Tipuri si notiuni de semnale

Noiunea de semnal

Noiunea de semnal

Se numete semnal o mrime fizic msurabil, purttoare de informaie, care poate fi:

transmis la distan sau recepionat

prelucrat.

Obiectivul cursului: modelarea formei semnalelor.

Un semnal unidimensional, numit i semnal 1D, este o funcie de timp, notat generic prin x(t), . Fie suportul semnalului x(t), adic intervalul de timp finit n care se observ (msoar) semnalul. Funcia x(t) se consider de modul integrabil:

(1.1) ,

Fig. 1.1 Sistem dinamicSemnalele se pot aplica unor circuite sau, mai general, unor sisteme dinamice.

Sistemele dinamice realizeaz prelucrarea semnalelor, conform cu funciunile realizate de echipamentele electronice n care sunt nglobate. Exemple:

integrarea unui semnal,

derivarea acestuia,

filtrarea (extragerea unor componente spectrale ale semnalului sau, dup caz, eliminarea componentelor parazite),

modularea semnalelor, etc.

Echipamente electronice sunt formate din lanuri de sisteme dinamice, care realizeaz prelucrri consecutive ale semnalelor, conform unei tehnologii care determin funciunile realizate de echipamentul respectiv.

Semnalele pot fi:

cu timp continuu, numite semnale analogice (utilizate n circuitele analogice)

cu timp discret, utilizate n cadrul semnalelor numerice.

Semnalele numerice sunt generate prin dou operaii:

eantionarea semnalului, adic discretizarea timpului t cu un pas Te, numit perioad de eantionare. Semnalul cu timp discret, , este notat cu sau xk (k - timpul discret);

cuantizarea semnalului, adic discretizarea amplitudinii eantioanelor . Se alege un pas de cuantizare, , iar rezultatul operaiei de cuantizare este un numr ntreg, , astfel nct produsul s fie ct mai apropiat de amplitudinea eantionului cuantizat.

Cele dou operaii se realizeaz uzual n cadrul unui convertor analogic/numeric (A/N). La ieirea acestuia se obine un ir de valori numerice, , aferente momentelor de timp discrete k. Acest ir reprezint un semnal numeric

Fig. 1.2 Sistem numeric

. ntr-un sistem numeric (fig. 1.2), procesarea semnalului de intrare, , n vederea obinerii rspunsului se realizeaz prin mijloace software.Din clasa semnalelor unidimensionale menionm: semnalul vocal, semnalul radio (modulat n amplitudine sau n frecven), semnalele furnizate de traductoare ale mrimilor fizice uzuale (temperatur, vitez .a.) etc.

Semnalele care au o evoluie ce nu este supus hazardului se numesc semnale deterministe. Alturi de acestea, se ntlnesc i semnalele aleatoare, a cror evoluie n timp este supus hazardului (aa cum sunt perturbaiile)

Fig. 1.3 Sistem 2D

Semnalele bidimensionale, numite i semnale 2D, sunt de regul imagini. Fie un semnal bidimensional, n raport cu coordonatele spaiale x1 i x2. Mrimea u reflect valoarea nivelului de gri n punctul de coordonate x1 i x2. Operaiile de prelucrare a acestor semnale se realizeaz cu ajutorul sistemelor 2D (fig. 1.3). Semnalul de ieire din sistem, , se obine prin aplicarea unor operaii specifice (filtrare, extragere contur, etc.) aplicate semnalului de intrare .Capitolul 2 MODELAREA SEMNALELOR PERIODICE 1.1. Seria Fourier generalizat (SFG)

Instrumentul general de modelare a semnalelor periodice este seria Fourier generalizat (SFG).

Fie un semnal u(t) observat ntre momentele t0 i t0+T (fig. 2.1). Acest semnal se consider periodic.

Fig. 2.1 Semnal periodic

Fie u(t) un semnal n tensiune electric, rezult c puterea instantanee dezvoltat n rezistena R este . Se consider c energia dezvoltat n decursul perioadei T este finit, adic

(2.1)

;

SFG utilizeaz descrierea funciei u(t) cu ajutorul unui sistem de funcii liniar independente , unde i=0,1,2,3,.... Exprimarea lui u(t) prin SFG este:

(2.2)

n practic, limita superioar a sumei este ntotdeauna finit.

