Topology Farsi

7/25/2019 Topology Farsi

1/68


2/68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3/68

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .


4/68

.

.

. . .

. .


5/68

.

X . X .: T X

., X T ()

.

T

T

(

)

. T T ()

. T

. X ()

. ()

. ()

X T ={, X} ..

X P(X) T =P(X) ..


6/68

.

. X={a,b} .

T ={, {a}, {a,b}}

. X T

. X={a,b, c} .

ba b

ca

a

ab

c c

c

b

b

a ca

bc

: .

X U . X . . X X U

. X

.

(X,T) T X .

T

.

X

T

.

. X . X

. {x} xX isolated


7/68

T T T T . X T T

.

T

T

.

. X .

U X X T X . T . X U

.

X X ..

.

B . X .

E

.

B

X

E .

. T . .

.

. X B X ...

:

X

B

.B= X X B ()


8/68

.

W B x U V ,U V B ()

B

) .xW U V) B

. B

X . B ..xUV ,U V B . B U V B U V W W .W

B U

V =

IW . B

.xW X U . X . B . . . I U, V B V =JV U=IU .

.J U V =

,

(U V)

U V B U V . B X .

B T T B B T

. T

B B X T T ...

T T .

.

B

B

B T T T T . B . B T . B


9/68

B T B

.T T

a, b . R .

(a, b) ={x|a < x < b}

. R . R

.

.[a, b) ={x|ax < b}

a, b

.

. R R

.

(a, b) =i=

[a +

n, b)

[

,

)

[

,

) =I

(a, b),

a


10/68

.

. (t)

B ={(t)| t C C} B,

B

|B| |C C|=|C|.

Wx B ,Ux Vx C .xU X U

xUxWxVx.Ux Wx B (tx)= tx = (Ux, Vx) C C

U

Wx

Ux

Vx

x

: .

. WxVxU=

xU

(tx),

. B

. X ...

. B B B B . R . {[a, b)| a, b R}


11/68

. B B .

A={a R| [a, b) B}.

c R \ A . R A B [c, c +

)

.

. Rn . y x y = (y

, . . . , yn) x = (x, . . . , xn)

:

d(y,x) = d(x,y) :=

(x

y

) + . . . + (xn yn)

d(x,y)d(x, z) + d(z,y)

: x >

B(x) ={y Rn|d(x,y)< }

B={B(x)|xRn, >}

Rn .. B .zB(x) B(y) .

= min{ d(x, z), d(y, z)}

zB(z)B(x) B(y)


12/68

.

x

y

z

: .

Rn B ) . (.

X E . E . X

.

E

X

E

.

.

.

. E E . X

.E E

. E B . .. B T E . E T . T

B T

T

E

. E T .T T

.YX (X,T) .

TY ={Y U|U T}


13/68

B . Y

T

BY ={B Y|B B}

. TY

X=R .

Y = [

,

)X.

V V = (

,

)

Y Y V .V = [

,

)

Y

.

R

B . X .: X B . X

. B ( )

.xVU V B xU U ()

B

B

X

T

T

.

B T T .. B

. R .

. X X Y .. X V Y V .VY

Y = R {

} X . X= R .

Y

.

R

.

.B

={(p, q)| p, q Q}


14/68

.

. R

Y .ZYX X . . Y X Z .

.

.

X A . X .

.

X A .

. [a, b] R

: . X .

.

.

. X ()

. ()

.

(

)

.

Y Y B . X Y ...

.B=A Y X A

Y Y B Y B .

A= X

U

.Y

B =Y

U

X U

B=Y(YB) =Y(YU) =Y(Y(XA)) =Y(YA) =YA.


15/68

X

A B

YU

.

.

A . A X .. IntX(A) A A ClX(A) A A A

.

A

AA..

U

.

A

X

.

.

.

A V V .U A U A .AV

.AY X Y ...

IntY(A) = IntX(A) Y, ClY(A) = ClX(A) Y. .

