1

TRİGONOMETRİ

Trigonometri, üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri inceler.

Öncelikle konumuzun en önemli öğesi olan açı kavramını ve özelliklerini gözden geçirelim.

AÇI: Başlangıç noktaları ortak, doğrusal olmayan iki ışının birleşimine açı denir.

∠AOB : [OA başlangıç kenarı , [OB bitim kenarı

( Negatif yön: Saat ibresinin dönme yönü)

∠BOA : [OB başlangıç kenarı , [OA bitim kenarı

( Pozitif yön: Saat ibresinin dönme yönünün tersi )

TRİGONOMETRİK (BİRİM) ÇEMBER :Trigonometrinin temel taşlarından biri olup,

Trigonometri okyanusunda can simidimiz olacaktır.

Analitik düzlemde; O(0,0) başlangıç noktasını

merkez kabul eden, 1 birim yarıçaplı çembere

TRİGONOMETRİK ÇEMBER denir.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi bundan sonra Analitik

geometri dayanağımız olacaktır. Analitik Düzlemde

noktanın apsis ve ordinatını bilmek, uygun şartlarda

açıların trigonometrik değerlerini verecektir.

Birim çemberin denklemi : 𝑥2 + 𝑦2 = 1 dir.

Birim çemberin 0x ve 0y eksenlerini kestiği A(1,0) ; B(0,1) ; C(-1,0) ve D(0,-1)

noktalarına dikkat !

Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da Ox ekseni ile çakıştırılarak, Bitim

kenarının Trigonometrik çemberi kestiği noktanın koordinatı belirlenir.

Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi en az -1, en çok 1 dir. A(1,0); C(-1,0)

Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatı en az -1, en çok 1 dir. B(0,1); D(0,-1)

A = x + y + z eşitliğinde;

A: Başarı X: Çalışmak , y: Eğlenmek, z: Çeneni tutmak

2

AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ:

DERECE:

Tam bir çember yayının 360

1 ‘ına 10 lik yay,

bu yayı gören merkez açıya 10 lik açı denir.

10 = 60’ (dakika) , 1’ = 60’’ (saniye) , 180o = 179o 59’ 60’’

21o 23’ 34’’ lik açı ile 12o 32’ 43’’ lik açının toplam ve farklarını bulunuz:

Toplama ve çıkarma işlemlerinde saniye bölümünden başlanarak dakika ve derece

bölümleri için ayrı ayrı işlem yapılır.

21o 23’ 34’’ + 12o 32’ 43’’ = 33o 56’ 17’’ ; 34’’ + 43’’ = 77’’ = 60’’ +17’’ = 1’ + 17’’

17 ‘’ yazılır, 1’ dakikalar toplamına eklenir.

23’ + 32’ = 55’

Saniyeler toplamından 1’ artmıştı, 55’ + 1’ = 56’

21o + 12o = 33o

21o 23’ 34’’ - 12o 32’ 43’’ = 8o 50’ 51’’ ; 34’’ - 43’’ = ?

23’ = 22’ 60’’ eşitliğini kullanalım.

60’’ + 34’’ = 94’’ , 94’’ – 43’’ = 51’’

22’ – 32’ = ?

21o = 20o 60’ eşitliğini kullanalım.

60’ + 22’ = 82’ , 82’ -32’ = 50’

20o – 12o = 8o

Neden 1/360 ‘i ? İlk çağlarda, bir yıl ile bir çemberin etrafında dönme arasında

benzerlikler kurulmuş ve bir yılı 360 gün olarak kabul edip tam bir çember yayına da

360o denmiştir.

1. 48o 49’ 50’’ lik açı ile 51o 52’ 53’’ lik açıların toplamı nedir?

A) 1000 42’ 43’’ B)990 41’ 42’’ C) 1000 41’ 42’’ D) 800 42’ 43’’ E) 800 18’ 17’’

2. 40 4’ 4’’ lik açı kaç saniyedir? A)244 B)960 C)1460 D)14640 E)14644

3. Bir iç açısının ölçüsü 300 40’ 50’’ olan üçgenin o köşesindeki iç açının ölçüsü nedir?

A) 1490 19’ 10’’ B)1500 20’ 10’’ C)1500 19’ 10’’ D)1490 20’ 10’’ E) 1490 19’ 09’’

4. 20130’’ lik açının eşiti hangisidir? A)50 30’ 35’’ B)50 35’ 30’’ C)350 30’ 05’’

D)300 05’ 35’’ E)300 35’ 05’’

3

Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 360) aralığında karşı gelen

reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının derece cinsinden esas ölçüsü denir.

Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar 0360.k ( Zk ) şeklindedir.

( 𝜃𝑜 : Esas ölçü. k∈ 𝑍 : Devir sayısı )

A ya: 00 + k.3600 B ye: 900 + k.3600

C ye: 1800 + k.3600 D ye: 2700 + k.3600

P ye: 𝜃𝑜 + k.3600

2013o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?

2013o = 5.360o + 213o Verilen açının 360’a bölümünden kalan

ESAS ÖLÇÜDÜR.

-2013o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?

-2013o = -5.360o – 213o ; -213o + 360o = 147o ; -2013o

= -6.360o+147o

Açıyı pozitifmiş gibi alıp 360’a böldükten sonra kalanı 360 tan

çıkarıyoruz.

( veya; 360o ın katlarını ekleyerek bulunur. -2013o +6.360o=147o )

1. 395o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 5O B) 95O C) 195O D) 325O E) -35O

2. -150 25’ lık açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A)150 25’ B)150 35’ C)3440 15’ D)3440 35’ E)3450 35’

3. Şekilde verilenlere göre 5000 lik açının esas ölçüsü kaç

derecedir? A)400 B) 500 C)1400 D)1500 E)-400

4. Şekilde verilenlere göre -500 lik açının esas ölçüsü kaç

derecedir? A)400 B)500 C)1300 D)2300 E)3100

4

Bir duvar saati 12:20 ‘yi gösterdiğinde akrep ve yelkovanın

oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir?

Akrep 1 saatte (60 dakikada ) 30o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayının 12 de biri)

Yelkovan 1 saatte (60 dakikada ) 360o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayı-tam tur)

Saat 12:00 de akrep ve yelkovan 0o lik açı oluşturur. Akrep ve yelkovan üst üstedir.

20 dakikada (1/3 saatte) akrep; 30o(1/3) = 10o lik ,

Yelkovan; 360o(1/3) = 120o lik açı çizeceğinden ;

saat 12:20 de oluşturdukları açının ölçüsü : 120o – 10o = 110o olacaktır.

1. Bir duvar saati 3:15 ‘i gösterdiğinde akrep ve yelkovanın oluşturduğu açının ölçüsü

kaç derecedir?

A) 0O B) 5O C) 7O 30’ D) 15O E) 900

2. Bir duvar saati 6:00 ‘ı gösterirken, kaç dakika sonra akrep ve yelkovanın

oluşturduğu açının ölçüsü 90o olur?

A) 15 B) 16 C) 165/11 D) 180/11 E) 17

3. Saat 4:00 dan en az kaç dakika sonra akrep ve yelkovan üst üste gelir?

A)220/11 B)240/11 C)260/11 D)280/11 E)300/11

4. Bir duvar saatinde; birim zaman içinde yelkovanın süpürdüğü açı, akrebin

süpürdüğü açının kaç katıdır?

A) 6 B) 8 C) 11 D) 12 E) 13

5

RADYAN:

Çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açıya

1 radyanlık açı denir.

Tam çember yayı 2𝜋 radyandır.

Birim çemberde yarıçap 1 birim olduğundan, Birim

çemberde 1 birim uzunluğundaki yayı gören merkez açıya

1 radyanlık açı denir.

𝝅 SAYISI: Çember çevresi ile yarıçapı arasındaki ilişki araştırıldığında; Ç = 2𝜋.r ve

𝝅 =Ç

𝟐.𝒓 ≅ 𝟑, 𝟏𝟒.. gibi İrrasyonel bir sayı olduğu görülmüştür.

𝜃 Radyanlık daire diliminde;

Yay uzunluğu = s = 𝑟. 𝜃

Dilim alanı = A(AOB) = 1

2𝑟2. 𝜃 =

1

2𝑟. 𝑠

AOB Daire diliminin çevresi 7 cm. ve alanı 3 cm2 olduğuna göre

Dilimin yarıçapı kaç cm. olabilir ?

Dilimin Çevresi = 2r+s = 7 ⇒ s = 7 – 2r

;

Dilimin Alanı = 1

2 r.s = 3 ⇒

1

2. 𝑟(7 − 2𝑟) = 3

2r2-7r+6=0 ⇒ (r-2)(2r-3)=0 ⇒ r1=2 cm. veya r2=1,5 cm.

1. Birim çemberde 𝜋

3 radyanlık merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm. dir?

A) 𝜋

3 cm. B)

𝜋

6 cm. C)

𝜋2

18 cm. D) 30 cm. E) 60 cm.

2. Yarıçapı 2 cm. olan çemberde 𝜃 = 𝜋

6 lik daire diliminin alanı kaç cm2 dir?

A) 𝜋/2 B) 𝜋/3 C) 𝜋/4 D)𝜋/6 E) 2𝜋/3

3. Yarıçapı 1 cm. olan çemberde 𝜃 = 450 lik daire diliminde yayın uzunluğu kaç

cm.dir? A) 1 B) 2 C) 𝜋

2 D)

𝜋

3 E)

𝜋

4

4. Çevresi 12 cm. olan bir daire diliminin alanı en çok kaç cm2 olabilir?

A) 3 B) 4 C) 6 D)9 E)12

6

Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 2 ) aralığında karşı gelen

reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının radyan cinsinden esas ölçüsü denir.

Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar 2.k şeklindedir. ( Zk )

A ya : 0 + k.2𝜋 B ye : 𝜋

2+ 𝑘. 2𝜋

C ye : 𝜋 + 𝑘. 2𝜋 D ye : 3𝜋

2+ 𝑘. 2𝜋

P ye : 𝜃 + 𝑘. 2𝜋

(𝜃 : Esas ölçü. k∈ 𝑍 : Devir sayısı )

21𝜋

4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Verilen açı içinde 2𝜋 nin katları aranır. 21𝜋

4= 2.2𝜋 +

5𝜋

4

−21𝜋

4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

Verilen açı pozitifmiş gibi alıp 2𝜋 ye böldükten sonra kalan 2𝜋 den çıkarılır.

−21𝜋

4= −2.2𝜋 −

5𝜋

4 ; −

5𝜋

4+ 2𝜋 =

3𝜋

4 ; −

21𝜋

4= −3.2𝜋 +

3𝜋

4

(veya; 2𝜋 nin katları eklenerek bulunur. −21𝜋

4+ 3.2𝜋 =

3𝜋

4 )

1. 23𝜋

3 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

𝐴) 𝜋

3 B)

2𝜋

3 C)

4𝜋

3 D)

5𝜋

3 E)2𝜋

2. − 3𝜋

2 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

𝐴)𝜋

2 B)𝜋 C)

3𝜋

2 D)900 E)270O

3. Şekilde verilenlere göre 17𝜋

6 radyanlık açının esas ölçüsü kaç

derecedir? A)300 B) 600 C) 1200 D)1350 E)1500

4. Şekilde verilenlere göre -4050 lik açının ölçüsü kaç

radyandır? A)-𝜋

4 𝐵)𝜋/4 C)3𝜋/4 D) 5𝜋/4 E) 7𝜋/4

7

GRAD:

Tam bir çember yayının 400

1 üne 1 gradlık yay, bu yayı gören merkez açıya 1 gradlık açı

denir.

Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 400) aralığında karşı gelen

reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının grad cinsinden esas ölçüsü denir.

Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar 400.k şeklindedir. ( Zk )

Bu açı ölçme birimleri arasında :

2001800

GRD

bağıntısı vardır.

2𝜋 radyan = 360o ; 𝜋 radyan = 180o ; 𝜋

2 = 90o

80o lik açı kaç radyandır? 80o. 𝜋

180=

4𝜋

9 (

𝜋

180 ile çarpılır.)

4𝜋

3 radyanlık açı kaç derecedir?

4𝜋

3.180𝑜

𝜋= 240o (

180𝑜

𝜋 ile çarpılır.)

1. -50o lik açı kaç radyandır? A)−5𝜋

18 B)

5𝜋

18 C) −

5𝜋

9 D)

5𝜋

9 E)−

𝜋

18

2. 5𝜋

4 radyanlık açı kaç derecedir? A)45O B)135O C) 225O D)240O E)300O

3. 1 radyanlık açı kaç derecedir? A)57O18’ B)600 C)670 18’ D)900 E)450

4. 1800 lik açı kaç gradtır? A)50 B)75 C)100 D)150 E)200

8

Birim çemberde; 30o lik merkez açının bitim kenarı birim çemberi P(x,y) noktasında

kesiyorsa noktanın koordinatlarını bulunuz.

POH dik üçgeninde 𝜃 = 30𝑜 veriliyor.

30-60-90 Dik üçgeninde; 30o lik açı karşısındaki

kenar, hipotenüsün yarısı uzunlukta olacağından,

|PH|=|𝑃𝑂|

2=

1

2= 𝑦

|OH|=√3|𝑃𝐻| =√3

2= 𝑥 ; P (

√3

2,1

2)

1. Birim çemberde; 60o lik merkez açının bitim kenarı çemberi P(x,y) noktasında

kesiyorsa, y kaçtır?

A) 𝟏

𝟐 B) √

3

2 C)

√2

2 D) -

𝟏

𝟐 E) - √

3

2

2. Birim çemberde; 𝜃 = −𝜋4 ise P(x,y) aşağıdakilerden hangisidir?

(√2

2,√2

2) B) (− √2

2,√2

2) C) (√

2

2, −

√2

2) D) (− √2

2, −

√2

2) E) (−

1

2 , √

3

2)

3. Birim çember üzerindeki P(- 1

2, 𝑦) noktası için y aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) √3

2 B)

𝟏

𝟐 C)

√2

2 D) 0 E) -

𝟏

𝟐

4. Birim çember üzerindeki P(−1

2 , √

3

2) noktasının O başlangıç noktasına göre

simetriği aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1

2 , √

3

2) B) (

1

2 , − √3

2) C) (−

1

2 , − √3

2) D) (−

1

2 , √

3

2) E)( √

3

2, −

1

2)

9

AÇININ STANDART GÖSTERİMİ,

GENİŞ AÇILARIN , DAR AÇILAR TÜRÜNDEN İFADESİ

Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da

Ox ekseni ile çakıştırılarak yönü, tur sayısı ve bitim

kenarının Ox ekseni ile yaptığı açı belirlenir.

Soldaki şekilde;

-450, -4050 ve 315o …

derecelik açıların,

sağdaki şekilde;

35o, 3950 ve -3250 …

derecelik açıların

standart gösterimi.

90𝑜 < 𝜃 < 360𝑜 , 𝜋

2< 𝜃 < 2𝜋 olmak üzere 𝜃 açısına karşı gelen dar açı 𝜃′ dersek;

1. Standart gösterimi verilen açı kaç derece olabilir?

A)-1500 B)2100 C)5700 D)9300 E)-5100

2. Standart gösterimi verilen açının bitim kenarı 0x ekseni ile 300 lik

dar açı oluşturuyorsa bu açının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) 𝜋/6 B) 𝜋/3 C) 𝜋/2 D) 5𝜋/6 E) 7𝜋/6

10

SİNÜS FONKSİYONU

Her gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen

P(x, y) noktasının;

|PH| = y ordinatına gerçel sayısının sinüs’ ü denir.

Bu durumda; 00 lik açının bitim kenarı, birim çemberi

A(1,0) noktasında keser. Noktanın ordinatı 0 dır.

sin 00 = 0 dır.

Benzer şekilde; 90o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser.

Noktanın ordinatı 1 dir. sin 90o = 1 dir. sin 1800 = 0 , sin 270o = -1

I. ve II. Bölgedeki açılar için; (𝜃 𝑣𝑒 𝜋 − 𝜃)

Bu bölgelerde ordinatlar pozitif olduğundan açıların

sinüsleri pozitiftir.

sin (𝝅 − 𝜽) = 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽

III. ve IV. Bölgedeki açılar için; (𝜋 + 𝜃 𝑣𝑒 − 𝜃)

Bu bölgelerde ordinatlar negatif olduğundan açıların

sinüsleri negatiftir.

sin (𝝅 + 𝜽) = 𝒔𝒊𝒏(−𝜽) = −𝒚 = −𝒔𝒊𝒏𝜽

−𝟏 ≤ 𝒔𝒊𝒏 𝜽 ≤ 𝟏

sin : R → [-1,1] ; sin(𝜃 + 𝑘2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛𝜃

11

sin 45o nin değerini hesaplayınız.

PHO ikizkenar dik üçgeninde;

|OP|=1, |OH| = |PH| = x = y

x2 + x2 = 12 Pisagor teoremi

2x2=1, x = y = 1

√2=

√2

2 olur ki P(√2

2,√2

2 )

sin 45o =y= √2

2 I. BÖLGE

sin 135o = sin (1800-450) = sin 450 =𝑦 = √2

2 II. BÖLGE

sin 2250 = sin(1800+450) = -sin 450 =-y= - √2

2 III. BÖLGE

sin 3150 = sin(3600-450) = sin(-450) = - sin 450 =-y= - √2

2

IV. BÖLGE

1. sin 5400 ifadesinin değeri nedir? A) -1 B)0 C)1 D)1/2 E)√2/2

2. sin(−7𝜋

2) ifadesinin değeri nedir? A) -1 B)0 C)1 D)1/2 E)√2/2

3. sin(-2100) ifadesinin değeri nedir?

A)−√3/2 B) -1/2 C) 1/2 D) √3/2 E) √2 /2

4. sin 11𝜋

6 ifadesinin değeri nedir?

A)−√3/2 B) -1/2 C) 1/2 D) √3/2 E) √2 /2

12

KOSİNÜS FONKSİYONU

Her gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen

P(x,y) noktasının;

|OH| = x apsisine gerçel sayısının kosinüs’ ü ,

Bu durumda; 00 lik açının bitim kenarı, birim çemberi

A(1,0) noktasında keser. Noktanın apsisi 1 dir.

cos 00 = 1 dir.

Benzer şekilde; 90o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser.

Noktanın apsisi 0 dır. cos 90o = 0 dir. cos 1800 = -1 , cos 270o = 0

I. ve IV. Bölgedeki açılar için; (𝜃 𝑣𝑒 2𝜋 − 𝜃)

Bu bölgelerde apsisler pozitif olduğundan açıların

kosinüsleri pozitiftir.

cos (𝟐𝝅 − 𝜽) = 𝒄𝒐𝒔(−𝜽) = 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜽

II. ve III. Bölgedeki açılar için; (𝜋 − 𝜃 𝑣𝑒 𝜋 + 𝜃)

Bu bölgelerde apsisler negatif olduğundan açıların

kosinüsleri negatiftir.

cos (𝝅 − 𝜽) = 𝐜𝐨𝐬 (𝝅 + 𝜽) = −𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝜽

−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ≤ 𝟏

cos : R → [-1,1] ; cos(𝜃 + 𝑘2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃

13

COS 𝝅

𝟑 ün değerini hesaplayınız.

𝝅

𝟑 radyan =

𝝅

𝟑.180𝑜

𝜋= 60𝑜

PHO dik üçgeni 300-600-90o üçgeni olup, 300 lik açı

karşısındaki [OH] kenarının uzunluğu [OP] hipotenüsünün

yarısıdır.

|OP|=1 olduğundan, |OH|=x=1/2 ve |PH|=𝑦 = √3/2 dir.

P(1

2,√3

2) olduğu bulunur ki;

cos 𝝅

𝟑=

𝟏

𝟐 dir. I. BÖLGE

cos 2𝜋

3 = cos(𝜋 −

𝜋

3)=− cos

𝜋

3= −𝑥 =

1

2 II. BÖLGE

cos 4𝜋

3 = cos(𝜋 +

𝜋

3)=− cos

𝜋

3= −𝑥 =

1

2 III. BÖLGE

𝑐𝑜𝑠5𝜋

3= cos 2𝜋 −

𝜋

3 = cos −

𝜋

3 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3= 𝑥 =

1

2 IV. BÖLGE

Birim çemberden faydalanarak trigonometrik fonksiyonları tanımladığımızda;

cos 𝜃 değeri Ox eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Ox eksenine

KOSİNÜS EKSENİ,

sin 𝜃 değeri Oy eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Oy eksenine

SİNÜS EKSENİ denir.

1. cos 5100 ifadesinin değerini bulunuz.

A)−√3/2 B) -1/2 C) 1/2 D) √3/2 E) √2 /2

2. cos(-1500) ifadesinin değerini bulunuz.

