Embed Size (px)
Citation preview
1
TRİGONOMETRİ-3
A. Üçgende Trigonometrik Bağıntılar 1. Sinüs Teoremi Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüslerinin oranı sabittir. Bu oran, üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a,b,c ve çevrel çemberinin yarıçapı r birim olmak üzere,
r2Csin
c
Bsin
b
Asin
a dir.
Bu bağıntıya sinüs teoremi denir. Şimdi bu bağıntıyı ispatlayalım. İspat’ı dar açılı üçgen için yapacağız. Diğer üçgen çeşitleri için benzer şekilde yapılabilir. İspat:
Yandaki şekle göre; ABD dik üçgeninde,
c
bh
Asin dir.
Asin.cb
h dir
CBD dik üçgeninde, a
bh
Csin dir.
Csin.ab
h dir.
O halde Asin.cCsin.a olup Csin
c
Asin
a …(1) elde
edilir. Benzer şekilde;
AHC dik üçgeninde, b
ah
Csin dir.
Csin.ba
h dir.
ABH dik üçgeninde, cah
Bsin dir.
Bsin.ca
h dir.
O halde Bsin.cCsin.b olup
Bsin
b
Csin
c …(2) elde edilir.
Bu (1) ve (2) eşitliklerinden,
Csin
c
Bsin
b
Asin
a …(3) elde edilir.
Şimdi ABC üçgeninin çevrel çemberini çizelim.
O merkez r yarıçaplı çember, ABC üçgeninin çevrel çemberidir.
CBD açısı çapı gören çevre açı
olduğundan o90CBDm dir.
Aynı yayı göre çevre açıların ölçüleri eşit olduğundan
CABmCDBm dir.
BDC dik üçgeninde
Bsin
br2
r2
bBsin
Csin
cr2
r2
cCsin bulunur.
Bu değerlerle birlikte (3) eşitliği,
r2Csin
c
Bsin
b
Asin
a olur.
2
Örnek:
Bir ABC üçgeninde o60Am ve 6BC birim olduğuna
göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının uzunluğu kaçtır? Çözüm:
r2Csin
c
Bsin
b
Asin
a bağıntısından
3232
12rr2
2
3
6r2
o60sin
6 bulunur.
Örnek:
Bir ABC üçgeninde o90CmBm , 3AB ve
4AC birim olduğuna göre, Ccot kaçtır?
Çözüm:
Csin
c
Bsin
b
Csin
3
Co
90sin
4
Csin
3
Ccos
4
3
4Ctan
3
4
Csin
Ccos bulunur.
2. Kosinüs Teoremi Bir üçgenin kenar uzunlukları biliniyorsa bu üçgenin herhangi bir açısının ölçüsünü bulmak; ya da iki kenar uzunluğu ile bunlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa diğer kenarının uzunluğunu bulmak için kosinüs teoreminden yararlanılır. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,c olmak üzere
Acos.c.b.22
c2
b2
a
Bcos.c.a.22
c2
a2
b
Ccos.b.a.22
b2
a2
c dir.
Bu bağıntıya kosinüs teoremi denir.
Şimdi bu bağıntılardan Acos.c.b.22
c2
b2
a yı
ispatlayalım. Diğerleri benzer şekilde ispatlanır. İspat:
Şekildeki ABC üçgeninin düzlemine dik koordinat sistemini
yerleştirelim. Üçgenin A köşesini başlangıç noktası, AB
kenarını da Ox ekseni olarak alalım.
0,0A , 0,cB , y,xC olsun. CCA dik üçgeninde,
Asin.byb
yAsin
Acos.bxb
xAcos
olup,
Asin.b,Acos.bCy,xC elde edilir.
BC'
C dik üçgenine pisagor teoremi uygulanırsa,
2CC
2BC
2CB
20Asin.b2
cAcos.b2
CB
A2
sin.2
b2
cAcos.c.b2A2
cos.2
b2
a
3
Acos.c.b22
cA2
sinA2
cos.2
b2
a
Acos.c.b22
c2
b2
a elde edilmiş olur.
Böylece teorem ispatlanmış olur.
o90Am olması durumunda 0
o90cos olduğundan,
kosinüs teoreminin ifadesi 2
c2
b2
a ye dönüşür.
Bu, pisagor teoreminin ifadesidir. Yukarıdaki eşitliklerden
.c.b2
2a
2c
2b
Acos
.c.a2
2b
2c
2a
Bcos
b.a.2
2c
2b
2a
Ccos
yazılır.
Örnek:
Kenarlarını uzunlukları 72a , 4b , 6c olan ABC
üçgeninin A açısının ölçüsünü bulalım Çözüm:
6.4.2
272
26
24
.c.b2
2a
2c
2b
Acos
2
1
48
24
48
283616
3
Am2
1Acos
bulunur.
Örnek:
ABC dik üçgeninde
o90Am
3ABCD birim
olduğuna göre xcos değeri kaçtır?
Çözüm:
Kosinüs teoremi yardımıyla çözelim: DAB ve CAB dik üçgenlerinde pisagor bağıntısı uygulanarak,
13BD , 34BC bulunur.
BCD üçgenine kosinüs teoremi uygulanırsa,
13.34.2
32
132
34
BC.BD.2
2CD
2BC
2BD
xcos
442
19
442.2
31334xcos
bulunur.
Örnek:
Bir ABC üçgeninin kenarları arasında c.b2
c2
b2
a
bağıntısı varsa A açısının ölçüsü kaç derecedir? Çözüm:
Herhangi bir üçgende Acos.c.b.22
c2
b2
a bağıntısı
olduğuna göre
c.b2
c2
b2
a ve Acos.c.b.22
c2
b2
a
bağıntısının ortak çözümünü araştıralım;
c.b2
c2
bAcos.c.b.22
c2
b
3
2Am
2
1Acos1Acos2
bulunur.
4
Örnek:
Yandaki şekilde ABCD
dikdörtgen ve AC
köşegendir. AC köşegeninin uzantısı üzerinde
3CBCE birim ise BE
kaç birimdir? Çözüm:
ADC üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa 5AC birim
bulunur.
