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Fondamenti di Automatica
Tracciamento deiDiagrammi di Nyquist
L. Lanari
Dipartimento di Ingegneria Informatica
Automatica e Gestionale “Antonio Ruberti”
Universita di Roma “La Sapienza”
Ultima modifica – November 21, 2012
Considerazioni generali
il diagramma di Nyquist di F (s) e l’immagine secondo la funzione di trasferimento F (s) delpercorso di Nyquist (particolare percorso chiuso).
Il percorso di Nyquist e composto da:
(a) l’asse immaginario esclusi eventuali poli a parte reale nulla di F (s)
(b) semi-cerchi di raggio infinitesimo che lasciano gli eventuali poli a parte reale nulla diF (s) a sinistra
(c) un percorso all’infinito (semi-cerchio)
L’immagine di
(a) e deducibile dai diagrammi di Bode e dalla proprieta F (−jω) = F ∗(jω)
(b) – in corrispondenza ad ogni polo di F (s) a parte reale nulla di molteplicita m – effettuam mezzi giri all’infinito in senso orario
pi polo di F (s) con molteplicita m t.c. Re[pi] = 0 ⇒ mπ giri all’∞ in senso orario
(c) e l’origine se la F (s) e strattamente propria,
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 1
Considerazioni generali
Il criterio di Nyquist permette di dedurre la stabilita delsistema ad anello chiuso, in uno schema a retroazioneunitaria, a partire da informazioni relative al sistemaad anello aperto (qui rappresentato dalla funzione ditrasferimento F (s))
yu1 y1u
F(s)-
+
W(s)Sistema adanello chiuso
Sistema adanello aperto
Alcuni possibili percorsi di Nyquist
Re
Im
percorsoall'infinito
j0
s=j!
+1
Nessun polo a Re(·) = 0
Re
Im
percorsoall'infinito
0
= 0!
-
= 0!
++1
Uno o piu poli in s = 0
Re
Im
percorsoall'infinito
0
= -!!+
= !!+
= !!-
= -!!-
-j!
j!
a
a
a
a
a
a
+1
Uno o piu poli in s = ±jωa
I vari passi per la costruzione di un generico diagramma di Nyquist sono illustrati di seguito.
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 2
Generazione del diagramma di Nyquist
Re
Im
Re
Im
percorsoall'infinito
= 0!
dai diagrammidi Bode
percorsodi Nyquist
F (s)
immagine!js =
[0,1)!2
+1
! +1
Passo 1
Re
Im
Re
Im
= 0!
da
percorsodi Nyquist
F (s)
immagine
!-js =
(1,0]!2
F( -j!)= ( j!)F*
+1
! +1
Passo 2
Re
Im
Re
Im
= 0!
da
percorsodi Nyquist
F (s)
immagine
F (s)
strettamentepropria
+1
! +1
Passo 3
Re
Im
= 0!=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist finale
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 3
Esempio 1
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−3
10−2
10−1
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo
Diagramma del modulo
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
Diagramma della fase
Re
Im
percorsoall'infinito
j0j!1
j!2
j!3
-j!1
-j!2
-j!3
+1
Percorso di Nyquist
F (s) =1
s+ 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
ω1ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
Im
Re
Diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 4
Esempio 2
10−2
10−1
100
101
102
103
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−2
10−1
100
101
102
103
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo
Diagramma del modulo
10−2
10−1
100
101
102
103
−200
−150
−100
−50
0
50
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
Diagramma della fase
Re
Im
percorsoall'infinito
j0j!1
j!2
j!3
-j!1
-j!2
-j!3
+1
Percorso di Nyquist
F (s) =100
(s+ 10)2=
1
(s/10 + 1)2
0 0.5 1
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6Im
Re
Diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 5
Esempio 3
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−3
10−2
10−1
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo
Diagramma del modulo
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
Diagramma della fase
Re
Im
percorsoall'infinito
j0j!1
j!2
j!3
-j!1
-j!2
-j!3
+1
Percorso di Nyquist
F (s) =10
(s+ 1)2(s+ 10)=
1
(s+ 1)2(s/10 + 1)
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 6
Esempio 3
0 0.5 1
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
← Zoom
Im
Re
Diagramma di Nyquist esatto
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0−0.05
0
0.05Zoom
Im
Re
Dettaglio del diagramma di Nyquist
Re
Im
= 0!-1
=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
Versione esatta e “manuale”del diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 7
Esempio 4
10−2
100
102
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−2
100
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo
Diagramma del modulo
10−2
100
102
−350
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
Diagramma della fase
Re
Im
percorsoall'infinito
j0j!1
j!2
j!3
-j!1
-j!2
-j!3
+1
Percorso di Nyquist
F (s) =10(1− s)
(s+ 1)2(s+ 10)=
1
(s+ 1)2(s/10 + 1)
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 8
Esempio 4
−0.5 0 0.5 1−1
−0.5
0
0.5
1
← Zoom
Im
Re
Diagramma di Nyquist esatto
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Zoom
Im
Re
Dettaglio del diagramma di Nyquist
Re
Im
= 0!-1
=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
Versione esatta e “manuale”del diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 9
Esempio 5
10−2
10−1
100
101
102
103
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
EsattoApprox
Diagramma del modulo in dB
10−2
10−1
100
101
102
103
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
EsattoApprox
Diagramma della fase
F (s) =100
s(s+ 10)2=
1
s(s/10 + 1)2
• presenza di un polo in s = 0 di molteplicita m = 1 nella F (s) del sistema ad anelloaperto
• il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all’infinito in senso orario nelpassaggio da ω = 0− a ω = 0+
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 10
Esempio 5
Re
Im
percorsoall'infinito
0
= 0!