A)−√3/2 B) -1/2 C) 1/2 D) √3/2 E) √2 /2

3. cos 17𝜋

4 ifadesinin değerini bulunuz.

A)1/2 B) -√2 /2 C) 0 D) √2 /2 E) √3/2

4. cos(- 13𝜋

3) ifadesinin değerini bulunuz.

A)1/2 B) -√2 /2 C) 0 D) √2 /2 E) √3/2

14

TANJANT FONKSİYONU

[OP ışını, 𝜃 açısının bitim kenarı olmak üzere;

[OP ışınının x=1 doğrusunu kestiği T(1, t) noktasının

t ordinatına gerçel sayısının tanjant’ı denir.

t = tan 𝜽

x=1 doğrusuna da TANJANT EKSENİ adı verilir.

OAT ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden; |𝐴𝑇|

|𝐻𝑃|=

|𝑂𝐴|

|𝑂𝐻| ⇒

𝑡

𝑦=

1

𝑥

tan 𝜽 =t = 𝒚

𝒙=

𝒔𝒊𝒏𝜽

𝒄𝒐𝒔𝜽 (x≠ 0)

cos 𝜋

2 = cos

3𝜋

2= 0 olduğundan tan

𝜋

2 ve tan

3𝜋

2 TANIMSIZ

tan : R-{

.2

k }R ; tan (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃

KOTANJANT FONKSİYONU

Yukarıdaki şekilde ; [OP ışının y=1 doğrusunu kestiği K(k,1) noktasının k apsisine

𝜃 gerçel sayısının kotanjantı denir.

k = cot 𝜽

y = 1 doğrusuna da KOTANJANT EKSENİ adı verilir.

KBO ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden; |𝐾𝐵|

|𝑂𝐻|=

|𝐵𝑂|

|𝐻𝑃| ⇒

𝑘

𝑥=

1

𝑦

cot 𝜽 = 𝒌 =𝒙

𝒚=

𝒄𝒐𝒔 𝜽

𝒔𝒊𝒏 𝜽 (y≠ 0) tan 𝜃 =

1

cot 𝜃

sin 0 = sin 𝜋 = 0 olduğundan cot 0 ve cot 𝜋 TANIMSIZ

cot : R-{k𝜋} → 𝑅 ; cot (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃

15

I ve III. Bölgedeki açılar için (𝜃 𝑣𝑒 𝜋 + 𝜃) ; Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının

t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri pozitif olduğundan açıların tanjant ve

kotanjantları pozitiftir.

II. ve IV. Bölgedeki açılar için (𝜋 − 𝜃 𝑣𝑒 − 𝜃); Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının

t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri negatif olduğundan açıların tanjant ve

kotanjantları negatiftir.

𝐜𝐨𝐭 −𝟑𝝅

𝟒 değerlerini hesaplayınız.

Açının önce Esas ölçüsünü bulalım. −3𝜋

4+ 2𝜋 =

5𝜋

4

Geniş açıyı dar açı cinsinden yazalım. 5𝜋

4= 𝜋 +

𝜋

4

Açının bitim kenarı III. Bölgede olup PHO dik üçgeninde;

m(POH)= 𝜋

4 𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛 = 45𝑜 dir.

POH ikizkenar dik üçgeninde, hipotenüs olan OP birim çember nedeniyle 1 birimdir.

|PH|=|HO| olup Pisagor teoreminden; |PH|2+|HO|2= 1 ve |PH|=|HO|=√2

2

P noktası III. Bölgede olduğundan x = y = - √22

olur.

P(- √22

, - √22) ; cot −

3𝜋

4 = cot

5𝜋

4 = cot 𝜋 +

𝜋

4 = 𝑐𝑜𝑡

𝜋

4=

𝑥

𝑦=

− √2

2

− √2

2

= 1

Ayrıca, OP doğrusu x=1 ve y=1 doğrularının kesim noktası (1,1) den geçer.

(Karede köşegen kenarlarla 450 lik açı yapar.)

Bu durumda T ve K noktaları da çakışır.

K(1,1) noktasının apsisi olan 1 , aranan yanıttır. cot −3𝜋

4 = 1

16

1. 𝐭𝐚𝐧(−𝟐𝟒𝟎𝒐) nin değerini bulunuz.

𝑨) √𝟑 B) -√𝟑 C) 1/√𝟑 D) -1/√𝟑 E) 1

2. cot(−4𝜋3) ün değerini bulunuz.

𝑨) √𝟑 B) -√𝟑 C) 1/√𝟑 D) -1/√𝟑 E) 1

3. tan 𝟕𝝅𝟐 nin değerini bulunuz.

A) -1 B) 0 C) 1 D) √𝟑 E) Tanımsız

4. cot 7800 nin değerini bulunuz.

A)-√𝟑 B) -1/√𝟑 C) 1/√𝟑 D) √𝟑 E) 0

1996 ÖYS

O merkezli Birim çember. A, B çember üzerinde.

A∈ 𝑂𝑥 ekseni, BD⊥OA, m(BOD)=𝛼

Şekildeki O merkezli Birim çemberde; cos 𝛼 = |𝐴𝐵| olduğuna

göre, |𝐴𝐵| kaç birimdir?

A)√3 + 2 B) √3 + 1 C) √3 D) √3 − 1 E) √3 − 2

Birim çemberde |OB|=1 ve Kosinüs fonksiyonunun tanımından |OD|=cos 𝛼 dır.

cos 𝛼 = |𝐴𝐵| verildiğinden; |OD|=|AB|=x dersek

BDO dik üçgeninde Pisagor teo: |OD|2 + |BD|2 =|OB|2 ⇒ x2+|BD|2=1 ⇒ |BD|2=1-x2

|OA|=|OD|+|DA|=x+|DA|=1 ⇒ |DA|=1-x

BDA dik üçgeninde Pisagor teo: |DA|2+|BD|2=|AB|2 ⇒ (1-x)2+ 1-x2=x2

⇒ x2+2x-2=0 denkleminin kökleri: x1,2 =±√3 − 1

Uzunluk negatif olamayacağından |AB| = x = √3 − 1 dir.

17

SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI

P noktasından birim çembere çizilen teğetin ;

x eksenini kestiği E(s, 0) noktasının

s apsisine gerçel sayısının sekant’ı ,

y eksenini kestiği F(0, c) noktasının c ordinatına da

gerçel sayısının kosecant’ı denir.

sec = s csc = c

OHP ve OPE üçgenlerinin benzerliğinden; |𝑂𝑃|

|𝐸𝑂|=

|𝑂𝐻|

|𝑂𝑃| ⇒

1

𝑠=

𝑥

1

sec 𝜽 = 𝒔 =𝟏

𝒙 (x≠ 0) ; sec 𝜽 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝜽

cos 𝜋

2= cos

3𝜋

2= 0 olduğundan sec

𝜋

2 𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑐

3𝜋

2 TANIMSIZ

sec : R-{

.2

k }R-(-1, 1)

OHP ve FPO üçgenlerinin benzerliğinden; |𝑂𝑃|

|𝐹𝑂|=

|𝑃𝐻|

|𝑂𝑃| ⇒

1

𝑐=

𝑦

1

csc 𝜽 = 𝒄 =𝟏

𝒚 (y≠ 𝑜) ; csc 𝜽 =

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝜽

sin 0 = sin 𝜋 = 0 olduğundan csc 0 ve csc 𝜋 TANIMSIZ

csc : R-{ .k }R-(-1, 1)

18

Tüm trigonometrik fonksiyonlar, Birim çember ve dik üçgen özellikleri kullanılarak

aşağıdaki şekilde özetlenebilir.

OCA dik üçgeninde; Pisagor teoremine göre, |AC|2+|OC|2=|OA|2

|OA|=1, |AC|=sin 𝜃, |OC|=cos 𝜃 olduğundan; sin2𝜽 + cos2𝜽 = 1

FOE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre, |OA|2=|AE|.|AF|

|OA|=1, |AE|=tan 𝜃 , |AF|=cot 𝜃 olduğundan; tan 𝜽. 𝒄𝒐𝒕 𝜽 = 𝟏

1. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre cot 𝜃(𝑐𝑜𝑡 𝜃 + tan𝜃) ifadesinin eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A)sec2𝜃 B)csc2𝜃 C)sin2𝜃 D)cos2𝜃 E)tan2𝜃

2. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre cos𝜃(sec𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) ifadesinin eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A)sec2𝜃 B)csc2𝜃 C)sin2𝜃 D)cos2𝜃 E)tan2𝜃

3. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre sec𝜃(𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) ifadesinin eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A)sec2𝜃 B)csc2𝜃 C)sin2𝜃 D)cos2𝜃 E)tan2𝜃

5. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre tan𝜃(𝑐𝑜𝑡 𝜃 + tan 𝜃) ifadesinin eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A)sec2𝜃 B)csc2𝜃 C)sin2𝜃 D)cos2𝜃 E)tan2𝜃

19

AA1O dik üçgeninde; m(AOA1) = 𝜃 , |AO|=1, |AA1|=y=sin 𝜃 , |OA1|=x=cos𝜃

AA10 ≅ OKP (AKA) , m(OPK) = 𝜃 ,

sin(𝜃 + 90𝑜) =|PK|=|OA1|= cos𝜃 , II. BÖLGEDE sinüs pozitiftir.

cos(𝜃 + 90𝑜) =|KO|=|AA1|= - sin 𝜃 II. BÖLGEDE kosinüs negatiftir.

AA1O ≅ OTE (AKA) , m(OTE) = 𝜃 ,

sin(𝜃 −90o) = |ET|= |OA1|= -cos 𝜃 IV. BÖLGEDE sinüs negatiftir.

cos(𝜃 −90o) = |OT|=|AA1|= sin 𝜃 IV. BÖLGEDE kosinüs pozitiftir.

AA1O dik üçgeninde; m(AOA1) = 𝜃 , |AO|=1, |AA1|=y=sin 𝜃 , |OA1|=x=cos𝜃

AA1O ≅ PEO (AKA) , m(POE)=𝜃

sin(𝜃 ± 180O) = |PE|=|AA1|= - sin 𝜃 III. BÖLGEDE sinüs negatiftir.

cos(𝜃 ± 180O) = |EO|=|OA1|= - cos 𝜃 III. BÖLGEDE kosinüs negatiftir.

20

AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİNİN BULUNMASI

Verilen bir 𝜃 açısının Trigonometrik değerlerini bulmak için:

𝟎𝒐 ≤ 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝒐 İSE:

cos2

sin

sin → cos

sin2

cos

cos → sin

cot2

tan

tan → cot

tan2

cot

cot → tan

Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin

kotanjantına eşittir.

21

I. Bölgede tüm trigonometrik değerler POZİTİFTİR.

𝟎𝒐 ≤ 𝜽 < 𝟑𝟔𝟎𝒐 DEĞİL İSE:

Önce açının Esas ölçüsü bulunur.

Esas ölçüsü bulunan açının Bitim kenarının bulunduğu bölge belirlenir.

Verilen fonksiyonun o bölgedeki işareti kullanılır.

Dar açı türünden ifade edilir.

Bunun için 180o den ne kadar küçük (180o - 𝜶) , II. BÖLGE

180o den ne kadar büyük (180o + 𝜶) , III. BÖLGE

3600 den ne kadar küçük (3600 - 𝜶) , IV. BÖLGE

( 00< 𝜶 < 90o ) bulunur.

cot)cot(

tan)tan(

sin)sin(

cos)cos(

II. BÖLGE

cot)cot(

tan)tan(

sin)sin(

cos)cos(

III. BÖLGE

cot)cot()2cot(

tan)tan()2tan(

sin)sin()2sin(

cos)cos()2cos(

IV. BÖLGE

180o ve 360o ile karşılaştımalarda; fonksiyon değişmez, Trigonometrik değerin

o bölgedeki işareti kullanılır.

900 veya 2700 ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon değiştirilir, Trigonometrik değerin

o bölgedeki işareti kullanılır.

22

𝑐𝑜𝑠 𝜋

2−𝜃 −1

1+𝑠𝑖𝑛(−𝜃) İfadesinin eşitini bulunuz.

𝑐𝑜𝑠 𝜋

2− 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 kosinüs, tümlerinin sinüsüne eşittir.

sin (-𝜃) = -sin 𝜃 IV. Bölgede sinüs negatiftir.

Yerlerine yazıldığında;

𝑐𝑜𝑠 𝜋

2−𝜃 −1

1+𝑠𝑖𝑛(−𝜃)=

𝑠𝑖𝑛𝜃−1

1−𝑠𝑖𝑛𝜃=

−(1−𝑠𝑖𝑛𝜃)

1−𝑠𝑖𝑛𝜃= −1 bulunur.

1. tan 𝜋

2− 𝜃 . 𝑠𝑖𝑛𝜃 ifadesinin eşitini bulunuz.

A) sin 𝜃 B) cos 𝜃 C) tan 𝜃 D) sec 𝜃 E) csc 𝜃

B)

2. ?)7sin()sin()4sin()5sin( eşiti hangisidir? A) sin 𝜃 B) cos 𝜃 C) 2 sin 𝜃 D) 2 cos 𝜃 E) 0

3. ?)5sin()

2

3sin()3sin()

2

9sin(

eşiti hangisidir?

A) sin 𝜃 - cos 𝜃 B)2(sin 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) C) sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 D)2(sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) E) 0

4. )360cot()270tan(

)180cos()90sin(

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) sin 𝜃 B) cos 𝜃 C) -sin 𝜃 D) -cos 𝜃 E) 0

23

a25tan olduğuna göre; ?115tan.155tan1

115tan155tan

ifadesinin değeri nedir?

Önce verilen açıları tanjantı bilinen açı (250) türünden yazalım:

tan 1550 = tan (1800 – 250) tanjantın periyodu 1800 olduğundan, 1800 lik kısmı atılabilir.

= tan ( - 250) - 250 IV. Bölgede dir. Bu bölgede tanjant negatiftir.

= - tan 250

= - a

tan 1150 = tan (900 + 25) 900 veya 2700 ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon

değiştirilir, Trigonometrik değerin o bölgedeki işareti kullanılır.

tan( 900+ 𝜃) = −𝑐𝑜𝑡𝜃 900+ 𝜃 II. Bölgededir ve bu

bölgedetanjant negatiftir.

= −𝑐𝑜𝑡250 , tan 25 =1

𝑐𝑜𝑡250 , cot 250 =

1

𝑎

= −1𝑎

Bulunanları istenen ifadede yerlerine yazarsak;

tan155 tan115

1 tan155.tan11;  

5    

−𝑎−(− 1

𝑎)

1+(−𝑎)(− 1

𝑎)=

−𝑎+1

𝑎

1+1=

1−𝑎2

2𝑎 bulunur.

NOT: Bu soru, açıların toplam ve farklarının trigonometrik değerlerini öğrendikten sonra

değişik bir yol ile de çözülebilir.

1. a25tan olduğuna göre; ?335tan245tan

115tan205tan

değeri nedir?

A) 𝑎2+1

𝑎2−1 B)

𝑎2−1

𝑎2+1 C)

𝑎2+1

1−𝑎2 D)

𝑎2

1−𝑎2 E)

𝑎2+1

𝑎2

2. 3

2tan olduğuna göre; ?

)360cot()270tan(

)180cos()90sin(

değeri nedir?

A) -2/√13 B) 2/√13 C) √13/2 D) -√13/2 E) 1

3. 3

2tan olduğuna göre; ?

)cot()270sin(

)180cos()90tan(

değeri nedir?

A) 2+√13

2−√13 B)

2−√13

2+√13 C)

2

2−√13 D)

2+√13

2 E) 1

24

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ:

c

bkdikı

Hipotenüs

. Karşsin

c

aKom

Hipotenüs

k.dik şucos

a

b

kdiku

Kar

. Komş

k.dik şıtan

b

aKomş

k.dik ıKarş

k.dik ucot

a

c

Komş

Hipotenüs

k.dik usec

b

c

kdikKarş

Hipotenüs

. ıcsc

Şekildeki dik üçgende 𝜃 açısının Trigonometrik değerlerini

hesaplayalım.

Şekilde; 𝜃 açısına komşu dik kenar 5 br., açının karşısındaki dik kenar 12 br. dir.

Pisagor teoreminden ; (a2=b2+c2) Hipotenüs uzunluğu =√52 + 122 = 13

sin 𝜃 =𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠=

12

13 cos 𝜃 =

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠=

5

13 tan 𝜃 =

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

12

5

csc 𝜃 =𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

13

12

1

𝑠𝑖𝑛𝜃 sec 𝜃 =

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

13

5=

1

𝑐𝑜𝑠𝜃 cot 𝜃 =

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

5

12=

1

𝑡𝑎𝑛𝜃

25

1. Şekildeki dik üçgende verilen 𝜃 açısı için;

cos𝜃 + cot 𝜃 toplamını bulunuz.

A)27/20 B)32/15 C)29/15 D)25/12 E)7/5

2. Şekilde verilenlere göre;

sin B.tan C çarpımı kaçtır?

A) 3 B) 1/3 C) 2√2 D) 1/2√2 E) 2√2/3

3. Şekildeki dikdörtgende; |AE|=|EB|=|BC|

olduğuna göre tan(∡EDC) + sin(∡AED) değeri kaçtır?

A) 1+√2 B) 1 C) √2/2 D)(1+√2)/2 E)(2+√2)/2

4. Özdeş karelerden oluşan yandaki şekilde;

tan 𝛼 kaçtır?

A) 1 B)1/5 C)2/5 D)3/5 E)4/5

26

Şekildeki ABCD karesinde;

|AE| = 3.|EC| olduğuna göre ; tan(∡𝐴𝐸𝐵) kaçtır?

Bu tip sorularda gerekirse ek çizim yaparak verilen açının bir

dik üçgende dar açı olması sağlanır.

Ayrıca bir takım temel geometri bilgilerine de gereksinim

duyulabilir.

Bu soru için; Karenin diğer köşegeni çizildiğinde istenen

sağlanır. Çünkü karede köşegenler bir birini dik olarak

ortalar. AC⊥ 𝐵𝐷 ve |AP| =|PC|= |BP|=|PE| dir.

Bu durumda; |AE| = 3.|EC| verildiğinden

|BP| = 2.|PE| olur.

BPE dik üçgeninde tan(∡𝐴𝐸𝐵) =|𝐵𝑃|

|𝑃𝐸|=

2.|PE|

|𝑃𝐸| =2 dir.

1. ABCD dikdörtgeninde;

DE⊥AC , |AD|=4 ve |DC|=6 dır.

m(ADE)=𝛼 olduğuna göre tan 𝛼 kaçtır?

A) 2/3 B)3/2 C)2 D)3 E)10/3

2. ABC üçgeninde;

|BD|=|DC|=|AD| ve tan(∡𝐴𝐵𝐶) = 3/2 olduğuna

göre tan(∡𝐴𝐶𝐵) kaçtır?

A)2/3 B)3/2 C) 3/5 D) 5/6 E)6/5

3. Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde;

|BD|=3.|DC| olduğuna göre tan(∡𝐴𝐷𝐶) kaçtır?

A)√3/2 B) √3 C) 2√3 D)3√3 E)3

4. sin 420=cos 𝛼 ve tan 380=cot𝛽 olduğuna göre; 𝛼 + 𝛽 kaç derece olabilir?

A) 800 B) 900 C) 1000 D) 1100 E) 1200

27

Şekildeki dik üçgende; verilen 𝜃 𝑎ç𝚤𝑠𝚤 𝑖ç𝑖𝑛 ise

değerini bulunuz.

ABC üçgeninde; 𝜃 açısının karşısındaki dik kenar |𝐴𝐶| , komşu dik kenar |𝐵𝐶|

olduğundan tan 𝜃 =|𝐴𝐶|

|𝐵𝐶| dır.

= |𝐴𝐶|

|𝐵𝐶| eşitliğinde, |𝐴𝐶| = 4 ve |𝐵𝐶| = 3 alınabilir.

Pisagor teoreminden; |AB|2 = 32 + 42 = 9+16=25 , |AB|=5 bulunur.

sin 𝜃 =𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠=

4

5 cos 𝜃 =

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠=

3

5 tan 𝜃 =

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

4

3

csc 𝜃 =𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

5

4=

1

𝑠𝑖𝑛𝜃 ; sec 𝜃 =

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

5

3=

1

𝑐𝑜𝑠𝜃 ; cot 𝜃 =

𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.

𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.=

3

4=

1

𝑡𝑎𝑛𝜃

𝐵𝑢𝑙𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛𝑒 𝑦𝑎𝑧𝚤𝑙𝑑𝚤ğ𝚤𝑛𝑑𝑎

45

+35

−43

53

+54

−34

= 2

35 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑐𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑙𝑎ş𝚤𝑙𝚤𝑟.

