Viet pt-mat-phang-nt long -

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498

1

SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Gửi tặng: Mathvn.com

Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước, học sinh và đôi khi là giáo viên sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng, phương pháp đó cũng khá là ngắn gọn và hay nhưng hiện nay chỉ dùng phương pháp đó với hình thức tham khảo, điều đó làm khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài tập, cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy. Bài viết này hi vọng sẽ giúp đỡ các em, cũng như các bạn đồng nghiệp không cần sử dụng phương pháp đó vẫn có thể làm bài tập, không những chỉ làm với dạng bài tập đó mà còn mở rộng sang các dạng khác Một số dạng cụ thể Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với hai mặt phẳng cho trước - Song song với hai đường thẳng cho trước - Vuông góc với một mặt phẳng và song song với một đường thẳng cho trước… Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Điều kiện cho trước là - Vuông góc với một mặt phẳng cho trước - Song song với một đường thẳng cho trước - Tạo với một mặt phẳng một góc cho trước… Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước - Đi qua một điểm không thuộc đường thẳng đã cho - Song song với một đường thẳng cho trước - Vuông góc với một mặt phẳng cho trước - Tiếp xúc với một mặt cầu cho trước - Tạo với đường thẳng hay mặt phẳng một góc cho trước… Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau Phương pháp chung cho tất cả các dạng: Bước 1: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

mặt phẳng có vtpt ; ;n A B C

Bước 2: Từ điều kiện giả thiết dẫn tới một hệ ba phương trình 4 ẩn là , ,A B C và D

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


2

Bước 3: Từ 2 trong 3 phương trình ta rút C và D theo A và B từ đó sẽ dẫn tới hai dạng phương trình là TH 1: 0A B , chọn , ,A B C D phương trình mặt phẳng cần tìm

TH 2: 20

2 2 0 0....B A AA AB B

B B

quay lại TH 1 phương trình mặt phẳng cần tìm

Để đơn giản, khi giải phương trình ta có thể chọn luôn 21 0B A A Chú ý: - Đối với TH1 khi rơi vào trường hợp đặc biệt là 0 0A A thì ta chọn 1B (vì 0 ) và ngược lại - Thông thường để sử dụng phương pháp này thì bao giờ cũng phải có ba điều kiện thì sẽ tương đương với một hệ bốn ẩn, ba phương trình và ta làm như trên - Để giảm độ phức tạp ta sẽ dùng phương pháp “dồn ẩn” như sau

Giả sử 0A khi đó ta chia hai vế cho A ta được 0B C Dx y zA A A

. Đặt , ,B C Db c dA A A

Khi đó ta được 2 20 0x by cz d b c , thì khi gặp ba điều kiện của giả thiết ta được ba phương trình ba ẩn, bấm máy tính là xong, tuy nhiên chúng ta phải thử trước nhé, biết đâu 0...A thì sao? - Vì 2 2 2 0A B C tức là ít nhất một trong ba hệ số A, B và C phải khác 0 nên ta có thể tính A và D theo B và C hoặc A và C theo B và D hoặc A và B theo C và D hoặc B và C theo A và D điều này không ảnh hưởng gì tới kết quả của bài toán - Ở đây Tôi chỉ dụng phương pháp tổng quát, còn các phương pháp khác hiệu quả hơn (xem trong chuyên đề mặt phẳng – đường thẳng – mặt cầu của Tôi), tuy nhiên trong một số trường hợp nếu không dung phương pháp tổng quát (không tính phương pháp chùm) thì làm sao đây…. Bài tập minh họa cho các dạng: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi

qua điểm 2; 1;2M , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng : 2 3 4 0x y z Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;2M .2 .( 1) .2 0 1A B C D

- Mặt phẳng song song với trục Oy . 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C

- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C

Giải hệ (1), (2) và (3) 3, 0, 2, 2.A B C D Vậy mặt phẳng có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z

Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

3; 1; 5M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : 3 – 2 2 7 0x y z và : 5 – 4 3 1 0x y z Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


3

- Mặt phẳng đi qua điểm 3; 1; 5M .3 .( 1) . 5 0 1A B C D



Từ (1) và (2) ta được 3 21, 62 2

C B A D B A thế vào (3) ta được 2A B chọn

1, 2 2, 15B A C D Vậy phương trình mặt phẳng là 2 – 2 –15 0x y z

Bài 3: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm 0;1;2A và hai đường thẳng

11 1: , ' : 1 2

2 1 12

x tx y zd d y t

z t

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A đồng thời song song với d và d’ Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua điểm M .0 .1 .2 0 1A B C D

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d . 0 .2 .1 . 1 0 2dn u A B C

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d’ '. 0 .1 . 2 .1 0 3d

n u A B C

Từ (1) và (2) ta được 2 , 4 3C A B D A B thế vào (3) ta được 3A B chọn 1, 3 5, 13A B C D

Vậy phương trình mặt phẳng là 3 5 13 0x y z

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm 1;2;3M và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc tương

ứng là 0 045 , 30 Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

Gọi ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng P . Các vtcp của trục Ox và Oy là 1;0;0i

và 0;1;0j

. Theo giả thiết ta có hệ

0

2 2 2

2 2 20

2 2 2

1sin 45222

1sin 302

AA BA BA B C

B C BA B CA B C

Chọn 1B ta được 2, 1A C Vậy phương trình mặt phẳng P đi qua điểm 1;2;3M là

2 1 2 3 0; 2 1 2 3 0x y z x y z

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


4

Bài 5: Cho mặt phẳng P có phương trình 2 0x y z và điểm 2; 3;1M . Viết phương trình mặt phẳng

Q đi qua M vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc 045 Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

Gọi ; ;n A B C

là vtpt của mặt phẳng Q . Theo giả thiết ta có hệ phương trình

2 2 2

2 0

12

A B CA

A B C

. Giải hệ trên ta được 1;1;0 , 5; 3;4n n

Vậy phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm 2; 3;1M là

1 0x y hoặc 5 2 3 3 4 1 0x y z

Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3:1 1 4

x y z và điểm

0; 2;0 .M Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0ax by cz d a b c

Phẳng phẳng P đi qua 0; 2;0 2M d b suy ra : 2 0P ax by cz b .

Đường thẳng đi qua điểm A(1;3;0) và có một vectơ chỉ phương (1;1;4)u

Từ giả thiết ta có 2 2 2

. 4 0/ /( ) (1)| 5 | 4( ; ( )) 4 (2)

n u a b cP

a bd A Pa b c

Thế 4b a c vào (2) ta có 2 2 2 2 24

( 5 ) (2 17 8 ) 2 8 02

aca c a c ac a ac cac

Với 4ac chọn 4, 1 8a c b . Phương trình mặt phẳng 1 : 4 8 16 0.P x y z

Với 2ac chọn 2, 1 2a c b . Phương trình mặt phẳng 2 : 2 2 4 0.P x y z

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng : 0Q x y z và cách điểm

1;2; 1M một khoảng bằng 2 Giải: Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với 2 2 2 0A B C Vì (P) (Q) nên 1. 1. 1. 0 0A B C A B C C A B (1)

Theo giả thiết 2 2 2 2

2 2 2

2; 2 2 ( 2 ) 2( )

A B Cd M P A B C A B C

A B C

(2)

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


5

Thay (1) vào (2) , ta được : 20

8 5 0 8 5

BAB B AB

TH 1: (1)0 .B C A Chọn 1, 1A C thì 1 : 0P x z

TH 2: 8B =5A

. Chọn (1)5, 1 3A B C thì 2 : 5 8 3 0P x y z

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 11 1 4x y z và điểm 0;3; 2M . Viết

phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song và khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 3. HD: Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

