COMPTE RENDU

Maintenance Industrielle Groupe 15

Prpar par: Encadr par:

GORO SOUMALA Pr Souad OUARD ALAOUI SELSOULI Moulay Salah TAGUI Ossama

I. Flambement des Poutres Comprimes:

1- Dfinition:

Le flambage est la tendance qu'a un matriau soumis une force de compression longitudinale flchir, et donc se dformer dans une direction perpendiculaire la force applique.

2- But:

Le but de ce travail pratique est de dterminer les charges critiques de flambement des poutres droites en fonction de leurs lancements avec diffrentes configurations afin de faire une comparaison entre la thorie et la pratique.

3- Etude thorique:

a. Conditions parfaites (Thorie dEuler)

a-1 Charge critique de flambement:

En prenant une droite rectiligne soumise une charge rigoureusement suivant son axe, nous allons dtermin la premire charge critique ou force dEuler Fc:

l

FFX

y

Y

Imaginons que la poutre prend une flche y sous leffet de la charge F et reste en quilibre, alors lquation de la dforme scrit: mf = - E IGZ .y=F.y ,

Soit: F = n2 2 E IGZ / l2 = 2 E IGZ / Ln2 avec Ln = l/ n Fcn=2 E IGZ / Ln2 Ln: Longueur libre du voilement

Remarque:

La longueur libre du voilement Ln est fonction de l et dpend des liaisons de la poutre avec lextrieur.

Rcapitulons la longueur Ln dans les diffrents cas de liaison:

Articul/Articul

l L= l

Encastre/ Librel L= 2l

Encastre/Encastrel L=0.5l

Encastre/Articulel L=0.7l

a-2 Contrainte critique de compression:

Pour ltude du comportement dune poutre lors de son flambement, une poutre est aussi caractrise par son rayon de giration r et par son lancement en plus de sa contrainte critique c, avec:

r = (IGZ / S)1/2 , = L/ r et c = Fc / S .

Alors c=2 E/2

S tant laire de la section droite de la poutre perpendiculaire (OX).

b. Conditions relles

La thorie dEuler ne tient pas compte des dfauts de rectitude de la poutre et de lexcentration de la charge.

b-1 Charge critique de flambement:

En tudiant linfluence dun dfaut de rectitude, nous aurons: mf = - E IGZ y1= F.(y0+y1)

Avec y0=f0 sin ( x/l) lquation de la poutre avant lapplication de la charge F.

===> y1 = (f0 / (Fc/F 1)) sin ( x/l)

Soit f1 la flche maximale au point x=l/2, nous aurons:

f1 = f0 / (Fc/F-1) avecFc: la plus petite charge critique lorsque F F1 et y1 .

b-2 Dtermination de f0 par la mthode de Southwell:

Elle permet de dterminer exprimentalement la valeur de f0. En effet, la flche f1 a pour expression: f1 f1 = f0 / ((Fc/ F) 1) f1 . (Fc/F 1) = f0 f1 = Fc .(f1 /F) f0 pente Fc En posant y1=f1 et x = f1 /F , nous aurons une droite de forme y= ax + b o b= f0 dterminer comme le graphe droite.

f1/F f0

4- Etude pratique:

Dans cette partie, nous avons utilis une poutre dpaisseur ngligeable devant sa longueur L; qui sera soumis une variation de force de compression(F) longitudinale et la poutre aura tendance se dformer dans une direction perpendiculaire la force applique.

a. Appareillage:

Pour mener bien le travail pratique, nous avons utilis:

Un systme mcanique qui permet dobtenir toutes les liaisons possibles (encastrement, articulation, appuis simple), Un comparateur permettant la mesure de la flche, Un systme pneumatique pour servir leffort de compression F, Un dynamomtre sur lequel on pourra lire les valeurs des charges appliques lors des manipulations.

b. Manipulation:

Ltude a t porte sur des barres de longueur diffrentes. Dabord articules leurs extrmits puis ensuite encastres aux deux extrmits et encastre une extrmit et sur appui de lautre. On appliquera dans chaque cas plusieurs valeurs de F et lon mesurera les flches f correspondant au milieu de la barre (les indications lues sur le dynamomtre sont effectivement les forces appliques sur la barre).

c. Rsultats:

Articul/Articul (Cas 1) l= 645 mm

F(N)20406080100120140160180

f (mm)0.20.81.72.64.46.110.216.8

f/F 10-3102028,332,54450,8372,86105

Encastre/Encastre (Cas 2)

l= 621 mm F(N)50100150200250300350400450

f (mm)0.3512.14.77.7513.6--

f/F 10-37101423.53145,33

Encastre/Articule (Cas 3)l=625 mm

F(N)50100150200250300350400450

f (mm)0.30.50.81.3523.98.415.9

f/F 10-3655,336,758132439,75

d. Exploitation des rsultats:

d-1 Evaluation du Module de Young E: Considrons une poutre sur deux appuis simples:

F h y b l Avec: l = 600 mm, b =20 mm et h=3mmNous savons que: y = F l3 / (48 E IGZ) et IGZ = bh3 / 12 alors E = F l3 / (4 y b h3).