1. Bir dik üçgende 𝜃 dar açısı için cos 𝜃 =5

13 ise sin 𝜃. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 çarpımını bulunuz.

A)60/169 B)25/156 C)144/65 D)12/5 E)13/12

2. ABC üçgeninde; AD⊥ 𝐵𝐶 , |AB|=9 ,

m(BAD)=m(ACB) ve cos(∡𝐵𝐴𝐷) = 4/5

olduğuna göre; |AC| kaç birimdir?

A)6 B)8 C)9 D)12 E)15

3. Bir dik üçgende dar açıların ölçüleri 𝛼 𝑣𝑒 𝛽 dır. Bu dik üçgende;

sin2𝛼 − 𝑐𝑜s2𝛽 işleminin sonucu kaçtır?

A)-1 B)0 C) 1 D)2 E)1/2

3

4tan

?cotcscsec

tancossin

3

4tan

28

ABC dik üçgeninde verilen açı ve kenardan

yararlanarak dik üçgenin diğer kenar uzunluklarını

bulurmusunuz?

Dik üçgende dar açılar toplamından; mA+mB=90o ; 35o+mB=900 ; mB=900-350=550

sin𝐴 =𝑎

𝑐 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛: sin 350 =

𝑎

16 𝑎′𝑦𝚤 ç𝑒𝑘𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘: 𝑎 = 16. sin 350

cos 𝐴 =𝑏

𝑐 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛: cos 350 =

𝑏

16 𝑏′𝑦𝑖ç𝑒𝑘𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘 𝑏 = 16. cos 350

1. A açısı ve b kenarı verilen ABC dik

üçgeninde c hipotenüs uzunluğunu bulunuz. A)10.sin 32o B)10.cos 32o C)10/cos 32o

D)10/sin 320 E)10.tan 32o

2. Şekildeki ağacın gölge boyu 25 m., mC=31o ise ağacın AB boyu kaç metredir?

A)25.cot 31o B) 25.tan 31o C)25/cos 31o

D)25/tan 310 E) 25.sin 31o

3. Şekildeki ABC, ACD ve ADE dik üçgenlerinde mA=𝜃,

|AB|=a , üçgenlerde mB=mC=mD=90o dir.

x uzunluğunun a ve 𝜃 türünden eşiti hangisidir?

A)a/cos𝜃 B)a/sin𝜃 C)a/cos3𝜃 D)a/sin3𝜃 E)a/3cos𝜃

4. Nehir kıyısında C noktasında bulunan kişi ile karşı

kıyıdaki B noktasını birleştiren doğru kıyı ile 390 lik açı

yapmaktadır. B nin karşı kıyıdan uzaklığı w, |BC|=80 m.

İse w uzaklığı ne kadardır?

A) 80.tan390 B) 80.cot390 C) 80/cos390

D) 80/tan390 E) 80.sin390

29

Şekilde; Kenar uzunlukları 1 br. olan küpte [BC] taban köşegeni ve

[AB] cisim köşegeni çizilmiştir.

m(ABC) = 𝜃 olduğuna göre; sin 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 𝜃. 𝑡𝑎𝑛 𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃

çarpımını hesaplayınız.

BDC dik üçgeninde; mD=90o , BC hipotenüs (karenin köşegeni)

Pisagordan: |𝐵𝐶|2 =12+12 =2 ; |BC|= 2 br.

ACB dik üçgeninde ( AC BC ) : (Üç dikme teoremi) Tabana dik olan doğru, tabandaki

doğrulara da diktir.

𝐴𝐶𝐵 𝑑𝑖𝑘 üç𝑔𝑒𝑛𝑖𝑛𝑑𝑒; (𝐴𝐵 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠) 𝑃𝑖𝑠𝑎𝑔𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛 |𝐴𝐵|2 = (√2)2

+ 12 = 3 ; |AB|= 3 br.

ACB dik üçgeninde 𝜃 açısı için işlem yapıldığında;

3

1sin

AB

AC ,

3

2cos

AB

BC

2

1tan

BC

AC ,

1

2cot

AC

BC Yerlerine yazıldığında ;

sin𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃 =1

√3.√2

√3.

1

√2.√2

1=

√2

3 bulunur.

NOT: Kenar uzunlukları a olan küpte [AB] CİSİM KÖŞEGENİnin uzunluğu √3. 𝑎 dır.

Soruda tanjant ve kotanjantı hesaplamaya gerek yoktu. Çünkü tan𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1 𝑑𝑖𝑟.

1. Şekildeki dikdörtgenler pirizmasında

verilenlere göre;

işleminin sonucu kaçtır?

1. 1/2 B)1 C)2/3 D)3/4 E)5/3

2. Yukarıdaki şekilde tan y kaçtır?

A) 1 B)3/4 C)5/6 D)4/5 E)5/4

30

PRATİK YÖNTEM:

00 30o 45o 60o 90o açılarının altlarına

0 1 2 3 4 sayıları yazılır.

Kareköklerinin yarısı açıların sinüslerini verir.

Bulunan sayılar ters sırada yazılırsa kosinüsler bulunur.

Oranları da tanjant ve tersi de kotanjantları verir.

30o , 45o , 60o derecelik açılara sahip dik üçgenler, özel üçgenlerdir.

30o, 60o, 90o Dik üçgeninde 30o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün

yarısına eşittir. (√3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir)

45o lik açılara sahip dik üçgenler ikizkenar üçgenlerdir.

31

sin 300 . cos 300. tan 300 . cot 300 . sec 300 . csc 300 = ? Çarpımının değerini bulunuz.

Bir 30o-60o-90o dik üçgeni çizer ve hipotenüs uzunluğuna da 2 br. dersek;

30o lik açı karşısındaki kenar 1 br. , 600 lik açı karşısındaki kenar √3 br. olacaktır.

(30o, 60o, 90o Dik üçgeninde 30o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün

yarısına eşittir.) (√3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir)

Bu durumda; 30o lik açı karşısında 1 br., komşu dik kenar √3 br.

60o lik açı karşısında √3 br., komşu dik kenar 1 br. olduğundan

Değerleri yerlerine yazıldığında;

sin 300 . cos 300. tan 300 . cot 300 . sec 300 . csc 300 = 1

2.√3

2.√3

3. √3.

2

√3. 2 = 1 bulunur.

DİKKAT !

Tanım ve Örneklerden görülebileceği gibi,

sin, cos ve tan fonksiyonlarının çarpımsal tersleri sırası ile

csc, sec ve cot fonksiyonlarıdır.

𝐜𝐬𝐜 𝜽 =𝟏

𝐬𝐢𝐧𝜽 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =

𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐭 𝜽 =

𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝜽

Bu yüzden altı değerden üçü diğerlerinin çarpımsal tersleri olduğundan SONUÇ=1 dir.

1. cos 00 . cos 300 . cos 45𝑜 . cos 600 . cos 900 =? Çarpımının değerini bulunuz. 𝐴)0 B) 1 C)√2/4 D)√6/4 E)√6/8

2. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi yanlıştır?

A) sin1500=1/2 B)cos2400=-1/2 C)tan3150=-1

D)cos(-600)=1/2 E)sin(-4200)=−√3/2

3. 300 lik bir açının bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın apsisi kaçtır?

A) 1/2 B) √3/2 C)√2/2 D)1 E)0

32

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Konunun daha iyi anlaşılması için öncelikle Ters Fonksiyon kavramını bir hatırlayalım.

TERS FONKSİYON:

f:A B , x y=f(x) 1-1 ve örten bir fonksiyon olsun.

f-1 :B A , y x=f-1(y) fonksiyonuna f fonksiyonunun TERSİ denir.

Kısaca y=f(x) iken x=f-1(y) dir.

Şimdi Trigonometrik fonksiyonlarda bu koşulları sağlamaya çalışalım.

f(𝜃) = sin 𝜃 ve g(𝜃) = cos 𝜃 fonksiyonlarının [−𝜋, 𝜋] aralığında aldığı değerleri

tabloda gösterelim.

Tablodan faydalanarak bu iki fonksiyonun verilen aralıkta grafiklerini çizelim.

İncelendiğinde görülecektir ki her iki fonksiyonda verilen aralıkta bire-bir ve örten

olmadığından terslerinden söz edilemez.

f: sin [−𝜋

2,𝜋

2 ] → [-1,1]

f-1: arc sin [-1,,1] → [−𝜋

2,𝜋

2 ]

f: cos [0,𝜋] → [-1,1]

f-1: arc cos [-1,1] → [0,𝜋]

33

f: tan (−𝜋

2,𝜋

2 ) → R

f-1: arc tan R → (−𝜋

2,𝜋

2 )

f: cot (0,𝜋) → 𝑅

f-1: arc cot 𝑅 → (0,𝜋)

𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔√𝟑

𝟐 = 𝒙 değerini bulunuz.

Ters gonksiyon tanımından; y=f(x) iken x=f-1(y) dir.

Y = f(x) = cos x için x = f-1(y) = cos-1 y = arc cos y dir. f : cos , f-1: arc cos

cos 𝜃 = 𝑎 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑎 = 𝜃 olduğundan

𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠√3

2= 𝑥 nedir? sorusu aslında ‘’ kosinüsü √

3

2 olan açı kaç derecedir(radyan) ?’’

cos 𝑥 =√3

2 sorusuna dönüşür.

0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , 0𝑜 ≤ 𝜃 ≤ 180𝑜 aralığında ;

Kosinüsü √3

2 olan x açısı 30o (

𝜋

6 ) dir.

cos𝜋

6=

√3

2 olduğundan 𝑐𝑜𝑠−1 √3

2= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠

√3

2=

𝜋

6 dır. Veya :

cos 30𝑜 =√3

2 olduğundan 𝑐𝑜𝑠−1 √3

2= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠

√3

2= 30𝑜 dir.

NOT: 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒂 = 𝜽 sorusunda genel olarak 𝜃 açısı [0,𝜋] aralığında alınır.

1. arc tan(−√3) = 𝑥 eşitliğinde x değeri nedir?

A)– 600 B) -300 C) 00 D) 300 E) 600

2. arc sin(√2

2) = 𝑥 eşitliğinde x değeri kaçtır? A)-300 B)-450 C) 300 D)450 E)600

34

SİNÜS TEOREMİ:

Herhangi bir ABC üçgeninde:

Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri orantılıdır.

Orantı sabiti : 2R Çevrel çember çapıdır.

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

NOT:Üçgenin iki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu veya iki kenarının uzunluğu ve bir

açısının ölçüsü biliniyorsa (Çevrel çember yarıçapı söz konusu ise)

sinüs teorem uygulanır.

Şekildeki ABC üçgeninde; mA= 300 , a =12 cm. verilmiştir.

Üçgenin Çevrel çember yarıçapını bulunuz.

ABC Üçgeninde ; Bir açısının ölçüsü ve karşı kenar uzunluğu verilmiş, çevrel çember

yarıçapı sorulduğundan Sinüs Teoremi gereğince:

𝑎

sin 𝐴= 2𝑅 Verilenler yerine yazıldığında; sin 300 = 1/2

12

sin 30𝑜 =121

2

= 24 = 2𝑅 den

R=12 cm. bulunur.

UYARI : Sorunun çemberde OAB eşkenar üçgeni oluşturarak sentetik çözümü de vardır.

1. ABC üçgeninde; a = 10 cm. , c = 10√3 , mA =30O ise C geniş açısının ölçüsü kaç

derecedir? A) 60O B) 1200 C) 1350 D) 1500 E) 2400

2. ABC üçgeninde; mA=1150, a=20 br., b=11 br. ise sin B yi bulunuz.

A)11.sin650/20 B)20.sin115o/11 C)11.cos115o/20 D)11/20 E)20/11

3. Köşeleri, 5 cm. yarıçaplı çember üzerinde bulunan ABC üçgeninde A açısının ölçüsü

600 ise a kenar uzunluğu kaç cm. dir? A)5 B)5√3/2 C)5√3 D)6 E)10

35

4. Şekildeki ABC üçgeninde;

|BD|=|DC|, mBAD= 𝛼 , mDAC= 𝛽 𝑣𝑒

mBDA= 𝜃 dır.

2 cot 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛽 olduğunu gösteriniz.

ACD üçgeninde sinüs teoreminden; |𝐴𝐷|

𝑠𝑖𝑛𝐵=

|𝐵𝐷|

𝑠𝑖𝑛𝛼 , 𝜶 + 𝜽 + 𝑩 = 𝟏𝟖𝟎𝟎

B=1800-( 𝜶 + 𝜽) , sinB=𝜶 + 𝜽

|AD|=|𝑩𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜽)

𝒔𝒊𝒏𝜶

ADC üçgeninde sinüs teoreminden; |𝐴𝐷|

𝑠𝑖𝑛𝐶=

|𝐶𝐷|

𝑠𝑖𝑛𝛽 , 𝜷 + 𝑪 = 𝜽 , C=𝜽 − 𝜷

sinC=sin(𝜽 − 𝜷)

|AD|=|𝑪𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜽−𝜷)

𝒔𝒊𝒏𝜷

|𝑩𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜽)

𝒔𝒊𝒏𝜶=

|𝑪𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜽−𝜷)

𝒔𝒊𝒏𝜷 ,

𝒔𝒊𝒏𝜶.𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒄𝒐𝒔𝜶.𝒔𝒊𝒏𝜽

𝒔𝒊𝒏𝜶=

𝒔𝒊𝒏𝜽.𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒄𝒐𝒔𝜽.𝒔𝒊𝒏𝜷

𝒔𝒊𝒏𝜷

cos𝜽 + 𝒄𝒐𝒕𝜶. 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 iki tarafı da sin𝜽 ya böldüğümüzde;

cot𝜶 + 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒕𝜽

2 cot 𝜽 = 𝒄𝒐𝒕 𝜷 − 𝒄𝒐𝒕 𝜶

36

KOSİNÜS TEOREMİ

Herhangi bir ABC üçgeninin üç kenar uzunluğu ve bir açısı

arasında ;

bağıntıları vardır.

NOT: Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bir açısının ölçüsü veya üç kenarının uzunluğu

biliniyorsa kosinüs teoremi uygulanır.

ABC üçgeninde; b = 2√3cm. , c = 6 cm. ve mA = 30o ise üçgenin a kenar uzunluğu kaç cm.

dir?

Üç kenar uzunluğu ve bir açı söz konusu olduğundan, Kosinüs teoreminin verilen açının

bulunduğu eşitliği kullanalım.

a2 = b2 + c2 -2b.c.cos A verilenleri yerlerine yazalım;

a2 = (2√3)2 + 62 – 2. 2√3.6.cos 300 cos 300 = √3

2

a2 = 12 +36 -24√3.√3

2 = 12 ; a = 2√3 Meğer üçgen ikizkenarmış

Trigonometri üçgen çözümü olduğundan, verilenler ve bulunandan yararlanarak diğer

elemanları sentetik olarak bulunabilir. ( mB=300 , mC=1200 )

1. Bir ABC üçgeninde; a=2 cm. , b=√6 cm. , c=1+√3 cm. ise mA kaç derecedir?

A)300 B) 450 C)600 D) 1200 E)1350

2. Şekilde; A,E,D ve B,E,C doğrusal.

|AE|=|BE|=|CE|=3, |AB|=2, |DE|=6 birimdir.

Verilenlere göre |CD|=x kaç birimdir?

A) 4 B)√17 C)2√3 D)2√5 E)5

37

TANJANT TEOREMİ:

Bir ABC üçgeninin iki açısı ve bu açılar karşısındaki kenarları arasında;

2tan

2tan

BA

BA

ba

ba

eşitliği vardır.

ÜÇGENSEL BÖLGENİN ALANI:

Bir ABC üçgensel bölgesinin alanı: İki kenarı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının

yarısına eşittir.

A(ABC) = Abc sin.2

1 = Bac sin.

2

1 = Cab sin.

2

1 dir.

EK BİLGİ: Üçgenin elemanları ile alanı arasında aşağıdaki bağıntılar da vardır.

A(ABC) = 1

2 a.ha =

1

2 b.hb =

1

2 c.hc

2u = a+b+c ; u = 1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ve

ABC üçgeninde; mA=1200 , b=7cm., c=11cm.

olduğuna göre A(ABC) kaç cm2 dir?

A(ABC) = 1

2 b.c.sin A Alan formülünde verilenler yerlerine yazıldığında;

= 1

2.7.11.sin1200 sin120o = sin(1800-600) = sin 600 = √

3

2 (II. Bölge)

= 77

2.√3

2=

77√3

4 cm2

38

EK ÇÖZÜM: C köşesinden AB kenarına CH dikmesi çizildiğinde;

CHA, 300-600-900 dik üçgeninde |CH|= hc = 7√3/2 (A daki dış açı 600)

A(ABC) = 1

2 a.ha =

1

2 b.hb =

1

2 c.hc Klasik alan formülünden

A(ABC) = 1

2 c.hc =

1

2. 11.

7√3

2 =

77√3

4

1. a=5 cm. , b=8 cm. ve c=11 cm. olan ABC üçgeni için A(ABC) kaç cm2 dir?

A)16 B)17 C)4√21 D)18 E)10√3

2. Bir ABC üçgeninde; b=5 cm. , c=6 cm. ve A(ABC)=15/2 cm2 olduğuna göre

A açısının ölçüsü kaç derecedir? A)300 B)450 C)600 D)1200 E)1350

3. Bir paralelkenarın köşegen uzunlukları 12 cm. ve 18 cm. dir. köşegenlerin oluşturduğu

açılardan birinin ölçüsü 600 ise dörtgensel bölgenin alanı kaç cm2 dir?

A)27√3 B) 36√2 C)54 D)54√3 E)72

4. ABC üçgeninde;

|BD|=|DC|, |AC|=6√6 cm.

m(BAD)=450 , m(DAC)=30o

olduğuna göre |AB|=x kaç cm.dir?

A) 4√3 B) 6√3 C) 4√6

D)5√2 E) 8

5. Yarıçapı 3 cm. olan bir çember içine çizilen düzgün onikigenin alanı kaç cm2 dir?

A) 27 B) 18 C) 72√3 D) 36 E) 9√3

39

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

PERİYOT: f:A B fonksiyonunda x A için:

f(x+T)=f(x) eşitliğine uyan T sayısı varsa f fonksiyonuna PERİYODİK FONKSİYON ,

T lerin pozitif ve en küçük olanına PERİYOD denir.

Periyodik fonksiyonlar belirli aralıklarla aynı değerleri alırlar ve grafikleri belirli

aralıklarla tekrar eder.

y = sin x ve y = cos x fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları 2𝜋 dir.

y = tan x ve y= cot x fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları 𝜋 dir.

sin2.sin k cos2.cos k

tan(𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 cot(𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃 (k∈ 𝑍)

y = a sinn b(x-h) + k ve y= a cosn b(x-h) + k fonksiyonlarının Periyotları:

n tek ise: 2𝜋

|𝑏| , n çift ise:

𝜋

|𝑏| dir.

UYARI: Toplam veya fark halindeki trigonometrik fonksiyonların periyotları,

terimlerinin periyotlarının OKEK’ idir.

Çarpım halindekiler önce toplam veya fark haline getirilip sonra periyotları bulunur.

xxxf2

3cos

3

5sin)( fonksiyonunun periyodunu bulunuz.

Terimlerin ayrı ayrı periyotlarını bulalım.

x3

5sin in periyodu: y=sin x periyodu 2𝜋 , y=sin ax in periyodu

2𝜋

|𝑎| idi.

y= sin5

3𝑥 in periyodu :

5

6

3

5

2

y= x2

3cos in periyodu:

3

4

2

3

2

12)

3

4 ,

5

6(... KEKO

40

1. y = 1

2𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑥 fonksiyonunun periyodu nedir?

A)1 B) 1/2 C) 𝜋2 D)𝜋 E) 2 𝜋

2. y=3 tan 4x fonksiyonunun periyodu nedir?

𝐴)𝜋/4 B) 𝜋/3 C) 4 𝜋/3 D) 3 𝜋/4 E) 4

3. y= sin5x + cos7x fonksiyonunun periyodu nedir?

A) 𝜋/2 B) 𝜋/3 C) 𝜋/4 D) 𝜋 E) 2𝜋

4. tan3x + cot5x fonksiyonunun periyodu nedir?

A) 𝜋 B) 2𝜋 C) 3𝜋 D) 4𝜋 E) 5 𝜋

41

y=sin x

sin : R 1,1 Tanım kümesi 1sin1 Görüntü kümesi

y=cosx

cos : R 1,1 Tanım kümesi 1cos1 Görüntü kümesi

sinsin y = sin x fonksiyonunun grafiği O noktasına göre simetriktir.

coscos y = cos x fonksiyonunun grafiği 0y eksenine göre simetriktir.

y = a sin bx ve y = a cos bx fonksiyonlarının genel şekli:

Periyotları: 𝟐𝝅

|𝒃| dir. 0≤ 𝑥 ≤

𝟐𝝅 𝒃 aralığında x’e beş değer verilir.