53αcos ,
53αcosαo180cosβcos
olur. BCE üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
5
1442x
5
3.3.3.2
23
23
2x
5
512x bulunur.
Örnek:
Şekilde o90Dm ,
3CD , 4DE birim,
ADCE ve 8BE
birim olduğuna göre xAB kaç birimdir?
Çözüm:
CDE dik üçgeninde pisagor bağıntısından 5CE birim
bulunur.
ADCE ise 5AD birimdir.
235ACCDACAD birim bulunur.
358BCCEBCBE8BE tür.
Şekildeki ABC ve DCE üçgenlerine ayrı ayrı kosinüs teoremi uygulanırsa CDE dik üçgeninde
5
3Ccos tir.
ABC üçgeninde
3.2.2
2x
23
22
Ccos5
3
5
29x
5
292x
12
2x13
5
3
olur.
Örnek:
Yandaki şekilde A,b,c noktaları doğrusal olduğu gibi, D,B,E noktaları da doğrusaldır.
6AB , 2BC
4CD , 3DB ,
5BE birim olduğuna göre xAE kaç birimdir?
Çözüm: BCD üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa,
Bcos.BC.BD.22
BC2
BD2
DC
4
1BcosBcos.2.3.2
22
23
24 bulunur.
ABE üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa,
Bcos.EB.AB.22
EB2
AB2
AE
5
7615614
1.5.6.2
25
26
2x
76x bulunur.
Örnek:
ABCD kirişler dörtgenidir.
3AD , 3AB
2BC , 4CD birim olduğuna
göre DCBcos kaçtır?
Çözüm:
Kirişler dörtgeninde, karşılıklı açılar bütünlerdir.
Yani 0180CmAm ise
Cm0
180Am dir.
Buna göre, CcosCo
180cosAcos dir.
B ve D noktalarını birleştirerek, ABD ve BCD üçgenlerini oluşturalım. ABD üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım,
Acos.AD.AB.22
AD2
AB2
BD
Acos.3.3.22
32
32
BD
Ccos.18182
BD dir.
BCD üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım,
Ccos.DC.BC.22
DC2
BC2
BD
Ccos.4.2.22
42
2Ccos.1818
Ccos.1620Ccos.1818
17
1Ccos2Ccos.34 bulunur.
Örnek:
Kenar uzunlukları 4a , 2b , 72c olan bir üçgenin
iç açılarından kosinüsü en küçük olanın ölçüsü kaç derecedir? Çözüm: Kenar uzunlukları verilen kenar uzunlukları arasındaki bağıntı c > a > b dir. Bir üçgende en büyük iç açı, en uzun kenar karşısında bulunur.
o180,
o0 aralığında açının değeri büyüdükçe kosinüsü
küçülür. Bu durumda bizden istenen ölçüsü en büyük olan
açının kosinüsüdür. Buna göre, Ccos yi bulmalıyız.
ABC üçgenine kosinüs teoremini uygulayalım.
Ccos.AC.BC.22
AC2
BC2
AB
Ccos.2.4.22
22
42
72
2
1CcosCcos.162028
o120Cm bulunur.
B. Üçgenin Alan Formülleri 1. İki Kenar Uzunluğu ve Bu Kenarlar Arasındaki Açısı
Bilinen Üçgenin Alanını Bulma Bir üçgenin alanı, üçgenin iki kenarının uzunluğu ile bu kenarların oluşturduğu açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
Bsin.c.a
2
Csin.b.a
2
Asin.c.bABCA
6
İspat:
ABCH çizelim. ABC
üçgeninin alanı,
2
ch.c
ABCA dir.
Diğer yandan, BHC dik üçgeninde,
Bsin.ac
ha
ch
BC
HCBsin elde edilir.
Bsin.ac
h değerini 2
ch.c
ABCA eşitliğinde yazarsak,
2
Bsin.c.a.
2
Bsin.a.cABCA bulunur.
Diğer eşitlikler benzer şekilde ispatlanabilir. Örnek:
Bir ABC üçgeninde o150Am , 4b ve 2c birim
olduğuna göre ABCA kaçtır?
Çözüm:
22
o150sin2.4
2
Asin.c.bABCA bulunur.
Örnek:
Yandaki ABC üçgeninde,
8BC , 5AB ve
o60Am olduğuna göre ABCA yi, AC uzunluğunu
ve Csin yi bulunuz.
Çözüm:
3102
2
3.5.8
2
Bsin.c.a.ABCA bulunur.
Kosinüs teoreminden,
2
1.5.8.2
25
28Bcos.c.a.2
2c
2a
2b
7b494025642
b bulunur.
Sinüs teoreminden,
Csin
5
2
3
7
Csin
c
Bsin
b
14
35Csin35Csin.14 bulunur.
2. Kenar Uzunlukları ve Çevrel Çemberinin Yarıçapı
Verilen Bir Üçgenin Alanı Kenar uzunlukları a,b,c ve çevrel çemberinin yarıçapı r olan ABC üçgeninin alanı
r4
c.b.aABCA dir.
İspat:
ABC üçgeninin alanının 2
Asin.c.bABCA olduğunu daha
önce ispatlamıştık.
Sinüs teoreminden r2Asin
a dir.
Buradan
r2
aAsinr2
Asin
a bulunur.
Bulunan bu değer 2
Asin.c.bABCA eşitliğinde yerine
yazılırsa,
r4
c.b.a
2
r2
a.c.b
2
Asin.c.bABCA bulunur.
7
3. Üç Kenar Uzunluğu Verilmiş Olan Bir Üçgenin
Alanını Bulma Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b,c olsun.
2cbau olmak üzere ABC üçgeninin alanı
)cu).(bu).(au.(uABCA dir.
İspat:
u2cba2cbau dur.
A2
cos1A2
sin1A2
cosA2
sin …(1)
Kosinüs teoreminden, .c.b2
2a
2c
2b
Acos
dir.
