TRIDIMENCIONATE Duración: 24 horas MÓDULO: Cualificar ......Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.

Ambiente Cualificar.

TRIDIMENCIONATE META 29

Duración: 24 horas

MÓDULO: Cualificar Matemáticas Año:2020

Meta de Aprendizaje: Analizo e interpreto situaciones del entorno o problemas de diferentes disciplinas relacionados con representaciones geométricas bidimensionales y/o tridimensionales, en los que sea posible aplicar conceptos, teoremas básicos de la geometría, nociones trigonométricas y explico alternativas de solución a problemas través de herramientas digitales permitiéndome entender el mundo físico en que habito.

Preguntas Esenciales:

• ¿Qué utilidad práctica tiene conocer el volumen de un cuerpo geométrico?

• ¿Será posible calcular el volumen de una figura geométrica plana (círculo, cuadrado, rectángulo, etc.)?

• ¿En qué aspectos hacemos uso de la semejanza y congruencia de triángulos?

• ¿Cuáles son las aplicaciones de las razones trigonométricas?

• ¿Cuáles profesiones hacen uso del teorema de Pitágoras y de Thales? y en qué aspectos?

Evidencias

• Diferenciar y clasificar los sólidos geométricos y sus características.

• Identificar y medir el área de la superficie y el volumen de los cuerpos sólidos de nuestro entorno cotidiano.

• escribe y reconoce el teorema de Pitágoras y de Thales en diferentes contextos.

• Comprende la aplicabilidad en situaciones relacionadas con distintas áreas profesionales con semejanza, congruencia de triángulos, teorema de Pitágoras y de Thales.

• Reconoce y describe las características de las razones trigonométricas en la solución de problemas.

• Diferencia las situaciones en las cuales debe hacer uso de una razón trigonométrica, a partir de sus características.

Materiales Requeridos

Colores, lápiz o marcador

• Kit geométrico escolar

• Hojas cuadriculadas

• Pinturas

• Cinta

• Pegante

• Cartulinas

• Tijeras

• Marcadores



ACTIVIDAD 1: CARACTERÍSTICAS DE LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Consolido mi saber

¡Sabias que! Hay cinco poliedros que destacan por su regularidad (o simetría), son los llamados poliedros o sólidos platónicos. El nombre de 'sólidos platónicos' proviene de que son nombrados por el filósofo griego Platón en su libro "Timeo" (escrito en torno al año 360 a.C.), aunque eran conocidos desde tiempo inmemorial. Esta es una representación antigua de estos cinco poliedros en el libro de Kepler (1571-1630) "Harmonices Mundi" ("La harmonía del mundo"). En esta ilustración se muestran los poliedros y su asociación con los cuatro elementos. El tetraedro con el fuego, el octaedro con el aire, el cubo con la tierra y el icosaedro con el agua. El dodecaedro estaría asociado con el universo o cosmos.

• Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos redondos.

Antes de empezar a trabajar con solidos debes conocer la unidad de medida y como trabajar

con ellas, así que lee con atención la información de la imagen:



Ahora con base en lo anterior convierte las siguientes longitudes como se indica en cada

punto:

1. Escribe las siguientes distancias en metros:

a. 15km b. 200dm c. 23mm d. 0,02dam e. 2cm

2. Escribe las siguientes longitudes en decámetros realizando un solo paso (multiplicando/dividiendo sólo una vez):

a. 11 mm b. 5hm c. 0,05dm

TRABAJEMOS CON SOLIDOS

Nombra en tu cuaderno, para cada sólido geométrico, varios objetos comunes cuya forma

se asemeje.

a. Una esfera b. Un cono c. Un cilindro d. Un prisma e. Un ortoedro f. Una pirámide

1. Escribe el nombre de los elementos (vértice, cara, arista, etc.) de los sólidos geométricos dados, en el lugar donde corresponden.



