Thevenin Dan Norton

MODUL 8

Beberapa Teknik untuk Menganalisis Rangkaian (Bagian ke-4)

6. Teorema Thevein dan Teorema Norton

Sekarang setelah kita mempunyai prinsip superposisi, maka kita dapat

mengembangkan dua teorema lagi yang akan sangat menyederhanakan analisis

banyak rangkaian linear. Yang pertama dari teorema ini mengikuiti nama M.L

Thevenin, seorang insinyur Perancis yang bekerja di bidang telegrafi, yang pertama

sekali mengumumkan teorema ini tahun 1883; yang kedua dapat ditinjau sebagai

akibat dari yang pertama dan didapatkan oleh E. L. Norton, seorang ilmuwan yang

bekerja di Bell Telephone Laboratories.

Teorema Thevenin mengatakan bahwa adalah mungkin mengganti

semuanya (terkecuali tahanan beban) dengan sebuah rangkaian ekivalen yang

mengandung hanya sebuah sumber tegangan bebas yang seri dengan sebuah

tahanan; respons yang diukur pada tahanan beban tidak akan berubah. Dengan

menggunakan teorema Norton kita dapatkan sebuah ekivalen yang terdiri dari

sebuah sumber arus bebas yang pararel dengan sebuah tahanan.

Gambar 19: Sebuah rangkaian penahan sederhana dibagi menjadi

jaringan A, terhadap mana kita tak berminat, dan jaringan B, sebuah

tahanan beban dengan mana kita tertarik.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Dian Widiastuti

RANGKAIAN LISTRIK 1

+−

3

6 12 V

7

RL

Jaringan A Jaringan B

Gambar 20: Transformasi-transformasi sumber dan kombinasi

tahanan yang terlibat di dalam menyederhanakan jaringan A,

diperlihatkan berurutan. Hasilnya, diberikan dalam (d) yakni ekivalen

Thevenin.

Harus jelas bahwa satu di antara kegunaan utama teorema Thevenin dan

theorema Norton adalah penggantian bagian besar dari sebuah jaringan, seringkali

sangat sukar, dengan ekivalen yang sangat sederhana. Rangkaian baru yang lebih

sederhana ini memungkinkan kita membuat perhitungan cepat dari tegangan, arus,

dan daya yang diberikan oleh rangkaian asal kepada sebuah beban. Dalam penguat

dengan daya transistor misalnya, ekivalen Thevenin atau Norton membolehkan kita

menentukan daya maksimum yang dapat diambil dari penguat dan jenis beban yang

diperlukan untuk untuk mencapai pemindahan daya maksimum atau untuk


RANGKAIAN LISTRIK 2

3 6 4 A

7

Jaringan A

RL

(a)

2

4 A

7

Jaringan A

RL

(b)

(c) (d)

Jaringan B

+−

9

8 V

Jaringan A

RL+−

2

8 V

7

Jaringan A

RL

mendapatkan penguatan arus atau tegangan praktis maksimum. Sebagai contoh,

kita tinjau rangkaian yang diperlihatkan dalam gambar 19. Garis putus-putus

memisahkan rangkaian menjadi jaringan A dan jaringan B; kita anggap bahwa minat

kita yang utama adalah jaringan B, yang hanya terdiri dari tahanan beban RL.

Jaringan A dapat disederhanakan dengan mengulangi transformasi sumber. Mula-

mula kita perlakukan sumber 12-V dan tahanan 3- sebagai sumber tegangan

tegangan praktis dan menggantinya dengan sebuah sumber arus praktis yang terdiri

dari sumber 4-A yang paralel dengan 3 . Tahanan-tahanan paralel kemudian

dikombinasikan menjadi 2 , dan sumber arus praktis yang dihasilkan

ditranformasikan kembali kepada sumber tegangan praktis. Langkah-langkah

tersebut ditunjukkan dalam Gambar 20, hasil akhir muncul dalam Gambar 20d. Dari

pandangan tahanan beban RL, rangkaian ini (ekivalen Thevenin) adalah ekivalen

dengan rangkaian asal; dari pandangan kita, rangkaian itu jauh lebih sederhana dan

kita sekarang dapat dengan mudah mengitung daya yang diberikan pada beban.