IntX(A) Y = AUT

U Y =

AUT

(U Y) = IntY(A)


16/68

.

. X A .

.

.

A= Acc

A =Acc

Ac =Ac

Ac . . B . A Acc . Ac .Bc Ac Ac Bc .A B

.A= Acc . Acc B =Bcc

A

Ac

Ac

Acc

.

X

B

X

A

.

.

.

A x B B x A

B B: xBB A= .

U xAc x /A . . xB Ac =Ac B xU Ac xB B xBAc B

.B A=


17/68

x . X A .

A

.

x

A

x

. A

. X A ...

A= A A.

X A ...

.

X x

x

X . T

X .U

U

= x

U

x

U

U

U

x, y X . T

.

T

R . R .

.

T

.

.

.

. x . . . x y Uy yX

X {x}=

x=yX

Uy.

. {x} X

y1

y2

y3x


18/68

.

x . X (T

( A .

.

.

.

A

x

A

x A x . x . A x x A{x

, . . . , xn} = . A U A X {x

, . . . , xn} .U (A {x}) .

U X {x

, . . . , xn}

.

A

x

.(A= A)A= A () A .

. X A B A .

A B=A B ( ). (

A

A ( )

(

.

.

. .

A AX .

Bd(A) =A (X A).

.A= Int(A) Bd(A) Int(A) (Bd(A ( )

.

A

Bd(A) =

(

).Bd(U) =U U U ( )

. P(X) X .. P(X) AX A AA


19/68

R A ( )

.

. R A ( )

.

A x . A

X x

X X .

.

xA

A

x

.xA

f : X Y . (Y, T

)

(X,T

)

.

f

xX,AX : xAf(x)f(A).

. f :XY .

.

.

:

. f ()

.f(A)f(A) AX ()

.

f(P)

P Y

(

)

.

f(U)

U Y

(

)

.f(V)U x V f(x) U ()

.

:(

)(

) .

A = f(P) . Y P :( )( )

P=f

f(P) ff(P) ff(P) =P =P.


20/68

.

P=f

f(P)

A= f(P)f

f

f(P)

=f(P) =A,

. A= f(P) P = Y U . Y U :()()

. f(U) =X f(P) V =f(U) . f(x) U :()()

.x U = Y f(A) .f(x) / f(A) x A :()() V .f(V)U x V f(x)

. f(A)f(A) A. ...

AX . g :YZ f :X Y .

g f(A) =gf(A) gf(A) gf(A) =g f(A)

B Y A X . f : X Y

B

A

f

f(A)B

f|BA :ABxf(x)

.

B Y A X . f : X Y ... . B A .f(A)B

. f|BA :AB


21/68

CA .

f|BA(CA) =f(CA) =f(CX A)f(CX) f(A)f(C)Y B=f|BA(C)Y B=f|BA(C)B

.

X {X} X .

X=

X.

{X} . () X () {X} x U xX

X

{| U X= }


22/68

.

. X A X X A X

. X A X :

(X A) X=X A= X (X A)

. X A X X A X

.

. X {A} ...

.

A

X

A=

A.

A A A .

A

A.

A

x

U

x / A

x V

, . . . , V n . A

, . . . , An

Ai Vi= .

W =U V

. . . V n

W AiAi Vi=

W A

= ,

.x / A

. ...


23/68

() .

.

{X} {AX} . X X AX

A X

=

A X=

A X

=A.

. A

{X} Y X .( ).. f:XY . X

. X

f|XX =f|XX .

f :XY f . f|YX =f

. Y U .

f(U) =

f (U)

. f f(U) X f (U)

f : R R .

f(x) =

x, x

x, x

.x X (X, d) : x .

Bd(x, ) ={yX| d(x, y)< }.

.

B(x, )

d

.

B

(X, d)

.

.

.

B . X

. X

.zBd(x, ) Bd(y, ) .B= X .

= min

d(x, z), d(y, z),

zBd(z, )Bd(x, ) Bd(y, ). metric


38/68

.

X ..

