Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter, og i disse trekanter kan vinklerne og si-derne beregnes ved hjælp af trigonometri (= trekantsmåling). I trigonometri benyttes primært tre funkti-oner, som beskriver forhold mellem sider-ne og vinklerne. Disse funktionerne be-tegnes sinus, cosinus og tangens. Der findes også andre funktioner, men dem vil vi ikke behandle i folkeskolen.

Trigonometri

Kopi fra Wikiped

ia

Trigonom

etri (fra græsk trig

onon = tre vinkler

og

metro = måle) er en

gren af matematikk

en der be-

handler relationen

mellem sider og v

inkler i trekanter.

Hertil er knyttet de

trigonometriske fu

nktioner sinus

(forkortet sin), cos

inus (forkortet cos)

, tangens

(forkortet tan) og

cotangens (forkort

et cot). Alle fire

funktioner er defin

eret i enhedscirkle

n.

for 9. klasse

Geert Cederkvist

2

Cosinus og sinus

På et millimeterpapir er tegnet enenhedscirkel med radius 1 dm.Med toppunkt i (0,0) og x-aksen somhøjre ben er der afsat en vinkel på 40/.

Skæringspunktet mellem vinklens venstreben og enhedscirklen kaldes for P.Punktet P har koordinaterne (0,64 ; 0,77).

P’s x-koordinat kaldes for cosinus tilvinklen på 40/, mens P’s y-koordinatkaldes for sinus til vinklen på 40/.

Det skrives således

sin(40/) = 0,64

cos(40/) = 0,77

Du kan tegne andre vinkler og på samme samme måde bestemme disse vinklerscosinusværdi, og sinusværdi ved at

aflæse henholdsvis x-koordinaten og y-koordinaten til skæringspunktet medenhedscirklen.

Generelt gælder det for en vinkel v, der ertegnet med højre ben ud af x-aksen, atdens venstre ben skærer enhedscirklen iet punkt P, der har koordinaterne

(x,y) = (cos(v), sin(v)).

EnhedscirkelEn enhedscirkel er en cirkel medradius = 1

1 Tegn vinkler på 30/, 45/ og 60/ ogaflæs deres cosinus- og sinus-værdier.Bestem også cosinus og sinus til 0/og 90/.

3

På de mest almindelige lommeregnere,som f.eks. Texas TI-30, kan cosinus tilen vinkel bestemmes ved at trykke på[COS]-tasten og derefter indtaste vinklen,og sinus til en vinkel kan på sammemåde findes ved at bruge [SIN]-tasten.

2 Brug en tegning ellerlommeregneren til at bestemme cosog sin, så du kan udfylde tabellenherunder.

v 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

cos (v)

sin(v)

v 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180°

cos (v)

sin(v)

Herover kan du se hvordan cosinus ogsinus til vinklerne kan aflæses påhenholdsvis x-aksen og y-aksen ud fravinklens skæringspunkt medenhedscirklen.

3 Bevis at det gælder at

(sin(v))2 + (cos(v))2 = 1

Sætningen i opgave 3 kan f.eks. brugestil at beregne sin(v), når cos(v) kendeseller omvendt.

4 Brug sætningen til at beregne denpræcise, uafrundede værdi afcos(30/), når det vides at sin(30/) =0,5. Brug ikke lommeregner.

Arccos og Arcsin (omvendt cosinus og omvendt sinus)

Med lommeregneren kan du ogsåbestemme en vinkels størrelse, hvis dukender vinklens cosinus- eller sinusværdi. Du skal bruge [2nd][COS]- og [2nd][SIN]-tasterne. Det omtales som det omvendtetil cosinus og det omvendte til sinus.Du kan se på lommeregneren at[2nd][COS] betegnes cos-1(v) og at[2nd][SIN] betegnes sin-1(v)

Du skal dog lægge mærke til, at der kunangives én løsning, selv om f.eks.sin(v) = 0,5 passer både til v = 30/ ogv = 150/.Ligeledes passer cos(v) = 0,5 både tilv = 60/ og v = 300/.Derfor skal du altid kigge på din tegningog skønne hvor stor vinklen er, og vælgeden værdi, der passer til dit skøn.

