Embed Size (px)
Citation preview
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 15
2C – JtJ 2019
Thème 8: Fonctions du 2ème degré, optimisation 8.1 Fonctions du 2ème degré
Définitions :
• On appelle fonction du 2ème degré, toute fonction f du type :
f : x ax2 + bx + c (où a, b et c sont des nombres réels)
• Le coefficient a doit être non nul. • Le terme constant c s’appelle l’ordonnée à l’origine.
Exemple :
La fonction f : x 3x2 + 5x – 2 est une fonction du 2ème degré.
Remarques :
• On remplacera volontiers le codage f : x ax2 + bx + c par :
f (x) = ax 2 + bx + c ou encore y = ax 2 + bx + c • La représentation graphique d’une telle fonction est une
parabole.
Modèle 1 :
représentation graphique d’une fct du 2ème degré :
Représenter graphiquement la fonction f (x) = 2x2 + 2x – 4 pour x ∈ [-3 ; 3]
Tableau de valeurs Représentation graphique x 2x2 + 2x – 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Remarque :
• Pour le moment, le tableau de valeurs est un passage obligé avant de tracer la parabole. Il faut être particulièrement attentif aux risques d’erreurs de signes.
16 THÈME 8
2C – JtJ 2019
Exercice 8.1: Représenter graphiquement les fonctions suivantes (x ∈ [-3 ; 3]) :
a) f (x) = x2 – 4 b) f (x) = x2 + x
c) f (x) = 3x2 – 3x + 6 d) f (x) = 12x 2 −
12x −1
Modèle 2 :
représentation graphique d’une fct du 2ème degré :
Représenter graphiquement la fonction f (x) = -2x2 + 4x pour x ∈ [-3 ; 3]
Tableau de valeurs Représentation graphique x -2x2 + 4x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Remarques :
• Vous devrez être particulièrement attentifs à l’ordre des opérations dans l’expression :
-x2
Exercice 8.2: Parmi les réponses proposées, souligner la bonne:
a) si x = 3 alors f (x) = -x2 vaut : 9 3 -9 b) si x = 2 alors f (x) = -2x2 vaut : -4 8 -8 c) si x = -1 alors f (x) = -x2 vaut : -1 0 1 d) si x = -2 alors f (x) = -x2 + x vaut : -6 8 2 e) si x = -5 alors f (x) = -x2 + 5x vaut : 0 50 -50 f) si x = 5 alors f (x) = -x2 + 5x vaut : 0 50 -50 g) si x = -2 alors f (x) = -3x2 + 2x vaut : -16 32 8 h) si x = -3 alors f (x) = -2x2 – 4x vaut : 48 30 -6
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 17
2C – JtJ 2019
Exercice 8.3: Représenter graphiquement les fonctions suivantes (x ∈ [-3 ; 3]) :
a) f (x) = -x2 – 1 b) f (x) = -2x2 + 3x
c) f (x) = -3x2 + 3x + 6 d) f (x) = −14x 2 +
14x −
12
Remarques :
Dans les exercices 8.1 et 8.3 vous avez dû constater un lien entre le coefficient a des x2 et l’orientation de la parabole.
• Si a > 0, la parabole est
• Si a < 0, la parabole est
Exercice 8.4: En comparant les ordonnées à l’origine c et le signe de a, retrouver parmi les 4 graphiques celui correspondant aux fonctions :
a) f (x) = x2 – x + 2 b) f (x) = −14x 2 + x − 2
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
18 THÈME 8
2C – JtJ 2019
8.2 Points d’intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.
Intersection sur Ox :
Intersection sur Oy :
La première coordonnée des points d’intersection du graphe de f et l’axe Ox s’obtient en calculant les zéros de la fonction f.
C’est-à-dire en résolvant l’équation f (x) = 0. La deuxième coordonnée du point d’intersection du graphe de f et l’axe Oy s’obtient en calculant l’ordonnée à l’origine de la fonction f.
C’est-à-dire en calculant f (0) .
Modèle 3 :
recherche des zéros sur un graphique :
Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées :
a) f (x) = − 12x 2 +
12x + 3 b) f (x) = x 2 − 4
c) f (x) = x 2 − 3x d) f (x) = −x 2 + x −1
x
y
(0 ; f (0))
(x 1; 0
)
(x 2; 0
)
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
x-3 3
y
-3
3
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 19
2C – JtJ 2019
Exercice 8.5: À l’aide des graphiques et des tableaux de valeurs, déterminer les
coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées
a) de l’exercice 8.1 b) de l’exercice 8.3 Exercice 8.6: À l’aide d’un graphique (format A4), déterminer les zéros de la
fonction f (x) = 4x 2 − 7x − 25 pour x ∈ [-3 ; 5] :
Remarques :
• Ce dernier exercice montre bien les limites de la recherche des zéros d’une fonction du 2ème degré à l’aide d’un graphique. Nous devons donc utiliser une autre démarche.
