Toa do-trong-mat-phang

TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1- Ths. Nguy ễn Văn Bảy

MỤC LỤC Trang

CHUYÊN ðỀ 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG Phương trình ñường thẳng………………………………………………………........……. 4 Phương trình ñường tròn…………………………………………………………….......… 17 Ba ñường Cônic………………………………………………………………….........…... . 26 CHUYÊN ðỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương trình mặt phẳng………………………………………………………..…….......... 36 Phương trình ñường thẳng ……………………………………………………...........…… 56 Phương trình mặt cầu………………………………………………………….…..........…. 70 CHUYÊN ðỀ 3: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……………………….......……… 73 Thể tích của khối ña diện......................................................................................................88 Chứng minh ñường thẳng vuông góc mặt phẳng...................................................................92 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc..................................................................................94 Dựng ñường cao của hình chóp.............................................................................................96 Dựng một mặt phẳng vuông góc với một mặt bên của hình chóp.......................................102 Cách dựng hình chiếu của một ñiểm lên một mặt phẳng.....................................................104 Tìm góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng.............................................................................107 Xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................111 Tính các khoảng cách...........................................................................................................103



A. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT::::

HÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜ 1. Biểu thức toạ ñộ của vectơ:

jyixuyxu +=⇔= ),(

với )0,1(=i và )1,0(=j là các vectơ ñơn vị. 2. Các tính tính chất của vectơ

Cho ),( yxu = , )','( yxv = và số thực k. Ta có:

)','( yyxxvu ±±=± ),( kykxuk =

22 yxu +=

==

⇔='

'

yy

xxvu

3. Tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ:

Cho hai vectơ ),( yxu = và )','( yxv = . Ta có:

• ''. yyxxvu +=

• 2222 ''

''),cos(

yxyx

yyxxvu

++

+=

HQ: 0. =⇔⊥ vuvu 4. Toạ ñộ của vectơ xác ñịnh bởi hai ñiểm: Cho A(xA, yA) và B(xB,, yB). Khi ñó toạ ñộ vectơ AB là:

),( ABAB yyxxAB −−= 5. Hai vectơ cùng phương – Ba ñiểm thẳng hàng:

• ),( yxu = cùng phương )','( yxv = khi vku = • Ba ñiểm A, B, C thẳng hàng khi AB cùng phương AC .

6. Tọa ñộ trung ñiểm I của ñoạn AB:

+=

+=

2

2

BAI

BAI

yyy

xxx



7. Xác ñịnh các yếu tố trong tam giác:

a) Trọng tâm G của tam giác ABC

Toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC:

++=

++=

3

3

CBÁG

CBAG

yyyx

xxxx

b) Trực tâm H của tam giác ABC:

H là trực tâm tam giác ABC khi:

=

=

0.

0.

ACBH

BCAH

c) Tâm I ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

==

22

22

ICIB

IBIA

d) Chân ñường phân giác của tam giác:

D là chân ñường phân giác hạ từ ñỉnh A khi DCAC

ABDB −=

e) Diện tích tam giác ABC:

• 222 ).(.

2

1ACABACABS −=

• BCAHS .2

1= ( AH là ñường cao hạ từ ñỉnh A)

• Giả sử ),( baAB = và )','( baAC = thì:

baabS ''2

1 −=

(Công thức này chỉ sử dụng ñể kiểm tra kết quả) 8. Một số tr ường hợp ñặc biệt lưu ý: • ðiểm M∈ Ox thì toạ ñộ M có dạng M(x, 0) • ðiểm M∈ Oy thì toạ ñộ M có dạng M(0, y) • Với ñiểm M(x, y) ta có: + ðiểm M’ ñối xứng với M qua Ox thì M’(x, –y) + ðiểm M’ ñối xứng với M qua Oy thì M’(– x, y)



PHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNG A. TA. TA. TA. TOÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1. Phương trình tổng quát của ñường thẳng:

ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận ),( BAn = làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: A(x – x0) +B(y – y0) = 0

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của ñường thẳng:

ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận ),( baa = làm vectơ chỉ phương có

∗∗∗∗ PT tham số

+=+=

btyy

atxx

0

0

∗∗∗∗ PT chính tắc: b

yy

a

xx 00 −=

− (ab ≠ 0)

∗∗∗∗ Chú ý: ðường thẳng AB là ñường thẳng qua ñiểm A và nhận vectơ AB làm vectơ chỉ phương.

3. ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) có hệ số góc k có phương trình: )( 00 xxkyy −=−

4. Quan hệ về vuông góc và song song của hai ñường thẳng: Cho ñường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0.

+ ðường thẳng (∆) vuông góc với (d) có dạng: –Bx + Ay + m = 0 + ðường thẳng (∆) song song với (d) có dạng: Ax + By + m = 0 (m ≠ C) Nếu biết thêm (∆) ñi qua ñiểm M(x0, y0) thì thế toạ ñộ M vào các ñường thẳng trên ñể tìm m.

4. ðể tính khoảng cách từ một ñiểm M(xo,yo) ñường thẳng ( ∆ ): Ax + By + C = 0 ta dùng công thức :

d(M,∆ ) = 22

00

BA

CByAx

+

++



5. Góc giữa hai ñường thẳng :

1∆ : A1x + B1y + C1 = 0

2∆ : A2x + B2y +C2 = 0

Công thức : cos( 1∆ , 2∆ ) = 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

A A B B

A B A B

++ +

6. Phương trình của hai ñường ñường phân giác của các góc hợp bởi 1∆ và 2∆ :

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

Ax By C Ax By C

A B A B

+ + + += ±

+ +

II. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ðẾN TAM GIÁC - TỨ GIÁC I. Tr ọng tâm G của tam giác ABC: • G là giao ñiểm của ba ñường trung tuyến AA’, BB’ và CC’

• 2

' ' ' 3AAAG BG CG

BB CC= = =

• Tọa ñộ trọng tâm G:

A B C

G

B CÁ

G

x x xx

3y y y

x3

+ + = + + =

• Do AA’ = 3GA’ và 'AA��

cùng hướng 'GA��

nên 'AA

�� = 3 'GA��

II. Tr ực tâm H của tam giác ABC: • H là giao ñiểm của ba ñường cao AM. BN và CK. • Nếu có tọa ñộ A, B và C. Muốn tìm H ta dùng

hệ: AH BC

BH AC

⊥ ⊥

III. Tâm I c ủa ñường tròn ngoại ti ếp tam giác ABC: • I là giao ñiểm của ba ñường trung trực của ba cạnh. • M, N, K là các trung ñiểm các cạnh AB, BC và CA thì: IM ⊥ AB, IN ⊥ BC và IK ⊥ AC



• Nếu có tọa ñộ A, B và C muốn tìm I ta dùng hệ IA = IB = IC IV. Tâm J của ñường tròn nội ti ếp tam giác ABC: • J là giao ñiểm ba ñường phân giác trong của tam giác. • Gọi M , N và K là hình chiếu vuông góc của J lên các cạnh AB, BC và CA thì JM = JN = JK

V. Tính chất tia phân giác của góc: Cho Oz là tia phân giác của góc �xOy . Hai tính chất hay dùng là: + Nếu M thuộc tia Ox và N là ñiểm ñối xứng với M qua Oz thì N thuộc tia Oy. + Nếu A thuộc tia Oz thì d(A, Ox) = d(A, Oy)

VI. Tam giác cân: Tam giác ABC cân tại A thì: + AB = AC, � �ABC ACB= + ðường trung tuyến hạ từ ñỉnh A vừa là ñường cao, ñường phân giác, ñường trung trực. CB

A

VII. Tam giác ñều: + Ba ñường trung tuyến ñồng thời là ba ñường cao, ba ñường phân giác, ba ñường trung trực. + Trọng tâm cũng chính là trực tâm, tâm ñường tròn nội tiếp, tâm ñường tròn ngoại tiếp.

