Performance dun algorithme FDI . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Observation et Observabilit des Systmes 193.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Observabilit des systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Observateurs pour systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Observateur de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Observateur de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Observabilit des systmes non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Observation de systmes non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.1 Observateurs tendus/gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.2 Observateur grand gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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ii TABLE DES MATIRES

Partie II Diagnostic Par Observateurs : Applications aux ma-chines lectriques 28

4 Mthodologie du diagnostic par des observateurs non linaires 314.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Problmatique et modle dtat non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Modle dtat non linaire avec dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Diagnostic base dobservateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.1 Observateur de type Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Observateur Grand Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Diagnostic de machines lectriques avec capteur mcanique 475.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Diagnostic de dfauts dune machine courant continu srie . . . . . . . . 48

5.2.1 Modle de la machine courant continu srie . . . . . . . . . . . . 485.2.2 Commande PI de la machine courant continu srie . . . . . . . . 505.2.3 Synthse de lobservateur de type Kalman . . . . . . . . . . . . . . 525.2.4 Analyse de la stabilit en boucle ferme . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.5 Diagnostic de dfauts dune machine courant continu srie . . . . 555.2.6 Rsultats de simulation "observateur+commande" pour le diagnostic 58

5.3 Observation et Diagnostic de dfauts dune machine asynchrone avec capteur 645.3.1 Modle dtat dans le repre tournant dq . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.2 Modle de la machine asynchrone avec dfaut . . . . . . . . . . . . 665.3.3 Observateur Grand Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Diagnostic de dfauts dune machine asynchrone avec capteur . . . . . . . 775.4.1 Benchmark pour le diagnostic de la machine asynchrone . . . . . . 775.4.2 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Diagnostic de machines lectriques sans capteur mcanique 856.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Observation et Diagnostic de dfauts dune machine asynchrone sans capteur 87

6.2.1 Modle dtat dans le repre tournant dqli au flux rotorique . . . 876.2.2 Observateur Grand Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Diagnostic de dfauts dune machine asynchrone sans capteur . . . . . . . 906.4 Stratgie pour le Diagnostic de dfauts avec incertitudes paramtriques

dune machine asynchrone sans capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4.1 Modle dtat tendu dans le repre tournant dqli au flux rotorique 976.4.2 Observabilit de la machine asynchrone sans mesure de vitesse . . 996.4.3 Cas 1 : = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4.4 Cas 2 : s= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4.5 Cas 3 : rd = rq =s= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.6 Cas 4 : rd =

rq =s= 0et

= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.7 Stratgie robuste de dtection des dfauts . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.8 Stratgie robuste disolation des dfauts . . . . . . . . . . . . . . . 108

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TABLE DES MATIRES iii

6.5 Synthse dobservateurs et destimateurs pour le Diagnostic de dfautsdune machine asynchrone sans capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.1 Synthse du quasi-estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5.2 Synthse des observateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.6 Diagnostic robuste de dfauts dune machine asynchrone sans capteur . . . 113

6.6.1 Benchmark pour le diagnostic de la machine asynchrone . . . . . . 1136.6.2 Rsultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Conclusions et Perspectives 123

Partie III Annexes 126

A Observabilit de la machine asynchrone sans capteur mcanique 129

A.1 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.2 Cas 1 : = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.3 Cas 2 :s= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.4 Cas 3 : rd = rq =s= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A.5 Cas 4 : rd = rq =s= 0et = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Rsultats de simulation - Comparaison des performances des observa-teurs de type Kalman et Grand gain - Tests de robustesse 143B.1 Influence des incertitudes paramtriques sur la reconstruction de la vitesse 144B.2 Comparaison des performances des observateurs et des quasi-estimateurs . 145

B.2.1 5 spires en court-circuit sur la phase a . . . . . . . . . . . . . . . . 145B.2.2 15 spires en court-circuit sur la phasec . . . . . . . . . . . . . . . . 149B.2.3 26 spires en court-circuit sur la phasec . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B.3 Tests de robustesse de lestimation deRspour 5 spires en court-circuits surla phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.3.1 Variation de+50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.3.2 Variation de50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.4 Tests de robustesse de lestimation de Rs pour 12 spires en court-circuitssur la phase b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163B.4.1 Variation de+50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163B.4.2 Variation de

50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

B.5 Tests de robustesse de lestimation de Rs pour 15 spires en court-circuitssur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.5.1 Variation de+50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.5.2 Variation de50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.6 Tests de robustesse de lestimation de Rs pour 26 spires en court-circuitssur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B.6.1 Variation de+50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B.6.2 Variation de50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Bibliographie 184

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iv TABLE DES MATIRES

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Avant-propos

Les travaux prsents dans cette thse ont t effectus lcole Centrale de Nantes, ausein de lquipe Commande de lInstitut de Recherche en Communications et Cybern-tique de Nantes (IRCCyN).Cette thse sintitule "Observation et Diagnostic de processus industriels modle

non linaire". Ces travaux portent sur lapplication du diagnostic par observateurs nonlinaires aux machines lectriques.

Ces travaux de recherche nauraient pu aboutir sans les changes prcieux aveclensemble des acteurs de la recherche lIRCCyN en particulier, lUniversit deDjibouti, lUniversit de Nantes et lcole Centrale de Nantes en gnral. Je souhaiteremercier ceux qui ont contribu de prs ou de loin la russite et la bonne ralisa-tion de ces travaux. Quils trouvent trace dans ce mmoire de ma profonde reconnaissance.

Mes premiers remerciements vont tout naturellement lendroit de mon directeur

de thse, Alain GLUMINEAU, Professeur lEcole Centrale de Nantes, pour sonencadrement constant et son appui-conseil. Je lui suis reconnaissante de la confiancedont il ma toujours tmoign. Je ne pouvais souhaiter meilleur encadrement car tout entant prsent, il ma laiss une autonomie de rflexion certaine. Je remercie galementIbrahim SOULEIMAN, Matre de Confrences lUniversit de Djibouti, co-encadrantde ma thse qui a cru ds le dpart mon projet et ma soutenue dans ce sens.

Je remercie Jesus DE LEON MORALES, Professeur lUniversit Nuevo Leon auMexique, et Emmanuel SCHAEFFER, Matre de Confrences lUniversit de Nantesqui mont fait lhonneur de participer mon jury de thse. Nos discussions enrichissantes

et leurs nombreuses propositions ont amen un certain clairage sur mes travaux.

Jexprime ma profonde gratitude Frank PLESTAN, Professeur lEcole Centrale deNantes, pour avoir accept la prsidence du jury.

Pour avoir accept la lourde tche de rapporteurs de ces travaux, je remercie VincentCOCQUEMPOT, Professeur des Universits lUniversit de Lille et Gildas BESAN-CON, Matre de Confrences lInstitut National Polytechnique de Grenoble. Je lesremercie pour leur disponibilit et de lintrt port mes travaux. Nos entretiens ontsans conteste contribu la bonne lisibilit de ce mmoire.

Je remercie Jean-Franois LAFAY, Michel MALABRE et Claude MOOG, pour mavoirreue lIRCCyN et accueillie au sein de lquipe Commande.

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vi Avant-propos

Je tiens exprimer toute ma sympathie aux personnes qui composent lquipe Commandede lIRCCyN ainsi quaux membres qui constituent le groupe Inter GDR MACS-SEEDS

CSE Commande des Systmes lectriques (ex CE2 : Commande des Entranementslectriques). Merci Luc, Malek et Demba pour les nombreux et fructueux changes.

Je remercie chaleureusement Robert BOISLIVEAU pour son aide lors de la mise enoeuvre exprimentale. Je dis un grand merci Halima, Maryam, Patricia, Idil, Kadra,mily, Armelle, Sylvie, Souad, Hawa et Malika qui, Nantes ou Djibouti, noussimplifient considrablement les tches administratives.

Ces trois annes ont t loccasion de riches rencontres. Je remercie particulirementMarwa, Araceli et Rola pour les expriences pas toujours scientifiques, quelquefois

linguistiques, bien souvent gastronomiques et pour tous les fous-rires partags. Merci tous les doctorants pour ces moments de dtente : Dramane, Tao, Runmin, Carlos,Sbastien, milie, Thomas, Cline, Louay, Adrien, Dominique, Denis. Je vous souhaite tous bonne continuation. Je ne manquerais pas non plus de remercier mes collgues delUniversit de Djibouti.

