BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 4

CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI

PHAÂN• BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP

2

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006)

NOÄI DUNG------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

1 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. TRÖÔØNG

HÔÏP GIAÛM CAÁP

3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ

SOÁ HAØM

2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ

SOÁ HAÈNG

GIAÛM CAÁP PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

VD: Giaûi phöông trình vi

phaân caáp 2:

xxxy

y cos'

''

Phöông trình vi phaân caáp 2: F(x,

y, y’, y’’) = 0BT Coâsi: PT chuaån hoaù

+ ÑK ñaàu

1000 ',

',,''

yxyyxy

yyxfy

Giaûm caáp cô baûn: Phöông trình

F(x, y’, y’’) = 0Nguyeân taéc: Ñaët u(x) = ñaïo haøm caáp

thaáp nhaát cuûa aån y 0',,:"''0'',', uuxFxyxuxyxuyyxF

Nghieäm toång quaùt PT vi phaân caáp 2

chöùa 2 haèng soá C1, C2

Ñaùp soá:

Nghieäm

xxxCxCy cossin22

1

PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TUYEÁN TÍNH CAÁP 2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Tuyeá

n tính

(linear

):

y,y’,y’

’ –

baäc 1

Heä soá haøm, k0 thuaàn nhaát (veá phaûi): y’’

+ p(x)y’ + q(x)y = f(x)Ví

duï:

Heä soá haèng, k0 thuaàn nhaát (coù veá

phaûi): y’’ + py’ + qy = f(x)Ví

duï:

1sincossin''' 2 xxxyexyxy x

3sincos4'3'' xxxyyy

PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ +

p(x)y’ + q(x)y = 0 20sin''' 2 yexyxy xVí duï: Töông

öùng (1):PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’

+ py’ + qy = 0Ví duï: Töông

öùng (3):

404'3'' yyy

GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH C2 THUAÀN NHAÁT HEÄ SOÁ HAÈNG

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xkxktntq eCeCy 21

21.

xkxk ee 21 ,sôûcônghieäm2PTVPC2

thuaàn

nhaát heä

soá haèng

y’’ + py’ +

qy = 0PTrình ñaëc

tröng k2 + pk

+ q = 0

> 0: k1 k2

R

< 0: N0

phöùc

= 0: k1 = k2

R

ik

im

2,1

220

kxkx xee ,sôûcônghieäm2kxkx

tntq xeCeCy 21.

(thöïc)sôûcônghieäm2

xCxCey x sincos 21

xexe xx sin,cosPhaûi tìm

ñuû 2

nghieäm

phöông

trình ñaëc

tröng

y’’’ –y =

0

y’’ – 5y’ + 6y

= 0y’’ – 4y’ + 4y

= 0y’’ – 2y’ + 5y

= 0

SÔ ÑOÀ GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH THUAÀN NHAÁT CAÁP n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PTVP t/tính thuaàn nhaát

L[y] = 0

PT ñaëc tröng (ñaïi

soá) aån k

Tìm ñuû n ng. k1

kn

n haøm cô sôû

y1 yn

n

iii xyCy

1tq

k2 – 5k + 6 = 0:

N0 2, 3

ytq = C1e3x +

C2e2x

k2 – 4k + 4 = 0: 2

(keùp)

ytq = C1e2x +

C2xe2x

k2 – 2k + 5

= 0

k1,2 = 1 2i: =1,

= 2 Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn =

ex(C1cos2x + C2sin2x) k3 – 1 =

0

1 Nghieäm k

= 1

N0 CS ex, xex

… ?

NGHIEÄM (HAØM) CÔ SÔÛ TÖÔNG ÖÙNG N0 PT ÑAËC TRÖNG

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xktntq eCy 1

1.

xke 11 sôûcônghieäm

kxrkxkx exxeer 1,:NCS

kxkx xeCeCy 21

xexe xx sin,cosNCS2

xCxCey x sincos 21

xxexer xx cos,cos:NCS2

xxCxCey x coscos 21

k1 R: Nghieäm

ñôn

k R: boäi

caáp r

i:

phöùc

lieân hôïp,

ñôn i:

boäi

caáp r 2r n0

ñôn

PTÑT

kn+p1kn-1 +

… pn = 0

Tìm n

nghieäm

thöïc –

phöùc.

Nghieäm

boäi caáp r

r nghieäm

ñôn truøng

nhau

PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH KHOÂNG THUAÀN NHAÁT

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Giaûi ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 baèng

caùch chæ ra 1 nghieäm rieâng yr keát hôïp

vôùi nghieäm toång quaùt thuaàn nhaátNghieäm rieâng yr = 1 ytq = C1ex

+ C2e2x + 1PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát

caáp n (heä soá tuyø yù): Exfyxayxayxayxa nnnn '11

10

PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát caáp

n töông öùng: 011

10 0' Eyxayxayxayxa nnnn

Nghieäm toång quaùt (E) = Toång quaùt

(E0)+ Nghieäm rieâng (E) nhaátthuaànângrieâng.Khonhaátànquaùt.Thuatoångnhaátthuaànngquaùt.Khoâtoång yyy

TÌM NGHIEÄM RIEÂNG VÔÙI VEÁ PHAÛI ÑAËC BIEÄT

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veá phaûi: ex[Pn(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn,

Qm – ña thöùc

2/ Veá phaûi chöùa ex

yr chöùa ex 3/ Veá phaûi chöùa löôïng giaùc yr

chöùa 2 haøm: sin x, cos x (duø veá

phaûi chæ coù 1 loaïi haøm!)