2. Completa la siguiente tabla según las características de cada sólido geométrico. Después colorea.



3. Señala cuales de las unidades son de longitud, de área o de volumen.

a. Metros cuadrados b. Litros c. Pies d. Galones

e. Decímetros cúbicos f. Toneladas g. Centímetros h. Pulgadas

Analiza e intenta resolver el siguiente problema:

4. Una caja de cubitos de azúcar trae 200 cubos de 1 cm3. Propón posibles dimensiones para las cajas, sabiendo que no quedan espacios vacíos.

Nota importante: a continuación, se muestran enlaces que pueden ser de interés y que

te ayudarán en la solución de la actividad.

→https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2016/01/13/cuerpos-geometricos-ejemplos/ →https://www.youtube.com/watch?v=NZUzMqAR4bo

ACTIVIDAD 2: APLICACIONES COTIDIANAS DE LOS SÓLIDOS

Consolido mi saber

• Muchas figuras de las que se suelen trabajar en geometría son las figuras planas. A continuación, trabajaremos con sólidos. Estamos acostumbrados a ver sólidos todo el tiempo. Algunos como las piedras, las plantas y los animales son muy irregulares, pero otros, como los libros, balones, cajas y construcciones, tienen formas que pueden ser descritas en términos geométricos. Incluso en la naturaleza hay muchos elementos que tienen forma de solidos geométricos: frutas, cristales, virus, planetas, etc.

1. Amplia y dibuja los siguientes patrones en cartulina. Luego, arma los sólidos correspondientes, tomando las medidas necesarias y calcula el área total aproximada y el volumen aproximado de cada uno.

A B

https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2016/01/13/cuerpos-geometricos-ejemplos/

https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2016/01/13/cuerpos-geometricos-ejemplos/

https://www.youtube.com/watch?v=NZUzMqAR4bo



C D

ANALIZA LAS FÓRMULAS PARA HALLAR VOLÚMENES DE FIGURAS

TRIDIMENSIONALES:



2. En el conjunto residencial “Los Áticos” están construyendo un tanque, en forma de ortoedro, para almacenamiento de agua, cuyas dimensiones son: 5 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de profundidad. Ayuda al ingeniero de la obra a resolver los siguientes interrogantes: A. ¿Cuántos metros cuadrados de revestimiento impermeabilizante debe comprar para cubrir las paredes, el piso y el techo del tanque?

B. ¿Cuántos metros cúbicos de agua puede almacenar el tanque?

3. Las dimensiones de una piscina son: 45 m de larga, 30 m de ancha y 2 m de profundidad. Calcule cuentos metros cúbicos de agua contiene si solo se llena hasta la mitad.



4. Expresa el volumen de cada sólido con ayuda del algebra. Todas las medidas están en centímetros.

A B

5. Calcula la altura de un tanque cilíndrico de 300 litros de capacidad y diámetro de la base 10 m. 6. Se coloca un bloque en forma de ortoedro, con base cuadrada y altura 10 cm dentro de un cilindro de igual altura y de radio 6 cm. Determine el área total y el volumen del bloque. ¿Cuál es el volumen de la porción del cilindro que queda vacía? 7. Calcula el volumen de la gasolina contenida en la caneca de la siguiente figura si está llena hasta la mitad.

8. Escribe F o V según el enunciado sea falso o verdadero. Sí el enunciado es falso elaboro un enunciado como contraejemplo.

A. Las caras laterales de una pirámide son siempre triangulares. B. Las caras laterales de una pirámide son perpendiculares a la base. C. Una cara lateral de un prisma puede ser rombo. D. Todo prisma tiene un número impar de vértices. E. Todo paralelepípedo es un cubo. F. Si una figura es un prisma, entonces es un poliedro.

9. Para una fiesta, Luís ha hecho 1º gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm y 25 cm de generatriz?



10. Calcula el volumen de la esfera de madera más grande que puede ser tallada a partir de un bloque cúbico de 12 cm de arista.

