INTRODUCCIN

En el presente trabajo se da una introduccin al concepto de lmite de una funcin de variable real usando primero como mtodo de clculo la evaluacin directa de los valores cercanos a x en la funcin. Luego, se usar mtodos ms aplicativos que veremos ms adelante.Tambin hablaremos sobre cundo una funcin es continua ya sea en un intervalo o en todo su dominio, los casos donde se pueda resolver la discontinuidad de una funcin y problemas que puedan ocasionar estas discontinuidades.Otro tema tambin a desarrollar ser la definicin de derivada que se aplica muchas veces en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situacin. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una funcin es que la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantneo.La ultima seccin esta dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una funcin en un punto como a saber obtener la funcin derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atencin a cmo derivar funciones polinomiales.Nuestro trabajo tiene como funcin ayudar a entender partes de estos temas que tal vez no hayan sido desarrollados en clases con su debida comprensin.En general, el trabajo se ha desarrollado consultando principalmente el libro Clculo de una variable: Conceptos y contextos, del autor James Stewart; pero tambin han sido revisados otros libros de clculo, entre ellos El Clculo del autor Leithold.

1. Los problemas de la tangente y la velocidad:1.1 La tangenteLa palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens que significa tocar, una tangente es una recta que toca a una curva en un punto de contacto, la tangente es el lmite cuando tratamos de hallar la tangente de una curva o la velocidad de un objetivo1.2 La velocidadPara los problemas de velocidad se pueden desarrollar de muchas maneras, pero si deseamos hallar la velocidad en un cierto instante y solo tenemos la grfica del espacio en relacin del tiempo entonces es necesario utilizar un nuevo concepto, para este concepto se utiliza la tangente de este

Ejercicios (resueltos por M Arzapalo Villon, Miguel Angel)

Ejercicio 3 (Pg. 94 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Un punto P (1;) se encuentra en la curva y =

(a) si Q es el punto (x: ) use su calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ para los siguientes valores de x:x = 0.5 , y = 0.33 , pendiente = 0.333x = 0.9 , y= 0.4736 , pendiente = 0.263157 x = 0.99 , y= 0.4974 , pendiente = 0.25125 x = 0.999 , y= 0.49974 , pendiente = 0.2501 x = 1.5 , y= 0.6 , pendiente = 0.2 x = 1.1 , y= 0.5238 , pendiente = 0.23809 x = 1.01 , y= 0.50248 , pendiente = 0.24875 x = 1.001 , y=0.50024 , pendiente = 0.2498 b) Pendiente en el punto P (1;)m = 0.25c) Recta de la pendiente y - 0.5 = 0.25(x 1)

Ejercicio 5 (Pg. 94 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Si una pelota se lanza al aire con una velocidad de 40ft/s su altura en pie t segundo ms tarde est dada por y = 40t 16.t

a) Si y2 = 16, y2.5 = 0, y2.01 = 15.7584, y2.05 = 14.76, I en 0.5 segundos es -32 ft/sII en 0.1 segundos es -15.6 ft/sIII en 0.05 segundos es -24.8 ft/sIV en 0.01 segundos es -24.16 ft/s

b) Hallando con la derivada, la velocidad en 2 segundos seria -24 ft/s

Ejercicio 6 (Pg. 94 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Si una piedra se lanza hacia arriba en Marte, con una velocidad de 10m/s, su altura en metros t segundos despus esta dada por y= 10t 1.86tSi = 8.14, = 12.56 , = 10.815 , = 8.7494, = 8.2026, =8.146278a) V(1 , 2) =4.42 m/s , V(1, 1.5) = 5.35 m/s , V( 1, 1.1 )= 6.094 m/s , V( 1 , 101)= 6.26 m/s, V(1,1001) =6.278 m/sb) Entonces la velocidad en V2 seria 6.28 m/s

Ejercicio 7 (Pg. 94 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Con los datos dados hallar:I)T(1,3) = 4.65 m/sII)T(2.3) = 7.8 m/sIII) T(3.5) = 7.55 m/sIV) T(3.4) = 7 m/sc) Hallando la velocidad instantnea en t= 3 es igual a 7.566646m/s

