vO DUONG THl)Y (Chii hien)- NGUYEN NGOC D~M

TOAN NANG CAO v A cAc CHUYEN DE

' HINH HOC 9 •

(Tai ban ldn thu tam)

NHA XUAT BAN GlAD Dl)C VI~T NAM

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

LdiNOI'DAU

Cu6n To/lll ncing ('([0 \'(t nlc clwyen de' Hinh h9c 9 thuoc b(> sach Toan

nang cao va cac chuyen d~ dtmg cho hoc sinh kha, gioi bac THCS.

Cu6n sach duqc bien SO<;tn theo chuang trlnh m6i cua B(> giao due va D~lO

tao.

N(>i dung cu6n sach g6m hai phan :

Phan thl'r nhat : Toan nang cao, g6m cac bai t~p duqc sap xep theo tung d~ muc ct:ta chuang trlnh . Cac bai tap dtrac lua chQn da d<;t~g v~ th~ lo<;ti , phong phu v~ each giai nham ci:mg co nhi~u kien thlrc, ren luy~n de ky

nang, phat tri~n nang l~rc tlt duy linh ho<;tt, sang l<;tO, phll hqp VOi cac kha nang tiep thu CUa hQC sinh kha, gioi lop 9.

Phan thl'r hai : Chuyen d~, gi6i thieu Quy tfch, trong do gi6i thi~u khai

ni~m, cac quy tfch ca ban, dch giai bai toan tim quy tfch , vf du ap dung va cac bai toan d~ hQC sinh luy~n t~p .

Cac tac gia hi vong cu6n sach se Ia m(>t tai li~u tham khao b6 fch cho cac em hQC sinh ham thfch hQC tap man toan, cung cap cho cac thay, cac CO

giao nhi~u tu li~u can thiet trong vi~c d ~1y hoc, giup cac b:k cha m~ m(>t ttr

li~u M htr6ng d~n con em hQC t~p a nha .

Cac tac gia mong nh~n duqc nhfrng dong gop y kien v~ cu6n sach.

cAc TAC GIA

3

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

p han thu nhat

TOAN NANG CAD--------

Chuang I

He THUC LlJQNG TRONG TAM GIAC VUONG

§I. MOTs() HE TH(i'C LUONG VE CANH VA DUONG CAO TRONG TAM GIAC VUONG

• Trong ti1ot tam giac vuong. blnh phtrang moi canh goc VUOI1g htmg tfch CLICI Ci:_ll1h huy~n VOi hinh chieu Clla canh goc vuong do trcn qmh huy~n. , ,

b- = ab' ; c- = <ic'

• Trong m¢t tam gi<k vuong, blnh phtrang dtrO'ng cao u·ng voi qmh huy~n bang tfch hai hlnh chieu etta bai qmh goc vuong tren c~mh bttycn .

h2 =h' . c'

:\

~ o: ' h' ~c

ll -- H -------------a

Hinh I

• Trong m¢t tam giac vuong, tfch hai C~1i1h goc vuong btmg tfch cua qnh huy~n voi duong cao tuang t'rng .

ha =be

• Trong m<;>t tam gi<1c vuong, ngh!ch d<io blnh phtrang dtrO'ng cao t'rng voi c~nh huy~n bang t6ng de ngh!ch d;io blnh plllro-ng hai q.nh goc vuong.

Vi dt.t I. Biet ti so hai c ~mh goc vuong ct"ta mot tam giac vuong lit 5 : 6, cc_mh huy~n Ia 122cm. Tfnh do dai hlnh chicu cua de c;_mh goc vu6ng tren c~nh huy~n .

5

I

----------------------------------------- -----

Gi(ii

1\ Gia sl'r tam gtac ABC vu6ng tai A, c6

AB: AC = 5 : 6 va' BC = 122cm (h2).

, AB AC Vt AB: AC = 5: 6 nen--- =--- = k ;

5 6 suy ra AB = Sk, AC = 6k. ~ Tam gi<:'ic ABC vu6ng 6 A. theo dinh ly 13 II c

Py-ta-go, ta c6 : Hinli 2 ) .., )

AB- + Ac- = sc- hay ) .., , .., .., ..,

(5kf + (6kt = 122-, suy ra 61 k- = 122-. do d6 k- = 244, suy ra k:::::: 15,62

Yay AB:::::: 15.62. 5 = 7R.I (em)

AC:::::: 15,62.6 = 93,72 (em)

Ke AH l_ BC. Theo h~ tht'rc luqng v~ c<_lnh g6c vu6ng v6i hlnh chieu ci'ta n6 tren c~nh huy~n, ta c6 :

