Tópico Avançado: A teoria Geral da Relatividade

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  • Tpico Avanado: A teoria Geral da Relatividade.
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  • Base matemtica da forma covariante para as leis da mecnica e do eletromagnetismo. Imagine um vetor descrito num sistema de eixos ortogonal. Imagine o mesmo vetor descrito num sistema de eixos no ortogonal. Num sistema de eixos ortogonal necessitamos apenas das quantidades a x e a y para descrever o vetor.
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  • Num sistema de eixos no ortogonal generalizado as quantidades a x, e a y, para descrever o vetor no so as nicas possiveis. As projees paralelas e do vetor nos novos eixos tambm so possiveis. Elas so chamdas de componentes contravariantes do vetor. Estas componentes so chamadas de covariantes.
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  • Para o caso de um produto escalar num sistema de eixos ortogonal: Os fatores: Ento escrevemos o produto escalar: Podemos generalizar o produto escalar para qualquer sistema na forma: Obs: ndices repetidos so somados. Definimos:
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  • Para se escrever uma derivada na forma covariante: Obs: ndices repetidos so somados.
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  • A relatividade formulada por Einstein em 1905 era limitada pois claro que devemos formular uma teoria que seja vlida para qualquer referencial. Assim as leis da mecnica e do eletromagnetismo passam a ser matemticamente expressas na forma covariante, isto , elas tem a mesma forma para qualquer referencial escolhido. Onde a mecnica esta no termo: Chama-se smbolo de Christoffel.
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  • O eletromagnetismo de Maxwell descrito na forma: Sendo que: chamado de tensor mtrico. No introduzimos nada de novo com a formulao aqui apresentada apenas extendemos os limites de aplicao da relatividade restrita para referenciais no inerciais fazendo-se uso de um formalismo matemtico adequado para este propsito.
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  • Para expor a idia de formalismo covariante vamos tomar como exemplo o paradoxo dos gmeos Besso & Besso . Observe que ainda no introduzimos campo gravitacional!!
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  • Imagine que Besso esta parado no ponto x e que seu irmo Besso desloca-se em crculo com velocidade 0,6c. O envelhecimento para de Besso em relao a Besso ser no tempo para Besso.
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  • O referencial de Besso um crculo de raio r. Ento o tensor mtrico de Besso ser escrito na forma:
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  • O tempo no referencial de Besso ser dado pela forma: Concluso! Para Besso o tempo de seu irmo Besso : d Besso = dt Isto : Besso envelhece mais rpido que o irmo vajante mesmo se consideramos o tempo no referencial do irmo viajante, Besso .
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  • Conservando o seu primeiro postulado da relatividade restrita mas abandonando o postulado da constncia da velocidade da luz! Einstein observou que no podemos jamais eliminar a gravidade s com a escolha de um referencial conveniente e este fato o conduziu a reformular a relatividade restrita nos seguintes termos:
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  • Imagine este lugar longe de uma massa gravitante!O espaco-tempo quase plano. Ento aqui a velocidade da luz c! em relao a uma posio mais prxima de uma massa gravitante Imagine este lugar mais perto de uma massa gravitante! Aqui o espao-tempo curvo! Ento aqui a velocidade da luz > c! em relao a uma posio mais distante de uma massa gravitante. Tambm no podemos mais sincronizar relgios entre estes dois lugares. Vamos entender o porque Einstein abandonou o princpio da constncia da velocidade da luz para qualquer referncial.
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  • Einstein percebeu que a nica regio do espao em que poderia ser observado o fenmeno de equivalncia de inrcia e gravitao seria numa regio infinitesimal do espao mas o espao visto de maneira global deveria ser curvo devido a presena de matria. Esta a origem da gravitao!! Einstein se perguntou: Porque sob um campo gravitacional corpos com massas diferentes caem com a mesma acelerao? A resposta que ele encontrou que a gravitao uma fora inercial!
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  • Vamos ver isto com outro ponto de vista. O comprimento de um crculo num ref. inercial respeita a relao C inercial = 2 r mas a mesma rgua no ref. girante(no inercial) sera encurtadada na razo (1 - v 2 /c 2 ) 1/2 portanto agora C no-inercial 2 r. No podemos comparar rguas entre estes dois referenciais.
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  • No ref. Inercial ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 e ento: g = (1,1,1,-1) diagonal em: No ref. no inercial girante com velo. angular : Tambm no podemos comparar relgios entre os dois referenciais.
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  • O tempo no ref. no inercial girante com veloc. angular no escrito na mesma forma que no ref. inercial: No podemos comparar o tempo no ref. no inercial girante e nem entre outro ref. girante. Os relgios no so mais sincronizaveis.
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  • 1)Os fenmenos fsicos observados devem ser os mesmos independente do referencial inercial que escolhermos. 2)Vale o Princpio da equivalncia da inrcia e da gravitao num elemento infinitesimal do espao-tempo. 3)Vale o princpio de Mach que afirma que a inrcia dos corpos devida a ao de todos os outros corpos no universo. * *Esta afirmao posteriormente foi eliminada devido a existncia de curvatura do espao-tempo para o espao vazio. A relatividade geral, formulada em 1916 tinha a seguinte estrutura:
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  • A geometria de Minkowski que escrita na forma: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 e chamada de pseudo-euclidiana pois o termo c 2 t 2 tem sinal negativo, passa a ter termos cruzados sendo impossvel de ser reduzida novamente na forma de Minkowski. A geometria da teoria geral da relatividade ser agora descrita pela geometria do espao curvo de Riemman.
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  • Na relatividade geral no existe gravidade o que existe a curvatura do espao-tempo devido a presena de matria!
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  • Numa regio exterior a massa as equaes de campo de Einstein sero regidas apenas pelo tensor de curvatura de Ricci no vcuo.
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  • O Paradoxo de Olbers. Porque o cu noturno escuro? O cu deveria estar plenamente iluminado pelas infinitas estrelas!!!!!
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  • Fim. Dr. S. Simionatto - 2009
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