(0, 1

4.2𝜋

𝑏,

1

2.2𝜋

𝑏,

3

4.2𝜋

𝑏,

2𝜋

𝑏)

Alabilecekleri en büyük değer a , en küçük değer –a dır.

y = 4 sin x in grafiğini çiziniz.

42

Periyot: 𝟐𝝅

|𝒃|=

𝟐𝝅

𝟏= 𝟐𝝅

x ’e; 0, 𝜋2, 𝜋,

3𝜋

2, 2𝜋 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑟.

y ; 0, 4, 0, -4, 0 değerlerini alır.

x eksenini 0, 𝜋 ve 2𝜋 de keser.

M(𝜋

2, 4) m(

3𝜋

2, −4)

y = cos 4x in grafiğini çiziniz.

Periyot: 𝟐𝝅

|𝒃|=

𝟐𝝅

𝟒=

𝝅

𝟐

x ’e; 0, 𝜋8,

𝜋

4,

3𝜋

8,

𝜋

2 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑟.

y ; 1, 0, -1, 0, 1 değerlerini alır.

x eksenini 𝜋

8 𝑣𝑒

3𝜋

8 de keser.

M (O,1) , ( 𝝅

𝟐, 1) m(

𝜋

4, −1)

1. y = 2 cos x fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A)(𝜋, −1) B)(𝜋, −2) C)(𝜋

2, −1) D) (

𝜋

2, −2) E)(

𝜋

4, −2)

2. y = sin 2x fonksiyonunun en büyük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A)(𝜋

4, 1) B) (

𝜋

4, 2) C) (

𝜋

2, 1) D) (

𝜋

2, 2) E)(

𝜋

4, 1/2)

3. y = cos 2x fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde

keser? A) 𝜋/8 B) 𝜋/6 C) 𝜋/4 D) 𝜋/3 E) 𝜋/2

4. y = sin 4x fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde

keser? A) 𝜋/8 B) 𝜋/6 C) 𝜋/4 D) 𝜋/3 E) 𝜋/2

43

y = tan x

(−𝜋

2,𝜋

2) → 𝑅

tan : R-{

.2

k }R ; tan (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃

Periyodu: 𝜋 dir. x = (2k+1)𝜋

2 (k∈ 𝑍) (

𝜋2 nin tek katları için TANIMSIZdır. )

x’ in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır.

Genel olorak ; y = a tan bx fonksiyonlarında: Periyot 𝜋

|𝑏| dir.

x = 𝜋

2|𝑏| nin tek katlarında grafiğin düşey asimptotları vardır.

y = cotx

cot : R-{k𝜋} → 𝑅 ; cot (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃

Periyodu: 𝜋 dir. x = k𝜋 (k∈ 𝑍) (𝜋 nin katları için TANIMSIZdır. )

x’ in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır.

y =2 tan 3x fonksiyonunun bir periyodundaki

grafiğini çiziniz.

Periyot: y = a tan bx de Periyot 𝜋

|𝑏| olduğundan;

𝜋

|𝑏|=

𝜋

3

(−𝜋

6,𝜋

6) → 𝑅

Asimptotlar: x = 𝜋

2.|𝑏|=

𝜋

2.3=

𝜋

6

x = −𝜋

2.|𝑏|= − 𝜋

2.3= − 𝜋

6

1. y = 2 tan 4x fonksiyonunun grafiğinde aşağıdakilerden hangisi düşey asimptottur?

A) x= −𝜋/8 B) x=−𝜋/16 C) x=0 D) 𝜋/16 E) 𝜋/4

44

y = sec x fonksiyonunun grafiği:

y = sec x = 1

cos 𝑥 olduğundan;

Periyodu: 2𝜋 dir.

𝜋

2 nin tek katları için cos x = 0 olduğundan

y = sec x fonksiyonu bu değerler için TANIMSIZDIR.

x ’in bu değerleri için grafikte Düşey asimtotlar vardır.

y = a sin b(x-h) + k ve y= a cos b(x-h) + k fonksiyonlarının grafikleri:

y = a sin bx veya y = a cos bx in grafikleri yatay doğrultuda h kadar,

düşey doğrultuda k kadar kaydırılır (ötelenir).

h>0 ise pozitif, h<0 ise negatif yönde

k>0 ise pozitif , k<0 ise negatif yönde öteleme yapılır.

y = 2 sin 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Periyot : 2𝜋

𝑏=

2𝜋

4=

𝜋

2

x 'e 0, 𝜋/8 , 𝜋/4 , 3𝜋/8 , 𝜋/2 değerleri verilir.

y 3, 5, 3, 1, 3 değerlerini alır.

y = 2 sin 4x eğrisinin grafiğinde;

h =0 Yatay öteleme yok.

k = 3 Düşey öteleme pozitif yönde 3 birim yukarıya.

45

y = -sin x ve y = - cos x fonksiyonlarının grafikleri

y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının 0x eksenine göre simetrikleridir.

Aşağıdaki fonksiyonların grafikleri karışık biçimde verilmiştir.

1. 1 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?

A)A B)B C)C D)D E)E

2. 2 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?

A)A B)B C)C D)D E)E

3. 3 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?

A)A B)B C)C D)D E)E

4. 4 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?

A)A B)B C)C D)D E)E

46

BASİT TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER

x2+y2=1 Birim çemberin denklemi.

x2+y2=1 (cos 𝜃 , sin 𝜃) = (x,y) Birim çember üzerindeki nokta.

Yerlerine yazıldığında :

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏

Herhangi bir açının sinüsünün karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı her zaman 1 dir.

Yukarıdaki özdeşlikleri de konuşturmakta yarar var.

Derler ki: Bir açının sinüsü ,Tümlerinin kosinüsüne,

Kosinüsü, tümlerinin sinüsüne,

Tanlantı, tümlerinin kotanjantına eşittir.

sin 30o = cos 60o = 1

2 cos

𝜋

6= 𝑠𝑖𝑛

𝜋

3 =√3

2 sin 20o = cos 70o

𝑡𝑎𝑛𝜋

4= 𝑐𝑜𝑡

𝜋

4= 1 cot 35o =tan 55o cos 200 = sin 700

sin 250.sec 650 ifadesinin eşitini bulalım.

sec 650 = 1

𝑐𝑜𝑠650 olduğundan sin250.sec650= sin250.

1

𝑐𝑜𝑠650 sin250=cos650 dir.

= cos650. 1

𝑐𝑜𝑠650 = 1

47

sin 𝜽 = 𝟒𝟓 ve 𝝅

𝟐< 𝜽 < 𝝅 olduğu bilindiğine göre,

𝜃 nın diğer beş trigonometrik değerini bulunuz.

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 eşitliğinden sin 𝜃 bilindiğine göre, cos 𝜃 yı hesaplayalım.

Eşitlikte sin 𝜽 = 𝟒𝟓 değerini yerine yazarsak;

(4

5)

2

+ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1

𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − (4

5)

2

𝑐𝑜𝑠2𝜃 =9

25

cos 𝜃 = ±3

5

Verilen açının bitim kenarı II. Bölgede ve II. Bölgede kosinüs negatif olduğundan

cos 𝜃 = −3

5

Diğer dört fonksiyon için, verilen sin 𝜃 ve bulunan cos 𝜃 değerleri yerlerine yazılır.

1. cos 𝜃 =5

6 ve

3𝜋

2< 𝜃 < 2𝜋 olduğu bilindiğine göre,

tan 𝜽 nın değeri nedir?

A) -√11/5 B) √11/5 C) -5/√11 D) 5/√11 E) 3

2. tan x = 1/3 olduğuna göre, sin x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) √10 B)2√10 C) 1/√10 D) √3 E)1/√3

3. sin x = 0,6 olduğuna göre, cot x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3/4 B) 4/3 C) 3/5 D) 5/3 E) 6/5

48

Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz.

1.

2.

3.

49

4.

…………….

Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz.

50

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

sin2x + cos2x = 1 gibi x in tüm değerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik,

sin x = 1 gibi yalnızca x in özel değerleri için sağlanan eşitliklere denklem denir.

Eşitliği sağlayan özel değerlere denklemim kökleri , kökleri bulma işlemine de denklemin

çözümü denir.

2 sin x - √𝟑 = 𝟎 denklemini çözelim.

2 sin x - √3 = 0 bilinmeyeni yalnız bırakalım.

sin x=√3

2 Basit trigonometrik denklem şekline dönüşür.

sinüsü √3

2 olan [0,2𝜋) aralığındaki en küçük açı

𝜋

3 radyandır. (x = arc sin

√3

2 =

𝜋

3 )

sinüs, I. ve II. Bölgelerde pozitif olduğundan,

II.bölgede 𝜋

3 ‘e karşı gelen açı x = 𝜋 −

𝜋

3=

2𝜋

3 radyandır.

sinüs fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da 2𝜋 olduğundan;

x1 = 𝜋

3+ 𝑘2𝜋 ; x2 =

2𝜋

3+ 𝑘2𝜋 ; (k∈ 𝑍) dir.

(Bulunan sayılar; y=sinx eğrisi ile y=√𝟑/𝟐 doğrusunun kesim noktalarının apsisleridir.)

Dikkat edilirse; sin x = sin 𝜽 şeklindeki denklemlerde:

2.sinsin 1 kxx veya 2.)(2 kx , k∈ 𝑍 dir.

1. 2 sin x – 1 = 0 denkleminin en küçük pozitif kökü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 𝜋/6 C) 𝜋/4 D) 𝜋/3 E) 𝜋/2

2. sin x = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) k.𝜋 B) 2 k.𝜋 C) k.𝜋/2 D) (2k+1)𝜋 E) ∅

3. sin x = -1 denkleminin pozitif en küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 𝜋/2 C) 𝜋 D) 3𝜋/2 E) 2𝜋

4. sin 3x = sin 750 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3350 B) 2950 C) 2050 D) 1550 E) 1150

51

3 cos x = cos x +1 denklemini çözünüz.

3 cos x = cos x +1 bilinmeyeni yalnız bırakalım.

2 cos x = 1 ve cos x = 1

2 basit trigonometrik denklem şekline dönüşür.

[0,2𝜋) aralığında eşitliği sağlayan en küçük sayı x = 𝜋

3 tür. (cos

𝜋

3=

1

2 )

Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitif olduğundan,

IV. Bölgede 𝜋

3 ‘e karşı gelen sayı x = 2𝜋 −

𝜋

3= −

𝜋

3 tür.

Kosinüs fonksiyonu fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da 2𝜋 olduğundan;

x1 = 𝜋

3+ 𝑘2𝜋 ve x2= −

𝜋

3+ 𝑘2𝜋 ; k∈ 𝑍

Veya kısaca x = ±𝜋3+𝑘2𝜋 ;k∈ 𝑍 yazılır.

Dikkat edilirse; cos x = cos 𝜽 şeklindeki denklemlerde:

2.coscos 1 kxx veya 2.2 kx ; k∈ 𝑍 (x = ±𝜃 + 𝑘. 2𝜋) dir.

tan x = tan 𝜽 şeklindeki denklemlerde; x = 𝜽 + 𝒌𝝅 k∈ 𝒁

cot x = cot 𝜽 şeklindeki denklemlerde de; x = 𝜽 + 𝒌𝝅 k∈ 𝒁

1. 2 cos x −√𝟑 = 𝟎 denkleminin [0,2𝜋) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

A) 0 B) 𝜋/2 C) 𝜋 D) 3𝜋/2 E) 2𝜋

2. 3 tan x−√𝟑 = 𝟎 denkleminin I. bölgedeki kökü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 𝜋/8 C) 𝜋/6 D) 𝜋/4 E) 𝜋/3

3. tan 4x = tan 1000 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 250 B)500 C) 750 D)1000 E) 1550

4. cos 3x = −√32 denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

52

Karmaşık bir denklemi çözmek için; gerekli işlemler yapılarak denklem

basit trigonometrik denklemlere dönüştürülür.

sin(x-2𝝅) + 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝟎 denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋 aralığındaki köklerini bulunuz.

sin(x-2𝝅) + 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙 sinüste periyot 2𝝅 ,tanjantta periyot 𝝅

olduğundan; sin(x-2𝝅) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = sin 𝑥

cos 𝑥

= sin x +sin 𝑥

cos 𝑥 Payda eşitlediğimizde;

= 𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 Pay 0 olmalıdır.

sin x.cos x+sin x = 0 sin x parantezine alalım. (çarpanlara ayıralım)

sin x(cos x + 1) = 0 a.b = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır.

⇒ sin x =0 veya cos x + 1 =0

sin x = 0 için; x = 0 veya x = 𝜋

cos x + 1 =0 için; cos x = -1 ve x = 𝜋 Ç = { 0, 𝜋 }

3 tan2x - 1 = 0 denklemini çözünüz.

3 tan2x – 1 = 0 bilinmeyeni yalnız bırakalım.

3 tan2x = 1 ⇒ tan2 x= 1

3

tan x = 1

√3=

√3

3 veya tan x = -

1

√3 = - √

3

3 bulunur.

tan x = √3

3 için x =

𝜋

6+ 𝑘𝜋 ; k∈ 𝑍

tan x = - √3

3 için x = -

𝜋

6+ 𝑘𝜋 k∈ 𝑍 veya kısaca x = ±

𝜋

6+ 𝑘𝜋 ; k∈ 𝑍

( k ya tamsayı değerler vererek denklemin tüm kökleri bulunabilir.)

53

1. 4 sin2x -1 = 0 denkleminin [0,2𝜋) aralığındaki kökler toplamı kaçtır?

A) 0 B) 𝜋 C) 2𝜋 D) 3 𝜋 E) 4 𝜋

2. 4 cos2 x = 3 denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. tan2 x = 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakileden hangisidir?

A) 𝜋

6+ 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎

5𝜋

6+ 𝑘𝜋 B)

𝜋

4+ 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎

3𝜋

4+ 𝑘𝜋 C)

𝜋

3+ 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎

2𝜋

3+ 𝑘𝜋

D) 𝜋

3+ 2𝑘𝜋 E)

𝜋

6+ 2𝑘𝜋

4. 4 cos x = sec x denkleminin [0,𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

54

1 + cos x = sin x denkleminin 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

1 + cos x = sin x eşitliğinde trigonometrik fonksiyonlardan birini diğeri cinsinden

yazmaya çalışalım. Bunun için her iki tarafın karesini alalım.

(1 + cos x)2 = (sin x )2

1 + 2 cos x + cos2x = sin2 x (sin2x + cos2x = 1 ⇒ sin2x = 1 – cos2x )

1 + 2 cos x + cos2x = 1 – cos2x Düzenlersek

2 cos2x + 2 cos x = 0 çarpanlara ayıralım.

2 cos x(cos x + 1) = 0 a.b = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır.

2 cos x = 0 veya cos x + 1 = 0 basit denklemlere dönüşmüş olur.

0 ≤ 𝑥 < 2𝜋 verilen aralıkta;

2 cos x = 0 ⇒ cos x = 0 ⇒ x = 𝜋

2 veya x =

3𝜋

2

cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = -1 ⇒ x = 𝜋

Denklemin 𝜋

2 , 𝜋 ,

3𝜋

2 olmak üzere üç muhtemel kökü görünüyor.

Köklerin verilen eşitliği sağlaması gerekir.

x = 𝜋

2 ve x = 𝜋 için ; 1 + cos x = sin x eşitliği sağlanır.

Fakat x = 3𝜋

2 için ;

Verilen eşitlik sağlanmıyor.

Denklemin verilen aralıkta çözüm kümesi: Ç = { 𝜋

2 , 𝜋 } dir.

UYARI Denklem çözümlerinde , kök olarak bulunan sayıların verilen eşitliği sağlayıp

sağlamadığına bakılmalıdır. Verilen eşitliği sağlayan sayılar denklemin kökleri olarak

alınır.

55

1. sin3 x - 9 sin x = 0 denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. 2 sin2x - sin x = 0 denkleminin [0,2𝜋) aralığındaki köklerinin toplamı

aşağıdakilerden hangisidir?

A) 𝜋/2 B) 𝜋 C) 3𝜋/2 D) 2𝜋 E) 4𝜋

3. 2 cos2x + cos x = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2k+1)𝜋 ±𝜋

6 B) (2k+1)𝜋 ±

𝜋

3 C)

𝜋

2+ 𝑘𝜋

D) (2k+1)𝜋 ±𝜋

6 veya

𝜋

2+ 𝑘𝜋 E) (2k+1)𝜋 ±

𝜋

3 veya

𝜋

2+ 𝑘𝜋

4. sin2x + sin x -2 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 150 B)300 C) 450 D) 600 E) 900

56

tan 3x = cot 2x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Denklem çözümlerinde eşitlikte verilen trigonometrik fonksiyonlar aynı cinsten

yazılmaya çalışılır.

Bir açının kotanjantı, tümlerinin tanjantına eşit olduğundan;

tan 3x = cot 2x cot 2x = tan(𝝅

𝟐− 𝟐𝒙) Tümler açılar

tan 3x = tan(𝝅

𝟐− 𝟐𝒙) tanjant fonksiyonunun periyodu 𝝅 olduğundan;

3x = 𝝅

𝟐− 𝟐𝒙 + 𝒌𝝅 (tan x = tan 𝜽 ⇒ 𝒙 = 𝜽 + 𝒌𝝅)

5x = (2k+1) 𝜋

2 ⇒ x = (2k+1)

𝜋

10

1. cos 3x = sin 2x denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir?

A) 90 B) 150 C) 180 D) 300 E) 450

2. sin 3x + cos x = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) −𝜋/6 B) −𝜋/4 C) −𝜋/3 D) −𝜋/2 E) −𝜋

3. sin x + cos x = 0 denklemini sağlayan x in en küçük poxitif değeri nedir?

A) 𝜋/6 B) 𝜋/5 C) 𝜋/4 D) 𝜋/6 E) 3 𝜋/4

4. tan x = cot(x - 𝜋

4) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {3𝜋

8+

𝑘𝜋

2} B) {−

3𝜋

8+

𝑘𝜋

2} C) {−

3𝜋

8+

𝑘𝜋

3}

D) {3𝜋

8+

𝑘𝜋

4} E) {

3𝜋

8+ 𝑘𝜋}

57

TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ

İki açının toplamının (veya farkının) trigonometrik değerlerini veren eşitliklerdir.

sin 15o nin değerini bulunuz.

Trigonometrik değeri istenen açı, bilinen açıların toplam veya farkı olarak yazılır.

15o = 60o – 45o olduğundan;

sin 15o = sin (60o – 45o) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb eşitliğinde a=600, b=450

yazalım.

= sin 60o cos 45o – cos 60o sin 45o Farkın sinüsü

sin 60o=√3

2 , cos 45o= sin 45o =

√2

2 , cos 60o=

1

2

= √3

2

√2

2 −

1

2

√2

2 Değerler yerlerine yazıldı.

= √6−√2

4 Bulunur.

1. sin 1050 nin değeri nedir?

A) 1/4 B) √𝟑/4 C) √6+√2

4 D) √3+1

2 E) √6+1

4

2. cos(A+B)+cos(A-B) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2cosA.sinB B) -2sinA.sinB C) 2cosA.cosB

D) -2cosA.cosB E) 2sinA.sinB

3. sin 3𝑥

sin 𝑥−

cos 3𝑥

cos 𝑥 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) sin 2x-cos 2x E) sin 2x.cos 2x

4. sin(x+300) = 2sin(x – 300) denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A)900 B)1200 C)1500 D)2100 E) 2400

58

tan 𝟕𝝅

𝟏𝟐 nin değerini bulunuz.

𝟕𝝅

𝟏𝟐 radyanlık açı tanjantları bilinen 𝜋

3 𝑣𝑒

𝜋

4 radyanlık açıların toplamıdır.

tan 7𝜋

12 = tan

𝜋

3+

𝜋

4

7𝜋

12=

𝜋

3+

𝜋

4 Bilinen açıların toplamı.

tan(a+b)=𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑡𝑎𝑛𝑏

1−𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏 eşitliğinde; a=

𝜋

3 , a=

𝜋

4 yazalım.

= 𝑡𝑎𝑛

𝜋

3+𝑡𝑎𝑛

𝜋

4

1−𝑡𝑎𝑛𝜋

3𝑡𝑎𝑛

𝜋

4

tan 𝜋3= √3 , tan

𝜋4 =1 olduğundan

= √3+1

1−√3.1 Payda rasyonel yapılırsa

= -2-√3 Bulunur.