Je ne peux terminer cet avant-propos sans avoir une pense ma famille. ma famille nantaise tout dabord, liane, Alain, Mathieu et Graldine, je vous suisprofondment reconnaissante pour tous ces moments chaleureux et conviviaux, pourvotre soutien et vos encouragements.

Enfin, je voudrais tmoigner ici de tout mon amour et mon affection :

Mes trs chers parents, grce Dieu, je vous dois TOUT. Pour croire en chacun de mesprojets, soient-ils les plus fous, pour votre soutien, votre force et vos encouragements, jevous dis merci. Je vous suis reconnaissante. Vous tes mon inspiration.

Mon adorable frre, solide et tendre roc, je te remercie pour ta prsence et tes conseilsplus quaviss.

Ma soeur, indfectible soutien, attentive et attentionne. Tu es, avec papa, maman et el

pequeo, ce que jai de plus cher au monde.

vous je ddie donc cette thse.

ma Famille.

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Notations

Machine courant continu srie: vitesse mcanique ;

i: courant;

u: tension de commande ;

l : couple de charge;

R: rsistance ;

La : inductance de linduit ;

Lf : inductance de linducteur ;

L= La+ Lf : inductance ;

Km : coefficient caractristique du moteur;J: inertie du moteur;

D : coefficient de friction visqueuse;

Machine asynchroneus=

usa, usb, usc

T: tensions statoriques triphases ;

ur = ura, urb , urcT : tensions rotoriques triphases ;is =

isa, isb, isc

T: courants statoriques triphass ;

ir =

ira, irb , ircT

: courants rotoriques triphass ;

s=

sa, sb, scT

: flux magntiques au stator ;

r =

ra, rb , rcT

: flux magntiques au rotor ;

us,=

us, us

T

: tensions statoriques diphases dans le repre fixe (, ) ;

is,=

is, isT

: courants statoriques diphass dans le repre fixe (, ) ;

ur,=

ur, urT

: tensions rotoriques diphases dans le repre fixe (, ) ;

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viii Notations

ir,=

ir, irT

: courants rotoriques diphass dans le repre fixe (, ) ;

s,= s, sT

: flux statoriques diphass dans le repre fixe (, ) ;

r,=

r, rT

: flux rotoriques diphass dans le repre fixe (, ) ;

usdq =

usd, usqT

: tensions statoriques diphases dans le repre tournant (d,q) ;

isdq =

isd, isqT

: courants statoriques diphass dans le repre tournant (d,q) ;

urdq =

urd, urqT

: tensions rotoriques diphases dans le repre tournant (d,q) ;

iscdq =

iscd, iscqT

: courants statoriques diphass de court-circuit dans le repre tournant

(d,q);rdq =

rd, rq

T : rsidus sur les courants statoriques diphass dans le repre tournant

(d,q);sdq =

sd, sq

T: flux statoriques diphass dans le repre tournant (d,q) ;

rdq =

rd, rqT

: flux rotoriques diphass dans le repre tournant (d,q) ;

Las, Lar : inductances statoriques et rotoriques propres ;

Mas : inductance mutuelle entre deux phases stator ;

Mar : inductance mutuelle entre deux phases rotor ;

Rs, Rr : rsistances statorique et rotorique ;

Ls= Las Mas : inductance statorique cyclique;Lr =Lar Mar : inductance rotorique cyclique ;Msr =

32

M: inductance mutuelle cyclique stator et rotor ;

Rs, Rr : matrices diagonales des rsistances statoriques et rotoriques ;

Ls, Lr : matrices des inductances statoriques et rotoriques ;

Lsr : matrices des mutuelles inductances stator, rotor ;

J : moment dinertie (moteur asynchrone+charge) ;

fv : coefficient de frottements visqueux ;

fs : coefficient de frottements secs ;

Tl : couple de charge ;

p: nombre de paires de ples ;

: vitesse mcanique de rotation du rotor ;

p: pulsation lectrique correspondante la vitesse de rotation ;

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x Notations

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Table des figures

2.1 Classification (a, b, c) et modlisation (d, e) des dfauts. . . . . . . . . . . . . 112.2 Principe du diagnostic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Logique de Diagnostic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Allure du signal rsidu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1 Ensemble systme - observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Condition de dtection des dfauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Comportement de la dynamique de lerreur destimation en cas de dfauts. . . . 41

5.1 Trajectoires de rfrence pour la vitesse, le dfaut det la perturbation l. . . . 605.2 Vecteur courant i et vitesse mesurs et observs. . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Rsidus du courant et de la vitesse. Couple de chargel observ et de rfrence.. 615.4 Courant i et vitesse mesurs et observs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5 Paramtres de la machine (R, L) estims et couple de charge l. . . . . . . . . . 625.6 Vecteur des erreurs pour les paramtres (R, L) et le couple de charge l. . . . . 635.7 Trajectoire de rfrence vitesse, couple de charge et flux.. . . . . . . . . . . . . 805.8 Vecteur courantsidq et de la vitesse mesurs et observs. . . . . . . . . . . . 805.9 Couple de chargeTl de rfrence et observ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.10 Rsidus sur les courants isdq et amplitude du dfaut court-circuit simul d. . . . 815.11 Amplitude du dfaut dsimul et estim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1 Trajectoires de rfrence vitesse, couple de charge et amplitude du dfaut.. . . . 926.2 Vecteur des courants mesurs et estimsidq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Vitesse de rfrence et observe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4 Couple de charge observ et de rfrence Tl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5 Amplitude du dfaut estim d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.6 Influence dune variation de50% de Rs sur Tl. . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.7 Influence dune variation de+50%de Rs sur Tl. . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.8 Trajectoires de rfrence vitesse, couple de charge et dfaut appliqu. . . . . . . 1166.9 Courants idq mesurs et observs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.10 Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs. . . . . . . . . . . . . 1176.11 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.12 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.13 Amplitude du dfaut destim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.14 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation. . . . . . . 119

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xii TABLE DES FIGURES

B.1 Influence dune variation de50% de Rs sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B.2 Influence dune variation de+50%de Rs sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B.3 Trajectoires de rfrence vitesse, couple de charge et dfaut appliqu cc de 5

spires (a).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145B.4 Vecteur courants idq mesurs et observs cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . 146B.5 Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs cc de 5 spires (a). . . 146B.6 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . 147B.7 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . 147B.8 Amplitude du dfautdestim cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . . . . 148B.9 Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation cc de 5

spires (a).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

B.10Trajectoires de rfrence vitesse, couple de charge et dfaut appliqu cc de 15spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

B.11Vecteur courants idq mesurs et observs cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . 149B.12Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs cc de 15 spires (c). . . 150B.13Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . 150B.14Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . 151B.15Amplitude du dfaut destim cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . 151B.16Comparaison des rsidus sur les courantsisdq gnrs par observation cc de 15

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152B.17Trajectoires de rfrence vitesse, couple de charge et dfaut appliqu cc de 26

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152B.18Vecteur courants idq mesurs et observs cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . 153B.19Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs cc de 26 spires (c). . . 153B.20Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . . . 154B.21Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . 154B.22Amplitude du dfaut destim cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . 155B.23Comparaison des rsidus sur les courantsisdq gnrs par observation cc de 26

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155B.24Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de +50% sur Rs cc de 5

spires (a).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156B.25Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de +50%

sur Rs cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157B.26Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ - Variation de +50%sur Rs cc de 5 spires (a).157B.27Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ - Variation de +50%surR

s cc de 5 spires(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158B.28Amplitude du dfaut destim - Variation de +50%sur Rs cc de 5 spires (a). . 158

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TABLE DES FIGURES xiii

B.29Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variationde+50% sur Rs cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.30Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de

50% sur Rs cc de 5

spires (a).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159B.31Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de50%

sur Rs cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160B.32Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ - Variation de50%sur Rs cc de 5 spires (a).160B.33Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ - Variation de 50%surRs cc de 5 spires(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

