Introduccin:En la estadstica se aplican varios mtodos para la determinacin de probabilidades y sus propiedades (como lo pueden ser las muestras poblacionales, las medias muestrales, etc.), algunos de ellos con una precisin casi exacta.Se considera que dos poblaciones de las cuales provienen dos medias muestrales tienen la misma varianza. En muchas situaciones existe la necesidad de demostrar la significancia de las diferencias entre tres o ms medias muestrales o, de manera equivalente, la hiptesis nula de que todas las medias muestrales son iguales.Un problema importante de la interferencia estadstica es la estimacin de parmetros poblacionales o simplemente parmetros (como la media y las varianzas poblacionales), a partir de estadsticos muestrales correspondientes o estadsticos (como la media y la varianza muestrales).Otro de los aspectos ms relevantes de la Estadstica es el anlisis de la relacin o dependencia entre variables. Frecuentemente resulta de inters conocer el efecto que una o varias variables pueden causar sobre otra, e incluso predecir en mayor o menor grado valores en una variable a partir de otra.Para resolver todos estos problemas se desarrollaron una serie de mtodos o procesos para poder dar con las respuestas de estas incgnitas como lo son el anlisis de varianza, la prueba de hiptesis, la regresin lineal, el anlisis de varianza, entre otros. Al momento de buscarle solucin a estos problemas existe la necesidad de apoyarse en La distribucin ji-cuadrada () o chi-cuadrada es la distribucin de la varianza sus muestras (S). Si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas. La distribucin tiene muchas aplicaciones en inferencia estadstica, por ejemplo en la denominada prueba utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimacin de varianzas.

Parte I:Intervalo de confianza:En estadstica, se llama intervalo de confianza a un par o varios pares de nmeros entre los cuales se estima que estar cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos nmeros determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parmetro poblacional. La probabilidad de xito en la estimacin se representa con 1 - y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, es el llamado error aleatorio o nivel de significacin, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimacin mediante tal intervalo.1El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varan conjuntamente, de forma que un intervalo ms amplio tendr ms posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo ms pequeo, que ofrece una estimacin ms precisa, aumentan sus posibilidades de errorPara ello vamos a establecer la notacin a utilizar:

Es importante el uso de la calculadora para hallar estos valores en la muestra.Hemos dicho que vamos a proponer un intervalo donde se encontrar el parmetro a estimar, con una probabilidad de acierto alta. Al valor de esta probabilidad la representaremos por 1-, y la llamaremos nivel de confianza. A mayor valor de 1- , ms probabilidad de acierto en nuestra estimacin, por tanto eso implica que tendr que ser pequeo, prximo a 0.Recordemos que 1- representa siempre una probabilidad por lo que ser un valor entre 0 y 1, si bien en la mayora de los enunciados de los problemas suele ser enunciado en trminos de tanto por ciento. As cuando, por ejemplo, se dice que el nivel de confianza es del 90%, significa que 1- vale 0,9 y por tanto vale 0,1.Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo:Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una poblacin mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de tamao 50. Supongamos que tras los clculos necesarios, el intervalo en cuestin es (a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamao 50 y cada vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronstico en 95 de las 100 veces que realizaramos la estimacin con cada muestra.Un dato importante como es de esperar, es el tamao de la muestra, que representaremos por n. Es evidente que, a igual nivel de confianza, cuanto mayor tamao tenga la muestra, el intervalo de confianza se reducir puesto que el valor obtenido en la muestra se acercar ms al valor real de la poblacin y por tanto el margen de error cometido (radio del intervalo) se har ms pequeo. Si el tamao de la muestra permanece constante y variamos 1- . el tamao del intervalo se har ms grande cuanto ms aumente 1- , es decir que el margen de error se har ms grande cuanto ms precisin exijamos. Clculo de intervalos de confianza. Mtodo del pivote.El clculo de intervalos de confianza no es un proceso fcil cuando la variable en estudio no sigue unas pautas de normalidad, por lo que nosotros vamos a suponer siempre que la variable con la que vamos a trabajar sigue una distribucin normal.Dicho esto, el proceso para obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde intervenga el parmetro a estimar y el correspondiente de la muestra. A esta variable se le llama estadstico pivote y debe seguir una distribucin de probabilidad conocida. Por ejemplo para el clculo de un intervalo de confianza de la media se utiliza el siguiente estadstico pivote:

Pues bien, esa expresin donde interviene la media muestral, la media poblacional, la cuasi desviacin tpica y el tamao muestral, sigue una distribucin de probabilidad conocida que se encuentra tabulada, llamada t-Student con n-1 grados de libertad. Se trata pues de dar un intervalo (a, b) de modo que P(a < g < b) = 1-a , siendo g el estadstico pivote correspondiente. Una vez establecida esa desigualdad, despejamos el parmetro poblacional que es el que queremos centrar en el intervalo.

Intervalo de confianza para la media.Se utiliza es estadstico pivote: que sigue una N (0,1)Recordemos que es la media muestral, sigue una distribucin normal de media y desviacin tpica como probaremos a continuacin:Calculemos la esperanza y la varianza de

por tanto la desv. tip. Es Estamos pues ante la siguiente situacin:

Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional:

A la expresin se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa en tanto por ciento. Obsrvese que se trata del radio del intervalo.Ejemplo: Se desea estimar la media del tiempo empleado por un nadador en una prueba olmpica, para lo cual se cronometran 10 pruebas, obtenindose una media de 41,5 minutos. Sabiendo por otras pruebas que la desviacin tpica de esta variable para este nadador es de 0,3 minutos, obtener un intervalo de confianza con un 95% de confianza. Cuantas pruebas habra que cronometrar para que el margen de error en la estimacin de la media fuese inferior a tres segundos. (Suponemos siempre que la variable que mide el tiempo del nadador sigue una distribucin normal.)Estamos en el caso de un intervalo de confianza para la media conociendo la desviacin tpica de la poblacin. Del enunciado del problema se desprenden directamente los siguientes datos:

Tenemos que buscar un valor z/2, de modo que en la distribucin N(0,1) deje una rea de probabilidad a la derecha igual a /2, es decir 0,025. Como la funcin de distribucin de probabilidad de la tabla N (0,1) me da el rea de probabilidad acumulada, es decir a la izquierda, tengo que ver que valor de z me deja a la izquierda 0,975, que se corresponde para un valor de z=1,96.As pues el intervalo buscado es:

Tambin se puede expresar as: Se estima que la media es 41,5 ms menos un margen de error del 18,59%. (Recordemos que el margen de error cometido en la estima es el radio del intervalo, es decir 0,1859) En cuanto a la segunda parte del problema, nos piden el tamao de la muestra para que en las mismas condiciones el margen de error sea inferior a 3 seg, es decir 0,05 minutos (Debemos pasar todo a las mismas unidades). Que el error sea inferior al 5% es acotar el radio del intervalo de confianza con ese valor: , en nuestro caso 1,96 0,05

En consecuencia, para obtener un error inferior a 0,05 minutos, deberemos tomar una muestra de al menos 139 pruebas cronometradas. Intervalo de confianza para la media, desconociendo la desviacin tpica de la poblacin en una variable aleatoria normal.Se utiliza el estadstico pivote:

que sigue una distribucin llamada t-Student con n-1 grados de libertad, que presenta una forma en la curva muy similar a la de la distribucin normal.Estamos pues ante la siguiente situacin:

Hemos obtenido el intervalo que contiene a la media poblacional:

A la expresin se le denomina margen de error y en ocasiones se expresa en tanto por ciento. Obsrvese que se trata del radio del intervalo.Ejemplo: La puntuacin media de una muestra de 20 jueces de gimnasia rtmica, elegidos al azar, para una misma prueba, present una media de 9,8525 y una cuasi desviacin tpica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Suponemos que la variable que mide la puntuacin sigue una distribucin normal.) Estamos en el caso de un intervalo de confianza para la media desconociendo la desviacin tpica de la poblacin.Del enunciado del problema se desprenden directamente los siguientes datos:

Tenemos que buscar un valor t/2, de modo que en la distribucin t-Student con 19 grados de libertad deje una rea de probabilidad a la derecha igual a /2, es decir 0,025.Dicho valor se corresponde con un valor de t =2,0930.As pues el intervalo buscado es:

Clculo del intervalo de confianza para la varianza de la poblacin en una variable aleatoria normalSe utiliza el estadstico pivote: que sigue una distribucin llamada chi-cuadrado con n-1 grados de libertad, que se representa por X2, que a diferencia de las anteriores presenta una curva no simtrica, y las tablas dadas expresan el rea de probabilidad a la derecha de la variable. Estamos pues ante la siguiente situacin:

Hemos obtenido el intervalo que contiene a la varianza poblacional:

Ejemplo: La puntuacin media de una muestra de 20 jueces de gimnasia rtmica, elegidos al azar, para una misma prueba, present una cuasi desviacin tpica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la varianza. (Suponemos que la variable que mide la puntuacin sigue una distribucin normal.) Del enunciado del problema se desprenden directamente los siguientes datos:

Tenemos que buscar un valor , de modo que en la distribucin chi-cuadrado con 19 grados de libertad deje una rea de probabilidad a la derecha igual a 1-/2, es decir 0,975 y otro valor que deje una rea de probabilidad a la derecha igual a /2, es decir 0,025. Ambos valores se corresponden respectivamente con 8,9065 y 32,852 As pues el intervalo buscado para la varianza es:

Intervalo de confianza para la proporcinQueremos estimar la proporcin p de que ocurra un determinado suceso en una poblacin y tomamos una muestra de tamao n.Consideramos la variable aleatoria X= p/n, donde p es el nmero de observacin es de ese suceso en la muestra.La variable X es obviamente una binomial (n, p). Para valores de n grande y p prximos a 0,5, podemos aproximarla mediante una normal de media np y desviacin tpica , por tanto

As pues:

Obteniendo como intervalo de confianza para p

Pero dado que desconocemos p, deberemos sustituirlo por p. Alcanza un mximo en 1/4. Y por tanto esta ltima expresin se podra tomar como radio del intervalo de confianza propuesto.Ejemplo: En una encuesta hecha por alumnos y alumnas de un instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar en su Municipio, se obtiene que el 55% volvera a votar al actual alcalde. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la proporcin de votantes favorables al actual alcalde. Cules deberan ser los tamaos muestrales, manteniendo el mismo nivel de confianza, para tener la certeza que el alcalde actual ser reelegido por mayora absoluta Los datos desprendidos del enunciado del problema son: p'= 0,55 n = 100 1-a = 0,99Tenemos que buscar un valor z/2, de modo que en la distribucin N(0,1) deje una rea de probabilidad a la derecha igual a /2, es decir 0,005. Como la funcin de distribucin de probabilidad de la tabla N (0,1) me da el rea de probabilidad acumulada, es decir a la izquierda, tengo que ver que valor de z me deja a la izquierda 0,995, que se corresponde para un valor de z=2,57.As pues el intervalo buscado es:

En la segunda parte del problema, si queremos que tenga mayora absoluta, el margen de error no puede ser inferior a 0,05. La explicacin es sta: Puesto que la mayora absoluta la obtiene con ms de 0,50 de proporcin, y la proporcin muestral me ha dado 0,55, y como el intervalo de confianza est centrado en 055, el radio de dicho intervalo, es decir el margen de confianza, no puede ser superior a 005, ya que si fuese 0,06 por ejemplo, cabra la posibilidad de que el valor de la proporcin poblacional fuese 0,55-0,06 = 0,49 con lo cual el alcalde no tendra la mayora absoluta. As pues el planteamiento es hacer el margen de error menor que 0,05, es decir:

En consecuencia, el nmero mnimo del tamao de la muestra para poder tener certeza de que el alcalde va a tener mayora absoluta con un 99% de confianza es 654.