Acos nın bu değerini (1) eşitliğinde yerine yazarsak,
2
.c.b2
2a
2c
2b
1A2
sin
2
c.2
b4
22a
2c
2b
2bc2
A2
sin
2
c.2
b4
2a
2c
2bbc2
2a
2c
2bbc2
A2
sin
2c.
2b4
2cb
2a
2a
2cb
A2
sin
2
c.2
b4
cba.cba.acb.acbA
2sin
2
c.2
b4
b2u2.c2u2.u2.a2u2A
2sin
2
c.2
b4
bu.2.cu2.u2.au2A
2sin
2
c.2
b
bu.cu.auu4A
2sin
bu.cu.auu.bc
2Asin
2
Asin.c.bABCA
2
bu.cu.auu.bc
2.c.b
ABCA
bu.cu.auuABCA elde edilir.
Böylece teorem ispatlanmış olur. Örnek: Kenar uzunlukları, 5 cm, 4 cm, ve 7 cm olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir? Çözüm:
5a , 4b , 7c ise 82
745u
dir.
647u.48.58.8ABCA dır.
Buna göre, r4
7.4.564
r4
c.b.aABCA
24
635
616
7.4.5r
bulunur. Çözümlü Sorular
3. 3arctan1xcotarc olduğuna göre x kaçtır?
8
Çözüm:
3arctan1xcotarc olsun.
Bu durumda 3tan ve 1xcot dir.
Buna göre,
11x.3cot.tan dir.
3
4x
3
11x bulunur.
2.
DCAD , BDAB
4AD , 3DCAB
olduğuna göre BCD üçgeninin alanı kaç birim karedir? Çözüm:
ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulandığında,
7DB bulunur.
xADBm ve yCDBm olsun.
o
90yx olduğundan, ysinxcos dir.
ABD dik üçgeninde,
4
7
AD
DBxcosysin tür.
CBD üçgeninin alanı,
8
21
2
4
7.3.7
2
ysin.DC.DBCBDA
bulunur.
3. xarcsin3arctan3cotarc olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
3cotarc olsun. Bu durumda 3cot tür.
Bu koşula uygun dik üçgen çizelim.
ABC dik üçgeninde
3arctan3tan dır.
Buna göre,
xarcsin3arctan3cotarc
xarcsin
1o
90sinxxarcsino
90 olur.
4. 2
xcos3xf fonksiyonunun esas periyodu kaç
radyandır? Çözüm:
d,c,b,a birer reel sayı ve m pozitif bir tam sayı olmak
üzere,
dcxm
cos.baxg
fonksiyonunun esas periyodu, m tek sayı ise c
2 idi.
x.
2
11cos3
2
xcos3xf fonksiyonunda, 1 tek
sayı olduğu için, esas periyot,
4
2
1
2 dir.
5.
Yandaki şekilde ACD ile ABE üçgenleri verilmiştir.
Verilenlere göre 2
x kaçtır?
9
Çözüm: ACD üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak,
Acos.AD.AC.22
AD2
AC2
DC
160
139AcosAcos.10.8.2
210
28
25
ABE üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak,
Acos.AE.AB.22
AE2
AB2
EB
10
612x
160
139.2.4.2
22
24
2x olur.
6.
529x2
xcotarc.4 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz. Çözüm:
529x2
xcotarc.4 ise,
4
529x
2xcotarc
29x2
x4
5cot
030x2
x29x2
x1
52
x,61
x05x.6x bulunur.
7.
Yanda verilen dikdörtgenler prizmasında
2AE , 4EB ,
3BD
olduğuna göre, BAC açısının kosinüsü kaçtır?
Çözüm:
AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,
5AC bulunur.
AEB dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,
52AB bulunur.
BDC dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,
13BC bulunur.
BAC üçgenine kosinüs teoremini uygulayalım,
Acos.AC.AB.22
AC2
AB2
BC
Acos.5.52.22
52
522
13
25
58Acos bulunur.
8. Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir ABC üçgeninde
0bc2
c2
b2
a olduğuna göre, bu üçgenin A
açısı kaç derecedir? Çözüm:
bc2
c2
b2
a0bc2
c2
b2
a olmak üzere
ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak,
Acos.c.b.22
c2
b2
a ise,
Acos.c.b.22
c2
b2
a olur.
Yukarıdaki eşitlikle bu eşitliğin ortak çözümünden,
2
1AcosAcos.c.b.2bc
o60Am
2
1Acos bulunur.
10
9. o
90xo
0 olmak üzere xsinxtanf olduğuna
göre xf i bulunuz?
Çözüm:
xarctan olsun.
Bu durumda xtan olur.
Bu koşula uygun dik üçgeni çizelim.
12
x
x
AC
BCsin
Buna göre,
xarctansinxarctantanf
sinxarctansinxf
1
2x
xsinxf
bulunur.
10. Aşağıdaki şekilde, FACD bir eşkenar dörtgendir.
o150Cm
3EC , 2DE
2GA , xEG olduğuna
göre 2
x kaçtır? Çözüm: Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir. Paralel
kenarın karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. KA//EG
çizelim. Bu durumda 2GAEK birim olur.
3EC birim, 2EK
birim ise,
1KC birim olur.
KAC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım.
Ccos.CA.KC.22
CA2
KC2
KA
o150cos.5.1.2
25
21
2x
2
3.10251
2x
35262
x bulunur.
11.
4
2x3arccosxf fonksiyonunun en geniş tanım
aralığında kaç farklı tamsayı vardır? Çözüm:
,01,1:arccos olduğu için xarccos in tanım aralığı
1,1 dir.
Buna göre,
4
2x3arccosxf ise 1,1
4
2x3
dir.
Bu durumda,
42x3414
2x31
6x322x3
2 dir.
Bu aralıktaki tamsayılar 0,1,2 olup üç tanedir.
11
12. bx2cos1
x2sin.axf
fonksiyonunun grafiği
2,
2
3 ve
2,
4 noktalarından geçtiğine göre
a.b çarpımı kaçtır? Çözüm:
bx2cos1
x2sin.axf
fonksiyonunun grafiği
2,
2
3 ve
2,
4 noktalarından geçtiğine göre
22
3f
ve 2
4f
dir.