B.34Amplitude du dfaut destim - Variation de50% sur Rs cc de 5 spires (a). . 161B.35Comparaison des rsidus sur les courants i

sdqgnrs par observation - Variation

de50% sur Rs cc de 5 spires (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162B.36Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de +50%sur Rs cc de 12

spires (b).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163B.37Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de +50%

sur Rs cc de 12 spires (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164B.38Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ - Variation de +50%sur Rs cc de 12 spires

(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164B.39Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ - Variation de +50% sur Rs cc de 12spires (b).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

B.40Amplitude du dfaut destim - Variation de +50%sur Rs cc de 12 spires (b). 165B.41Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variation

de+50% sur Rs cc de 12 spires (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166B.42Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de50% sur Rs cc de 12

spires (b).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166B.43Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de50%

sur Rs cc de 12 spires (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167B.44Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 12 spires(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

B.45Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de typeKalman et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 12spires (b).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.46Amplitude du dfaut destim - Variation de50% sur Rs cc de 12 spires (b). 168B.47Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variation

de50% sur Rs cc de 12 spires (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.48Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de +50%sur Rs cc de 15

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.49Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de +50%

sur Rs cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

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xiv TABLE DES FIGURES

B.50Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur GrandGain et le quasi-estimateur associ - Variation de +50%sur Rs cc de 15 spires

(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B.51Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de typeKalman et le quasi-estimateur associ - Variation de +50% sur Rs cc de 15

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172B.52Amplitude du dfaut destim - Variation de +50%sur Rs cc de 15 spires (c). . 172B.53Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variation

de+50% sur Rs cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.54Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de50% sur Rs cc de 15

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.55Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de50%

sur Rs cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B.56Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur GrandGain et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 15 spires(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

B.57Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de typeKalman et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 15spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.58Amplitude du dfaut destim - Variation de50% sur Rs cc de 15 spires (c). . 175B.59Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variation

de50% sur Rs cc de 15 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176B.60Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de +50%sur Rs cc de 26

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B.61Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de +50%sur Rs cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

B.62Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur GrandGain et le quasi-estimateur associ - Variation de +50%sur Rs cc de 26 spires

(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178B.63Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ - Variation de +50% sur Rs cc de 26

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179B.64Amplitude du dfaut destim - Variation de +50%sur Rs cc de 26 spires (c). . 179

B.65Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par observation - Variationde+50% sur Rs cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180B.66Vecteur courants idq mesurs et observs - Variation de50% sur Rs cc de 26

spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180B.67Vitesse et couple de charge Tl de rfrence et observs - Variation de50%

sur Rs cc de 26 spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181B.68Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur Grand

Gain et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 26 spires(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B.69Comparaison des rsidus sur les courants isdq gnrs par lobservateur de type

Kalman et le quasi-estimateur associ - Variation de50% sur Rs cc de 26spires (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182B.70Amplitude du dfaut destim - Variation de50% sur Rs cc de 26 spires (c). . 182

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xvi TABLE DES FIGURES

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Liste des tableaux

2.1 Table de signature pour le cas de dfauts multiples. . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Paramtres de la machine courant continu srie . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Paramtres de la machine asynchrone (rotor cage dcureuil) . . . . . . . 79

6.1 Performances des observateurs et des quasi-estimateurs pour lisolation des dfauts1146.2 Performances des observateurs et des quasi-estimateurs pour lisolation des d-

fauts - Variation de +50%sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3 Performances des observateurs et des quasi-estimateurs pour lisolation des d-

fauts - Variation de50% sur Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4 Performances globales des observateurs et des quasi-estimateurs - Compromis

entre dtection, isolation et commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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xviii LISTE DES TABLEAUX

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Chapitre 1

Introduction Gnrale

1.1 Contexte et Objectifs

Les systmes industriels se complexifient avec lautomatisation des processus. Malgrcette complexit, ils doivent assurer les fonctions pour lesquelles ils ont t conuset notamment la sret de leur fonctionnement. Cela signifie assurer la fiabilit, lamaintenabilit, la disponibilit et la scurit.

LAFNoR (Association Franaise de Normalisation) dfinit la fiabilit comme laptitudedune entit accomplir une fonction requise, dans des conditions donnes, pendant unedure donne. La maintenabilit est laptitude dune entit tre maintenue ou rtablie

dans un tat dans lequel elle peut accomplir une fonction requise, lorsque la maintenanceest accomplie dans des conditions donnes, avec des procdures et des moyens prescrits.La disponibilit correspond laptitude tre en tat daccomplir une fonction requisedans des conditions donnes et un instant donn. Quant la scurit, cest laptitudedune entit viter de faire apparatre, dans des conditions donnes, des vnementscritiques ou catastrophiques.

Un systme industriel qui a un fonctionnement sr doit pouvoir fonctionner sans causerde dommages pour et autour de lui. Amliorer leurs performances en termes de sret defonctionnement conduit alors llaboration de systmes de surveillance.

Un systme de surveillance ralise trois tches conscutives : la dtection, lisolation etlidentification. La dtection consiste indiquer si le systme fonctionne correctement ousi un dfaut est survenu. Lisolation vise dterminer la partie dfectueuse du systme.Lidentification consiste en la dtermination du type de dfaut afin de mettre en oeuvrele type de maintenance (corrective ou prventive) appropri au dfaut.

La ncessit du diagnostic de dfauts pour les systmes industriels a conduit audveloppement de nouvelles techniques. Parmi ces nouvelles techniques dveloppes,lautomatique industrielle introduit les notions dobservation des systmes.

Dans un but de commande (par exemple commande par retour dtat dynamique oustatique), lon peut avoir besoin de lintgralit de ltat. Cependant, pour des raisons

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2 Introduction Gnrale

techniques (exemple flux de la machine asynchrone) ou conomiques (cot des capteurs),cela ne peut pas toujours se faire. Ainsi, sont alors utilises des techniques dobservationdu systme considr qui consistent en lestimation des grandeurs non mesures de ce

systme partir des grandeurs mesures.

Un observateur est un systme auxiliaire qui permet destimer de faon dynamique ltat.Dans la majorit des cas un observateur est utilis dans un but de commande. Il peutaussi tre utilis dans le domaine de la dtection et de lisolation de dfauts [36, 83], ouencore pour filtrer des mesures bruites.

Les techniques de synthse dobservateurs diffrent suivant les classes des systmesauquels ces observateurs sont associs. Les observateurs peuvent tre de type discret [49],linaire [63] ou non linaire [4, 16, 104]. Leurs applications sont tout aussi multiples :

elles vont de llectrotechnique [3, 22, 98, 97] la robotique [17, 78] en passant par labiologie [15, 100].

Nous dveloppons dans nos travaux lutilisation des observateurs pour le diagnostic dessystmes non linaires. Nous souhaitons satisfaire deux objectifs paradoxaux au seulmoyen dobservateurs non linaires. Lobjectif souhait est de diagnostiquer les dfauts in-dpendamment des perturbations. Nous dfinissons tout dabord une stratgie robuste dediagnostic. Cette stratgie repose sur le dcouplage des dfauts et des perturbations. Unetransformation sera donc applique aux quation du systme. Elle permet de dcouplerdfauts et perturbations. Grce cette dernire, le diagnostic sera rendu aussi robuste

que possible vis--vis des perturbations et aussi sensible que possible vis--vis des dfauts.Par la suite, des observateurs seront synthtiss pour le systme dcoupl. Les observa-teurs serviront dune part la commande mais aussi au diagnostic. Ils devront donc tresensibles aux dfauts pour le diagnostic tout en tant robustes pour la commande. Cestsur ltude de ce paradoxe "Robustesse-Sensibilit" que reposent les travaux dveloppsdans cette thse. En outre, cette tude se fera avec la contrainte suivante : pas decapteurs supplmentaires autre que ceux existants pour la commande. Nous validonsensuite la stratgie dfinie pour le diagnostic et la commande laide dobservateurs.Cette validation consiste en lapplication de la stratgie travers des simulations surdiffrents types de machines lectriques avant une future mise en oeuvre exprimentale.

1.2 Organisation du rapport de thse

Le mmoire de thse se divise en deux parties. Il est organis de la manire suivante :

La premire partie rappelle dabord les avances que connat le diagnostic des systmespuis introduit dans un second temps les observateurs. Elle comprend deux chapitres.