II Parte:Prueba de Hiptesis:Al realizar pruebas de hiptesis, se parte de un valor supuesto (hipottico) en parmetro poblacional. Despus de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadstica muestral, as como la media (x), con el parmetro hipottico, se compara con una supuesta media poblacional (). Despus se acepta o se rechaza el valor hipottico, segn proceda. Se rechaza el valor hipottico slo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.Etapa 1.- Planear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa. La hiptesis nula (H0) es el valor hipottico del parmetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.Etapa 3.- Elegir la estadstica de prueba. La estadstica de prueba puede ser la estadstica muestral (el estimador no segado del parmetro que se prueba) o una versin transformada de esa estadstica muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipottico de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribucin normal, entonces es comn que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadstica de prueba.Etapa 4.- Establecer el valor o valores crticos de la estadstica de prueba. Habiendo especificado la hiptesis nula, el nivel de significancia y la estadstica de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores crticos de estadstica de prueba. Puede haber uno o ms de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadstica de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipottico de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crtico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z.Etapa 6.- Tomar la decisin. Se compara el valor observado de la estadstica muestral con el valor (o valores) crticos de la estadstica de prueba. Despus se acepta o se rechaza la hiptesis nula. Si se rechaza sta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisin tendr efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estndar de desempeo o cul de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.La distribucin apropiada de la prueba estadstica se divide en dos regiones: una regin de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadstica cae en esta ltima regin no se puede rechazar la hiptesis nula y se llega a la conclusin de que el proceso funciona correctamente.Al tomar la decisin con respecto a la hiptesis nula, se debe determinar el valor crtico en la distribucin estadstica que divide la regin del rechazo (en la cual la hiptesis nula no se puede rechazar) de la regin de rechazo. A hora bien el valor crtico depende del tamao de la regin de rechazo.Pasos de la prueba de hiptesis: Expresar la hiptesis nula Expresar la hiptesis alternativa Especificar el nivel de significancia Determinar el tamao de la muestra Establecer los valores crticos que establecen las regiones de rechazo de las de no rechazo. Determinar la prueba estadstica. Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba estadstica apropiada. Determinar si la prueba estadstica ha sido en la zona de rechazo a una de no rechazo. Determinar la decisin estadstica. Expresar la decisin estadstica en trminos del problema.Pruebas de Hiptesis para Medias.

Sea una muestra aleatoria de una de una poblacin con media y varianza . Si el tamao de la muestra es grande y es conocida, el Teorema Central del Lmite garantiza que . Y de esta manera un Intervalo de confianza aproximado al para es de la forma:

, donde .

Si es desconocida, esta es estimada usando la varianza Muestral: y un Intervalo de Confianza aproximado al % para es de la forma: .

Si es un valor particular para , podemos establecer tres hiptesis alternativas respecto al valor real de :

vs. Estadstico de Prueba: .

Usando la parte interactiva del SAS se pueden calcular y para ser usados en la inferencia respecto a la media de la poblacin. Cabe Anotar que la parte interactiva del SAS asume que las poblaciones involucradas SON NORMALES independiente del tamao de la muestra. Si las poblaciones no son normales, para realizar pruebas de hiptesis para la Media con muestras grandes, debe hacerse manualmente. Similarmente pasa para la diferencia de medias de dos poblaciones con muestras grandes.Ejemplo: Suponga que se tiene la creencia de que el promedio obtenido por los estudiantes que no trabajan es superior al promedio de los que si trabajan. Para resolver esta pregunta primero expliquemos el procedimiento general de la prueba para diferencia de medias con muestras grandes.

Suponga que representa los promedios de quienes no trabajan y que los promedios de quienes trabajan. Asuma que ,, , y que , , . Ambas muestras son independientes entre s.

Las hiptesis a probar son: vs .

De la teora vista sabemos que un estimador puntual para es . Como los tamaos de cada muestra son apreciables, podemos usar el Teorema Central del Lmite para hallar la distribucin de la diferencia entre las medias muestrales:.

El estadstico de Prueba para esta hiptesis es:

y la regin de rechazo es de la forma: R.C. = , dado.

Para el Ejemplo en concreto se desea probar: vs . De los resultados muestrales se obtuvo:

Usando la notacin esto es equivalente a: , , . , , .

El valor del estadstico de prueba es:

El valor P de la prueba ser:Como este valor es grande no podemos rechazar la hiptesis Nula, es decir, que segn la informacin suministrada, no existe suficiente evidencia para afirmar que la nota promedio de los que NO trabajan sea superior a la nota promedio de los que trabaja: Pueden asumirse iguales.Prueba de Hiptesis para Proporciones

Suponga que X e Y son variables aleatorias Independientes tales que y . Las pruebas de hiptesis para proporciones asumen que los tamaos n o m son grandes para utilizar la aproximacin dada por el TLC. Sea un valor particular de . Se desea probar alguna de las siguientes hiptesis:

vs .El estadstico de prueba y las regiones de rechazo respectivas son:

y R.C. = , dadoEjemplo: Usando la base de datos anterior, suponga que se tiene la creencia de que ms del 20% de los estudiantes en dicha universidad Trabajan. Es cierta dicha afirmacin?

Sea X: Nmero de Estudiantes en la muestra de 213 que trabajan. Entonces , con p desconocida.

Las hiptesis a probar son: vs . Veamos como probar esta hiptesis usando la parte interactiva del SAS. Ingresamos al mdulo Analyst

Cargamos el archivo de datos que se encuentra en la librera WORK y cuyo nombre es EST.

