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1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 17176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418 15981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766 91473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018 52968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104 71018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419 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MATEMTICAS I

I

1er Grado Volumen I

SUSTITU

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MAT

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I

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matemticas I1er Grado Volumen I

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Matemticas I. Volumen I. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

AutoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia Garca Pea,Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero,Vernica Rosainz Bonilla

Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Padilla Longoria

ColaboracinErnesto Manuel Espinosa Asuar

Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

Primera edicin, 2006Primera edicin revisada y corregida, 2007Octava reimpresin, 2015 (ciclo escolar 2015-2016)

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN: 978-968-01-1191-6 (obra completa)ISBN: 978-968-01-1192-3 (volumen I)

Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

DiseoZona grfica

DiagramacinBruno Contreras

IconografaCynthia Valdespino

IlustracinGustavo Cdernas, Curro Gmez, Carlos Lara,Gabriela Podest, Cecilia Varela

FotografaAriel Carlomagno, Pablo Gonzlez de Alba

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Mapa-ndice

Clave de logos

Vamos a conocernos

BLOqUE 1

secuencia 1 Sistemas de numeracin

secuencia 2 Fracciones y decimales en la recta numrica

secuencia 3 Sucesiones de nmeros y figuras

secuencia 4 Geometra y expresiones algebraicas

secuencia 5 Simetra

secuencia 6 Proporcionalidad

secuencia 7 Reparto proporcional

secuencia 8 Problemas de conteo

BLOqUE 2

secuencia 9 Problemas aditivos de nmeros fraccionarios y decimales

secuencia 10 Multiplicacin y divisin de fracciones

secuencia 11 Multiplicacin de nmeros decimales

secuencia 12 Mediatriz y bisectriz

secuencia 13 Polgonos regulares

secuencia 14 Frmulas para calcular el rea de polgonos

secuencia 15 La constante de proporcionalidad

secuencia 16 Aplicacin sucesiva de constantes de proporcionalidad

Bibliografa

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208

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SECUENCIA SESIN RECURSOS TECNOLGICOS

Videos InteractivosAula de medios

Hojas de trabajo Archivo

1. Sistemas de numeracin. (14 - 27) Identificarlaspropiedadesdelsistema

denumeracindecimalycontrastarlasconlasdeotrossistemasnumricosposicionalesynoposicionales.

1.1 Acertijosarqueolgi-cos

1.2 Otrosistemadenumeracin

Losnmerosmayas

Sistema de numeracin maya

1.3 Elsistemadecimal

2. Fraccionesydecimalesenlarectanumrica. (28 - 39) Representarnmerosfraccionariosy

decimalesenlarectanumricaapartirdedistintasinformaciones,analizandolasconvencionesdeestarepresenta-cin.

2.1 Elsaltodealtura Elsaltodealtura

2.2 Densidadyfracciones Larectanumrica:Fracciones

2.3 Elsaltodelongitudylosnmerosdecimales

Larectanumrica:Fraccionesdecimales

3. Sucesionesdenmerosyfiguras. (40 - 51) Construirsucesionesdenmerosa

partirdeunaregladada. Determinarexpresionesgeneralesque

definenlasreglasdesucesionesnumricasyfigurativas.

3.1 Figurasquecrecen Figurasquecrecen

Patronesysecuencias1

3.2 Nmerosquecrecen Sucesiones 3.2Nmerosquecrecen (Hojadeclculo)

Sucesin

3.3 Reglasdesucesiones Patronesysecuencias1

Patronesysecuencias2

4. Geometrayexpresionesalgebrai-cas. (52 - 59) Explicarenlenguajenaturalel

significadodealgunasfrmulasgeomtricas,interpretandolasliteralescomonmerosgeneralesconlosqueesposibleoperar.

4.1 Frmulasypermetros Frmulasypermetros

Cuadrado

Hexgono

4.2 Frmulasyreas Rectngulo 4.2Frmulasyreas (Hojadeclculo)

Cuadrado1

Cuadrado

5. Simetra. (60 - 73) Construirfigurassimtricasrespectoa

uneje,analizarlasyexplicitarlaspropiedadesqueseconservanenfigurastalescomo:tringulosisscelesyequilteros,rombos,cuadradosyrectngulos.

5.1 Comosifueraunespejo

Simetradepuntos

5.2 Papelpicado Simetradepolgonos 5.2.Papelpicado (Geometradinmica)

Papel

Simtrico

5.3 Losvitrales Vitrales

5.4 Algomssobresimetra

5.4Algomssobresimetra (Geometradinmica)

Aprendido

6. Proporcionalidad. (74 - 83) Identificaryresolversituacionesde

proporcionalidaddirectadeltipovalorfaltante,utilizandodemaneraflexiblediversosprocedimientos.

6.1 Las cantidades directamente proporcionales

6.2 Elvalorunitario Escalasymaquetasenarquitectura

6.2Valorunitario (Hojadeclculo)

Escalas

6.3 Laproporcionalidadenotroscontextos

Variacinproporcional1

7. Repartoproporcional. (84 - 89) Elaboraryutilizarprocedimientospara

resolverproblemasderepartoproporcional.