Le diagnostic de systmes est abord dans le chapitre 2. La dfinition du diagnosticet son principe y sont tablis. Les diffrentes tapes du diagnostic dun systme sont

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1.2 Organisation du rapport de thse 3

aussi dveloppes et diffrentes mthodes pour la gnration de rsidus sont abordes :gomtrique, stochastique, base de modle. Enfin, les bases pour le diagnostic avec desobservateurs sont donnes de manire non exhaustive.

Le chapitre 3 pose le problme de lobservabilit dun systme. Des notions de basesrelatives la synthse dobservateurs pour des systmes linaires et non linaires sontdfinies. Ce chapitre comprend aussi un aperu des observateurs pour diffrentes classesde systmes parmi lesquels lobservateur non linaire de Luenberger tendu, lobservateurde type Kalman, lobservateur grands gains.

Les contributions de cette thse sont dveloppes dans la seconde partie de ce mmoirequi est constitue des chapitres 4, 5 et 6. Cette seconde partie comprend une nouvellemthode de diagnostic des systmes base dobservateurs non linaires ainsi que

diffrentes applications de cette mthode au diagnostic de systmes industriels, savoirles machines lectriques.

Dans le chapitre 4, une mthode de diagnostic base dobservateurs non linairesest nonce. Cette mthode est base sur une transformation sous forme affine enltat dun systme non linaire MIMO. Lobjectif souhait est double. Lobservateurdevra tre robuste pour la commande tout en tant sensible aux dfauts pour le diagnostic.

Le chapitre 5 montre lapplicabilit de la mthode au travers dexemples dapplications.La mthode expose au chapitre prcdent est mise en oeuvre dans ce chapitre pour lediagnostic de deux types de dfauts sur des machines lectriques, avec ou sans capteurde vitesse. La premire application est le diagnostic de dfauts multiplicatifs dunemachine courant continu srie. La deuxime application est le diagnostic de dfautscapteurs dune machine asynchrone, avec capteur de vitesse. Cette application se faitgrce un benchmark spcifique de dfauts statoriques. Ce benchmark Commande-Observation-Diagnostic se trouve sur la plateforme situe lIRCCyN. Linfluencede certains paramtres de la machine est mise en vidence pour ltude du paradoxe"Robustesse-Diagnostic".

Le chapitre 6 est ltude du diagnostic de dfauts dune machine asynchrone sans capteurde vitesse. Lobservateur utilis inclut une estimation des rsistances et sapplique ainsi

ltat tendu. En outre, afin de prendre en considration les incertitudes paramtriques,nous utilisons un estimateur coupl lobservateur. Par ailleurs, une solution de com-promis est propose dans ce chapitre pour ltude du paradoxe "Robustesse-Sensibilit"quand les observateurs sont utiliss non seulement pour le diagnostic de dfauts maisaussi pour la commande. Nous introduisons cet effet le concept nouveau de "quasi-estimateur".

" The process of scientific discovery is, in effect, a continual flight from wonder." -

Albert Einstein

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4 Introduction Gnrale

Ces travaux ont fait lobjet de plusieurs publications.

PUBLICATIONS EN CONGRES INTERNATIONAUX

(Mahamoud, 2010) : A. Mahamoud, A. Glumineau et I. Souleiman. On a NewStrategy for Induction Motors Fault Detection and Isolation, IEEE ICCA 2010, Xiamen,Chine, 9-11 Juin 2010.

(Mahamoud, 2009) : A. Mahamoud, A. Glumineau et I. Souleiman. FDI usingHigh Gain Observers for Cascade Systems : application to induction motors, ECC09,Budapest, Hongrie, 23-26 Aot 2009.

(Mahamoud, 2009) : A. Mahamoud, A. Glumineau et I. Souleiman. Methodologyfor nonlinear FDI Observer via Nonlinear Transformation : Application to a DC SerieMotor, The 7th IFAC International Symposium on Fault Detection, Supervision and Sa-fety of Technical Processes (Safeprocess 09), Barcelone, Espagne, Juin, 30 - 3 Juillet 2009.

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Premire partie

pistmologie tat de lart

Diagnostic et Observation de systmes

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Chapitre 2

Diagnostic de Systmes

Depuis longtemps, lintrt des scientifiques sest port sur le diagnostic des systmesindustriels. Plusieurs raisons peuvent expliquer lintrt de la communaut automati-cienne pour le diagnostic des systmes. Il est vident quun systme dfaillant aurades consquences lourdes pour la production industrielle voire encore plus lourdes pourlHomme comme pour lEnvironnement . Lon peut citer en exemples les catastrophesindustrielles de Bhopal, le 3 dcembre 1984 ou Tchernobyl, le 26 avril 1986.

Parce quun petit dfaut peut avoir de grandes consquences, le diagnostic des systmesindustriels est ncessaire !

Parce que les consquences de ces dgts peuvent affecter indiffremment non seulement

lEnvironnement mais aussi et surtout lHomme, et ce, court, moyen ou long terme, lasupervision des systmes industriels est ncessaire !

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques dfinitions concernant la supervision et lediagnostic. Puis nous nonons le principe du diagnostic des systmes et nous dcrivonsbrivement certaines mthodes appliques la dtection et lisolation de dfauts.

"Lhomme et sa scurit doivent constituer la premire proccupation de toute aventure

technologique ." - Albert Einstein

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8 Diagnostic de Systmes

2.1 Introduction

La complexit croissante des systmes industriels, leur utilisation de plus en plusfrquente rendent ncessaire le diagnostic des dfauts pouvant affecter le fonctionnementnormal de ces mmes systmes.

Le diagnostic dun systme matriel dsigne toute mthode permettant de dterminersi ce systme est affect par un dfaut quelconque et de discriminer lorigine du dfaut.Le diagnostic des systmes seffectue grce des algorithmes de dtection utilisant lesinformations releves par observation, contrles et tests.

Lintrt port au diagnostic des systmes date du dbut des annes 70. Beard (1971) et

Jones (1973) ont t les pionniers dans le domaine du diagnostic : ils ont pos les jalonsdu diagnostic et dfini la problmatique du diagnostic des systmes par observateur. Lespremires applications de ces travaux sur le diagnostic concernaient principalement lesindustries aronautique, arospatiale et chimique.

La raison dexister du diagnostic est la dfaillance. La finalit du diagnostic nestautre que la ncessit de systmes efficaces et srs, autrement dit plus fiables etrobustes face aux dfaillances. La dfaillance est dfinie comme tant "le rsultat dunmcanisme pathologique rationnel et explicable, d une ou plusieurs causes identifier".

Les mthodes dveloppes jusqualors pour le diagnostic des systmes industrielsconcernent le diagnostic des systmes linaires [69, 70]. Cependant, la majorit des sys-tmes prsents dans lindustrie sont non linaires. Il nexiste pas de mthodes gnralessystmatiques pour le diagnostic de tels systmes. Les mthodes dveloppes pour lediagnostic des systmes non linaires reposent le plus souvent sur une connaissance ducomportement du systme non linaire en question.

Les nombreuses mthodes proposes au fil des annes et des recherches peuvent treclasses selon quelles sont bases ou non sur la connaissance du modle mathmatique

du systme diagnostiquer.

Les approches floues [35, 57], base de rseaux de neurones [57] ou par analysestochatisque des signaux [105] ne sont pas considres comme des approches bases sur lemodle. Les approches bases sur le modle comprennent entre autres, les quations deparit [37, 41, 69, 75, 93], lidentification paramtrique [51, 60, 80, 103] et les observateurs[47, 48, 53, 72].

Nous rappelons dans la suite du chapitre, quelques dfinitions concernant la terminologie

du diagnostic et des dfauts. Nous expliquons, ensuite, le principe du diagnostic dessystmes de part les diffrentes tapes qui le composent.

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2.2 Quelques Dfinitions 9

2.2 Quelques Dfinitions

De manire gnrale, un systme industriel est compos de trois parties :

les actionneurs, le procd, les capteurs.

Les dfauts peuvent survenir sur chacune de ces trois parties.

Selon le Comit Technique de lInternational Federation of Automatic Control (IFAC)Safeprocess [52], un dfaut est une dviation non permise dau moins une proprit ouun paramtre caractristique du systme par rapport un comportement usuel, nominalou acceptable.