Ejercicio 8 (Pg. 94 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Sea S = 2sen (T) + 3cos (Derivando la ecuacin se tiene se tiene V = 2cos ( -3sen (Entonces:S1 = 3.10507878m; S2 = 3.20086m; S1.1 = 3.1151m: S1.01 = 3.1061031m; S1.001 = 3.105199 m a) I) (1.2) = 0.09576 m/sII) (1; 1.2) = 0.1000132 m/sIII) (1.01) = 0. 100432 m/sIV) (1;1.001)= 0.100478 m/sb) Entonces la velocidad ser de -0.998497 m/s

2. El lmite de una funcin

El lmite de , cuando x se aproxima a, es igual a LMs o menos, esto dice que los valores de tienden a acercarse cada vez ms al numero L a medida que x se acerque ms y ms al numero (desde cualquier lado de ) pero no igual a .2.2.1. Lmites Laterales:Para que exista , depende del comportamiento de la funcin f(x) cuando x tiende a , tanto para valores de x menores que , como para valores mayores que. Al lmite de la funcin f(x), cuando x se aproxima hacia por la izquierda, se expresar as:

Y al lmite de la funcin f(x), cuando x se aproxima hacia por la derecha, se expresar as:

Si , entonces existe.Otra manera de definirlo: , si y slo si Debido a este teorema se puede establecer que si una funcin tiene un lmite L en el numero , entonces L es el limite de en .

Ejercicios (resueltos por Campos Trinidad, Maykol Jiampiers)

Ejercicio 1 (Pg. 102 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.) Explique en sus propias palabras qu significa la ecuacin

Esta expresin quiere decir que cuando x se aproxime a 2, sea por la derecha o por la izquierda, el valor de la funcin se acercar a 5.

Es posible que este enunciado sea verdadero y todava? Explique.S, porque segn la definicin del lmite solo importa los valores prximos al nmero, as que incluso si es indeterminado el lmite seguir existiendo

Ejercicio 17-20 (Pg. 103 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)

Intuya el valor del limite (si existe) al evaluar la funcin en los nmeros dados (correcto a seis lugares decimales).

17. x

1,90,655172

1,950,661017

1,990,665552

1,9950,666110

1,9990,666556

2,0010,666778

2,0050,667221

2,010,667774

2,050,672131

2,10,677419

2,50,714286

El valor al que se acerca es de 0,6666, que por experiencia podra decir que la respuesta sera 2/3.

18. x

-22

-1,53

-1,111

-1,01101

-1,0011001

-0,999-999

-0,99-99

-0,95-19

-0,9-9

-0,5-1

00

En estos resultados se puede observar que el valor de la funcin no se acerca a ningn nmero, incluso cambia de signo, por lo tanto, el lmite de esta funcin no existe.

19. x

-0,51,835830

-0,13,934693

-0,014,877058

-0,0014,987521

-0,00014,998750

0,00015,001250

0,0015,012521

0,015,127110

0,16,487213

0,522,36499

En estos clculos, se puede ver que la funcin tiende a 5.

20. x

-0,548,812500

-0,172,390100

-0,0179,203990

-0,00179,920040

-0,000179,992000

0,000180,008000

0,00180,080040

0,0180,804010

0,188,410100

0,5131,312500

Luego de ver el desarrollo, el lmite de la funcin tiende a ser 80.

3. Clculo de lmites usando las leyes del lmite

1. El lmite de una suma es la suma de los lmites:

2. El lmite de un diferencia es la diferencia de los lmites:

3. El lmite de una constante multiplicada por una funcin es la constante multiplicada por el lmite de una funcin:

4. El lmite de un producto es el producto de los lmites:

5. El lmite de un cociente es el cociente es el cociente de los lmites (siempre que el lmite del denominador no sea cero)

Ejercicios (resueltos por Alva Celmi, Gilberth Vicente)

Ejercicio 8 (Pg. 111 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)(a) Qu est mal en la ecuacin siguiente?