• En fait, les zéros exacts de la fonction de l’exercice 8.6 sont en
x =7 ± 449
8 ( !!!???)
• Rechercher les zéros d’une fonction revient à résoudre une équation du type f (x) = 0. Les 2 outils que nous avons à notre disposition sont la factorisation et la fameuse formule.
Modèle 4 :
intersection avec les axes de coordonnées
On considère la fonction f définie par: f (x) = −2x2 + 7x − 5 Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées :
Exercice 8.7: Pour chaque fonction f définie ci-dessous, déterminer les
coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées :
a) f (x) = x2 − 4 b) f (x) = x2 −3x −10
c) f (x) = 2x2 + 5x −3 d) f (x) = −5x2 + 6x −1
e) f (x) = −3x2 + 2x f) f (x) = x2 + x +1
20 THÈME 8
2C – JtJ 2019
8.3 Sommet de la parabole, extremum de la fonction quadratique
Introduction :
Sur les graphiques du début du chapitre, nous avons observé qu'une parabole est "tournée en U" si le coefficient a > 0. Dans ce cas, elle admet un minimum en un point que l'on appelle sommet. Dans le cas contraire, ce sommet correspondra alors à un maximum. Vous avez également observé qu'une parabole admet un axe (vertical) de symétrie qui doit alors passer par ce sommet. Comment en calculer ses coordonnées ?
Modèle 5 :
coordonnées du sommet
On considère la fonction f définie par:
f (x) = − 14x2 − 1
2x + 2
représentée ci-contre.
a) Déterminer les zéros de f. b) En déduire la première coordonnée du
sommet S. c) Compléter les coordonnées de S
Modèle 6 :
coordonnées du sommet
On considère la fonction f définie par: f (x) = 3x2 – 6x – 24.
a) Déterminer les coordonnées du sommet S. b) S'agit-il d'un min ou d'un max?
x-3 3
y
-3
3
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 21
2C – JtJ 2019
Modèle 7 :
coordonnées du sommet
Effectuer de même avec : g(x) = -x2 + 2x + 1
Exercice 8.8 Reprendre la donnée des six fonctions de l'exercice précédent afin de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole définie par les fonctions f. Préciser s'il s'agit d'un min ou d'un max.
Exercice 8.9: Montrer que le sommet S de la parabole pour la fonction:
f (x) = ax2 + bx + c
est donné par la formule S−b2a; f
−b2a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Exercice 8.10: Déterminer les coordonnées du sommet et préciser s'il s'agit d'un
min ou d'un max.
a) f (x) = x2 −10x + 6 b) f (x) = −4(x − 5)2
c) f (x) = (3x + 2)2 +1 d) f (x) = −x2 + 4x
e) f (x) = 3x 2 − 2x f) f (x) = x2 + x +1 8.4 Esquisse rapide du graphe d’une fonction du 2ème degré
Introduction :
Dans la première partie du chapitre, nous avons tracé des graphiques de fonctions du 2ème degré à l’aide de tableaux de valeurs. Cette démarche est longue et très souvent, nous pourrons nous contenter d’une esquisse rapide tenant compte de l’orientation de la parabole (signe de a), les zéros de la fonction (calculés à l’aide de la factorisation ou de la formule), le sommet de la parabole et finalement l’ordonnée à l’origine.
22 THÈME 8
2C – JtJ 2019
Modèle 8 :
esquisse d’une fonction du 2ème degré :
Esquisser la fonction f (x) = −2x 2 + 4x −1
Exercice 8.11: Esquisser les 6 fonctions suivantes :
a) f (x) = x 2 − x − 6 b) f (x) = −2x2 + x + 3
c) f (x) = −2x2 +10x − 9 d) f (x) = x 2 + 2x + 4
e) f (x) = 3x 2 − 2x f) f (x) = −(4x2 + 20x + 23)
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 23
2C – JtJ 2019
8.5 Optimisation "arithmétique"
Introduction :
On va être amené à minimiser ou maximiser une fonction quadratique liée à une contrainte (un lien) de type affine:
ax + by = c.