Le diagnostic de dfaut consiste donc en la dtermination du type, de lamplitude,de la localisation et de linstant doccurrence td dun dfaut. Il comprend trois tapessuccessives :

la dtection du dfaut, lisolation du dfaut, lidentification du dfaut.

La surveillance et la supervision constituent un complment du diagnostic. Lasurveillance dun systme est une tche continue et en temps rel pour dterminerltat dun systme. Elle se fait travers lenregistrement des informations pouvant

indiquer la survenue dventuelles anomalies dans le comportement du systme. Quant la supervision, elle consiste en la prise de dcisions appropries, lors de ltape desurveillance du systme, afin de maintenir le fonctionnement nominal du systme malgrlapparition de dfauts.

Lensemble de ces tches vise assurer les performances optimales du systme, en termesde disponibilit, fiabilit et maintenabilit. Cela quivaut prvenir la survenue depannes. Une panne est un dysfonctionnement voire une dfaillance autrement dit unarrt de fonctionnement momentan et accidentel, dune partie ou de tous les composantsdun systme matriel.

Il est opportun, lors du diagnostic dun systme, de diffrencier dfaut et perturbation.Uneperturbationest une entre inconnue et non commande qui agit sur un systme.Contrairement au dfaut, qui est interne au systme, une perturbation est une entreexogne au systme.

2.2.1 Caractrisation de dfauts

Les dfauts peuvent tre caractriss dune part, selon leur comportement dans le

temps et dautre part selon leur modlisation mathmatique. Ainsi, ils peuvent trebrusques, intermittents ou graduels, additifs ou multiplicatifs comme lillustre la figure 2.1.

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Dfaut brusque

Ce type de dfaut apparat un instant td et est dune amplitude constante non nulle.Un dfaut de ce type reprsente des pannes brutales.

Dfaut intermittent

Un dfaut intermittent est un cas particulier de dfaut brusque. Il sagit dun dfautimprvisible. Par consquent, le caractre alatoire de ce dfaut le rend difficile dtecter.

Il peut reprsenter des dfauts de connexion, dalimentation voire de faux contacts.

Dfaut drive lente

Un dfaut de type graduel apparat un instant td. Cependant, contrairement au d-faut brusque, lamplitude de ce type de dfaut ne reste pas constante. Elle augmenteproportionnellement avec le temps.

Ce type de dfaut caractrise gnralement des dfauts dusure.

Chaque type de dfaut rappel ci-dessus peut se modliser sous la forme soit dun dfautadditif, soit dun dfaut multiplicatif.

Modlisation du dfaut : dfaut additif ou multiplicatif

Deux modles mathmatiques sont utiliss selon leffet du dfaut sur le systme.

Un dfaut est ditadditifquand il est modlis par lajout dune variable E. Quant audfaut multiplicatif, il affecte un systme travers la multiplication de lentre E dusystme par un dfaut x.

Un dfaut x affecte une variable x du systme. Lquation de sortie S = Ex est alorsmodifie et en prsence du dfaut x, elle scrit S=E(x+ x).

La figure 2.1 rcapitule les types de dfauts ainsi que leurs possibles modlisations.

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2.3 Principe du diagnostic : Dtection et Isolation des dfauts 11

Fig.2.1: Classification (a, b, c) et modlisation (d, e) des dfauts.

2.3 Principe du diagnostic : Dtection et Isolation des

dfauts

Associ lorigine aux Sciences de la Sant, le terme diagnostic dsigne, dans ledomaine des Sciences de lIngnieur, lanalyse des mauvais fonctionnements, dfauts oudfaillances dun systme afin den dterminer la nature et la cause.

Le diagnostic de dfauts passe, en ce sens, par deux tapes fondamentales, la dtectionet lisolation des dfauts. La premire consiste en la gnration dun signal indiquant

loccurrence dun dfaut. Ce signal, communment appel rsidu, une fois gnr, estutilis pour dtecter puis isoler le dfaut lors de la seconde tape. Les algorithmes quiaident la ralisation de ces deux tches portent le nom dalgorithmes FDI (Fault

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Detection and Isolation).

Une dernire tape succde celle de dtection et disolation. Il sagit de lidentification

du dfaut en vue du type de maintenance mettre en place. Il est alors possibledimplmenter les mthodes pour diagnostic de dfauts sur le systme soit en exploi-tation soit hors ligne, selon le type de maintenance, corrective ou prventive, mise en place.

Lidentification permettra en outre la mise en place de procdures tolrantes aux dfautstelles que la reconfiguration de la commande.

Fig.2.2: Principe du diagnostic.

La logique de diagnostic (Fig 2.3) consiste en une prise de dcisions rsultant directementde lvaluation des rsidus r(t). Des rsidus nuls indiquent que le systme fonctionnenormalement. Il sagira donc de poursuivre la tche de surveillance du systme en tempscontinu.

Des rsidus non nuls indiquent un mauvais fonctionnement du systme. Il sagira alorsden comprendre les raisons travers les tapes de dtection et disolation qui composent

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le diagnostic.

Fig.2.3: Logique de Diagnostic.

2.3.1 Dtection de dfauts - Problme Fondamental de la Gn-ration de Rsidus

La premire tape du diagnostic consiste en la dtection de dfauts. Cette phase dedtection est rendue possible par la gnration de signaux, les rsidus. Un rsiduest unsignal gnr partir des informations fournies par le systme diagnostiquer (Fig. 2.2),notifiant de lventuelle occurrence dun dfaut sur le systme.

De manire gnrale, un rsidu correspond la diffrence entre la sortie mesure et lasortie observe. En supposant que lerreur destimation converge pour un systme sans d-faut, dans le cas dun systme avec dfaut, cette mme erreur destimation serait non nulle.

Lamplitude du signal rsidu obtenu en sortie du gnrateur indique donc loccurrenceou non dun dfaut. En effet, si le rsidu est dune amplitude non nulle, un dfaut estapparu sinon aucun dfaut naffecte le systme (Fig. 2.4).

La dtection de dfauts est donc base sur lvaluation des diffrents rsidus gnrs. Ces

rsidus peuvent tre gnrs suivant plusieurs mthodes : stochastiques ou dterministes,bases sur le modle mathmatique ou sur la connaissance du comportement du systme,... .

Quelque soit la mthode utilise pour gnrer les rsidus, dtecter et diffrencier tousles dfauts indpendamment de leurs instants dapparition porte le nom de ProblmeFondamental de la Gnration de Rsidus[10, 30, 69].

Problme Fondamental de la Gnration de Rsidus

Le Problme Fondamental de la Gnration de Rsidus (PFGR) nonce la ncessit deconstruire un vecteur de rsidus, de dimension suprieure ou gale au nombre de dfauts,

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chaque rsidu tant sensible un seul dfaut et insensible aux perturbations du systme.

Le PFGR soulve deux autres problmes, celui de ladtectabilitdu dfaut et celui du

dcouplagedfauts-perturbations.

Dtectabilit des dfauts

Un dfaut est dtectable si, et seulement si, il a un effet sur au moins une des sorties dusystme.

Remarque 2.1 Cette dfinition est diffrente de la dtectabilit au sens de lautomatique[6].

Dcouplage dfauts-perturbations

Le dcouplage des dfauts et des perturbations peut se faire laide dune transformation.Cette transformation, applique un systme avec des dfauts et des perturbations, vise sparer ce systme en deux sous-systmes, lun des deux tant sensible aux dfauts etinsensible aux perturbations.

Diffrentes mthodes de dcouplage ont t dveloppes suivant le modle du systmenon linaire considr [25, 38, 36, 37, 54, 69, 70].

Cependant, pour un systme rel/physique donn, le dcouplage parfait des dfauts etdes perturbations est peu plausible. Dans la ralit, pour des systmes industriels nonlinaires, un tel dcouplage est, en pratique, difficile mettre en oeuvre.

Prise de dcision : valuation des rsidus

Cette tape consiste en lanalyse de linformation fournie par les rsidus. Elle fait suite ltape de gnration de rsidus. En effet, dans le cas de dfauts multiples, afin defaciliter lisolation des dfauts, la gnration de rsidus a pour but de construire desrsidus structurs.