2b
2
3.2cos1
2
3.2sin
.a22
3f
2b2b11
0.a
bulunur.
2b
4.2cos1
4.2sin
.a24
f
22a2201
1.a
bulunur.
2222.22b.a bulunur.
C. İki Yay Toplamının Veya Farkının Trigonometrik
Oranları 1. a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere
bcos.asinbsin.acosbacos dir.
İspat:
Birim çember üzerinde a, b ve a+b sayılarına karşılık gelen noktalar sırasıyla P,Q ve R olsun.
0,1A , asin,acosP , bsin,bcosQ ve
basin,bacosR dir.
Şimdi 2
AR yi hesaplayalım:
2basin02
bacos12
AR
ba2
sinba2
cosbacos.212
AR
1bacos.212
AR
bacos.222
AR olur.
Orjin yine O noktasında olmak üzere OP ışını xO ekseni
olacak şekilde yeni bir yOx dik koordinat sistemini seçelim.
Bu koordinat sistemine göre,
A noktası asin,acosasin,acosA
P noktası 0,1P
R noktası bsin,bcosR olur. Bu koordinat sisteminde
2
AR yi hesaplayalım:
12
2bsinasin2
bcosacos2
AR
b2
sinbsin.asin.2
a2
sin b2
cosbcos.acos.2a2
cos
bsin.asinbcos.acos.2
b2
sinb2
cosa2
sina2
cos
bsin.asinbcos.acos.22 olur.
AR her iki koordinat sisteminde de aynı olduğundan,
bsin.asinbcos.acos.22bacos.22 olur.
Buradan da Rb,a için,
bcos.asinbsin.acosbacos bulunur.
Bu bağıntıdan yararlanarak bacos yi de şöyle
hesaplarız:
bacosbacos dir.
bcos.asinbsin.acosbacos
bsin.asinbcos.acosbacos bulunur.
2. a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere
bsin.acosbcos.asinbasin dir.
İspat:
ba
2cosba
2cosbasin
bsin.a2
sinbcos.a2
cos
olur.
Buradan,
bsin.acosbcos.asinbasin bulunur.
Bu bağıntıdan yararlanarak basin yi de şöyle
hesaplarız:
basinbasin dir.
bsin.acosbcos.asinbasin
bsin.acosbcos.asinbasin
O halde,
bsin.acosbcos.asinbasin dir.
Örnek:
o15sin nin değerini bulalım.
Çözüm:
o30
o45sin
o15sin dir.
o30sin.
o45cos
o30cos.
o45sin
o30
o45sin
4
26
2
1.
2
2
2
3.
2
2
Örnek:
3
2
o20sin.
o60tan
o10sin
010cos.
o30tan
olduğunu gösterelim.
Çözüm:
xo20sin.
o60tan
o10sin
010cos.
o30tan
olsun.
o20sin.
o60tan
o10sin
010cos.
o30cos
o30sin
x
o20sin.
o60tan.
o30cos
o10sin
o30cos
010cos.
o30sin
x
13
o
20sin.3.2
3
o20sin
o20sin.3.
2
3
010
o30sin
x
3
2x bulunur.
Örnek:
5
2arcsin
5
1arcsin ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
5
1xsin
5
1arcsinx tir.
5
2ysin
5
2arcsiny tir.
Bu iki duruma uygun dik üçgen çizilirse veya
1b2
cosa2
sin bağıntısından,
5
2xcos ve
5
1ycos bulunur.
ysin.xcosycos.xsinyxsin
15
5
5
2.
5
2
5
1.
5
1
2
yx1yxsin
dir.
2yx
5
2arcsin
5
1arcsin
bulunur.
Örnek:
o15cos
o45cos
o15sin
o45sin
ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
o15cos
o45cos
o15sin
o45sin
o
15cos.o
15sin
o15sin.
o45cos
o15cos.
o45sin
o
15cos.o
15sin
o30sin
o15cos.
o15sin
o15
o45sin
o
15cos.o
15sin
o15
o15sin
o15cos.
o15sin
o15cos.
o15sin
o15cos.
o15sin
2o
15cos.o
15sin
o15cos.
o15sin.2
bulunur.
Örnek:
12
5sin
nin değerini bulalım.
Çözüm:
6412
5
dır. Buna göre,
64sin
12
5sin
6sin.
4cos
6cos.
4sin
64sin
4
26
2
1.
2
2
2
3.
2
2
64sin
Örnek: Bir üçgenin iç açılarının ölçüsü x,y,z olmak üzere
ysin.xsinycos.xcos işleminin sonucunun z türünden
değerini bulunuz.
14
Çözüm:
zo
180yxo
180zyx dir.
Buna göre,
yxcosysin.xsinycos.xcos
zcoszo
180cos dir.
Kural
Rb,a olmak üzere xcos.bxsin.aK ifadesinin
alabileceği en büyük değer 2
b2
a ve en küçük değer
2b
2a dir.
Bu kuralın doğruluğunu K nin her tarafı a ile bölünüp,
cos
sintan
a
b dönüşümü yapıldıktan sonra toplam
formülü uygulanarak gösterilebilir. Örnek:
xcos.4xsin.3 ifadesinin alabileceği en büyük değer
kaçtır? Çözüm: Verilen ifadenin en büyük değeri,
5252
42
3 tir.
Cevabını bulduğumuz soru ile “ ycos.4xsin.3 ifadesinin
alabileceği en büyük değer kaçtır?” sorusunu birbirine
karıştırmamak gerekir. ycos.4xsin.3 ifadesinin
alabileceği en büyük değer,
o90x ,
o0y için, 3 + 4 = 7 dir.
Halbuki xcos.4xsin.3 ifadesinin alabileceği en büyük
değer 5 tir.
Örnek:
xcos.4xsin.3 ifadesinin alabileceği en küçük değer,
5252
42
3 tir.
Örnek:
xcos.4xsin.2 ifadesinin alabileceği en büyük değer,
52202
42
2 tir.
3. a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere
btan.atan1
btanatanbatan
dir.