La résolution de ce type de problème d'optimisation consiste à isoler x ou y de la contrainte et la substituer dans la fonction quadratique. On cherche ensuite le minimum ou le maximum de cette fonction à l'aide des coordonnées du sommet de la parabole correspondante.
Modèle 9 :
problème d'optimisation
La somme de deux nombres est 36. Déterminer ces deux nombres sachant que leur produit est maximal.
Exercice 8.12:
La somme de deux nombres entiers est 36. Déterminer ces deux nombres sachant que la somme de leur carré est minimale.
Exercice 8.13:
Quelle est la valeur minimale du produit de deux nombres si leur différence est égale à 12 ?
24 THÈME 8
2C – JtJ 2019
8.6 Optimisation "économique"
Modèle 10 :
problème d'optimisation
Le propriétaire d'un champ estime que s'il plante 60 poiriers, le rendement moyen sera de 480 poires par arbre et que ce rendement diminuera de 5 poires par arbre pour chaque poirier additionnel planté dans le champ. Combien le propriétaire devrait-il planter de poiriers pour que le rendement du verger soit maximal?
Exercice 8.14:
Si un ostréiculteur récolte des huîtres cette semaine, il pourrait en obtenir 120 paniers qu'il pourrait vendre 240 CHF pièce. Pour chaque semaine d'attente, sa récolte augmenterait de 30 paniers, mais le prix de chaque panier diminuerait de 40 CHF. a) Dans combien de semaines, la récolte sera-t-elle la plus
favorable financièrement ? b) À ce moment-là quel sera le montant que lui rapportera la
récolte ?
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 25
2C – JtJ 2019
Exercice 8.15:
Une agence de voyages offre des voyages organisés au prix de 60 CHF par personne pour les 30 premiers participants. Pour les plus grands groupes, jusqu’à 90, chaque personne bénéficie d’un rabais de 0,50 CHF pour tout participant en plus des 30 premiers. Par exemple, si 31 personnes participent, le prix par personne est de 59,50 CHF. Pour quel nombre de participants l’agence gagnera-t-elle le plus ?
Une méthode générale ?
La variété des problèmes d’optimisation est telle qu’il est bien difficile de donner une méthode générale de résolution.
Nous allons néanmoins donner sous forme d’une marche à suivre, une stratégie d’approche de ces problèmes. Cependant, ce n’est qu’au prix de quelques efforts et d’entraînements que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes.
Essayez donc avec … persévérance !
8.7 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d’optimisation
Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant parallèlement une figure d’étude (si nécessaire) pour y indiquer toutes les informations.
Préciser ce qu'il s'agit d'optimiser
Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, …) comme fonction d’une ou de plusieurs variables.
Si Q dépend de plus d’une variable, en choisir une que l'on appelle x et exprimer les autres en fonction de x à l'aide des équations liant ces variables (contraintes).
Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable (par substitutions).
La fonction obtenue étant quadratique, son maximum (ou minimum) pourra être obtenu en calculant les coordonnées du sommet de la parabole représentant cette fonction.
Répondez finalement à la question posée à l’aide d’une phrase en s'assurant que celle-ci est admissible dans le contexte de l'exercice.
26 THÈME 8
2C – JtJ 2019
8.8 Optimisation "géométrique"
Modèle 11 :
Optimisation
ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD]. M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel que CN = BM.
Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l’aire du Δ MNI soit minimale ?
Solution:
Relire l’énoncé du problème et profiter de faire une figure d’étude "intelligente" :
À optimiser:
Les liens (contraintes):
La fonction à optimiser ne dépendant plus que d’une variable :
AB
I
N
C D
M
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 27
2C – JtJ 2019
Solution (fin):
Le sommet de la parabole S :
La réponse est donc :
http://www.javmath.ch
Exercice 8.16:
ABCD est un carré de 8 cm de côté. A ′ B ′ C ′ D est un carré de x cm de côté.
a) Pour quelle valeur de x, la partie grisée a-t-elle la plus grande aire ?
b) Que vaut alors cette aire optimale ?
Exercice 8.17:
Le triangle AEF grisé est inscrit dans un carré ABCD de 8 cm de côté selon la contrainte suivante: Les points E et F sont mobiles sur les côtés et respectent la contrainte que [CE] = 2[DF]. a) Déterminer la position du point F sur DC pour laquelle l'aire
du triangle AEF sera minimum. b) Déterminer alors la proportion du carré qui sera grisée.