Từ giả thiết ta có hệ

2 2 2

3 2 04 0

3

B C DA B C

C D

A B C

28

B CB C

TH 1: 2B C chọn 1, 2 2, 8C B A D TH 2: 8B C chọn 1, 8 4, 26C B A D ( ( ; ) ( , )d P d M P , với M(0; 0; 1) ) Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2 2 – 8 0; 4 – 8 26 0.x y z x y z Bài 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 4 5 0S x y z x y z , mặt phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2), vuông góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0ax by cz d a b c

Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) 1 1 2 0a x b y c z

Mặt cầu (S) có tâm 1; 2;2I bán kính R = 2

Mặt phẳng (Q) có VTPT (2;1; 6)Qn

Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên 2 2 2

2 6 03

2

a b cb

a b c

2 2 2 2 2 2

22 6 22 6 2 6

(I)2 59 4 4 4 3 10 05 11

2

a ca c b b ca c b a c bb c b cb a b c b bc cb c

a c

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


6

Nếu c = 0 thì a = b = 0 (loại) suy ra 0c . TH 1: Chọn 1 1, 1c a b 1 : 2 2 6 0P x y z

TH 2: Chọn 111 , 52

c a b 211: 1 5 1 2 0 11 10 2 5 02

P x y z x y z

Chú ý: Nếu thay đổi giả thiết là (P) đi qua một điểm M, song song với đường thẳng d và tiếp xúc với một mặt cầu thì cũng làm tương tự Bài 10: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : 3 0P x y z

và : 1 0Q x y z . Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc với P và Q sao cho khoảng cách từ

O đến R bằng 2. Giải: Giả sử mặt phẳng R có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng P . 0 .1 .1 .1 0 1R Pn n A B C

- Mặt phẳng R vuông góc với mặt phẳng Q . 0 .1 . 1 .1 0 2R Qn n A B C

- Khoảng cách 0; 2 2 2 2 32

Dd R D

Cộng (1) và (2) ta được 0A C , chọn 1 1, 0A C B kết hợp với (3) ta được hai phương trình mặt phẳng cần tìm là 1 : 2 2 0R x z và 2 : 2 2 0R x z Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 11: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi

qua hai điểm 1;0;1 , 5;2;3M N và vuông góc với mặt phẳng : 2 – – 7 0x y z Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua 1;0;1M .1 .0 .1 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 5;2;3N .5 .2 .3 0 2A B C D


Từ (1) và (2) ta được – 2 – ,C A B D A B thể vào (3) ta được –2 0B chọn 1, 0 2, 1A B C D Vậy phương trình mặt phẳng là – 2 1 0x z

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

2;1;3 , 1; 2;1M N và song song với đường thẳng d có phương trình là: 1

: 23 2

x td y t

z t

Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


7

- Mặt phẳng đi qua 2;1;3M .2 .1 .3 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 1; 2;1N .1 . 2 .1 0 2A B C D

- Mặt phẳng song song với đường thẳng d . 0 .1 .2 . 2 0 3dn u A B C

Từ (1) và (2) ta được 1 3 1 7,2 2 2 2

C A B D A B thế vào (3) ta được 2 5A B chọn

1 195, 2 ,2 2

A B C D

Vậy phương trình mặt phẳng là 1 195 2 0 10 4 19 02 2

x y z x y z

Bài 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm 1;1;0M , 0;0; 2N và 1;1;1I . Viết

phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ I tới mặt phẳng P bằng 3 . Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng P đi qua 1;1;0M . 1 .1 .0 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 0;0; 2N .0 .0 . 2 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 1 ,2

C A B D A B

Nên mặt phẳng P có phương trình là 1 02

Ax By A B z A B

Theo giả thiết

2 2

22 2

172; 3 3 5 2 7 0 151

2

A B A B A BA Ad I P A AB BB B

A B A B

TH 1: 1AB chọn 1, 1 1, 2 : 2 0A B C D P x y z

TH 2: 75

AB chọn 7, 5 1, 2 : 7 5 2 0A B C D P x y z

Bài 14: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh 1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1A B C và 0;3;1D . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A, B sao cho khoảng

cách từ C đến mặt phẳng P bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng P Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0ax by cz d a b c

