Téma 10fast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema10.pdfsouřadnic xz, proto kvadratické momenty pr ůřezu, statické momenty – lineární Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4 4

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Téma 10:Momenty setrvačnostia deviační momenty

• Polární moment setrvačnosti

• Centrální kvadratické momenty základních průřezů• Centrální kvadratické momenty složených průřezů• Kvadratické momenty k pootočeným osám

2 / 43

Průřezy prutových konstrukčních prvků

Pojem kvadratických momentů rovinných obrazců

Výpočet deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické charakteristiky průřezu:

• Plocha A průřezu (Téma 9)• Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z (Téma 9)• Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu (Téma 9)• Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z• Deviační moment Dxz k osám x, z

Předpoklad: průřez tíhověhomogenní, fiktivní měrná tíha γ = 1(bez fyzikálního rozměru)

3 / 43

Kvadratický moment rovinných obrazců

K výkladu kvadratických momentůObr. 5.1. / str. 57


AA .1 γγ =→=V počátečním bodě dílku působí elementárnífiktivní sila kolmá k rovině průřezu:

Plocha elementárního obdélníkového dílku: zxA d.dd =

Moment setrvačnosti (vždy kladné) a deviační moment (kladný či záporný) k osám x, z - osy setrvačnosti:

AAP dd.d == γ

∫∫=A

x AzI d.2 ∫∫=A

z AxI d.2

∫∫=A

xz AzxD d..

Poznámka: elementy plochy násobeny kvadráty souřadnic x2 a z2 nebo součinemsouřadnic xz , proto kvadratické momenty průřezu, statické momenty – lineární

Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4

4 / 43




Ve stavební mechanice kvadratické momenty k osám xt, zt procházejícím těžištěm T – centrální osy setrvačnosti, centrální kvadratické momenty průřezu, hlavní osy setrvačnosti (mohou být pootočené).

( )

AccSIAc

AzcAzAczI

tt

t

xxA

At

AAtx

22

22

2d.

d..2d.d.

++=+

++=+=

∫∫

∫∫∫∫∫∫

Pravidlo o kvadratických momentech k rovnoběžně posunutým osám:

Tt zzzc =−= Tt xxxd =−=

( )

AddSIAd

AxdAxAdxI

tt

t

zzA

At

AAtz

22

22

2d.

d..2d.d.

++=+

++=+=

∫∫

∫∫∫∫∫∫

( )( )

AdcSdScDAdcAzd

AxcAzxAdxczD

tttt xzzxAA

t

At

Att

Attxz

....d..d.

d..d..d.

+++=++

++=++=

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

5 / 43




0==tt zx SSStatické momenty průřezu k těžištním osám průřezu:

AcIItxx .2+=

Výsledné tvary vztahů pro kvadratické momenty k osám x, zneprocházejícím těžištěm průřezu:

AdIItzz .2+=

AdcDDtt zxxz ..+=

Steinerova věta

Po úpravě lze použít rovněž:

AcII xx t.2−=

AdII zzt.2−=

AdcDD xzzx tt..−=

Jakob Steiner(1796-1863)

6 / 43

Centrální kvadratické momenty obdélníku

ObdélníkObr. 5.2. / str. 59

Centrální kvadratické momenty základních průřezů

0, =→≡≡→≡ xztt DzzxxTOZvoleno:

Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti:

3332

2

3

2

2

22

2

2

2

22

..121

88.

33.

d.ddd.

hbhhbzb

zzbzxzAzI

h

h

h

h

h

h

b

bAx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

−

−− −∫∫ ∫∫∫

hbI z ..121 3=Obdobně:

0d44

.21.d

2.

ddd..

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫∫

∫ ∫∫∫

−− −

− −

h

h

h

h

b

b

h

h

b

bAxz

zbbzzxz

zxx.zAzxD

Důkaz nulového deviačního momentu:

7 / 43

Kvadratické momenty obdélníku ve složeném obrazci



[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ==≡→≠

2,

2, bdhczxTO TT

Zvoleno:

Výpočet momentů setrvačnosti:

32

32 ..31..