VIII. Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A thì: + Tâm ñường tròn ngoại tiếp là trung ñiểm cạnh huyền. + M là trung ñiểm cạnh huyền BC thì MA = MB = MC IX. Hình bình hành ABCD: • AB = CD, AD = BC • AB //CD và AD // BC • Tâm I là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD

IA = IC và IB = ID



X. Hình thoi ABCD: • Có các tính chất của hình bình hành • AB = BC = CD = DA • Hai ñường chéo vuông góc với nhau. • Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác của hai góc nó ñi qua

XI. Hình chữ nhật ABCD • Có các tính chất của hình bình hành • Hai cạnh liên tiếp vuông góc với nhau. • Hai ñường chéo bằng nhau. • I là tâm của hình chữ nhật thì IA = IB = IC = ID

XII. Hình vuông ABCD: • Có bốn cạnh bằng nhau. • Hai ñường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau • Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác hai góc mà nó ñi qua.

B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA: Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng (∆) qua ñiểm

M(7; 2) và có vectơ pháp tuyến ( ; )n= −4 1�

. Giải: ðường thẳng (∆) qua ñiểm M(7; 2) và có vectơ pháp tuyến ( ; )n= −4 1

�

có phương trình tổng quát là: –4(x – 7) + 1.(y – 2) = 0

⇔ –4x + y + 26 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng (d1): 4x + 3y + 3 = 0 và (d2): x + 7y + 1 = 0 a) Tính khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d1). b) Tính khoảng cách từ ñiểm N(2;–1) ñến ñường thẳng (d2).

Giải a) Khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d1) là



1 2 2

| 4.1 3.2 3| 13d(M,d )

54 3

+ += =+

b) Khoảng cách từ ñiểm N(2; –1) ñến ñường thẳng (d2) là

2 2 2

|1.2 7.( 1) 1| 4 2 2d(M,d )

55 21 7

+ − += = =+

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng (d1): 2x – y + 3 = 0, (d2): 2x – 4y + 1 = 0 và (d3): x – y – 2 = 0. a) Tìm ñiểm M ∈ (d1) sao cho khoảng cách từ ñiểm M ñến (d3) bằng 2 . b)Tìm ñiểm A thuộc ñường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M ñến (d1) bằng 2 lần khoảng cách từ M ñến (d2).

Giải a) Do M ∈ (d1): y = 2x – 3 nên M(a; 2a – 3)

3 2 2

| a (2a 3) 2 |d(M,d ) 2 |1 a | 2

1 1

1 a 2 a 3 M(3;3)

1 a 2 a 1 M( 1; 5)

− − −= = ⇔ − =+

− = = ⇒ ⇔ ⇔ − = − = − ⇒ − −

b) Ta có (d3): y = x – 2 ⇒ A(a; a – 2) ∈ (d3)

.

1 2

| 2a (a 2) 3 | 2 | 2a 4(a 2) 1|d(A,d ) 2d(A;d )

5 20

a 5 2a 9| a 5 | | 2a 9 |

a 5 ( 2a 9)

4 4 2a A ;

3 3 3

a 14 A(14;12)

− − + − − += ⇔ =

+ = − +⇔ + = − + ⇔ + = − − +

= ⇒ − ⇔ = ⇒

Vậy có hai ñiểm thỏa mãn ñề toán là 4 2

A ;3 3

−

và A(14; 12).

Ví dụ 4: Trong màût phàóng Oxy cho ba ñiểm A(1; –2), B(0; 2) và C(–1; – 3). a) Viết phương trình ñường cao hạ từ A của tam giác ABC. b) Tìm toạ ñộ ñiểm A’ ñối xứng với A qua ñường thẳng (BC).



Giải:

a) ðường cao AH ñi qua ñiểm A, có vectơ pháp tuyến n = BC =(–1; –5) ⇒⇒⇒⇒ (AH): –1(x – 1) – 5( y + 2) = 0 ⇔ x + 5y + 9 = 0

b) + ðường thẳng (BC) ñi qua ñiểm B có vectơ pháp tuyến n = (5 ; –1) ⇒⇒⇒⇒ (BC) : 5x – (y – 2) = 0 ⇔ 5x – y + 2 = 0 + Toạ ñộ hình chiếu H của A lên ñường thẳng (BC) là :

195 9 0 26

5 2 0 4326

xx y

x yy

= −+ + = ⇔ − + = = −

⇒⇒⇒⇒ H( 26

43;

26

19 −− )

+ A’ ñối xứng với A Qua ñường thẳng (BC) ⇔ H là trung ñiểm AA’.

⇒⇒⇒⇒ A’(13

17;

13

32 −− )

Ví dụ 5: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, (d’) : 3x – y + 8 = 0. Viết phương trình ñường thẳng (∆ ) cắt (d), (d’) lần lượt M, N sao cho I(1 ; 2) là trung ñiểm MN.

Giải : Ta có : (d) : y = 2 – x ⇒⇒⇒⇒ M(a ; 2–a) ∈ (d) (d’) : y = 3x + 8 ⇒⇒⇒⇒ N(b ; 3b + 8) ∈(d’)

I là trung ñiểm MN ⇔

−==

⇔

=+−=+

⇔

+=

+=

1

3

4103

2

2

2b

a

ab

ba

yyy

xxx

NMI

NMI

Vậy M(3; –1) và N(–1; 5) ⇒⇒⇒⇒ MN =(–4; 6) . Do ñó vectơ pháp tuyến

n =(6 ; 4). ⇒⇒⇒⇒ ∆ : 6(x – 3) + 4(y + 1) = 0 ⇔ 6x + 4y – 14 = 0 ⇔ 3x + 2y – 7 = 0

Ví dụ 6: Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC cán taûi A, coï B nàòm trãn âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, âènh A(2; –1) vaì troüng tám tam giaïc ABC laì G(–1; – 2). Xaïc âënh toaû âäü caïc âènh B vaì C.