O prim problem care se pune este alegerea funciilor . Prima condiie necesar este ca funciile s fie liniar independente. Cerinele suplimentare pe care le avem n vedere cnd alegem sistemul de funcii sunt enunate mai jos:

s realizeze o bun aproximare, atunci cnd limita superioar din sum, N, este dat; adic eroarea: s fie ct mai mic;

s poat fi uor generate. Din acest punct de vedere, se recomand funciile trigonometrice;

determinarea rspunsului unui sistem, cnd la intrare se aplic semnalul modelat, s se realizeze cu uurin. Fie un sistem liniar, la intrarea cruia se aplic semnalul u(t), prezentat ca o dezvoltare dup sistemul de funcii (fig. 2.2).

Fig. 2.2 Rspunsul sistemului liniar

Conform principiului superpoziiei, rspunsul y(t) = , n care este rspunsul sistemului la intrarea (). Scopul este de a obine rspunsul y(t) cu un volum de calcul ct mai redus. Pentru aceasta, transferul s se obin ct mai uor posibil. Din acest punct de vedere, funciile trigonometrice sunt cele mai avantajoase;

determinarea parametrilor s se realizeze cu uurin.

Se va arta n cele ce urmeaz c, dac sistemul de funcii este ortogonal, calculul parametrilor devine facil.

Determinarea parametrilor

Vom considera c modelul conine un numr finit de parametri:

(2.3)

Cazul sistemului de funcii ortogonaleFunciile sunt ortogonale dac:

(2.4)

,

unde Ci reprezint norma funciei . Notm: .

Fie j ( {1,2,N} fixat. Prin nmulirea relaiei (2.3) cu i integrare pe intervalul [t0;t0+T], se obine:

,

sau, innd cont de proprietatea de ortogonalitate (2.4),

(2.5)

Observaii:

Parametrii {ai}i=1,2, se calculeaz n mod independent, fiecare fa de ceilali.

Dac, pentru un N adoptat arbitrar, rezult o eroare de modelare inacceptabil, se adaug noi termeni i se calculeaz parametrii , pn se obine precizia dorit, fr ca parametrii determinai anterior s fie afectai.

Cazul sistemelor de funcii neortogonaleRelaia (2.3) se nmulete cu , unde j=0,1,2,N. Cele relaii astfel obinute se integreaz pe intervalul T. Folosind notaiile:

,

,

rezult un sistem de ecuaii liniare cu necunoscutele :

Acest sistem este compatibil determinat (sistem Cramer), dac funciile sunt liniar independente. Parametrii {ai}i=0,1,N se obin ca fiind unica lui soluie.

Observaii:

Volumul de calcul este foarte important. Parametrii nu se obin n mod independent, ci se obine ntregul set, {ai}i=0,1,2,N. Dac eroarea de aproximare la valoarea adoptat a lui N nu este acceptabil, atunci trebuie adugai termeni. n acest caz trebuie recalculai toi parametrii din model (se reface toat procedura).

Noiunea de spectru

Ansamblul parametrilor se reprezint grafic ntr-o manier specific, reprezentarea respectiv numindu-se spectru (fig. 2.3).

Fig. 2.3 Spectrul SFG al unui semnal

Unicitatea reprezentrii semnalelor prin SFGPresupunem un semnal u(t), modelat printr-un sistem de funcii ortogonale , de norm C. SFG are expresia teoretic:

(1.2)

Presupunem c se utilizeaz pentru modelare un numr finit de termeni, i anume N. n mod riguros, nu ar trebui s acceptm c n suma respectiv parametrii sunt identici cu ; de aceea, parametrii din suma finit se noteaz cu . Se obine:

Se definete eroarea (instantanee) de modelare:

(1.3)

Calitatea aproximrii pe intervalul [t0;t0+T] este dat de integrala ptratului erorii:

(1.4)

Din (2.8), folosind (2.7), rezult succesiv:

n partea dreapt a acestei relaii, termenul al doilea conine integrale care sunt egale cu (conform cu relaia 2.5). Dezvoltarea ptratului din ultimul termen conduce la integrale ce reprezint produse scalare ale funciilor i , care sunt nule pentru , i la integrale care reprezint ptratul normelor funciilor , adic . Rezult:

Adugnd i scznd , se obine:

Se pune problema s determinm parametrii bi care minimizeaz criteriul de calitate I. Valoarea minim a acestui criteriu se obine atunci cnd bi=ai unde i=0,1,2,,N. Prin urmare, parametrii modelului cu numr finit de termeni de dezvoltare sunt unici, indiferent de N, i sunt cei din expresia teoretic (2.2). Integrala ptratului erorii are expresia:

(1.5)

ntruct I(0 pentru N finit, rezult:

(1.6)

Relaia (2.10) poart denumirea de inegalitatea lui Bessel.

Vom pune acum primul termen din relaia (2.9), sub forma:

,

unde unul din factorii u(t) se nlocuiete prin modelul (2.2). Rezult:

n relaia de mai sus se utilizeaz relaia (2.5) i rezult:

(1.7)

Aceast relaie reprezint egalitatea lui Parseval. Ea are o interpretare energetic: dac u(t) este un semnal n tensiune, atunci integrandul este puterea instantanee pe o rezisten unitar, iar integrala este energia dezvoltat n intervalul de timp T. Se constat c aceast energie se repartizeaz pe componentele dezvoltrii din SFG, proporional cu ptratele parametrilor ai, i=0,1,2,Problema de analiz a semnalelor

Problema se formuleaz astfel: se d semnalul u(t) i se cere spectrul su. Un analizor de semnal este un aparat care, primind la intrare semnalul u(t), i furnizeaz la ieire spectrul. n structura analizorului intr un generator de funcii care furnizeaz setul de funcii . Analizorul implementeaz fie analogic, fie numeric, expresia:

Fig. 2.4 Schema de principiu a unui analizor spectral

Problema de sintez a semnalelor

n acest caz, se d spectrul semnalului u(t) i se cere s se sintetizeze semnalul. Echipamentul care realizeaz operaia se numete sintetizor; acesta implementeaz relaia (2.3) i are schema de principiu dat n fig. 2.5.

Fig. 2.5 Schema de principiu a unui sintetizor de semnalParticularizarea sistemului de funcii ortogonale folosit n modelare conduce la obinerea diverselor instrumente de modelare concrete. Astfel, rezult urmtoarele tipuri de modelri:

cu funcii trigonometrice, ceea ce conduce la analiza Fourier clasic;

cu funcii binare: funcii Walsh, funcii Rademacher, funcii Haar, funcii Hadamard etc.;

cu polinoame ortogonale: Legendre, Laguerre, Hermite, Cebev etc.

1.2. Analiza Fourier a semnalelor periodice

Seria Fourier trigonometric (SFT)

n acest caz sistemul de funcii ortogonale este

(2.12)

,

cu

(2.13)

, (T este perioada semnalului periodic, iar este pulsaia)Funciile din acest sistem de funcii nu au aceeai norm. Pentru funciile trigonometrice sunt valabile relaiile:

;

;

n sistemul de funcii este i o constant, i anume . Norma acesteia se obine din:, Componenta din sistem i are ptratul normei

Prin considerarea sistemului de funcii (2.12) n seria Fourier generalizat (SFG), rezult urmtoarea relaie:

(2.14)

Utiliznd notaiile: , relaia (2.14) devine:

(2.15)

Calculul parametrilor se face aplicnd relaiile generale (2.5), adic adaptate la sistemul de funcii (2.12).Rezult:

(2.16)

Semnificaia fizic a parametrului C0 este aceea de valoare medie a semnalului. Ceilali parametri se obin conform relaiilor:

(2.17)

(2.18)

Relaia (2.15) reprezint expresia semnalului u(t) n seria Fourier trigonometric (SFT), iar relaiile (2.16), (2.17) i (2.18) servesc la determinarea spectrului din SFT (fig. 2.6).