X . X .

d(x, y) =

, if x=y,

, if x= y.

. d xX .

.B(x,

) ={x} {x} x

R .

d(x, y) =|x y|

.

=y x

. R

(x, y) =B(x + y

, )

.

Rn .

x= (x

, . . . , xn),y= (y, . . . , yn) Rn

d(x,y) =

(x

y

) + . . . + (xn yn)

.

metrizable


39/68

x={xi}i= H .i=

xi

(X, d) . (x, y) = d(x, y)

. X d X

X X d

d

..

K >

X d .

d(x, y)< K,x, yX.

X A d

diam(A) = sup{d(x, y)| x, yA}

.

T Td X d ...

Td T .

:


40/68

.

.B(x, )Bd(x, ) > > xX

. .

X

d

.

.

.

B(x, ) Bd(x, ) , > > x X .Bd(x, )B(x, )

.

X

.

.

.

X

.

X

d

.

(x, y) = min{

, d(x, y)}.

= min(,

) .B(x, ) Bd(x, ) < . d ,.Bd(x )B(x, )

. ...

= . (X, d) y x .

. d(x, y)

B(x, ) B(y, ) = .

f :XY . (Y, dY) (X, dX) ...: xX

x

X,

>

,

>

: dX(x, y)<

dY(f(x), f(y))< .

. .

d :XX R . (X, d) ... .

R X X


41/68

.d(a, b) .d(x

, y

) =d (x

, y

)X X .

(x, y)Bd(x, ) Bd(y, )

.= (b d)/

d(x, y)d(x, x

) + d(x

, y

) + d(y

, y)< d + (a, b),

d

Bd(x, ) Bd(y, ) (a, b)

. d

.

.X

N

X

X X

X =X X . . .

. {x

, x

, . . .} {xn}n= X : xX X ={xn}n .

N x U

iN xiU.

. {xn}n= x x {{xn . R R .

! .

:

X={a,b,c}

.

T ={, {a, b}, X}.

.{xn}n= b ={xn}n a xn=a


42/68

.

.

X . X ...

.

. x x x={xn}n= . x x x

.

xA .AX X ... . x A

.

x

A

a={an}n= ..xA ( A ai ( A x

an an n .x A . x A {an}n= .A Bd(x,/n) U .ai Bd(x,/n) i n n N in Bd(x,/n)U n N X

.anU

.

f :XY .( ) .. x X f . X

. f(x) ={f(xn)}n x X ={xn}n. x {xn} x f . x V . f(x) U f(xn) xnV iN N > .f(V)U

.{f(xn)} f(x) .f(V)U

x

x

f

x V f(x) U ..f(xn) /U xnBd(x,/n) n N .f(V) U

{f(xn)} f(x) {xn} x {xn}n= .


43/68

f : R R . R R .:

f(x, y) =

xy

x + y, (x, y)= (

,

)

, (x, y) = (

,

)

. .

:.

. (xn, yn) = . f(xn, yn) = / = {(xn, yn)} (,) (/n,/n)

.{f(xn, yn)} f(,)


44/68

.

.

. R ...

R R (R {

}) . R R R .

. .

. xX f, g : X R ... . x f /g (g(x

=

. x f.g f

g f+ g

.

.

Bd(x, ) ={yX| d(x, y)}.

: x= (x

, . . . , xn),y= (y, . . . , yn)

Rn .

d(x,y) =|x

y

| + . . . + |xn yn|.

. Rn d

. (X, d) .

d :X X R X .) R)

.

X

d

.

d(x, y) = d(x, y)

+ d(x, y), x, yX

. X


45/68

.

X= X {X} ... X T .X

:

(, )

. () T T X X ()

. T T X X ()

.T|X = T X T

. X UX X U . T . X .U T .T|X T .

U X=U (X X).

X X U

X X X

X

.U T

X

UX

XX

X

.T|X = T T T|X

Y X f :XY (X,T) Y . Y . f X . f Y f Y

Y

.

. f .

. f :XY (X,T) .


