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TRABAJO COLABORATIVO 2
PROGRAMACION LINEAL
Presentado por :
Gustavo Loaiza.
Javier E. Martínez.
Mauricio de Jesús Patiño.
Javier Alvarado
Leonardo Alfaro A.
Grupo 100404_135
TUTOR(A)
Darwin William Barros.
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENEIRÍA
Barranquilla – Colombia, Mayo 26-2011.
INTRODUCCION
La PL es una técnica mediante la cual se toman decisiones, reduciendo el problema bajo estudio a un modelo matemático general, el cual debe ser resuelto por métodos cuantitativos.
En desarrollo de este capítulo se aplicarán la solución de dichos modelos aplicando diversas técnicas como: el método gráfico, método simplex, método matricial, técnica de la gran M.
Además se desarrollara la aplicación de variables artificiales y obtención de soluciones para identificar a que tipo de clasificación pertenecen. Por medio de dichos modelos de solución se podrá obtener las solución adecuada para cada problema y facilitar la toma de decisiones.
OBJETIVOS
Por medio del presente trabajo escrito se logrará comprender la temática a
través de los siguientes puntos :
-Se identificarán los diferentes algoritmos utilizados para solucionar problemas de programación lineal.
-Se planterán problemas de aplicación donde se utilicen los diferentes métodos para solucionar problemas de PL.
-Se usarán los algoritmos simplex a través de tablas y la identificación de variables básicas y artificiales
para la solución de problemas de PL optimizados.
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS
FASE 1
Un problema de programación lineal se puede definir como el problema de maximizar o minimizar una función lineal sujeta a restricciones lineales, las restricciones pueden ser igualdades o desigualdades.
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
GEORGE DANTZIG (8 NOVIEMBRE 1914 – 13 MAYO 2005)
Matemático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el padre de la “Programación lineal”.
Nacio en Portland, Oregon EEUU, su padre era profesor de matemáticas, estudió su carrera en la Universidad de Maryland, donde se graduó en 1936.
En 1976 el presidente Gerald Ford otorgó a Dantzig la Medalla Nacional de Ciencias, que es la presea más alta de los Estados Unidos en Ciencia. En la ceremonia en la Casa Blanca se citó a George Bernard Dantzig "por haber inventado la Programación Lineal, por haber descubierto métodos que condujeron a aplicaciones científicas y técnicas en gran escala a problemas importantes en logística, elaboración de programas, optimización de redes y al uso de las computadoras para hacer un empleo eficiente de la teoría matemática"
CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal presenta un gran número de aplicaciones en multitud de ámbitos empresariales, industriales, de gestión y en general, de toma de decisiones.
Aplicación en Marketing
Aplicación en Producción
Aplicación a las finanzas
Aplicación a la logística
Aplicación a Mezclas
Aplicación en la Distribución de tareas
FASE 2
1. MAXIMIZAR
P= 10x + 12y
Sujeta a:
x + y ≤ 60
x - 2y ≥ 0
x, y ≥ 0
A= (0,0) P= 10(0) + 12(0) = 0
*B= (0,60) P= 10(0) + 12(60) = 720
Y= (60,0) P= 10(60) + 12(0) = 600
La maximización se obtiene en el punto B (0,60)
x y 0 60
60 0 0 0 0 0
FASE 4
Problemas de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesi tan 1.5 m de a lgodón y 1 m de pol iéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?
Método Grafico
MAXIMIZAR: 50 X1 + 40 X2
1 X1 + 1.5 X2 ≤ 750 2 X1 + 1 X2 ≤ 1000
X1, X2 ≥ 0
NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Como se puede ver este software es muy chévere de aplicar y en este caso nos da como resultado que para que los almacenes consigan una venta máxima que es de 28750 euros se necesitan suministrar 375 pantalones y 250 camisas a los almacenes.
Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
Método grafico
MAXIMIZAR: 30 X1 + 40 X2
20 X1 + 50 X2 ≤ 3000 40 X1 + 50 X2 ≤ 4000
X1, X2 ≥ 0
NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Para obtener un costo minino se necesita 50 camiones de tipo A y 40 de tipo B, siendo su costo en el transporte de 3.100 Euros
En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
Método grafico
MAXIMIZAR: 10 X1 + 30 X2
1 X1 + 5 X2 ≤ 15 5 X1 + 1 X2 ≤ 15
X1, X2 ≥ 0
NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Para la granja tener un costo mínimo en su dieta para los pollos se necesitan de la sustancia A 2.5 unidades y de la sustancia B otras 2.5 unidades cubriendo así sus necesidades y con un costo de 100 euros
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos
para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
Método grafico
MAXIMIZAR: 6.5 X1 + 7 X2
2 X1 + 3 X2 ≤ 600 1 X1 + 1 X2 ≤ 500 2 X1 + 1 X2 ≤ 400
X1, X2 ≥ 0
NOTA: En color verde los puntos en los que se encuentra la solución. En color rojo los puntos que no pertenecen a la región factible.
Para obtener un máximo beneficio de deben de colocar en el mercado para la temporada escolar los dos bloques así, un primer bloque con 150 paquetes y el segundo bloque con 100 paquetes.
El precio de los paquetes será de 1675 euros obteniendo así el máximo beneficio
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
Método grafico
MAXIMIZAR: 30 X1 + 50 X2
1 X1 + 3 X2 ≤ 200 1 X1 + 1 X2 ≤ 100 0 X1 + 0 X2 ≤ 20 0 X1 + 0 X2 ≤ 10
X1, X2 ≥ 0
Para maximizar la oferta de los pantalones y las camisas en esta temporada, se deben sacar al mercado un bloque de camisas y pantalones en donde en el bloque A seria 50 y para el bloque B 50 con una ganancia de 4000 euros
CONCLUSIONES
Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, los estudios de Dantzig en Berkeley fueron suspendidos, y el se convirtió en la cabeza de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles de ítems y personas. El trabajo proporcionó los problemas del "mundo real" que la programación lineal vendría a resolver.
George Dantzig recibió su doctorado en Berkeley en 1946. Él originalmente iba a aceptar un puesto como profesor en Berkeley, pero fue persuadido por su esposa y colegas del Pentágono para volver ahí como consejero matemático de la USAF. Fue ahí, en 1947 que el por primera vez presentó un problema de programación lineal, y propuso el Método Simplex para resolverlo. En 1952 se convirtió en un investigador matemático en la Corporación RAND, donde comenzó a implementar la programación lineal en los computadores de la corporación. En 1960 fue contratado por su alma máter, donde enseñó ciencias de la computación, eventualmente convirtiéndose en el presidente del Centro de Investigación de Operaciones. En 1966 tomó un cargo similar en la Universidad de Stanford. Se quedó en Standord hasta su retiro en los años 90.
En adición a su trabajo significativo en el desarrollo del método simplex y la programación lineal, Dantzig también hizo avances en los campos de la teoría de la descomposición, análisis de sensibilidad, métodos de pivot complementarios, optimización a gran escala, programación no lineal, y programación bajo incertidumbre. El primer ejemplar del SIAM Jornal on Optimization en 1991 fue dedicado a él.
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo
2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones
de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones). La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es
llamado método gráfico en actividad.
Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig.
El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.
El método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor).
Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:
1. Formulación y definición del problema.
2. Construcción del modelo.
3. Solución del modelo.
4. Validación del modelo.
5. Implementación de resultados.
Demos una explicación de cada una de las fases:
1. Formulación y definición del problema. En esta fase del proceso se necesita:
una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar;
identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución adecuada.
2. Construcción del modelo. En esta fase, el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema.
Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de
datos pasados o ser estimados por medio de algún método estadístico.
Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico.
El modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.
3. Solución del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones.
Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real.
Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad,
es decir, ver como se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y
parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.
4. Validación del modelo. La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema.
Un método común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones
pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.