Giải



Goüi M(x; y) laì trung âiãøm cuía BC ta coï:GM = (x + 1; y + 2), AG��

= (–3; –1)

G laì troüng tám tam giaïc ABC nãn: AG= 2GM . Do âoï M(5

2

−;

5

2

−)

Tam giaïc ABC cán nãn BC ⊥ AG. Do âoï phæång trçnh âæåìng thàóng (BC) laì (BC): 3x + y + 10 = 0 B laì giao âiãøm cuía (BC) vaì (d) nãn B(– 6; 8). Tæì âoï ta coï C(1; – 13)

Ví dụ 7: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): 2x – 3y + 1 = 0 vaì âiãøm M(3; –2). Tam giaïc ABC vuäng taûi B, coï trung âiãøm cuía âoaûn AC laì I(3; 1), âènh A nàòm trãn truûc hoaình vaì caûnh AB nàòm trãn âæåìng thàóng (d). Xaïc âënh toaû âäü A, B vaì C.

Giải

Ta có : (AB): 2x – 3y + 1 = 0 vaì A ∈Ox nãn A(1

2− ; 0). Trung âiãøm I

cuía AC laì I(3 ; 1), suy ra C(2

13 ; 2). Âæåìng thàóng (BC) ⊥ (AB) nãn (BC):

6x + 4y – 47 = 0. Tæì âoï B

13

50;

26

137.

Ví dụ 8 : Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC coï âènh A nàòm trãn âæåìng thàóng (d): x – 4y – 2 = 0, caûnh BC song song våïi (d), phæång trçnh âæåìng cao BH: x + y + 3 = 0 vaì trung âiãøm caûnh AC laì M(1; 1). Tçm toaû âäü âènh A, B vaì C.

Giải

Vç AC ⊥ BH nãn coï VTPT laì n = (1; – 1).

Phæång trçnh caûnh AC: x – 1 – (y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0 Toaû âäüü âènh A laì nghiãûm cuía hãû :

=−=−−

0

024

yx

yx ⇔⇔⇔⇔

−=

−=

3

23

2

y

x

⇒⇒⇒⇒ A(–2

3; –

2

3)



Vç M laì trung âiãøm cuía AC nãn C8 8

;3 3

Caûnh BC song song våïi (d) nãn (BC): x – 4y + m = 0 ( m ≠ – 2).

Vç C8 8

;3 3

∈ BC nãn 3

8 –

3

32 + m = 0 ⇒⇒⇒⇒ m = 8

Phæång trçnh caûnh BC: x – 4y + 8 = 0

Toaû âäü B laì nghiãûm cuía hãû:

=++=+−03

084

yx

yx ⇔⇔⇔⇔

=−=1

4

y

x ⇒⇒⇒⇒ B( – 4; 1)

Ví dụ 9 : Trong mp Oxy cho ba ñiểm A(2 ; 1), B(1 ; –1) và C(2 ; –1) a) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A và cách ñều hai ñiểm B và C. b) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm B và cách ñiểm C một ñoạn bằng 1.

Giải

a) + Gọi n =(a ; b) là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ cần tìm. ⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 2) + b(y – 1) = 0 ⇔ ax + by – 2a – b = 0.

+ d(B; ∆ ) = d(C; ∆ ) ⇔ 2222

222

ba

baba

ba

baba

+

−−−=

+

−−−

⇔ |–3a – 2b| = |–2b| ⇔ –3a – 2b = –2b ∨ –3a – 2b = 2b

⇔ a = 0 ∨ b = – 4

3a.

• Với a = 0, chọn b = 1 ta có (∆ ) : y – 1 = 0

• Với b = – 4

3a, chọn a = 4, b = – 3 ta có (∆ ): 4x – 3y = 5 = 0.

b) + Gọi n =(a ; b) là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ ’ cần tìm. ⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 1) + b(y + 1) = 0 ⇔ ax + by – a + b = 0.

+ d(C; ∆ ’) = 1⇔ 22

22|2|1

22bab

ba

baba+=−⇔=

+

−−−

baba 33 22 ±=⇔=⇔ • Với a = 3 b, chọn a = 3, b = 3 ta có

( ∆ ’): 3x + 3 y – 3 + 3 = 0 • Với a = – 3 b, chọn a = 3, b = – 3 ta có



( ∆ ’): 3x – 3 y – 3 – 3 = 0

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), ñường trung trực cạnh BC và ñường trung tuyến kẻ từ B lần lượt nằm trên hai ñường thẳng (d1): 2x – 4y – 7 = 0 và (d2): x – y – 2 = 0. Tìm tọa ñộ hai ñỉnh B và C.

Giải Gọi B(a; a – 2) ∈ (d2) và C(b; c). Khi ñó: Tọa ñộ trung ñiểm cạnh BC là

2;

2 2a b a c

M+ + −

.

Tọa ñộ trung ñiểm cạnh AC là 1 2;

2 2b c

N+ +

.

Vec tơ chỉ phương của ñường thẳng (BC) là: ( ; 2)BC b a c a= − − +��

.

Vectơ chỉ phương của ñường trung trực cạnh BC là (2;1)u =�

. Ta có: Ta có:

1

2

1

( ) 2( 2) 7 0( )

1 2( ) 2 0

2 2( ) 2( ) 1( 2) 0

2 3 3

5 4

3 2 2 1

a b a cM d

b cN d

BC d b a c a

a b c a

b c b

a b c c

+ − + − − =∈ + + ∈ ⇔ − − = ⊥ − + − + =

− + − = = ⇔ − = ⇔ = − + + = − = −

Vậy B(3; 1) và C(4; –1). Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân ñường cao hạ từ ñỉnh B là (0; 2)K , trung ñiểm cạnh AB là (3;1)M .

Giải + ðường thẳng AC qua K và nhận

( 1; 2)HK = −��

làm vec tơ pháp tuyến nên ( ) : 2 4 0.AC x y− + =



+ Phương trình ñường thẳng BK là: ( ) : 2 2 0BK x y+ − = .

+ Do ,A AC B BK∈ ∈ nên (2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −

Mặt khác (3;1)M là trung ñiểm của AB nên:

2 4 6 2 10 4.

2 2 2 2 0 2

a b a b a

a b a b b

− + = + = = ⇔ ⇔ + − = − = =

Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B −

+ ðường thẳng AB qua A có vectơ chỉ phương là ( 2; 6)AB = − −��

, suy ra: ( ) :3 8 0AB x y− − = .

+ ðường thẳng BC qua B nhận (3; 4)HA =��

làm vectơ pháp tuyến nên: ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = Vậy phương trình các cạnh của tam giác ABC là: ( ) : 2 4 0,AC x y− + = ( ) :3 8 0AB x y− − = , ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2

1, 0),

phương trình ñường thẳng AB là: x – 2y + 2 = 0 và BC = 2AB. Tìm toạ ñộ các ñỉnh hình chữ nhật biết rằng A có hoành ñộ âm. HD: + Gọi M là trung ñiểm AB thì M là hình chiếu của I lên (AB) ⇒ Tọa ñộ M. + Do BC = 2AB nên AB = IM. Do ñó A, B là các giao ñiểm của ñường tròn (C) tâm M ñường kính AB. + A, B là giao ñiểm của (C) và ñường thẳng (AB). Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(2; 1), cạnh BD của hình vuông nằm trên ñường thẳng (d): x – y + 3 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B, C và D. HD: + Tâm I của hình vuông là hình chiếu của A lên (BD). + Tính IA suy ra IB. Hai ñỉnh B, D là giao ñiểm của ñường tròn tâm I bán kính IB với ñường thẳng (d).



Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có phương trình ñường trung tuyến hạ từ A là (d): x + y – 1 = 0, phương trình cạnh BC là 2x – y + 3 = 0 và ñỉnh C thuộc trục Oy. Viết phương trình cạnh AB của tam giác. HD: + Gọi I là trung ñiểm BC thì I là giao ñiểm của (d) và (BC). + C là giao ñiểm của Oy và (BC). + I là trung ñiểm BC nên tìm ñược B. + A ∈ (d) và 2AI = BC suy ra ñược A. Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng (d): x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC. HD + ðỉnh B = AB ∩ BC. + ðỉnh A = AB ∩ (d). + Gọi B’ là ñiểm ñối xứng với B qua ñường thẳng (d) thì B’ ∈ (AC) (Vì (d) là phân giác trong góc A) + ðường thẳng AC qua A và M. Từ ñó tìm ñược C. Bài 5: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 1), phương trình hai ñường cao hạ từ B và C lần lượt là (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 2x + y + 2 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh B, C và viết phương trình cạnh BC. HD: + ðường thẳng AC qua A và vuông góc (d1). Suy ra tọa ñộ ñỉnh C = (AC) ∩ (d2). + ðường thẳng AB qua A và vuông góc (d2). Suy ra tọa ñộ ñỉnh C = (AB) ∩ (d1). Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x – y + 1 = 0, AC: x + y + 2 = 0 và trọng tâm G(1; –3). Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm tam giác ABC. HD: + B(b; 2b + 1) ∈ (AB) và C(c; –c – 2) ∈ (AC). + G là trọng tâm ∆ABC ⇒ b và c. Từ ñó tìm ñược B và C.



+ H(x; y) là trực tâm ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC và BH ⊥ AC ⇒ H. Bài 7: Cho tam giác ABC có phương trình các ñường phân giác trong hạ từ ñỉnh B là (d): x – y + 1 = 0, ñường cao hạ từ ñỉnh C là (d’): x + 2y + 2 = 0 và ñỉnh A(–2; –1). Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh B và C của tam giác ABC. HD: + Viết phương trình ñường thẳng (AB) qua A và vuông góc với (d’). + B = (AB) ∩ (d). + Gọi A’ là ñiểm ñối xứng với A qua (d) thì A’ ∈ (BC). Từ ñó viết ñược phương trình ñường thẳng (BC). + C = (BC) ∩ (d’). Bài 8: Cho hai ñiểm A(2; 1), B(–4; 3) và ñường thẳng dm : x + 2y – 3+ m = 0. Xác ñịnh m ñể trên ñường thẳng dm có ñúng một ñiểm N sao cho tam giác ABN vuông tại N. HD: +Gọi M(3 – m – 2a; a) ∈ (dm). + Tam giác ABN vuông tại N ⇔ AN ⊥ BN. Ta ñược phương trình bậc hai ẩn a, tham số m. + Tồn tại một ñiểm N thỏa ñề bài ⇔ Phương trình bậc hai trên có ñúng 1 nghiệm. Bài 9: Cho hai ñường thẳng (d): 2x – y + 3 = 0, (d’): x – y – 2 = 0 và ñiểm A(–3; 6). Viết phương trình ñường thẳng cắt ñường thẳng (d) và (d’) lần lượt B, C sao cho ñiểm G(–1; 2) là trọng tâm của tam giác ABC. HD: + Gọi B(b; 2b + 3) và C(c; c – 2). + G là trọng tâm ∆ABC suy ra b và c. Do ñó tìm ñược B và C. + ðường thẳng (d) ñi qua B và C. Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là: x + 2y – 2 = 0 và 2x + y + 1= 0. Cạnh BD chứa ñiểm M (1; 2) . Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình thoi. HD: + A = AB ∩ AD. + Gọi B(2b – 2; b) và D(d; –2d –1). Do ∆ABD cân tại A và M ∈ BD nên AB = AD và M, B, D thẳng hàng suy ra ñược b và d. Từ ñó tìm ñược B và D.



+ Gọi I là trung ñiểm BD ta tìm ñược I. Từ ñó tìm ñược C. Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm B và C của tam giác ñều ABC biết A (3;– 5) và trọng tâm G(1; 1). HD: + Gọi M là trung ñiểm BC. Suy ra tọa ñộ M và ñộ dài ñoạn thẳng AM, MB. + ðường thẳng BC qua M và ⊥ AM. + B, C thuộc ñường tròn tâm M, bán kính MB. Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC với

5AB = , C(–1; –1), ñường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc ñường thẳng x + y - 2 = 0. Hãy tìm toạ ñộ các ñiểm A và B. Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao ñiểm của hai ñường thẳng (d1): x – y – 3 = 0 và (d2): x + y – 6 = 0. Trung ñiểm M của cạnh AD là giao ñiểm của ñường thẳng (d1) với trục Ox. Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật. HD:

+ Tìm ñược I = (d1) ∩ (d2) và M = Ox ∩ (d1) ⇒ 9 3; , (3;0)

2 2I M

+ AB = 2IM = 3 2 + SABCD = AB.AD =12 ⇒ AD = 2 2 + Viết phương trình ñường thẳng AD và ñường tròn ñường kính AD. Suy ra hai ñiểm A và D. Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ ñộ các ñỉnh A(2; 0) , B (3;0) và I là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD, I nằm trên ñường thẳng x – y = 0. Xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm C, D. HD:

+ SIAB = 14

SABCD = 1 và AB = 1.

+ Do SIAB = 1 nên d(I, AB) = 2. + Gọi I(a; a). Dùng d(I, AB) = 2 ⇒ a = 2, a = – 2. ⇒ I ⇒ C và D. Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 1), trực tâm H(–1; 2) và trọng tâm G(4; – 1). Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C.



ÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌN A. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNG PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP: 1. Phương trình ñường tròn : (C): (x – a )2 + ( y – b )2 = R2 là ñường tròn có tâm I(a,b) , bán kính R. Dạng khác của ñường tròn: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 ( A2 + B2 – C > 0 )

là phương trình ñường tròn tâm I(–A,– B) , bán kính R= 2 2A B C+ − 2. Phương trình ti ếp tuyến của ñường tròn a) ðiều kiện tiếp xúc giữa ñường thẳng và ñường tròn: ðường thẳng (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R b) Phương pháp viết phương trình ti ếp tuyến của ñường tròn: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) tại ñiểm M(x0, y0) thuộc (C): Tiếp tuyến của (C) tại M là ñường thẳng qua M nhận vectơ IM làm vectơ pháp tuyến. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn(C) qua ñiểm M(x0 ;y0).

