Tích phân từng phần

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Người soạn : Trương Văn Trọng https://www.facebook.com/rogger.bob.9

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

I. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Giả sử cho u =u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó :

Công thức tính nguyên hàm:

udv uv vdu Công thức tính tích phân:

b b

a a

budv uv vdu

a

Nhận dạng : hàm dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm số khác

nhau.

Chú ý:

Ta chọn u sao cho dễ tính du nhất và chọn v sao cho dễ tìm nguyên hàm dv

nhất

Làm thế nào để biết mình chọn hàm u, v chính xác rồi?

Thật dễ: nếu trọn đúng u,v thì vdu và b

a

vdu phả dễ tính hơn udv và

b

a

udv , nếu thằng ku nào chọn u, v xong mà tích phân sau khó hơn tích phân

ban đầu là đã chọn sai rồi.



II. CÁC DẠNG CƠ BẢN

1. Dạng 1:

'(x)

1(x)cos(ax )sin(ax )

sin(ax )(x) cos(ax+b) 1

cos(ax+b) sin(ax+b)

1

ax b

ax b

ax b

du P dx

u Pbb ab

P dxdv dx v

aee

ea

Minh họa: Tính tích phân : 2sin cosI x x xdx

Giai

Cach 1:

Ta co :

3 3

2 2 3

3

2 3

1sin 3 3sin 4sin sin (3sinx sin 3x)

4

sin cos sin (1 sin x) sinx sin

1sin (3sinx sin 3x)

4

1 1sin cos sinx sin sin (3sinx sin 3x) (sin sin 3 )

4 4

x x x x

x x x x

x

x x x x x x

Suy ra, 1 2

1 1 1 1 1sin sin 3 sin sin 3

4 4 4 4 4I x x x dx x xdx x xdx I I

Tính I1 :

1

1 1

sin

sin xdxsin xdx osx

cos cos sin

I x xdx

du dxu x du dx

vdv v c

I x x coxdx x x x C

Tính I2 :



2

1 2

sin 3

1sin 3xdxsin 3xdx os3x

3

1 1 1 1cos3 3 cos sin

3 3 3 9

I x xdx

du dxdu dxu x

vdv v c

I x x co xdx x x x C

Cach 2:

2 22

3

3 3 3 2

3 2

3 2

sin cos cos cossin cos

1cos

3

1 1 1 1x cos cos x cos cos cos

3 3 3 3

1 1x cos (1 sin )cos

3 3

1 1x cos (1 sin ) sin

3 3

1x

3

du dx du dxu x

v x xdx v xd xdv x xdx

du dx

v x

I x xdx x x xdx

x x xdx

x x d x

3 31 1cos (sin sin )

3 3x x x c

Bài tập áp dụng:

1.1. sinx xdx

1.2. (2 3)sin 2x xdx

1.3. osxc xdx

1.4. 2(2 1) osx c xdx

1.5. 2

3

0

sinx xdx

1.6. sin xdx

1.7. x sin xdx

1.8. sin(2 1)x x dx



1.9. 3 2sin(2 1)x x dx

1.10. 5 2cos( 1)x x dx

1.11. 2sin osx xc xdx

1.12. 2

2

0

sin osx x c xdx

1.13. 2

2sin 3

0

s in osxe xc xdx

1.14. 2 2

2asin

0

s in2x bcos xe xdx

1.15. (sin cos )x x x dx

1.16. ( )(sin cos )4

x x x dx

1.17. ( 3 sin cos )x x x dx

1.18. xxe dx

1.19. (2 x 1)e x dx

1.20. 3 2(2 x 1)e x dx

1.21. 2(x 2 )exx dx

1.22. 23x ex dx

1.23. 1

ex

xdx

1.24. 2

2(x 2)

xx edx

1.25.

