Trigonometria e o Triângulo

Retângulo

Cursista: Príscila Henriques Gomes Oliveira

Especialização em Novas Tecnologias para o Ensino de Matemática

Projeto de Aprendizagem

Informática Educativa I

Introdução

• Neste projeto estudaremos a trigonometria em triângulo retângulo e teorema de Pitágoras.

• Assunto é geralmente abordado no 9º ano do Ensino Fundamental.

• Tentaremos com isso proporcionar uma melhor compreensão das relações trigonométricas e do teorema de Pitágoras usando software.

• Assim, incluindo os alunos às novas tecnologias.

Objetivos

• Criar uma planilha no Excel que permita calcular de forma rápida e automática:

• O seno, cosseno e tangente.

• O teorema de Pitágoras.

• Utilizar um software de Geometria Dinâmica o Régua e Compasso, para construção dos triângulos de modo que permita visualizar os comprimentos e ângulos.

Material e Método

• Uso do laboratório de informática

• Uso de Datashow para o professor

• Uso software de desenvolvimento de planilhas como o Microsoft Excel.

• Uso Software de geometria dinâmica régua e compasso (ReC).

• Criação do slideshare, para postagem do projeto na web.

Material e Método

• Vídeos do telecurso 2000 sobre teorema de Pitágoras e relações trigonométricas.

• Utilização do software ReC para construção dos triângulos retângulos.

• Utilização do software Excel para elaboração da planilha.

Vamos ao conteúdo...

História – Teorema de Pitágoras • Diz-se que Pitágoras viajou pelo Egito e pela Babilónia vindo a fixar-se no sul da

Itália (em Crotona) fundando a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Matemática, Filosofia, Música e outras Ciências;

• Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia e pensa-se que nasceu na ilha de Samos;

• Foi Pitágoras o primeiro a elevar a ciência dos números e da geometria à categoria das artes maiores e a estabelecer o princípio de que uma proposição científica deve ser totalmente convincente, isto é, verdadeiramente demonstrada;

• Atribuem-se notáveis descobertas a Pitágoras, tais como o sistema de numeração decimal, tabelas de multiplicação e a demonstração do célebre teorema que leva o seu nome;

• Há uma lenda que conta que Pitágoras ofereceu aos deuses mil bois como agradecimento, por ter descoberto a demonstração do referido teorema;

• Os Pitagóricos tinham algumas superstições e para prevenir desgraças usavam o símbolo «pentagrama», nas portas das casas e nos sítios que queriam preservar de maus acontecimentos;

• Este teorema indica que os gregos conseguiram estabelecer uma ligação abstrata entre os números e as figuras, o que representa um importante esforço intelectual. Também prova que tinham aprendido a demonstrar, e não apenas a persuadir, o que representa um considerável salto cognitivo.

• Existem inúmeras demonstrações do teorema de Pitágoras. Em 1940 o matemático americano Elisha Scott Loomis compilou 367 demonstrações diferentes para o seu livro 'The Pythagorean Proposition‘.

As várias demonstrações do teorema

Teorema de Pitágoras • Lembramos que o triângulo retângulo pode ser

identificado pela existência de um ângulo reto isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe: Catetos: a e b Hipotenusa: c

• O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.” a² + b² = c²

• Assistir vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=dqJ8Bzk1OtI

Exemplos Exemplo 1

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²

x² = 81 + 144

x² = 225

√x² = √225

x = 15

Exemplo 2: Aplicação dos números Irracionais

:

x² = 1² + 1²

x² = 1 + 1

x² = 2

√x² = √2

x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo

Exemplo 3

Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial,

percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²

x² = 100 + 1600

x² = 1700

x = 41,23 (aproximadamente)

Seno, cosseno e tangente

• História visitar o site: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm

• Atividade: O aluno deve fazer um resumo da história e conversar com os colegas a respeito.

• Os alunos devem se atentar para a história nesta atividade.

• Assistir vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=nT2A4Ehf1kU

• A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre outras.

• No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por isso seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela, veja:

• Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem ser obtidos através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela trigonométrica.

Uso do software ReC • Usamos o software régua e compasso. • Ferramenta – ícone triângulo. • Clicando com o botão esquerdo do mouse sobre cada ponto abre

uma janela chamada editor de ponto onde podemos nomear cada ponto (fazemos isso para os pontos A, B e C).

• Escrevemos no lugar de nome a letra que representa o ponto, selecionamos o ícone exibir nomes dos objetos para que apareça o nome próximo ao ponto.

• Clicamos com o botão esquerdo do mouse também sobre cada semirreta para aparecer os valores dos comprimentos de cada uma delas.

• Selecionamos o ícone mostrar valores dos objetos para aparecer os valores dos comprimentos de cada uma das semirretas.

• Usando o ícone ângulo, clicamos em três ângulos consecutivos e com o botão direito do mouse clique para editar e peça para mostrar os valores dos ângulos.

• Se usarmos o ícone mover ponto modificamos os triângulos e a cada modificação calculamos o seno, cosseno e tangente de cada ângulo.

Uso do ReC – Mostrar Teorema de

Pitágoras

Uso do ReC – Mostrar Teorema de

Pitágoras

Uso do ReC – Mostrar seno, cosseno e

tangente.

Planilha no Excel

Atividade

• Construa triângulos retângulos no software ReC e calcule seus ângulos, seno cosseno tangente no excel.

• Verifique também o Teorema de Pitágoras.

• Os alunos podem criar seus próprios triângulos.

Conclusão

• Nos quatro últimos slides podemos ver a aplicação de softwares em sala de aula.

• Através dos softwares podemos explorar os conteúdos. Sendo um aliado para professor e aluno.

• Nossa aula pode ser criada pelos alunos, através dos exemplos desenvolvidos por eles.

Referências

• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. ALMEIDA, Nilze de. Matemática Ciência e Aplicações, 6ª ed. São Paulo. Editora Saraiva. 2010.

• ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2006.

• Régua e Compasso. Disponível em: http://www.professores.uff.br/ hjbortol/car.

• http://www.youtube.com/watch?v=nT2A4Ehf1kU • http://www.youtube.com/watch?v=dqJ8Bzk1OtI • http://www.brasilescola.com/matematica/utilizando-as-

relacoes-trigonometricas.htm • http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-no-triangulo-

retangulo.htm • http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm25/pitagoras/dirhpitagoras.htm • http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm • http://www.brasilescola.com/matematica/seno-cosseno-tangente-

angulos.htm