1. tan 𝝅

𝟏𝟐 nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2+√𝟑 B) -2+√𝟑 C) 2-√𝟑 D) -2-√𝟑 E) 2√𝟑

2. T = 𝑡𝑎𝑛1500−𝑡𝑎𝑛1300

1+𝑡𝑎𝑛1500.𝑡𝑎𝑛1300 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2+√𝟑 B) -2+√𝟑 C) 2-√𝟑 D) -2-√𝟑 E) 2√𝟑

3. 900 < x < 1800 için sin x = 3/5 ve 00 < y < 900 için sin y = 12/13 olduğu

bilindiğine göre, tan ( x – y ) değeri nedir?

A) 61/16 B) 2 C) 63/16 D) 4 E) 65/16

4. 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟐𝟎.𝒄𝒐𝒕𝟐𝟑𝟎−𝟏

𝒄𝒐𝒕𝟐𝟐𝟎+𝒄𝒐𝒕𝟐𝟑𝟎 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 E)𝜋/4

59

cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb Farkın kosinüsünü veren formülde cos b ve sin a

verilmediğinden öncelikle onları bulalım.

sin2a+cos2a=1 özdeşliğinde, cos a=-4/5 yazarsak;

sin2a+(-4/5)2=1 ⇒ sin2a=1-16/25=9/25 ⇒ sin a = ±3

5 bulunur.

III. Bölgede sinüs negatif olduğundan sin a = −3

5 alınır.

sin2b+cos2b=1 olacağından özdeşlikte sin b = 5/13 yazarsak;

(5/13)2 + cos2b=1 ⇒ cos2b =1-25/169=144/169 ⇒ cos b =± 12/13 bulunur.

I . Bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos b = 12/13 alınır.

Verilenler ve bulunanlar cos (a –b) = cos a.cos b + sin a. sin b de yerlerine yazıldığında

cos (a –b) = −4

5

12

13 + −

3

5

5

13 işlem yaptığımızda

= −63

65 Bulunur.

1. 𝜋 < 𝑎 <3𝜋

2 olmak üzere sin a = −

3

5 , 0 < 𝑏 <

𝜋

2 olmak üzere cos b =

12

13 verilmiştir.

sin ( a - b ) kaçtır?

A)−18

55 B)−

16

65 C)

14

45 D)

20

43 E)

12

21

2. sin(45o+x) + sin(45o-x) ifadesinin eşitini aşağıdakilerden hangisidir?

A) sin x B) cos x C) √2sin x D) √2cos x E) √2

3. x ve y dar açıları için; sin x = 3/5 ve cos y = 12/13 ise sin(x+y) değeri kaçtır?

A) 56/65 B) 57/65 C) 58/65 D) 59/65 E) 11/13

4. x ve y dar açıları için; cos x = 0,6 ve cos y = 0,8 ise cos(x+y) değeri kaçtır?

A) 0 B)1/2 C) √3/2 D) 5/6 E) 1

60

1. sin(x+𝜋) + cos(𝑥 + 𝜋) = 0 denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋 aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. sin(x-2𝜋) + tan(𝑥 − 2𝜋) = 0 denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋 aralığındaki kökleri

aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0, 𝜋 B) 𝜋/2, 𝜋 C) 0, 𝜋/2 D) 𝜋/2, 3𝜋/2 E) 𝜋/2

3. 00 < 𝛼 <900 ve √3𝑠𝑖𝑛50.𝑐𝑜𝑠70+√3𝑐𝑜𝑠50.𝑠𝑖𝑛70

4𝑐𝑜𝑠840.𝑐𝑜𝑠60= 𝑠𝑖𝑛𝑥 olduğuna göre

𝛼 kaç derecedir?

𝐴) 120 B) 150 C) 180 D) 300 E) 600

√3𝑠𝑖𝑛50.𝑐𝑜𝑠70+√3𝑐𝑜𝑠50.𝑠𝑖𝑛70

4𝑐𝑜𝑠840.𝑐𝑜𝑠60=

√3(𝑠𝑖𝑛50.𝑐𝑜𝑠70+𝑐𝑜𝑠50.𝑠𝑖𝑛70)

4𝑠𝑖𝑛60.𝑐𝑜𝑠60

sin(50+70) = 𝑠𝑖𝑛50. 𝑐𝑜𝑠70 + 𝑐𝑜𝑠5

0. 𝑠𝑖𝑛70

cos840= cos(900-60)= sin60 Tümler açılar.

=√3𝑠𝑖𝑛120

2𝑠𝑖𝑛120 sin2.60=2sin60.cos60

= √3

2= 𝑠𝑖𝑛𝑥

sin 6o0 = √3

2 = sin x olduğundan x = 600 dir.

61

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Nasıl sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b özdeşliğinde b yerine - b yazıldığında;

sin [a +(-b)] = sin a. cos(-b) + cos a. sin(-b)

sin (a-b) = sin a. cos b – cos a. sin b Farkın sinüs açılımı bulunuyorsa;

sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b özdeşliğinde b yerine a yazıldığında;

sin (a+a) = sin a.cos a + cos a. sin a

sin 2a = 2 sin a.cos a eşitliği bulunabilir.

Benzer şekilde;

cos 2a = cos2a – sin2a (sin2a+cos2a=1 ⇒ sin2a=1-cos2a ve cos2a=1-sin2a)

cos 2a = 2 cos2a – 1

cos 2a = 1 – 2 sin2a

tan 2a = 2𝑡𝑎𝑛𝑎

1−𝑡𝑎𝑛2𝑎 eşitlikleri de yazılabilir.

Yukarıdaki eşitliklerde 2a yerine a yazılırsa, eşitliklerde karşı taraftaki a lar da 𝑎

2

olacaktır.

sin a = 2 sin 𝑎

2 . cos

𝑎

2

cos a = cos2𝑎

2−sin2𝑎

2

cos a = 2 cos2 𝑎

2− 1 ⇒ cos

𝑎

2= ±√

1+cos𝑎

2 (Eşitlikteki ± ler,

𝑎

2 nin

cos a = 1 – 2 sin2 𝑎

2 ⇒ sin

𝑎

2= ±√

1−cos 𝑎

2 bulunduğu bölgede

tan a = 2𝑡𝑎𝑛

𝑎

2

1−𝑡𝑎𝑛2𝑎

2

trigonometrik

fonksiyonun işaretidir.)

cos a ve sin a da yarım açı formülleri kullanıldığında;

tan 𝑎

2=

1−cos 𝑎

sin 𝑎 ve tan

𝑎

2=

sin 𝑎

1+cos𝑎 olduğu da bulunabilir.

62

cos 15o değerini hesaplayınız.

150, trigonometrik değerleri bilinen 300 nin yarısıdır.

2𝛼 = 30𝑜 dersek 𝛼 = 150 olur.

cos (2𝛼) =2cos2𝛼 − 1 den 2cos2𝛼 yı çektik.

𝛼, 2 𝛼 ve cos2.150=cos 300=√3

2 değerlerini

yerlerine yazalım.

bulunur.

NOT: 15o = 60o – 45o gibi bilinen iki açının farkı olduğundan;

cos(600 – 450) = cos600.cos450+sin600.sin450 farkın kosinüsü eşitliği de kullanılabilir.

VE HATTA 3. YOL: ABC , 300-600-900 dik üçgeninde;

AB kenarını |DA|=|AC|=2 br. uzatalım.

DAC ikizkenar üçgeninde; 300 lik dış açısı

nedeniyle mC=mD=150 dir.

DBC üçgeninde; cos 150 = |𝐷𝐵|

|𝐷𝐶|=

|𝐷𝐴|+|𝐴𝐵|

|𝐷𝐶|

Pisagor teoreminden: |DC|2 =(2+√3)2+12=8+4√3=4(2+√3) , |DC|=2√2 + √3

cos 150 = |𝐷𝐵|

|𝐷𝐶|=

2+√3

2√2+√3=

√2+√3

2

63

Benzer bir örnek daha yapalım.

sin 𝝅

𝟖 değerini hesaplayınız ?

𝝅

𝟖 radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen

𝝅

𝟒 radyanlık açının yarısıdır.

2𝛼 = 𝜋

4= 45𝑜 dersek 𝛼 =

𝜋

8 olur.

cos(2𝛼) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝛼 den 2 sin2𝛼 yı çekelim.

𝛼, 2 𝛼 ve sin2. 𝜋

8=cos

𝜋

4 =

√2

2 değerlerini

yerlerine yazalım.

bulunur.

2. YOL: İkizkenar dik üçgenin bir dik kenarı hipotenisi kadar uzatılarak oluşan

bir açısı 𝜋

8 radyan olan dik üçgende bu açının sinüsü hesaplanabilir.

VE BİR ÖRNEK DAHA: cos 165o nin değerini bulalım.

1650 , trigonometrik değerleri bulunabilen 3300 nin yarısıdır.

𝛼 = 3300 dersek 𝑎

2= 1650 olur.

cos a =2cos2 𝑎

2− 1 den 2cos2𝑎

2

yı çektik.

165o , II. Bölgede olup kosinüsü - dir.

cos 330o = cos (3600-30o) = cos(- 30o )=cos 300= √3

2

bulunur.

64

tan 𝝅

𝟏𝟐 nin değerini bulurmusunuz ?

𝝅

𝟏𝟐 radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen

𝝅

𝟔 radyanlık açının yarısıdır.

𝒂 =𝝅

𝟔 dersek

𝒂

𝟐=

𝝅

𝟏𝟐 olur.

1−cos 𝑎

sin 𝑎=

1−(1−2𝑠𝑖𝑛2𝑎

2)

2𝑠𝑖𝑛𝑎

2.𝑐𝑜𝑠

𝑎

2

=2𝑠𝑖𝑛2𝑎

2

2𝑠𝑖𝑛𝑎

2.𝑐𝑜𝑠

𝑎

2

=𝑠𝑖𝑛

𝑎

2

𝑐𝑜𝑠𝑎

2

= 𝑡𝑎𝑛𝑎

2

cos 𝜋

6 =√3

2

2. YOL:

ABC üçgeni yardımıyla oluşturulan DBC üçgeninde;

tan 𝝅

𝟏𝟐 = tan 150 =

1

2+√3= 2 − √3

3.YOL: 𝝅

𝟑−

𝝅

𝟒=

𝝅

𝟏𝟐 olduğundan; tan(a-b) =

𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏

1+𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏 eşitliğinden;

tan 𝝅

𝟏𝟐 = tan(

𝝅

𝟑−

𝝅

𝟒) =

𝒕𝒂𝒏𝝅

𝟑−𝒕𝒂𝒏

𝝅

𝟒

𝟏+𝒕𝒂𝒏𝝅

𝟑.𝒕𝒂𝒏

𝝅

𝟒

=√𝟑−𝟏

𝟏+√𝟑= 𝟐 − √𝟑

4. YOL : tan 𝒂 =𝟐𝒕𝒂𝒏

𝒂

𝟐

𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐𝒂

𝟐

eşitliğinde 𝒂 =𝝅

𝟔 ve

𝒂

𝟐=

𝝅

𝟏𝟐 yazarak elde edilen

ikinci derece denklemin kökleri bulunur.

5.YOL: Benzer şekilde; tan 𝑎

2=

1−cos𝑎

sin 𝑎 ve tan

𝑎

2=

sin 𝑎

1+cos 𝑎

Formülleri de kullanılabilir.

65

𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒂−𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒂

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒂 ifadesini sadeleştiriniz.

2 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑠𝑖𝑛 2𝑎

2 sin 𝑎+sin 2𝑎 =

2𝑠𝑖𝑛𝑎−2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎

2𝑠𝑖𝑛𝑎+2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎 sin 2a = 2sin a.cos a

=2𝑠𝑖𝑛𝑎(1−𝑐𝑜𝑠𝑎)

2𝑠𝑖𝑛𝑎(1+𝑐𝑜𝑠𝑎) sin a ortak parantezine alındı

=1−𝑐𝑜𝑠𝑎

1+𝑐𝑜𝑠𝑎 cos a = 1 – 2 sin2

𝑎2

ve cos a = 2 cos2 𝑎

2− 1

=2 si𝑛2

𝑎

2

2 co𝑠2 𝑎

2

işlem yaptığımızda;

= tan2 𝑎

2 bulunur.

tan 55o - tan 35o işlemini yapınız.

tan 55o - tan 35o = 𝑠𝑖𝑛55𝑜

𝑐𝑜𝑠55𝑜 −𝑠𝑖𝑛35𝑜

𝑐𝑜𝑠35𝑜 tan 𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

= 𝑠𝑖𝑛55𝑜.𝑐𝑜𝑠35𝑜−𝑐𝑜𝑠55𝑜.𝑠𝑖𝑛35𝑜

𝑐𝑜𝑠55𝑜𝑐𝑜𝑠35𝑜 Payda eşitlendi.

𝑠𝑖𝑛55𝑜. 𝑐𝑜𝑠35𝑜 − 𝑐𝑜𝑠55𝑜 . 𝑠𝑖𝑛35𝑜 = sin (50𝑂 − 35𝑂)

= sin (55𝑜−35𝑜)

𝑠𝑖𝑛35𝑜𝑐𝑜𝑠35𝑜 sin 35o=cos 55o

= 𝑠𝑖𝑛20𝑜

1

2𝑠𝑖𝑛70𝑜

sin 2a = 2 sin a.cos a

= 2𝑠𝑖𝑛20𝑜

𝑐𝑜𝑠20𝑜 sin 70o = cos 20o

= 2 tan 20o tan 𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

66

cos4 𝜋

24− 𝑠𝑖𝑛4 𝜋

24 işlemini yapınız.

a2-b2=(a-b)(a+b)

sin2 a+cos2 a = 1

cos 2a= cos2 𝜋

24− 𝑠𝑖𝑛2 𝜋

24

cos 2. 𝜋

12= 2𝑐𝑜𝑠2 𝜋

12− 1

cos 𝜋

6 =

√𝟑

𝟐

cos𝜋

12=

√2+√6

4

sin(A+B).sin(A-B) ifadesinin eşitini bulunuz.

cos (x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y

cos (x+y) = cos x.cos y – sin x.sin y Eşitliklerini taraf tarafa çıkaralım.

2 sin x.siny = cos(x-y) – cos(x+y) olur. x = A+B ve y = A-B aldığımızda:

x – y = 2B ve x + y = 2A olur.

sin(A+B).sin(A-B) = 1

2 [cos 2B – cos 2A] cos 2A= 1-2sin2A, cos 2B=1-2sin2B

= 1

2 [ (1-2 sin2B) –(1-2 sin2A)]

= sin2A – sin2B bulunur.

67

1. sin2(−𝝅

𝟏𝟐) değeri nedir?

A) 2+√3

4 B)

2−√3

4 C)

2+√3

2 D)

2−√3

2 E)

√3

2

2. 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 işleminin sonucu nedir?

A) tan𝜃 B) cot𝜃 C) sec𝜃 D) csc𝜃 E) 1

3. 0 < x < 90o için tan x = 3 ise sin 4x ‘in değeri nedir?

A) -24/25 B)24/25 C)3/4 D) 4/5 E) -4/5

4. sin 𝒙

𝟐 + cos x = 0 denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

cos 3x = 4 cos3x – 3 cos x özdeşliğinin varlığını kanıtlayınız. cos 3x = cos (2x + x) 3x =2x + x

= cos 2x.cos x – sin 2x.sin x toplamın kosinüsü

= (2 cos2x – 1)cos x – 2 sin x.cos x.sinx sinüs ve kosonüste yarım açı.

= 2 cos3x – cos x – 2 sin2x.cosx işlem yapıldı.

= 2 cos3x – cos x – 2(1-cos2x)cos x sin2x + cos2x = 1 den.

= 2 cos3x – cos x -2 cos x +2 cos3x işlem yapıldı.

= 4 cos3x -3 cos x bulunur.

68

2sin3cos xx denklemini çözünüz?

tan x = √3 dersek ; tan x = tan 𝜋

3

cos x – tan 𝜋3.sin x = -√2 tan

𝜋3 =

𝑠𝑖𝑛𝜋

3

𝑐𝑜𝑠𝜋

3

cos x−𝑠𝑖𝑛

𝜋

3

𝑐𝑜𝑠𝜋

3

𝑠𝑖𝑛𝑥 = −√2 İşlem yapıldığında;

𝑐𝑜𝑠𝜋

3. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛

𝜋

3.sin x = −√2. 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3 toplamın kosinüsü

𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝜋

3 = −√2.

1

2= −

√2

2

Eşitliği sağlayan sayılardan biri 3𝜋

4 diğeri

5𝜋

4= −

3𝜋

4 olur.

x + 𝜋

3= ±

3𝜋

4+ 𝑘2𝜋

x+𝜋

3=

3𝜋

4+ 𝑘. 2𝜋 x+

𝜋

3= −

3𝜋

4+ 𝑘. 2𝜋

x=3𝜋

4−

𝜋

3+ 𝑘. 2𝜋 x=−

3𝜋

4−

𝜋

3+ 𝑘. 2𝜋

x = 5𝜋

12+ 𝑘2𝜋 veya x = −

13𝜋

12+ 𝑘2𝜋 dir.

UYARI

a

bcxbxa tancos.sin. dönüşümü uygulanır.

22)sin(

ba

cx

denklemi çözülür.

69

3 cos x + 4 sin x = A ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

İfadeyi cos x in katsayısı olan 3 e bölelim. cos x + 4

3 .sin x =

𝐴

3

tan 𝜃 = 4

3 dersek; cos x + tan𝜃. sin 𝑥 =

𝐴3 ⇒ cos x +

sin 𝜃

cos 𝜃. sin 𝑥 =

𝐴

3 , tan𝜃 =

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

cos x.cos𝜃 + sin 𝑥. sin 𝜃 =𝐴3 . cos 𝜃

tan 𝜃 = 4

3 dediğimiz için; dik üçgende karşı dik kenar 4, komşu dik kenar 3 tür.

Pisagordan; 32+42=52=x2

cos 𝜃 =3

5 ve sin 𝜃 =

4

5 bulunur.

cos x.cos𝜃 + sin 𝑥. sin 𝜃 =𝐴3 . cos 𝜃 cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

cos (x - 𝜃) = 𝐴

3 .

3

5 ⇒ cos (x - 𝜃) =

𝐴

5 ⇒ 5.cos(x - 𝜃) = 𝐴

- 1≤ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≤ 1 olduğundan cos(x - 𝜃) nın alabileceği en büyük değer 1, en küçük

değer -1 dir.

Bu durumda A nın alabileceği en büyük değer 5 olur.

1. cosx + sin x ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır?

A) 00 B) 300 C) 450 D) 600 E) 900

2. 3sinx+4cosx=5 denkleminin [0, 1800] aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B)1 C)2 D)3 E)4

3. √3sinx+cosx ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır?

A) 300 B)450 C) 600 D)900 E)00

4. sin2x-cos2x=1 denkleminin [0, 1800] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden

hangisidir?

A) {00} B) {900} C) {00, 900} D){00, 450} E) {450, 900}

70

İki açının toplam (veya) farkının sinüsünün, sinüslerinin toplam (veya) farkı olmadığını ,

olduğunu söyledik.

Şimdi de ; sinüsler toplamının (farkının) ve sinüsler çarpımının değişik yazılışlarını

inceleyelim:

Eşitliklerini toplayalım.

2 sin a.cos b = sin(a+b) + sin(a-b) ve

sin a.cos b = 1

2 [sin(a+b) + sin(a-b)] olduğu görülür.

Eşitlikleri çıkarırsak;

cos a.sin b = 1

2 [sin(a+b) - sin(a-b)] bulunur.

Eşitlikleri taraf tarafa toplanır veya çıkarılırsa;

cos a.cos b = 1

2 [cos(a+b) + cos(a-b)] ve

sin a.sin b = - 1

2[cos(a+b) – cos(a-b)] bulunur

Bu eşitlikler yardımıyla çarpım şeklindeki trigonometrik ifadeleri, toplam (fark)

durumuna getirebiliriz. Bu da bize işlem kolaylığı sağlayabilir.

𝑠𝑖𝑛𝜋

12. 𝑠𝑖𝑛

7𝜋

12 değerini hesaplayınız.

𝒔𝒊𝒏𝝅

𝟏𝟐. 𝒔𝒊𝒏

𝟕𝝅

𝟏𝟐= −

𝟏

𝟐[𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟏𝟐+

𝟕𝝅

𝟏𝟐 − 𝒄𝒐𝒔

𝝅

𝟏𝟐−

𝟕𝝅

𝟏𝟐 ] , sin a.sin b = -

1

2[cos(a+b) – cos(a-b)]

= −1

2[𝑐𝑜𝑠

2𝜋

3− cos −

𝜋

2 ] 𝑐𝑜𝑠

2𝜋

3= −

1

2 , cos −

𝜋

2 = 0

= −1

2[−

1

2− 0]

=1

4 bulunur.