(b) En vista del inciso (a), explique porque la ecuacin siguiente es correcta:

(a) Sea , el factor x-2 no se puede cancelar porque no se conoce el dominio de la funcin y para x=2: es indefinido.(b) , el numerador y el denominador tienen un factor comn de x-2. Cuando tomamos el lmite a medida que x tiende a 2, tenemos x2 y, por tanto, x-20. Por consiguiente podemos cancelar el factor comn y obteniendo de desa manera:.

Ejercicio 15 (Pg. 111 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Evale el lmite si existe: , se factoriza en el denominador aplicando diferencia de cuadrados, quedando as:(c) = , el numerador y el denominador tienen un factor comn de x. Cuando tomamos el lmite a medida que x tiende a 0, tenemos x0 y por consiguiente podemos cancelar el factor comn y obteniendo de esa manera:

Ejercicio 18 (Pg. 111 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Evale el lmite si existe:

El numerador y el denominador tienen un factor comn de x+1. Cuando tomamos el lmite a medida que x tiende a -1, tenemos x-1 y, por tanto, x+10. Por consiguiente podemos cancelar el factor comn y obteniendo de esa manera:

Ejercicio 22 (Pg. 111 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Evale el lmite si existe:

El numerador y el denominador tienen un factor comn de. Cuando tomamos el lmite a medida que t tiende 0, tenemos t0 y por tanto 0, y por consiguiente podemos cancelar el factor comn y obteniendo de esa manera:

Ejercicio 26 (Pg. 112 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Si 9 () 4 para 0, encuentre Para hallar se debe aprovechar que () est en un intervalo, entonces se deber aplicar el Teorema de la compresin:Sea:9 4

Por el teorema de la comprensin, si:entonces

4. ContinuidadLa definicin dice que f es continua en a si f (x) se aproxima a f (a) cuando x se aproxima a a. Entonces, una funcin continua f tiene la propiedad de que un pequeo cambio en x produce slo un pequeo cambio en f (x). En realidad, el cambio en f (x) se puede conservar tan pequeo como queramos si mantenemos el cambio en x suficientemente pequeo.Luego una funcin f es continua si:

Una funcin f es continua en un intervalo si es continua en todo nmero en el intervalo. (Si f est definida slo en un lado de un punto extremo del intervalo, entendemos continua en el punto extremo como continua por la derecha o continua por la izquierda.)

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la funcin compuesta f g dada por = f (g(x)) es continua en a.2.4.1 El Teorema del Valor Intermedio

Suponga que f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea N cualquier nmero entre f (a) y f (b), donde. Entonces existe un nmero c en (a, b) tal que f (c) = N.

Ejercicios (resueltos por Ayzanoa Alca, Joaqun Renato)Ejercicios 19, 20, 22, 23 (Pg. 122 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)

Explique, usando los Teoremas 4, 5, 7 y 9, por qu la funcin es continua para todo nmero en su dominio. Exprese el dominio.

19. Por ser R una funcin suma de dos funciones continuas notables es una funcin continua.

20. Por ser G una funcin producto de dos funciones continuas notables es una funcin continua.

22. Por ser H(x) una funcin que resulta de la divisin de dos funciones continuas, esta es continua en su dominio.

23. Una funcin logartmica es continua en todo su dominio; por lo tanto, J(t) es una funcin continua.

Ejercicios 35 (Pg. 122 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)

Para qu valor de la constante c la funcin f es continua en ()?

es continua por ser una funcin polinomial es continua por ser una funcin polinomial

c(22) + 2(2) = 23 c(2)c=2/3

5. Limites que involucran el infinito

5.1. Limites infinitos

Es la forma particular de expresar que un lmite no existe y esta tiene por notacin:

Lo anterior no implica que sea un nmero, sino mas bien indica que va creciendo ms y ms o decreciendo mas y mas, respectivamente, a medida que tiende a .La aplicacin de esta en funciones son las asntotas verticales.

5.1.1. Asntotas verticales

La recta se llama asntota vertical de si cumple uno de los siguientes enunciados

Lo cual quiere decir que a medida que se aproxima a , sea por la derecha o izquierda, toma valores muy grandes.