+ ðường thẳng (∆) qua M(x0, y0) nhận ),( BAn = có phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 + ðiều kiện (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R. Từ ñó tìm A và B, suy ra phương trình tiếp tuyến (∆) của (C). Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) song song ( hoặc vuông góc) với ñường thẳng (d) cho trước. + Viết dạng phương trình ñường thẳng (∆) song song ( hoặc vuông góc) với (d). + Dùng ñiều kiện tiếp xúc ñể suy ra ñường thẳng (∆). 3. ðiều kiện tiếp xúc của hai ñường tròn: Cho hai ñường tròn C(I, R) và C(I’, R’) ta có: + (C) tiếp xúc ngoài (C’) ⇔ R + R’ = II’ + (C) tiếp xúc trong (C’) ⇔ R – R' = II’



4. Lưu ý: • ðiểm M nằm ngoài ñường tròn (C) thì từ M kẻ ñược ñến (C) hai tiếp tuyến. Gọi MA, MB là các tiếp tuyến thì ta có các tính chất sau: + MA = MB + AB ⊥ IM + IA ⊥ MA và IB ⊥ MB. + IM là ñường phân giác của góc �AMB và cũng là ñường phân giác của góc �AIB • Nếu ñiểm A thuộc hai ñường tròn

(C1): x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0

và (C2): x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0

thì tọa ñộ A cũng thỏa (x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1) – (x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2) = 0 ⇔ 2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0

nên A thuộc ñường thẳng (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0 Vận dụng: Nếu hai ñường tròn (C1): x

2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0 và (C2): x

2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0 cắt nhau tại hai ñiểm A, B thì lập luận như trên ta ñược A, B ∈ (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0 nên ñường thẳng (AB) chính là (∆).

B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:

Ví duï 1: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC bieát A(–1;2) , B(2;0) , C(–3;1). Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam

giaùc ABC.

Giaûi:

Phöông trình ñöôøng troøn coù daïng: 2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =

5 2 4 0(1)

, , ( ) 4 4 0(2)

10 6 2 0(3)

a b c

A B C c a c

a b c

+ − + =∈ ⇔ − + = + − + =

11

1413

14100

14

a

b

c

= −

⇒ = − = −

Vaäy (C) : 014

100

7

13

7

1122 =−−−+ yxyx



Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; –1), B(0; 1) và C(1; 3). a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñiểm B lên ñường thẳng AC. Tìm tọa ñộ ñiểm H và viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. b) Viết phương trình ñường tròn tâm thuộc trục hoành, tiếp xúc ñường thẳng (∆): 3x + 4y + 10 = 0 và ñi qua ñiểm C.

Giải a) ðường thẳng (AC) ñi qua A và có vectơ chỉ phương la AC ( 1;4)= −

�� nên

có phương trình là x 2 t

y 1 4t

= − = − +

4(x – 2) + (y + 1) = 0 ⇔ 4x + y – 7 = 0 ðường thẳng (BH) qua B và vuông góc ñường thẳng (AC) nên có phương trình là (x – 0) – 4(y – 1) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0 Tọa ñộ ñiểm H thỏa hệ phương trình

24x

4x y 7 0 24 2317 H ;x 4y 4 0 23 17 17

y17

=+ − = ⇔ ⇒ − + = =

Gọi I là trung ñiểm BC thì 1

I ;22

. Do tam giác HBC vuông tại H nên

ñường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HBC có tâm là 1

I ;22

và bán kính

là 1 5

R BC2 2

= = . Vậy phương trình ñường tròn (C) là

2

21 5(C) : x (y 2)

2 4 − + − =

b) Gọi I(a; 0) ∈ (Ox) là tâm của ñường tròn (C). ðường tròn (C) qua C và tiếp xúc (∆)



2 2

2

2

| 3a 10 |d(I, ) IC (a 1) ( 3)

5

| 3a 10 | 5 a 2a 10

a 516a 110a 150 0 15

a8

+⇔ ∆ = ⇔ = − + −

⇔ + = − +=

⇔ − − = ⇔ =

+ Với a = 5 thì (C) có tâm I(5; 0) và bán kính R = 5 nên (C): (x – 5)2 + y2 = 25

+ Với 15

a8

= thì (C) có tâm 15

I ;08

và bán kính 5 2

R d(I, )4

= ∆ = nên

2

215 25(C) : x y

8 8 − + =

Ví dụ 3: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng troìn (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 vaì âæåìng thàóng (∆): 3x + 4y + 13 = 0 a) Viãút phæång trçnh tiãúp tuyãún cuía âæåìng troìn (C) song song våïi âæåìng thàóng (∆ ). b) Viãút phæång trçnh âæåìng thàóng âi qua âiãøm M(4; 0) càõt âæåìng troìn (C) theo mäüt dáy cung coï âäü daìi bàòng 4 2

Giải:

a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 coï tám I(2 ; –1), R = 3vaì âæåìng thàóng (∆): 3x + 4y + 13 = 0. Âæåìng thàóng (d) // (∆) ⇒ (d) : 3x + 4y + m = 0. (d) tiãúp xuïc våïi âæåìng troìn (C) ⇔ d(I ; d) = R. Tæì âoï tçm âæåüc m = 13 hoàûc m = –17. Do âoï hai tiãúp tuyãún cáön tçm laì : 3x + 4y – 17 = 0 ( Âthàóng 3x + 4y + 13 = 0 bë loaûi) b) Goüi A, B laì giao âiãøm cuía d våïi âæåìng troìn vaì K laì trung âiãøm AB khi âoï IK = 1. Do âoï d laì âæåìng thàóng qua âiãøm M caïch tám I âæåìng troìn mäüt khoaíng bàòng 1.

Goüi n = (A ; B) laì vectå phaïp tuyãún cuía (d).



Khi âoï (d) : Ax + By – 4A = 0.

d(I ; d) = 1 ⇔ | –2A – B| = 22 BA + ⇔ 3A2 + 4B = 0 ⇔ A = 0 hoàûc 3A = – 4B. Tæì âoï ta âæåüc hai âæåìng thàóng laì: y = 0 vaì 4x – 3y – 16 = 0

Ví dụ 4: Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy cho hoï ñöôøng troøn 2 2 2( ) : 2 4 5 1 0mC x y mx my m+ − + + − =

a) Chöùng minh raèng hoï ( )mC luoân luoân tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng coá

ñònh.

b) Tìm m ñeå ( )mC caét ñöôøng troøn 2 2( ) : 1C x y+ = taïi hai ñieåm phaân

bieät A vaø B.

Giải: a) Caùch 1:

Phöông trình (Cm) laø ( ) ( )2 22 1x m y m− + + = Taâm I(m, –2m) vaø R = 1. Goïi ñöôøng thaúng luoân tieáp xuùc (Cm) laø: Ax + By + C = 0 ( )∆ Ta coù: d(I, ( )∆ ) = R, ∀ m

2 2( 2 ) ,m A B C A B m⇔ − + = + ∀ 2 0 2

2 2 5.