.., AB2 78,1 2 6099,61 AB- = BH. BC, suy ra BH = --- :::::: ---- = ::::::50 (em)

BC 122 122

' C AC2 93,72 2 R7R3,44 ,.., Ac- = HC. B , suy ra HC = ---::::: = ::::: 7L. (em)

BC 122 122 Tra IO'i : D¢ dai hlnh chieu ci'ta cac canh g6c vuong tren c ~mh huy~n Ia :

BH:::::: 50 em; HC = 72 em V f tli.t 2. M¢t tam giac vuong co cc:tnh huycn

Ia 6, !Scm, dtrong cao t.'rng v6i c<.mh huy~n Ia 3cm. Tfnh cac canh goc vu6ng CLia tam giac .

Gi(ii

Gia si'r tam giac ABC vuong 6 A. co BC = 6, 15 em va duang cao AH = 3 em (h3 ). Theo h~ tht.'rc Iuqng v~ duang cao v~t hlnh chieu ella cac C(_lllh g6c VUOllg tren qnh huy~n , ta CO :

AH2 = BH. HC

A

13--- H ---c --- 6. 1 'i -

Hinli 3

.., .., hay 3- = BH(6,15- BH), suy ra BH-- 6,15BH + 9 = 0

~ BH(BH- 3,75)- 2,4(BH- 3,75) = 0

~ (BH- 3,75) (BH- 2,4) = 0

~ [BH- 3,75 = 0 ~ [BH = 3,75cm BH- 2,4 = 0 BH = 2,4 em

6

Gia str AB < AC, the tt1l BH = 2,4 em, khi d6 HC = 3,75 em. CL"mg theo h¢ thLi'c ltrong trong tam gi<k vu6ng ABC, ta lai co :

~

AW = BH . BC = 2.4. 6,15 = 14,76. do do AB::::: 3,R4 (em).

AC2 = CH. BC = 3,75. 6,15 = 23,0625. do do AC::::: 4,X em

Tni lai : Do dai de eanh goc vuong ct1a tam giac I~• :

AB::::: 3,X4 em ; AC::::: 4.X em .

Bai t¢p

1. Cho tam gdc ABC vuong a A, dLrong cao AH. Bie·t AB: AC = 3 : 7, AH = 42 em. Tfnh BH, HC.

2. Cho tam giac ABC vuong a A. c.hrong cao AH. Biet BH : HC = 9 : 16, AH = 4R em. Tfnh do clii.i eae canh g6c vuong ct1a tam giac.

3. Trang m(>t tam giac vuong. ti so gili'a dtrang cao va trung tuyen b~ ttr dinh goc vu6ng btmg 40 : -+I. Tinh d(> dai cac canh g6c vuong ctla tam

gi<1c vuong do. biet canh huyen btlllg J4l ern.

4. Cho hlnh vu<'mg ABCD vi1 di~m I n<\m gili'a A v;, B. Tia Dl cat BC a E. Ptrang thing kc qua D vu6ng g6c voi DE dt BC a F. a) Tam giac DIF li1 tam giae gl '1 VI sao '1

b) Chl'rng minh rang I I

--" + - -, khong d6i khi I chuye'n d(>ng tren DI- DE-

doan AB.

S. Cho tam giac ABC vu6ng <1· A e6 canh AB = 6 em, BC = 10 em. Cie dtrang phan giac trong vii. ngoii.i etla goc B cflt AC lan ILrqt a D va E. Tfnh de doan th<1ng BD v~1 BE.

6. Cho tam giac ABC vuong a A, phf111 gi<k AD, dtrang cao AH. Biet CD= 6R em. BD = 51 em. Tfnh Bf-1. HC.

7. Cho tam giae niH~n ABC, hai chrang cao BD vi• CE dt nhau tai H.

Goi Bl, cl li\ hai ditm ILfO'Ilg Crng tren de doan HB. HC. Bie't - - ()

AB1C = AC 1B = 90 .

Tam giac AB 1C 1 Ia tam giac gl ·)VI sao 0

8. Cc!nh huy6n ctla mot tam gi<k vuong Ion hO'n mot eanh g6c vu6ng ctla tam giac li1 <) em, con t()ng hai canh goc vuong IL>.,.!l lwn canh huyen lit 6 em. Tfnh chu vi vi1 d!¢n tfch eLla tam giac vu()[lg do.

~

9. Cho tam giac ABC co A < 90°, dLrO'ng cao BH. Dat BC =a, CA = b, AB = c, AH=c',HC=b' .

7

Ch , . h ~ 2 b2 2 2b ' trng mm rang a = + c = c .