5.2. Limites en el infinito

Tiene por notacin:

Lo cual indica que cuando toma valores muy grandes o muy pequeos tiende a L.La aplicacin de esta en funciones son las asntotas horizontales

5.2.1. Asntotas horizontales

La recta se llama asntota horizontal de si

5.3. Limites infinitos en el infinito

Tiene por notacin:

Lo cual implica que va creciendo ms y ms a medida que toma valores muy grandes.

Ejercicios (resueltos por Carrin Blas, Kevin Jean Pierre)Ejercicio 1 (Pg. 132 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)

Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de lo siguiente.(a) (b)

(c) (d) (a) Lo anterior implica que a medida que tiende a 2, ya sea por la derecha o izquierda, tiende al infinito; es decir, a medida que se aproxima a 2, toma valores positivos muy grandes. Lo cual implica que es una asntota vertical.

Lo anterior implica que cuando tiende a valores mayores, pero muy cercanos a uno, toma valores negativos muy grandes. Lo cual implica que es una asntota vertical inferior derecha.

Lo anterior implica que cuando toma valores positivos muy grandes se aproxima al valor de 5, lo cual implica que es una asntota horizontal derecha.(d)Lo anterior implica que cuando toma valores negativos muy grandes se aproxima al valor de 3, lo cual implica que es una asntota horizontal izquierda.

Ejercicio 32 (Pg. 133 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Encuentre el lmite

Sabemos que

En el problema

Por el teorema del sndwich

Ejercicio 48 (Pg. 134 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)

Encuentre una frmula para una funcin que tenga asntotas verticales y y asntota horizontal . Sea

Como

, entonces el denominador debe de tener las races y , y por ende los factores y .

Se define un que cumpla con las condiciones mencionadas

Ejercicio 53 (Pg. 134 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.) Encuentre si, para toda ,

Ejercicio 54 (Pg. 14 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)En la teora de relatividad, la masa de una partcula con velocidad es

donde es la masa de la partcula en reposo y es la velocidad de la luz. Qu ocurre cuando ?El decir es equivalente a

Cuando la la masa tiene al infinito.

2.6. Derivadas y rapidez de cambio

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Entonces y es una funcin de x y escribimos y= f (x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (tambin llamado incremento de x) es

y el cambio correspondiente en y es

El cociente de las diferencias

se denomina promedio de rapidez de cambio de y con respecto a x en el intervalo [, ] .Por analoga con la velocidad, consideramos el promedio de rapidez de cambio en intervalos cada vez ms pequeos al hacer que se aproxime a y por tanto haciendo quex se aproxime a 0. El lmite de estos promedios de rapidez de cambio recibe el nombre de rapidez de cambio (instantnea) de y con respecto a x en x= x1, que se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y= f (x) en P(x1, f (x1)):Promedio de rapidez de cambio

Reconocemos este lmite como la derivada f().Sabemos que una interpretacin de la derivada f (a) es como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) cuando x = a. Ahora tenemos una segunda interpretacin:La derivada f (a) es la rapidez de cambio instantnea de y= f (x) con respecto a xcuando x = a.

Ejercicios (resueltos por Ayzanoa Alca, Joaqun Renato)

Ejercicio 39, 40, 45 (Pg. 135 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Una partcula se mueve a lo largo de una recta con ecuacin de movimiento s = f (t), donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad y la rapidez cuando t= 5.

39. f (t)= 100 + 50t -4.9t2 V(t)= f (t)= 50 9.8t Para t = 5, V=1

40. f (t)= t-1-t V(t)= f (t)= -t-2-1 Para t=5, V= -1.04

45. El costo (en dlares) de producir x unidades de cierta mercanca es C(x) = 5000 +10x + 0.05x2(a) Encuentre el promedio de rapidez de cambio de C con respecto a x cuando se cambie el nivel de produccin (i) x = 100 a x = 101(ii) x = 100 x = 105De

(i) (ii)

(b) Encuentre la rapidez instantnea de cambio de C con respecto a x cuando x = 100.