1/ Veá phaûi chöùa ña thöùc yr chöùa ña

thöùc (heä soá chöa xaùc ñònh) baäc cao

nhaát. Haèng soá Ña thöùc baäc 0

4/ + i (veá phaûi) nghieäm boäi caáp r

cuûa phöông trình ñaëc tröng Nhaân

theâm xr vaøo yr caàn tìm. Khoâng coù

haøm muõ = 0; Khoâng coù löôïng

giaùc = 0

Toùm laïi: Ba cuøng – Cuøng daïng, cuøng

baäc, truøng nghieäm

BA TRÖÔØNG HÔÏP HAY GAËP -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----

y’’+py’+qy=ex[Pn(x)cosx+Qm(

x)sinx],

NÑT: nghieäm

ñaëc tröng; H: ña thöùc baäc

mn,max

xP : phaûiVeá

Ng.rieân

g yr:

(*) khi 0

NÑT

caáp r.

*xHx

xHr

VP: ña

thöùc

0 i

xPe x

Ng.

rieâng yr:

(*) khi

NÑT

caáp r

*xHex

xHexr

x

VP:

muõ

0

Veá phaûi:

Löôïng giaùc xxQxxP mn sincos

Nghieäm rieâng yr

coù daïng:

*sincos

sincos

xHxRx

xxHxxRr

Baäc R = Baäc H.

(*) khi i NÑT

boäi caáp r

ii 0

NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÁT (SGK, trang 150)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nghieäm toång quaùt ytq phöông trình vi

phaân tuyeán tính coù veá phaûi: y’’ + p(x)y’

+ q(x)y = f1(x) + f2(x) bieåu dieãn qua: Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.0: y’’

+ p(x)y’ + q(x)y = 0 Nghieäm rieâng yr.1 cuûa pt: y’’ + p(x)y’

+ q(x)y = f1(x) Nghieäm rieâng yr.2 cuûa pt: y’’ + p(x)y’

+ q(x)y = f2(x) Coâng thöùc choàng chaát: ytq =

ytq.0 + yr.1 + yr.2 YÙ nghóa: Taùch phöông trình coù veá phaûi

daïng toång phöùc taïp thaønh toång caùc

phöông trình coù veá phaûi ñôn giaûn

VEÁ PHAÛI TOÅNG QUAÙT BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veá phaûi: y’’ + py’ + qy = f(x) Tìm yr

töø ytq.tn: Bieán thieân haèng soá C1 =

C1(x), C2 = C2(x)VD: y’’ – 3y’ + 2y

= lnx PTVP tuyeán tính k0 thuaàn nhaát y’’ +

p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghieäm toång quaùt

thuaàn nhaát ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x).

1212211

2211 ','''''

0''C

D

DxC

D

DxC

xfyxCyxC

yxCyxC yx

Tìm nghieäm rieâng phöông trình khoâng

thuaàn nhaát: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x)

Ng. rieâng yr = C1(x)y1 + C2(x)y2

PTVP TUYEÁN TÍNH C2 HEÄ SOÁ HAØM (THAM KHAÛO)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N0 cô sôû thöù nhì: y2(x) =

C(x)y1(x)

2211.21

' yCyCyy

exC tntq

dxxp

Nghieä

m tq y

= C1y1 +

C2y2 + yr

PTVPC2 thuaàn

nhaát: y’’ +

p(x)y’+q(x)y = 0

Tìm nghieäm ñaëc bieät

y1: Ñoaùn daïng (x, ña

thöùc) hoaëc ñöôïc gôïi yù

PTVPC2TT

toång quaùt

heä soá haøm

y’’ + p(x)y’ +

q(x)y = f(x) Ng. rieâng pt k0

tn: Bieán thieân

haèng soá C1 =

C1(x), C2 = C2(x)

xfyCyC

yCyC

''''

0''

2211

2211

PHÖÔNG TRÌNH EULER - COÂSI ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------

Thuaàn nhaát ax2y’’ + bxy’ + cy = 0 2

nghieäm cô sôû y = xm

PT heä soá haøm: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + …

a0y = f(x) Deã tìm nghieäm cô sôû thuaàn

nhaát hoaëc ñöa veà heä soá haèngDaáu hieäu: Heä soá xk cuûa ñaïo haøm

caáp k y(k) (0 k n)

2 nghieäm thöïc phaân

bieät m1 m2

Nghieäm keùp

m Phöùc: m1,2 =

i

2121mm

tq xCxCy

xxCxCy mmtq ln21

xCxCxytq lnsinlncos 21

0

2

c

mabam

PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----

a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–

3xy’+13y = 0

PTrình Euler: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + …

a0y = f(x). Ñoåi bieán x = et y’(x) =

y’(t).t’(x), y’’(x) = …VD: Giaûi phöông trình x2y’’ – 2xy’ + 2y =

ln2x + ln(x2)

anxny(n) + … +

a0y = 0

PTÑT theo m: g(m)

= 0 n nghieäm

(thöïc, phöùc) n

nghieäm (haøm) cô

sôû

m R: ñôn NCS y

=xm

m R: boäi r

xm,xmlnx …

mxy

xxy

xxyi

lnsin

lncos

BAØI TOAÙN BIEÂN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------

Phaân bieät vôùi baøi

toaùn Coâsi caáp 2:

21 ',

,',,"

ayay

axyyxfy

VD:

Bbyy

bxyy

,00

0,0"

Bby )( BbC sin2

:0,0sin

:0,0sin

:0sin

Bb

Bb

kbb 1

nghieä

m

voâ

nghieämvoâ soá

nghieämBaøi toaùn bieân caáp 2, nghieäm cô sôû sin,

cos Voâ soá nghieäm

VD

:

Bbyy

bxyy

,00

0,0"

byay

bxayyxfy

,)(

),',,(''Baøi toaùn bieân: Tìm y

= y(x) thoaû