TMEC018 – Metrologia e Instrumentação

Prof. Alessandro Marques

(amarques@ufpr.br)

www.metrologia.ufpr.br

Erro de Medição

Erro de Medição

mensurando sistema de

medição

indicação valor verdadeiro

erro de

medição

2.16 - erro de medição

Diferença entre o valor medido duma grandeza e um valor de referência.

Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de canhões:

Canhão situado a 500 m de alvo fixo;

Mirar apenas uma vez;

Disparar 20 tiros sem nova chance para refazer a mira;

Distribuição dos tiros no alvo é usada para qualificar canhões.

Quatro concorrentes:

ALPHONSE CHAPANIS (1917-2002)

“The Father of Ergonomics”

“O Homem do Rifle”

A B

C D

A B

C D

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

Tipos de erros Erro sistemático (2.17): é a parcela previsível do erro.

Corresponde ao erro médio.

Erro aleatório (2.19): é a parcela imprevisível do erro. É o agente que faz com que medições repetidas levem a distintas indicações.

Precisão e Exatidão São parâmetros qualitativos associados ao

desempenho de um sistema.

Um sistema com ótima precisão repete bem, com pequena dispersão.

Um sistema com excelente exatidão praticamente não apresenta erros.

Caracterização e

componentes do erro de medição

Exemplo de erro de medição

1014

g

0 g 1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) g

E = I - VC

E = 1014 - 1000

E = + 14 g

Indica a mais do

que deveria!

Erros em medições repetidas

0 g 1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1000

1010

1020

1012 g

1015 g

1018 g

1014 g

1015 g

1016 g

1013 g

1016 g

1015 g

1015 g

1015 g

1017 g

1017 g

err

o m

éd

io

dis

pe

rsão

Cálculo do erro sistemático

média de infinitas indicações

valor verdadeiro conhecido exatamente

condições:

Estimativa do erro sistemático

tendência VC

Algumas definições Tendência de medição (Td) (2.18)

é uma estimativa do Erro Sistemático

Valor Convencional de uma grandeza (VC) (2.12) é uma estimativa do valor verdadeiro, é o valor atribuído a uma

grandeza por um acordo, para um dado propósito.

O termo “Valor Verdadeiro Convencional” é algumas vezes utilizado para esse conceito, porém seu uso é desaconselhado. (VIM 2012)

Correção (C) (2.53) é a constante que, ao ser adicionada à indicação, compensa os

erros sistemáticos

é igual à tendência com sinal trocado

Correção dos erros sistemáticos

Td C = -Td

Indicação corrigida 1014 1015 1017 1012 1015 1018 1014 1015 1016 1013 1016 1015

I

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Nº

1015 média

-15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15 -15

C

-15

999 1000 1002 997

1000 1003 999

1000 1001 998

1001 1000

Ic

1000

-1 0 2 -3 0 3 -1 0 1 -2 1 0

Ea

0

995 1000 1005

C = -Td

C = 1000 - 1015

C = -15 g

Erro aleatório e repetibilidade

-5 0 5

O valor do erro aleatório é imprevisível.

A repetibilidade define a faixa dentro da qual

espera-se que o erro aleatório esteja contido.

Metrologia (slide 18)

O resultado das 15 medições do diâmetro D de um eixo de seção circular, medido com um micrômetro, é dado na tabela a seguir. E sabendo que o VC é de 25,400 mm. Determine a indicação média, a estimativa do erro sistemático (tendência), a correção do erro sistemático, a indicação corrigida de cada medição e o erro aleatório para cada medição.

Exemplo:

25,400

25,405

25,404

25,408

25,405

25,403

25,407

25,409

25,410

25,406

25,404

25,404

25,405

25,403

25,402

Se fosse realizada uma 16º medição o que se poderia esperar do valor ?

valores em mm

Distribuição de probabilidade uniforme ou retangular

1 2 3 4 5 6

probabilidade

1/6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/6

)

Lançamento de um dado

Distribuição de probabilidade triangular

1,5 1,0 2,5 2,0 3,5 3,0 4,5 4,0 5,5 5,0 6,0

probabilidade (1/36)

2

4

6

Média de dois dados

Distribuição de probabilidade

triangular

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 2 dados

Pro

ba

bil

ida

de

(1/3

6)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/6

)Lançamento de um dado

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

M é di a d e 2 d a do s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/36

)

Média de dois dados

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 3 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/21

6)

Média de três dados

0

2 0

4 0

6 0

8 0

10 0

12 0

14 0

16 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 4 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/12

96

)Média de quatro dados

0

50 0

100 0

150 0

200 0

250 0

300 0

350 0

400 0

450 0

500 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 6 d ado s

Pro

ba

bil

id

ad

e (

1/46

65

6)

Média de seis dados

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 8 dados

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/16

796

16

)

Média de oito dados

“Teorema do sopão”

Quanto mais ingredientes diferentes forem misturados à mesma sopa, mais e mais o seu gosto se aproximará do gosto único, típico e inconfundível do "sopão".