10. Cho tam giac ABC c6 B = 60°, AC = 13 em va BC- BA = 7 em . Tfnh d(> dai de e~nh AB, BC.

11. Cho tam giac ABC c6 A > 90°, du(mg cao BH. D~t BC = a, CA = b, AC = c, AH = e', HC = b'.

Cl , . h ~ 2 b2 2 2b ' 1trng mm rang a = + c + e.

12. Cho tam giae ABC can a B va di~m D tren c~nh A C. Biet HOC = 60°, AD= 3 dm, DC= 8·dm. Tfnh d(> d~ti c<;1nh AB.

§2. Ti SO LUONG GIAC CUA GOC NHON

• doi

sina = huy~n

doi toa = --

o k~

kc cosa = -­

huy~n

k~ cotoa = - -

0 doi

• Neu hai g6e nhQn a va ~ e6 sina = sin~ C

(hoi;ic eosa = cos~, ho~c tga = tg~. ho~e

eotga = eotg~) thl a = ~.

A

c~.mh huyen

Hinli4

B

• Neu hai g6c ph1.,1 nhau thl sin g6c nay b~ng eosin g6c kia va tang g6c nay bang cotang g6c kia.

Neu a+ ~ = 90° thl :

sina =cos~ ; eosa =sin~ ;

tga = cotg~ ; cotgB = tga.

Vi (ll.t 3. Cho tam giac ABC vuong a A, duang eao AH. Biet AB = 7,5 em; AH = 6 em.

a) Tfnh AC, BC; b) Tfnh cosB, cosC.

Gi£ii a) Tam gi<k ABH vuong a H, thco d!nh If

Py-ta-go, ta e6 :

BH2 = AB2- AH2 = 7,5 2

- 62 = 20,25

suy ra BH = ,}20,25 = 4,5 (em).

Tam giac ABC vuong a A, c6 AH j_ BC, theo h~ tht1c luqng trong tam gi;k vuong, ta c6 :

8

A

13 H

Hinh 5

1 AB2 7,5 2 56 ?5 AW = BH. BC, suy ra BC = -- = -- =

4·,5- = 12,5 (em) . .

BH 4,5

L~i ap d~mg djnh ly Py-ta-go v6'i tam gi~k vuong ABC, taco : 2 J '1 '1 2

AC =Be-- AB- = 12,5--7.5 = 156,25-56,25 = 100,

suy ra AC = JIOO = 10 (em)

Y~y AC = 10 em, BC = 12,5 em .

b) Trong tam giac vuong ABC, taco :

AB 7,5 cosB =- = -- = 0,6 ;

BC 12,5

AC 10 cosC = - = -- = O,R.

BC 12,5

Trd l&i : cosB = 0,6 ; cosC = 0,8. Vi dt.t 4 . Su d~mg dinh nghia cac ti so luqng gi;.lc Clla m<)t goc nh911 de

cht'rng minh ding: Y6'i goc nlwn a tuy y. ta Juan co:

) . 2 2 I a sin a + cos a = ;

b) tga. cotga =I;

c) I + tg2a = 1

2 , .

cos a ? I

d) I+ coto-a = --o . 2

sm a

Xet tam giac ABC vuong a A. D~t B =a, BC =a, CA = b, AB = c (h6).

Theo djnh nghia ti so luqng giac dta goc nh9n, taco :

. . B AC b sina = sin = - = - ·

BC a '

AB c cos a = cos B = - = - ;

BC a

AC b toa =taB=-=- · o o AB c '

AC c cotga = cotgB = AB = b

A

6 B a C

Hinh ()

9

1 ') 1 ') 1 . ..., ..., b- c- b- + c a- ' ' '

a) sm- a+ cos- a = ~ +-,- = - - ,- = -..., = I (vi b- + c- =a-). a a

b c be b) tga . cot ga = - . - = - = I.

c b cb .., " ') ..., b~ c- + h-

e) I + tg-a = I + ~ = ..., = c- c-

a

=

2 a

sai t¢p

a

= --=.,­cos- a.

13. Cho tam giac nh9n ABC co BC =a, CA = b va AB =c .

Ch, . h . a b c trnu mm rancr : -- = -- = - -

0 ° sinA sinB sinC

14. Cho tam giac nh9n ABC, hai dtrong cao BD, CE.

Chung minh ~ADE (./) ~ABC. 15. Kh6ng dtmg b~mg st) V~\ may tfnh ho lLli, hay tfnh

. 1 I oo . ') "'00 . ') 700 . I ooo a) Sill- +sm-.!.. + ... +Sill- + sm-o ;

b) cos2 12° +cos2 1° +cos2 78° +cos2 53° +cos2 89° +cos2 37° -3.