4..

121. hbhbhhbAcII

txx =+=+=

22..41..

2.

20.. hbhbhbAdcDD

tt zxzx =+=+=

Steinerova věta

hbhbbhbAdIItzz ..

31..

4..

121. 3

232 =+=+=

8 / 43

Kvadratické momenty čtverce



Čtverec o straně a: ahb ==

Výpočet hlavních centrálních momentů setrvačnosti:

4.121 aII zx ==

Kvadratické momenty čtverce k osámprocházejícím jeho stranami:

zx,

422

42 .31.

4.

121. aaaaAcII

txx =+=+=

42 .41.

2.

20.. aaaaAdcDD

tt zxzx =+=+=

4.31 aII xz ==

9 / 43

Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku

Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku

Pravoúhlý trojúhelníkObr. 5.3. / str. 59


(a) (b)

Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z:

3

0

3

0 0

22

..41d..

ddd.d.

hbzzhb

zxzzxzI

h

h hbz

Ax

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫

∫ ∫∫∫

224

2

2

0

32

2

0

.

0

..81

4.

2d.

2

ddd.d..

hbhhbzz

hb

zxx.zzxzxD

h

h hzb

Axz

===

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫

∫ ∫∫∫

hbhhbzz

hb

zxxzxxI

h

h hbz

Az

..121

4.

3d..

3

ddd.d.

34

3

3

0

33

3

0 0

22

===

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫

∫ ∫∫∫

10 / 43

Centrální kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku

Pravoúhlý trojúhelníkObr. 5.3. / str. 59


(a) (b)

Výpočet centrálních momentů setrvačnosti (nejsou ale hlavní momenty):

323

2

..361..

21..

94..

41

.

hbhbhhb

AcII xxt

=−=

=−=

2222 ..721...

21..

31..

32..

81

..

hbhbbhhb

AdcDD xzzx tt

=−=

=−=

Steinerova věta

hbhbbhb

AdII zzt

..361..

21..

91..

121

.

323

2

=−=

=−=

hc .32

= bd .31

=

11 / 43

Centrální kvadratické momenty rovnoramenného trojúhelníku

Rovnoramenný trojúhelníkObr. 5.4. / str. 60


Rovnoramenný trojúhelník – lze rozdělit na dva symetrické pravoúhlé

33 ..361.

2.

361.2 hbhbIx =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

hbhbIz ..481.

2.

121.2 3

3

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Svislá osa symetrie – jsou zároveň hlavnímomenty setrvačnosti a nulový deviační moment

Kvadratické momenty ve složeném obrazci – k vodorovným osám :xx,

33 ..41.

2.

41.2 hbhbIx == 33 ..

121.

2.

121.2 hbhbI

x==

Rovnostranný trojúhelník o straně b:

bh .23

= 44 .01804,0.96

3 bbII zx === &

12 / 43

[ ] 420

442π

0

34

2π

0

22

0

cos.

0

.81cos.

8d.cos.sin.

2

d.cos..cos..21.sin.

ddd.d..

rrr

rrr

zxx.zzxzxDr r

Axz

=−==

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫

∫

∫ ∫∫∫

π

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

42π

0

42π

0

224

2π

0

22

0

cos.

0

22

.π.161

324sin

8.d.cos.sin.

d.cos..cos..sin.

ddd.d.

rrr

rrr

zxzzxzIr r

Ax

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∫

∫

∫ ∫∫∫

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕ

Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu

ČtvrtkruhObr. 5.5. / str. 61


SO ≡Zvoleno: Platí: ϕsin.rz = ϕϕ d.cos.d rz =

Moment setrvačnosti k vodorovné ose x:

Osa symetrie skloněná o 45o - zx II =

13 / 43

Centrální kvadratické momenty čtvrtkruhu

ČtvrtkruhObr. 5.5. / str. 61


Kvadratické momenty k netěžištním osám tedy: 4.81 rDxz =4.π.

