Cap. 11B Rotacin de cuerpo rgidoPresentacin PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de Fsica

Southern Polytechnic State University

2007

Objetivos: Despus de completar este mdulo, deber:

Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples.

Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energa cintica rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solucin de problemas fsicos.

Aplicar principios de conservacin de energa y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotacin de cuerpos rgidos.

Inercia de rotacinConsidere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotacin se modele a partir de la ley de traslacin.

F = 20 Na = 4 m/s2

Inercia lineal, m

m = = 5 kg24 N 4 m/s2

F = 20 NR = 0.5 m = 2 rad/s2

Inercia rotacional, I

I = = = 2.5 kg m2(20 N)(0.5 m) 4 m/s2

La fuerza hace para la traslacin lo que el momento de torsin hace para la rotacin:

Energa cintica rotacional

m2

m3

m4

m

m1

eje

v = R

Objeto que rota a constante.

Considere masa pequea m:

K = mv2

K = m(R)2

K = (mR2)2

Suma para encontrar K total:

K = (mR2)2

(2 igual para toda m )

Definicin de inercia rotacional:

I = mR2

Ejemplo 1: Cul es la energa cintica rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?

3 kg2 kg

1 kg

1 m2 m

3 m

Primero: I = mR2

I = (3 kg)(1 m)2 + (2 kg)(3 m)2+ (1 kg)(2 m)2

I = 25 kg m2 = 600 rpm = 62.8 rad/s

K = Iw2 = (25 kg m2)(62.8 rad/s) 2

K = 49,300 J

Inercias rotacionales comunes

213I mL=

2112I mL=

L L

R R R

I = mR2 I = mR2 22 5I mR=Aro Disco o cilindro Esfera slida

Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales.

R

I = mR2Aro

R

I = mR2

Disco

2 2(3 kg)(0.2 m)I mR= =

2 21 12 2 (3 kg)(0.2 m)I mR= =

I = 0.120 kg m2

I = 0.0600 kg m2

Analogas importantesPara muchos problemas que involucran rotacin, hay una analoga extrada del movimiento lineal.

xf

R

4 kg

= 50 rad/s = 40 N m

Una fuerza resultante F produce aceleracin negativa a para una masa m.

F ma=

Im

Un momento de torsin resultante produce aceleracin angular de disco con inercia rotacional I.

I =

Segunda ley de rotacin de Newton

R

4 kg

F = 50 rad/s

R = 0.20 m

F = 40 N = I

Cuntas revoluciones requiere para detenerse?

FR = (mR2)2 2(40N)

(4 kg)(0.2 m)F

mR = =

= 100 rad/s2

2 = f2 - o20

2 20

2

(50 rad/s)2 2(100 rad/s )

= =

= 12.5 rad = 1.99 rev

Ejemplo 3: Cul es la aceleracin lineal de la masa de 2-kg que cae?

Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:

R = 50 cm

6 kg

2 kg+a

T

T

mg

= I TR = (MR2)

T = MR

y T = MaT = MR( ) ;aR

Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:

mg - T = ma mg - = maT

(2 kg)(9.8 m/s2) - (6 kg) a = (2 kg) a

19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2

a = R; = peroaR

Ma

R = 50 cm

6 kg

2 kg

a = ?

M

Trabajo y potencia para rotacin

Trabajo = Fs = FR

F

F

s

s = R

= FR

Trabajo =

Potencia = = Trabajo

t t =

t

Potencia = Momento de torsin x velocidad angular promedio

Potencia =

Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de 2 kg se eleva 20 m en 4 s.

F

F=W

s

s = 20 m

2 kg 6 kgTrabajo = = FR

Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)

sR = = = 50 rad

20 m 0.4 m

Trabajo = 392 J

F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N

Potencia = = Trabajo

t392 J

4s Potencia = 98 W

El teorema trabajo-energaRecuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energa cintica lineal:

2 20 fFx mv mv=

Al usar analogas angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energa cintica rotacional:

2 20 fI I =

Aplicacin del teorema trabajo-energa:

Trabajo = r

Qu trabajo se necesita para detener la rueda

que rota? R

4 kg

F = 60 rad/s

R = 0.30 m

F = 40 N

Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2= 0.36 kg m2

2 20 fI I = Trabajo = -I2

Trabajo = -(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J

0

Rotacin y traslacin combinadas

vcmvcm

vcm Primero considere un disco que se desliza sin friccin. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad vcm del centro de masa.

vRP

Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular en torno al punto P es igual que para el disco, as que se escribe:

OvR

= v R=

Dos tipos de energa cintica

vRP

Energa cintica de traslacin: K = mv

2

Energa cintica de rotacin: K = I

2

Energa cintica total de un objeto que rueda:

2 21 12 2TK mv I= +

Conversiones angular/linealEn muchas aplicaciones, debe resolver una ecuacin con parmetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes:

Desplazamiento: ss RR

= =

Velocidad: vv RR

= =

Aceleracin: v R a R= =

Traslacin o rotacin?Si debe resolver un parmetro lineal, debe convertir todos los trminos angulares a trminos lineales:

Si debe resolver un parmetro angular, debe convertir todos los trminos lineales a trminos angulares:

aR

=sR

=vR

= 2(?)I mR=

s R= v R= v R=

Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energa cintica total E.

Energa total: E = mv2 + I2

2 2 21 1 12 2 2; ;

vE mv I I mRR

= + = =

( )2

2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 42 ;

vE mv mR E mv mvR

= + = +

23 4 or

4 3mv EE v

m= =

Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular de un disco dada su energa cintica total E.