İspat:
bacos
basinbatan
dir.
bsin.asinbcos.acos
bsin.acosbcos.asinbatan
olup pay ve paydayı bcos.acos ye bölersek.
btan.atan1
btanatan
bcos.acos
bsin.asin1
bcos
bsin
acos
asin
batan
bulunur.
Bulunan bu bağıntıda b yerine –b yazırsa,
btan.atan1
btanatanbatan
btan.atan1
btanatanbatan
elde edilir.
15
Sonuç
bsin.acosbcos.asinbasin
bsin.acosbcos.asinbasin
bcos.asinbsin.acosbacos
bsin.asinbcos.acosbacos
btan.atan1
btanatanbatan
btan.atan1
btanatanbatan
Örnek:
xo
45tan ifadesinin xtan türünden eşitini bulunuz.
Çözüm:
1o
45tan olmak üzere,
xtan1
xtan1
xtan.o
45tan1
xtano
45tanx
o45tan
olur.
Örnek:
o75tan nin değerini bulalım.
Çözüm:
o30
o45
o75 olup,
o
30tan.o
45tan1
o30tan
o45tano
30o
45tano
75tan
3233
3.
3
33
3
3.11
3
31
o75tan
bulunur.
Örnek: Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri, A,B,C dir.
Ctan.Btan.Atan
CtanBtanAtan ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözüm:
xtanxo
180tan
tir. ABC üçgeninde,
o180CmBmAm dir.
Cmo
180BmAm
BAtan yi Co
180tan ye eşitleyerek sonucu bulalım.
Co
180tanBAtan
CtanBtan.Atan1
BtanAtan
Ctan.Btan.AtanCtanBtanAtan
Ctan.Btan.AtanCtanBtanAtan
1Ctan.Btan.Atan
CtanBtanAtan
bulunur.
Örnek:
xo
70tan olmak üzere, o
40cot yi x türünden bulunuz.
Çözüm:
Toplamları o
90 olan iki açıdan birinin tanjantı diğerinin
kotanjantına eşittir.
o50tan
o40cot ,
o70cot
o20tan ve
1o
70cot.o
70tan dir.
Buna göre,
o20
o70tan
o50tan
o40cot
16
o70cot.
o70tan1
o70cot
o70tan
o20tan.
o70tan1
o20tan
o70tano
40cot
2
x
1x
2
o70tan
1o70tan
o40cot
x2
12
xo40cot
bulunur.
Örnek:
axtan olmak üzere, xo
135cot ifadesini a türünden
bulunuz. Çözüm:
Önce xo
135tan in eşitini bulalım.
xtan.
o135tan1
xtano
135tanx
o135tan
a1
a1
xtan1
xtan1x
o135tan
1a
a1x
o135tan
olur.
Buna göre,
1a
a1
1
xo
135tan
1x
o135cot
1a
1ax
o135cot
bulunur.
Örnek:
Yandaki şekilde ABCD bir karedir.
ECDE olduğuna göre
EACcot kaçtır?
Çözüm:
ABCD kare olduğu için AC
köşegendir. Ve o45DACcot
dir.
xcotEACcot
yo
45xo
45yx
yo
45cotxcotEACcot dir.
ytan.
o45tan1
ytano
45tany
o45tan
DA
DE1
DA
DE1
ytan1
ytan1y
o45tan
3
1
2
11
2
11
yo
45tan
dir.
Buna göre,
3
3
1
1y
o45cotEACcot tür.
17
D. Yarım Açı Formülleri Burada, herhangi bir reel sayının trigonometrik değerini, bu sayının yarısının trigonometrik değeri cinsinden veren bağıntıları toplam formüllerinden yararlanarak bulacağız. Bir önceki bölümde elde ettiğimiz formüller yardımıyla
ba ifadesinde b yerine a yazarak a2cos , a2sin ,
a2tan formüllerini elde edelim;
1. bsin.acosbcos.asinbasin ise b yerine a
yazarsak,
asin.acosacos.asinaasin
acos.asin.2a2sin elde edilir.
2. a2
sin1a2
cos1a2
cosa2
sin olduğunu
biliyoruz.
asin.asinacos.acosaacosa2cos
a2
sina2
sin1a2
sina2
cosa2cos
a2
sin.21a2cos veya bunun eşiti olan,
a2
sina2
cosa2
sina2
sin1a2cos
a2
sina2
cosa2
sina2
sin1a2cos bulunur.
3. atan.atan1
atanatanaatana2tan
a2
tan1
atan.2a2tan
bulunur.
4. acotacot
1acot.acotaacota2cot
acot.2
1a2
cota2cot
bulunur.
Sonuç Yarım açı formülleri, acos.asin.2a2sin
a2
sin.21a2cos
a2
sina2
cosa2
sina2
sin1a2cos
a2
tan1
atan.2a2tan
acot.2
1a2
cota2cot
dır.
Örnek:
xcos.2
x2sin ifadesinin en sade halini bulalım.
Çözüm:
Pay ve paydayı xsin ile çarpalım,
xsinx2sin
xsin.x2sin
xsin.xcos.2
xsin.x2sin bulunur.
Örnek:
8cos.
8sin
çarpımını bulalım.
Çözüm:
2
x2sinxcos.xsinxcos.xsin.2x2sin dir.
4
2
2
2
2
2
4sin
2
8.2sin
8cos.
8sin
tür.
Örnek:
o15
4sin
o15
4cos ifadesinin sonucu kaçtır?
18
Çözüm:
2o15
2sin
2o
152
coso
154
sino
154
cos
o15
2sin
o15
2cos.
o15
2sin
o15
2cos
o15
2sin
o15
2cos
o15
2sin
o15
2cos
o30cos
o15.2cos
o15
2sin
o15
2cos
2
3 bulunur.
Örnek:
8tan
ifadesinin sonucun bulalım.
1.Çözüm:
x8
tan
olsun.
8
2tan1
8tan.2
18
.2tan4
tan
01x22
x2
x1
x.21
olur.
Bu denklemin köklerini bulalım;
081.1.42
2c.a.42
b
0212
82
a2
b
1x
ve
0212
82
a2
b
2x
dir.