4

5 Find følgende vinkler ud fra deres sinus- og cosinusværdier.

sin(A) = 0,4 pA er spids

sin(B) = 0,25 pB er spids

sin(C) = 0,8 pC er spids

sin(D) = 0,3 pD er stump

cos(E) = -0,7 |pE| < 180/

cos(F) = -1

cos(G) = 0,75 |pG| < 180/

cos(H) = -0,09 |pH| < 180/

Cosinus og sinus i den retvinklede trekant

Den retvinklede trekant ABC er anbragt iet koordinatsystem med enhedscirklen.AC skærer enhedscirklen i punktet P.Den vinkelrette fra P skærer x-aksen ipunktet Q.

Begrund hvorfor|AP| = 1|AQ| = cos(A)|PQ| = sin(A)

Da trekant APQ er ligedannet medtrekant ABC gælder følgende sætningerfor den retvinklede trekant:

Cosinus til en spids vinkel i en retvink-let trekant er lig med den hosliggendekatete divideret med hypotenusen.

Sinus til en spids vinkel i en retvinklettrekant er lig med den modståendekatete divideret med hypotenusen.

5

6 Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor|AC| = 8 cm, |BC| = 6 cm og|AB| = 10 cm.Beregn sin(A), sin(B), cos(A) ogcos(B) og størrelserne af pA og pB Beregn vinklerne med 1 decimal.Mål efter og kontroller på dintegning.

7 Tegn et koordinatsystem og afsætfølgende punkter: A (1,2), B (13,7)og C (13,2).Tegn trekanten ABC.Beregn længden af kateterne AC ogBC og brug Pythagoras til atberegne længden af hypotenusenAB.Beregn pA og pB ved enten at findesinusværdierne eller cosinus-værdierne til vinklerne.

Den retvinklede trekants vinkler

Hvis du kender en af de spidse vinkler ien retvinklet trekant kan du beregne denanden. F.eks. gælder det at

|pA| = 90/ - |pB|

og |pB| = 90/ - |pA|

Længden af kateterne

Hvis du i en retvinklet trekant kenderlængden af hypotenusen og en af despidse vinkler, kan du beregnekateternes længde ved at sætte de tal, dukender, ind i en af formlerne for cosinuseller sinus og løse dem som en ligning.

Det gælder således at

og

Resultatet kan formuleres i følgendesætninger.

Længden af en katete i en retvinklettrekant er

produktet af hypotenusen og cosinus tilden hosliggende vinkel

eller

produktet af hypotenusen og sinus tilden modstående vinkel.

8 I trekant ABC er |pA| = 30/,|pC| = 90/ og |AB| = 12 cm.Tegn trekanten.Beregn længden af kateterne.

9 I trekant DEF er |pE| = 54/,|pF| = 90/ og |DE| = 8 cm.Tegn trekanten.Beregn længden af kateterne.

10 Af sikkerheds grundebør en stige stå, såledesat vinklen mellem stigenog underlaget er ca. 70/,og når en person arbej-der alene bør stigen ikkevære længere end 5 m.Hvor højt kan en stigepå 5 meter nå op afhusmuren, når den pla-ceres forsvarligt?Hvor langt står stigen framuren?

11 En dreng holder en drage i en 25 mlang snor. Snoren holdes 1 meterover jorden i en vinkel på 20/med jorden.Hvor højt over jorden erdragen?

6

Tangens

I koordinatsystemet tegnes en tangent tilenhedscirklen gennem punktet (1,0).Med toppunkt i (0,0) og x-aksen som høj-re ben er der afsat en vinkel på 40/.

Skæringspunktet mellem vinklens venstreben og tangenten kaldes for P.Punktet P har koordinaterne (1; 0,84).

Dette punkts y-koordinat kaldes for tan-gens til vinklen på 40/.

Det skrives således

tan(40/) = 0,84

Ved vinkler der er større end 90/ er detdet punkt, hvor venstre bens forlængelseskærer tangenten, der bestemmer tan-gens til vinklen.