71

f(x) = cos 2x. cos 3x fonksiyonunun periyodu nedir?

Çarpım (bölüm) şeklindeki trigonometrik fonksiyonlar önce toplam (fark) şekline

dönüştürülür, sonra periyotlarının ortak katlarından en küçüğü alınır.

cos 2x.cos 3x = 1

2[cos(2𝑥 + 3𝑥) + cos(2𝑥 − 3𝑥)] cos a.cos b =

1

2 [cos(a+b) + cos(a-b)]

= 1

2[cos 5x + cos(-x)] cos(-x) = cos x

= 1

2[cos 5x + cosx] olur.

Bu fonksiyon için;

cos 5x ‘ in periyodu 2𝜋

5 , cos x ‘ in periyodu 2𝜋 ve OKEK = (

2𝜋

5 , 2𝜋) = 2𝜋 olduğundan

f(x) = cos 2x. cos 3x fonksiyonunun periyodu 2𝜋 dir.

1. f(x) = 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 fonksiyonunun periyodu nedir?

A) 𝝅 B) 2 𝝅 𝑪) 𝟑𝝅 D) 4 𝝅 E) 5 𝝅

2. 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟏𝝅

𝟏𝟐. 𝒄𝒐𝒔

𝟓𝝅

𝟏𝟐 ifadesinin değeri nedir?

A) -1/4 B) -1/2 C) 0 D)1/2 E)1/4

3. sin(a+b).sin(a-b) ifadesini toplam-fark şeklinde yazınız.

sin(a+b).sin(a-b) = −1

2[𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑐𝑜𝑠2𝑏] sin a.sin b = -

1

2[cos(a+b) – cos(a-b)]

= −1

2 [2 cos2a - 1 – 2 cos2b + 1] cos 2a = 2 cos2a – 1

= -cos2a + cos2b

4. 2 cos 3a.sin 7a ifadesi toplam-fark şeklinde nasıl yazılır?.

A) sin10a+cos4a B) sin10a+sin4a C) sin10-cos4a

D) sin10a-sin4a E) cos10+cos4a

72

Toplam (fark) şeklindeki trigonometrik fonksiyonları benzer işlemlerle çarpım şekline

getirebiliriz. Bu bize denklem çözümlerinde ve sadeleştirmelerde büyük kolaylık sağlar.

Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak;

sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a.cos b

sin(a+b) - sin(a-b) = 2 cos a.sin b bulunur.

a + b = x ve a – b = y dersek; a = 𝑥+𝑦

2 ve b =

𝑥−𝑦

2 olur ki

yerlerine yazıldıklarında;

sin x + sin y = 2 sin 𝑥+𝑦

2. cos

𝑥−𝑦

2

sin x – sin y = 2 sin 𝑥−𝑦

2. cos

𝑥+𝑦

2 eşitlikleri elde edilir.

Benzer düşünceler ile;

Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak;

cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a. cos b

cos(a-b) – cos(a-b) = -2 sin a. sin b bulunur.

a + b = x ve a – b = y dersek; a = 𝑥+𝑦

2 ve b =

𝑥−𝑦

2 olur ki

yerlerine yazıldıklarında;

cos x + cos y = 2 cos 𝑥+𝑦

2. cos

𝑥−𝑦

2

cos x – cos y = - 2 sin 𝑥+𝑦

2. sin

𝑥−𝑦

2 eşitlikleri elde edilir.

Bir de ; tan x + tan y = sin (𝑥+𝑦)

𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑦 ve tan x - tan y =

sin (𝑥−𝑦)

𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑦

Olduğunu da ekleyebiliriz.

73

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙−𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 ifadesini sadeleştiriniz.

cos x + cos y = 2 cos 𝑥+𝑦

2. cos

𝑥−𝑦

2

𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑠4𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥=

−2𝑠𝑖𝑛2𝑥+4𝑥

2.𝑠𝑖𝑛

2𝑥−4𝑥

2

2𝑐𝑜𝑠2𝑥+4𝑥

2.𝑐𝑜𝑠

2𝑥−4𝑥

2

cos x – cos y = - 2 sin 𝑥+𝑦

2. sin

𝑥−𝑦

2

=−2𝑠𝑖𝑛3𝑥.sin (−𝑥)

2𝑐𝑜𝑠3𝑥.cos (−𝑥) sin(-x) = - sin x cos(-x) = cos x

= tan x. tan 3x olur.

1. 𝒔𝒊𝒏𝒂+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒂+𝒔𝒊𝒏𝟓𝒂

𝒄𝒐𝒔𝒂+𝒄𝒐𝒔𝟑𝒂+𝒄𝒐𝒔𝟓𝒂 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) tan a B ) tan 3a C ) tan 5a D ) cot 3a E) cot a

2. 𝒔𝒊𝒏𝟕𝟓𝒐−𝒔𝒊𝒏𝟏𝟓𝒐

𝒄𝒐𝒔𝟕𝟓𝒐+𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 ifadesinim değeri nedir?

𝑠𝑖𝑛75𝑜−𝑠𝑖𝑛15𝑜

𝒄𝒐𝒔𝟕𝟓𝒐+𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 =2𝑠𝑖𝑛

750−150

2.𝑐𝑜𝑠

750+150

2

2𝐶𝑂𝑆750+150

2.𝐶𝑂𝑆

750−150

2

sin x – sin y = 2 sin 𝑥−𝑦

2. cos

𝑥+𝑦

2

cos x + cos y = 2 cos 𝑥+𝑦

2. cos

𝑥−𝑦

2

=2𝑠𝑖𝑛30𝑜.𝑐𝑜𝑠45𝑜

2𝑐𝑜𝑠45𝑜.𝑐𝑜𝑠30𝑜 = tan 30o = 1

√3

3. sin 1050 + sin 15o ifadrsinin değeri nedir?

A) √𝟑/2 B) √𝟐/3 C) √𝟔/2 D) 𝟑√𝟑/2 E) 2

4. 𝑠𝑖𝑛7𝑥+𝑠𝑖𝑛5𝑥

𝑐𝑜𝑠5𝑥−𝑐𝑜𝑠7𝑥 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) tan x B) cot x C) sec x D ) csc x E) 1

74

EK BİLGİLER:

m = 2n+1 için ;

n

m

m

n

mmm 2sin....

3sin.

2sin.sin

nm

n

mmm 2

1cos....

3cos.

2cos.cos

ÖRNEK:

75

GENEL TEKRAR

ÖRNEK

cos 𝜃 = 0,6 ise tan 𝜃 ve cosec 𝜃 değerlerini bulunuz.

Verilen açıyı 0o≤ 𝜃 < 90o olarak düşünüp dik üçgene taşıyalım.

cos 𝜃 = 0,6 =6

10

Pisagor teoreminden karşı dik kenar 8 br. bulunur.

tan 𝜃 =8

6=

4

3 ve cosec 𝜃 =

10

8= 1,25

!!! Dikkat Soru bu şekliyle algılanıp çözülürse eksik olacaktır.

Çünkü: Kosinüsü pozitif olan açının bitim kenarı Birim çemberi I. Veya IV. Bölgede keser.

Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitiftir.

Bu durumda: 𝜃 açısı I. Bölgede ise tan 𝜃 ve cosec 𝜃 için buunan değerler doğrudur.

Eğer 𝜃 açısı IV. Bölgede ise tanjant negatif olacağından tan 𝜃 = −4

3 ,

IV. Bölgede kosekant negatif olacağından cosec 𝜃 = −108

= −1,25 dir.

tan 𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 ; cosec𝜃 =

1

𝑠𝑖𝑛𝜃

ALIŞTIRMA

sin 𝜃 =4

5 ise cot 𝜃 ve sec 𝜃 değerlerini bulunuz.

76

ÖRNEK

𝜃 ve 𝛽 dar açıları için; sin 𝜃 = 3

5 ve cos 𝛽 =

12

13 ise sin (𝜃 + 𝛽) yi hesaplayınız.

sin (𝜃+𝛽) = sin 𝜃.cos 𝛽 + cos 𝜃.sin 𝛽 Toplamın sinüsü.

sin (𝜃+𝛽) = sin 𝜃.cos 𝛽 + cos 𝜃.sin 𝛽 =3

5.12

13+

4

5.

5

13=

56

65

ALIŞTIRMA

𝜃 ve 𝛽 dar açıları için; cos 𝜃 = 0,5 ve cos 𝛽 = 0,6 ise sin (𝜃 + 𝛽) yi hesaplayınız.

ÖRNEK

cos 15o.cos 75o ifadesinin değerini hesaplayınız.

cos 15o.cos 75o = sin 75o.cos 75o cos 15o = sin 75o Tümler açılar

= 1

2 sin150o sin 2a = 2 sin a.cos a Yarım açı

= 1

2 sin 30o =

1

2.1

2=

1

4 bulunur.

ALIŞTIRMA

sin415o +cos415o ifadesinin değerini hesaplayınız.

77

ALIŞTIRMALARA DEVAM

0 ≤ 𝜃 < 360𝑜 için 4 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 1 eşitliğini sağlayan 𝜃 sayılarının toplamı kaç

derecedir ? Y: 720o

−180𝑜 < 𝜃 < 180𝑜 için 6 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 = 0 eşitliğini sağlayan kaç tane

𝜃 gerçek sayısı vardır ? Y: 4

0 ≤ 𝜃 < 360𝑜 olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan 𝜃 gerçek sayılarını bulunuz.

2−𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝑐𝑜𝑡𝜃

1+2 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃= 0

3−2 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑡𝑎𝑛𝜃

1−2 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑡𝜃= 0

3 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝜃 3 𝑠𝑖𝑛𝜃−2

𝑠𝑖𝑛𝜃= 1 − 2 𝑐𝑠𝑐𝜃

sin(90o – 𝜃) cos(180o – 𝜃) + sin(270o – 𝜃) sin(270o + 𝜃) = ?

sin(90o + 𝜃) cos(90o - 𝜃) + cos(90o + 𝜃) cos(90o - 𝜃) =?

A+B+C=180o iken; 𝑡𝑎𝑛𝐴+𝐵

2=? ve 𝑠𝑖𝑛

𝐵+𝐶

2=?

f(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃 olmak üzere ; g(𝜃) = 𝑓(2𝜃) − 2 şeklinde tanımlanan yeni fonksiyonun

Görüntü Kümesini belirtiniz . −3 ≤ 𝑦 ≤ −1

78

BONUS ! BONUS !

cot 𝜃 = −3

4 ve csc 𝜃 < 0 için sin 𝜃 nın değeri nedir ? -4/5

ve sin𝜃 = 0,6 ise x= ? 16 cm.

tan(−𝜋

6) ve sec(

5𝜋

6) nın değerlerini bulunuz ? −

1

√3 ve −

2

√3

79

BONUS !

BONUS !

BONUS !

80

BONUS !

81

KONU TARAMA TESTLERİ -1

1. sin x – cos x = 1

5 olduğuna göre sin 2x in değeri nedir?

A) 1/10 B) 9/10 C) 1/25 D) 24/25 E) 8/9

2. cot x – tan x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 tan x B) 2 cot x C) tan 2x D) 2 tan 2x E) 2 cot 2x

3. tan 𝜃 =3

4 olduğuna göre tan (90o + 𝜃) nın değeri nedir?

A) 3/4 B) -3/4 C) 4/3 D) -4/3 E) 1

4. ABC Üçgeninde; R, Çevrel çember yarıçapını ve r, içteğet çember yarıçapını

göstermektedir. Sinüs teoremini veren 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝐶= 𝑋

Eşitliğinde, X aşağıdakilerden hangisidir?

A) R B) 2R C) r D) 2r E) R + r

5. Kübün bir köşesinden geçen cisim köşegeni ile yüz köşegeninin oluşturduğu açı

aşağıdakileden hangsidir?

A) 30O B) 45O C) 60O D) arccos(√6

2) E) arccos(

3

√6)

6. Arccos(cos 225o) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) -45O B) 45O C)135O D) 225O E) √2/2

7. sin(45o+x) + sin(45o-x) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) √2 C) cos x D) √2cos x E) 2cos x

82

KONU TARAMA TESTLERİ -2

1. 𝑠𝑖𝑛 30𝑜

𝑐𝑜𝑠 60𝑜 ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C)√3 D)2 E)4

2. tan 60𝑜

tan 30𝑜 ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C)√3 D)2 E)4

3. sin 60𝑜

cos 60𝑜 ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C)√3 D)2 E)4

4. 𝑠𝑖𝑛45𝑜

𝑐𝑜𝑠45𝑜 ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1 C)√3 D)2 E)4

5. sin 45o.cos 45o ifadesinin değeri nedir? A)0 B)1/4 C)1/2 D)1 E)2

6. arc cos(- 1

2) ifadesinin değeri nedir? A)30O B)60O C)1200

D)1350 E)1500

7. arc sin ( - 0,5) ifadesinin değeri nedir? A)30O B)600 C)1200

D)2400 E)3300

8. ABC üçgeninde ; a = 7 cm. b = 5 cm. c = 3 cm. ise mA kaç derecedir?

A)300 B) 450 C)600 D) 1200 E) 1500

9. sin 𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 ise csc𝜃 nın değeri nedir? A) ½ B) 2 C) 1

2 √5

D) 5/2 E) 5

10. cos𝜃. sec (90𝑜 − 𝜃) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) sin𝜃 B) cos 𝜃 C) tan 𝜃 D) cot 𝜃 E) csc 𝜃

11. tan𝜃. tan (90𝑜 − 𝜃) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 B) sin 𝜃 C) cos 𝜃 D) sec 𝜃 E) csc 𝜃

f(x) = sin 2x + cos x için f(30o) nin değeri nedir?

A) 1 B) √2 C) √3 D) 2 E) 2√3

83

ŞAKA !!!

84

ŞAKA !!!

ŞAKA !!!

85

SON 10 YILIN SINAV SORULARI

2012 LYS

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1

16𝑠𝑖𝑛𝑥 eşitliğinde içler dışlar çarpımı yapalım.

16𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 olur.

8.2sin x.cos x.cos 2x = 1 ve 2sin x.cos x=sin 2x olduğundan;

8.sin 2x.cos 2x = 1

4.2sin 2x.cos 2x =1 ve 2sin 2x.cos 2x = sin 4x olduğundan;

4.sin 4x = 1 ve

sin 4x = 1

4 bulunur. Yanıt C şıkkıdır.

86

2012 LYS

cos 135o = cos (180o – 45o) = - cos 45o = −√2

2 135o ; II. Bölgede ve kosinüs - dir.

cos 330o = cos ( 360o-30o) = cos 30o = √3

2 330o ; IV. Bölgede ve kosinüs + dır.

sin 150o = sin (180o-30o) = sin 30o = 1

2 150o ; II. Bölgede sinüs + dır.

Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yazalım.

𝑐𝑜𝑠135𝑜+𝑐𝑜𝑠330𝑜

𝑠𝑖𝑛150𝑜 =−

√2

2+

√3

21

2

= √3 − √2 bulunur. Yanıt A dır.

87

2012 LYS

ABCD Karesinde; m(CAB)=45o , m(CAB) = m(CAE) + m(EAB)

x = 45o – m(EAB) her iki tarafın tanlantlarını alalım,

tan x =tan(45𝑜 − 𝑚(𝐸𝐴𝐵)) =𝑡𝑎𝑛45

𝑜−tan (𝐸𝐴𝐵)

1+𝑡𝑎𝑛45𝑜.tan (𝐸𝐴𝐵)

tan(𝑎 − 𝑏) =𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏

1+𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏

EAB üçgeninde ; AB = BC = 5+7 = 12 cm. , tan(EAB)=|𝐸𝐵|

|𝐴𝐵|=

512

tan 45o = 1

=1−

5

12

1+1.5

12

=7

17

tan x = 7

17 bulunur. Yanıt E şıkkıdır.

88

2011 LYS

𝜃 = arc sin 𝑥

3+ 2 dersek sin 𝜃 =

𝑥

3+ 2 dir. Ters trigonometrik fonksiyon.

f(a) = b ⇒ f-1(b) = a

f: sin ve f-1: arc sin

sin 𝜃 =𝑥

3+ 2 ⇒ x = 3 sin (𝜃)-6 bulunur.

f(x) = 𝜃 iken f-1(𝜃) = x dir. Ters fonksiyonun tanımı.

f-1(𝜃) = 3 sin (𝜃) – 6 ve f-1(𝑥) = 3 sin (𝑥) – 6 olur. Yanıt C dir.

89

2011 LYS

𝑐𝑜𝑡𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 , 𝑡𝑎𝑛𝑥 =

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 , sin 2x = 2 sin x.cos x

Eşitlikleri verilen ifadede yerlerine yazılırsa;

cot x – 3 tan x =𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥−

3𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥−

3𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥=

1

2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 sol tarafta payda eşitlendiğinde;

𝑐𝑜𝑠2𝑥−3𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥=

1

2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 sadeleştirme yaparsak,

𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1

2 ve cos2x=1 – sin2x olduğundan

1 – sin2x – 3 sin2x = 1

2

4 sin2x = 1

2

sin2x = 1

8 bulunur. Yanıt B dir.

90

2011 LYS

ABE üçgeninde ; tan x = 3

5

BDC üçgeninde ; tan y =3

3= 1 ve B = x+ y

tan B = tan (x + y) =𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦

1−𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦 olduğundan;

tan ( x + y) =

3

5+1

1−3

5.1

=8

52

5

= 4 bulunur. Yanıt D dir.

91

2010 LYS

cos 40o = 2 cos220o – 1 Yarım açı.

cos 55o = sin 35o Tümler açılar. Verilende yerlerine yazıldığında;

1+𝑐𝑜𝑠40𝑜

𝑐𝑜𝑠55𝑜.𝑐𝑜𝑠35𝑜 =1+2 𝑐𝑜𝑠220𝑜−1

𝑠𝑖𝑛35𝑜.𝑐𝑜𝑠35𝑜 sin70o = 2 sin35o.cos35o Yarım açı

=2 𝑐𝑜𝑠220𝑜

1

2 𝑠𝑖𝑛70𝑜

sin70o = cos20o Tümler açı

=4 𝑐𝑜𝑠220𝑜

𝑐𝑜𝑠20𝑜 İşlem yaptığımızda;

= 4 𝑐𝑜𝑠20𝑜 Bulunur. Yanıt C şıkkı.

92

2008 ÖSS

cos 𝜋

2+ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥

𝜋

2+ 𝑥 II. Bölgede ve kosinüs - dir.

Veya:

𝑐𝑜𝑠 𝜋

2+ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛

𝜋

2 sinx

= 0.sin x – 1.sin x

= -sin x

Ve de ; sin 𝜋

2− 𝑥 = 𝑐𝑜𝑥 olduğundan, yerlerine yazıldığında ;

cos 𝜋

2+ 𝑥 = sin

𝜋

2− 𝑥

- sin x = cosx olur. Eşitliğin her iki tarafını cos x ‘ e bölersek ;

−𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥=

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1 olur. Yanıt C dir.

93

2009 ÖSS

Çemberde ‘’çapı gören çevre açı 90o olduğundan’’, m(BAC)=90o dir.

BAC dik üçgeninde, |BO|=|OA|=|OC| ve BOA ikizkenar üçgen olup, m(ABC)= 𝑥

2 dir.

|BC|2 = 32 + 12 = 10

sin 𝑥

2=

1

√10 , cos

𝑥

2=

3

√10

sin x = 2 sin 𝑥

2𝑐𝑜𝑠

𝑥

2 Yarım açıdan,

sin x = 2. 1

√10 .

3

√10=

3

5 bulunur. Yanıt C şıkkıdır.

94

2010 LYS

Verilen ifadede parantez karesini açar ve payda eşitlersek ;

(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2

𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 =

𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

sin2x + cos2x = 1

(𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥)2

𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 =

1

𝑐𝑜𝑠𝑥 bulunur. Yanıt A şıkkıdır.

2011 LYS

cos 2x = 2 cos2x -1 Yarım açı kullanıldığında ;

cos 2x = 2. −4

5

2− 1 = 2.

16

25− 1 =

32

25− 1 =

7

25 Yanıt E.

95

2007 ÖSS

sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb den sin(10o+40o)=sin10o.cos40o+cos10o.sin40o=sin50o ;

cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb den

cos(50o-10o)=cos50o.cos10o+sin50.sin10o=sin40o yerlerine yazıldıklarında;

=𝑠𝑖𝑛50𝑜

𝑐𝑜𝑠40𝑜 ve cos 40o = sin 50o olduğundan

= 𝑠𝑖𝑛50

𝑜

𝑐𝑜𝑠50𝑜 = 1 dir. Yanıt E şıkkıdır.

96

2010 LYS

3 sin x – 4 cos x = 0 ⇒ 3 sin x = 4 cos x eşitliğin her iki tarafını 3 cos x ‘e bölelim.