A B A B

C BC A B

− = = ⇔ ⇔ = ±= +

Vaäy (Cm) tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh laø: 2 5 0x y+ ± = Caùch 2:

Vì hoï (Cm) coù baùn kính R = 1 baènh nhau vaø taäp hôïp taâm I laø ñöôøng thaúng d:2x + y = 0 neân luoân toàn taïi 2 ñöôøng thaúng ( )∆ coá ñònh tieáp xuùc vôùi (Cm). Ñöôøng thaúng ( )∆ ôû treân song song vôùi d vaø caùch d moät ñoaïn baèng 1. ( )∆ // d ⇒ ( )∆ : 2x +y + C = 0

d( ( )∆ / d)=1 14 1

C⇔ =

+ 5C⇔ = ±



Vaäy (∆): 2 5 0x y+ + ± = b) (Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. (C) coù taâm O vaø baùn kính R'=1

Ta coù OI= 2 24 5m m m+ =

(Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät ' 'R R OI R R⇔ − < < +

0 5 2 0m m⇔ < < ⇔ ≠ vaø2

5m <

Ví dụ 5: Trong maët phaúng Oxy cho hai ñöôøng troøn:

2 21( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = ,

2 22( ) : 4 4 56 0C x y x y+ + − − = .

Chöùng minh 1( )C tieáp xuùc vôùi 2( )C .Vieát phöông trình toång quaùt cuûa taát

caû caùc tieáp tuyeán chung cuûa(C1 ) vaø 2( )C .

Giải : Ta coù ( )

1C coù taâm I (1;–2) vaø baùn kính R1 =3, ( )

2C coù taâm J(–2,2) vaø

baùn kính 2

R = 8. Ta coù: IJ= 9 16+ = 5 = 2 1R R−

Vaäy ( )1

C vaø ( )2

C tieáp xuùc trong taïi ñieåm coù toïa ñoä thoûa

142 2 2 4 4 0 52 2 224 4 56 0

5

xx y x y

x y x y x

= + − + − = ⇔ + + − − = = −

Tiếp tuyến chung ñi qua ñiểm M( )5

22;

5

14 − và vuông góc IM nên phöông

trình tieáp tuyeán chung laø: 3x – 4y – 26 = 0. Ví dụ 6: Cho hai ñường tròn (C) : x2 + y2 – 8x + 4x – 4 = 0 và (C’) : x2 + (y – 1)2 = 1 Chứng minh rằng (C) và (C’) tiếp xúc ngoài nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp ñiểm.

Giải ðường tròn (C) có tâm I(4 ; –2) và bán kính R = 4. ðường tròn (C’) có tâm I’(0; 1) bán kính R’ = 1.



2 2II ' ( 4) 3 5= − + = và R + R’ = 5 ⇒ II’ = R + R’ Do ñó (C) và (C’) tiếp xúc ngoài. Tọa ñộ tiếp ñiểm M mãn hệ phương trình

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

x y 8x 4y 4 0 x y 8x 4y 4 0

x (y 1) 1 x y 2y 0

4x 28x 6y 4 0 y

3x y 2y 0

x y 2y 0

(laáy (1) - (2))

+ − + + = + − + + = ⇔ + − = + − =

−− + + = = ⇔ ⇔ + − = + − =

22

2

4x 2y

344x 2 xy4x 2 4x 2 53x 2 023 3

y25x 40x 16 05

− = −⇔ = =− − + − = ⇔ ⇔ =− + =

⇒ 4 2

M ;5 5

Tiếp tuyến chung của (C) và (C’) tại M ñi qua M và có vectơ pháp tuyến là n II ' ( 4;3)= = −� ��

nên có phương trình là

4 2

4 x 3 y 0 4x 3y 2 05 5

− − + − = ⇔ − + + =

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy , cho ñường tròn (C): (x – 4)2 + y2 = 4 và ñiểm E(4 ; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược 2 tiếp tuyến MA , MB của ñường tròn (C) với A, B là các tiếp ñiểm sao cho ñường thẳng AB qua ñiểm E.



ðường tròn (C) có tâm I(4 ; 0) bán kính R = 2 Gọi M(0 ,m ) thuộc trục tung . 2 16IM m R= + > Vậy qua M có 2 tiếp tuyến ñến (C) Do A và B cùng nhìn ñoạn IM dưới một góc vuông nên A, B thuộc ñường tròn (C’) ñường kính IM.

ðường tròn (C’) có tâm là 2;2

mJ

và bán kính 21 116

2 2R IM m= = +

(J là trung ñiểm IM) nên có phương trình:

( )2 2

2 2 216( ') : 2 4 0

2 4

m mC x y x y x my

+ − + − = ⇔ + − − =

Tọa ñộ A và B thỏa mãn hệ phương trình:2 2

2 2

4 0 1)

8 12 0 (2)

(x y x my

x y x

+ − − =

+ − + =

Lấy (1) trừ (2) ta ñược: 4x – my – 12 = 0 (*) Tọa ñộ các tiếp ñiểm A, B ñều thỏa (*) nên ñường thẳng AB là:

4x – my – 12 = 0 Do E thuộc AB nên: 16 –m – 12 = 0 ⇔ m = 4 Vậy M(0 ; 4 ).

C. C. C. C. BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN: Bài 1: Cho ñường tròn (C): 25)2()1( 22 =−+− yx và ñiểm A(–3, –2). Viết phương trình ñường thẳng (d) qua ñiểm A cắt (C) tại hai ñiểm M và N sao cho MN = 8.

Bài 2: Cho ñường tròn (C): 066222 =+−−+ yxyx và ñiểm M(2, 4). a) Viết phương trình ñường thẳng (d) cắt (C) tại hai ñiểm A và B sao

cho M là trung ñiểm AB. b) Gọi I là tâm ñường tròn (C), tính diện tích tam giác IAB. c) Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua ñường

thẳng (d) 2x – y – 1 = 0. Bài 3: Cho ñường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 và ñiểm A(3 ; 5). Hai tiếp tuyến qua A của (C) tiếp xúc với (C) tại M, N. Viết phương trình ñường thẳng MN. Bài 4: Lập phương trình ñường tròn ñi qua các ñiểm A(–1, 1) và B(1, –3) có tâm nằm trên ñường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0



Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) : x2 + y2 = 1. ðường

tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các ñiểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình ñường thẳng AB.

. Baìi 6: Cho ñường tròn (C): 03422 =+−+ xyx . a) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M(1, 1) và cắt

ñường tròn (C) tại A, B sao cho tam giác IAB vuông, với I là tâm của (C).

b) Tìm ñiểm N trên ñường thẳng (d): x – y + 2 = 0 sao cho từ N kẻ ñược ñến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài 7: Cho hai ñường tròn

(C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 và (C’) : (x + 2) + y2 = 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).