16 ) B. . I , h A 3 . I ') . a tet cosa = -, tm = sill-a+ cos-a . 3 .

b) B.-· . 8 . I B 4 . ..., 3 ..., tel sma = - , tm1 = sm- a + cos- a . 17

17. Ch(rng minh r~ng di¢n tfch ci:w mc)t tam giac b~ng mc)t nl'ra tfch ct'ta hai c~mh v6i sin ella g6c nh9n t~o bai hai dLfOng thang chCra hai C<;!Ilh ay .

18. Cho tam giac nh9n ABC, phfm giac AD. Biet AB = c, AC = b. ~

Tfnh dc) dai AD theo b, c va A .

19. Chung minh rang v6i g6c nl1911 a tuy y, m6i bi~u thtk sau khong phu thuc)c v~10 a ;

1 , a) A = (sina + cosa)- + (sina- cosa )- ;

10

. c 6 . .., .., bl B = sm a+ cos a+ 3sm- u.cos- u..

20 Bl.e''t · 5 ' h . sm a = -. tm cosa, tanga, cotga : 13

21. Biet tga = }_, tfnh sina, cosa, cotgu.. · 24

2l. Cho tam giac ABC co BC =a , CA =h. AB = c vit h + c = 2a. Cht1ng minh :

a) 2sinA = sinB + sinC;

b) 2 I I d ' I h . I I. h. . . . ' - = - +-. trong o 1", b• he Ian trot a c 1eu cao cua tam g1ac

ha hb he

t.'rng v6i de cac canh a. b. c.

23. Cho a, b, c Ian ltrat Ia d(> dai c<'ic canh BC CA. AB ct'1a tam giac ABC.

Cl , . h . . A a

1trng mm rang : s1n- ::; r;- . 2 2 -vbc

24. Cho tam gi<ic ABC va hai trung tuyen BN va CM vuong goc voi nhau . ')

Cht.'rng minh: cotgB + cotgC ~-:_:-J

25. Cho tam giac ABC vu6ng o A, C = a (a< -+5 '\ trun g tu yen AM, dtrong

cao AH. Biet BC = a, CA = b. AH = h. Hay bi 6u thi sina. cosec sin2a theo a, b, h roi cht'rng minh he thtl•c :

sin2a = 2sinacosa .

§3. HE THUC LHQNG GIOA cAc CANH VA cAc GOC

CUA M<)T TAM GIAC VU(>NG .

.---------------------------- -------

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC =a . cosB

b = c.tgB =c. cotgC ·

c = b.tgC = bcotgB

c b

H in /1 7

Vi (h_i 5. Cho tam giac ABC vuCmg o A. co AC = 15 em, B = 50°. Hay tfnh ct6 dai :

a) AB. BC;

b) Phan giac CD.

II

. Gi(ii A

a) Tam giac ABC vuong iJ A, theo h~ thl'rc Jlf<;>'llg VC qnh Va goc Clia tam giac VUOllg, ta CO : A AB = AC cotgB = 15.cotg50° ~ 15. O,R391

~ 12,59 (em). 50"

AC = BC sinB. suy ra B C

BC = AC = 15 sin B sin50°

15 ~ :::oi9.5X(cm)

0, 7660

V~y AB ~ 12,59 em , BC ~ 19,58 em.

b) Tam giac ABC vuong iJ A nen B + C = 90°,

suy ra C = 90° - B = 90° - 50° = 40°.

H in II R

CD I ' . h. . ' ' , C , A- CD I C~ I 40° 20° a tta p an gtac cua goc , Ia co = - = - = . 2 2

Trong tam giac vuong ACD vuong iJ A, theo h~ thuc luqng ve c~nh va g6c , ta c6 :

AC =CD. cos ACD =CD. cos20°, suy ra :

AC 15 CD= = :::o 15,96 (em)

cos20° 0, 9397

Tnllai : CD :::o 15,96 em .

Bai t¢p

26. Giai tam giac vuong ABC vuong iJ A, biet :

a) a =50 em , B = 50° ;

b) b = 21 em, C = 41° ;

c) c = 25 em, B = 32°.

27. Tam giac ABC c6 B = 70°, C = 35°, dtrang cao AH = Scm . Tfnh de qmh cua tam giac .

2X. Tam gi<l.c ABC vu6ng 6 A, duang cao AH . Biet HB = 12,5 em , HC = 32

em va B = 65° Tfnh AB, AC.