- Mặt phẳng P đi qua 1;2;1A .1 .2 .1 0 1a b c d

- Mặt phẳng P đi qua 2;1;3B . 2 .1 .3 0 2a b c d

Từ (1) và (2) ta được 3 1 5,2 2 2

c a b d a b

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


8

Nên mặt phẳng P có phương trình là 3 1 5 02 2 2

ax by a b z a b

Theo giả thiết , ,d C P d D P

2 2

2 2 2 2

3 1 5 5 3 1 5 5.2 . 1 .1 .0 .3 .12 2 2 2 2 2 2 2

3 1 3 12 2 2 2

2 43

2 0

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b

a ba b a b

b

Với 2 4a b chọn 14, 2 7, 15 : 4 2 7 15 0a b c d P x y z

Với 2 0b chọn 2 23 5 3 50, 1 , : 0 : 2 3 5 02 2 2 2

b a c d P x z P x z

Bài 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm 0; 1;2 ,A

1;0;3B và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: 2 2 2( 1) ( 2) ( 1) 2x y z Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0ax by cz d a b c

- Mặt phẳng P đi qua 1;2;1A .0 . 1 .2 0 1a b c d

- Mặt phẳng P đi qua 2;1;3B .1 .0 .3 0 2a b c d

Mặt cầu S có tâm 1;2; 1I và có bán kính 2R

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu

2 2 2

.1 .2 . 1, 2 3

a b c dd I P R

a b c

Từ (1) và (2) ta được , 2 3c a b d a b thể vào (3) và rút gọn ta được 2 21

3 8 11 083

aba b abab

TH 1: 1ab . Chọn 1, 1 0, 1a b c d , suy ra phương trình 1 : 1 0P x y

TH 2: 83

ab . Chọn 8, 3 5, 7a b c d , suy ra phương trình 2 : 8 3 5 7 0P x y z

Bài 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (0; 1;2)M và ( 1;1;3)N . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ 0;0;2K đến (P) đạt giá trị lớn nhất Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N nên ta có

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


9

.0 . 1 .2 0 1

. 1 .1 .3 0 2

A B C D

A B C D

Từ (1) và (2) ta được 2 , 2A B C D B C

: 2 2 0P B C x By Cz B C

Khoảng cách từ K đến mp(P) là: ,2 24 2 4

BK P

B C BCd

TH 1: Nếu 0B thì , 0d K P (loại)

TH 2: Nếu 0B thì 2 2 2

1 1,24 2 4

2 1 2

Bd K P

B C BC CB

Dấu “=” xảy ra khi B = – C. Chọn C = 1 và B = – 1 Vậy phương trình mặt phẳng : – 3 0P x y z Chú ý: Cũng có thể dùng khảo sát hàm số tìm Max với TH 2 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước Chú ý: Đối với dạng 3 này ngoài cách chọn hai điểm thuộc một đường thẳng và thuộc mặt phẳng cần tìm ta được phương trình (1) và (2) ta cũng có thể chọn một điểm và áp dụng điều kiện đường thẳng chứa trong mặt phẳng nên . 0n u

từ đó ta được phương trình (1) và (2)

Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai mặt

phẳng : – – 3 0x y z và : 3 5 –1 0x y z đồng thời song song với mặt phẳng

: 2 – 3 0x y z Giải: Gọi là giao tuyến của và có phương trình

3 0

:3 5 1 0x y zx y z

Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

Chọn hai điểm 1 7;0; 4M và 2 1; 2;0M

- Mặt phẳng P đi qua 1 7;0; 4M .7 .0 . 4 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 2 1; 2;0M .1 . 2 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 32

