Jihočeská univerzita

v Českých BudějovicíchPedagogická fakulta

Katedra matematikyDidaktika matematikyAkademický rok: 2003 – 2004

Zpracoval:Jan HAMERNÍKM – T V T / Z Š3 . r o č n í k

Kvadratické funkce

Kvadratická funkce

Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší.

hospodářská budova

výběh x x

18 – 2x

Příklad 1:

Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů.

Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x

Sestavíme si tabulku:

x 1 2 3 4 5 6 7 8

(18 – 2x).x 16 28 36 40 40 36 28 16

Řešení:

Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y

Obrázek zřetelně ukazuje na syme- trické rozložení bodů podle přím- ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho- dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.

O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.

Výraz – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x 4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 < 40,5

Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:

(18 – 2x) . x = – 2x2 + 18x = – 2(x2 – 9x + 4,52 – 4,52) = = – 2(x2 – 9x + 4,52) + 2 . 4,52 = – 2(x – 4,5) 2 + 40,5

Je tomu ale skutečně tak?

Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru   y = ax2 + bx + c,  kde a R – {0}, b, c R

              

Příklad č. 2:

Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne.

(Užijte vzorec ; g = 10 m.s-2. 2

2

1tgtvs

Řešení:

Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m

Použijeme výše uvedený vzorec:

Dále využijeme zadané g = 10 m.s-2

2

2

1tgtvs

Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t.

s510

50

g

vt

Dosadíme do vzorce:2

2

1tgtvs

m1251252502

250250510

2

1550 2 s

Příklad č. 3:

Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n2, kde = 0,455 43 m2.kg.s–2, = 0,455 43 m2.kg.s-1.

Příklad č. 4:

Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje

a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy;

b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

Grafy kvadratických funkcí

Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x2

Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.

Obr.1 Obr. 2

Grafem kvadratické funkce y = x2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola.

Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x2 má tyto vlastnosti:

jejím oborem hodnot je interval 0,+; funkce je v intervalu ;0 klesající, v intervalu 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

Příklad č. 1:

Na obrázku je graf funkce h1: . Sestrojte pomocí

něho graf funkce h2: .

2

4

3xy

34

3 2 xy

Obr. 3

Řešení:

Pro každé x R je h2(x) = h1(x) – 3; např. pro x = – 2 je

0333)2(4

3)2( 2

2 h3)2(4

3)2( 2

1 h

Ke grafu funkce h2 dospějeme tedy od grafu funkce h1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.

Obr. 4

Příklad č. 2:

Sestrojte graf funkce h3: , a to opět využitím

grafu funkce h1:2

4

3xy

2)1x(4

3y

Graf funkce h1.

Řešení:

Pro každé x R je h3(x – 1) = h1(x); např. pro x = 3 je

4

27)12(

4

3)2(h)1x(h,

4

273

4

3)3(h)x(h 2

332

11

Jestliže funkce h1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h3 v bodě x – 1Graf funkce h3 získáme z grafu funkce h1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x.

Obr. 5

Příklad č. 3:

Sestrojte graf funkce h5: .4

9

2

3

4

3 2 xxy

Nejdříve upravíme výraz doplněním

na druhou mocninu dvojčlenu.4

9

2

3

4

3 2 xxy

Řešení:

4

92

4

3

4

9

2

3

4

3

4

9

2

3

4

3 222 xxxxxx

314

3

4

9

4

312

4

3 22 xxx

Obr. 6

Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c?

2. Sestrojíme graf funkce

f1: y = ax2.

a

bc

a

bxacbxaxf

42:

222

2

3. Sestrojíme graf funkce

a

bc

a

bxacbxax

42

222

1. Upravíme nejprve výraz ax2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:

a to z grafu funkce f1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x,

přičemž

a

b

2

pro > 0 jde o posunutí ve směru

záporné poloosy x, a

b

2

pro < 0 o posunutí ve směru

kladné poloosy x, a

b

2

pro = 0 o posunutí o 0 jednotek

na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),

a

b

2

a o jednotek ve směru osy x,

přičemža

bc

4

2

pro > 0 jde o posunutí ve směru

kladné poloosy y, a

bc

4

2

pro < 0 o posunutí ve směru

záporné poloosy y, a

bc

4

2

pro = 0 o posunutí o 0 jednotek

na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy y,

a

bc

4

2

Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y.

Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách a.

Funkce y = ax2 + bx + c (a 0)

Oborem hodnot je

.

,

4

2

a

bc

Je rostoucí v . ,

2a

b

Je klesající v .

a

b

2,

Je zdola omezená, není shora omezená.

V bodě má minimum. a

bx

2

a > 0Obr. 7

Oborem hodnot je

.

a

bc

4,

2

Je rostoucí v .

a

b

2,

Je klesající v . ,

2a

b

Je shora omezená, není zdola omezená.

V bodě má maximum. a

bx

2

a < 0Obr. 8

Příklad č. 3:

Načrtněte grafy grafy těchto funkcí:

a) y = x2 – 2x + 3

b) y = – x2 – 6x – 8

c) y = – 2x2 + 5x – 1

d) y = – 0,5x2 + x + 2

e) y = 32 xx

Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

Příklad č. 1:

Řešte nerovnici s neznámou x R

1352 22 xxx

Řešení:

Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:

062 xx

Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici

62 xxy

062 xx

256).1.(4)1(4 22 acbD

2

251

22,1

a

Dbx

x1 = – 3, x2 = 2

Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“.

62 xxy

Obr. 9

Řešte nerovnici s neznámou x R05,15,0 2 xx

Příklad č. 2:

Řešení:

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici:

05,15,0 2 xx

2315,1.5,0.4)1(4 22 acbD

Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?

Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x R.

5,15,0 2 xxy

Obr. 10

Příklad č. 3:

S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x R.

a) x2 – 5x + 6 0

b) 2x2 – 5x + 2 < 0

c) – 2x2 + 6x – 9 0

d) x2 – 2x + 3 < 0