Tópico Avançado: A teoria Geral da Relatividade.

Base matemática da forma covariante para as leis da mecânicae do eletromagnetismo.

Imagine um vetor descrito num sistema de eixos ortogonal.

Imagine o mesmo vetor descrito num sistema de eixos não ortogonal.

Num sistema de eixos ortogonal necessitamos apenas das quantidadesax e ay para descrever o vetor .

V

Num sistema de eixos não ortogonal generalizado as quantidadesax, e ay, para descrever o vetor não são as únicas possiveis.

As projeções paralelas e do vetor nos novos eixos também são possiveis. Elas são chamdas de componentes contravariantes do vetor.

,xa,ya V

V

,x,x

ˆV a e , ,x x

ˆa V e

Estas componentes sãochamadas de covariantes.

x x y y x y y xx x y y x y y xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV V a a (e e ) a a (e e ) a a (e e ) a ya (e e )

x yˆ ˆ(e e ) 0 x xˆ ˆ(e e ) 1

Para o caso de um produto escalar num sistema de eixos ortogonal:

Os fatores:

x x y yx x y yˆ ˆ ˆ ˆV V a a (e e ) a a (e e )

Então escrevemos o produto escalar:

y yˆ ˆ(e e ) 1x yˆ ˆ(e e ) 0

ˆ ˆV V a (e e )a

Podemos generalizar o produto escalar para qualquer sistema na forma:

Obs: índices repetidos são somados.x,y x y ,ˆ ˆ ˆ ˆg e e g e e

Definimos:

,ˆ ˆV V a (e e )a ds dx g dx dx 22

Para se escrever uma derivada na forma covariante:

, , , , ,, , , , ,

x x x xda da a d da a dx

x x x x x

2

Obs: índices repetidos são somados.

A relatividade formulada por Einstein em 1905 era limitada poisé claro que devemos formular uma teoria que seja válida paraqualquer referencial.Assim as leis da mecânica e do eletromagnetismo passam a sermatemáticamente expressas na forma covariante, isto é, elas tema mesma forma para qualquer referencial escolhido.

qm x x x g F x

c

Onde a mecânica esta no termo: m x x x

g g gg

x x x

1

2

Chama-se símbolo de Christoffel.

E E E

E B BF

E B B

E B B

1 2 3

1 3 2

2 3 1

3 2 1

0

0

0

0

O eletromagnetismo de Maxwell é descrito na forma: q g F xc

Sendo que:

g é chamado de tensor métrico.

Não introduzimos nada de novo com a formulação aqui apresentadaapenas extendemos os limites de aplicação da relatividade restritapara referenciais não inerciais fazendo-se uso de um formalismomatemático adequado para este propósito.

Para expor a idéia de formalismo covariante vamos tomar

como exemplo o paradoxo dos gêmeos – Besso & Besso´.

Observe que ainda não introduzimos campo gravitacional!!

d dt x y / c dt , , dt 2 22 2 1 0 6 0 8

Imagine que Besso esta parado no ponto x e que seu irmão Besso´desloca-se em círculo com velocidade 0,6c.

O envelhecimento para de Besso´ em relação a Besso será no tempopara Besso.

r x y x´ y´ 2 2 2 2

ry x

c cc

g yc

xc

2 2

21

1 0

0 1

x x cos t ysin t

y x sin t ycos t

t t

O referencial de Besso´ é um círculo de raio r.

Então o tensor métrico de Besso´ será escrito na forma:

Besso´x xr

d dt cos t sin t dt (dt) sin t cos tc c c

2 2 22 22 2 22 2 2 2 20 0

2 2 2

21

d g dx´ dx´c

2

2

1O tempo no referencial de Besso´ será dado pela forma:

Conclusão!

Para Besso´ o tempo de seu

irmão Besso é: dBesso´ = dt

Isto é: Besso envelhece maisrápido que o irmão vajantemesmo se consideramos otempo no referencial do irmão

viajante, Besso´.

Conservando o seu primeiropostulado da relatividade restrita

mas abandonando o postulado

da constância da velocidade

da luz!

Einstein observou que não podemos jamais eliminar a gravidade só com a escolha de um referencial conveniente e este fato o conduziu a reformular a relatividade restrita nos seguintes termos:

Imagine este lugar longe de uma massa gravitante!O espaco-tempo é quase plano. Então aqui a velocidade da luz é c! em relação a uma posição mais próxima de uma massa gravitante

Imagine este lugar mais perto de uma massa gravitante! Aqui o espaço-tempo é curvo! Então aqui a velocidade da luz é > c! em relação a uma posição mais distante de uma massa gravitante.

Também não podemos mais sincronizar relógios entre estes dois lugares.

Vamos entender o porque Einstein abandonou o princípio daconstância da velocidade da luz para qualquer referêncial.

Einstein percebeu que a única região do espaço em que poderiaser observado o fenômeno de equivalência de inércia e gravitaçãoseria numa região infinitesimal do espaço mas o espaço visto demaneira global deveria ser curvo devido a presença de matéria. Esta é a origem da gravitação!!

Einstein se perguntou: Porque sob um campo gravitacional corposcom massas diferentes caem com a mesma aceleração?A resposta que ele encontrou é que a gravitação é uma força inercial!

Vamos ver isto com outro ponto de vista.

O comprimento de um círculo num ref. inercial respeita a relaçãoCinercial = 2r mas a mesma régua no ref. girante(não inercial) sera encurtadada na razão (1 - v2/c2)1/2 portanto agora Cnão-inercial≠2r. Não podemos comparar réguas entre estes dois referenciais.

No ref. Inercial ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 e então:

g = (1,1,1,-1)diagonal em:ds g dx dx

2

No ref. não inercial girante com velo. angular :

ry x

c cc

g yc

xc

2 2

21

1 0

0 1

Também não podemos comparar relógios entre os dois referenciais.

x xrd dt cos t sin t dt (dt) sin t cos t

c c c

2 2 22 22 2 22 2 2 2 20 0

2 2 2

21

O tempo no ref. não inercial girante com veloc. angular não é escrito na mesma forma que no ref. inercial:

Não podemos comparar o tempo no ref. nãoinercial girante e nem entre outro ref. girante.

Os relógios não são maissincronizaveis.

1)Os fenômenos físicos observadosdevem ser os mesmos independentedo referencial inercial que escolhermos.

2)Vale o Princípio da equivalênciada inércia e da gravitação numelemento infinitesimal do espaço-tempo.

3)Vale o princípio de Mach que afirmaque a inércia dos corpos é devida a açãode todos os outros corpos no universo.*

*Esta afirmação posteriormente foi eliminada devido a existência de curvatura do espaço-tempo para o espaço vazio.

A relatividade geral, formulada em 1916 tinha a seguinte estrutura:

A geometria de Minkowski que é escrita na forma:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2

e é chamada de pseudo-euclidiana pois o termo c2t2 tem sinal negativo, passa a ter termos cruzados sendo impossível de ser reduzida novamente na forma de Minkowski.

ds g dx dx 2

A geometria da teoria geralda relatividade será agoradescrita pela geometria doespaço curvo de Riemman.

Na relatividade geral não existe gravidade o que existe é a curvaturado espaço-tempo devido a presença de matéria!

Numa região exterior a massa asequações de campo de Einstein serão regidas apenas pelo tensor de curvatura de Ricci no vácuo.

O Paradoxo de Olbers.

Porque o céu noturno é escuro?

O céu deveria estar plenamente iluminado pelas infinitas estrelas!!!!!

Fim.

Dr. S. Simionatto - 2009