B AC và 2 –D B A

Nên mặt phẳng P có vtpt 3; ;2P

B An A B

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


10

Mặt phẳng có vtpt 1;1;2n , mặt phẳng P song song với

Pn và n cùng phương 2.23

11ABBA

chọn 1, 1 2, 1A B C D

Vậy mặt phẳng P có phương trình là 2 1 0x y z

Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng P

a. Đi qua điểm 2;1; 1oM và qua giao tuyến của hai mặt phẳng Q và R có phương trình lần lượt là: – – 4 0x y z và 3 – – 1 0x y z

b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3 – – 2 0x y z và : 4 – 5 0x y đồng thời vuông góc với

mặt phẳng : 2 – 7 0x z Giải: a. Gọi là giao tuyến của Q và R có phương trình

– – 4 0

:3 – –1 0x y zx y z

Chọn hai điểm 3 11; ;02 2

M

và 3 11;0;2 2

N


- Mặt phẳng P đi qua 3 11; ;02 2

M

3 11. . .0 0 12 2

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 3 11;0;2 2

N

3 11. .0 . 0 22 2

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 2;1; 1oM .2 .1 . 1 0 3A B C D

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được 15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0A B C D P x y z

b. Gọi là giao tuyến của và có phương trình

:

054023

yxzyx

Chọn hai điểm 5;0; 13M và 1;1;0N


- Mặt phẳng P đi qua 5;0; 13M .5 .0 . 13 0 1A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 1;1;0N .1 .1 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 413A BC

và D A B

Nên mặt phẳng P có vtpt 4; ;13P

A Bn A B

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


11

Mặt phẳng có vtpt 2;0; 1n , mặt phẳng P vuông góc với

4. .2 .0 . 1 0 2213P

A Bn n A B A B

chọn 1, 22 2, 21A B C D

Vậy mặt phẳng P có phương trình là – 22 2 21 0x y z Bài 19: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng

1

2 4 0:

2 2 4 0x y zx y z

2

1: 2

1 2

x ty tz t

Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 Giải:

Chọn hai điểm 4 8;0;3 3

M

và 0; 2;0N 1


- Mặt phẳng P đi qua 4 8;0;3 3

M

4 8. .0 . 0 13 3

A B C D

- Mặt phẳng P đi qua 0; 2;0N .0 . 2 .0 0 2A B C D

Từ (1) và (2) ta được 1 32 4

C A B và 2D B

Nên mặt phẳng P có vtpt 1 3; ;2 4Pn A B A B

Đường thẳng 2 có vtcp 2 1;1;2u

, mặt phẳng P song song với đường thẳng 2

21 3. .1 .1 .2 0 5 02 4Pn u A B A B B

chọn 11, 0 , 02

A B C D

Vậy mặt phẳng P có phương trình là 1– 0 2 02

x z x z

Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 11 1:

2 1 1x y zd

và

22 1:

1 1 1x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng chứa 1d và hợp với 2d một góc 300.

Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

mặt phẳng P có vtpt ; ;Pn A B C

- Trên đường thẳng 1d lấy 2 điểm 1;0; 1 , 1;1;0M N

Do P qua ,M N nên: 0 20

A C D C A BA B D D A B

Nên ( ) : (2 ) 0P Ax By A B z A B .

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


12

- Theo giả thiết ta có 0

2 2 2 2 2 2

1. 1. 1.(2 )1 sin 302 1 ( 1) 1 . (2 )

A B A B

A B A B

2 2 2 22 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0A B A AB B A AB B

Dễ thấy 0B nên chọn 1B , suy ra: 18 11421

A

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 021 21 21

x y z

.

Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm 1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3A B C . Viết phương trình mặt

phẳng P chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến P bằng khoảng cách từ C đến P Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng : 2 2 20 0Ax By Cz D A B C

- Vì P chứa OA suy ra P đi qua 2 điểm 0;0;0 1;2;0 .O và A 0 02 0 2

D DA B A B

Suy ra mp(P) có phương trình là: 2 0Bx By Cz - Theo giả thiết thì:

2 2 2 2

4 3 3, , 4 3 4 345 5

B C Bd B P d C P B C B CCB C B C

Chọn C = 4 suy ra B = 3 Vậy có 2 mp thoả mãn: 1 2: 6 3 4 0 ; : 6 3 4 0.P x y z P x y z Bài 22: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng 2 0

:2 6 0x y

dx z

sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt

cầu 2 2 2: 2 2 2 1 0S x y z x y z là đường tròn có bán kính r = 1. Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Chọn hai điểm 2;0; 2 , 3;1;0M N d

- Mặt phẳng P chứa d nên .2 .0 . 2 0, 2

.3 .1 .0 0 3

A BA B C D CM N P

A B C D D A B

Suy ra mặt phẳng có phương trình là 3 02

A BAx By z A B

- Mặt cầu 2 2 2: 1 1 1 4S x y z có tâm 1;1; 1I và bán kính 2R Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính 1r

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


13

2 2

22 2

. 1 .1 . 1 32( ; ) 3 3

2

A BA B A Bd I P R r

A BA B

2 2

2 2

17 53 17 10 7 0

75 5 217

AA B BA AB B

AA B ABB

TH 1: 1AB . Chọn 11 1, 4 ( ) : 4 0A B C D P x y z

TH 2: 717

AB . Chọn 27, 17 5, 5 ( ) : 7 17 5 4 0A B C D P x y z

Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có

phương trình: : 2 5 0P x y z và 1: 1 32

xd y z . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường

thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất Giải: Giả sử mặt phẳng Q có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Chọn hai điểm 1; 1;3 , 1;0;4M N d

- Mặt phẳng Q chứa d nên . 1 . 1 .3 0 1,

7 4.1 .0 .4 0A B C D C A B

M N QD A BA B C D

Suy ra mặt phẳng có phương trình là 2 7 4 0Ax By A B z A B và có vtpt ; ; 2Qn A B A B

- Mặt phẳng (P) có vtpt 1;2; 1Pn

. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có

2 2

3cos6 5 2 4

A B

A B AB

. Xét hai trường hợp

TH 1: 0A khi đó2

3 3cos2 66 2

B

B

TH 2: 0A khi đó 2

13cos6

5 2 4

BA

B BA A

. Đặt BxA

và 2cosf x

Xét hàm số 2

2

9 2 1.6 5 2 4

x xf xx x

, khảo sát hàm số này ta thấy 0 cos 0

2 6Min f x

Vậy chỉ có TH 1 thỏa mãn, tức là 0A , chọn 1 1, 4 : 4 0B C D P y z Chú ý: Ta có thể xét trường hợp 0B , 0B hoặc 0A B , 0A B

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


14

Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1

: 22

x td y t

z t

Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất Giải: - Giả sử mặt phẳng P có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Chọn hai điểm 1; 2;0 , 0; 1;2M N d

- Mặt phẳng P chứa d nên

.1 . 2 .0 0, 2

.0 . 1 .2 0 2

A BA B C D CM N P

A B C D D A B

Suy ra mặt phẳng có phương trình là 2 02

A BAx By z A B và có vtpt ; ;

2PA Bn A B

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Oy ta có

2 2 22 2

2sin

5 5 22

B B

A B ABA BA B

TH 1: 00 sin 0 0B

TH 2: 2

20 sin

5 5 2

BA AB B

. Đặt AxB

và 2sinf x

2

45 2 5

f xx x

, khảo sát hàm số này ta được 5 16 5

Maxf x x

Hiển nhiên trong trường hợp này 00

Vậy TH 2 thỏa mãn tức là 15

AB . Chọn 1, 5 2, 9 : 5 2 9 0A B C D P x y z

Chú ý: Có thể làm TH 2 bằng tam thức bậc hai như sau như sau

2 2

2 2 2 5 10 sin5241 245 5 2 5

5 5

B xA A xB B

Bài 25: (ĐH – A 2008) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng 1 2:

2 1 2x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A đến () lớn nhất.