12

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

29. Cho tam giac ABC, hai du·ong cao BH, CK.

Chung minh dmg neu AB > AC thl BH > CK.

]0. Cho tam gik ABC co de eanh dai 6em, 7cm v~1 7em. Tfnh de g6e ctla tam gi;ic n ~1y. ·

31. Tam giac ABC e6 AB = 16 em, AC = 14 em v~1 B = 60°.

a) Tfnh BC;

b) Tfnh SARC·

32. M¢t hlnh hlnh h~mh e6 hai cc,mh Ia I 5 em va 18 em va g6c tc:to bai hai

qmh d6 btmg 135°. Tfnh di¢n tfch Clla hlnh blnh h~mh ay .

33. Cho hlnh blnh hanh ABCD co A = 45°, AB = BD = 18 em .

a) Tfnh AB;

b) Tfnh SAIKD·

34. Cho tam giac ABC vuong a A, duong cao AH. D~1t BC = a, CA = b va AB = c.

a) Chl'rng minh AH = asinBcosB; BH = acos::!B. CH = asin 2B; .., ~

b) Tlr d6 suy ra AB- = BC. BH va AH- = BH. HC.

35. M¢t khuc song r¢ng khoang 240m . M<?t chiec do cheo qua song b! dong mr6c ddy phai cheo khoang 300m m6i t6i ba ben kia. Hoi dong mr6c eta

· cttly chiec do di m¢t g6c b{mg bao nhieu?

36. M<?t ctai quan sat a ctai hai dang cao 150m so v6i m~t mr6c bi~n, nhln

m¢t chiec tau a xa v6i g6c a= I 0°. Hoi khoang each tlr tau den chan hai dang Ia bao nhieu met ? (h9).

37. M¢t nguoi quan sat ctlrng each m¢t chiee thap I Om, nhln thay cai thap

du6i g6c 55°, ctuqc ph an tfch nhu tren hI 0.

Tfnh chieu cao ci'1a thap.

-..... -..... -..... -- -..... -- -- -- -..... -- -- .......... -- -....... -._. -....... -..... -- -- -..... -- -..... -.....

Hi11h 9 Hinh 10

13

BAI T~P ON CHUONG I

38. Tfnh cosa, tga neu :

) . 15

a sma =- ; 17

. 9 b) sma =-

41 39. Khong di:mg b~ing so, may tfnh. Hay tfnh :

) A 4 2 6 . 2 b. .. . I a = cos a - sm a, 1et sma = -; 5

b) B = sinacosa, biet tga + cotga = 3;

C 4 .., . .., b". 4 c) =cos a- cos-a+ sm-a, 1et cosa =-.

5 40. Dan gian de bi~u thl"rc :

a) (sina + cosa)2 + (sina - cosa)2 ;

b) sina cosa (tga + cotga) ; ? ') 2

c) cotg-a- cos-acotg a;

d 2 . ') 2

) tg a- sm-a tg a.

41. Cho tam giac ABC vuong a A, AB = 9 em, AC = 12 em.

a) Tfnh BC, B, C ;

b) Phan giac etta g6c A dt BC a D. Tfnh BD, CD;

c) QuaD ke DEl_ AB, DF l_ AC. Tu giac AEDF ia hlnh gl ?

Tfnh chu vi va di~n tfch tu giac AEDF.

42. Cho tam giac ABC vuong a A, duang cao AH. G<;>i D va E Ian luqt Ia hlnh chieu ctia diem H tren AB va AC. Biet BH = 4 em, HC = 9 em .

a) Tfnh d¢ dai do<_tn DE ;

b) Chung minh AD. AB = AE. AC;

c) Oic duang tti~ng vuong g6c v6i DE t<_ti D va E Ian Iuqt cat BC t;:ti M vaN. Chung minh MIa trung di~m cua BH; N Ia trung di~m etta CH

d) Tfnh di~n tfch tu giac DENM.

43. Cho tam giac nh<;>n ABC, BC = a, CA = b, AB = c.

Ch ' . h ~ b2 2 2 2 B ung mm rang : = a + c - ac cos .

44. Cho tam giac ABC can a A, duang cao thu¢c qnh ben bang h, g6c a day

bang a.

14

h2 Chtrng minh : S ABC = -.---

4smacosa

45. Hai tam giac vu 6ng ABC v~1 A'B'C' dong dang v6i nhau (,A. = A' = 'J0° ) , co hai dLrcmg cao h. h' wong (rng thu oc canh huyen a vi1 a '.