12 Tegn en enhedscirkel og tangentengennem (1,0) på mm-papir.Lad f.eks. 1 svare til 5 cm og sørgfor at (0,0) er midt på papiret.Tegn vinkler på 30/, 60/ 120/ og150/ og bestem tangensværdien tilvinklerne ved aflæsning.

13 Hvor stor er vinkel v, når tan(v) = 1 ?

14 Hvordan går det med tangensværdi-en, når vinklen nærmer sig 90/?

Ligesom sinus og cosinus, kan tangensbestemmes ved hjælp af lommeregneren.Du skal bruge [TAN] tasten til at findetan(v), og til den omvendte beregningbruges [2nd][TAN] til at finde tan-1(v).

7

15 Brug en tegning ellerlommeregneren til at bestemme

tangens så du kan udfylde tabellenherunder.

v 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 89,9°

tan (v)

v 90,1° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180°

tan (v)

Tangens i den retvinklede trekant

Den retvinklede trekant ABC er anbragt iet koordinatsystem med enhedscirklen.AC skærer tangenten gennem (1,0) ipunktet P.Den vinkelrette fra P skærer x-aksen ipunktet Q = (1,0).

Begrund hvorfor|AQ| = 1|PQ| = tan(A)

Da trekant APQ er ligedannetmed trekant ABC gælderfølgende sætning om tan-genten til en spids vinkel i enretvinklet trekant

Tangens til en spids vinkel i en retvin-klet trekant er lig med den modståen-de katete divideret med den hosliggen-de katete.

For vinkel B gælder

Det er ofte nemmere at bruge disse sæt-ninger, når vinkler skal beregnes i koordi-natsystemet, da du ikke behøver at be-regne hypotenusen først.

16 Tegn et koordinatsystem og afsætfølgende punkter: A (1,1), B (9,7) ogC (9,1).Trekant ABC er retvinklet.Beregn længden af kateterne AC ogBC og beregn derefter tan(A) ogbestem vinkel A.Beregn også vinkel B.

17 Tegn en retvinklet trekant, hvorlængden af kateterne er 6,5 cm og10 cm.Beregn størrelserne af de spidsevinkler.

8

18 Brug tegningen af vinkel v i enheds-cirklen herover til at bevise at

19 Tegn i et koordinatsystem en linie,der går gennem (-2,1) og (5,5). Beregn liniens vinkel med x-aksen.

Længden af den anden katete

Hvis du i en retvinklet trekant kenderlængden af en katete og en af de spidsevinkler, kan du beregne den anden kate-tes længde ved at sætte de tal du kenderind i en formlen for tangens og ved atløse dem som en ligning beregne læng-den af kateten.Derefter kan hypotenusens længde be-regnes ved hjælp at Pythagoras’ sætning.

Det gælder således at

eller

Længden af en katete i enretvinklet trekant er

produktet af den anden katete og tan-gens til den modstående vinkel

eller

den anden katete divideret med tan-gens til den hosliggende vinkel.

20 I 1992 blev de olympiske sommerle-ge afholdt i Barcelona i Spanien.Ved telekommunikationstårnet foranOL-stadion på Montjuicbjerget må-les fra et punkt 110 m fra tårnet envinkel til toppen på 50/.Beregn højden af tårnet.

21 Klokketårnet“Campanilen”står på Mar-kuspladsen iVenedig. 46 meter framidterlinienmåles en vin-kel på 65/ optil tårnets top.Hvor højt ertårnet?

9

Blandede opgaver

22 Korden AB spænder over en bue på80/ i cirklen herover og danner sam-men med de to radier CA og CB enligebenet trekant, hvor vinkelhalve-ringslinien fra C samtidig er højdeog deler trekant ABC i to kongruen-te, retvinklede trekanter.Beregn længden af AM og derefterlængden af korden AB.

23 Femkanten herover har sidelæng-den 5 cm.Beregn vinkler og derefter højden iden markerede trekant. Beregn derefter arealet af trekanten. Beregn arealet af hele femkanten. Beregn radius af femkantensomskrevne cirkel.