3𝑠𝑖𝑛𝑥

3𝑐𝑜𝑠𝑥=

4𝑐𝑜𝑠𝑥

3𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ tan x =

4

3 iken sin x ve cos x hesaplanabilir.

sin x = 4/5

cos x = 3/5

cos 2x = cos2x – sin2x olduğundan;

cos 2x = (3/5)2 – (4/5)2 = - 7/25

|cos 2x| = |-7/25| = 7/25 Yanıt D şıkkıdır.

97

2008 ÖSS

(sin x + cos x)2 = sin2x + 2 sin x.cos x + cos2x Tam kare.

sin2x + cos2x =1 ve sin 2x = 2 sin x.cos x Yerlerine yazalım.

(sin x + cos x)2 = 1 + a bulunur. Yanıt A şıkkıdır.

2010 LYS

tan 60o = 𝑠𝑖𝑛60𝑜

𝑐𝑜𝑠60𝑜 değeri yerine yazıldığında;

𝑡𝑎𝑛60𝑜

𝑠𝑖𝑛20𝑜 −1

𝑐𝑜𝑠200 =𝑠𝑖𝑛60𝑜

𝑐𝑜𝑠60𝑜

𝑠𝑖𝑛20𝑜 −1

𝑐𝑜𝑠200 Payda eşitlediğimizde ,

=𝑠𝑖𝑛60𝑜𝑐𝑜𝑠20𝑜−𝑐𝑜𝑠60𝑜𝑠𝑖𝑛20𝑜

𝑠𝑖𝑛20𝑜𝑐𝑜𝑠20𝑜

sin(60o-20o) = sin60o cos20o-cos60o sin20o

ve sin 40o =2sin20o cos20o yazalım.

=𝑠𝑖𝑛40𝑜

1

2𝑠𝑖𝑛40𝑜

= 2 bulunur. Yanıt B şıkkıdır.

98

2009 ÖSS

Ek çizimleri yaptığımızda ;

x = 30o – y

tan 30o = √3

3 ; 𝑡𝑎𝑛𝑦 =

𝑎

2√3𝑎=

√3

6

tan x = tan (30o-y) = 𝑡𝑎𝑛30𝑜−𝑡𝑎𝑛𝑦

1+𝑡𝑎𝑛30𝑜.𝑡𝑎𝑛𝑦=

√3

3−

√3

6

1+√3

3.√3

6

=√𝟑

𝟕 bulunur. Yanıt B

99

2007 ÖSS

𝑠𝑖𝑛𝜋

12+ 𝑐𝑜𝑠

𝜋

12

2= 𝑠𝑖𝑛2 𝜋

12+ 2𝑠𝑖𝑛

𝜋

12𝑐𝑜𝑠

𝜋

12+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

12 Tam kare

sin2𝜋

12+cos2 𝜋

12= 1 ve 𝑠𝑖𝑛2.

𝜋

12= 2𝑠𝑖𝑛

𝜋

12𝑐𝑜𝑠

𝜋

12= 𝑠𝑖𝑛

𝜋

6=

1

2

𝑠𝑖𝑛𝜋

12+ 𝑐𝑜𝑠

𝜋

12

2= 1 +

1

2 =

3

2 bulunur. Yanıt B şıkkıdır.

2007 ÖSS

cos 2a = cos2a – sin2a ve tan2a = 𝑠𝑖𝑛2𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑎 değerleri yerlerine yazılırsa;

𝑐𝑜𝑠2𝑎

1−𝑡𝑎𝑛2𝑎=

co𝑠2a – si𝑛2a

1−𝑠𝑖𝑛2𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑎

=co𝑠2a – si𝑛2a

co𝑠2a – si𝑛2a

𝑐𝑜𝑠2𝑎

= 𝑐𝑜𝑠2𝑎 bulunur. Yanıt B

100

2006 ÖSS

sin 2a = 2 sin a.cos a ve cos 2a = 1 – 2 sin2a değerleri yerlerine yazılırsa;

𝑠𝑖𝑛2𝑎

1−𝑐𝑜𝑠2𝑎=

2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎

1−(1−2𝑠𝑖𝑛2𝑎)=

2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎

2𝑠𝑖𝑛2𝑎=

𝑐𝑜𝑠𝑎

𝑠𝑖𝑛𝑎= 𝑐𝑜𝑡𝑎 bulunur.

Yanıt D

P(cos𝜃, sin𝜃) olarak tanımlandığından

P’(cos𝜃, -sin𝜃) olmalıdır.

Veya ;

Tanımdan P’(cos(−𝜃), sin(−𝜃)) olmalıdır.

B şıkkında verilen (cos(−𝜃), sin𝜃)

tanımları doğrulamaz.

Yanıt B

2006 ÖSS

101

2006 ÖSS

tan (x+y) = 3/9 = 1/3 BEK Üçgeninde

tan y =3/21 =1/7 ALK Üçgeninde

tan(x+y) = 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦

1−𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦 eşitliğinde verilenler yerlerine yazıldığında ;

1

3=

𝑡𝑎𝑛𝑥+1

7

1−𝑡𝑎𝑛𝑥.1

7

; 1

3=

7𝑡𝑎𝑛𝑥+1

7−𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 7 – tan x = 21 tanx + 3

22 tan x = 4 ve

tan x = 2

11 dir. Yanıt C

102

2012 LYS

Denklemin kökü, eşitlikte yerine yazıldığında eşitliği sağlayan sayıdır.

Denklemde x yerine 2

3 yazıldığında;

2

3

2− (𝑠𝑖𝑛 𝑎)

2

3 −

1

4(𝑐𝑜𝑠2𝑎) = 0 olur.

İşlem yaptığımızda ;

16 – 24 sin a – 9 cos2a = 0 ve cos2a =1 – sin2a olduğundan

16 -24 sin a – 9 ( 1 – sin2a) = 0

9 sin2a -24 sin a + 7 = 0 Trigonometrik denklemi elde edilir.

Bu denklemi çözelim.

(3 sin a - 7)(3 sin a – 1) = 0 Şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

3 sin a -7 = 0 ve sin a = 7

3 bulunur ki bu mümkün değildir.

Çünkü −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑎 ≤ 1 olmalıdır.

3 sin a – 1 = 0 ve sin a = 1

3 dır. Yanıt E şıkkı

103

KONU TESTİ: (ÇÖZÜMLÜ)

1. 1cos1

sin

x

x denkleminin [0, 2 ] aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

1cos1

sin

x

x

sin x = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥

2 ; cos x = 2 cos2

𝑥

2− 1 Yarım açı formülleri

2 𝑠𝑖𝑛𝑥

2.𝑐𝑜𝑠

𝑥

2

1+2 co𝑠2 𝑥

2−1

= 1 ⇒ 𝑠𝑖𝑛

𝑥

2

𝑐𝑜𝑠𝑥

2

= 1 ⇒ tan 𝑥

2= 1 ⇒

𝑥

2=

𝜋

4+ 𝑘𝜋 ⇒ x =

𝜋

2

2.çözüm yolu: içler dışlar çarpımından sonra düzenlediğimizde sin x – cos x =1

eşitliğinin karesini alırsak; sin2x – 2 sin x.cos x + cos2x = 1

sin2x + cos2x = 1 ve sin 2x = 2 sin x.cos x formüllerinden sin 2x = 0 denklemi ve

x = 0, 𝜋

2 , 𝜋 ,

3𝜋

2 , 2𝜋 bulunur. Bu köklerden verilen eşitliği sağlayan tek sayı

𝜋

2 dir.

NOT : y=sinx ve y= 1+cosx fonksiyonlarının grafikleri x=𝜋

2 ve x=𝜋 de kesişir.

Fakat x=𝜋 için 1+cosx = 0 olur. Kesrin paydası 0 olamayacağından

x=𝜋 kök olarak alınmaz. Yanıt: B

2. ?85tan.75tan65tan......25tan.15tan.5tan 000000

A) 2

1 B)

3

3 C) 1 D) 3 E) 2

tan 85o = cot 5o , tan 75o = cot 15o , tan 65o = cot 25o , tan 55o = cot 35o

Tümler açılar. ve tan x. cot x = 1 ve de tan 45o =1

Baştan ve sondan birer terim alındığında;

1.1.1.1.1 = 1 bulunur. Yanıt: C

104

3. ?5arctan3

2arctantan

A) - 3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3

arctan (−2

3) = 𝑎 ve arctan 5 = b dersek;

tan a = −2

3 ve tan b = 5 olur.

tan [ arctan (−2

3) + arctan 5 ] = tan (a+b) =

𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑡𝑎𝑛𝑏

1−𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏=

−2

3+5

1− −2

3 .5

= 1

Yanıt: D

4. ?12

5sin.

12sin

A) 4

3 B)

2

2 C)

2

3 D)

4

1 E)

2

1

sin 5𝜋

12= 𝐶𝑂𝑆

𝜋

2−

5𝜋

12 = 𝐶𝑂𝑆

𝜋

12 Tümler açı

sin𝜋

12. 𝑠𝑖𝑛

5𝜋

12= 𝑠𝑖𝑛

𝜋

12. 𝑐𝑜𝑠

𝜋

12=

1

2𝑠𝑖𝑛2.

𝜋

12=

1

2𝑠𝑖𝑛

𝜋

6=

1

2.1

2=

1

4

sin 2a =2 sin a.cos a ve 𝑠𝑖𝑛𝜋

6=

1

2 Yanıt: D

105

5. 5,0)sin(

3,0)sin(

yx

yx ise ?cos.sin yx

A) 0,2 B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8 E) 1

sin( ) 0,3

sin( ) 0,5

x y

x y

Eşitlikler taraf tarafa toplandığında;

sin(x+y) + sin(x-y) = 0,8

sin x.cos y + cos x.sin y + sin x.cos y - cos x.sin y = 0,8

2 sinx.cos y = 0,8

sin x.cos y = 0,4 bulunur. Yanıt: B

6. ?15sin15cos

15sin15cos00

00

A) 3

1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3

Verilen ifadenin pay ve paydası (cos 15o + sin 15o ) ile çarpılırsa;

(cos 15𝑜 + sin 15𝑜)2

(cos 15𝑜 − sin 15𝑜)(cos 15𝑜 + sin 15𝑜)=

𝑐𝑜𝑠215𝑜 + 2𝑠𝑖𝑛15𝑜𝑐𝑜𝑠15𝑜 + 𝑠𝑖𝑛215𝑜

𝑐𝑜𝑠215𝑜 − 𝑠𝑖𝑛215𝑜

cos215 + sin215o = 1 ; 𝑐𝑜𝑠215𝑜 − 𝑠𝑖𝑛215𝑜 = 𝑐𝑜𝑠2.15𝑜 = 𝑐𝑜𝑠30𝑜 =√3

2 ve

2 sin150.cos 15o = sin 2.15o = sin 30o = 1

2 değerleri yerlerine yazıldığında

=1+

1

2

√3

2

= √3 bulunur. Yanıt: C

106

7. 2

1cossin xx ise ?cossin 33 xx

A) 2

1 B)

4

3 C)

8

5 D)

16

9 E)

16

11

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) İki küp toplamı

sin3 x + cos3 x = (sin x + cos x)( sin2 x – sin x. cos x + cos2 x)

sin2 x + cos2 x = 1 ; sin 2x = 2 sin x. cos x

(sin x + cos x)2 = sin2 x +2. sin x. cos x + cos2 x = 1

2

2

1 + 2 sinx.cos x = ¼ , sin x.cos x = -3/8

sin3 x + cos3 x = 1

2 .(1 – (-3/8)) =

11

16 bulunur.

Yanıt: E

8. A = 12

2sin2

x ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E)

−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ 1 olduğundan A’ nın en büyük değeri alması için

sin (2𝜋𝑥 −𝜋

2) = −1 olmalıdır. A = |2(-1)-1| = 3 En büyük değer.

Yanıt: D

107

9. 014tan.tan xx denkleminin 0 < x < aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

tan a = cot (𝜋

2− 𝑎) ve tan a. cot a = 1 olduğundan

tan x. tan 4x = 1 eşitliğinin gerçekleşebilmesi için

tan 4x = cot x olmalıdır.

cot x = tan 𝜋

2− 𝑥

tan 4x = tan 𝜋

2− 𝑥

4x = 𝜋

2− 𝑥 + k𝜋 k∈ 𝑍

5x = 𝜋

2+ k𝜋

k = 0, 1, 2, 3, 4 değerleri için x = 𝜋

10 ,

3𝜋

10 ,

𝜋

2 ,

7𝜋

10 ,

9𝜋

10 bulunur.

x = 𝜋

2 için tan

𝜋

2 tanımsız olduğundan denklemim verilen aralıkta 4 kökü vardır.

Yanıt: C

10.

A) 4

3 B)

5

3 C)

5

4

D) 3

4 E)

4

5

D(4,0) ve E(0,6) noktalarından geçen doğru denklemi 𝑥

4+

𝑦

6= 1 dir.

OABC nin kare olması için B(a,a) doğru denklemini sağlamalıdır. 𝑎

4+

𝑎

6= 1; a =

12

5

COA Dik üçgeninde; tan𝜃 =12

5

4=

3

5 bulunur. Yanıt: B

108

11. xxfxf sin)(2)( ise ?2

f

A) -1 B) 2

1 C) 0 D)

3

1 E) 2

1

Verilen eşitlikte x yerine bir kez 𝜋

2 , bir kez de -

𝜋

2 yazarsak ;

𝑓( 𝜋

2) − 2𝑓 −

𝜋

2 = sin

𝜋

2 = 1

𝑓 −𝜋2 −2𝑓

𝜋2 = sin (−

𝜋2) = -1 2. İfadeyi 2 ile çarpıp 1. İle toplarsak;

−3𝑓 𝜋

2 = −1 ve 𝑓

𝜋

2 =

1

3 bulunur. Yanıt: D

12.

DB

DB

CA

CA

coscos

0coscos

0sinsin

sinsin

eşitliklerinden kaç tanesi

doğrudur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Kirişler Dörrtgeninde ; Karşılıklı açılar Bütünlerdir.

A + C = 180o ve B + D = 180o

C = 1800 – A D = 180o – B

sin A = sin C sin A = sin (1800 – A) = sin A DOĞRU

sin A + sin C = sin A + sin(1800 – A) = sin A + sin A = 2 sin A =0

sin A = 0 ; A = 0o veya A = 180o Yanlış

cos B + cos D = cos B + cos (180o – B) = cosB – cos B = 0 DOĞRU

cos B = cos D cos B = cos (180o – B) = - cos B cos B = 0 B=900 olmayabilir.

2 tane DOĞRU yanıt var. Yanıt: C

109

13. xx sin6sin 216.42

denkleminin [0, 2 ] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden

hangisidir?

A)

2

B)

2,

3

C)

3,

6

D)

6

5,

2,

6

E)

,3

2,

3

Eşitliği 22. (24)𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 26𝑠𝑖𝑛𝑥 şekline dönüştürür işlem yaparsak;

22+4𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 26𝑠𝑖𝑛𝑥 ; 2 + 4 sin2x = 6 sin x ; 2 sin2x – 3 sin x + 1 = 0 bulunur.

2 sin2x – 3 sin x + 1 = 0 denklemini çözdüğümüzde;

(2 sin x -1)(sin x – 1) = 0

2 sin x – 1 = 0 ; sin x = ½ ; x1 = 𝜋

6 ; x2 = 𝜋 −

𝜋6= 5𝜋

6

sin x – 1 = 0 ; sin x = 1 ; x3 = 𝜋

2

Ç =

6

5,

2,

6

Yanıt: D

14. ?sin

1csc.tan 2

A) 3sec B) 3csc C) 0 D) sec.csc 2 E) csc.sec 2

𝑡𝑎𝑛2𝜃. 𝑐𝑠𝑐𝜃 +1

𝑠𝑖𝑛𝜃=

𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃.

1

𝑠𝑖𝑛𝜃+

1

𝑠𝑖𝑛𝜃=

1

𝑠𝑖𝑛𝜃(1 +

𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃) =

1

𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃)

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

1

𝑠𝑖𝑛𝜃 ; 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ; 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

1

𝑐𝑜𝑠𝜃olduğundan

𝑡𝑎𝑛2𝜃. 𝑐𝑠𝑐𝜃 +1

𝑠𝑖𝑛𝜃=

1

𝑠𝑖𝑛𝜃.

1

𝑐𝑜𝑠2𝜃= 𝑐𝑠𝑐𝜃. 𝑠𝑒𝑐2𝜃 bulunur. Yanıt: E

110

15. ?csc.sec

cottan

A) 1 B) sin C) D) tan E) cot

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

1

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

1

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑐𝑠𝑐𝜃=

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃+

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃

1

𝑐𝑜𝑠𝜃.

1

𝑠𝑖𝑛𝜃

= 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 Yanıt: A

16. 2cos2sin 2 xx ise x=?

A) 0 B) 4

C)

2

D) E)

2

3

sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 – cos2x

sin2x = 2 cos x +2 ⇒ 1 – cos2x = 2 cos x + 2 ⇒ cos2x +2 cos x +1 = 0

⇒ (cos x + 1)2 = 0 ⇒ cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = -1 ⇒ x = 𝜋 Yanıt: D

17. 0cossin xx denkleminin 2,0 aralığındaki kökler toplamı kaçtır?

A) 4

3 B) C)

4

5 D)

4

7 E)

2

5

sin x +cos x = 0 ⇒ (sin x + cos x)2= 0 ⇒ sin2x + 2 sin x.cos x + cos2x = 0

sin2x + cos2x = 1 ve sin 2x = 2 sin x.cos x

1 + sin 2x =0 ⇒ sin 2x = -1 ⇒ 2x = 3𝜋

2+ 𝑘. 2𝜋 ⇒ x1 =

3𝜋

4 ve x2 =

7𝜋

4

x1 + x2 = 3𝜋

4 +

7𝜋

4=

5𝜋

2 Yanıt: E

cos

Commented [ae1]:

111

18. 14tan x denkleminin 2,0 aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

tan 4x = 1 ⇒ tan 4x =tan 𝜋

4 ⇒ 4x =

𝜋

4 + k.𝜋 ⇒ x =

𝜋

16+ 𝑘.

𝜋

4

k = 0, 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7 için denklemin [0, 2𝜋] aralığında 8 tane kökü var. Yanıt: D

19. 0o < x < 90o iken ;

I. sec x < 1 II. sec x = 1 III. sec x > 1

Önermeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) yalnız I doğrudur. B) yalnız III doğrudur. C) yalnız I yanlıştır.

D) yalnız III yanlıştır E) I , II ve III doğrudur.

sec x = 1

𝑐𝑜𝑠𝑥 0o < x < 90o için 0 < cos x < 1 olduğundan

1

𝑐𝑜𝑠𝑥> 1

Yanıt: D

20. ?sec.2cos 2

A) 1 B) sec C) csc D) 2tan1 E) 2tan1

𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = cos2 𝜃 −sin2 𝜃 ; sec 𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

cos 2 𝜃.sec2 𝜃 = (cos2 𝜃 −sin2 𝜃)1

𝑐𝑜𝑠2𝜃= 1 -

𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 – tan2 𝜃 Yanıt: E

112

21. f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x ise ; (fog)(x) = ?

A) x2-1 B) 1-x2 C) 12 x D) 21 x E) x

(fog)(x) = f[g(x)] Bileşke fonksiyon tanımı

f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x

(fog)(x) = f[g(x)] = f[arcsin x] = cos [arcsin x]

arcsin x = 𝜃 dersek cos 𝜃 yı bulmamız gerekiyor.

arcsin x = arcsin x = 𝜃 ⇒ sin 𝜃 = x

sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 ⇒ x2 + cos2 𝜃 = 1 ⇒ cos2 𝜃 = 1 − 𝑥2

⇒ cos 𝜃 = √1 − 𝑥2 Yanıt: D

22. 7

12sin a ise ?cossin 44 aa

A) 49

1 B)

98

97 C)

196

195 D)

2401

2305 E)

2401

4610

sin2a + cos2a = 1 Eşitliğinin karesini alalım.

(sin2a + cos2a)2 = 12 ⇒ sin4a + 2 sin2a.cos2a + cos4a =1

sin 2a = 2 sin a.cos a = 1

7 ⇒ sin a.cos a =

1

14 ⇒ sin2a.cos2a =

1

196

sin4a + 2 sin2a.cos2a + cos4a =1 ⇒ sin4a +2. 1

196 + cos4a = 1

sin4a + cos4a = 1 - 1

98=

97

98 Yanıt: B

113

23. xx sin2tan denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir?