En el men seleccionamos Statistics Hyptesis Test y se obtiene el siguiente men:

Las pruebas de hiptesis para medias y diferencia de medias aqu relacionadas asumen que las respectivas poblaciones son Normales. La primera es una prueba de hiptesis para la media de una poblacin Normal con varianza conocida La segunda es una prueba de hiptesis para la media de una poblacin Normal con varianza desconocida La tercera es prueba de hiptesis para una proporcin poblacional. Se asume un tamao de muestra grande La cuarta es prueba de hiptesis para la varianza de una poblacin Normal La quinta prueba de hiptesis para diferencia de medias de dos poblaciones Normales con varianzas desconocidas. Aqu se relacionan dos casos: Varianzas Iguales o Varianzas desiguales La sexta es una prueba de medias para datos Pareados La sptima es una prueba de hiptesis para la diferencia entre dos proporciones de dos poblaciones diferentes. Se asumen tamaos de muestra grandes La ltima es una prueba de hiptesis para igualdad entre varianzas de dos poblaciones normales.

Retomando el ejemplo 3, escogemos la opcin 3: Prueba para una proporcin: Aparece un recuadro donde se puede seleccionar el tipo de hiptesis alterna. Seleccionamos la variable TRAB. El aspecto que nos interesa medir es los que trabajan. Seleccionamos la opcin level of interest y hacemos click en SI. El valor de y la alternativa se colocan en Hypotheses Nula y Alternate respectivamente:

En la opcin Intervals puede pedirle al programa que calcule un Intervalo de Confianza al nivel preferido para p.Podemos calcular un Intervalo de Confianza al 95% para p.

Los resultados arrojados por el SAS son:

As, tanto el valor P (inferior a 0.0001) como el intervalo de confianza , permiten concluir que la proporcin de estudiantes que trabajan en dicha universidad es superior al 20%. Intervalo de Confianza para Diferencia de Medias.Si lo que se desea es comparar el comportamiento promedio de una misma caracterstica en dos poblaciones diferentes, cuando los tamaos de muestra son pequeos, no podemos usar el Teorema Central del Lmite para construir un Estadstico de Prueba adecuado.

De nuevo, supongamos que es una muestra aleatoria de una poblacin normal con media y varianza y que es otra muestra aleatoria de otra poblacin normal con media y varianza , donde y son desconocidas y ambas muestras independientes entre s.

Un estimador insesgado para es , pero Cul es la distribucin Muestral de ?Consideremos dos casos:

Caso I:

Bajo el supuesto de Normalidad, y . Y como ambas variables son independientes entre s y , entonces: . Adems:

. Entonces:

, donde .

Caso II: . Bajo el supuesto de normalidad en las muestras aleatorias se puede demostrar que:,donde .La demostracin de este hecho es un poco ms elaborada y por eso no se presentar aqu. Las hiptesis a probar son entonces:

Para probar si las varianzas de ambas muestras son iguales o diferentes, aunque sean desconocidas, podemos usar un Intervalo de Confianza al para el cociente de las varianzas poblacionales, es decir para .

Si dicho intervalo contiene el nmero 1, podemos afirmar que posiblemente las varianzas sean iguales. Si no contiene el nmero 1, podemos asumir que las varianzas son diferentes. Un Intervalo de Confianza al para est basado en la distribucin F de Snedecor. Se puede mostrar que . As, un Intervalo de Confianza al para es de la forma:

, donde

.

Los valores para se encuentran tabulados, para valores pequeos de . Usualmente se toman valores de iguales a 0.05, 0.025, 0.01 (que corresponden a Intervalos de Confianza del 90%, 95% y 98%).Tambin se puede realizar una prueba de hiptesis para igualdad de Varianzas: vs .

Estadstico de Prueba: . R.C. = , dado.Si la hiptesis Nula es rechazada, se concluye que las varianzas poblacionales no son iguales. En caso contrario podemos asumir que las varianzas poblacionales son iguales.Las hiptesis de inters a ser probadas son:

vs , donde es un valor particular.

Usualmente se toma como cero y entonces hablamos de una prueba de Igualdad de Medias.

Caso I: . El estadstico de prueba es:

.

La regin crtica es similar al caso de una muestra aleatoria: R.C. = , dado. El valor P de esta prueba se calcula como: .

Caso II: . El estadstico de Prueba es: .

La regin crtica es similar al caso anterior: R.C. = , dado. El valor P de esta prueba se calcula como: . Ejemplo: Suponga que se cree que los automviles con transmisin Mecnica consumen en promedio ms gasolina que los automviles con transmisin Automtica. Usando la base de datos anterior, es cierta esta afirmacin?Usando la parte interactiva del SAS podemos obtener unas estadsticas descriptivas bsicas respecto al Consumo de Gasolina en autos con ambos tipos de transmisiones:

Tenemos 18 automviles con transmisin automtica y 7 con transmisin mecnica. De nuevo, supongamos que es una muestra aleatoria que representa los consumos de gasolina de los autos con transmisin mecnica, asumamos que estos consumos se distribuyen normalmente con media y varianza y que es otra muestra aleatoria que representa los consumos de gasolina de los autos con transmisin automtica, asumamos que estos consumos se distribuyen normalmente con media y varianza , donde y son desconocidas y ambas muestras independientes entre s.

Las hiptesis a probar son: vs . Primero calculamos un Intervalo de Confianza al 95% para el cociente de las varianzas. En SAS elegimos la opcin: Hiptesis Test Two Sample Test for Variantes.

Aparece un recuadro con un men de opciones. Seleccionamos grupos en una variable, variable dependiente Y, grupo la variable TIPO. La variable TIPO permite identificar la poblacin. En este caso la Poblacin 1, ser los autos con transmisin Automtica y la Poblacin 2, ser los autos con transmisin mecnica (esto debido a que el SAS organiza en orden alfabtico). Esto no Importa lo que interesa es determinar si el Intervalo de Confianza contiene o no el nmero uno o el resultado de la Prueba de Hiptesis. Las hiptesis a probar son:vs .Seleccionamos la opcin Intervals, escogemos un nivel de confianza del 95% y la opcin Interval. Los resultados obtenidos son:

observe que la Hiptesis Nula es rechazada, pues el valor P es pequeo. Al mismo tiempo el Intervalo de Confianza para NO contiene el nmero uno. Ambos resultados permiten concluir que las varianzas poblacionales No son Iguales. As, para probar la hiptesis inicial acerca del consumo de gasolina, debemos asumir que .