Hasilnya

Selanjutnya kita dapat melihat dari rangkaian ekivalen bahwa tegangan maksimum

yang bisa didapat melintasi RL adalah 8 V bila RL = ; transformasi cepat jaringan A

kepada sebuah sumber arus praktis (ekivalen Norton )menunjukan bahwa arus

maksimum yang dapat diberikan kepada beban adalah 8/9A untuk RL = 0; dan

teorema pemindahan daya maksimum memperlihatkan bahwa daya maksimum

diberikan pada RL bila RL adalah 9 . Tidak ada di antara kenyataan ini yang dengan

mudah nampak dari rangkaian asal.

Jika jaringan A lebih sukar, maka banyaknya transformasi sumber dan

kombinasi tahana yang perlu mendapat ekivalen Thevenin atau ekivalen Norton

menjadi sangat berat dan banyak; juga dengan adanya sumber-sumber tak bebas,

maka metode transformasi sumber biasanya tak terpakai. Teorema Thevenin dan

Norton memungkinkan kita mencari rangkaian ekivalen lebih cepat dan lebih mudah,

walaupun dalam rangkaian yang lebih sukar.


RANGKAIAN LISTRIK 3

Kita katakan sekarang teorema Thevenin secara formal :

Teorema Norton mempunyai banyak sekali persamaan dengan teorema

Thevenin yakni konsekuensi lain dari dualitas. Kedua pernyataan ini akan digunakan

sebagai contoh bahasa dual bila prinsip dualitas dibicarakan di dalam bab

berikutnya.

Teorema Norton dapat dikatakan sebagai berikut :

Ekivalen Norton dari sebuah jaringan penahan yang aktif adalah sumber arus

Norton isc yang paralel dengan tahanan Thevenin Rth.

Ada hubungan penting diantara ekivalen Thevenin dan Ekivalen Norton dari

sebuah jaringan penahan aktif. Hubungan ini dapat diperoleh dapat digunakan


RANGKAIAN LISTRIK 4

Bila diketahui rangkaian linear, atur rangkaian itu dalam bentuk dua jaringan A dan

B yang bersama-sama dihubungkan oleh konduktor yang tak punya tahanan. Jika

salah satu jaringan mengandung sebuah sebuah sumber tak bebas, variabel

pengontrolnya haruslah dalam jaringan yang sama. Definisi tengah voc sebagai

tengah rangkaian terbuka yang akan timbul melintasi terminal-terminal A dan B

diputuskan sehingga tak ada arus yang ditarik dari A. maka semua arus dan

tegangan di dalam B tidak akan berubah jika A dimatikan (semua sumber tegangan

bebas dan sumber arus bebas dalam A diganti oleh hubungan pendek dan rangkaian

terbuka) dan sumber tegangan bebas voc dihubungkan , dengan pengutuban yang

benar, secara seri dengan jaringan A yang mati (tak aktif).

Diketahui suatu rangkaian linear; susun rangkaian manjadi dua jaringan A dan B

yang dihubungkan oleh dua konduktor yang tak mempunyai tahanan. Jika salah satu

mengandung sebuah sumber tak bebas, variabel pengntrolnya harus berada dalam

jaringan yang sama. Definisikan arus isc sebagai arus hubungan pendek yang akan

timbul pada terminal A jika B dihubung-pendekkan sehingga tidak ada tegangan

yang disediakan A. maka semua tegangan dan arus dalam B tetap tak berubah jika A

dimatikan (semua sumber arus bebas dan sumber tegangan bebas dalam A diganti

oleh rangkaian terbuka dan hubungan pendek) dan sebuah sumber arus bebas isc

dihubungkan, dengan pengutuban yag wajar, paralel dengan jaringan A yang mati

(tak aktif).

dengan transformasi sumber kepada salah satu jaringan ekivalen. Misalnya, jika kita

mentransformasikan ekivalen Norton, maka kita dapatkan sumber-sumber tegangan

Rthisc yang seri dengan tahanan Rth; jaringan ini berbentuk ekivalen Thevenin

sehingga

voc = Rth isc (1)

Contoh Soal

1. Dengan mempergunakan teorema Thevenin dan Norton carilah i bagi

jaringan pada Gambar 21.

Gambar 21: Lihat Contoh Soal 1.