Exercice 8.18:
On considère le terrain, représenté ci-dessous, formé d'un rectangle et d'un triangle équilatéral On précise encore que son périmètre est de 224 mètres.
a) Déterminer l'aire maximale du terrain.
(Indice: Aire d'un triangle équilatéral de côté x est 34x2 )
b) Démontrer la formule donnée dans l'indice.
Exercice 8.19:
On fait tourner un rectangle de périmètre 60 cm autour de l'un de ses côtés. Déterminer les dimensions du rectangle pour que le cylindre ainsi obtenu ait la plus grande aire latérale
DA
B'
D'
C'
B C
x
A
D C
B
F
E
A
B C
D
28 THÈME 8
2C – JtJ 2019
Modèle 12 :
Optimisation
Un fermier veut mettre une barrière autour d’un champ rectangulaire et diviser ce champ en trois lopins rectangulaires en plaçant deux barrières parallèles à l’un des côtés. Si le fermier ne dispose que de 1000 m de barrière, quelles dimensions donneront la plus grande aire rectangulaire ?
Exercice 8.20:
1'200 mètres de grillage sont utilisés pour construire six cages à animaux, comme le montre la figure. a) Déterminer les dimensions qui donnent une aire clôturée
maximale. b) Que vaut alors cette aire ?
Exercice 8.21:
Avant:
Après:
On propose à Monsieur Bolomey, propriétaire d’un terrain rectangulaire ABCD d’une longueur de 20 mètres et d’une largeur de 10 mètres, de modifier son terrain en retirant un certain nombre de mètres à la longueur et en ajoutant cette même distance à la largeur comme l’indiquent les figures ci-dessous. Il deviendrait alors propriétaire d’un nouveau terrain rectangulaire AB'C'D'. a) Déterminer la valeur de cette distance pour laquelle l’aire du
terrain soit maximale. b) Préciser alors la forme du terrain final.
x
y
A B
CD
A B
CD
B′
D′ C′
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 29
2C – JtJ 2019
Exercice 8.22:
Un éleveur de bovins désire enclore un terrain rectangulaire bordant une rivière rectiligne. Il dispose de 1000 m de fil et ne veut pas enclore le côté longeant la rivière, car ses bovins ne savent pas nager. Calculer la surface maximale qu’il peut créer.
Exercice 8.23:
Un photographe désire fabriquer un cadre pour une photo rectangulaire à partir d’une planche de 24 cm de long et 1 cm de large. Comment devra-t-il couper cette planche pour que l’aire intérieure du cadre soit maximale ?
Exercice 8.24:
On a quatre rectangles identiques, le périmètre de chacun de ces rectangles est de 120 cm.
On dispose ces rectangles de façon à former une croix comme sur la figure ci-dessous.
Quelle est l’aire maximale de la croix ainsi constituée ? (Ne pas oublier de compter également l’aire du carré hachuré situé au centre de la croix.)
Exercice 8.25:
On désire construire, dans un nouveau stade, une piste de 400 m constituée de deux lignes droites parallèles ainsi que deux virages formés chacun d’un demi-cercle. (cf. figure)
Déterminer le rayon des 2 demi-cercles pour que le rectangle (surface de jeu pour un terrain de foot) soit de surface maximale.
24 cm1 cm
x
30 THÈME 8
2C – JtJ 2019
Modèle 13 :
Optimisation
On fabrique un couvert à l’aide de quatre poutres métalliques verticales de même longueur qui seront les supports d’un toit plat. Le couvert doit mesurer 5 mètres de profondeur. Le prix de revient des poutres est calculé en fonction de leur longueur : elles coûtent 10 francs le mètre. Le toit coûte 8 francs le mètre carré. On sait de plus que le prix de revient total (poutres et toit) du couvert est de 240 francs. a) Calculer les dimensions du couvert qui donnent un volume
maximal. b) Que vaut alors ce volume optimal?
Exercice 8.26:
On désire accoler à une construction existante un abri rectangulaire ouvert composé de deux parois verticales de 1 m de profondeur et d’un toit plat (voir figure). Le toit est exécuté en zinc qui coûte 40 fr. le m2 et les deux autres côtés en contre-plaqué qui coûte 15 fr. le m2.
Si on dispose de 300 fr, déterminer les dimensions de cet abri admettant un volume maximum. Que vaut alors ce volume ?