Fig. 2.6 Spectrul SFT al unui semnal periodic

Seria Fourier armonic (SFA)

Seria Fourier armonic (SFA) se obine din SFT printr-o transformare simpl asupra termenului general , i=1,2:

(2.19)

,

unde:

(2.20)

,

(2.21)

n aceste condiii, seria Fourier trigonometrica (relaia (2.15)) se poate re-scrie astfel:

(2.22)

Relaia (2.22) reprezint expresia semnalului u(t) n SFA, adic sub form de sum de armonici, la care se adaug componenta continu . O armonic de ordinul i are expresia i reprezint o component cosinusoidal avnd pulsaia cunoscut, . Aceast armonic este determinat prin doi parametri: amplitudinea i faza iniial. Valoarea i=1 corespunde componentei fundamentale, numit simplu fundamental.

Spectrul SFA include spectrul de amplitudini i spectrul fazelor iniiale, ca n figura (2.7).

Fig. 2.7 Spectrul de amplitudini i de faze iniiale la SFA

Seria Fourier complex (SFC)

Fie armonica din SFA. Reprezentarea nesimplificat n planul complex a acestei armonici se face printr-un vector rotitor de lungime i de argument :

(2.23)

,

unde este reprezentarea n complex simplificat a armonicii i.n relaia (2.23) vom da indicelui i i valori negative. nlocuind n relaiile (2.17) i (2.18) pe i cu i, se obine i respectiv . Din relaiile (2.20) i (2.21) rezult c, dac schimbm i n i, avem (conjugata lui ). Se obine:

n expresia , fiecare termen din sum se poate nlocui cu semi-suma a dou exponeniale, conform cu relaia de mai sus. Se obine:

(2.24)

Notnd , expresia (2.24) devine:

(2.25)

Relaia (2.25) reprezint expresia modelului semnalului n seria Fourier complex (SFC). n aceast expresie, factorii nu introduc nici o informaie. ntreaga informaie despre model este inclus n parametrii . Calculul parametrilor compleci . Se ine cont de relaiile i , din care rezult c:

Vom utiliza n aceast relaie expresiile parametrilor Ci i Si ai SFT (relaiile 2.17 i 2.18) :

sau:

(2.26)

SFC este complet definit de relaiile (2.25) i (2.26). Examinnd acest model se constat prezena n prima relaie a factorului , iar n a doua relaie a factorului 2. Este evident faptul c modelul poate fi pus sub o form mai simpl, utilizat uzual n aplicaii:

(2.27)

(2.28)

Reprezentarea spectral a semnalului n SFC este ilustrat n fig. 2.8. Aici s-a considerat c semnalul are n SFA spectrul din figura 2.7. Spectrul de amplitudini din SFC are simetrie par. Trecerea de la spectrul de amplitudini din SFA la cel din SFC se face diviznd la 2 amplitudinile i atribuind amplitudinile njumtite inclusiv frecvenelor discrete negative, . Spectrul fazelor iniiale n SFC are simetrie impar, iar pentru frecvene pozitive el este identic cu cel din SFA. Deci legtura dintre SFC i SFA este dat de relaiile:

(2.29)

;

Fig. 2.8 Spectrul unui semnal periodic n SFC

Observaii:

1. Pentru simplificarea exprimrii, s-a utilizat noiunea de spectru i n cadrul SFC, chiar dac aici reprezentarea spectral include mrimi fr corespondent fizic (frecvene negative).

2. La calculul parametrilor SFT cu relaiile (2.17) i (2.18) se ine cont de urmtoarele reguli de calcul:

dac u(t) este funcie par, adic , rezult:

(2.30)

dac u(t) este funcie impar, adic , rezult:

(2.31)

3. Fie u(t) semnalul modelat prin SFC, conform relaiei . Presupunem c semnalul este ntrziat cu timpul (. Pentru obinerea modelului semnalului ntrziat, u(t-(), se nlocuiete t cu t-( n SFC, rezultnd:

,

unde . Constatm c , deci spectrul de amplitudini nu se modific, dar fazele iniiale sunt afectate de ntrziere:

(2.32)

S se determine SFT, SFA i SFC pentru semnalul din fig. 2.9.