Teorema central do limite

Quanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto mais o comportamento da

combinação se aproximará do comportamento de uma distribuição normal (ou gaussiana).

Curva normal

m

s s

pontos de inflexão

assíntota assíntota

m = média

s = desvio padrão

Cálculo e estimativa do desvio padrão

n

IIn

i

i

n

=

= 1

2)(

lims

cálculo exato:

(da população)

1

)(1

2

=

=

n

II

s

n

i

i

estimativa:

(da amostra)

Ii i-ésima indicação

média das "n" indicações

n número de medições repetidas efetuadas I

Incerteza padrão (u) medida da intensidade da componente aleatória do

erro de medição.

corresponde à estimativa do desvio padrão da distribuição dos erros de medição.

u = s

Graus de liberdade ():

corresponde ao número de medições repetidas menos um.

= n - 1

Área sobre a curva normal

2s 2s

95,45%

m

Estimativa da repetibilidade (para 95,45 % de probabilidade)

Para amostras infinitas:

Re = 2 . s

Para amostras finitas:

Re = t . u

Sendo “t” o coeficiente de Student para = n - 1

graus de liberdade.

William Sealy Gosset (1876-1937)

A repetibilidade define a faixa dentro da qual,

para uma dada probabilidade, o erro aleatório é

esperado.

Coeficiente “t” de Student

t t t t

1 13,968 10 2,284 19 2,140 80 2,032

2 4,527 11 2,255 20 2,133 90 2,028

3 3,307 12 2,231 25 2,105 100 2,025

4 2,869 13 2,212 30 2,087 150 2,017

5 2,649 14 2,195 35 2,074 200 2,013

6 2,517 15 2,181 40 2,064 1000 2,003

7 2,429 16 2,169 50 2,051 10000 2,000

8 2,366 17 2,158 60 2,043 100000 2,000

9 2,320 18 2,149 70 2,036 2,000

Exemplo de estimativa da repetibilidade

1014

g

0 g 1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1012 g

1015 g

1018 g

1014 g

1015 g

1016 g

1013 g

1016 g

1015 g

1015 g

1017 g

112

)1015(

u

12

1

2

=

=i

iI

média: 1015 g

u = 1,65 g

= 12 - 1 = 11

t = 2,255

Re = 2,255 . 1,65

Re = 3,72 g

Calcule a Re !

Exemplo de estimativa da repetibilidade

1015 1020 1010

+3,72 -3,72 1015

Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de medição

Efeito sobre os erros sistemáticos:

Como o erro sistemático já é o erro médio, nenhum efeito é observado.

Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de medição Efeitos sobre os erros aleatórios

A média reduz a intensidade dos erros aleatórios, a repetibilidade e a incerteza padrão na seguinte proporção:

n

ReRe I

I=

n

uu I

I=

sendo:

n o número de medições utilizadas para calcular a média

Exemplo

No problema anterior, a repetibilidade da balança foi calculada:

Se várias séries de 12 medições fossem efetuadas, as médias obtidas devem apresentar repetibilidade da ordem de:

ReI = 3,72 g

gI

07,112

72,3Re

12==

Pilares da Metrologia

Ho

ne

sti

da

de

Co

nh

ec

ime

nto

Bo

m-s

en

so

Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E

INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.

Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 2003

Vocabulário Internacional de Metrologia: Conceitos fundamentais e gerais e termos associados (VIM 2012). Duque de Caxias, RJ : INMETRO, 2012. 81p.

http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/vim_2012.pdf

Sistema Internacional de Unidades : SI. — Duque de Caxias, RJ: INMETRO/CICMA/SEPIN, 2012. 114p.

http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/si_versao_final.pdf

ABNT NBR NM ISO 1: 1997 - Temperatura padrão de referência para medições industriais de comprimento.

ISO 1:2016 - Geometrical product specifications (GPS) -- Standard reference temperature for the specification of geometrical and dimensional properties.