Giải: Giả sử mặt phẳng P có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C


www.MATHVN.com

www.mathvn.com


15

- Đường thẳng d đi qua điểm 1;2;0M và có vtcp 2;1;2du

- Vì P chứa d , nên nói riêng chứa điểm (1,0,2) vậy có 2 0 1M P A C D

và . 0 2 2 0 2 P dn u A B C

Từ (1) và (2) ta được 2

2A BC

D A B

suy ra mặt phẳng : 2 2 2 2 2 0P Ax By A B z A B

TH 1: 0B thì : 2 2 2 0 1 0P Ax Az A x z (vì 0A )

Khi đó 2 2

2 3 1, 0

1 1d A P

(loại)

TH 2: 0B . Chọn 1B thì : 2 2 2 1 2 2 0P Ax y A z A

Khi đó 2 2 2

4 10 6 3 2 2 9 9 9 2,38 4 5 8 4 5 1 32 2

2 2

A A Ad A P

A A A AA

Vậy 1 1, 2 02 4Max

d A P A A

Với 1 1 3, 1 , : 4 3 04 4 4

A B C D P x y z

Bài 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 10;2; 1A và đường thẳng d có

phương trình1 2

1 3

x ty tz t

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)

là lớn nhất. Giải: - Giả sử mặt phẳng P có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C


- Đường thẳng d đi qua điểm 1;0;1M và có vtcp 2;1;3du

- Mặt phẳng đi qua điểm 10;2; 1 10 2 0 1A A B C D

- Mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d nên . 0 2 3 0 2 P dn u A B C

Từ (1) và (2) ta được 2 32 7,3 3

A B A BC D

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình 3 3 2 32 7 0Ax By A B z A B

2 2 22 2

3 .1 3 .0 2 1 32 7 33 6, ,

13 10 49 9 2

A B A B A B A Bd d P d M P

A B ABA B A B

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


16

Xét hai trường hợp 0B hoặc 0B ta được phương trình : 7 5 77 0P x y z …Bạn đọc tự giải Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước Bài 27: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi

qua ba điểm M 3;0;0 ; 0; 2;0N và 0;0; 1P Giải: Giả sử mặt phẳng có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua M 3;0;0 . 1 .0 .0 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 0; 2;0N .0 . 2 .0 0 2A B C D

- Mặt phẳng đi qua 0;0; 1P .0 .0 . 1 0 3A B C D Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 . Vậy mặt phẳng có phương trình là 2 3 6 6 0x y z Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau hoặc song song với nhau Nhận xét: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt trong đó lấy hai điểm thuộc đường thẳng này mà một điểm thuộc đường thẳng kia (dạng 4) Bài 28: (ĐH – D 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

11 2 1:

3 1 2x y zd

và 2

2 0:

3 12 0x y z

dx y

. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau .Viết phương trình

mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 Giải: - Chứng minh d1 và d2 song song với nhau ,ta có d1 đi qua điểm 1; 2; 1M và có vtcp 1u = (3;-1;2) d2 có vtcp 2u = (3;-1;2) = 1u và M1 d2 vậy d1 // d2 - Viết phương trình mặt phẳng chứa cả d1 và d2

Chọn hai điểm 23;5;0 12;0;10N và Q d .

Mặt phẳng chứa d1 // d2 mặt phẳng đi qua ba điểm M, N và Q

Giả sử mặt phẳng có dạng 2 2 20 ( 0)Ax By Cz D A B C

- Mặt phẳng đi qua 1; 2; 1M .1 . 2 . 1 0 1A B C D

- Mặt phẳng đi qua 3;5;0 . 3 .5 .0 0 2N A B C D

- Mặt phẳng đi qua 12;0;10 .12 .0 .10 0 3Q A B C D Giải hệ (1), (2) và (3) ta được 15, 11, 17A B C và 10D .