-
= 0!
++1
Percorso di Nyquist
Re
Im
= 0!
+
= 0!
-
-1
=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
−0.5 0 0.5 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
← Zoom
Im
Re
Diagramma di Nyquist esatto
−0.2 −0.1 0 0.1
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3Zoom
Im
Re
Dettaglio del diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 11
Esempio 6
10−2
10−1
100
101
102
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−2
10−1
100
101
102
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
EsattoApprox
Diagramma della fase
F (s) =1
(s+ 1)(s2 + 1)
• presenza di una coppia di poli in s = ±j di molteplicita m = 1 nella F (s) del sistemaad anello aperto
• il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all’infinito in senso orario in cor-rispondenza sia al passaggio da ω = −1− a ω = −1+ che da ω = 1− a ω = 1+
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 12
Esempio 6
Re
Im
percorsoall'infinito
0
= -1!+
= 1!+
= 1!-
= -1!-
-j
j
+1
Percorso di Nyquist
Re
Im
= 1!-
-1= 0!
= 1!
+
= -1!
+
= -1!-
=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 13
Esempio 7
10−2
10−1
100
101
102
103
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
Diagramma del modulo in dB
10−2
10−1
100
101
102
103
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
EsattoApprox
Diagramma della fase
F (s) =s2 + 100
s(s+ 1)(s+ 10)
• presenza di un polo in s = 0 di molteplicita m = 1 nella F (s) del sistema ad anelloaperto
• il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all’infinito in senso orario nelpassaggio da ω = 0− a ω = 0+
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 14
Esempio 7
Re
Im
percorsoall'infinito
j0
s=j!
+1
Percorso di Nyquist
Re
Im
= 0!
+
= 0!
-
-1
=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
−8 −6 −4 −2 0 2 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
← ZoomIm
Re
Diagramma di Nyquist esatto
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Zoom
Im
Re
Particolare del diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 15
Esempio 8
Si richiede di studiare la stabilita del sistemaad anello chiuso rappresentato in figura alvariare del guadagno K positivo.
F (s) =s+ 1
s(s/10− 1)
Diagrammi di Bode tracciati per K = 1
10−2
10−1
100
101
102
103
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
EsattoApprox
Diagramma del modulo in dB
yu1 y1u
F(s)-
+
W(s)Sistema adanello chiuso
Sistema adanello aperto
K
10−2
10−1
100
101
102
103
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
−π
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
EsattoApprox
Diagramma della fase
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 16
Esempio 8
Come evidenziato dai diagrammi di Bode tracciati per K = 1, alla pulsazione per la quale lafase vale −180◦ il modulo vale 1 (o 0 dB); pertanto il corrispondente diagramma di Nyquistpassera esattamente per il punto di coordinate (−1,0) quando K = 1.
Re
Im
= 0!
+
= 0!
-
-1/K =! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale”
Per valutare l’effetto della variazione del guadagno Kpositivo sul diagramma di Nyquist, si puo o
• traslare il diagramma del modulo (in dB) della quan-tita KdB e riportare tali variazioni sul diagramma diNyquist mantenendo la scala costante;
• o, equivalentemente, variare la scala e parametrizzare laposizione del punto rispetto al quale contare il numerodi giri di F (jω). Cio e possibile in quanto il numerodi giri intorno al punto (−1,0) di KF (jω) e uguale alnumero di giri di F (jω) intorno al punto (−1/K,0).
Pertanto per
• 0 < K < 1 si ha N = −1 6= P = 1, il sistema ad anello chiuso e instabile
• K = 1, N non e definito e il sistema ad anello chiuso non e stabile asintoticamente (ilcriterio di Routh applicato al denominatore della funzione di trasferimento del sistemaad anello chiuso dimostra che si ha stabilita semplice).
• K > 1 si ha N = +1 = P = 1, il sistema ad anello chiuso e stabile asintoticamente.
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 17
Esempio 9
10−2
10−1
100
101
102
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/s)
Mo
du
lo (
dB
)
F
1F
2
Diagrammi del modulo in dB
F1(s) =1
s(s+ 1)
F2(s) =1
s5(s+ 1)10
−210
−110
010
110
2−600
−500
−400
−300
−200
−100
0
Fa
se (
de
g)
Pulsazione (rad/s)
F
1F
2
Diagrammi della fase
Re
Im
= 0!
+
= 0!
-
-1=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale” di F1(s)N = 0
Re
Im
= 0!
+
= 0!
-
-1=! -1
=! +1
Diagramma di Nyquist “manuale” di F2(s)N = −2
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 18
Harry Nyquist
Harry Nyquist
Harry Nyquist, nato a Nilsby (Svezia) il 7 Febbraio 1889, emorto a Harlingen (Texas, USA) il 4 Aprile 1976. Nyquistemigro negli Stati Uniti nel 1907 e conseguı il dottorato diricerca nel 1917 all’Universita di Yale. Fu immediatamenteassunto dalla A.T.&T. Company e lavoro sia alla sezioneRicerca e Sviluppo sia ai Bell Laboratories. I suoi contributispaziano dalla Teoria delle Telecomunicazioni alla Teoria delControllo. Nella Teoria del Controllo, il contributo piu noto eil Teorema di Nyquist sulla stabilita dei sistemi a retroazione.
Fondamenti di Automatica – Diagrammi di Nyquist 19