Jawab

Teorema Thevenin :

Pertama-tama tahanan 1 kΩ kita ganti dengan rangkaian hubung terbuka

sehingga rangkaianbya akan menjadi sebagai berikut

Gambar 22: Gambar 21 dimana tahanan 1 kΩ diganti dengan

hubung terbuka.

dengan mempergunakan superposisi dimana jika sumber tegangan 4 V

bekerja maka sumber arus 2 mA diganti dengan hubung terbuka (Open

Circuit) maka rangkaiannya akan terlihat


RANGKAIAN LISTRIK 5

+− 1 kΩ

3 kΩ2 kΩ

2 mA4 V

i

+−

3 kΩ2 kΩ

2 mA4 V

a

b

Gambar 23a: Gambar 22 dimana sumber arus 2 mA diganti

dengan rangkaian hubung terbuka.

jika sumber arus 2 mA bekerja maka sumber tegangan 4 V dihubung singkat,

Gambar 23b: Gambar 22 dimana sumber tegangan 4 V

dihubung singkat.

maka

sedangkan untuk tahanan Theveninnya dapat diperoleh dengan mengganti

semua sumber dengan tahanan dalamnya yaitu jika terdapat sumber arus

diganti dengan hubung terbuka sedangkan untuk sumber tegangan diganti

dengan hubung singkat, sehingga untuk Gambar 22 akan menjadi seperti

Gambar 23c.


RANGKAIAN LISTRIK 6

+−

3 kΩ2 kΩ

4 V

a

b

(a)

3 kΩ2 kΩ

2 mA

a

b

(b)

Gambar 23c: Tahanan Thevenin untuk Gambar 22.

sehingga rangkaian ekivalen Theveninnya diperlihatkan pada Gambar 5d.

Gambar 23d: Ekivalen Thevenin untuk Gambar 21.

Teorema Norton :

Untuk mencari arus Norton (iSC) kita ganti rangkaian tahanan 1 kΩ dengan

rangkaian hubung singkat

Gambar 24: Gambar 21 dimana 1 kΩ diganti dengan rangkaian

hubung singkat.


RANGKAIAN LISTRIK 7

+−

3 kΩ2 kΩ

2 mA4 V

i

3 kΩ2 kΩ

a

b

(c)

+− 1 kΩ

5 kΩ

8 V

i

(d)

dengan mempergunakan superposisi yaitu pertama jika sumber tegangan 4 V

bekerja maka sumber arus 2 mA diganti dengan rangkaian hubung terbuka,

Gambar 25a: Gambar 24 dimana sumber arus 2 mA dihubung

terbuka.

dan kedua yaitu dengan mengganti sumber tegangan 4 V dengan rangkaian

hubung singkat.

Gambar 25b: Gambar 24 dimana sumber tegangan 4 V

dihubung singkat.

maka

Sehingga rangkaian ekivalen Norton untuk Gambar 3 adalah

Gambar 25c: Ekivalen Norton untuk Gambar 21.


RANGKAIAN LISTRIK 8

+−

3 kΩ2 kΩ

4 V

(iSC)4V

(a)

3 kΩ2 kΩ

2 mA

(iSC)2mA

(b)

1 kΩ5 kΩ1,6 mA

i

(c)

2. Carilah ekivalen Thevenin bagi jaringan pada Gambar 26.


Jawab

Gambar 27: Penjelasan Gambar 26.

Dengan mempergunakan KVL pada Loop

sedangkan untuk tahanan Theveninnya dapat dilihat pada Gambar 29.


RANGKAIAN LISTRIK 9

8 Ω

32 Ω

5 A3 A

60 V

a

b

8 Ω

32 Ω

a

b

8 Ω

32 Ω

5 A3 A

60 V

a

b

5 A3 A

8 A +

−

Gambar 29: Tahanan Thevenin untuk rangkaian Gambar 26.

Sehingga rangkaian ekivalen Theveninnya adalah

Gambar 30: Rangkaian ekivalen Thevenin Gambar 26.

3. Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton sebagaimana terlihat dari

terminal a – b bagi jaringan pada Gambar 31.


Jawab

Pertama-tama kita cari tegangan Theveninnya, langkahnya dengan terlebih

dahulu mencari besar arus i1 pada loop tunggal :

Dengan mempergunakan KVL pada Loop tunggal


RANGKAIAN LISTRIK 10

+−

40 Ω

356 V

+−

+−

40 Ω20 Ω

10i1 50 V

i1

a

b

Kemudian mencari tegangan Thevenin pada salah satu loop :

Gambar 32: Tegangan Thevenin pada Gambar 31.

