TITIK TIMBUN DAN TEOREMA BOLZANO –WEIERSTRASS

1. Teorema Bolzano – Weierstrass

Setiap subset ℝ yang tak berhingga (infinite) dan terbatas, mempunyai paling sedikit satu

titik timbun.

Bukti: Diberikan sebarang subset S  ⊂ ℝ tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas,

maka terdapat interval I1 = dengan panjang L (I1) = b – a. Kemudian bagilah I1 menjadi

dua bagian, yaitu dan . Karena S tak berhingga, maka salah satu interval

tersebut memuat tak hingga banyak titik anggota S, sebab apabila keduanya memuat

berhingga banyak anggota S, maka berarti himpunan S dan I2. Panjangnya L (I2) = .

Selanjutnya, I2 dibagi menjadi dua bagian seperti langkah diatas, maka salah satu bagian

memuat tak hingga banyak anggota S. Namakan bagian tersebut dengan I2. Panjangnya L (I3)

= . Apabila proses diteruskan, maka diperoleh barisan interval susut (nested)

I1 I2 I3 ... In ...

Menurut sifat Intervel susut, maka ∅ atau terdapat .

Akan ditunjukkan x titik cluster S. Diambil sebarang > 0 ,maka terdapat n N sedemikian

sehingga . dan persekitarannya . Karena x In dan L (In) =

,maka In . Karena In memuat tak hingga banyak titik anggota S, maka

memuat tak hingga banyak titik anggota Syang tidak sama dengan x. Jadi, x merupakan titik

timbun S.

1

2. Teorema (Bolzano-Weierstrass): Setiap barisan bilangan real yang terbatas pasti memuat

barisan bagian yang konvergen.

Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X = (xn) . Namakan }

range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak berhingga.

Kasus I: diketahui S berhingga. Misalkan S = { 1, 2,..., t}, maka terdapat m dengan

1 dan barisan (rk : k yang konvergen ke xm.

Kasus II: karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik timbun atau titik

limit, namakan titik limit S. Misalkan Uk = persekitaran titik .

Untuk k = 1, maka terdapat sedemikian sehingga

Untuk k = 2, maka terdapat sedemikian sehingga

Untuk k = 3, maka terdapat sedemikian sehingga

Demikian seterusnya sehingga diperoleh:

2

Untuk k = n maka terdapat sedemikian sehingga

Mengambil > 0. Menurut sifat Archimedes, maka terdapat k sedemikian sehingga

Maka untuk setiap n K berlaku . Terbukti bahwa (

konvergen ke dengan barisan dengan ( ).

3