Fig. 2.9 Semnal de tip sinus ptrat

ntruct funcia are simetrie impar, se aplic relaiile (2.31):

nlocuind se obine: Spectrul SFT este dat n fig. 2.10.

Fig. 2.10 Spectrul SFT al semnalului din fig. 2.9

Valorile nenule ale parametrilor se obin pentru i au expresia Cu parametrii i dedui, expresia SFT, adic: devine: (2.33)

Fig. 2.11 Spectrul SFA al semnalului din fig. 2.9

Dac se exprim funcia sinus prin funcia cosinus, se obine SFA (Fig. 2.11):

(2.34)

,

Exist numai armonici de ordin impar, caracterizate de relaiile:

Fig. 2.12 Spectrul SFC al semnalului din fig. 2.9

n conformitate cu relaiile existente ntre spectrele SFA i SFC, se deduce spectrul SFC, reprezentat n fig. 2.12.

n fig. 2.13 sunt prezentate graficele semnalului u(t) i ale semnalului calculat cu SFA coninnd numai armonica 1 (), respectiv coninnd 2 armonici (), 3 armonici () i 4 armonici ().

Programul Matlab utilizat pentru generarea aproximrilor lui u(t) prin SFA este:

clear all;

T=1;w=2*pi/T;

t=0:0.01:T;u=sign(sin(w*t));

plot(t,u);grid;hold on;

for i=1:4,

u=0;

for k=1:i,

u=u+sin((2*(k-1)+1)*w*t)/(2*(k-1)+1);

end;

u=u*4/pi;

plot(t,u,'k');

end;

hold off;

Fig. 2.13 Semnalul u(t) i diferite aproximri ale sale prin SFA

Observaie:

Spectrul unor semnale se poate obine din spectrul cunoscut al unui semnal de referin, prin nsumarea unei constante i/sau modificarea scrii i/sau operaie de ntrziere. De exemplu, considernd u(t) din fig. 2.9 ca semnal de referin, semnalul periodic din fig. 2.14 se scrie:

Avnd n vedere relaiile (2.32) i (2.34), spectrul SFA al semnalului este:

,

deci:

; ;

Fig. 2.14 Semnal derivat din semnalul u(t), dat n fig. 2.9

Sistem dinamic

u(t)

y(t)

Sistem numeric (realizare software)

uk

yk

Sistem 2D

EMBED Equation.DSMT4


T

-T

T

T

0

T

2T

u(t)

t

u(t)

EMBED Equation.3

y(t)

