TRIGONOMETRIA. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DAN TEOREMA PYTHAGORAS

1. Teorema Pythagoras

Jika diketahui panjang dua sisi suatu segitiga siku-siku maka

panjang sisi yang ketiga dapat dihitung dengan menggunakan

Teorema Pythagoras.

Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas

persegi pada kedua sisi siku-siku segitiga.

2. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Gambar berikut menunjukkan segitiga ABC siku-siku di titik C dengan besar sudut A =

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec)

dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada

koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-

siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:

B

c

a

α

A b C

Sin = cosec =

Cos = sec =

Tan = cotan =

A B

C

AC2 = AB2 + BC2

X° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

X° (Rad)

0 π

2π

Sin 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tan 0

1

-

-1

0 1 - -1 0

Cosec - 2 1 2 - -2 -1 -2 -

Sec 1 2 - -2 -1 -2 - 2 1

Cotan - 1 - - 1 - -1 -

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa diperlihatkan dalam tabel berikut :

3. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang disebut kuadran.

- Kuadran I besar sudutnya < α <

- Kuadran II besar sudutnya < α <

- Kuadran III besar sudutnya < α <

- Kuadran VI besar sudutnya < α <

Kuadran IKuadran II

Kuadran VIKuadran III

a. Perbandingan Trigonometri sudut di Kuadran I

Rumus perbandingan trigonometri sudut α° dengan (90- )°

Sin (90-α)° = cos cotan (90-α)° = tan

Cos (90-α)° = sin sec (90-α)° = cosec

Tan (90-α)° = cotan cosec (90-α)° = sec

b. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran II

Rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (180 - α)°

Sin (180 - α)° = sin α° cosec (180 - α)° = cosec α°

Cos (180 - α)° = - cos α° sec (180 - α)° = - sec α°

Tan (180 - α)° = - tan α° cotan (180 - α)° = - cotan α°

c. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran III

Rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (180 + α)°

Sin (180 + α)° = - sin α° cosec (180 + α)° = - cosec α°

Cos (180 + α)° = - cos α° sec (180 + α)° = - sec α°

Tan (180 + α)° = tan α° cotan (180 + α)° = cotan α°

d. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran IV

Rumus trigonometri sudut α° dan (360 - α)°

Sin (360 – α)° = - Sin α° cosec (360 – α)° = - coses α°

Cos (360 – α)° = cos α° sec (360 – α)° = Sec α°

Tan (360 – α)° = - tan α° cotan (360 – α)° = - cotan α°

Atau Atau

Sin ( - α)° = - Sin α° conses (-α)° = - coses α°

Cos (–α)° = cos α° sec (–α)° = Sec α°

Tan(–α)° = - tan α° cotan (–α)° = - cotan α°

e. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang Llebih dari 360°

Besar sudut satu putaran sama dengan 360°.Sehingga besar Sudut yang lebih dari

360°,misal (360+α)° akan sama dengan α° rumus perbandingan trigonometri sudut α° dan sudut

(α°+ n 360 )°

Sin (α+n.360)° =sin α° coses (α+ n.360 )° =coses α°

Cos(α +n.360)° =cos α° sec (α+n.360)° =sec α°

Tan (α+n.360)° =tan α° cotan (α+n.360)° =cotan α°

4. Hubungan Perbandingan Trigonometri

a. Hubungan antara perbandingan-perbandingan Trigonometri

Sin α° tan α° =

Cos α° cotan α°=

tan α°=

b. Identitas Trigonometri

α + α =1

1 + α = α

1 + α = α

B. SATUAN UKURAN SUDUT

1. Koordinat Kutub

Gambar disamping menunjukkan bahwa letak titik P dalam

diagram Cartesius ditentukan oleh jaraknya (r satuan) dari O

dan sudut dari sumbu X positif yang berlawanan arah jarum

jam. Secara umum dinyatakan bahwa koordinat kutub titik P

adalah (r, ).