ACTIVIDAD 3: CALCULANDO ÁREAS SUPERFICIALES Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS

1. Encuentra el área total en cm2 y el volumen en cm3 de cada prisma.

A B

2. Encuentra el área total de un ortoedro cuya base tiene dimensiones 12 cm y 16 cm, y cuya altura es 5 cm.

3. Encuentra el volumen de un prisma trapezoidal que tiene las siguientes características: los trapecios que sirven de base tienen una altura de 12 cm; los lados paralelos miden 7 cm y 9 cm respectivamente y la altura del prisma es 22 cm.



Ejemplo:

4. Encuentra el volumen de las pirámides de las siguientes figuras:

A B

Ayuda:

ACTIVIDAD 5: LLEGÓ LA HORA DE AFIANZAR LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS

1. Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?



2. Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 20 cm y el radio de su base es de 10 cm.

3. Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m.

¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?

4. De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.



5. Halla el área total de cada una de estas figuras:

ACTIVIDAD 4: RECORDANDO

¿Cómo hacer carambola a una banda?

Si has jugado al billar, sabrás que hacer carambola a una

banda significa que la bola lanzada debe dar una vez en el

marco de la mesa antes de hacer carambola. Basta aplicar la

semejanza para conseguirlo.

1. ¿Cómo?

2. ¿Hacia dónde debes dirigir la bola amarilla para que

después de rebotar en la banda vaya a la bola roja?

3. Describe brevemente que es la proporcionalidad

directa.

4. Menciona las propiedades de los triángulos.

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza".

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término

"semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en

forma?... en matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero

distinto tamaño". Observa las figuras del ejemplo siguiente:



Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o

solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos

correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Si dividimos

la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en

la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se

llama razón de semejanza. Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una

transformación geométrica llamada homotecia.

La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados

o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia

(O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y

original es una constante denominada razón de la homotecia (k).



5. ¿Describe qué es homotecia?

6. ¿Cómo se realiza las homotecias?

ACTIVIDAD 5: TRIÁNGULOS

TEOREMA DE TALES

Éste es el teorema básico de las semejanzas.

El Teorema de Tales dice: Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un

sistema de rectas paralelas, entonces los segmentos que resultan sobre una de las dos

rectas son proporcionales a los correspondientes segmentos obtenidos sobre la otra.

A continuación, damos una figura para ejemplificar el enunciado anterior:



FÓRMULAS DE SEMEJANZA

DE TRIÁNGULOS DEL

TEOREMA DE TALES

También podemos ver el mismo principio cuando los triángulos están separados:



MANOS A LA OBRA ES HORA DE PRACTICAR:

1. Verifica si los triángulos siguientes son semejantes: a.

b.

c.

2. Observa la figura donde se muestra dos triángulos semejantes, si los datos corresponden a la medida del piso hasta el tablero de básquetbol y "𝑥" representa a Juan parado sobre el piso entonces, ¿cuál debe ser el tamaño de "𝑥"?



3. En dibujo representa el marco de una ventana, reforzada con varillas que forman triángulos semejantes, ¿cuánto mide la base de la ventana?

ACTIVIDAD 6: TEOREMA DE THALES

Personaje:

El primer científico no disponía de laboratorio, pipetas o reactivos, es

más, no utilizaba ni siquiera un método. Lo que sí tenía era un profundo

convencimiento: “los fenómenos de la naturaleza se explican por medio

de la naturaleza”. Estaba convencido de que no era inevitable recurrir a

Poseidón cuando había un temblor de tierra ni a Zeus cuando caía un

rayo. Su nombre era Tales de Mileto, uno de los siete Sabios de Grecia.



1. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, encuentra el valor de "𝑋"

4. Calcula la altura de Juan sabiendo que proyecta una sombra de 2 metros en el momento en que Pedro, que mide 1,80 m, proyecta una sombra de 2,25 metros

5. Se desea hacer un plano de un terreno de 100 𝑚 de lago por 300𝑚 de ancho usando

una escala de 1: 500 ¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno?

6. ¿Cuál es la altura del faro?