EMBED Equation.3

Sistem

liniar

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3





SFA

SFC

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

_1284629778.unknown

_1284705066.unknown

_1284707935.unknown

_1284708548.unknown

_1284709319.unknown

_1284709590.unknown

_1284713150.unknown

_1284716040.unknown

_1284716087.unknown

_1284716382.unknown

_1284716070.unknown

_1284716067.unknown

_1284716019.unknown

_1284709800.unknown

_1284709910.unknown

_1284709607.unknown

_1284709431.unknown

_1284709564.unknown

_1284709378.unknown

_1284708722.unknown

_1284708807.unknown

_1284708982.unknown

_1284709024.unknown

_1284708956.unknown

_1284708753.unknown

_1284708583.unknown

_1284708653.unknown

_1284708568.unknown

_1284708339.unknown

_1284708449.unknown

_1284708472.unknown

_1284708108.unknown

_1284708179.unknown

_1284708314.unknown

_1284707956.unknown

_1284707316.unknown

_1284707554.unknown

_1284707899.unknown

_1284707916.unknown

_1284707575.unknown

_1284707434.unknown

_1284707498.unknown

_1284707390.unknown

_1284705845.unknown

_1284706064.unknown

_1284707093.unknown

_1284707131.unknown

_1284707262.unknown

_1284707191.unknown

_1284707096.unknown

_1284706523.unknown

_1284706682.unknown

_1284706795.unknown

_1284706559.unknown

_1284706073.unknown

_1284705885.unknown

_1284705917.unknown

_1284705936.unknown

_1284705958.unknown

_1284705926.unknown

_1284705907.unknown

_1284705895.unknown

_1284705865.unknown

_1284705875.unknown

_1284705855.unknown

_1284705728.unknown

_1284705779.unknown

_1284705824.unknown

_1284705835.unknown

_1284705800.unknown

_1284705812.unknown

_1284705790.unknown

_1284705751.unknown

_1284705768.unknown

_1284705740.unknown

_1284705674.unknown

_1284705711.unknown

_1284705091.unknown

_1284705645.unknown

_1284632669.unknown

_1284632769.unknown

_1284632949.unknown

_1284705040.unknown

_1284704878.unknown

_1284704980.unknown

_1284632839.unknown

_1284632895.unknown

_1284632792.unknown

_1284632802.unknown

_1284632813.unknown

_1284632781.unknown

_1284632728.unknown

_1284632748.unknown

_1284632759.unknown

_1284632738.unknown

_1284632707.unknown

_1284632718.unknown

_1284632684.unknown

_1284632160.unknown

_1284632520.unknown

_1284632583.unknown

_1284632658.unknown

_1284632630.unknown

_1284632544.unknown

_1284632567.unknown

_1284632532.unknown

_1284632452.unknown

_1284632487.unknown

_1284632499.unknown

_1284632509.unknown

_1284632464.unknown

_1284632175.unknown

_1284630372.unknown

_1284631926.unknown

_1284632036.unknown

_1284630212.unknown

_1284630224.unknown

_1284630289.unknown

_1284629833.unknown

_1112097284.unknown

_1284628001.unknown

_1284628620.unknown

_1284629524.unknown

_1284629653.unknown

_1284629737.unknown

_1284629623.unknown

_1284629371.unknown

_1284629463.unknown

_1284629369.unknown

_1284628450.unknown

_1284628499.unknown

_1284628516.unknown

_1284628469.unknown

_1284628430.unknown

_1284628065.unknown

_1284628323.unknown

_1113032908.unknown

_1284627280.unknown

_1284627844.unknown

_1284627935.unknown

_1284627953.unknown

_1284627914.unknown

_1284627332.unknown

_1284627823.unknown

_1284627118.unknown

_1284627207.unknown

_1113034268.unknown

_1113034276.unknown

_1113034281.unknown

_1113034121.unknown

_1113033311.unknown

_1113033317.unknown

_1113033305.unknown

_1113031359.unknown

_1113032854.unknown

_1113032872.unknown

_1113032879.unknown

_1113031452.unknown

_1113032176.unknown

_1113032182.unknown

_1113032066.unknown

_1113031445.unknown

_1112097370.unknown

_1113029822.unknown

_1113031012.unknown

_1113031156.unknown

_1113030771.unknown

_1113030923.unknown

_1113029830.unknown

_1112097371.unknown

_1112097367.unknown

_1112097368.unknown

_1112097366.unknown

_1112097365.unknown

_1109492791.unknown

_1109500768.unknown

_1109500838.unknown

_1109500865.unknown

_1109500900.unknown

_1112081983.unknown