161 rII zx ==

Souřadnice těžiště: (Téma 9)

rrdc 4244,0π.3.4

=== &

Plocha: 4.π 2rA =

Centrální kvadratické momenty k těžištním osám rovnoběžným s x, z:

44

2

2

242

.05488,0π94

16π.

4.π.

π.9.16.π.

161.

rr

rrrAcIII xzx tt

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=−=−==

&

442

2

24 .01647,0

π94

81.

4.π.

π.9.16.

81

..

rrrrr

AdcDD xzzx tt

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

=−=

&

14 / 43

Centrální kvadratické momenty půlkruhu

PůlkruhObr. 5.6.a. / str. 62


(a)

Složený obrazec ze dvou čtvrtkruhů, které mají k obou osám stejnémomenty setrvačnosti, ale deviační momenty s opačným znaménkem:

0=xzD44 .π.81.π.

161.2 rrII zx ===

Osa z – osa symetrie, hlavní centrální osa setrvačnosti tzz ≡

Hlavní centrální momenty setrvačnosti tedy:

444 .10976,0π9

88π.

π94

16π..2 rrrI

tx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= &

4.π.81 rII zzt

==

15 / 43

Centrální kvadratické momenty kruhu a mezikruží

KruhObr. 5.6.b. / str. 62


(b)

MezikružíObr. 5.6.c. / str. 62

(c)

Kruh: složený obrazec ze dvou půlkruhů, kterákoliv těžištní osa je osou symetrie, moment setrvačnosti ke kterékoliv těžištní ose je hlavní centrálnímoment setrvačnosti

Mezikruží: složený obrazec z vnějšího kruhu o poloměru r1 a odečítaný vnitřní kruh o poloměru r0

44 .π.41.π.

81.2 rrII

tt zx === ( )40

41.π.

41 rrII

tt zx −==

16 / 43

Výpočet kvadratických momentů pomocí tabulek


17 / 43



18 / 43



19 / 43



20 / 43



21 / 43



22 / 43



23 / 43



24 / 43



25 / 43

Centrální kvadratické momenty složených průřezů


Průřezy složené z jednotlivých obrazcůPostup výpočtu:

a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu zx,b) rozdělit složený obrazec na n jednodušších prvků i=1, …, nc) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště v pomocné

souřadnicové soustavě (otvory mají plochu se znaménkem mínus)tt zx ,

d) určit plochu A celého průřezu (součtem Ai) , určit souřadnice těžištěcelého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezurovnoběžné s osami

TT zx ,

zx,tt zzxx ≡≡ ,

e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti Tii zzc −= Tii xxd −=

f) vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:

( )∑=

+=n

iiixx AcII

i1

2. ( )∑=

+=n

iiizz AdII

i1

2. ( )∑=

+=n

iiiizxxz AdcDD

ii1

..

(Otvory mají momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviačnímomenty s opačným znaménkem)

26 / 43

Příklad 10.1

Zadání příkladu 10.1Obr. 5.7.a. / str. 64


(a)Požadavek: Určit centrální kvadratickémomenty setrvačnosti

Složený obrazec: ze tříjednoduchých prvků –pravoúhlý trojúhelník, obdélník a výřez tvaru půlkruhu

27 / 43

Příklad 10.1

Řešení příkladu 10.1Obr. 5.7.b. / str. 64


(b)Postup výpočtu:

a) Rozdělení na prvky

b) Určit plochy prvků a souřadnicejejich těžišť v pomocnésouřadnicové soustavě

c) Vypočítat plochu celého obrazcea souřadnice jeho těžiště

28 / 43

Příklad 10.1

Řešení příkladu 10.1Obr. 5.7.b. / str. 64


(c)d) Kvadratické momenty prvků a ramenajejich těžišť

e) Centrální kvadratické momentyprůřezu dle:

( ) 4

1

2 m006641,0. =+= ∑=

n

iiixx AcII

i

( ) 4

1

2 m003921,0. =+= ∑=

n

iiizz AdII

i

( ) 4

1m001885,0.. =+= ∑

=

n

iiiizxxz AdcDD

ii

29 / 43

Průřezy složené z válcovaných tyčí

+x+z

PU

zi

R

zT

T[xT,zY]

xT

PI zU

zI


30 / 43

Kvadratické momenty k pootočeným osám

Geometrická transformacesouřadnic při pootočení os

Obr. 5.8. / str. 65


Geometrická transformace souřadnic při pootočení souřadnicových os:αα sin.cos. zxx −=′ αα cos.sin. zxz +=′

∫∫ ′=′A

x AzI d.2 ∫∫ ′=′A

z AxI d.2 ∫∫ ′′=′′A

zx AzxD d..Kvadratické momenty obrazce k pootočeným osám:

1. po dosazení:

( )

ααα

ααα

ααα

α

αα

2sin.sin.cos.

cos.2sin.sin.

d..cosd..cossin2

d..sin

d.cos.sin.

22

22

22

22

2

xzzx

xxzz

AA

A

Ax

DII

IDI

AzAzx

Ax

AzxI

++=

=++=

=++

+=

=+=

∫∫∫∫

∫∫

∫∫′

∫∫ ′=′A

x AzI d.2

31 / 43

2. po dosazení:



∫∫ ′=′A

z AxI d.2

∫∫ ′′=′′A

zx AzxD d..

( )

αααααα

αααααα

2sin.cos.sin.sin.2sin.cos.

d..sind..cossin2d..cosd.sin.cos.

2222

22222

xzzxxxzz

AAAAz

DIIIDI

AzAzxAxAzxI

−+=+−=

=+−=−= ∫∫∫∫∫∫∫∫′

3. po dosazení:

( )( )

( )

( ) ααααα

αααααα

αααα

2cos.2sin.21.2sin.

21.2cos.2sin

21.

d..cos..sind...cos.sind..cos.sin

dcos.sin..sin.cos.

2222

xzxzxxzz

AAA

Azx

DIIIDI

AzAzxAx

AzxzxD

+−=−+=

=−−+=

=+−=

∫∫∫∫∫∫

∫∫′′

Důležité pootočení α os setrvačnosti, při kterém nabudou oba momenty setrvačnosti extrémních hodnot (maximální a minimální).

32 / 43



( )

002

2cos.2.2sin.2cos.2.cos.sin.2.cos.sin.2.dd

=⇒==

=+−=++−=

′′′′

′

zxzx

xzxzxzzxx

DD

DIIDIII αααααααα

Derivace dle α obou momentů rovna nule:

Závěr: Oba momenty setrvačnosti nabývají extrémní hodnoty, když je deviační moment nulový. Jeden z nich je maximální, druhý minimální.

Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0:

( )zx

xzxzxz II

DDII−

=⇒=+−22tg02cos.2.2sin. 000 ααα

Hlavní momenty setrvačnosti:

012 90±= αα

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

20

020

0000

2tg12tg.

2tg11..

21.

212sin.

2cos..21.

212sin.2cos1.

21.2cos1.

21.

αα

αα

αααα

++

+−++=+

+−++=+−++=′

xzzxzxxz

zxzxxzzxx

DIIIID

IIIIDIII

33 / 43



Po úpravě:

Znaménko před odmocninou: +-

( ) ( ) 222,1 .4.

21.

21

xzzxzx DIIIII +−±+=

max1 II =

min2 II =

Hlavní osy setrvačnosti se sklonem α0:

xz

x

DII −

= 2,12,1tgα

012 90±= ααmax1 I→α

min2 I→α

Poučka:Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění, zůstávákonstantní (neměnný, invariantní).

21 IIIIII zxzx +=+=+ ′′

34 / 43

Příklad 10.2

Příklad 10.2Obr. 5.9.a. / str. 68


Požadavek: Určit hlavní centrální momenty setrvačnosti a sklony jim příslušných hlavních os

Postup:a) Centrální kvadratické momenty k

vodorovné a svislé oseb) Hlavní centrální momenty setrvačnostic) Sklon hlavních centrálních os

setrvačnosti

( ) ( ) 222,1 .4.