BA ðƯỜNG CÔNIC A. TOÏM TÀÕT I. I. I. I. ÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIP 1. ðịnh nghĩa: (E) = {M(x; y)/ MF1 + MF2 = 2a}

2. Phương trình chính tắc: 12

2

2

2

=+b

y

a

x (b2 = a2 – c2, a > b > 0)

3. Các yếu tố của Elíp: • Tiêu ñiểm: F1(–c; 0), F2(c; 0) • Tiêu cự: F1F2 = 2c • ðỉnh: A1(–a; 0), A2(a; 0),

B1(0; –b), B2(0; b). • ðộ dài trục lớn: A1A2 = 2a ðộ dài trục bé: B1B2 = 2b • Trục ñối xứng: Ox, Oy • Tâm ñối xứng: O • Hình chữ nhật ñược giới hạn bởi các ñường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E).

• Tâm sai: e = a

c (e < 1)

• Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM , MF2 = a – exM

• Phương trình các ñường chuẩn: x = c

a

e

a 2

±=±

4. Phương pháp vẽ (E): + Xác ñịnh các ñỉnh và vẽ hình chữ nhật cơ sở(vẽ bằng bút chì) + Vẽ (E) ñi qua các ñỉnh và nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở theo hình dạng ñã học. 5. Phương pháp tìm các yếu tố của (E): Tìm các hệ số a, b, c. 6. Phương pháp lập phương trình chính tắc của (E): Tìm a2, b2.

II. II. II. II. ÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOL

1. ðịnh nghĩa: (H) = { M | |MF1 – MF2| = 2a } ( 0 < a < c )

2. Phương trình chính tắc: 12

2

2

2

=−b

y

a

x



• c2 = a2 + b2 • Tiêu ñiểm: F1 ( – c, 0) , F2 (c, 0) • Tiêu cự: F1F2 = 2c .

• Tâm sai: e = ac

> 1.

• ðộ dài trục thực: A1A2 = 2a • ðộ dài trục ảo: B1B2 = 2b • ðỉnh: A1 ( – a, 0) , A2 ( a, 0)

• Tiệm cận : xa

by ±=

3. Bán kính qua tiêu: Nếu M(x; y) ∈ (H) thì MF1 và MF2 gọi là bán kính qua tiêu của (H):

xa

caMFr +== 11

xa

caMFr −== 22

5. Phương trình ñường chuẩn:

∗ ∆1 : c

a

e

ax

2

−=−= ( ứng với F1 )

∆2 : c

a

e

ax

2

== ( ứng với F2)

∗ Khoảng cách giữa hai ñường chuẩn e

a2

∗ Khoảng cách từ gốc O ñến ñường chuẩn e

a

III. ÂÆÅÌNG PARABOLPARABOLPARABOLPARABOL 1.Âënh nghéa: (P) = { M / MF = d(M, ∆) }

∗ F: Tiãu âiãøm. ∗ (∆) : âæåìng chuáøn. ∗ Tám sai: e = 1.

2. Phæång trçnh chênh tàõc y2 = 2px (p > 0)



p : goüi laì tham säú tiãu

∗ Tiãu âiãøm : F(2

p, 0)

∗ Âæåìng chuáøn : 2

px −=

∗ Baïn kênh qua tiãu cuía âiãøm M thuäüc (P) : 2

pxMFr +==

B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:

Ví dụ 1 : Cho elip (E) : 2 2

14 1

x y+ = và ñường thẳng (d) : 2x - y + m = 0

a) Xác ñịnh toạ ñộ tiêu ñiểm, tiêu cự, tâm sai và phương trình ñường chuẩn của (E). b) Xác ñịnh m ñể (d) cắt (E) tại hai ñiểm phân biệt. Giải: a) a = 2, b = 1 và c = 3 nên : + Tiêu ñiểm F1( - 3 ; 0), F2( 3 ; 0) + Tiêu cự F1F2 = 2 3

+ Tâm sai: e =a

c = 2

3

+ Phương trình các ñường chuẩn: x = e

a± = 3

4.

b) Ta có: (d): y = 2x + m. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

04416174)2(411

)2(

42222

22

=−++⇔=++⇔=++ mmxxmxxmxx

(*)

(d) cắt (E) tại hai ñiểm phân biệt ⇔ pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ’ > 0 ⇔ 16m2 - 17(4m2 - 4) > 0

⇔ - 52m2 + 68 > 0 ⇔ 13

17

13

17 <<− x

Ví dụ 2: Cho elip (E) : 2 2

14 1

x y+ = . Gọi F1, F2 là hai tiêu ñiểm của (E)

và M, N là hai ñiểm thuộc (E) thoả mãn MF1 + 2NF2 = 3, tính MF2 + 2NF1. a) Vì M, N ∈ (E) nên: MF1 + MF2 = 2a = 4 (1)



NF1 + NF2 = 2a = 4 ⇒⇒⇒⇒ 2NF1 + 2NF2 = 8 (2) Cộng (1) và (2) ta có: MF1 + MF2 + 2NF1 + 2NF2 = 12 ⇔ MF2 + 2NF1 + MF1 + 2NF2 = 12 ⇔ MF2 + 2NF1 = 9.

Ví dụ 3: Cho (H) coï phæång trçnh 2 2

19 4

x y− =

a) Xaïc âënh tiãu âiãøm, tiãu cæû, phæång trçnh caïc âæåìng tiãûm cáûn cuía (H). b) Tìm hai ñiểm M, N ∈(H) ñối xứng nhau qua trục hoành sao cho tam giác OMN vuông cân tại O. Giải: a) a = 3, b = 2 ⇒ c = 10 + Tiêu ñiểm F1( – 10; 0), F2( 10; 0) + Tiêu cự F1F2 = 2 10.

+ Tâm sai:2

3

by x x

a= ± = ±

b) Gọi M(a; b) thì N(a; – b) và ta có :2 2

19 4

a b− = (1)

Tam giác OMN vuông cân tại O ⇔ OM ⊥ ON ⇔ a2 – b2 = 0 ⇔ a2 = b2 (2) Thay (2) vào (1) ta có: a2 = 5 ⇔ a = 5± Vậy các cặp ñiểm cần tìm là:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5

5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5

hoaëc

hoaëc hoaëc

M N M N

M N M N

− −

− − − − − −

Ví dụ 4: Cho parabol (P): y2 = 4x và ñường thẳng (d): x + y + m = 0. a) Xác ñịnh tiêu ñiểm, phương trình ñường chuẩn của (P). b) Xác ñịnh m ñể (d) cắt (P) tại hai ñiểm A, B sao cho OA ⊥ OB. Giải : a) p = 2 ⇒⇒⇒⇒ tiêu ñiểm F(1 ; 0) và phương trình ñường chuẩn: x = –1 b) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (d): (– x – m)2 = 4x ⇔ x2 + 2(m – 4)x + m2 = 0 (1) (d) cắt (P) tại hai ñiểm A, B ⇔ pt(1) có hai nghiệm phân biệt



⇔ (m – 4)2 – m2 > 0 ⇔ – 8m + 16 > 0 ⇔ m < 2. Khi ñó ta có : xA+ xB = – 2(m – 4) xAxB = m2

và A(xA ; –xA – m), B(xB ; – xB – m).