_1112082324.unknown

_1109501057.unknown

_1109501279.unknown

_1109501345.unknown

_1109501045.unknown

_1109500875.unknown

_1109500882.unknown

_1109500870.unknown

_1109500852.unknown

_1109500860.unknown

_1109500843.unknown

_1109500814.unknown

_1109500827.unknown

_1109500833.unknown

_1109500822.unknown

_1109500790.unknown

_1109500802.unknown

_1109500810.unknown

_1109500796.unknown

_1109500784.unknown

_1109500620.unknown

_1109500654.unknown

_1109500672.unknown

_1109500724.unknown

_1109500667.unknown

_1109500635.unknown

_1109500649.unknown

_1109500626.unknown

_1109497003.unknown

_1109497033.unknown

_1109497710.unknown

_1109500581.unknown

_1109498408.unknown

_1109497370.unknown

_1109497023.unknown

_1109492852.unknown

_1109493003.unknown

_1109493071.unknown

_1109493077.unknown

_1109493615.unknown

_1109493020.unknown

_1109492864.unknown

_1109492869.unknown

_1109492858.unknown

_1109492809.unknown

_1109492814.unknown

_1109492802.unknown

_1045577192.unknown

_1104899937.unknown

_1105346269.unknown

_1109420337.unknown

_1109492774.unknown

_1109492781.unknown

_1109421539.unknown

_1105346389.unknown

_1105346873.unknown

_1105348943.unknown

_1105355001.unknown

_1105348935.unknown

_1105346773.unknown

_1105346288.unknown

_1104904036.unknown

_1104905380.unknown

_1104906090.unknown

_1105346259.unknown

_1104905996.unknown

_1104904044.unknown

_1104905378.unknown

_1104905379.unknown

_1104905152.unknown

_1104905377.unknown

_1104904119.unknown

_1104901089.unknown

_1104901419.unknown

_1104901698.unknown

_1104901857.unknown

_1104903058.unknown

_1104903146.unknown

_1104903689.unknown

_1104903218.unknown

_1104903065.unknown

_1104903115.unknown

_1104902324.unknown

_1104902329.unknown

_1104902246.unknown

_1104902318.unknown

_1104901858.unknown

_1104901711.unknown

_1104901717.unknown

_1104901705.unknown

_1104901425.unknown

_1104901431.unknown

_1104901181.unknown

_1104901348.unknown

_1104901354.unknown

_1104901360.unknown

_1104901182.unknown

_1104901179.unknown

_1104901180.unknown

_1104901095.unknown

_1104900279.unknown

_1104900638.unknown

_1104901039.unknown

_1104901048.unknown

_1104901030.unknown

_1104900945.unknown

_1104900286.unknown

_1104900516.unknown

_1104900532.unknown

_1104900549.unknown

_1104900293.unknown

_1104900040.unknown

_1104900089.unknown

_1104900225.unknown

_1104900073.unknown

_1104899972.unknown

_1104853827.unknown

_1104854939.unknown

_1104899430.unknown

_1104899448.unknown

_1104899460.unknown

_1104899711.unknown

_1104899742.unknown

_1104899454.unknown

_1104899442.unknown

_1104899177.unknown

_1104899423.unknown

_1104854963.unknown

_1104854859.unknown

_1104854898.unknown

_1104854811.unknown

_1046169698.unknown

_1055693688.unknown

_1101737987.unknown

_1101738249.unknown

_1055779492.unknown

_1045577195.unknown

_1045577200.unknown

_1045577203.unknown

_1045577198.unknown

_1045576917.unknown

_1045576929.unknown

_1045577165.unknown

_1045577182.unknown

_1045577187.unknown

_1045577190.unknown

_1045577185.unknown

_1045577171.unknown

_1045577177.unknown

_1045577179.unknown

_1045577174.unknown

_1045577168.unknown

_1045577134.unknown

_1045577157.unknown

_1045577160.unknown

_1045577163.unknown

_1045577146.unknown

_1045577154.unknown

_1045577141.unknown

_1045576923.unknown

_1045576926.unknown

_1045576920.unknown

_1045576865.unknown

_1045576895.unknown

_1045576903.unknown

_1045576911.unknown

_1045576914.unknown

_1045576907.unknown

_1045576900.unknown

_1045576880.unknown

_1045576886.unknown

_1045576891.unknown

_1045576883.unknown

_1045576874.unknown

_1045576877.unknown

_1045576868.unknown

_1044003700.unknown

_1045576847.unknown

_1045576862.unknown

_1044003633.unknown

_1043916825.unknown

_1044003609.unknown

_1043916793.unknown

_1043916805.unknown

_1043916785.unknown

Documents

Tipuri si notiuni de semnale