Desrsidus structurssont dfinis comme des rsidus sensibles un unique dfaut et

insensibles aux autres. Ces rsidus sont gnrs suivant une table de signature, comme lemontre le tableau 2.1.

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Dfaut d1 Dfaut d2 Dfaut d3 Dfaut djRsidu r1 1 0 0 0Rsidu r2 0 1 0 0Rsidu r3 0 0 1 0... ... ... ... . . . ...Rsidu rj 0 0 0 1

Tab.2.1: Table de signature pour le cas de dfauts multiples.

Ainsi, un rsidu non nul informe de loccurrence du dfaut auquel il est sensible.

2.3.2 Isolation de dfauts

Lisolation de dfauts fait suite la dtection de dfauts. Ces deux tapes conscutivesconstituent le diagnostic des systmes. Si la dtection de dfauts est la gnration dersidus grce auxquels les dfauts pourront tre dtects, lisolation, quant elle, permetde caractriser ces dfauts, den dfinir le type et surtout de les localiser.

Lisolation de dfauts introduit la question de leur isolabilit.

Isolabilit

Des dfauts seront isolables si, partir des signaux de mesure et de commande, il estpossible de les discriminer et de les distinguer. Cela revient spcifer, pour chaque dfautprcdemment dtect, lamplitude et linstant dapparaition.

Aprs la localisation et la caractrisation des dfauts vient ltape de prise de dcision.

2.3.3 Procdures Post-Diagnostic

Cette tape correspond lanalyse des options qui soffrent lissue du diagnostic dedfauts et leur mise en oeuvre.

Ainsi, suite la dtection puis lisolation de dfauts, cela revient choisir entre :

arrter le systme et faire de la maintenance, corrective ou prventive, garder le systme en fonctionnement mais rvaluer lobjectif assign au systme :

passer dun fonctionnement en mode normal un fonctionnement en mode dgrad, reconfigurer le systme : rorganiser le systme afin de prendre en compte le dfautconstat : redfinir par exemple la structure des lois de commande.

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Fig.2.4: Allure du signal rsidu.

De nombreuses mthodes ont t dveloppes pour la gnration de rsidus [30, 37, 38,41, 51, 52]. Elles sont regroupes gnralement sous deux catgories :

les mthodes bases sur une connaissance du comportement du systme, les mthodes bases sur le modle mathmatique du systme.

Nous ne prsentons que le deuxime type de mthodes dans ce mmoire.

2.3.4 Mthodes bases sur le modle pour la gnration de rsidus

De manire gnrale, pour la gnration des rsidus, les mthodes bases sur le modlereposent sur le concept deredondance analytique.

La redondance analytique correspond lutilisation des signaux de mesure et de com-mande disponibles combins avec le modle mathmatique du systme diagnostiquer.

Dans [20], il a t tabli quune relation diffrentielle non linaire lie les rsidus gnrs partir de Relations de Redondance Analytique dune part et dobservateurs Grand Gaindautre part.

Quelque soit lapproche utilise pour gnrer les rsidus, estimation paramtrique ouobservateurs dtat, lquation gnrale des rsidus gnrs r(t) est une fonction dessorties estimes et des sorties mesures.

Ainsi, pour lestimation paramtrique, le rsidu scrit :

r(t) =Q(nom

)

tandis que pour les observateurs, il scrit :

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2.4 Robustesse et Performance dun algorithme FDI 17

r(t) =Q(y y),

avec nom et y qui correspondent respectivement la valeur nominale des paramtres et au vecteur de mesures, Q tant pour chaque cas une matrice de pondration. et yreprsentent respectivement lestim de nom et lobserv de y.

Pour lespace de parit la forme dvaluation du rsidu we est fonction des dfautsd, desperturbations , des entres u, des sorties yet de leurs drives successives s:

we = wc(ys,us) wf(ys,us, ds, s).

Toutes ces approches ont aussi une condition commune : quelque soit la mthode choisieparmi les trois, il est ncessaire de gnrer un nombre suffisant de rsidus, suprieur ougal au nombre de dfauts, pour une meilleure localisation du dfaut.

2.4 Robustesse et Performance dun algorithme FDI

Un algorithme FDI sera dit robustesi la mthode utilise pour gnrer les rsidus tient

compte des incertitudes de modle.

En effet, de manire gnrale, le modle mathmatique dun systme, bien qutant prcisdans la formulation et lcriture des quations, ne dcrit pas toujours le fonctionnementrel du systme. Dans la ralit, dautres paramtres peuvent intervenir. Des bruits demesure, des incertitudes paramtriques et/ou une mconnaissance de la structure desperturbations peuvent engendrer, lors de la dtection des dfauts, des fausses alarmes oudes non dtections.

Une fausse alarme correspond la dtection de "faux" dfauts, autrement dit, des

dfauts qui nen sont pas. Une non dtectioncorrespond la non dtection de "vrais"dfauts, autrement dit des dfauts qui affectent rellement le systme.

Lune et lautre sont viter dans le sens o elles peuvent entraner une prise dedcision inadquate. A cause dune fausse alarme, un dfaut, qui nen est pas un, seratrait en tant que tel avec tout ce que cela implique en termes de sret de fonctionnement.

A cause dune non dtection, un dfaut qui ne sera pas trait pourrait entraner desdfauts plus graves et mener un mauvais fonctionnement du systme, des dfaillances,voire des pannes et donc son arrt complet.

La performance dun algorithme FDI est donc quantifie selon son pourcentage defausses alarmes et de non dtections.

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Un algorithme de dtection de dfauts sera performant si les probabilits des faussesalarmes et de mauvaises dtections sont toutes deux les plus petites possible.

Le compromis rside dans le choix du seuil de dtection de dfauts. En effet, le seuil dedtection devra tre choisi de telle sorte que lon puisse dtecter mme les dfauts lesplus faibles tout en vitant de confondre les perturbations et les bruits de mesure avecdes dfauts dtecter.

2.5 Conclusion

Nous avons rappel dans ce chapitre quelques dfinitions concernant le diagnostic de

dfauts. Le diagnostic de dfauts est constitu de deux tapes conscutives, la dtectionsuivie de lisolation de dfauts. Il est ncessaire que les dfauts soient, au pralable,dtectables puis isolables afin de les diagnostiquer.

Des signaux sont gnrs afin de permettre la dtection des dfauts. Les diffrentesmthodes pour la gnration des rsidus utilisent la redondance analytique. Elles sebasent sur le modle dtat du systme et comparent les variables estimes partir de cemodle avec celles mesures. Les rsidus sont donc fonction des sorties estimes et dessorties mesures.

Il est ncessaire de gnrer un nombre suffisant de rsidus, au moins gal la dimensiondes dfauts, de manire avoir un diagnostic meilleur en terme disolation.

Cependant, quelque soit la mthode choisie pour gnrer des rsidus, le problme leplus souvent rencontr lors de leur valuation est gnralement d aux erreurs demodlisation. La rponse ces erreurs est un algorithme de dtection de dfauts qui soitrobuste par rapport aux incertitudes du modle voire une prise en compte plus prcisedes nonlinarits du systme.

Lidal pour quun algorithme robuste face ces incertitudes du modle soit qualifi de

performant est quil gnre un faible pourcentage la fois de fausses alarmes et de nondtections.

Dans la suite du mmoire, nous considrons, pour la gnration de rsidus, lapprochebase sur les observateurs dtat. Le chapitre suivant introduit la notion dobservabilitdun systme, similaire la notion disolabilit pour un dfaut. Il porte, en outre, surdiffrents types dobservateurs pour reconstruire les variables dun systme donn.

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Chapitre 3

Observation et Observabilit desSystmes

Ce chapitre traite de la synthse dobservateurs pour des systmes linaires et pourcertaines classes de systmes non linaires. Une tude prliminaire la synthse dob-servateurs est ltude de lobservabilit du systme, linaire ou non linaire, pour lequelun observateur est envisag. Il est donc ncessaire de dfinir au pralable la notiondobservabilit des systmes.

Les conditions dobservabilit dun systme linaire diffrent de celles dun systme nonlinaire. Suivant la linarit du systme en question, des observateurs spcifiques peuventtre synthtiss.

La diffrence entre lobservabilit dun systme linaire et celle dun systme non linaireainsi que les diffrentes catgories dobservateurs qui existent dans la littrature automa-ticienne seront dveloppes de manire non exhaustive dans la suite de ce chapitre.