El estadstico de Prueba es: En SAS seleccionamos las opciones: Hyptesis Test Two-Sample t-test for Means.

En el recuadro que aparece seleccionamos la variable dependiente Y, el grupo la variable TIPO, la hiptesis Nula , la hiptesis alternativa es Mean 1 Mean 2 < 0, pues los grupos a comparar aparecen primero Automtica y Luego Manual, al revs de lo planteado en la Hiptesis alterna inicial:

Los resultados obtenidos muestran las hiptesis tanto para varianzas iguales como para varianzas diferentes:

Observe que el valor del estadstico de Prueba para Varianzas diferentes es negativo, esto es porque para el SAS la poblacin 1 son los consumos de los autos con transmisin Automtica y la Poblacin 2 los autos con transmisin Mecnica.La conclusin de la prueba, usando el Intervalo de Confianza o el Valor P, permite afirmar que el consumo de gasolina para los autos con transmisin Mecnica es SUPERIOR al consumo de gasolina para autos con transmisin Automtica.El siguiente grfico nos muestra evidencia inicial de que esta afirmacin es cierta.

Diferencias de proporciones:En algunos diseos de investigacin, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muestrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar o probar una diferencia entre las mismas. Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras ofrecen datos de proporciones de personas que van a votar por el PRI y al hacer dos estudios diferentes salen resultados ligeramente diferentes pero qu tanta diferencia se requiere para que sea estadsticamente significativo? De eso se tratan las pruebas estadsticas de diferencias de proporciones. El estadstico Z para estos casos se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo: Harry Hutchings es propietario de un gimnasio y afirma que la ingestin de ciertas vitaminas aumente la fuerza corporal. Se seleccionan aleatoriamente 10 estudiantes atletas y se les aplica una prueba de fuerza muscular. Despus de dos semanas de tomar las vitaminas y de entrenamiento se les aplica nuevamente la prueba. Los resultados se muestran a continuacin:

Varianza (chi-cuadrado):La varianza como medida de dispersin es importante dado que nos ofrece una mejor visin de dispersin de datos. Por ejemplo: si se determina que la poblacin califica en promedio con 6 el desempeo del gobierno; al decir que la varianza es de cero (y por lo tanto la desviacin estndar es de cero) podemos confiar en que aproximadamente la misma calificacin le asignara toda la poblacin, en otras palabras, en trminos generales la poblacin en su conjunto ve al gobierno con la misma calificacin ya que no hay variacin o dispersin en dicha calificacin. Por el contrario, con la misma calificacin promedio de 6 pero con una varianza muy alta podemos interpretar que hay gente contenta con el gobierno que le ha asignado calificaciones muy arriba del 6; pero hay un conjunto poblacional muy molesto con el gobierno que asigna calificaciones muy por debajo del 6. Este tipo de informacin solo es posible mediante el anlisis de la varianza. Otro campo del conocimiento donde la varianza se ocupa en gran medida es en control de calidad; cuando un producto se elabora el rea de control de calidad busca que los productos est dentro de ciertos lmites de tolerancia, pero tambin que la variabilidad de un producto sea lo menor posible. De ah viene la filosofa seis sigma (significa seis veces la varianza).Nuevamente consideramos que la poblacin sigue una distribucin de probabilidad normal, para lo cual usamos el siguiente estadstico de prueba:

(pronunciado como "ji-cuadrado" y a veces como "chi-cuadrado")Ejemplo: Una empresa est interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaa publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocan el producto. A un nivel de significacin del 1% apoya el estudio las siguientes hiptesis?a. Ms del 3% de la poblacin no conoce el nuevo producto.b. Menos del 2% de la poblacin no conoce el nuevo productoDatos:n = 1000x = 25

Donde:x = ocurrenciasn = observaciones = proporcin de la muestra = proporcin propuestaSolucin:a)

a = 0,01

H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo que no es cierto que ms del 3% de la poblacin no conoce el nuevo producto.En Excel:

b)

a = 0,01

H0 es rechazada, ya que zprueba (1,13) es menor que ztabla (2,326), por lo que es cierto que menos del 2% de la poblacin no conoce el nuevo producto.III parte:Regresin lineal:El anlisis de regresin es una tcnica estadstica para investigar la relacin funcional entre dos o ms variables, ajustando algn modelo matemtico.

La regresin lineal simple utiliza una sola variable de regresin y el caso ms sencillo es el modelo de lnea recta. Supngase que se tiene un conjunto de n pares de observaciones (xi,yi), se busca encontrar una recta que describa de la mejor manera cada uno de esos pares observados.

Estimacin de Mnimos cuadrados:

De todas las curvas que se aproximan a un conjunto de datos definidos por un punto, la curva que tiene la propiedad de que D12+D22+.+ DN2 es un mnimo que se denomina curva de ajuste ptimo.

Se dice que una curva con esta propiedad se ajusta a los datos en el sentido de mnimos cuadrados y se llama curva de mnimos cuadrado. Entonces, una recta con esta propiedad se denomina recta de mnimos cuadrados, una parbola con esta propiedad se denomina parbola de mnimos cuadrados, etc.

El mtodo de estimacin de Mnimos cuadrados, que consiste en encontrar aquellos valores de a y de b que hagan mnima la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto de la recta que representa el modelo, en el sentido vertical.