Chu·ng minh :

a) aa ' = bb ' + cc ' ;

I I I b) - = -+-.

hh' bb' cc '

46. Cho tam giac nh9n ABC. ba dLrong can AH , BL CK .

Chtrng minh SHIK = (I - cos 2 A - cos2 B - cos2 C ).S A RC

47. Cho tam gi ac ABC vu6ng 6 A.

a) Ke duong cao AA' . G9i E va F theo th(r t~r Ia hlnh chieu cua di ~m A' l

Ac , B Ch , . I CE AC tn~n va A . ung 111111 1 - = - -1

, BF AB·

b) Cho D Ia m(>t di ~m tren canh BC ; M vaN Ian ILrqt li1 hlnh chieu eLla di ~m D tn~ n AB v ~1 AC. Ch(rn g minh DB. DC= MA . MB + NA. NC.

48. Tren m(>t qu <l d6 i co m(>t ca i thap cao I OOm. Tlr dinh B vi1 ch i111 C ctia thap nhln di~m A o ch<ln d6i dLroi de

goc tuong ung bang 60° Vii 30" (h I I).

Tlnh chieu cao h ct'w qu;l d6i .

49. 6 d(> cao 920 m, ttr m(>t may bay tr~c thang nguoi ta nhln hai di ~m A v~1 B ci:1a hai d fr u m(>t chiec du nhfrng goc so v6i dLrong n.im ngang ci:w m~t dat de goc Ifin ILrqt li1 a= 37° va ~ = 31 l' .

Tlnh chieu d~1i AB ct'Ia du .

B

A Hin!t 1 I

50. Cho tam giac AMB vu6ng oM . Qua B ke duong thtmg d vu6ng goc voi AB. G<;>i H va K l:in ILrqt li't hlnh chi eu ci:ta di ~m M tren dLrong th~ng d

va tren AB. Cho biet iVIAB = a ( Ct. ~ 45°) V~l AB = 2a.

a) Tlnh MA , MB, MH theo a vi'1 a ;

b) Tlnh MH theo a va 2a;

c) Ch(rng minh : cos2a = I - sin 2a, cos2a = 2cos2a - I.

15

Chztdng II

DVdNG TRON

• T~p hqp cac di~m cach di~m 0 co d!nh m(>t khoang b~ng R kh6ng d6i (R > 0) Ia dtrO'ng tron tam 0 c6 ban kfnh btmg R.

• DtrO'ng kfnh Ia day cung 16n nhat cua dtrO'ng tron .

• Qua ba diem khong thJng hang, bao gia cung ve dtrqc m(>t dtrO'ng tron va chi mot rna thai.

• DtrO'ng tron di qua ba dinh A, B, C ci:ta tam giac ABC g9i Ia dtrO'ng tron ngo~i tiep tam giac ABC. Khi d6 tam giac ABC g9i Ia tam giac noi tiep dtrO'ng tron.

• Cach xac d!nh m(>t duang tron :

- M(>t diem 0 cho tnr6c va mot so thtrc dtrang R cho tnr6c xac d!nh m(>t dtrO'ng tron tam 0 ban kfnh R.

- Ba diem khong thJng hang xac d!nh 'm(>t dtrO'ng tron di qua ba di~m d6.

Vi d~J 6. Cho tam giac ABC vuong a B, AB =Scm, BC = 6cm. G9i D Ia di~m doi xung cua di~m B qua AC.

a) Cht"rng minh ding bon diem A, B, C, D dmg thu(>c m(>t dtrO'ng tron .

b) Tfnh ban kfnh ci'ta dtrO'ng tron n6i trong cau a.

Gidi

a) Theo de bai, di~m D doi xti'ng v6i A diem B qua AC nen DA = BA, DC = BC.

f1ADC = f1ABC (c .c.c), - - () suy ra ADC = ABC = 90 . G9i 0 Ia trung diem CLia AC. Trong cac

tam giac vuong ABC va ADC c6 BO va DO Ia de dtrO'ng trung tuyen thu(>c c~mh huyen AC nen BO = OA = OC, DO = OA = OC.

Suy ra : OA = OB = OC = OD.

V~y bon di~m A, B, C, D cung thu(>c dtrO'ng tron tam 0 dtrO'ng kfnh AC.

c Hinh 12

b) Tam giac ABC vuong a B, theo djnh If Py-ta-go, taco : 2 2 2 2 2

AC = AB + AC = 8 +6 = I 00, suy ra AC = I 0 em

16

· Yay ban kfnh R dw duang tron (0) Ia: R = _!_AC = _!_ . 10 = 5(em) ' ~ 2 2

Vi d1.1 7. Cho goe xAy =45° va ditm B tren ti a Ax sao eho AB = 3em.

a) D~rng dtrO'ng tron (0) di qua A va B sao eho tam 0 ntun tren tia Ay; b) Tfnh b::1n kfnh chrong tron (0) .

a) Caeh dung :

- Duno duo·no truno true d eLla . 0 0 c . do~m AB, d cat tia Ay a 0.