08
tan
olduğundan 2x kök olamaz.
O halde
218
tan
dir.
2.Çözüm:
o45
4
ve
o5,22
8
dir.
Dik kenar uzunlukları 1 er birim olan bir DBC dik üçgeni
çizelim: BD pisagor teoreminden 2 birim bulunur.
CA doğru parçasında
1BC ve 2AB birim
olsun.
2BD birim olduğu için, ABD ikizkenar üçgendir.
İkizkenar üçgenin iki açısının ölçüsü birbirine eşittir.
BDAmDABm …(1)
Üçgenin bir dış açısının ölçüsü, bu açıya komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
BDAmDABmDBCm
DABmDABmo
45
DABm.2o
45 dir.
o5,22DABm dir.
ACD dik üçgeninde A açısının tanjantını bulalım.
2121
1
CA
DC
8tanDCAtan
bulunmuş
olur.
19
E. Dönüşüm Ve Ters Dönüşüm Formülleri Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir. I. Dönüşüm Formülleri a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere
a)
2
bacos.
2
bacos.2bcosacos dir.
b)
2
basin.
2
basin.2bcosacos dir.
c)
2
bacos.
2
basin.2bsinasin dir.
d)
2
basin.
2
bacos.2bsinasin dir.
İspat: Toplam ve fark formüllerinden,
a) qcos.psinqsin.pcosqpcos
qsin.psinqcos.pcosqpcos
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
qcos.pcos2qpcosqpcos …(1) elde edilir.
bqp
aqp eşitliklerinden,
2
bap
,
2
baq
bulunur.
Bu değerler (1) eşitliğinde yerine yazılırsa,
2
bacos.
2
bacos.2bcosacos bulunur.
b) qcos.psinqsin.pcosqpcos
qsin.psinqcos.pcosqpcos
eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa,
qsin.psin2qpcosqpcos elde edilir.
2
bap
ve
2
baq
değerleri bu eşitlikte
yerine yazılırsa,
2
basin.
2
basin.2bcosacos bulunur.
c) qsin.pcosqcos.psinqpsin
qsin.pcosqcos.psinqpsin
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
qcos.psin2qpsinqpsin elde edilir.
2
bap
ve
2
baq
değerleri bu eşitlikte
yerine yazılırsa,
2
bacos.
2
basin.2bsinasin bulunur.
d) Son eşitlikte b yerine –b yazılırsa,
2
bacos.
2
basin.2bsinasin
2
bacos.
2
basin.2sinasin elde edilir.
Böylece teorem ispatlanmış olur.
20
Örnek:
12x
ise,
xsinx5sin
x3cosx5cos
ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
2
x3x5cos.
2
x3x5sin.2
2
x3x5cos.
2
x3x5cos.2
xsinx5sin
x3cosx5cos
12
4cotx4cot
xcos.x4sin.2
xcos.x4cos.2
3
3o60cot
xsinx5sin
x3cosx5cos
bulunur.
Örnek:
o150sin
o10cos
o20sin
o130cos ifadesinin değerini
bulalım. Çözüm:
xo
150sino
10coso
20sino
130cos olsun.
o20sin
o150sin
o10cos
o130cosx
o
20sin2
1o
2
o10
o130
cos.2
o10
o130
cos.2
o
20sin2
1o60cos.
o70cos.2
o
20sin2
1
2
1.
o20sin.2
2
1o20sin
2
1o20sin bulunur.
Örnek:
2.xo
25cos olmak üzere o
70coso
70sin ifadesinin x
türünden değeri nedir?
Çözüm:
Toplamı o
90 olan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin
kosinüsüne eşit olduğu için o
20sino
70cos dir.
Verilen ifadedeki o
70cos yerine o
20sin yi yazıp sonra da
dönüşüm formülünü uygulayalım.
o20sin
o70sin
o70cos
o70sin
2
o20
o70
cos.2
o20
o70
sin.2
o
25cos.o
45sin.2
x22.x.2
2.2 bulunur.
Örnek:
o15cos
o105cos işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
o15cos
o105cos
o15cos
o105cos
2
o15
o105
cos.2
o15
o105
cos.2
o
45cos.o
60cos.2
2
1
2
2.
2
1.2 bulunur.
Örnek:
o36sec
o18eccos ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Toplamı o
90 olan iki açıdan birinin sekantı diğerinin
kosekantına eşit olduğu için o
54eccoso
36sec dir.
21
Buna göre,
o54eccos
o18eccos
o36sec
o18eccos
o54sin
1
o18sin
1
o18sin.
o54sin
o18sin
o54sin
o18sin.
o54sin
2
o18
o54
cos.2
o18
o54
sin.2
2o
54sin
o36cos.2
o18sin.
o54sin
o36cos.
o18sin.2
bulunur. Örnek:
o50cos
o30cos
o10cos
o50sin
o30sin
o10sin
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
o50sin
o10sin
2
o50
o10
cos.2
o50
o10
sin.2
o
20cos.o
30sin.2)o
20cos(.o
30sin.2
o50cos
o10cos
2
o50
o10
cos.2
o50
o10
cos.2
o
20cos.o
30cos.2)o
20cos(.o
30cos.2
Buna göre,
o50cos
o30cos
o10cos
o50sin
o30sin
o10sin
o30cos
o20cos.
o30cos.2
o30sin
o20cos.
o30sin.2
)o
30coso
20cos.2.(o
30cos
)1o
20cos.2.(o
30sin
3
3o30tan bulunur.
Sonuç
bcos.acos
basinbtanatan
bcos.acos
basinbtanatan
bsin.asin
basinbcotacot
bsin.asin
absinbcotacot
Örnek:
o15tan
o75tan ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
o15cos
o15sin
o75cos
o75sino
15tano
75tan
o
75coso
15cos
o15sin.
o75cos
o15cos.
o75sin
015.2sin.
2
1
o90sin
o15sin.
o15cos
o15
o75sin
4
4
1
1
2
o30sin
o90sin
bulunur.
22
Örnek:
acot2
acot ifadesinin eşiti olan ifadeyi bulalım.