7. En una fotografía de juan y pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5 m y en la

foto aparece con 10 𝑐𝑚 de altura ¿Cuánto mide pedro si en la foto se muestra de

11 𝑐𝑚?

8. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

9. ¿Las rectas a, b son paralelas? ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

10. Santiago mide 1,76 m y desea llegar el borde de la torre que mide 16m, se sabe que

entre el punto donde se encuentra y un punto conocido en el trayecto para llegar a

la torre, hay una distancia de 3,3m. Dado el siguiente dibujo, y con los datos que se

proporcionan, halla la distancia a la que está Santiago de la torre.



11. Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados

del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

ACTIVIDAD 7. TEOREMA DE PITÁGORAS

Personaje

Si hay un matemático que posiblemente conozca gran parte del mundo

ese es el griego Pitágoras (569 a. C.- 475 a. C.). Considerado como el

primer matemático puro, fue el creador del célebre teorema de

Pitágoras para medir triángulos rectángulos. Además, tuvo una

importante labor filosófica, fundando el pitagorismo que influiría en otros

pensadores como Platón o Aristóteles.

“Si Pitágoras hubiera tenido la suerte de vivir en esta era, hubiera sido entrenador de

fútbol, porque el fútbol es geometría, apertura y cierre de espacios, movimientos lógico-

matemáticos.



El teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo

rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto (90°). A los lados que forman el ángulo

recto se les llama catetos y al lado restante hipotenusa. Pues bien, el teorema de Pitágoras

relaciona la hipotenusa con sus dos catetos. Vamos ahora a descubrir esta relación.

Imaginemos un triángulo rectángulo, por ejemplo, de catetos 4 y 5 cm y con una hipotenusa

de 5 cm, y dibujamos un cuadrado sobre cada uno de sus lados. Nos queda una figura así:

Pues bien, lo sorprendente es que el cuadrado de la hipotenusa tiene la misma área que

los otros dos cuadrados juntos.

En nuestra imagen de muestra podemos comprobarlo sumando la cantidad de cuadraditos

que conforman cada cuadrado, pues, el cuadrado de la hipotenusa está formado por 25

cuadraditos, que es igual a los 16+9=25 cuadraditos de los otros dos cuadrados.

Estos valores no son más que el área de cada cuadrado, que se calcula

Como podemos observar, calcular el área de un cuadrado es elevar al cuadrado (elevar a

dos) la longitud del cateto o hipotenusa en cada caso. Así pues, podemos afirmar que:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.



Esta relación se conoce con el nombre de teorema de Pitágoras.

¿Y por qué se llama así? Pues porqué su descubrimiento se atribuye a la Escuela

Pitagórica, fundada por Pitágoras el siglo V a.C. y formada por astrónomos, músicos,

matemáticos y filósofos que creían que todo podía expresarse mediante números. Aún así,

en Mesopotamia y el Antiguo Egipto ya utilizaron relaciones entre valores, por ejemplo, de

los lados de un triángulo rectángulo, pero no existe ningún documento que contenga

explícitamente la relación que plantea el teorema de Pitágoras. Sin embargo, la pirámide

de Kefrén, del siglo XXVI a.C. fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en

el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5, números que generan un

triángulo rectángulo y cumplen, por lo tanto, como hemos visto en nuestro ejemplo, el

teorema de Pitágoras.

Pero nuestro ejemplo no demuestra que

esta relación sea cierta para valores

cualesquiera, es decir, si consideramos un

triángulo rectángulo cuyos catetos miden a

y b, y cuya hipotenusa es c, tenemos que

comprobar que:



1. Ahora teniendo en cuenta que el teorema de Pitágoras solo se aplica en triángulos

rectángulos, encuentra la manera de comprobar si las medidas dadas a continuación corresponden a los lados de un triángulo rectángulo, explica la manera en que lo hiciste. (esas tres longitudes representan las de un triángulo)

a. 13 𝑐𝑚, 12𝑐𝑚, 5𝑐𝑚 b. 10 𝑐𝑚, 12 𝑐𝑚, 24 𝑐𝑚 c. 15 𝑐𝑚, 20 𝑐𝑚, 25 𝑐𝑚

d. 7,5 𝑐𝑚, 7,5 𝑐𝑚 15 𝑐𝑚 e. 14 𝑐𝑚, 16 𝑐𝑚, 34 𝑐𝑚

ACTIVIDAD 8: APLICANDO ANDO

1. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?

2. Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?



3. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?

4. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

5. Calcula la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.



6. Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando

la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa?

7. Los postes telefónicos por lo general forman un ángulo recto horizontalmente con el piso y son soportados por un cable de amarre. Un cable de amarre de 13 pies (4 m) está conectado al poste telefónico a 12 pies (3,6 m) de su base. ¿Qué tan lejos de la base del poste telefónico está el cable de amarre conectado al piso?

8. Un guardacostas observa un barco desde una altura de 28 metros. El barco está a una distancia horizontal del punto de observación de 45 metros. ¿Cuál es la longitud, en metros, de la visual del guardacostas al barco?

9. Una cancha de fútbol (rectangular como sabemos) mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo de juego?



ACTIVIDAD 9: TRIANGULACIÓN

Las técnicas de triangulación, por ejemplo, son

usadas en astronomía para medir distancias a

estrellas próximas, en la medición de distancias

entre puntos geográficos, y en sistemas de

navegación por satélites. El Canadarm 2, un

brazo manipulador robótico gigantesco de la

Estación Espacial Internacional el cual es

operado controlando los ángulos de sus

articulaciones. Calcular la posición final del

astronauta en el extremo del brazo requiere un

uso repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que se forman por los varios

movimientos que se realizan.

Veamos cómo funcionan las razones trigonométricas:

Las razones trigonométricas de un ángulo 𝛼 son las razones obtenidas entre los tres lados

de un triángulo rectángulo.

Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.



RECUERDA: Si dos triángulos rectángulos son semejantes, entonces el valor de cada

una en las razones trigonométricas es igual en los dos triángulos, sin importar la longitud

de sus lados.

1. Para los siguientes triángulos rectángulos calcule las 6 razones trigonométricas de θ:



2. Completa cada espacio de acuerdo con la figura

a. 𝑆𝑒𝑛 𝐴 =

b. 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =

c. 𝑇𝑎𝑛 _____ = 𝑏

𝑎

d. 𝑆𝑒𝑐 ___ =𝑐

𝑏

3. Escribe el valor de las razones trigonométricas que se indican

• Sen A

• Cos B

• Tan B

• Cot B

• Sec A

• Csc B

4. Realiza el dibujo del triángulo rectángulo que cumpla las condiciones dadas

• 𝑠𝑒𝑛 𝐴 =4

5 , cos 𝐴 =

3

5

• cos 𝐵 =8

3, tan 𝐵 =

4

3



ACTIVIDAD 10: USANDO COMO HERRAMIENTA DIGITAL LA CALCULADORA

CIENTÍFICA

Las funciones trigonométricas que aparecen en la calculadora son tres: 𝑆𝑒𝑛𝑜 (𝑠𝑖𝑛),

𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑐𝑜𝑠), 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑡𝑎𝑛) y sus respectivas trigonométricas inversas, que casi siempre

están en una segunda función de la tecla, de manera que hay presionar antes [2nd] o [Shift]

o [Inv]. Las demás (secante, cosecante y cotangente) no aparecen porque estas se hallan

si se conocen las anteriores. Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones

trigonométricas con las teclas 𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑡𝑎𝑛. El manejo es muy parecido en casi todas ellas,

aunque existen pequeñas diferencias, que deberás descubrir a base de ensayo y error ó

con las instrucciones.

Al trabajar con ángulos, hay que definir antes de hacer los cálculos las unidades en que

serán dados los ángulos, hay tres opciones:

• DEG: Grados sexagesimales: Los que usamos normalmente de 0 a 360, el ángulo recto es de 90 grados.