Jadi,

Dimana,

Jadi, hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dari suatu titik P dilukiskan

dalam bagan berikut ini:

Koordinat Kutub Koordinat Cartesius

P(r, ) P ( , )

2. Radian

a. Satuan Derajat

Satu derajat diartikan sebagai putaran mengelilingi satu titik tertentu.

putaran =

1 putaran = 360

b. Satuan Radian

Ukuran radian: ,

P(r, ) P (x, y)P(r, ) P (x, y)

Sin = dan

Cos =

Sin = dan

Cos =

Y

O X

yr

P(x, y)

Jadi, dapat dinyatakan bahwa :

1 radian =

2 radian =

3 radian =

c. Hubungan antara radian dengan derajat

Kita telah mengetahui bahwa panjang busur = r pada keliling lingkaran membentuk sudut

1 radian di pusat lingkaran. Keliling lingkaran = 2πr, berarti keliling lingkaran (2πr)

membentuk sudut 2π radian di pusat lingkaran. Sedangkan sudut pusat lingkaran = 360o,

maka hubungan antara radian dan derajat adalah

2π rad = 360o

π rad = 180o

Dari π rad = 180o , didapat

1 rad =

Dari 180o = π rad , didapat :

1o =

Jadi,

3. Grafik Fungsi Trigonometri

π rad = 180o

1 rad = 1o =

π rad = 180o

1 rad = 1o =

4. Persamaan Trigonometri

Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti menentukan sudut x yang memenuhi

persamaan tersebut

Contoh soal :

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x° = -0,2846 untuk 0≤ x ≥ 360!

b. Tentukan himpunan penyelesaian tan x° =-0,5735 untuk 0 ≤ x ≥ 360!

Jawab :

a. cos x° = -0,2846

untuk cos x° = 0,2846, x° = 73,47°

maka cos x° = cos (180-73,47)

x = 106,53

atau

cos x° = cos (180 + 73,47)

x = 253,47

jadi HP = (106,53;253,4)

b. tan x° = -0,5735

untuk tan x° = 0,5735,x° = 29,83

maka tan x° = (180-29,83)°

x = 150,17

atau

tan x° = tan (360-29,83)°

x = 330,17

jadi HP = (150,17;330,17)

5. RUMUS SEGITIGA

1. Aturan Sinus

Jika a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi segitiga sebarang ABC, maka

berlaku rumus yang disebut “aturan sinus”.

C

b a

A E B

c

Dalam ΔAEC , sin A = atau CE = b sin A......................................................................(1)

Dalam ΔBEC , sin B = atau CE = a sin B......................................................................(2)

Dari (1) dan (2) :

a sin B = b sin A (masing-masing ruas dibagi sin A dan sin B)

=

Maka,

= ....................................................................................................................(3)

Dalam ΔADB,sin A = atau BD = c sin A ...............................................................................(4)

Dalam ΔCDB,sin C = atau BD = a sin C ...............................................................................(5)

Dari (4) dan (5) :

c sin A = a sin C (masing-masing ruas dibagi sin A dan sin C)

= = ..................................................................(6)

Dari (3) dan (6) :

= =

2. Aturan Cosinus

C

b c

c-

A D B

c

Pada gambar diatas ΔABC segitiga lancip dan CD tegak lurus AB.misalkan AD = ,maka BD =

(c- )

Pada ΔADC ; = ...........................................................................................(1)

Pada ΔBDC ; = = ...........................................(2)

Dari (1) dan (2)

=

=

atau ..............................................................................................(3)

Dalam ΔADC :

cos A = = b cos A .............................................................................................(4)

Dari (3) dan (4) : =

Jadi,

3. Luas Segitiga

Dalam sebarang ΔABC berlaku rumus luas (L)

L ΔABC = = =

Bukti :

C

b c

A D B

c

perhatikan gambar diatas :

Luas (L) ΔABC = AB . CD ........................................................................................................(1)

Pada ΔABC ;

CD = b sin A ...............................................................................................................(2)

Dari (1) dan (2) :

L ΔABC = AB . b sin A

= c . b sin A

Luas segitiga adalah setengah hasil kali dua sisi dangan sinus sudut apitnya.

Pada pembahasan aturan sinus talah kita ketahui bahwa :

b = 2r sin B ; c = 2r sin C.

Maka L ΔABC = 2r sin B . 2r sin C . sin A

L ΔABC = sin A sin B sin C

Dengan r adalah jari-jari lingkaran luar ΔABC.

4. Luas Lingkaran

Lingkaran O dengan jari-jari r.

a. Keliling lingkaran =2πr B • r

b. Luas lingkaran = r •O

c. Panjang busur ABC =

d. Luas Sektor (juring) OABC =