En la figura, son los cuadrados de los segmentos verticales cuya suma de cuadrados se debe minimizar, para determinar a y b. Estos segmentos representan los errores e del modelo. b se llama pendiente de la recta que representa los datos y a se llama intercepto sobre el eje vertical.La solucin est dada por las siguientes frmulas:

El estimador de mnimos cuadrados que introducimos en esta seccin utiliza como criterio la minimizacin de la Suma de los Cuadrados de los Residuos (SCR), o tambin Suma Residual, aunque hay que recordar que es una suma de cuadrados. Se trata, por tanto, de seleccionar valores de los coeficientes y que resuelvan el problema:

Regresin lineal simple:En estadstica la regresin lineal o ajuste lineal es un mtodo matemtico que modela la relacin entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un trmino aleatorio .Con frecuencia, nos encontramos en economa con modelos en los que el comportamiento de una variable, Y, se puede explicar a travs de una variable X; lo que representamos mediante: Y = f (X )Si consideramos que la relacin f, que liga Y con X, es lineal, entonces se puede escribir as:

Como quiera que las relaciones del tipo anterior raramente son exactas, sino que ms bien son aproximaciones en las que se han omitido muchas variables de importancia secundaria, debemos incluir un trmino de perturbacin aleatoria, t u , que refleja todos los factores distintos de X -que influyen sobre la variable endgena, pero que ninguno de ellos es relevante individualmente. Con ello, la relacin quedara de la siguiente forma:

La expresin anterior refleja una relacin lineal, y en ella slo figura una nica variable explicativa, recibiendo el nombre de relacin lineal simple. El calificativo de simple se debe a que solamente hay una variable explicativa.

Supongamos ahora que disponemos de T observaciones de la variable Y( 1 2 , , ,T Y Y Y ) y de las correspondientes observaciones de X ( 1 2 , , ,T X X X ). Si hacemos extensiva (3) a la relacin entre observaciones, tendremos el siguiente conjunto de T ecuaciones:

Este sistema de ecuaciones se puede escribir:

Ejemplo: Representar la nube de puntos (grfico x-y) ventas vs. publicidad, junto con la recta de regresin asociada. Piensas que el modelo obtenido sirve para explicar las ventas obtenidas por esta empresa en los ltimos treinta aos en funcin de lo que se ha gastado en publicidad?

Seleccionamos Stat > Regression > Fitted Line Plot :

Como se aprecia en el grfico, el modelo lineal simple ajusta con mnimos errores la evolucin de las ventas en funcin de los gastos en publicidad. De hecho, si nos fijamos en el valor del coeficiente de determinacin R-sq, veremos que este modelo explica casi el 94% del comportamiento de las ventas a travs de la evolucin, por lo que es un buen ajuste y por tanto, los residuos son mnimos.Regresin lineal mltiple:La regresin lineal nos permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razn, as tambin se puede comprender la relacin de dos o ms variables y nos permitir relacionar mediante ecuaciones, una variable en relacin a otras variables llamndose Regresin mltiple. Constantemente en la prctica de la investigacin estadstica, se encuentran variables que de alguna manera estn relacionados entre s, por lo que es posible que una de las variables pueda relacionarse matemticamente en funcin de otra u otras variables.El modelo de regresin lineal mltiple con p variables predictoras y basado en n observaciones tomadas es de la forma:

para i = 1,2,.n. Escribiendo el modelo para cada una de las observaciones, ste puede ser considerado como un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

que puede ser escrita en forma matricial como:

donde Y es un vector columna n dimensional, X es una matriz n x p', con p'=p+1, b es el vector de coeficientes de regresin a ser estimados, su dimensin es p' y e es un vector columna aleatorio de dimensin n Por ahora, las nicas suposiciones que se requieren son que E(e)=0 y que la matriz de varianza covarianzas de los errores est dada por Var(e)= 2 In, donde In es la matriz identidad de orden n.

Ejemplo: La entidad bancaria City Banking est estudiando el nmero de veces por da que se usa el cajero automtico localizado en un barrio de una determina ciudad espaola del sur. Los siguientes datos son las veces por da que fue usado el cajero en los ltimos 30 das:

a) Realiza un dotplot de los valores anteriores y comenta los resultados.

Para dibujar el dotplot, seleccionamos Graph > Dotplot:

Del grfico anterior podramos concluir que el valor que ms se repite es 84 y, adems, podemos apreciar que los datos no parecen seguir una distribucin normal.

Parte IV:

Anlisis de varianza:

El anlisis de varianza es una tcnica que se puede utilizar para decidir si las medias de dos o ms poblaciones son iguales. La prueba se basa en una muestra nica, obtenida a partir de cada poblacin. El anlisis de varianza puede servir para determinar si las diferencias entre las medias muestrales revelan las verdaderas diferencias entre los valores medios de cada una de las poblaciones, o si las diferencias entre los valores medios de la muestra son ms indicativas de una variabilidad de muestreo.

Si el valor estadstico de prueba (anlisis de varianza) nos impulsa a aceptar la hiptesis nula, se concluira que las diferencias observadas entre las medias de las muestras se deben a la variacin casual en el muestreo (y por tanto, que los valores medios de poblacin son iguales). Si se rechaza la hiptesis nula, se concluira que las diferencias entre los valores medios de la muestra son demasiado grandes como para deberse nicamente a la casualidad (y por ello, no todas las medias de poblacin son iguales).

Los datos para el anlisis de varianza se obtienen tomando una muestra de cada poblacin y calculando la media muestral y la variancia en el caso de cada muestra. Existen tres supuestos bsicos que se deben satisfacer antes de que se pueda utilizar el anlisis de variancia. 1) Las muestras deben ser de tipo aleatorio independiente. 2) Las muestras deben ser obtenidas a partir de poblaciones normales. 3) Las poblaciones deben tener variancias iguales (es decir )

El anlisis de varianza, como su nombre lo indica, comprende el clculo de varianzas. La varianza de una muestra es el promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado de la media del grupo. Simblicamente, esto se representa de la siguiente manera:

Cabe observar que se debe utilizar n - 1, ya que se est trabajando con datos muestrales. De ah que, para obtener la varianza muestral, el procedimiento sea el siguiente:

1) Calcular la media muestral 2) Restar la media de cada valor de la muestra. 3) Elevar al cuadrado cada una de las diferencias. 4) Sumar las diferencias elevadas al cuadrado. 5) Dividir entre n - 1Distribucin de Fisher: La necesidad de disponer de mtodos estadsticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del anlisis de una sola poblacin. Frecuentemente se desea comparar la precisin de un instrumento de medicin con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que vara el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro.

