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COLEGIO NUEVA COLOMBIA IED
TRIGONOMETRIA
GUÍA 9 SEMANA 10
SEGUNDO PERIODO
Semana de Julio 27 a 31 de 2020
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En esta Guía hacemos una pequeña introducción a las Gráficas de las Funciones Trigonométricas, después de ver los videos propuestos, desarrolle la siguiente guía en el cuaderno, tome foto y luego envíelo, con nombre, apellido y curso a los siguientes plataformas o correos: Para la profesora Diana Galindo: después de realizar la guía, debes enviar
entrando al Classroom código 5yphjhi. El calendario de julio continua,
abajo lo encuentra . Nos vamos a encontrar online en zoom.com ,
ingresar a reunión y marcar el código 6101689799 contraseña 1Rhg0B es
un cero , jueves 30 julio 9am, los espero.
Cursos 1001 y 1003 al correo del profesor Héctor Rodríguez [email protected] no olvidar la lectura del libro “El Hombre que Calculaba” segunda parte, en www.hrmatematicas.blogspot.com durante el segundo periodo, y reunión virtual todos los días a las 9 AM por Zoom con el ID 8753216376, contraseña 7Ps0xx para aclarar dudas y demás. Antes de continuar se sugiere ver los siguientes videos sobre el tema y cuyos enlaces son: https://www.youtube.com/watch?time_continue=776&v=H5uscsvA_lw&feature=emb_logo https://www.geogebra.org/m/edbfkwe9#material/rYHyKD8r https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs https://www.youtube.com/watch?v=yZaa7FUwqr4 https://www.youtube.com/watch?v=nVcaZrE-xvw https://www.youtube.com/watch?v=UVYkmw16mE8
De acuerdo con lo aprendido en clase, los conocimientos previos y los
videos desarrolle la siguiente guía en el cuaderno.
POR FAVOR AL ENVIARLA MARCARLA CON NOMBRE, CURSO, NÚMERO
DE LA GUÍA Y SEMANA
COLEGIO NUEVA COLOMBIA IED
1. Introducción
DEFINICIÓN DE CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del
sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0)
Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de
un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, luego,
localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el
punto (1, 0) en la unidad del círculo.
Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del
círculo es 2π entonces el eje real positivo se enrolla en sentido contrario
a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de
las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real
se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.
Como la longitud de la circunferencia es:
C=2πr y en el circulo trigonométrico, el radio es 1, nos queda:
C=2π(1)=2π
La gráfica siguiente nos muestra las líneas trigonométricas en un circulo
de radio 1, siendo O el centro de la circunferencia nos quedan de la
siguiente forma:
Sen(θ) = DB
Cos(θ)= OD
Tan(θ)=CF
Cot(θ)=AR
Sec(θ)=OF
Csc(θ)=OR
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Gráfica de la Función Seno de x
y=sen(x)
El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se
puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al
sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la
función seno del ángulo utiliza la “y” de los arcos del
círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno
del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de
abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria
y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura
muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del
ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.
COLEGIO NUEVA COLOMBIA IED
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en
el ciclo fundamental de su gráfica, que es entre 0 y 2π
Veamos las características de la gráfica de la
función y=sen(x).
Es una función continua.
Es creciente entre 0 y π/2 y entre 3π/2 y 2π
Es decreciente entre π/2 y 3π/2
Su dominio es el conjunto de números reales
Su rango o recorrido es el conjunto de números mayores o
iguales que menos uno hasta los números menores o
iguales que uno.[-1,1]
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene
coordenadas (π/2,1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene
coordenadas (3π/2,-1).
Su periodo es 2π.
Gráfica de la función Coseno de x
y=cos(x)
El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo x se
puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al
sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la
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función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo
unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo
comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se
observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica
de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra
el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a
partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el
ciclo fundamental de su gráfica.
Veamos las características de la gráfica de la
función y=cos(x).
Es una función continua.
Es creciente de π a 2π
Es decreciente de 0 a π
Su dominio es el conjunto de números reales
Su rango es el conjunto de números mayores o iguales que
menos uno hasta los números menores o iguales que uno.
[-1,1]
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene
coordenadas (0,1) y (2π,1).
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El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas
(π,-1).
Su periodo es 2π.
Gráfica de Función Tangente de x
y=tan(x)
El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo x se
puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al
sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la
función tangente del ángulo es el cociente de la “y” y la
“x” de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de
la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina
en π/2. En la figura se observa la relación entre la
circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del
ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la
función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia
unitaria.
COLEGIO NUEVA COLOMBIA IED
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su
gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta
función.
Es una función discontinua o no continua
Es creciente en todo su recorrido
Su dominio es todos los reales menos π/2, 3π/2, 5π/2, …
– {π/2±nπ}.
Su recorrido es el conjunto de todos los números reales.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2, 3π/2, 5π/2, ...
Su periodo es π.
Gráfica de la función Cotangente de x y=f(x)=cot(x)
El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la “x” y la “y” de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la
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figura se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente de x a partir de la circunferencia unitaria.
Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.