Çözüm:
asin
acos
2
asin
2
acos
acot2
acot
2
asin.asin
2
aasin
2
asin.asin
2
asin.acos
2
acos.asin
ecacos
2
asin.asin
2
asin
Kural
2
yxtan
ycos2
yxcosxcos
ysin2
yxsinxsin
dir.
2
yxcot
ysin2
yxsinxsin
ycos2
yxcosxcos
dir.
Örnek:
x7cosx4cosxcos
x7sinx4sinxsin
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
x7cosx4cosxcos
x7sinx4sinxsin
x7cos2
x7xcosxcos
x7sin2
x7xsinxsin
x4tan2
x7xtan
tir.
Örnek:
o21sin
o13sin
o5sin
o21cos
o13cos
o5cos
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm: 5,13,21 sayılarının ardışık terimleri arasındaki fark sabittir.
Aynı zamanda, 132
215
tür.
Bu durumda,
o21sin
o13sin
o5sin
o21cos
o13cos
o5cos
o21sin
2
o21
o5
sino
5sin
o21cos
2
o21
o5
coso
5cos
o13cot
2
o21
o5
cot
tür.
Örnek:
x13cosx9cosx5cosxcos
x13sinx9sinx5sinxsin
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm: Yukarıdaki örneği genelleştirebiliriz: Yukarıdaki örnekteki gibi; pay ve payda ardışık iki terimin açılarının artış miktarının sabit olduğu dizilimlerde ilk terimin açı değeri ile son terimin açı değerinin ortalaması (toplamın yarısı) sonucun açı değerini verir. Kesrin payındaki terimler sinüslü, paydasındaki terimler de kosinüslü ise sonuç tanjantlıdır. Eğer kesrin payındaki terim kosinüslü, paydasındaki terimler de sinüslü ise sonuç kotanjantlıdır. x, 5x, 9x, 13x te ardışık iki terimin farkı sabit olduğu için yukarıdaki anlatılanlara göre,
23
x13cosx9cosx5cosxcos
x13sinx9sinx5sinxsin
2
x13xcos
2
x13xsin
x7tan2
x13xtan
olur.
Örnek:
xcos.x3cos.x5sin
x9sinx7sinx3sinxsin ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
2
x9xcos.
2
x9xsin.2x9sinxsin
x4cos.x5sin.2x4cos.x5sin.2 …(1)
2
x7x3cos.
2
x7x3sin.2x7sinx3sin
x2cos.x5sin.2x2cos.x5sin.2 …(2)
2
x2x4cos.
2
x2x4cos.2x2cosx4cos
xcos.x3cos.2 …(3)
xcos.x3cos.x5sin
x9sinx7sinx3sinxsin
xcos.x3cos.x5sin
x2cos.x5sin.2x4cos.x5sin.2
xcos.x3cos.x5sin
x2cosx4cos.x5sin.2
4
xcos.x3cos.x5sin
xcos.x3cos.2.x5sin.2 bulunur.
II. Ters Dönüşüm Formülleri Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller toplam ve fark formüllerinden elde edilir. a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere
a) bacosbacos.2
1bcos.acos dir.
b) bacosbacos.2
1bsin.asin dir.
c) basinbasin.2
1bcos.asin dir.
d) basinbasin.2
1bsin.acos dir.
İspat: Toplam ve fark formüllerinden,
bsin.asinbcos.acosbacos
bsin.asinbcos.acosbacos
eşitlikleri önce taraf tarafa toplanır, sonra çıkarılırsa,
bcos.acos.2bacosbacos …(1)
bsin.asin.2bacosbacos …(2) bulunur.
Buradan,
bacosbacos2
1bcos.acos ve
bacosbacos2
1bsin.asin bulunur.
Toplam ve fark formüllerinden,
bsin.acosbcos.asinbasin
bsin.acosbcos.asinbasin
24
eşitlikleri önce taraf tarafa toplanır, sonra çıkarılırsa,
bcos.sin.2basinbasin …(1)
bsin.acos.2basinbasin …(2) bulunur.
Buradan,
basinbasin2
1bcos.asin ve
basinbasin2
1bsin.acos bulunur.
Örnek:
24cos.
24
7sin
ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm:
2424
7sin
2424
7sin
2
1
24cos.
24
7sin
2
2
2
3.
2
1
4sin
3sin
2
1
4
23 olur.
Örnek:
xo
70sin ise o
35cos.o
55cos ifadesinin x türünden değeri
nedir? Çözüm:
)]o
35o
55cos()o
35o
55.[cos(2
1o35cos.
o55cos
o20cos
o90cos.
2
1
o70sin
o90cos.
2
1
2
xx0.
2
1 bulunur.
Örnek:
o40cos.
o20cos.
o60cos.
o80cos ifadesinin şitini bulunuz.
Çözüm:
o40cos
o120cos.
2
1o40cos.
o80cos
o40cos
2
1.
2
1 dir.
o40cos.
o20cos.
o60cos.
o80cos
o20cos.
o40cos
2
1
2
1.
2
1
o20cos.
o40cos.
4
1o20cos.
8
1
o20cos
o60cos
2
1.
4
1o20cos.
8
1
o20cos.
8
1o60cos.
8
1o20cos.
8
1
16
1
2
1.
8
1o60cos.
8
1 bulunur.
Örnek:
x
3sin.x
3sin.xsin.4 ifadesinin en sade halini
bulunuz. Çözüm:
bacosbacos2
1bsin.asin olduğundan,
25
x
3sin.x
3sin.xsin.4
x2cos
3
2cos.
2
1.xsin.4
x2cos.xsin.2xsinx2cos2
1.xsin.2
x2
sin.21.xsin.2xsin
x3
sin.4xsin.2xsin
x3sinx3
sin.4xsin.3 olur.
Örnek:
o75cos.
o15sin ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm:
basinbasin2
1bcos.asin olduğundan,
o60sin
o90sin.
2
1o75cos.
o15sin
o60sin
o90sin.
2
1
4
32
2
31.
2
1
bulunur.
Örnek:
9
4sin.