A) 15o B) 30o C) 45o D) 60o E) 75o

𝑡𝑎𝑛𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

tan x = 2 sin x ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin x

⇒ cos x = 1

2 ⇒ cos x = cos 60o

⇒ x = ± 60o + k.360o En küçük pozitif kök 60o dir. Yanıt: D

24. xx cos1cos2 2 denkleminin 2,0 aralığındaki kökler toplamı kaçtır?

A) 3

B)

2

C) D) 2 E) 3

2 cos2x = 1 – cos x ⇒ 2 cos2x + cos x – 1 = 0 ⇒ (2 cos x -1)(cos x + 1) = 0

⇒ 2 cos x -1 = 0 veya cos x + 1 = 0

2 cos x -1 = 0 ⇒ cos x = 1

2 ⇒ cos x =cos

𝜋

3

⇒ x = ±𝜋

3 +k.2𝜋 ⇒ x1 =

𝜋

3 , x2 =

5𝜋

3

cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = -1 ⇒ x3 = 𝜋

Kökler toplamı = 𝜋

3 +

5𝜋

3+ 𝜋 = 3 𝜋 Yanıt: E

114

25. arcsin x + arcos x = ?

A) 6

B) 4

C) 3

D) 2

E)2

arcsin x = 𝛼 ⇒ x = sin 𝛼 ve arccos x = 𝛽 ⇒ x = cos 𝛽

cos 𝛼 = √1 − 𝑥2 sin 𝛽 = √1 − 𝑥2

arcsin x + arccos x = A ⇒ 𝛼 + 𝛽 = A Her iki tarafın sinüsünü aldığımızda;

sin (𝛼 + 𝛽) = sin A ⇒ sin 𝛼.cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 = sin A

⇒ x . x + √1 − 𝑥2 . √1 − 𝑥2 = sin A ⇒ sin A = x2 + 1 – x2 ⇒ sin A = 1

sin A = 1 ⇒ sin A =sin 𝜋

2 ⇒ A =

𝜋

2 Yanıt: D

26. 4

9

4

5 x için ;

4

32sin x ise

A) −1

2 B)

4

1 C) 0 D)

4

1 E)

2

1

sin x – cos x = T diyerek her iki tarafın karelerini alalım.

(sin x – cos x)2 = T2 ⇒ sin2x – 2 sin x.cos x + cos2x = T2

sin2x + cos2x = 1 ve sin 2x = 2 sin x.cos x

1 - sin 2x =T2 ⇒ 1 - 3

4 = T2 ⇒ T2 =

1

4 ⇒ T = ±

1

2

4

9

4

5 x ve sin 2x =

3

4 > 0 olduğundan

5𝜋

4< 𝑥 <

3𝜋

2 olmalıdır.

x , 3. Bölgede ve 2x, 2. Bölgededir. Bu aralıkta 0 < cos x > sin x olacağından

sin x – cos x < 0 olup sin x – cos x = - 1

2 Yanıt: A

?cossin xx

115

27. xx 2sincos denkleminin [0o,360o] aralığında kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

cos x = sin 2x ⇒ cos x – sin 2x = 0 ⇒ cos x – 2 sin x.cos x = 0

sin 2x = 2 sin x.cos x

⇒ cos x ( 1 – 2 sin x) = 0 ⇒ cos x = 0 veya 1 – 2 sin x = 0

cos x = 0 ⇒ x1 = 90o , x2 = 270o

1 – 2 sin x = 0 ⇒ sin x = 1

2 ⇒ sin x = sin 30o ⇒ x3 = 30o ve

sin x = sin 150o ⇒ x4 = 150o

olmak üzere denklemim verilen aralıkta dört tane kökü vardır. Yanıt:E

28. 2tan ise ?cos1

1

cos1

1

A) 5

2 B)

5

4 C) 1 D)

4

5 E)

2

5

1

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃+

1

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃=

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)=

2

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃=

2

𝑠𝑖𝑛2𝜃= 2𝑐𝑠𝑐2𝜃

sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ; csc θ = 1

𝑠𝑖𝑛𝜃

csc θ = √5

2 2𝑐𝑠𝑐2𝜃 = 2 .

5

4=

5

2 Yanıt: E

116

29. xxy 6cos24sin3 fonksiyonunun periyodu nedir?

A) 3

B) 2

C) D) 2 E) 4

sin 4x ; periyodu 2𝜋

4=

𝜋

2 , cos 6x ; periyodu

2𝜋

6=

𝜋

3

O.K.E.K(𝜋

2 ,

𝜋

3) = 𝜋 Verilen fonksiyonun periyodu 𝜋 dir. Yanıt: C

30. ?sin

cos1

cos1

sin

x

x

x

x

A) csc x B) sec x C) 2.csc x D) 2.sec x E) tan x

𝑠𝑖𝑛𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥+

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥=

𝑠𝑖𝑛2𝑥 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2

𝑠𝑖𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)=

𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

sin2x + cos2x = 1 1

𝑠𝑖𝑛𝑥= 𝑐𝑠𝑐 𝑥

=1+1+2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)=

2(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)=

2

𝑠𝑖𝑛𝑥= 2𝑐𝑠𝑐𝑥 Yanıt: C

31. csc x + 2 = 0 denkleminin oo x 3600 aralığındaki çözüm kümesi

aşağıdakilerden hangisidir?

A){60o,300o} B){30o,330o} C){120o,240o} D) {150o,210o} E) {210o,330o}

csc x = 1

𝑠𝑖𝑛𝑥 olduğundan ; csc x + 2 = 0 ⇒

1

𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2 = 0

⇒ 2 sin x +1 = 0 ⇒ sin x = - 1

2 ⇒ sin x =sin(180o+30o) ⇒ x = 210o

sin x = sin(360o-30o) ⇒ x = 330o

Ç = {210o,330o} Yanıt: E

117

32. ?90sin...2sin1sin0sin 2222 oooo

A) 45 B) 45,5 C) 45 2 D) 2

291 E) 45 3

sin 0o=cos 90o ; sin 10=cos89o ; sin 2o=cos 880 ….Tümler açılar.

Yerlerine yazılır ve sin2x + cos2x = 1 özdeşliği kullanılırsa ;

sin20o+sin21o+sin22o + … +sin290o = cos290o+cos289o+cos288o+ … +sin290o

= 1+1+1+ … +1+ sin245o = 45 + 0,5 = 45,5 45 tane 1 var, sin45o=1/√2 Yanıt: B

33. ?2

8cos1

A) 4sin B) 4cos C) 2sin2 D) 2cos2 E) sin4

cos 8𝜃 = cos 2.4𝜃 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛24𝜃 dır. cos 2a = 1 – 2sin2a

√1−𝑐𝑜𝑠8𝜃

2= √

1−(1−2𝑠𝑖𝑛24𝜃)

2= √𝑠𝑖𝑛24𝜃 = sin 4𝜃 Yanıt: A

34. xxx cottansec denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 4

C)

3

D)

2

E) Hiç biri

sec x = 1

𝑐𝑜𝑠𝑥 ; tan x =

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 ; cot x =

cos 𝑥

sin 𝑥 Yerlerine yazılırsa;

1

𝑐𝑜𝑠𝑥 =

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 +

cos 𝑥

sin 𝑥 ⇒

1

𝑐𝑜𝑠𝑥=

𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

⇒ sin x = 1 ⇒ sin x = sin 𝜋

2 ⇒ 𝑥 =

𝜋

2 Olamaz. (secant tanımsız)

Yanıt: E

118

35. ?cos1

1

cos1

1

xx

A) sec2x B) csc2x C) 2sec2x D) 2csc2x E) 1

sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ; csc θ = 1

𝑠𝑖𝑛𝜃

1

1+𝑐𝑜𝑠𝜃+

1

1−𝑐𝑜𝑠𝜃=

1−𝑐𝑜𝑠𝜃+1+𝑐𝑜𝑠𝜃

(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)=

2

1−𝑐𝑜𝑠2𝜃=

2

𝑠𝑖𝑛2𝜃= 2𝑐𝑠𝑐2𝜃

36.

A) 15 B) 16 C) 18

D) 20 E) 25

EBC üçgeninde; tan 𝜃 =𝑥+9

10−

𝑥

10

1+𝑥+9

10.𝑥

10

tan (a-b) = tan 𝑎−𝑡𝑎𝑛 𝑏

1+tan 𝑎.tan 𝑏

EAC üçgeninde; tan 𝜃 =𝑥+9

40−

𝑥

40

1+𝑥+9

40.𝑥

40

Taraf tarafa eşitlersek;

𝑥+9

10−

𝑥

10

1+𝑥+9

10.𝑥

10

=𝑥+9

40−

𝑥

40

1+𝑥+9

40.𝑥

40

⇒ 4

𝑥2+9𝑥+1600=

1

𝑥2+9𝑥+100

⇒ x2 + 9x – 400 = 0 ⇒ (x -16)(x +25) = 0 ⇒ x = 16 Yanıt: B

119

37. ABC üçgeninde ; 3a = 2b = 3c ise ?2

tan A

A)5

1 B)

6

1 C)

7

1 D)

2

1 E)

3

1

3a = 2b = 3c = 6K dersek; a = 2K , b = 3K , c = 2K

a2 = b2 + c2 -2 bc.cos A Kosinüs teoreminde yerine yazılırsa;

4K2 = 9K2 + 4K2 – 2.3K.2K.cos A

cos A = 3

4

tan A = √7

3

sin A = √7

4 tan

𝐴

2=

1−cos 𝐴

sin 𝐴=

1−3

4

√7

4

=1

√7 Yanıt: C

38. ?cos3cos

sin3sin

xx

xx

A) xtan2 B) x2tan C) xcot2 D) x2cot E) x2sec

Uygulandığında;

𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=

2𝑠𝑖𝑛2𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑎𝑛2𝑥 bulunur. Yanıt:B

120

39. A açısı dik açı olan bir ABC üçgeninde ;

2

1cossin2cos CBC ise B açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 30O B) 36O C) 45O D) 60O E) 75O

B + C = 90O , B = 900-C , sin B = sin(90o- C) = cos C Tümler açılar.

cos 2 C + sin B – cos C = cos 2C + cos C – cos C =cos 2C = 1

2

cos 2C = 1

2 ⇒ cos 2C = cos 60o ⇒ 2C = 60O ⇒ C = 30o

B + C = 90O ⇒ B + 30O= 90O ⇒ B = 60O Yanıt: D

40.

A) 7

1 B)

79 C)

97

D) 19 E)

9

11

KAE üçgeninde; A iç açısı ile 𝜃 iç açısının toplamı E deki dış açıya eşittir.

𝜃 = 𝐸 − 𝐴

tan 𝜃 = tan(𝐸 − 𝐴) =𝑡𝑎𝑛𝐸−𝑡𝑎𝑛𝐴

1+𝑡𝑎𝑛𝐸.𝑡𝑎𝑛𝐴

EBC de tan E = 3 , ABF de tan A =2

3

tan θ =3−

2

3

1+3.2

3

=7

9 Yanıt: B

HATA NEREDE ?

121

Soldaki üçgen 7 parçadan oluşmuştur. Ortadaki 2x1 dikdörtgen çıkarıldığında

kalan 6 parça ile sağdaki üçgen oluşturuluyor.

Yapılan işlemde bir hata varmı?

HATA !

A, B, C Noktaları Doğrusal göründükleri halde

Doğrusal değiller doğrusal değiller.

Doğrusal olmaları için x ve y açılarının eşit

olması olması (Yöndeş) gerekir.

ABD üçgeninde tan x = 3/7 iken

BCE üçgeninde tan y = 2/5 tir.

122

Dört parçadan oluşan soldaki karenin alanı 64 birim karedir.

Aynı parçalardan oluşturulan sağdaki dikdörtgenin alanı 65 birim karedir.

AYNI PARÇALARDAN OLUŞMUŞ ŞEKİLLERE BAKARAK

64 = 65 DİYEBİLİRMİYİZ ???

123

… KARMAKARIŞIK

sin a + sin b = 2 sin𝑎+𝑏

2.cos

𝑎−𝑏

2

sin 20o + sin 40o = 2 sin 30o.cos 10o =sin x

sin 30o=1/2 2.(1/2).cos 10o = sin x

cos 10o = sin 80o sin 80o = sin x

x = 80o

124

sin 2x = 2 sin x.cos x ; cos 2x = 2 cos2x-1

𝑠𝑖𝑛2𝑥

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥=

2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥

1+2𝑐𝑜𝑠2𝑥−1=

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

= 𝑡𝑎𝑛𝑥 =2

3=

𝑎

𝑏 ; a + b = 5

A = 2.B ; A enbüyük, B en küçük

x – 1, x, x+1 kenar uzunlukları.

a = x+1 , b = x-1 , c = x

Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

b2 = a2+c2-2ac.cos B Kosinüs Teoremi.

(x-1)2=(x+1)2+x2-2(x+1)x.cos B (1)

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝐵 Sinüs teoremi

𝑥+1

𝑠𝑖𝑛2𝐵=

𝑥−1

𝑠𝑖𝑛𝐵 ;

𝑥+1

2𝑠𝑖𝑛𝐵.𝑐𝑜𝑠𝐵=

𝑥−1

𝑠𝑖𝑛𝐵

cos B = 𝑥+1

2(𝑥−1) (2)

(1) ve (2) den; x = 5 ve cos B = 3

4

Üslü sayı özelliklerinden;

2𝑠𝑖𝑛𝑥 > 1 ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑥 > 0

3𝑐𝑜𝑠𝑥 < 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0

sinüsün pozitif, kosinüsün neggatif olduğu

bölge, 2. Bölgedir.

2. Bölgede bulunan açı 140o dir.

125

2𝑠𝑖𝑛𝑥+3

2𝑡𝑎𝑛𝑥+3𝑠𝑒𝑐𝑥=

2𝑠𝑖𝑛𝑥+3

2.𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+3.

1

𝑐𝑜𝑠𝑥

= 𝑐𝑜𝑠𝑥

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) iki küp toplamı

(tanx+cotx)2=tan2x+2tanx.cotx+cot2x

tanx.cotx=1 ; tan2x+cot2x=a2-2

tan3x+cot3x=(tanx+cotx)(tan2x-tanx.cotx+cot2x)

tan3x+cot3x=a(a2-2-1)=a3-3a

𝑐𝑜𝑡𝑥 =1

𝑡𝑎𝑛𝑥

(tanx)sinx =(1

𝑡𝑎𝑛𝑥)cosx=(tanx)-cosx

sinx = -cosx ; sinx+cosx=0

(sinx+cosx)2=sin2x+2sinx.cosx+cos2x=0

1 + sin 2x = 0 ; sin 2x = -1 = sin 270o

2x =270o ; x = 135o veya x = 45o

NOT: tanx=cotx=1 olarak ta düşünülebilir.

cosa.cosb = 1

2[𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]

cosx.cos3x=1

2(𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

cos2a=2cos2a-1 ; cos4x=2cos22x-1

cosx.cos2x.cos3x=1

2[𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥]𝑐𝑜𝑠2𝑥

= 1

2[2cos22x-1+cos2x]cos2x =1

2cos32x+cos22x-cos2x-2=0 denkleminden

cos2x = 1 , 2x = k.2𝜋 , x =k.𝜋

126

(sin𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃

= 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃

sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ; sin2𝜃 = 2𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃

= 1 + sin2𝜃 –sin2𝜃 = 1

a2 – b2 = (a-b)(a + b) İki kare farkı

sin875o–cos875o

= (cos475o-sin475o)(cos4 75o+sin4 75o)

cos475o-sin475o = (cos275o-sin275o)( cos275o+sin275o)

(cos275o+sin275o)2= cos4 75o+2sin275o.cos275o+sin475o

cos 2a = cos2a – sin2a ; sin2a + cos2a = 1

sin 2a = 2 sin a.cos a sin 150o = 2 sin75.ocos75o = 1

2

cos275o-sin275o= cos 150o =- √3

2

sin875o–cos875o = - (- √3

2). 1 . (1-2.

1

16) =

7√3

16

sin 2x = 2 sin x.cos x

cos x = ±√𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 = - √1 −1

25 = −

2√6

5 2. Bölgede kosinüs negatiftir.

sin 2x = 2.1

5. (−

2√6

5 ) = −

4√6

25

127

x1 + x2 = -a ; x1.x2 = b

a4 – b2 = (sin 15o + cos 15o)4 – (sin 15o.cos 15o)2

= [(sin 15o + cos 15o)2]2 – (1

2 sin 30o)2 ; sin 2a = 2 sin a.cos a ; sin 30o=

1

2

= [ sin215o + 2sin 15o.cos 15o + cos215o]2 – (1

2 .

1

2 )2 ; sin215o + cos215o = 1

= [ 1 + sin 30o]2 - 1

16 = [ 1 +

1

2 ]2 -

1

16 =

9

4 -

1

16 =

35

16

cos 3𝜃 = 4.cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃

f(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 +4.co𝑠3 𝜃− 3 cos 𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 = cos 𝜃 + 4. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 3

f(𝜃) = 4. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + cos 𝜃 – 3 İkinci derece fonksiyon 𝑥1+𝑥2

2= −

𝑏

𝑎 için

en küçük değerini alır. Bu değer de f(−𝑏

𝑎) dir.

−𝑏

𝑎 = -

1

8 ve f(-

1

8) = 4. −

1

8

2+ −

1

8 − 3 = −

49

16

128

sin 2x = 2 sin x.cos x

2 sin x.cos x + 2 sin x = cos x + 1

2 sin x (cos x + 1) – cos x -1 = 0

(cos x + 1)(2 sin x – 1) = 0

cos x + 1 = 0 cos x = - 1 cos x = cos 𝜋 x = 𝜋 İstenen aralıkta değil.

2 sin x – 1 = 0 sin x = ½ sin x = sin 𝜋

6= sin (𝜋 −

𝜋

6)

x = 𝜋

6 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑥 =

5𝜋

6 x1+x2=𝜋

5𝜋

12.180𝑜

𝜋= 75𝑜

129

𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+ 𝑡𝑎𝑛

𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐶

2+ 𝑡𝑎𝑛

𝐵

2𝑡𝑎𝑛

𝐶

2= 𝑡𝑎𝑛

𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+ 𝑡𝑎𝑛

𝐶

2(𝑡𝑎𝑛

𝐴

2+ 𝑡𝑎𝑛

𝐵

2)

= 𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+ 𝑡𝑎𝑛

𝐶

2(

𝑠𝑖𝑛𝐴+𝐵

2

𝑐𝑜𝑠𝐴

2𝑐𝑜𝑠

𝐵

2

) tan a + tan b =sin (𝑎+𝑏)

𝑐𝑜𝑠𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑏

ABC üçgeninde; A + B + C =180o , C = 180O – (A + B) , 𝐶

2= 90𝑂 −

𝐴+𝐵

2

tan 𝐶

2= tan (90𝑂 −

𝐴+𝐵

2 ) = cot

𝐴+𝐵

2=

𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐵

2

𝑠𝑖𝑛𝐴+𝐵

2

= 𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+

𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐵

2

𝑠𝑖𝑛𝐴+𝐵

2

. (𝑠𝑖𝑛

𝐴+𝐵

2

𝑐𝑜𝑠𝐴

2𝑐𝑜𝑠

𝐵

2

) = 𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+

𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐵

2

𝑐𝑜𝑠𝐴

2𝑐𝑜𝑠

𝐵

2

= 𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+

𝑐𝑜𝑠𝐴2

. 𝑐𝑜𝑠𝐵2

− 𝑠𝑖𝑛𝐴2

. 𝑠𝑖𝑛𝐵2

𝑐𝑜𝑠𝐴2

. 𝑐𝑜𝑠𝐵2

= 𝑡𝑎𝑛𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2+ 1 − 𝑡𝑎𝑛

𝐴

2𝑡𝑎𝑛

𝐵

2= 1

130

131

132

133

134

135

136

137

138

BU DA NE ?

139

140

141

142

ÖZET

143

144

=HAP=

145

cos x – sin x = 1

2 olduğuna göre, cos 2x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) √7/4 B) 1/4 C) 1/2 D) -1/4 E) -1

1

1−cos 𝑥−

1

1+cos 𝑥=

4

3 denklemini sağlayan x dar açısı kaç derecedir?

A) 250 B) 300 C) 450 D) 600 E) 750

Şekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliği 3 cm.,

taban yarıçapı 4 cm. dir. Çember üzerindeki A ve B noktaları O ve T

ye birleştirilmiştir. m(AOB)=600 , m(ATB)=𝛼 olduğuna göre,

cos 𝛼 değeri kaçtır?

A)17/25 B)19/25 C) 21/25 D) 3/5 E) 4/5

3

cos 𝑥=

4

sin 𝑥 olduğuna göre, cos x in pozitif değeri kaçtır?

A)2/3 B) 2/5 C)3/5 D)4/5 E)√3/5

146

147

BU SORULAR DA ESKİ YILLARDAN –ÖYS-