24 Amalienborg Slotsplads i Københavnhar omtrent form som en regulærottekant med sidelængden 48 m.Beregn arealet af slotspladsen.

Trekant ABC er en vilkårlig trekant, derdeles af højden hb i to retvinklede trekan-ter.Forklar hvorfor hb = c @ sin(A), og at trekan-tens areal derfor kan beregnes således:

25 I trekant ABC er |AB| = 8,5 cm,|AC| = 12 cm og |pA| = 35/.Tegn trekanten.Beregn arealet af trekanten.

10

London Eye set fra Victoria Embankment

London Eye

London Eye er verdens største pariserhjul og blev opført i London på Themsenssydlige bred ved Jubilee Gardens tæt vedWaterloo Station og stod klar til årtusind-skiftet.Hjulet har en diameter på 135 m, er forsynet med 32 gondoler, hver med pladstil 28 passagerer. Hjulet foretager enomdrejning i løbet af 30 minutter.

26 Når man stiger på, befinder gondolen sig 0 meter over indstigningsplatformen.Hvor mange grader drejer hjulet iløbet af 1 minut?Tegn en model af hjulet, som encirkel i målestoksforholdet 1:1000.Kald centrum O.På cirklen skal du markere et punktP, som er en gondols placering vedindstigningen og et punkt A, som erdens placering efter 3 minutter. Du kan tegne en retvinklet trekant,hvor hypotenusen er AO og kateterne dannes af en linie lodret gennemO og en anden linie vandret gennem A.Kald skæringspunktet mellem kateterne for C.Ved at bruge sætningen om sinus iden retvinklede trekant, skal du beregne længden af OC og derpålængden af CP, som er gondolenshøjde over indstigningsplatformen.

27 Fortsæt beregningerne fra opgave15, idet du udregner, hvor højt oppegondolen befinder sig for hvert tredje, af de 30 minutter turen varer.Afsæt punkterne i et koordinatsystem med en passende inddeling.(For at få en pænere kurve kan dueventuelt supplere med beregningaf højden for hvert eller hvert andetminut.)Angiv en forskrift, der kan beskrivehøjden som en funktion af tiden.

Daglængden Dagens længde afhænger af Jordens po-sition i forhold til Solen, og hvor på Jorden,du befinder dig.

28 Find en kalender, hvor der er angivetsolopgang og solnedgang for udvalg-te dage her i Danmark.

Udregn daglængden for hver andeneller hver tredje uge, startende såtæt som muligt ved forårsjævndøgnog sluttende med forårsjævndøgndet næste år. (Du kan godt regne med at daglæng-den for en bestemt dato er den sam-me hvert år).

Tegn et koordinatsystem, hvor duafbilder daglængden som en funktionaf datoen.

11

Sinusrelationen

29 Tegn en stor vilkårlig trekant ABC idit hæfte.

Mål vinklerne og sidelængderne sånøjagtigt som muligt og udfyld ske-maet herunder.

a b c

pA pB pC

sin(A) sin(B) sin(C)

Udregn følgende forhold med 1decimal:

=

=

=

Hvad kan der siges om de tre resultater?

Hvis du har været omhyggelig, skulle detre resultater gerne være (næsten) ligestore.

Udsagnet, der udtrykker, at de tre forholder ens kaldes for sinusrelationen.

Sinusrelationen består i virkeligheden aftre selvstændige ligninger, der kan bru-ges ved beregning af sider og vinkler itrekanter, hvor der kendes mindst en vin-kel og den modstående sides længdesamt yderligere en vinkel eller en side-længde.

1

2

3

30 I trekanten herover fås ved indsæt-ning i sinusrelationens ligning 1

Vis at a = 3,19 cm.

Beregn også længden af c.Tegn trekanten og mål efter.

31 Konstruer en trekant ABC, hvor

ppppA = 35/, |AC| = 8 cm og|BC| = 5 cm.Beregn størrelsen af ppppB, ppppC og si-den AB.

32 Konstruer en trekant ABC, hvor

|AC| = 9 cm, ppppA = 60/ og ppppC = 40/.Beregn størrelsen af ppppB samt sider-ne AB og BC.