9
2sin.
9sin
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
9cos
3cos.
2
1
9
2sin.
9sin
9cos.
2
1
4
1
9cos
2
1.
2
1
…(1) dur.
2189
4
olduğu için
18cos
9
4sin
dir.
Buna göre,
18cos.
9
2sin.
9sin
9
4sin.
9
2sin.
9sin
18cos.
9cos.
2
1
4
1
18cos.
9cos.
2
1
18cos.
4
1
18cos
6cos
2
1.
2
1
18cos.
4
1
18cos
2
3
4
1
18cos.
4
1
18cos.
4
1
8
3
18cos.
4
1
8
3 bulunur.
Örnek:
xo
10cot olmak üzere o
40cos.o
20cos.o
10cos ifadesinin
x türünden değerini bulunuz. Çözüm: Çarpımı, ters dönüşüm formülünü kullanarak çözebiliriz. Ancak burada başka bir yöntem kullanacağız. Çözüm için sinüsün yarım açı formülünden yararlanmak için; ifadeyi
o10sin.2 ile çarpıp,
o10sin.2 ile bölelim.
o40cos.
o20cos.
o10cos
26
o10sin.2
o40cos.
o20cos.
o10cos.
o10sin.2
o10sin.2
o40cos
o20cos.
o20sin
o10sin.8
o80sin
o10sin.2
80sin2
1.
2
1
o10sin.2
o40cos.
o40sin
2
1
8
xo10cot.
8
1
o10sin.8
o10cos
bulunur.
Örnek:
3
4cos.
3
2cos.
3cos
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Bir önceki örnekte yapılan işlemleri tekrar ettirirsek, ifadeyi
3sin.2
ile çarpıp,
3sin.2
ile bölelim.
3sin.2
3
4cos.
3
2cos.
3cos.
3sin.2
3sin.2
3
4cos.
3
4sin.
2
1
3sin.2
3
4sin.
3
2cos.
3
2sin
8
1
3
2
3.
4
1
2
3.2
3
8sin.
2
1.
2
1
bulunur.
8
1
3
4sin.
3
2cos.
3cos
bulunur.
Çözümlü Sorular
1. y3x3 olmak üzere, ysinxsin
ycosxcos
ifadesinin
değerini bulunuz. Çözüm:
2
yxcos.
2
yxsin.2
2
yxsin.
2
yxsin.2
ysinxsin
ycosxcos
3
3
2
3
2
1
6cos
6sin
2
yxcos
2
yxsin
bulunur.
2.
3
2cotarc
2
1arctantan ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
2
1arctan ve
3
2cotarc olsun.
Bu durumda
2
1tan ve
3
2cot olur.
2
3tan
3
2cot dir.
Buna göre,
tan
3
2cotarc
2
1arctantan
8
4
1
2
2
3.
2
11
2
3
2
1
tan.tan1
tantan
bulunur.
27
3. xarcsin2
1tan3cotarc olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm:
3cot3cotarc tür.
2
1tan
2
1arctan dir.
Bu iki duruma uygun dik üçgenler çizilirse,
10
1sin
10
3cos
5
1sin
5
2cos bulunur.
xarcsin2
1tan3cotarc
xarcsin
sin.coscos.sinsinx
2
2
25
5
5
1.
10
3
5
2.
10
1x bulunur.
4. o
12cos
o36cos
o12sin
o36sin
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
o12cos
o36cos
o12sin
o36sin
o
12cos.o
12sin
o12sin.
o36cos
o12cos.
o36sin
2
o24sin
o24sin.2
o24sin
2
1
o12
o36sin
bulunur.
5. xo
25sin olmak üzere o
40cos ifadesinin x türünden
değerini bulunuz. Çözüm:
xo
25sin olmak üzere,
2x1
o25cos1
o25
2cos
o25
2sin dir.
Toplamı o
90 olan iki açıdan birinin kosinüsü diğerinin
sinüsüne eşit olduğu için, o
50sino
40cos dir.
Buna göre,
o25.2sin
o50sin
o40cos
2x1.x.2
o25cos.
o25sin.2 bulunur.
6. 2xtan olmak üzere x2cosx2sin in değeri kaçtır?
Çözüm:
2xtan koşuluna uyan dik üçgeni çizersek,
5
2xsin
5
5
5
1xcos
olduğuna göre,
1x2
cos.2xcos.xsin.2x2cosx2sin
5
11
5
2
5
41
5
1.2
5
1.
5
2.2 bulunur.
7. o
270x11 olmak üzere x7cos.xsin
x3cosx5cos ifadesinin
eşiti kaçtır? Çözüm:
o270x7x4
o270x11 dir.
28
Bu durumda,
x7cosx7o
270sinx4sin olur.
Buna göre,
x7cos.xsin
2
x3x5sin.
2
x3x5sin.2
x7cos.xsin
x3cosx5cos
2x7cos
x7cos.2
x7cos.xsin
x4sin.xsin.2
dir.
8. Aşağıdaki şekilde ABEK dikdörtgendir.
KH.3HE ,
CE.2BC ,
CEKH ,
BE.4AB.3 , CAHm olduğuna göre θsin kaçtır?
Çözüm: Aşağıdaki şekilde ABEK dikdörtgeninde,
1KH , 3KA
2CB , 4AB
xHAKm ,
yHACm olsun.
KH.3HE , CE.2BC , CEKH , BE.4AB.3 dir.
Buna göre,
yxcosyxo
90sinsin
ysin.xsinycos.xcos
20
2.
10
1
20
4.
10
3
2
2
210
212
bulunur.
9. o
360xo
270 olmak üzere 1xcos.3 olduğuna
göre 2
xcos kaçtır?
Çözüm:
o180
2
xo135
o360x
o270 dir.
2
x ikinci bölgede olduğu için 0
2
xcos dır.
3
1xcos1xcos.3 tür.
1x2
cos.2x2cos olduğuna göre,
1
2
2
xcos.2
3
11
2
x2cos.2xcos
6
42
2
xcos
3
41
3
12
2
xcos.2
3
6
6
2
2
xcos tür.
29