Dengan mempergunakan KVL pada salah satu Loop

atau pada loop yang satunya lagi,

Kemudian kita mencari arus Nortonnya (iSC), dengan menghubung singkatkan

terminal a – b, sebagaimana terlihat pada Gambar 33,



+−

+−

40 Ω20 Ω

10i1 50 V

i1

a

b

i1− i1

+

−

+−

+−

40 Ω20 Ω

10i1 50 V

i1

i1 i2

iSC

Gambar 33: Arus Norton Gambar 31.

KVL pada loop i1,

KVL pada loop i2,

Sehingga arus Nortonnya adalah

Dikarenakan terdapatnya sumber tegangan tak bebas pada Gambar 31

menghambat kita untuk mencari tahanan Thevenin atau tahanan Nortonnya,

sehingga cara yang memungkinkan adalah dengan persamaan voc = Rth isc,

maka Rangkaian Ekivalen Theveninnya adalah



+−

16 Ω

10 V

a

b

Gambar 34: Rangkaian Ekivalen Thevenin Gambar 31.

dan Rangkaian Ekivalen Nortonnya adalah

Gambar 35: Rangkaian Ekivalen Norton Gambar 31.

7. Analisis Link dan Analisis Loop

Sekarang kita tinjau penggunaan sebuah pohon untuk mendapatkan

himpunan persamaan loop yang sesuai. Di dalam beberapa segi ini adalah dual dari

metode penulisan persamaan-persamaan simpul. Perlu diingatkan sekali lagi bahwa,

walaupun kita mampu menjamin bahwa setiap himpunan persamaan yang kita tulis

akan cukup dan bebas, namun kita tidak dapat mengharapkan bahwa metode ini

akan langsung menghasilkan setiap himpunan persamaan yang mungkin ada.

Kita mulai lagi dengan membangun sebuah pohon, dan kita menggunakan

himpunan aturan yang sama seperti kita lakukan untuk analisis simpul umum.

Tujuannya, baik untuk analisis simpul maupun analisis loop adalah untuk

menempatkan tegangan-tegangan di dalam pohon dan arus-arus di dalam kopohon;

ini adalah sebuah hukum resmi untuk sumber-sumber dan hukum yang diinginkan

untuk kuantitas-kuantitas pengontrol.

Akan tetapi, sekarang, sebagai ganti penentuan tegangan kepada setiap

cabang di dalam pohon, maka kita menetapkan satu arus (termasuk panah referensi,

tentunya) pada setiap elemen di dalam kopohon atau pada setiap link. Seandainya

ada 10 link, maka kita akan menetapkan tepat 10 arus link. Bagi setiap link yang

mengandung sebuah sumber arus maka ditetapkan bahwa arus sumber sebagai

arus link. Perhatikan bahwa setiap arus link dapat juga dianggap sebagai arus loop,

karena link harus terbentang diantara dua simpul khusus, dan harus ada juga

sebuah jalan diantara kedua simpul khusus, dan harus ada juga sebuah jalan

diantara kedua simpul yang sama melalui pohon. Jadi, kepada setiap link

diasosiasikan sebuah loop tunggal yang mencakup link tersebut dan satu jalan unik

melalui pohon. Jelaskan bahwa arus yang ditetapkan dapat dipikirkan baik sebagai



16 Ω0,625 A

a

b

arus loop maupun sebagai arus link. Pengertian link paling menolong pada waktu

arus sedang didefinisikan, karena satu arus harus dihasilkan pada setiap link;

tafsiran loop lebih memudahkan pada waktu penulisan persamaan, karena kita akan

memakai hukum tegangan Kirchhoff mengelilingi setiap loop.

Persamaan hukum tegangan Kirchoff arus dituliskan sekarang mengelilingi

setiap loop. Variabel-variabel yang digunakan adalah arus link yang ditetapkan.

Karena tegangan melalui sebuah sumber arus tidak dapat dinyatakan arus sumber,

dan karena kita sudah menggunakan harga arus sumber sebagai arus link, maka kita

buang setiap loop yang mengandung sumber arus.



Documents

Thevenin Dan Norton