21.

21


xz

x

DII −

= 2,12,1tgα

4max1 m0008779,0== II 4

min2 m0002189,0== II

35 / 43



-0,00040000

-0,00020000

0,00000000

0,00020000

0,00040000

0,00060000

0,00080000

0,00100000

-180

-160

-140

-120

-100 -80

-60

-40

-20 0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

Ix(alfa)Dxz(alfa)Iz(alfa)

40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD oo 180180 ÷−=α40,0003375m=zI

36 / 43



-0,00040000

-0,00020000

0,00000000

0,00020000

0,00040000

0,00060000

0,00080000

0,00100000

-180

-160

-140

-120

-100 -80

-60

-40

-20 0 20 40 60 80 100

120

140

160

180


40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD40,0003375m=zI4

1 m0008779,0=Io10,251 +=α

4m000000,0=′′zxD

37 / 43



-0,00040000

-0,00020000

0,00000000

0,00020000

0,00040000

0,00060000

0,00080000

0,00100000

-180

-160

-140

-120

-100 -80

-60

-40

-20 0 20 40 60 80 100

120

140

160

180


40,0007594m=xI 4m0002531,0=xzD40,0003375m=zI4

2 m0002189,0=Io90,642 −=α

4m000000,0=′′zxD

38 / 43

Příklad 10.3

Příklad 10.3Obr. 5.9.b. / str. 68





setrvačnosti

( ) ( ) 222,1 .4.

21.

21


xz

x

DII −

= 2,12,1tgα

48max1 mm10.3672,2== II 48

min2 mm10.2743,1== II

39 / 43

Příklad 10.4

Příklad 10.4Obr. 5.9.c. / str. 68





setrvačnosti

( ) ( ) 222,1 .4.

21.

21


xz

x

DII −

= 2,12,1tgα

4max1 m007605,0== II 4

min2 m002957,0== II

40 / 43

Poloměr setrvačnosti


Geometrická charakteristika průřezu:AIi x

x =AIi z

z =

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti:A

Ii maxmax =

AIi min

min =

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez :(šířka b, výška h)

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a):

hhhhb

hbi .2887,0.121

12..12. 23

max ==== & bi .2887,0min =&

aii .2887,0minmax == &

Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez:

24.π.4.π 2

2

4

minmaxrr

rrii ====

41 / 43

Polární moment setrvačnosti

K výkladu polárníhomomentu setrvačnosti

Obr. 5.10. / str. 71


Polární moment setrvačnosti:(p je vzdálenost od pólu) ∫∫=

Ap ApI d.2

Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4

( ) zxxzAAA

p IIIIAzAxAzxI +=+=+=+= ∫∫∫∫∫∫ d.d.d. 2222

Poučka:Polární moment setrvačnosti k pólu O je roven součtu axiálních momentů setrvačnosti k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto pólem procházejí.

Ve stavařské praxi – pólem je výhradnětěžiště průřezu, centrální polární moment setrvačnosti, využití u rotačně symetrických průřezů.

42 / 43

Příklad 10.6

Zadání příkladu 10.6Obr. 5.11. / str. 71


Požadavek: Určit centrální polární moment setrvačnosti ocelové trubky

Řešení:44 .π.

21.π.

41.2 rrI p ==Centrální polární moment setrvačnosti pro kruh:

( )40

41.π.

21 rrI p −=

Centrální polární moment setrvačnosti pro mezikruží:

mm301 =rKonkrétně: mm240 =r

( ) 4544 mm10.5119,72430.π.21

=−=pI

43 / 43

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Centrální kvadratické momenty základních průřezů2. Centrální kvadratické momenty složených průřezů3. Kvadratické momenty k pootočeným osám4. Polární moment setrvačnosti

Podklady ke zkoušce

Documents

Téma 10fast10.vsb.cz/krejsa/studium/ss_tema10.pdfsouřadnic xz, proto kvadratické momenty pr ůřezu, statické momenty – lineární Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4 4