A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente entre dos valores, el anlisis de varianza emplea la razn de las estimaciones, dividiendo la estimacin intermediante entre la estimacin interna

Esta razn F fue creada por Ronald Fisher (1890-1962), matemtico britnico, cuyas teoras estadsticas hicieron mucho ms precisos los experimentos cientficos. Sus proyectos estadsticos, primero utilizados en biologa, rpidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la experimentacin agrcola, mdica e industrial. Fisher tambin contribuy a clarificar las funciones que desempean la mutacin y la seleccin natural en la gentica, particularmente en la poblacin humana.

El valor estadstico de prueba resultante se debe comparar con un valor tabular de F, que indicar el valor mximo del valor estadstico de prueba que ocurra si H0 fuera verdadera, a un nivel de significacin seleccionado. Antes de proceder a efectuar este clculo, se debe considerar las caractersticas de la distribucin F.

Caractersticas de la distribucin F

- Existe una distribucin F diferente para cada combinacin de tamao de muestra y nmero de muestras. Por tanto, existe una distribucin F que se aplica cuando se toman cinco muestras de seis observaciones cada una, al igual que una distribucin F diferente para cinco muestras de siete observaciones cada una. A propsito de esto, el nmero distribuciones de muestreo diferentes es tan grande que sera poco prctico hacer una extensa tabulacin de distribuciones. Por tanto, como se hizo en el caso de la distribucin t, solamente se tabulan los valores que ms comnmente se utilizan. En el caso de la distribucin F, los valores crticos para los niveles 0,05 y 0,01 generalmente se proporcionan para determinadas combinaciones de tamaos de muestra y nmero de muestras.

- La distribucin es continua respecto al intervalo de 0 a + . La razn ms pequea es 0. La razn no puede ser negativa, ya que ambos trminos de la razn F estn elevados al cuadrado. Por otra parte, grandes diferencias entre los valores medios de la muestra, acompaadas de pequeas variancias muestrales pueden dar como resultado valores extremadamente grandes de la razn F.

- La forma de cada distribucin de muestreo terico F depende del nmero de grados de libertad que estn asociados a ella. Tanto el numerador como el denominador tienen grados de libertad relacionados.

Determinacin de los grados de libertad

Los grados de libertad para el numerador y el denominador de la razn F se basan en los clculos necesarios para derivar cada estimacin de la variancia de la poblacin. La estimacin intermediante de variancia (numerador) comprende la divisin de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el nmero de medias (muestras) menos uno, o bien, k As, k - 1 es el nmero de grados de libertad para el numerador.

En forma semejante, el calcular cada variancia muestral, la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el valor medio de la muestra y cada valor de la misma se divide entre el nmero de observaciones de la muestra menos uno, o bien, n - 1. Por tanto, el promedio de las variancias muestrales se determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra entre el nmero de muestras, o k. Los grados de libertad para el denominador son entonces, k(n -l).

Clculo de la razn F a partir de datos muestrales

Para calcular F se debe seguir el siguiente procedimiento 1) Calcular la estimacin interna (Denominador) 1.1) Determinar la variancia de cada muestra, utilizando la frmula

1.2) Obtener la estimacin interna de variancia (variancia promedio de la muestra), mediante la frmula

2) Calcular la estimacin intermediante (Numerador)2.1) Calcular la variancia de la medias muestrales, utilizando la frmula

2.2) Multiplicar la variancia de la medias muestrales por n

3) Razn F:

Ejemplo: Los pesos en kg por 1,7 m de estatura se ilustran en la siguiente tabla. La finalidad es determinar si existen diferencias reales entre las cuatro muestras. Emplear un nivel de significacin de 0,05

Solucin:

Las hiptesis Nula y Alternativa son: H0: Todas las proporciones de la poblacin son iguales. H1: No todas las proporciones de la poblacin son iguales.

Calculando los grados de libertad de numerador se tiene:

Calculando los grados de libertad del denominador se tiene:

Con 3 grados de libertad en el numerador, 20 grados de libertad en el denominador y con un nivel de significacin con lectura la tabla se obtiene Ftabla= 0,310. Para calcular Fprueba se procede de la siguiente manera:

Calculando las medias aritmticas se obtiene:

Se llena la siguiente tabla para calcular las varianzas muestrales:

Remplazando los datos en la frmula de la varianza se obtienen las varianzas de las 4 muestras. Calculando la estimacin interna de varianza se obtiene:

Para calcular la estimacin intermediante de varianzas primero se calculan las varianzas de las medias aritmticas:

Para calcular la varianza de las medias aritmticas se calcula la media aritmtica de las medias aritmticas, la cual es:

Se llena la siguiente tabla:

Se reemplaza los datos de la tabla para calcular las varianzas de las medias aritmeticas:

Calculando la estimacin intermediante de varianza se obtiene:

Finalmente calculando Fprueba se obtiene:

Los clculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

La grfica elaborada en Winstats y Paint se muestra en la siguiente figura:

Decisin: Como Fprueba es menor que Ftabla, H0 se aprueba, por lo tanto no existen diferencias reales en los pesos de las 4 muestras, es decir, todas las proporciones de la poblacin son iguales.

ANOVA:

El anlisis de la varianza (ANOVA del ingls Analysis of Variance) es una potente herramienta estadstica, de gran utilidad tanto en la industria, para el control de procesos, como en el laboratorio de anlisis, para el control de mtodos analticos. Los ejemplos de aplicacin son mltiples, pudindose agrupar, segn el objetivo que persiguen, en dos principalmente: la comparacin de mltiples columnas de datos y la estimacin de los componentes de variacin de un proceso.

El ANOVA tambin puede utilizarse en situaciones donde ambas fuentes de variacin son aleatorias. Un ejemplo sera el anlisis de algn compuesto de un vino almacenado en un depsito. Supongamos que las muestras se toman aleatoriamente de diferentes partes del depsito y se realizan diversos anlisis replicados. Aparte de la variacin natural en la medida tendremos una variacin en la composicin del vino de les diferentes partes del depsito.