Es una función no continua
Es decreciente en todo su recorrido
Su dominio son todos los reales, menos los puntos π, 2π, 3π, 4π… toda –{x≠±nπ}.
Su rango es el conjunto de todos los números reales.
No tiene intercepto en el eje de y.
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son π, 2π, 3π,… x=±nπ.
Su periodo es π.
Gráfica de la función Secante de x y=f(x)=sec(x)
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El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se
puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al
sistema rectangular de coordenadas o buscando los
recíprocos de la función coseno. Recuerde que la función
secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del
círculo unitario. El ciclo fundamental de la función
secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2.
En la figura siguiente se observa la relación entre la función
coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta
figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función
secante de x a partir de la gráfica de la función coseno del
ángulo.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el
ciclo fundamental de su gráfica. También tiene tres asíntotas
verticales en su ciclo fundamental.
Veamos las características de la gráfica de la
función y=sec(x).
Es una función discontinua
Es creciente entre 0 y π, con discontinuidad enπ/2
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Es decreciente entre π y 2π con discontinuidad en 3π/2
Su dominio es el conjunto de números reales excepto los
múltiplos impares de π/2.
Su recorrido es el conjunto de todos los números menores o
iguales que menos uno y todos los números mayores
o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene
coordenadas (π,-1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,
1).
Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-
π/2, x=π/2 y x=3π/2.
Su periodo es 2π.
Color azul es la
secante
Color verde es
coseno
Gráfica de la función cosecante de x y=f(x)=csc(x)
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El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se
puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al
sistema rectangular de coordenadas o buscando los
recíprocos de la función seno. Recuerde que la función
cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del
círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante
del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de
abajo se observa la relación entre la función seno y la gráfica
de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra
el desarrollo de la gráfica de la función cosecante de x a
partir de la gráfica de la función seno del ángulo.
Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en
el ciclo fundamental de su gráfica. También tiene tres
asíntotas verticales en su ciclo fundamental.
Veamos las características de la gráfica de la
función y=csc(x).
Es discontinua
Es decreciente entre 0 y π/2 y entre 3π/2 y 2π
Es creciente entre π/2 y 3π/2 con discontinuidad en π
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Su dominio es el conjunto de números reales excepto los
múltiplos de π
Su recorrido es el conjunto de todos los números menores o
iguales que menos uno y todos los números mayores o
iguales que uno.
No tiene intercepto con el eje de y.
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene
coordenadas (π,-1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,
1).
Las asíntotas del ciclo fundamental son los valores de π, 2π,
3π.
Su periodo es 2π.
Características comunes e importantes
Como características importantes y distintivas de las
funciones trigonométricas pueden resaltarse las
siguientes:
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• Todas las funciones trigonométricas son periódicas, es
decir se repiten a intervalos a lo largo del eje x
• Las funciones seno y coseno tienen como periodo 2π
• La tangente y cotangente tienen como periodo π
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo
el conjunto de los números reales. Ambas son
funciones continuas.
• Las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante no son continuas.
• Las funciones seno y coseno son acotadas (limitadas),
ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-
1,1].
• Las funciones tangente, cotangente, secante y
cosecante no son acotadas, algunos valores tienden a
infinito
• Las funciones seno, tangente y cosecante son
simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x;
tan (-x)=-tan x.
• En cambio, las funciones coseno, cotangente y secante
son simétricas respecto al eje Y, ejemplo: cos (-x) = cos
x.
1. Copie la siguiente tabla en el cuaderno y complete
convirtiendo los grados a radianes y halle los valores de
las funciones, con ayuda de una calculadora. Recuerde
que las funciones cot(θ)=1/tanθ; secθ=1/cosθ;
cscθ=1/senθ.
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Grados 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
Radianes 0 π/6 π/3 π/2
Sen(x)
Cos(x)
Tan(x)
Cot(x)
Sec(x)
Csc(x)
2. Con estos valores, haga las gráficas de las seis
funciones trigonométricas, así como el ejemplo
siguiente de la función seno:
3. Copie los siguientes enunciados y escriba al frente si son
verdaderos o falsos.
a. La tangente es una función continua ( )
b. El periodo de la función seno es 2π ( )
c. La tangente es creciente en todo su recorrido ( )
d. La función secante es acotada ( )
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e. En algunos puntos la cotangente el valor no existe, no está
definido porque tiende a infinito ( )
f. La función coseno es simétrica respecto al eje y ( )
g. El dominio de la función cosecante son todos los números
reales. ( )
h. El recorrido de la función coseno son todos los números
reales. ( )
i. La función seno es simétrica con respecto al origen de
coordenadas es decir el punto (0,0) ( )
j. El recorrido de las funciones seno y coseno esta entre los
valores -1 y 1 así [-1,1] ( )
k. Las asíntotas de la función cotangente son todos los múltiplos
de π ( )
l. La función tangente es simétrica respecto al origen y por esto
tan(-x)=-tan(x) ( )
m. La función coseno es decreciente entre 0 y π, y creciente entre
π y 2π
n. El dominio de la función secante son todos los reales menos el intervalo entre -1 y 1 es decir
o. El periodo de la función cosecante es 2π
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POR FIN!!!!