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


17

Vậy mặt phẳng có phương trình là 15 11 17 10 0x y z Bài tập áp dụng: Bài 1: a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm 3;4;1 , 2;3;4 , 1;0;2 .M N E Viết

phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với MN. (Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)

b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1; 2;1K và vuông góc với đường

thẳng 1

: 1 21 3

x td y t

z t

.

(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007) Đs: a. : 3 5 0x y z b. : 2 3 8 0x y z

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm 1; 1;0M và mặt phẳng ( P có phương trình:

2 4 0.x y z Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với P

Đs: : 2 2 0x y z (Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm 2;3;1M và vuông góc với hai mặt phẳng

: 2 2 5 0 và : 3 2 3 0P x y z Q x y z (Sách bài tập nâng cao hình học 12)

Đs: : 3 4 19 0x y z Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng P đi qua 1; 1;3 , 1;0;4M N và tạo với mặt phẳng

: 2 5 0Q x y z một góc nhỏ nhất .

Đs: : 4 0P y z

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm 1;2;3 , 2; 2;4M N và song song với Oy. (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)

Đs: : 2 0x z Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng : 2 3 7 0P x y z . Viết phương trình mặt

phẳng ( ) đi qua 1;1;0 , 1;2;7A B và vuông góc với P (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)

Đs: :11 8 2 19 0x y z

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình 3

12

11

2

zyx và mặt

phẳng : 3 2 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với P

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007)

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


18

Đs: : 3 5 0x z

Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 1 2:2 1 5

x y zd sao cho khoảng cách từ 5;1;6A đến

lớn nhất.

Đs: : 2 1 0x y z

Bài 9: Trong các mặt phẳng đi qua điểm 2; 1;0A và song song với đường thẳng 1 2 1:1 1 1

x y zd

.

Viết phương trình mặt phẳng tạo với mặt phẳng xOy một góc nhỏ nhất

Đs: : 2 1 0x y z Bài 10: Trong các mặt phẳng đi qua 1;1; 1A và vuông góc với mặt phẳng : 2 2 0x y z . Viết phương trình mặt phẳng tạo với Oy một góc lớn nhất.

Đs: 5 1: 0; : 3 02 2

y z x y z

Bài 11: Trong các mặt phẳng đi qua các điểm 1;2; 1 , 1;1;2A B , viết phương trình mặt phẳng tạo với

mặt xOy một góc nhỏ nhất.

Đs: : 6 3 5 7 0x y z Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :

2:1

yd x z

và 2 5’ : 3

2 1x zd y

. Viết phương trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d’ một góc 030

Đs: 2 4 0 ; 2 2 0x y z x y z LỜI KẾT: Chuyên đề gồm 28 bài tập giải mẫu và 12 bài tập tự giải có đáp số tuy chưa minh họa hết các dạng bài tập nhưng cũng minh họa được một cách tối ưu phương pháp dùng PTTQ của mặt phẳng Tôi không có tư tưởng của một nhà viết sách hay gì cả, tôi chỉ viết lên những dòng suy nghĩ và những mạch cảm xúc của mình và chỉ mong các em học tốt hơn, nhưng tôi mong rằng khi ai đó đọc tài liệu này và sử dụng nó để giảng dạy… hãy nhớ tới tôi như một người bạn… Chào thân ái Mọi yêu cầu thắc mắc, bổ sung xin gửi theo địa chỉ Email: [email protected] Hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long: Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – TP. Thanh hóa ... Tôi sẽ trả lời cho bạn.. Vẫn biết rằng “ Biển học vô bờ “ nhưng đừng lo nhé, tôi luôn ở bên cạnh bạn, nào chúng ta hãy cùng nắm tay nhau nhé các bạn

www.MATHVN.com

www.mathvn.com

Technology

Viet pt-mat-phang-nt long -