Cuando tengamos un factor, controlado o aleatorio, aparte del error propio de la medida, hablaremos del ANOVA de un factor. En el caso de que estuvisemos desarrollando un nuevo mtodo colorimtrico y quisiramos investigar la influencia de diversos factores independientes sobre la absorbancia, tales como la concentracin de reactivo A y la temperatura a la que tiene lugar la reaccin, entonces hablaramos de un ANOVA de dos factores. En los casos donde tenemos dos o ms factores que influyen, se realizan los experimentos para todas las combinaciones de los factores estudiados, seguido del ANOVA. Se puede deducir entonces si cada uno de los factores o una interaccin entre ellos tienen influencia significativa en el resultado.

Para utilizar el ANOVA de forma satisfactoria deben cumplirse tres tipos de hiptesis, aunque se aceptan ligeras desviaciones de las condiciones ideales:

1. Cada conjunto de datos debe ser independiente del resto.2. Los resultados obtenidos para cada conjunto deben seguir una distribucin normal.3. Las varianzas de cada conjunto de datos no deben diferir de forma significativa.

El anlisis de la varianza se basa en la descomposicin de la variabilidad total en dos partes, una parte debida a la variabilidad entre las distintas poblaciones o tratamientos (variabilidad entre grupos o variabilidad explicada por el diseo) y otra parte que puede considerarse como la variabilidad intrnseca de las observaciones (variabilidad dentro de los grupos o residual).

La variabilidad entre grupos:

mide la discrepancia entre los grupos y la media global, de forma que si no hay diferencias entre ellos (la hiptesis nula es cierta) obtendremos variabilidades pequeas. Si, por el contrario, la hiptesis nula es falsa, cabe esperar que la variabilidad entre grupos sea grande.

La variabilidad dentro de los grupos

mide la variabilidad intrnseca de las observaciones, es decir, si el experimento est bien diseado y no se incluyen factores de variacin distintos al estudiado, debe ser error puramente aleatorio producido como resultado de la variabilidad biolgica del material experimental.

El contraste del Anlisis de la varianza se basa en la comparacin de la variabilidad entre y la variabilidad dentro, rechazaremos la hiptesis nula siempre que la variabilidad entre sea grande, pero utilizando como patrn de comparacin la variabilidad dentro. Es decir, aceptaremos un efecto de los tratamientos siempre que estos produzcan mayores diferencias en las unidades experimentales que las que habra sin la aplicacin de los mismos.

Antes de proceder a la comparacin hemos de dividir las sumas de cuadrados por sus correspondientes grados de libertad, relacionados con el nmero de observaciones con las que se realiza el clculo.

De esta forma obtenemos los cuadrados medios o estimadores de las variabilidades.La informacin completa se resume en la tabla siguiente. Es la que se conoce como tabla de ANOVA y resume toda la informacin necesaria para realizar el correspondiente contraste.

El cociente entre la variabilidad entre y la variabilidad dentro, una vez que se han hecho comparables, sigue una distribucin F de Snedecor con r-1 y n-r grados de libertad. La distribucin nos sirve para buscar el valor a partir del cual el cociente es lo suficientemente grande como para declarar las diferencias entre grupos estadsticamente significativas.

Los estimadores de los efectos del os tratamientos se estiman a partir de:

y la parte propia de cada observacin (o residual):

Los residuales pueden servirnos para la validacin de las hiptesis bsicas.

Recurdese que, en realidad, un anlisis de la varianza de una va es equivalente a un modelo de regresin en el que solo aparece una regresora cualitativa con r categoras (mediante las correspondientes variables ficticias). La validacin de las hiptesis bsicas puede hacerse entonces de la misma manera que en un modelo re regresin, utilizando grficos de residuales.

Ejemplo: Se est investigando cual es el efecto de tres tipos de abono sobre dos tipos de suelo. Se espera que el efecto de los distintos abonos se manifieste de forma diferente dependiendo del tipo de suelo. Para el presente estudio tomaremos dos tipos de suelo, cido y alcalino y tres tipos de abono que denotaremos con A, B y C. Tenemos as dos factores (suelo y abono) con 2 y 3 niveles respectivamente, que resultan en 6 combinaciones. Tomaremos un diseo factorial con dos factores y tres rplicas en cada una de las combinaciones de los niveles de los dos factores. La respuesta es un ndice de abundancia de una determinada especie tras la aplicacin de los distintos abonos. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

Conclusin:

El intervalo de confianza no es ms que dar un intervalo donde afirmaremos o pronosticaremos que en su interior se encontrar el parmetro a estimar, con una probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la mayor posible, es decir prxima a 1.El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varan conjuntamente, de forma que un intervalo ms amplio tendr ms posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo ms pequeo, que ofrece una estimacin ms precisa, aumentan sus posibilidades de errorEl concepto de prueba de hiptesis se puede utilizar para probar hiptesis en relacin con datos cualitativosLa regresin lineal o ajuste lineal es un mtodo matemtico que modela la relacin entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un trmino aleatorio .La regresin lineal nos permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razn, as tambin se puede comprender la relacin de dos o ms variables y nos permitir relacionar mediante ecuaciones, una variable en relacin a otras variables llamndose Regresin mltiple.Cuando es necesario hacer comparaciones entre tres o ms medias muestrales para determinar si provienen de poblaciones iguales utilizamos la tcnica de anlisis de varianza. Esta tcnica se realiza utilizando la distribucin de probabilidad F vista anteriormente. Para el uso de esta tcnica es necesario seguir los siguientes supuestos:1) Las poblaciones siguen una Distribucin de Probabilidad Normal2) Las poblaciones tienen desviaciones estndar () iguales3) Las muestras se seleccionan de modo independienteLa tcnica del anlisis de varianza descompone la variacin total en dos componentes de variacin llamados variacin debida a los tratamientos y variacin aleatoria.

Bibliografa.

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