Energa total: E = mv2 + I2

2 2 21 1 12 2 2; ; E mv I I mR v R = + = =

( )2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 2 2 4( ) ; E m R mR E mR mR = + = +2 2

2

3 4 or 4 3

mR EEmR

= =

Estrategia para problemas

Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.

Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar.

Escriba frmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota.

Recuerde conceptos involucrados (potencia, energa, trabajo, conservacin, etc.) y escriba una ecuacin que involucre la cantidad desconocida.

Resuelva para la cantidad desconocida.

Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energas cinticas.

v vDos tipos de energa:KT = mv2 Kr = I2

Energa total: E = mv2 + I2 =vR

( )2

2 22

vE mv mRR

= +

Disco: E = mv2

( )2

2 22

vE mv mRR

= +

Aro: E = mv2

Conservacin de energa

La energa total todava se conserva para sistemas en rotacin y traslacin.

Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f

mgho2

mvo2=

mghff2

mvf2

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Sin embargo, ahora debe considerar la rotacin.

Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo.

h = 10 m

6 kg

2 kg

R = 50 cm

mgho2

mvo2=

mghff2

mvf2

22 21 1 1

0 2 2 2 2( )vmgh mv MRR

= +

2.5v2 = 196 m2/s2

v = 8.85 m/s

2 21 10 2 2mgh mv I= +

212I MR=

2 21 12 4(2)(9.8)(10) (2) (6)v v= +

Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. Cules son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m?

20 m

mgho = mv2 + I2 Aro: I = mR22

2 20 2 ( )

vmgh mv mRR

= +

v = 16.2 m/s2

2 20 2 ( )

vmgh mv mRR

= +

mgho = mv2 + mv2; mgho = mv2

20 (9.8 m/s )(20 m)v gh= = v = 14 m/sAro:

mgho = mv2 + I2Disco: I = mR2; 4 3 0v gh=

Definicin de cantidad de movimiento angular

m2

m3

m4

m

m1

eje

v = r

Objeto que rota con constante.

Considere una partcula m que se mueve con velocidad v en un crculo de radio r.

Defina cantidad de movimiento angular L:

L = mvr

L = m(r) r = mr2

Al sustituir v= r, da:

Para cuerpo extendido en rotacin:

L = (mr2)

Dado que I = mr2, se tiene:

L = I

Cantidad de movimiento angular

Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm.

m = 4 kg

L = 2 m

I = 1.33 kg m2

rev 2 rad 1 min300 31.4 rad/smin 1 rev 60 s

= =

L = I = (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2

L = 1315 kg m2/s

22 m) kg)(2 (4121

121:barra Para == mLI

Impulso y cantidad de movimiento

Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal:

0fF t mv mv = Al usar analogas angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :

0ft I I =

Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza acta durante 0.002 s. Cul es la velocidad angular final?

R

2 kg

F

= 0 rad/s

R = 0.40 m

F = 200 N

t = 0.002 s

Momento de torsin aplicado = FR

I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2

I = 0.32 kg m2

Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular

t = If o0

FR t = If

f = 0.5 rad/s

Conservacin de cantidad de movimientEn ausencia de momento de torsin externo, se

conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante).

Iff o = t0

Iff = o

Io = 2 kg m2; = 600 rpm If = 6 kg m2; = ?

20 0

2

(2 kg m )(600 rpm)6 kg mf f

II

= =

f = 200 rpm

Resumen Analogas rotacionalesCantidad Lineal Rotacional

Desplazamiento Desplazamiento x Radianes Inercia Masa (kg) I (kgm2)

Fuerza Newtons N Momento de torsin Nm

Velocidad v m/s Rad/s

Aceleracin a m/s2 Rad/s2

Cantidad de movimiento

mv (kg m/s) I (kgm2rad/s)

Frmulas anlogas

Movimiento lineal Movimiento rotacional

F = ma = IK = mv2 K = I2

Trabajo = Fx Trabajo =

Potencia = Fv Potencia = I

Fx = mvf2 - mvo2 = If2 - Io2

Resumen de frmulas: I = mR2

2 20 fI I =

mgho2

mvo2=

mghff2

mvf2

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

Altura?

Rotacin?

Velocidad?

212K I= o o f fI I =Trabajo =

==t

Potencia

CONCLUSIN: Captulo 11BRotacin de cuerpo rgido

Cap. 11B Rotacin de cuerpo rgidoObjetivos: Despus de completar este mdulo, deber:Inercia de rotacinEnerga cintica rotacionalEjemplo 1: Cul es la energa cintica rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm?Inercias rotacionales comunesEjemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales.Analogas importantesSegunda ley de rotacin de NewtonEjemplo 3: Cul es la aceleracin lineal de la masa de 2-kg que cae?Trabajo y potencia para rotacinEjemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la potencia si la masa de 2 kg se eleva 20 m en 4 s.El teorema trabajo-energaAplicacin del teorema trabajo-energa:Rotacin y traslacin combinadasDos tipos de energa cinticaConversiones angular/linealTraslacin o rotacin?Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Estrategia para problemasEjemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energas cinticas.Conservacin de energaEjemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo.Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. Cules son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m?Definicin de cantidad de movimiento angularEjemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm.Impulso y cantidad de movimientoEjemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza acta durante 0.002 s. Cul es la velocidad angular final? Conservacin de cantidad de movimientoResumen Analogas rotacionalesFrmulas anlogasResumen de frmulas:CONCLUSIN: Captulo 11BRotacin de cuerpo rgido