- Dtrng dtrO'ng tron tam 0 , ban kfnh OA thl duong tron (0) ehfnh Ia chrO'ng tron phai dtrng .

C/u{·ng 111inh :

VI ditm 0 thu<)e duong trung tnrc d Clla do~n AB nen OA = OB, do do duang tron tam 0 di qua A va B. Han nua di ~m 0 thu6c Ay nen duo·ng tron (0) l ~t duang tron din clung .

Bien luJ n :

Hinh 13

Lu6n lu6n dvng chroc mot dtro·ng tron thoa man yeu cau eLla d~ bai.

X

b) Goi giao ditm etta d v6'i AB Ia H. Tam g iae AOH Ia tam giac vu6ng cfm 6 H, ta co :

2 2

OA2

= AH2

+ H02

= (%) + (%) 9 9 18 = - + - = -, suy ra 4 4 4

OA = Jl8 = 3J2 (em). 2 2

3J2 V~y ban kfnh duang· tron (0) Ia : R =--em.

2

sai t¢p

51. Cho tam giac d~u ABC, hai duang eao BD, CE. a) Clurng minh bon di~m B, C, D, E dmg thu<)c m<)t duang tron ; b) G<;>i G Ia giao di t m ci:W BD va CE. Chung minh bon diem A, E, D, G dmg thu<)e m<)t duang tron . Tfnh b<1 n kfnh etta duang tron nay, biet tam giac d~u ABC co qmh bang lkm.

TOAN NANG CAO HINH 9 - 2 17

53.

Cho dtrong Iron (0). dfly AB. Ve day BC VLIOllg g6c v6i AB.

a) Chtrng minh AC Ia duong kfnh etta duong tron (0). b) Tfnh ban kft1h duong Iron (0). bict AB = 12cm. BC =Scm.

Cho hlnh vu6ng ABCD. Tren de canh AB. BC. CD, DA lay theo thtr tLr

, . ~· AM BN CP QD cac dtem M. N. P. Q sao cho -- =- = - = -.

MB NC PO QA

a) Chtrng minh tt'r giac MNPQ Ia hlnh vu6ng ; b) G<;>i 0 Ia giao di~m hai dtrong chco AC v~t BD. Cht'rng minh b6n di~m M, N, P. Q cling ntm1 tren m<?t chrong Iron t;1m li"t di6m 0.

54. Cho duong tron tam 0 b;in kinh 4cm, c6 U\.m a goc t<;>a d¢. Hay xac d!nh v! trf cLta cac di~m A. B. c· doi v6i (_hrong Iron, hie·! t<;>a d<) de di~m :

55. G<;>i I v~1 K thco thu· t~r li"t de diem ntun tren eanh AB, AD cLta hlnh vuong ABCD sao eho AI = AK. Du·ong thfmg ke qua A vuong g6e v6i DI a P, cat BC 6 Q.

Chtrng minh nam ditm C, D. K, P. Q dmg thu<)c m<)t dtrong tron.

56. Cho hlnh vuong ABCD, 0 !i"1 giao di~m hai chrong eheo AC vi"1 BD. Goi M, N lfin ltrqt Ia trung di~m etta OB. CD.

a) Chtrng minh AMN = lJ011

, ttr d6 suy ra bon di~m A, M, N, D dtng thu<)c m<?t duong tron ; b) So sanh AN v6i MD.

57. Cho tam giac ABC can a A c6 AB = I Scm, dtrong cao AH = 9cm.

Tfnh b<l.n kfnh duong tron ngo~1i tiep tam giac ABC.

58. Cho hlnh vu6ng ABCD canh btmg a. G<;>i M vi"t N Ia hai di~m tuy y tren cac czmh AB va AD sao cho chu vi tam gi;_k AMN btmg 2a . G<;>i H Ia hlnh chieu etta di~m C tren MN .

Chtrng minh rang di~m H lu6n lu6n thu<)c mot duong Iron co dinh khi hai di~m M, N clwy~n d<)ng tren de eanh AB vi"1 AD.

59. Cho duong tron (0 ; R) v;t m(> t cli~m A nfun trong chrong tron ellS (A khac 0). Tim t~p hqp !rung cti6m M etta doan thAng AB khi di~m B chuy~n d<)ng tren (_hrong tron (0) .