46/68

.

f Y

T|f={VY| f(V) T}

X f U Y Y .

. T|f

f

T|f ... .T T|f f Y T

T . f : (X,T)(Y, T|f) . Y

f : (X,T)(Y, T)

X (f(U U T . .T T|f U T|f

.

U Y

f :X Y

.

Y f(U) . . X

.

.

f

.

f :XY

.

.

.

f

Y

.

. .

.

quotient topology


47/68

() f . f :XY ..

(

)

Y

X

(

)

. () ...

. .

Z

.

p : X Y

.

.

.

p ( ) f :XZ g : Y Z .f(x

) = f(x

) p(x

) = p(x

)

.

g p= f

.

f

g (

)

. f g ()

X p

f

Y

g

Z

f . gp = f g () . U . g .

f=g p . X (f(U . Z

p

g(U)

=f(U).

g Y (g(U p .

f . g p= f g () . Y U .

p

g(U)

=f(U).


48/68

.

p

g(U)

f(U) = p

g(U)

U

.

g

.

g(U)

.

. X . p : X X X

X

X

. x [x] x

.

X

p

. X

.

X

X

.) . . ( X U

X

U

:.

X . X= R {(

,

)} .

(x

, y

)(x

, y

) R : (x

, y

) =(x

, y

).


49/68

.

X

() . X

U X

U X U

. X

.

X

.

f :X Y

.

.

.

:

x

x

f(x

) =f(x

).

g:X

Y, g([x]) =f(x)

.X

=Y

g . . . . g g

Y = S ={(cos t, sin t)| t R} R X = [

,

] R . F : R R .


50/68

.

F(t) = (cos

t, sin

t)

f=F|YX :XY

.X=S f X .

0 1

S1

X= R{(

,

)} . X .

(x

, y

)(x

, y

) R : (x

, y

) =(x

, y

).

:

X

{(x, y)| x < y , y=

x

.

X X . X

Y X Y X B A ...

.

B A

Y YB YA X B A .

. Y

.

Y

Y

. B A Y

.

.

.

.


59/68

.y Y X {Y} .

Y =A B

.

Y =Y

Y A y . Y. YA A Y

AB ClX(A) . X A ... .

B

.

C A . B B = C D . ClX(A) ClX(C) .A C . D D . D B D (ClX(C

.

. f :X Y X A ... . f(A)

f

f(A)

A

f

.

. Y X . Y Y =C D

X=f(C) f(D)

. X (f(C f(D) (f(C

Y =f(X) =f f(C) =C

. Y .

.

.

.

.


60/68

.

Y X . .

xX

.

X Y

a b

.

. Y x Y

Tx = (X b) (x Y)

.x b(X b) (x Y)

X Y =xX

Tx

a bxX

Tx

. X Y

Xa

b

a b

x Y

x

Y

X b

. : .

f : [a, b]X

.

X

y

x

.

.f(b) =c f(a) =x ,([a b] ) f y x X S = f([a, b]) X .

.


61/68

X . X .

.

y

x

x y

. X

X X ...

.

X

. A . X C . A

xC

.cC

). c x ( c x Cx

C=xC

Cx

cxC

Cx.

. C

x xX X . X . x

.

:

X ...

.

X ...

.

X

C X U X . .xVU V xC . U

. C C V


62/68

.

x .

x

U

C

.

x

U

X

. X . C .

x y X .X . X y x

.

:

X

.

.

.

.

X

x xX X . X . x

.

X ...

X .

.

P

x C

X

C

.

.P C P . x X Q .P=C .P =C X C P X

C C=P Q.

. X X X C Q P

.

C

. X ...

. .


63/68

f(a)= f : [a, b] R .( ) .. f(c) =

c[a, b]

f(b)

f(a)

C

.f(b).C

c [a, b] .C f([a, b]) f([a, b]) . .f(c) =C

f(a)f(b)

. U

.

:

.

X

.

.

.

. X .

. X .

. X .

X C x X . X . x

.


66/68


67/68

T


68/68

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