Do ñó : OA =(xA ; –xA – m), OB =(xB ; –xB – m)

Vậy, OA ⊥ OB ⇔ OA OB = 0 ⇔ xAxB + (– xA – m)(– xB – m) = 0

⇔ 2xAxB + (xA + xB)m + m2 = 0

⇔ 2m2 - 2(m - 4)m + m2 = 0 ⇔ m2 + 8m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = -8 (thoả mãn ñiều kiện có nghiệm) Ví dụ 5: Cho ñiểm A(0; 3), parabol (P): y2 = x và ñiểm M ∈ (P) sao cho yM = a. Xác ñịnh M ñể AM ngắn nhất. Giải: M ∈(P) nên M(a2; a). Do ñó ñộ dài AM là:

AM = 4 2 4 2( 3) 6 9a a a a a+ − = + − +

Xét 4 2( ) 6 9f a a a a= + − + , ta có:

3

4 2

4 2 6'( )

2 6 9

a af a

a a a

+ −=+ − +

f’(a) = 0 ⇔ a = 1 Bảng biến thiên :

x –∞ 1 +∞ y’ – 0 +

y 5

⇒ min(AM) = 5 khi a = 1. Vậy ñiểm M(1 ; 1).



C. C. C. C. BAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình chính tắc của Elip có ñộ

dài trục lớn bằng 24 , các ñỉnh trục nhỏ và các tiêu ñiểm cùng nằm trên một ñường tròn.

Bài 2: Cho (E) 1916

22

=+ yx và ñiểm I(1; 2) .

a) Tìm ñộ dài các trục, tiêu ñiểm và tâm sai. b) Tìm ñiểm M thuộc (E) sao cho MF1 = 2MF2. c) Viết phương trình ñường thẳng (d) qua I cắt (E) tại A và B sao cho

I là trung ñiểm của AB.

Bài 3: Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 114

22

=+ yx. Tìm toạ ñộ các

ñiểm A, B thuộc (E), biết rằng hai ñiểm A và B ñối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ñều.

Bài 4: Cho hybebol (H) có phương trình 14

22

=− yx

a) Xác ñịnh tiêu ñiểm, tiêu cự, phương trình các ñường tiệm cận của (H). b) Gọi M(x0, y0) thuộc (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ M ñến hai tiệm cận của (H) không phụ thuộc vị trí M.

Bài 5: Cho hybebol (H): 154

22

=− yx và ñường thẳng ∆ : x – y + m = 0

a) Chứng minh rằng ∆ luôn cắt (H) tại hai ñiểm N, M thuộc hai nhánh của (H). b) Giả sử xM < xN và F1, F2 là hai tiêu ñiểm của (H). Tìm m ñể

F2N = 2F1M c) Viết phương trình chính tắc của elip nhận hai ñỉnh của (H) làm tiêu

ñiểm và hai tiêu ñiểm của (H) làm hai ñỉnh.



ðỀ THI TUY ỂN SINH ðẠI H ỌC (TỪ NĂM 2003 ðẾN NĂM 2009)

Khối B– 2003: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 900. Biết

M(1,–1) là trung ñiểm của cạnh BC và G(3

2, 0) là trọng tâm tam giác.

Tìm toạ ñộ các ñỉnh A, B và C. Khối D– 2003:

Trong mp Oxy cho ñường tròn (C): 4)2()1( 22 =−+− yx và ñường

thẳng (d): 01 =−− yx . a. Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua (d). b. Tìm toạ ñộ giao ñiểm của (C) và (C’). Khối A – 2004: Trong mp Oxy cho A (0, 2) và B (– )1,3 − . Tìm tọa ñộ trực tâm và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Khối B – 2004: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho cho hai ñiểm A(1, 1), B(4, –3). Tìm ñiểm C thuộc ñường thẳng 012 =−− yx sao cho khoảng cách từ C ñến ñường thẳng AB bằng 6. Khối D – 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC có A(–1, 0), B(4, 0) và C(0, m). với m≠ 0. Tìm ñiểm toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác ñịnh m ñể tam giác GBC vuông tại G. Khối A – 2005: Trong mp Oxy cho hai ñường thẳng

(d1): x – y = 0 và (d2): 2x + y – 1 + 0 Tìm toạ ñộ các ñỉnh hình vuông ABCD biết rằng A thuộc (d1), C thuộc (d2) và các ñỉnh B, D thuộc trục hoành. Khối B – 2005: Trong mp Oxy cho A (2, 0) và B(6, 4). Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc trục hoành tại ñiểm A và khoảng cách từ tâm của (C) ñến ñiểm B bằng 5.



Khối D – 2005:

Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 114

22

=+ yx. Tìm toạ ñộ các ñiểm A,

B thuộc (E), biết rằng hai ñiểm A và B ñối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ñều. Khäúi A – 2006: Trong mp Oxy cho ba ñường thẳng:

d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tìm toạ ñộ ñiểm M trên ñường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M

ñến ñường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d2. Khäúi B – 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và ñiểm M(–3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp ñiểm của các tiếp tuyến kẻ từ M. Viết phương trình ñường thẳng T1T2. Khäúi D – 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm M trên d sao cho ñường tròn tâm M bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C) tiếp xúc ngoài với (C). Khäúi A – 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho ta m giác ABC coa A(0; 2), B(–2; –2) và C(4; 2). Gọi H là chân ñường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình ñường tròn ñi qua các ñiểm H, M và N. Khäúi B – 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(2; 2) và các ñường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0 Tìm toạ ñộ ñiểm B và C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác ABC vuôn cân tại A. Khäúi D – 2007: rong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và ñường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñể trên d ñể có duy nhất một



ñiểm P mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp ñiểm) sao cho tam giác PAB ñều. Khäúi A – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của

elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 3

5và hình chữ nhật cơ sở của (E)

có chu vi bằng 20. Khäúi B – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, hãy xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên ñường thẳng AB là ñiểm H(−1;−1), ñường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2=0 và ñường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y −1=0. Khäúi D – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho parabol (P) : y2 =16x và ñiểm A(1; 4). Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao cho góc BAC = 900. Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. Khäúi A – 2009

Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ cho hình chữ nhật ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm là giao ñiểm của hai ñường chéo là I(6;2) . ðiểm M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng x + y – 5 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng AB. Khäúi B – 2009

Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ cho ñường tròn ,Oxy ñường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4/5 và hai ñường thẳng d1: x – y = 0, d2: x – 7y = 0. Xác ñịnh tọa ñộ tâm K và bán kính của ñường tròn (C1), biết rằng (C1) tiếp xúc d1, d2 và tâm K thuộc ñường tròn (C). Khäúi D – 2009



Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ ,Ox cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñiểm của cạnh AB. ðường trung tuyến và ñường cao qua ñỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình ñường thẳng AC.

Documents

Toa do-trong-mat-phang