• RAD: Radianes: Estos van de 0 a 2 π, su uso es en expresiones en donde el ángulo además de ser argumento de la función es factor

• GRA: Grados centesimales: Se usan poco, van de 0 a 400, el ángulo recto es de 100

Vamos a usar siempre DEG, grados sexagesimales, en todas las calculadoras hay un

indicador en la pantalla. En algunas calculadoras hay que pulsar la tecla sin antes de

introducir el ángulo, comprueba cómo funciona la tuya. Si queremos obtener el 𝒄𝒐𝒔 𝜶 ó la

𝒕𝒈 𝜶 procederemos de la misma forma pero pulsando las teclas cos y tan respectivamente.

La tecla con los símbolos , es la que nos permite introducir “grados”, “minutos” y

“segundos”

Dado un ángulo α obtén sus razones trigonométricas



Dada una razón obtén el ángulo α correspondiente

Para fortalecer el uso de la calculadora científica puedes ver

https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA

1. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos expresados en grados sexagesimales:

• cos 41º

• sen 22º 74′

• tg 56º 28′ 3

• sen 255º

• cos 240º 26”

• tg 330º

https://www.youtube.com/watch?v=1osBdZiO2uA



2. Utilizando la calculadora, calcula todos los ángulos que verifican (cuidado, puede

haber más de uno que lo verifique):

• cos α = 0.0305

• sen α = 0.1492

• tg α = 2.1745

• cos α = -0.3

• sen α = -0.6549

• tg α = -0.7724

ACTIVIDAD 11: PROBLEMATIZANDO

Personaje: Hiparco de Nicea fue un astrónomo y matemático griego que

hizo contribuciones fundamentales al adelanto de la astronomía como

ciencia matemática y a las bases de la trigonometría. Se le considera el

fundador de la trigonometría, pero es más famoso por su descubrimiento

accidental de la precesión de los equinoccios.

1. Los chinos (206 a. de C. – 220 d. de C.) encontraban las alturas, profundidades, distancias y posiciones haciendo uso de los relojes de sol o gnomon y la semejanza de triángulos, los choren (funcionarios públicos dedicados tanto a las matemáticas como a la astronomía) al realizar sus observaciones notaron que la sombra variaba de acuerdo con la posición del sol. El método consistía en un bastón incrustado perpendicular al suelo y en la tierra se señalaban surcos que indicaban los distintos momentos del día, la sombra generaba diferentes horarios. Haciendo uso de los relojes de sol se desea saber la altura del árbol; para ello se conoce la distancia del árbol al Gnomon, la longitud de la vara y la sombra que esta proyecta. Utiliza la semejanza de triángulos y encuentra el valor pedido.

Ejemplo: Una persona observa en un ángulo de 54° lo alto que es un edificio; si la persona mide 1.72 metros y está ubicada a 18 metros de la base del edificio. ¡Cuál es la altura en metros del edificio?



Ojo: Hay que sumar la altura del hombre al final.

2. Determina la altura de la torre

3. Un carpintero diseño la siguiente estructura en madera como soporte para un tejado de una casa, conformada por 6 vigas ¿Cuántos metros en total tiene las 6 vigas de madera

4. Cuál es la longitud de los cables que sostienen la antena



5. Para medir la altura de un alcantarillado AB, cuya base se encuentra en un terreno llano y horizontal, un topógrafo fija el punto O, como se muestra en la figura, y mide el ángulo AOB y la distancia OB, consiguiendo 52° y 40 m, respectivamente. Halla la altura del alcantarillado

6. Una escalera de 3m de largo está apoyada sobre la pared con un ángulo de elevación de 60°

a. ¿Cuál es la distancia entre el extremo inferior de la escalera y la pared?



b. ¿A qué altura está apoyado el extremo superior de la escalera?

7. Desde una cabaña, una persona ve la punta del faro. La línea visual forma con la línea horizontal un ángulo de elevación de 45°¿ cuál es la distancia de la cabaña al faro?

8. Calcula la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe que su sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 30º.

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