De

C(x)= 10 + 0.1xPara x= 100 C(x)= 20

2.7. La derivada como una funcinSe tiene por derivada de lmite que:

Pero podramos sustituir a por x para hacerlo general:

As podremos calcular la derivada de una funcin para cualquier punto siempre que la funcin sea derivable en ese punto.Otras notaciones de la funcin derivada:

Los smbolos D y d/dx se denominan operadores diferenciales porque indican la operacin de derivacin, que es el proceso de calcular una derivada.El smbolo dy/dx, que fue introducido por Leibniz, no debe ser considerado como una divisin (por ahora); es simplemente un sinnimo de f (x). Sin embargo, es una notacin muy til y sugerente, en especial cuando se usa en conjuncin con notacin de incrementos.

Ejercicios (resueltos por Chvez Chvez, Jhonatan)

Ejercicio 17 (Pg. 143 Clculo de una variable: Conceptos y contextos.)Sea f(x)=x

a) Estime los valores de f (0), f (1/2), f (1), f (2) y usando una calculadora graficadora para hacer acercamiento (zoom) en la grfica de f .b) Use simetra para deducir los valores de f (-1/2), f (-1), f (-2).c) Use los resultados de los incisos (a) y (b) para idear una frmula para f (x).d) Use la definicin de derivada para demostrar que su clculo en el inciso (c) es correcto.

Solucin:

a) f (0)= 0 f (1/2) =1

f (1)=2 f(2)=4

b) Ya que la funcin es simtrica se tiene que : f(-x) =-f(x)f (-1/2)=-1 ; f (-1)=-2 ; f (-2)=-4

c) Por induccin se nota que en el clculo de las derivadas que:f (x)=2x

d) f (x)=f (x)=2x

Encuentre la derivada de la funcin usando la definicin de derivada. Exprese el dominio de la funcin y el dominio de su derivada.

19. f(x)= x 1/3

Solucin:f (x) =

20. f(x)=mx+b

Solucin:f (x)=

21. f(x)=5t-9t

Solucin:f(x) =

42. La figura muestra grficas de f, f , f y f. Identifique cada una de las curvas y explique sus selecciones.

La grfica d tiene 2 rectas tangentes igual a cero y 3 cortes con el eje x. La grfica c tiene 1 recta tangente igual a cero y 2 cortes con el eje x. La grfica b tiene 1 recta tangente igual a cero y 1 corte con el eje x. La grfica a tiene 1 recta tangente igual en el eje de coordenadas. Se deduce que: f(x)= d; f (x) =c; f (x)=b y f(x)=a43. La figura muestra las grficas de tres funciones. Una es la funcin de posicin de un auto, una es la velocidad del auto y una es su aceleracin. Identifique cada una de las curvas y explique sus selecciones.

Solucin:

Se sabe que la derivada de la posicin respecto al tiempo es la velocidadLa derivada de la velocidad respecto al tiempo es la aceleracin.Podemos ver inmediatamente que a es la grfica de la funcin de aceleracin, ya que en los puntos en los que a tiene una tangente horizontal, ni b ni c es igual a 0. A continuacin, observamos que a = 0 en el punto donde b tiene una tangente horizontal, de modo b debe ser la grfica dela funcin de la velocidad, y por lo tanto, b = a. Llegamos a la conclusin de que c es la grfica de la funcin de posicin.

2.8 Qu dice f de f?Muchas de las aplicaciones de clculo dependen de nuestra capacidad para deducir datos acerca de una funcin f a partir de informacin respecto a sus derivadas. Debido a que f (x) representa la pendiente de la curva y =f (x) en el punto (x, f (x)), nos dice la direccin en la que la curva avanza en cada punto. Por tanto, es razonable esperar que la informacin acerca de f(x) nos d informacin acerca de f (x).Si f (x)=0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.Si f (x)=0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo

2.8.1 Qu dice f acerca de f?

Veamos la forma en que el signo de f (x) afecta el aspecto de la grfica de f. Como f =( f ) sabemos que si f (x) es positiva, entonces f es una funcin creciente. Esto dice que las pendientes de las rectas tangentes de la curva y =f (x) aumentan de izquierda a derecha. Si f(x) >0 en un intervalo, entonces f es cncava hacia arriba en ese intervalo.Si f(x)