2 1

22 21 1

x xedx

x x x

2. Dạng 2:

'(x)ln (x)

(x)(x) ln (x)(x)dx

(x)dx

fduu f

fP f dxdv P

v P

Thường gặp nhất là dạng đặc biệt sau:



ln(ax b)(x) ln(ax b)

(x)dx(x)dx

aduu

ax bP dxdv P

v P

Bài tập mẫu : 3 2 2( ) ln( )dI x x x x x x

Giải:

Chọn 2

2 22 2

4 3 23 2 4 3 24 3 2

2 1( ) ' 2 1

ln( )

1( )(3 4 6 )

124 3 24 3 2

xx x xdu dxdu dx du dx

u x x x xx x x x

x x xdv x x x dx x x xv x x xvv

suy ra,

4 3 2 2 4 3 2

2

1 1 2 1(3 4 6 ) ln( ) (3 4 6 )

12 12

xI x x x x x x x x dx

x x

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2 3 2

4 3 2 2

3 2

3 23 2

1 1 2 1(3 4 6 ) ln( ) (3 4 6 )

12 12 1

1 1 1(3 4 6 ) ln( ) (3 4 6 ) 2

12 12 1

1 1(3 4 6 ) ln( )

12 12

1(3 4 6 ) 2

1

3 4 62(3 4 6 )

1

xI x x x x x x x x dx

x

x x x x x x x x dxx

x x x x x K

K x x x dxx

x x xx x x

x

23 2

3 2

4 3 2

3 ( 1) ( 1) 5( 1) 52(3 4 6 )

1

56 5 11 5

1

3 5 115 5ln(x 1) C

2 3 2

dx

x x x x xx x x dx

x

x x x dxx

x x x x

Từ đó có kết quả như sau:

4 3 2 2 4 3 21 1 3 5 11(3 4 6 ) ln( ) 5 5ln(x 1)

12 12 2 3 2I x x x x x x x x x C

Bài tập minh họa:



2.1. 3ln(x x)dx

2.2. 3(2 x 1) ln(x x)dx

2.3. 2ln( 1 x)dxx

2.4. 2ln( 1 x)dxx

2.5. 2 2 2x ln( x)dxx a

2.6. 2 2 2x ln( x)dxx a

2.7. 2 2

1

(lnx)

e

x dx

2.8.

12

0

1ln

1

xx dx

x

2.9. 1 2

20

x ln(x 1)

1

xdx

x

2.10. 1 2

20

x ln(x 1)

1

xdx

x x

2.11. 0

8

ln 1x xdx

2.12. 0

3

ln 1

(1 x) 1

xdx

x

2.13.

3

22

1

lnx

1

xdx

x

2.14. 1

2

0

ln(1 x ) (CDKTKT 2006)x dx

2.15. 3

4

ln(tan x)(CDTCHhai quan 2006)

sin 2dx

x

2.16. 2

2

1

ln(1 x)(CD co khi 2006)dx

x

2.17. 2

2

1

1ln 1x dx

x



2.18. 1

2 2

0

ln 1x x dx

2.19. 2

0

sin x ln(1 cosx)dx

2.20. 4

0

ln(tan x)dx

2.21. 4

2

1

(x 1) lnx dx

2.22. 4

0

ln(1 tan x)dx

2.23. 5

2

ln(1 1)

1 1

xdx

x x

2.24. 4

0

tan ln(cos )

cos

x xdx

x

2.25. 3 2

1

( 1) ln 2 1

2 ln

ex x x

dxx x

2.26.

2

1

ln

1

ex

dxx

3. Dạng 3 :

1

sin(ln )

cos(ln )cos(ln ) cos(ln )

sin(ln )sin(ln )

1

k

kk

k

x

xx duux x

xI x dxx x

dv x dxx

v x dxk

3.1. cos(ln )x x dx

3.2.

2

3

1

sin(ln )

e

x x dx

3.3. 1

cos(ln )d

e

x x



3.4. 2

1

cos (ln )d

e

x x

4. Dạng 4 :

sin( )

cos( )sin( )

cos( ) sin( )

cos( )

ax b

ax b

ax b

u e

xdv dx

xxe dx

x xu

x

dv e dx

4.1. 0

e cos 2 dx x x

4.2. 2

0

e sin dx x x

4.3. 2

0

sin xd

xx

e

4.4.

5.

Documents

Tích phân từng phần