"Every great advance in science has issued from a new audacity of imagination." -John Dewey

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20 Observation et Observabilit des Systmes

3.1 Introduction

La majorit des systmes rels peut tre modlise par un systme dquations diffren-

tielles. Ce systme dquations constitue le modle mathmatique du comportement duphnomne tudi.

Les systmes dynamiques considrs dans la suite de ce mmoire sont de la forme :

= f(,u,y)y = h()

(3.1)

o N IRn,Ntant un ouvert dense de IRn,u(t) IRm et y(t) IRp.

On note ltat du systme, u le vecteur des entres et y le vecteur des sorties mesures.On suppose que les fonctions f(., .) et h(.) sont des fonctions mromorphes de et u.On suppose galement que la fonction u(t) est admissible [45], cest--dire mesurable etborne.Suivant lexpression de la fonction f(,u,y), les systmes seront dit linaires, bilinairesou non linaires.

Caractriser chaque instant la dynamique de ces systmes, quelque soit leur nature,ncessite bien souvent de connatre tout ou partie des tats de ces systmes. Mais laralit est toute autre. Il est trs souvent compliqu daccder ces tats, pour desraisons conomiques (cot lev des capteurs de mesures) ou plus simplement pour des

raisons techniques.

Il est possible cependant de contourner cette difficult et pallier le manque dinformationspar lutilisation dun observateur. Un observateur est un systme dynamique quireconstruit ltat du systme partir des entres et des sorties mesures. Les entresdun observateur sont donc les entres et les sorties du systme originel et la sortie dunobservateur est ltat estim (Figure 3.1).

Fig.3.1: Ensemble systme - observateur.

La synthse dobservateurs pour des systmes dynamiques introduit une nouvelle notion.

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3.2 Observabilit des systmes linaires 21

En effet, la notion dobservabilit constitue une tape pralable la synthse dunobservateur pour un systme dynamique donn. Cela signifie que lobservabilit dunsystme doit ncessairement tre tudie avant de justifier de lexistence ou non dun

observateur pour ce systme.

Dans les paragraphes suivants, nous donnons la dfinition de lobservabilit dun systmeet nous rappellons certains des observateurs les plus communment utiliss, dabord pourdes systmes linaires et ensuite pour des systmes non linaires.

3.2 Observabilit des systmes linaires

Un systme linaire stationnaire est un systme de la forme :

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y = Cx(t) (3.2)

o xN IRn, Ntant un ouvert dense de IRn, u(t)IRm et y(t)IRp et o Aet Bsont des matrices valeurs relles constantes.Les notions brivement exposes ici se trouvent plus dtailles dans [55]. Nous allonsprsenter les dfinitions lies lobservabilit.

Dfinition 3.1 [55] Le systme (3.2) est observable si, tant donn linstantt0, il existeun instant t1 fini tel que la connaissance dey(t0, t1) etu(t0, t1) permette de dterminerde manire unique ltatx(t0) =x0 et ceci quelque soit lentre du systme.

Diffrents critres ont t dvelopps pour dfinir lobservabilit dun systme linaire. Onapplique gnralement le test du rang de la matrice dobservabilit, dfinie par :

=

CCA...CAn1

. (3.3)

La condition du rang snonce comme suit.

Dfinition 3.2 Le systme (3.2) est observable si et seulement si le rang de la matriceest gal n. On dit alors que la paire(C, A)est observable.

Un autre critre est celui nonc dans [73] : le systme (3.2) est compltement observablesi et seulement si,s C,Re(s) 0:

rang

sI A

C

= n. (3.4)

En somme, pour un systme linaire donn, lobservabilit peut tre vrifie par le critrede rang. Lobservabilit des systmes linaires est donc :

indpendante de lentre u, caractrise par la connaissance de y et de ses drives temporelles un ordreinfrieur n.

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3.3 Observateurs pour systmes linaires

Il existe deux types dobservateurs pour les systmes linaires, lobservateur de Luenberger

pour les systmes linaires stationnaires et lobservateur de Kalman pour les systmeslinaires variants.

3.3.1 Observateur de Luenberger

Nous supposons que le systme (3.2) est observable. Nous pouvons lui associer lobserva-teur suivant, dit de Luenberger [63, 64] :

x= Ax+ Bu+ K(y Cx). (3.5)

En posant e lerreur entre ltat rel et ltat estim, tel que e = x x, nous obtenonslquation de la dynamique de lerreur dobservation :

e= x x= (A KC)e. (3.6)

La stabilit dun tel observateur est obtenue en choisissant les valeurs propres de AKCdans la partie gauche du plan complexe. La convergence de lerreur destimation delobservateur est alors exponentielle et sa vitesse dpend du choix du gain K.

3.3.2 Observateur de Kalman

Cette classe dobservateurs convient aux systmes linaires variants de la forme :

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y = Cx(t), (3.7)

o Aet B sont des matrices connues chaque instant.

La particularit de cet observateur est son gain variant donn par la rsolution dunequation algbrique diffrentielle de Ricatti.

Thorme 3.1 ([40]) Soit le systme :

x = A(t)x+ B(t)u(t) S1CT(Cx y)y = Cx (3.8)

avec, pour une constante positive, Ssolution de :

S = S ATS SA+ CTC

et (C, A) sous forme canonique dobservabilit. Le systme (3.8) est un observateur de(3.7) pour tout suffisamment grand.

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3.4 Observabilit des systmes non linaires 23

3.4 Observabilit des systmes non linaires

La dfinition de lobservabilit utilise pour les systmes linaires nest plus suffisante

pour prouver lobservabilit dun systme non linaire. La stabilit et lobservabilit dunsystme non linaire ne dpendent pas seulement de ltat comme dans le cas linaire,elles dpendent en plus de lentre, comme lillustre lexemple suivant :

Exemple 3.1 Soit le systme non linaire suivant :

x1 = ux2

x2 = 0

y = x1. (3.9)

Lobservabilit de ce systme dpend de lentre u. En effet, la variable dtat x2 est

fonction de la drive de la sortie y et de lentre u: x2= y/u. Ainsi, toutes les variablesde ltat xne seront connues que si lentre u est diffrente de zro.

Lobservabilit dun systme non linaire peut donc tre lie la nature de ses entres.Lobservabilit dun systme non linaire ne saurait tre dfinie sans donner au pralablela dfinition de lindistinguabilit [34]. En effet, un systme est dit observable si il nadmetpas de points distincts x1(t0), x2(t0)indistinguables.

Dfinition 3.3 [50] Deux tats initiauxx1(t0)etx2(t0)sont dits indistinguables si,t [t0, t1], les sorties correspondantes y1(t) et y2(t) sont identiques quelle que soit lentreadmissibleu([t0, t1])du systme.

Lindistinguabilit tant une relation dquivalence, soit I(x)la classe dquivalence de x.La dfinition de lindistinguabilit introduit celle de lobservabilit :

Dfinition 3.4 [50] Le systme non linaire (3.1) est observable enx0 si lensemble despoints indistinguables dex0 est rduit x0, i.e. I(x0) =x0.Le systme (3.1) est observable si, pour toutx N, un ouvert dense deIRn, I(x) =x.La dfinition de lobservabilit dun systme non linaire nexclut pas ncessairementlexistence dentres pour lesquelles deux tats seraient indistinguables. Cette observabi-lit globale laisse souvent la place au concept plus faible dobservabilit locale. Lon peutse rfrer [50] pour de plus amples dtails sur la notion dobservabilit des systmes

non linaires.

Tout comme pour les systmes linaires, il est ncessaire de trouver un test caractrisantlobservabilit pour les systmes non linaires. Introduisons cet effet, lespace dobser-vabilit gnrique.

Dfinition 3.5 [21] Lespace dobservabilit gnrique notO est dfini parO =X (Y+U),avec :

X = SpanK{dx}U = SpanK{du(v)v 0} (3.10)Y = SpanK{dy(w), w 0},

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o Kest lensemble des fonctions mromorphes [21].