FONCTIONS DU 2ÈME DEGRÉ, OPTIMISATION 31
2C – JtJ 2019
Exercice 8.27:
Un agriculteur désire construire deux enclos juxtaposés. Le premier est un rectangle ABCD et le second un carré MNPD où M est au milieu de CD.
Le prix de revient de la clôture est de 12.- Fr. le m, sauf pour la partie commune aux deux enclos où il est de 36.- Fr. le m. L’agriculteur dispose de 1’104.- Fr. pour cette construction. Déterminer les dimensions des enclos permettant d'avoir une surface au sol maximum.
8.9 Un petit mélange
Exercice 8.28:
Parmi tous les rectangles admettant un périmètre de 1 m, quel est celui dont l’aire est maximale ? Que vaut alors cette aire ?
Exercice 8.29:
Avec un budget de 1000 CHF, on souhaite fabriquer un petit abri en béton à l'aide de 3 dalles de même épaisseur selon le modèle ci-contre. Déterminer la longueur et la largeur des dalles si l'on souhaite avoir un volume intérieur de l'abri maximum. On précise encore que le mètre cube de béton est facturé 500 CHF.
Exercice 8.30:
On veut faire une gouttière avec une longue feuille d'aluminium de 100 × 12 cm en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpendiculairement. Quelle hauteur doivent avoir les côtés relevés pour que la gouttière ait une contenance maximale ?
Exercice 8.31:
On a constaté que, dans une petite salle de concert, le nombre de spectateurs était dépendant du prix p d’entrée. La valeur minimale de p est fixée à 10 CHF. Si le prix est de 10 CHF, le nombre de spectateurs n est généralement de 180. Toute augmentation de 1 CHF du prix d’entrée entraîne en moyenne une diminution de 10 spectateurs par concert. a) Déterminer la valeur de n pour que la recette engendrée soit
maximale. b) Quels sont alors le prix d’entrée et la recette totale ?
A
B C
D
M N
P
1m0,2 m
⇒12
100
32 THÈME 8
2C – JtJ 2019
QU
EL
QU
ES
RE
PO
NS
ES
AU
X E
XE
RC
ICE
S
2C –
JtJ
201
9
Que
lque
s ré
pons
es :
Thè
me
8 E
xerc
ice
8.1:
a)
b)
x
f (x)
x f (
x)
-3
42
-3
5
-2
24
-2
2
-1
12
-1
0
0
6 0
-1
1
6 1
-1
2
12
2 0
3
24
3 2
c)
d)
Exe
rcic
e 8.
2:
a) -
9 b)
-8
c) -
1
d) -
6
e) -
50
f) 0
g)
–16
h)
-6
Exe
rcic
e 8.
3 :
x f (
x)
x f (
x)
-3
-1
0 -3
-2
7
-2
-5
-2
-1
4
-1
-2
-1
-5
0
-1
0 0
1
-2
1 1
2
-5
2 -2
3
-10
3 -9
a)
b)
x
f (x)
x f (
x)
-3
-3
0 -3
-3
,5
-2
-1
2 -2
-2
-1
0
-1
-1
0
6 0
-0,5
1
6 1
-0,5
2
0 2
-1
3
-12
3 -2
c)
d)
x-3
3
y
-336
x-3
3
y
369
x-3
3
y
153045
x-3
3
y
36912
x
y
-12-9-6-3
-33
x
y
-16
-33
x
y
-20
-33
x
y
-8-4
-33
Q
UE
LQ
UE
S R
EP
ON
SE
S A
UX
EX
ER
CIC
ES
2C –
JtJ
201
9
Exe
rcic
e 8.
4:
a)
b)
E
xerc
ice
8.5:
a)
a)
I1(
-2 ;
0) ; I 2
(2 ;
0) ; I 3
(0 ;
-4)
b) I
1(-1
; 0)
; I 2
(0 ;
0)
c) I
1(0
; 6)
d)
I1(
-1 ;
0) ; I 2
(2 ;
0) ; I 3
(0 ;
-1)
b)
a)
I1(
0 ; -
1)
b)
I1(
0 ; 0
) ; I
2(3/
2 ; 0
)
c)
I1(
-1 ;
0) ; I 2
(2 ;
0) ; I 3
(0 ;
6)
d) I
1(0
; -1/
2)
Exe
rcic
e 8.
6:
zéro
s ap
prox
imat
ivem
ent e
n x
= -
1,7
et x
= 3
,5
Exe
rcic
e 8.