§2. TINH CHAT DOl XUNG CUA DVONG TRON

l • Tam ci1a dtrong tron E1 !<1m ctoi xt'rng etta dtrong tron d6.

• Bat kl ctuong kfnh nao cling .i"t true cioi xt'rng etta dtrong trcn .

18

• Dtrong kfnh vu6ng goc v6i mot day cung thl di qua trung di~m Clla day ay.

• Du·a·ng kfnh di qua trung di~m etta m(>t day (kh6ng Ia dtrang kfnh) thl vu6ng goc v6i day rly .

Trong m(>t dtrang tron :

- Hai day btmg nhau thl each d~u tam.

- Hai day each d~u tam thl bang nhau.

- Dfty 16n hon thl gan tam hon.

-Day gfin tam hon thl 16n hon.

Vi d1_1 R. Cho tam giac ABC n6i tiep duang tron (0: R); Tfnh d(> dai cac C<;lllh AB, AC, bic"t R = 3cm V~l khming each ti:r 0 den AB va AC tan ltrot Ia

2 r:; ' Jll "L em va --em. 2

Ke OH _LAB, OK _LAC, taco :

I AH = BH = - AB tH~n AB = 2AH.

2

I AK = CK = - AC nen AC = 2AK. A !"'----....;:»

2

Tam giac AOH vu6ng a H, theo d!nh If Py-ta-go, ta co :

2 ') ') ') [,:;? AH = OA-- OH- = 3-- (2..;2)~

=9-X=I suy ra AH = I em. Do do AB = 2AH = 2cm

/-llnh 14

Tam giac AOK vuong a K, theo d!nh If Py-ta-go, taco : 2

AK2 = OA

2 - OK

2 = 32 - [ ~) =

36 ~ II = ~ , s

suy ra AK =-(em). 2

Do do AC = 2AK = 2. ~=5(cm). 2

Tri\Iai : AB = 2cm, AC =Scm.

19

Bai t(lp

60. Cho duong tron (0 ; R) hai day cung AB va CD cat nhau t<;1i di~m M n~m ben ngoai dtrong tron .

a) ChCrng minh rang neu AB =CD thl MA = MC;

b) Tru·ong hqp AB >CD. Hay so s;lnh kho;\ng each ti:r M den trung di ~m ctia cac day AB, CD.

61. Cho du<'mg tron (0) v~1 di t m I ntm1 ben trong dtrong tron . ChCrng minh r~ng trong de day di qua I thl df\y vu6ng goc v6"i 01 c6 d6 dai nh6 nhat.

62. Cho ni'ra duong tron (0) dtrong kfnh AD. Tren n.:ra clLrong tron l <ly hai

di~m B va C. Biet AB = BC = 2JS em, CD= 6cm. Tfnh ban kfnh duong tron.

63. Cho duo·ng tron (0 ; R), duong kfnh AB, clay cung AC.

a) Cho biet kho;\ng dch ti:r 0 den AC, BC Ian !trot Ia 6cm va 8cm .

Tfnh d¢ clai de day AC, BC va ban kfnh duong tron ;

b) Tren tia d6i ci:ta tia CA lay ditm D sao cho CD= CA . Tim U1p hap trong tam G ci'ta tam gi;lc ABC khi C chuytn d(>ng tren duong tron (0).

64. Cho duong tron (0) duong kfnh AD, d<'\y cung AB. Qua B ke d;\y BC vu6ng g6c v6"i AD.

Tfnh ban kfnh ci'•a duong tron biet AB = I Ocm, BC = 12cm.

65. Cho dtrong tron (0) ban kfnh Scm. Hai day AB va CD song song v6"i nhau va co d¢ dai Ian !trot bang 8cm V~l 9,6cm. Tfnh khoang dch gili'a hai clay ay.

66. Cho duong tron (0 ; R), dtrong kfnh AB, day cung DE. Tia DE dt AB

a C. Biet DOE= 90° va oc = 3R .

a) Tfnh d6 dai CD va CE theo R ;

b) Chtrng minh CD.CE = CA.CB.

67. Cho duong tron (0; R) va m(>t di~m M nam ben trong duo·ng tron .

a) Hay neu dch clt,rng day AB nh~n di~m M lam trung di~m ;

b) Tfnh d¢ dai day AB noi trong c:w a biet R = 7,5cm, OM= 2, I em.

68. Cho ni'ra duong tron (0; R). Hai dfly cung AB va CD song song v6"i nhau cod¢ dai Ian Ju·at Ia 32cm va 24cm va khoitng gifra hai d;1y Ia 4cm.

Tfnh ban kfnh chrong tron .

20