Dfinition 3.6 [21] Le systme non linaire (3.1) est gnriquement observable si etseulement si :

dim O= n . (3.11)

Remarque 3.1 Si cette condition, appele condition de rang dobservabilit gnrique,est vrifie cela signifie que le systme est observable sauf en des singularits qui peuventapparatre en des points isols de lespace dtat et des entres. Gnrique signifie alorsque les conditions sont valables partout sauf en un nombre fini de points.

Dans la pratique, ltude des formes canoniques dobservabilit sera considre pour mon-trer lobservabilit des systmes non linaires. Ces formes proposes dans [11, 12, 50, 56]sont obtenues par transformations de coordonnes dtat.Supposons que la condition dobservabilit gnrique soit satisfaite pour le systme (3.1).La condition suffisante ci-dessous pourra alors tre vrifie :

RangK

dhdLfh

...dLn1f h

=n. (3.12)

Cela signifie que ltat xpeut tre dduit de la connaissance de la sortie et dun nombrefini de ses drives. En effet, en considrant que :

Y =

y, y, , y(n1)= h(x), Lfh(x), , L(n1)f h(x)= G(x), (3.13)le thorme des fonctions inverses permet localement dinverser lquation ci-dessus etdobtenir x = G1

Y

. Une transformation de coordonnes dtat pourra tre dfiniepar : z= YT.Cependant, la garantie de construction dobservateurs pour systmes non linairesobservables nest pas certaine. En effet, contrairement aux systmes linaires, lexistencedun observateur pour un systme non linaire ne repose pas ncessairement sur sesproprits dobservabilit. Un systme non linaire peut tre observable sans pour autantque lon puisse synthtiser un observateur.

3.5 Observation de systmes non linaires

Diffrentes techniques ont t proposes pour rsoudre ce problme de synthse dobser-vateur. Lide gnrale derrire ces techniques est de transformer le systme non linaire

observable en un systme plus simple pour lesquel la synthse dun observateur estpossible.

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3.5 Observation de systmes non linaires 25

Outre la linarisation du systme en question par injection dentres-sorties, soit par desoutils gomtriques [58, 59, 102] soit par des outils algbriques [77, 43, 101, 79, 62], latechnique dimmersion dveloppe par Fliess et Kupka (1983) [32] facilite la synthse

dun observateur pour un systme non linaire donn. En effet, ces travaux ont montrquun systme non linaire affine en la commande pouvait simmerger en un systmebilinaire. Ces travaux ont ensuite t tendus limmersion dun systme non linaireen un systme affine en ltat [94].

Dautres approches ont t dveloppes pour la transformation dun systme non linaireen un systme affine en ltat modulo une injection dentres-sorties. Gauthier et Ham-mouri [46] ont gnralis leur tude sur la bilinarisation par un approche gomtrique la transformation en un systme affine. Souleiman et Glumineau [89, 90, 91] ont quant eux privilgi lapproche algbrique, en raison de sa constructivit, et dvelopp une

technique de transformation par diffomorphismes des systmes non linaires en dessystmes affines en ltat modulo une injection dentres-sorties.

Lintrt de ces transformations rside dans la possibilit de modliser des observateurspour des systmes non linaires observables. Nombre dobservateurs non linaires existentdans la littrature. Une fois le systme non linaire observable transform soit en unsystme non linaire "linarisable" modulo une injection dentre et de sortie soit en unsystme non linaire affine en ltat, daucuns pourront modliser pour le premier cas unobservateur de Luenberger tendu et dans le second cas un observateur de type Kalman [6].

De plus, les techniques dobservation de systmes non-linaires ncessitent quelquefoisdes hypothses sur la non-linarit de type Lipschitz. Cela mne souvent la synthsedobservateurs grand gain permettant de dominer les non-linarits du systme. Nousrappelons dans les lignes qui suivent quelques-uns des observateurs les plus rcurrents.

3.5.1 Observateurs tendus/gnraliss

Observateur de Luenberger Ce type dobservateur convient aux systmes non li-naires linarisables par transformation de coordonnes dtat = T(x) et de sortie(non linaires) modulo une injection dentre-sortie[12, 104, 56].Le systme non linaire (3.1) peut alors scrire sous la forme :

= A+ (u, y)

y = C. (3.14)

avec les matrices Aet Cde la forme A=

0 1 0...

... . . .

...

0 0 . . . 1

0 0 0

; C= 1 0 0 .

Un observateur de type "Luenberger" scrira :

= A+ (u, y) + K(y C)y = C (3.15)

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Le gain K de cet observateur est obtenu tel que la matrice A KCsoit Hurwitz.

Cependant, ce type dobservateurs ne correspond pas toutes les classes de systmes

non linaires. En effet, les systmes non linaires ne sont pas tous linarisables mo-dulo une injection dentre-sortie. Cela nest possible que si lon prend des injectionsdentres-sorties gnralises ncessitant lutilisation des drives des mesures, ce qui estinapplicable en pratique.

Observateur de Kalman Cette classe dobservateurs sapplique une plus large classede systmes. Elle est prsente dans de nombreux travaux [13, 29, 28, 40, 27] et a un champdapplication trs vari [27, 40, 68, 74, 99].Les rsultats rappels ci-dessous sont issus de [40]. Une des hypothses de base pour

pouvoir appliquer ce type dobservateur est que le systme non linaire en question soituniformment observable pour toute entre.Nous considrons la classe de systmes non linaires suivante :

x = A(u)x+ (u, y)

y = Cx. (3.16)

Lextension de lobservateur de Kalman sapplique la classe des systmes non linairesaffines en ltat.

Thorme 3.2 ([40]) Supposons que le systme (3.16) soit uniformment observablepour toute entreu : le systme (3.16) est donc quivalent au systme (3.1) modulo unetransformation dtat et une injection dentre-sortie. Supposons que lhypothse ci-dessussoit satisfaite. Soit le systme :

= A(u)+ (u, y) S1CT(C y)y = C (3.17)

avec, pour une constante positive, Ssolution de :

S = S A(u)TS SA(u) + CTC

et(C, A) sous forme canonique dobservabilit. Alors, pour toute entreuuniformmentborne, le systme (3.17) est un observateur de (3.16) pour tout suffisamment grand.

3.5.2 Observateur grand gain

Cette classe dobservateur sapplique une large classe de systmes non linaires de la

forme (3.18). Ses applications sont quant elles multiples ([10, 72]).Considrons que, pour le cas monosortie, le systme (3.1) puisse se mettre sous la formesuivante [13] :

tel00676588,

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3.6 Conclusion 27

x = Ax+ (u,y,x)

y = Cx. (3.18)Nous posons de plus lhypothse suivante :La fonction (u,y,x) du systme (3.18) est globalement Lipschitz par rapport x etuniformment par rapport uet y .

Alors le systme (3.19) est un observateur pour le systme (3.18).

= A+ (u,y, ) 1K(C y)y = C (3.19)

avec, pour une constante positive, de la forme :

= diag

1/, 1/2, ..., 1/n

et Ktelle que A KCsoit Hurwitz.

Connu pour sa robustesse vis--vis des incertitudes paramtriques, lobservateur grandgain, sous lhypothse dun systme uniformment observable - i.e systme observablepour toute entre - permet destimer des tats non mesurs.

Notons que cette classe dobservateurs convient tout particulirement aux systmes non

linaires affines en ltat. Les travaux de De Leon [23] ont permis dtendre la classedapplication de lobservateur grand gain. Dans [23], lobservateur grand gain a tappliqu la classe des systmes non linaires affines en ltat de la forme :

x = A(u, y)x+ (u,y,x)

y = Cx. (3.20)

3.6 Conclusion

Diffrentes notions ont t rappeles dans ce chapitre parmi lesquelles lobservabilit dessystmes. Nous avons prsent quelques-uns des nombreux types dobservateurs poursystmes linaires et non linaires.

De manire gnrale, la preuve de lobservabilit dun systme non linaire nentranepas ncessairement lexistence dun observateur pour ce systme.

Si les bases pour les observateurs pour les systmes linaires ont t tablies voila quatredcennies, de nombreux types dobservateurs ont t depuis dvelopps pour les systmesnon linaires. Diffrents types dobservateurs (modes glissants, backstepping, en temps

fini, horizons glissants) sont encore ltude pour de plus larges classes de systmes nonlinaires [5, 17, 24, 33, 76].

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Documents

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