Les trois essais que nous avons effectus se rsument dans le tableau suivant:

F (N)2.53.54.5

Y (mm)1.31.752.35

E (daN/mm2).1061.92307621.914893

Do E= 1.94 106 daN/ mm2 proche celui dun acier E= 2.1 106 daN/mm2

d-2 Tracs des courbes f = g (F):

f(mm)

d-3 Droites de SOUTHWELL( f=g(f/F) )

f (mm)

Rcapitulons les rsultats issus des rsultats dessais et courbes ci- dessus dans le tableau suivant:

Cas1L= l = 645 mmCas 2L=0.5l =310.5mmCas 3L=0.70l =437.5 mm

E (N/mm2 105)1,941,941,94

IGZ (mm4)454545

S (mm2)606060

Fcth (N)207,11893,7450,15

Fcexp (N)180350450

Fcsth (N)181345440

cth (N/ mm2)3,4514,897,5

cexp (N/ mm2)35,837,5

th = L/ r693,10333.65470,12

f0 (mm)2,9082,6051,788

d-4 Trac de la courbe = f() :

((N/ mm2))

d-5 Commentaire et remarques:

Il est clair que la courbe reprsentative de la fonction = f() a bien une allure similaire celle issue des rsultats thorique sauf la diffrence au niveau du cas 2 . En outre les rsultats renferms dans le tableau pralablement dress montre que les rsultats de la manipulation se trouvent borns par ceux issus de la thorie dEuler et ceux qui relvent de la mthode de SOUTHWELL .Encore faut il ajouter que la mthode de SOUTHWELL se veut prcise et permet de conclure que les charges critiques sont bien infrieures celles trouves grces la thorie dEuler; autrement dit, SOUTHWELL est plus scurisant. Il ressort galement du tableau ci- dessus que la dforme initiale f0 est prendre en considration puisquelle nest pas ngliger du moment o elle dpasse le dixime de mm.

II. Flexion dvie:

1- Dfinition:

Il ya flexion dvie si seul:Tz 0 Ty0 My 0 et Mz0.Deux cas sont possibles:YY

Z Z

Le chargement est orient suivant un axe qui nest pas principal.

Le chargement est appuy sur deux axes perpendiculaires aux plans principaux.

2- But:

Le but de ce travail pratique est d`tudier une poutre en U soumise une flexion dvie, et de comparer les rsultats thoriques et exprimentaux. Nous avons eu faire deux manipulations savoir la dtermination: des moments principaux dinerties Ix et Iy, et du centre de cisaillement.

3- Etude thorique:

a. Calculs des dplacement dans la direction perpendiculaire U,V,Uth et Vth:

dtGGG1G3S2G2S1FhAB

Dtermination du centre dinertie:Avec d=25,4. t=3,175. c=d-t=25,4-3,175=22,225.

Igx=IG1+2.(IG2x+yg22.S2) = d3.t/12 +2.[(t3.c/12)+(c/2)2.t.c] Igy=Ig.1y+GG12.S1+2.(Ig2y+xg22.S2) = t3.d/12 + d.t .GG12 +2.[(t.c3/12) +(4,62)2.t.c]Ce qui donne Igx= 21881,96mm4 et Igy=14 154,29mm 4.

Calcul de Uth et Vth:

===>

b. Calcul de centre de cisaillement:

La flexion dune poutre est gnralement accompagne dune rotation de la section, sauf lorsque la charge est applique au droit du centre de cisaillement.

h =10,16 mm4. Etude pratique:

a. Exprience 1:

On applique des charges w suivant une direction dangle avec laxe principal. La poutre en U est encastre une extrmit et libre lautre.

Tableau des dplacements:

Direction deLeffortValeurs lues sur les comparateurs/100mmCharge applique (kgf)

0,511,522,53

0Droit122029,53641 50

Gauche101829394858

22,5Droit152233,5435766

Gauche71725,23342,549

45Droit 1524,536,549,56275

Gauche101725334250

67,5Droit16304257,56781

Gauche11213141,55362

90Droit13263546,55771

Gauche1324355060,574

112,5Droit1020293846,557

Gauche15,52943577185

135Droit918,52632,54047

Gauche152741556983

157Droit61420273339,5

Gauche13,525,53749,56173

180Droit8182431,53744,5

Gauche1020,529,540,54959,5

b. Exprience 2:

Tableau de mesure:

Position de lencoche en mm-30-25-20-15-10-50510152025 30

Valeur lue surLe comparateur droit-22-12-411236303548596672 80

Valeur lue sur le comparateur gauche139127117105937272,56044,5352111,5 6

c. Exploitation des rsultats: C.1 Calculs des dplacement dans la direction perpendiculaire U,V,Uth et Vth:En appliquant les formules ci-dessus, nous aurons le tableau suivant:Direction deLeffortDplacements perpendiculaire (mm) Charge applique (kgf)

0,511,522,53

0U0,160,270,410,530,630,76

Uth0,210,420,630,841,051,26

V-0,01-0,010,000,020,050,06

Vth000000

22,5U0,160,280,420,540,700,81

Uth0,200,400,600,790,991,19

V-0,06-0,04-0,06-0,07-0,10-0,12

Vth-0,03-0,05-0,08-0,10-0,13-0,16

45U0,180,290,430,580,740,88

Uth0,170,340,520,690,861,03

V-0,04-0,05-0,08-0,12-0,14-0,18

Vth-0,04-0,07-0,11-0,15-0,18-0,22

67,5U0,190,360,520,700,851,01

Uth0,150,290,440,580,730,88

V-0,04-0,06-0,08-0,11-0,10-0,13

Vth-0,03-0,05-0,08-0,10-0,13-0,16

90U0,180,350,490,680,831,03

Uth0,140,270,410,540,680,81

V0,00-0,010,000,020,020,02

Vth0,000,000,000,000,000,00

112,5U0,180,350,510,670,831,00

Uth0,150,290,440,580,730,88

V0,040,060,100,130,170,20

Vth0,030,050,080,100,130,16

135U0,170,320,470,620,770,92

Uth0,170,340,520,690,861,03

V0,040,060,110,160,210,25

Vth0,040,070,110,150,180,22

157U0,140,280,400,540,660,80

Uth0,200,400,590,790,991,19

V0,050,080,120,160,200,24

Vth0,030,050,080,110,130,16

180U0,130,270,380,510,610,74

Uth0,210,420,630,841,051,26

V0,010,020,040,060,080,11

Vth0,000,000,000,000,000,00

Remarque:- En comparant les rsultats exprimentaux et thoriques on constate quil une petite diffrence qui est due lexprience et aux comparateurs qui ne donnent pas des valeurs prcises.- Pour la mme valeur de langle , les dplacements U sont positifs et croissent avec la charge W.-Les dplacements V sont ngatifs quand 900.

C.2 Tracs de la courbe U et V en fonction de la charge applique:

Pour 0:

Pour 22,5

Pour 45

Pour 67,5

Pour 90

Pour 112,5

Pour 135

Pour 157

Pour 180

C.3 Mesure des pentes U/W et V/W:

Daprs les courbes ci-dessus, nous aurons le tableau suivant:

Angle de la couronne() Pentes

U/WV/WU/V

0242,22810,77

22,526,45-2,8-9,45

4528,57-5,7714,95

67,532,85-3,4289,58

9033,61,228

112,532,576,6284,91

135308,8573,39

15726,177,7143,39

1802446

C.4 Tracs des rigidits U/W et V/W en fonction de langle de la couronne:

Remarque: on constate que les courbes qui reprsentent U/W et V/W sont presque des courbes sinusodaux.

C.5 Tracs de la courbe U/V en fonction de V/W:

Remarque: la courbe est presque circulaire.

A la moyenne nous aurons:

c.6 Remarques et conclusions:

On remarque daprs les rsultats du calcul, que le rsultats thorique et exprimentale sont peut prs diffrents, a est du aux erreurs de lecture sur les deux comparateurs et au fait que le matriel nest pas parfait, et aussi aux erreurs de calcul et de traage des courbes.

c.7 Calcul du centre de cisaillement:

Tracs de la valeur lue sur chaque comparateur en fonction de la position de lencoche:

Daprs les deux courbes, le centre de cisaillement h=9,9 mm.

On remarque que les rsultats thoriques et exprimentaux nont pas une grande diffrence. Le centre de cisaillement est situ lextrieur de la poutre. Ce dispositif est utilis dans les ailes des avions pour les protger et viter leur rupture quand ils sont soumis des forces dintensit importante dans lair.ConclusionGnrale:

Ces Travaux Pratiques nous a permis de voir dune part la diffrence entre les mesures thoriques et exprimentales vis vis du matriel utilis, dautre part, il nous a donn une ide gnrale sur les phnomnes de flambement des poutres comprimes, les flexions dvies ainsi que sur les centres dinerties des poutres qui se trouvent parfois lextrieur des poutres pour des raisons de scurit.

Anne Universitaire 2008-2009 Dpartement dElectromcanique