7:
a) I
1(0
; -4)
; I 2
(-2
; 0)
; I3(
2 ; 0
) b)
I1(
0 ; -
10)
; I2(
-2 ;
0) ; I 3
(5 ;
0)
c)
I1(
0 ; -
3) ; I 2
(-3
; 0)
; I3(
1/2
; 0)
d) I
1(0
; -1)
; I 2
(1/5
; 0)
; I 3
(1 ;
0)
e)
I1(
0 ; 0
) ; I
2(2/
3 ; 0
) f)
I1(
0 ; 1
)
Exe
rcic
e 8.
8:
a) S
(0 ;
-4),
min
b)
S(3
/2 ;
-49/
4), m
in
c) S
(-5/
4 ; -
49/8
), m
in
d)
S(3
/5 ;
4/5)
, max
e)
S(1
/3 ;
1/3)
, max
f)
S(-
1/2
; 3/4
) ),
min
Exe
rcic
e 8.
9:
Pour
ra ê
tre
vu e
nsem
ble
à vo
tre
dem
ande
.
Exe
rcic
e 8.
10:
a) S(
5 ; -
19),
min
b)
S(5
; 0)
, max
c)
S(-
2/3
; 1),
min
d)
S(2
; 4)
, max
e)
S(1
/3 ;
-1/3
), m
in
f) S
(-1/
2 ; 3
/4),
min
Exe
rcic
e 8.
11:
a)
b)
c)
d)
x
y S(1/2
;−25
/4)
−2
3
−6
x
y
−1
1/2
3S(1/4
;25/
8)
x
y
−9
1,18
3,82
S(5/2
;7/2)
x
y 4
S(−
1;3)
QU
EL
QU
ES
RE
PO
NS
ES
AU
X E
XE
RC
ICE
S 2C
– JtJ 2019
Exercice 8.11:
e)
f)
Exercice 8.12: L
es 2 nombres sont identiques et valent 18.
Exercice 8.13: L
e produit minim
um vaut -36.
Exercice 8.14: a) L
a vente la plus favorable aura lieu dans une semaine.
b) L
e montant optim
al sera de 30'000 CH
F.
Exercice 8.15: Il s'agira de considérer 30 +
45 = 75 passagers.
Exercice 8.16: a) L
'aire est optimale pour x =
2 cm.
b) C
ette aire optimale est de 36 cm
2.
Exercice 8.17: a) L
e point F doit être situé à 2 cm
à droite de D.
b) L
a proportion grisée est de 28/64 = 43,75 %
.
Exercice 8.18: a) L
'aire maxim
ale est d'environ 2939,12 m2.
b) Il s'agit d'utiliser le théorèm
e de Pythagore sur le 1/2 triangle équilatéral.
Exercice 8.19: L
e rectangle optimal est un carré de côté 15 cm
.
Exercice 8.20: a) L
es dimensions de l'ensem
ble des six cages sont 200 m et 150 m
.
b) C
ette aire optimale est de 30'000 m
2
Exercice 8.21: a) L
a distance est de 5 m.
b) le terrain final est un carré de 15 m
de côtés.
Exercice 8.22: L
a surface maxim
ale est de 125'000 m2.
x
y02/3
S(1/3
;−1/3)
x y
−23
−3,21−1,79
S(−5
/2;2)
Q
UE
LQ
UE
S R
EP
ON
SE
S A
UX
EX
ER
CIC
ES
2C – JtJ 2019
Exercice 8.23: Il s'agira de considérer 2 m
orceaux de 5 cm de long et 2 m
orceaux de 7 cm de
long.
Exercice 8.24: L
'aire maxim
ale de la croix est de 4'800 cm2.
Exercice 8.25: L
e rayon des 2 demi-cercles est d'environ 31,83 m
.
Exercice 8.26: L
'abri doit avoir une longueur de 3,75 m, une hauteur de 5 m
pour un volume
optimal de 18,75 m
3.
Exercice 8.27: L
e petit enclos est de forme carrée de côté 5,75 m
et l'enclos de forme
rectangulaire est un rectangle de côtés 11,5 et 20,125 m.
Exercice 8.28: Il s'agit d'un carré de côté 0,25 m
et d'aire 0,0625 m2.
Exercice 8.29: 2 dalles de 2,4 ×
1 × 0,2 m
et une dalle de 5,2 × 1 ×
0,2 m.
Exercice 8.30: L
a hauteur doit être de 3 cm.
Exercice 8.31: a) L
e nombre de spectateurs est de n =
140.
b) L
e prix d'entrée est de 14 CH
F pour une recette optimale de 1960 C
HF.
