trigonometrijski_krug

TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R .Obim kružnice se računa po formuli O= 2Rπ , a znamo da je

14,3≈π .Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R , njemu odgovara neki centralni ugao ϕ . Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2π radijana. Odnosno: 3600=2π radijana 1800=π ZAPAMTI

Važi dakle:

radijana

radijana

radijana

6060180``1

601801̀

18010

∗∗=

∗=

=

π

π

π

I obrnuto: ``45`17571801 00

≈=π

rad

Primer 1: Nađi radijansku meru ugla od:

`3082)245)75)

0

0

0

vba

Rešenje: a) Kako je radijana180

10 π= to je

125

18075750 ππ

==

b) 36

49180

2452450 ππ==

v) 24

1160180

30180

82`30820 πππ=

∗+=

www.matematiranje.com

Primer 2. Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera:

radijanav

b

a

5)6

11)

43)

π

π

Rešenje:

``45`28286``45`88285``225`85285

``)45`1757(55)

330618011

611)

13541803

43)

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=∗

=

=∗

=

radijanav

b

a

π

π

Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkom.A možemo razmišljati i ovako:Uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke O.Pri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN – smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika. Ako obeležimo sa a početni a sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja oo tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO.

O a

b

TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku.


0

x

y

A(1,0).

Tačka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka. Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako:

x

y

.π2

23π

2π

0

III

III IV

iz I kvadranta: 2

0 πα <<

iz II kvadranta : παπ<<

2

iz III kvadranta : 2

3παπ <<

iz IV kvadranta : παπ 22

3<<


Uglovi 0, 2π , π ,

23π , su granični i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.

Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći:

0 360 2o o π= =

306

o π=

603

o π=

454

o π=

902

o π=

21203

o π=

31354

o π=

51506

o π=

180o π=

72106

o π=

52254

o π=42403

o π=

32702

o π=

53003

o π=

113306

o π=

73154

o π=1−

1

11−

Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa početnom tačkom A(1,0), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(x0,y0). Iz te tačke spustimo normale na x i y osu. Te dužine su: - Na x-osi cosα ( cosα =x0) - Na y-osi sinα (sinα =y0)


x

y

.

sin

cos

M(x ,y )00

Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih “ pročitate” sa kruga. Zapamtimo tri broja:

21 ,

22 ,

23

koji su poređani od najmanjeg do najvećeg.

Broj u sredini 22 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata!

Znači sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost 22 , samo vodimo računa da li

je ta vrednost +22 ili -

22 .

Evo to na slikama , pa će biti jasnije:

0

x

y

.1

145 0

sin 450=cos450=22


0

x.

y

1

-1

1350

sin 1350=22 a cos 1350= -

22

x

y

.

2250

-1

-1

sin 2250= - 22 cos 2250= -

22

x

y

.

3150

1

-1

sin 3150= - 22 a cos 3150=

22


Ta ostale uglove vrednosti će biti 22 ili

23 , naravno opet gledamo da li je + ili - .

Evo par primera: Primer1. Nađi sin 600 i cos 600

x

y

.

sin 60

cos 600

0

600

Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 600 i cos 600 biti 21 i

23 i to obe

pozitivne.Pošto je crta za sin 600 duža, ona mora biti 23 (jer je veći broj) a cos 600 je

21 jer je crta tu kraća.

Dakle: sin 600=23 i cos 600 =

21

Primer 2. Nađi sin1500 i cos 1500

x

y

.sin 150

cos 150

1500

0

0

Crta za sin1500 je kraća i pozitivna a crta za cos 1500 je duža i negativna, pa je : sin1500=21 a cos 1500=-

23

Primer 3.

Nađi sin3

4π i cos3

4π .

Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to 3

4π = 2400

x

y

.

sin240

cos240

240

0

0

0

Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetićemo da su obe vrednosti negativne,

sinus je duži a kosinus kraći. Zaključujemo: sin3

4π = -23 i cos

34π = -

21

Primer 4. Nađi sin(- 300) i cos(- 300) Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300.

x

y

.

sin(-30 )

cos(-30 )

-30

0

0

0

sin(- 300) = sin 3300=-21 i cos(- 300)=cos3300=

23

Da pogledamo šta je sa uglovima od 0, 2π , π ,

23π


x

y

.10

0

Kraci ovog ugla se poklapaju , x osu seku do jedinice, a y osu nigde, zato je cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)

x

y

.

1

900

Ugao od 900 seče y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0

x

y

.0

180-1

sin 1800=0 cos 1800= - 1


0

x

y

.

-1270

sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla

Već smo se ranije upoznali sa formulama ααα

cossin

=tg i ααα

sincos

=ctg , naravno pod uslovima da

su imenioci različiti od nule.

Možemo zaključiti da je tgα definisan za cosα ≠ 0 ,odnosno za α ≠2π +k π , k∈Z

A ctgα za sinα ≠ 0, odnosno za α ≠ k π , k∈Z To znači da ako znamo da nađemo sinα i cosα , znamo i tgα i ctgα Primer 1. Nađi:

a) tg4π

b) ctg 3000

a) tg4π = tg 450=

22

22

45cos45sin

0

0

= =1

b) ctg 3000=33

23

21

300sin300cos

0

0

−=−

=


Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uočimo pravu x=1. Ona očigledno prolazi kroz tačku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla α opet poklopimo sa x osom a drugi krak će seći ovu pravu x=1 koju ćemo zvati TANGENSNA osa . Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tgα . Evo to na slici:

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

x

y

.A(1,0)

tg

tangensna osa

Uočimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz tačku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu ćemo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:

x

y

.

tg

x

y

.

tg tangensna osac koB(0,1)


Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :

33 , 1, 3

Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna.

Veća crta je 3 , a manja je 33

Evo nekoliko primera:

x

y

.

tg45

ctg45

45

0

0

0

tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1.

x

y

.120

tg120

ctg1200

0

0

PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu ,moramo ga produžiti do preseka sa osom. Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći!

Dakle : tg 1200= - 3 i ctg 1200= - 33


x

y

.

tg240

ctg240

240

0

0

0

tg2400= 3 i ctg 2400=33 (uoči dužine ovih podebljanih crta)

Šta je sa graničnim uglovima?

x

y

.π2

23π

2π

0

Za 0 stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctgx teži beskonačnosti kad x teži nuli u pozitivnom smeru. Slično je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens teži - ∞ . Za ugao od 900 je obrnuta situacija: ctg900=0 a tg900 teži +∞ . Za ugao od 2700 je ctg2700=0 a tg2700 teži - ∞ .


0 360 2o o π= =

306

o π=

603

o π=

454

o π=

902

o π=

21203

o π=

31354

o π=

51506

o π=

180o π=

72106

o π=

52254

o π=

42403

o π=

32702

o π=

53003

o π=

113306

o π=

73154

o π=

12

12

−

22

−

22

32

32

−

1−

1

12

12

−

32

32

−

22

22

−

11−

Evo male pomoći za one koji su naučili da se snalaze na krugu!


Documents

trigonometrijski_krug