7.1 Lakerms Repartoproporcional

Variacinproporcional2

7.2 Mssobrerepartoproporcional

8. Problemasdeconteo. (90 - 103) Resolverproblemasdeconteoutilizando

diversosrecursosyestrategias,comotablas,diagramasderbolyotrosprocedimientosdeenumeracin.

8.1 Cuntoscaminoshay?

Mapadecalles

8.2 Decuntasformas? Diagramaderbol

8.3 Cuntosviajeshay? Sabencuntoshay?

Diagramaderbol

8.4 Otroscontextos Diagramaderbol

E V A L U A C I N

Bloque 1

4

Bloque 2

SECUENCIA SESINRECURSOS TECNOLGICOS

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9. Problemasaditivosconnmerosfraccionariosydecimales. (106 - 117) Resolverproblemasaditivoscon

nmeros fraccionariosydecimalesendistintoscontextos.

9.1 Elfestivaldefindecursos Dndeseutilizanfracciones?

Nmerosfraccionarios 9.1 Elfestivaldefindecursos(Hojadeclculo)

Fracciones

9.2 Marcasatlticas

9.3 Lospreciosdelacafetera

10. Multiplicacinydivisindefracciones. (118 - 137) Resolverproblemasqueimpliquen

lamultiplicacinydivisinconnmerosfraccionariosendistintoscontextos.

10.1 Decomprasenelmercado

10.2 Superficiesyfracciones Multiplicacindefracciones1

10.3 Cmoseranlasmarcasatlticasenelespacio?

Elsistemasolar ylafuerzadegravedad

Multiplicacindefracciones1

Multiplicacindefracciones2

10.4 Hayteladedondecortar

10.5 Cuntasbotellasdejugosenecesitan?

11. Multiplicacindenmerosdecimales. (138 - 147) Resolverproblemasqueimpliquen

la multiplicacindenmerosdecimalesen distintoscontextos.

11.1 Tresvecesymedia Msdetres,pero menosdecuatro

Multiplicacindenmerosdecimales

Escalasynmerosdecimales

11.2 Elpuntoeselasunto reasynmerosdecimales

11.3 Endndeseusalamultiplicacindedecimales?

12. Mediatrizybisectriz. (148 - 159) Utilizarlaspropiedadesdela

mediatrizdeunsegmentoylabisectrizdeunngulopara resolverdiversosproblemasgeomtricos.

12.1 Alamismadistancia Mediatriz 12.1 Alamismadistancia (Geometradinmica)

Segmento

Mediatrices Mediatrices

12.2 Unproblemageomtrico Mitadesdengulos Bisectriz 12.2 Unproblemageomtrico (Geometradinmica)

Figura1

ngulo1

Bisectrices Bisectrices

12.3 Apliquemosnuestrosconocimientosdemediatricesybisectrices

12.3 Apliquemosnuestroconocimientodemediatricesybisectrices(Geometradinmica)

Eje

13. Polgonosregulares. (160 - 169) Construirpolgonosregulares

apartirdedistintasinformaciones.

13.1 Tarjetasdefelicitacin Felicidades Polgonosregularesngulocentral

13.1 Tarjetasdefelicitacin (Geometradinmica)

Centros

ngulo2

Medida

13.2 Mosaicos Polgonosregularesngulointerior

13.2 Mosaicos(Geometradinmica)

ngulo3

13.3 Mssobrepolgonosregulares 13.3 Mssobrepolgonosregulares (Geometradinmica)

Polgono

Central

14. Frmulasparacalcularelreade polgonos. (170 - 183) Justificarlasfrmulasparacalcular

el permetroyelreadetringulos,cuadrilterosypolgonosregulares.

14.1 Rompecabezas1

14.2 Rompecabezas2

14.3 Descomposicindefiguras 14.3 Descomposicindefiguras(Geometradinmica)

Hexgono

Apotema

14.4 Otrasformasdejustificarlasfrmulas

Justificacin Frmulasgeomtricas 14.4 Otrasformasdejustificar(Geometradinmica)

Frmulas

15. Laconstantedeproporcionalidad.(184 - 195) Identificarsituacionesde

proporcionalidaddirectaendiversoscontextos,yresolverlasmedianteprocedimientosmseficientes.

15.1 Lacanchadebsquetbol Variacinproporcional3

15.1 Lacanchadebsquetbol(Hojadeclculo)

Cancha

15.2 Mapasyescalas CentroHistrico delaCiudadde

Mxico

15.3 Rutasytransporte

16. Aplicacinsucesivadeconstantesdeproporcionalidad. (196 - 207) Interpretarelefectodela

aplicacinsucesivadefactoresconstantesdeproporcionalidadendiversoscontextos.

16.1 Microscopioscompuestos Microscopioscompuestos

Variacinproporcional4

16.1 Microscopioscompuestos(Hojadeclculo)

Microscopios

16.2 Escalasyreducciones Variacinproporcional5

16.3 Consomranchero

E V A L U A C I N

5

6SECUENCIA SESINRECURSOS TECNOLGICOS

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17. Divisindenmerosdecimales. Resolverproblemasque

impliquenladivisindenmerosdecimalesendistintoscontextos.

17.1 Elmetrobs Elmetrobs Divisindenmerosdecimales

17.2 Cambiodedinero

17.3 Nmerosdecimalesenlaciencia

18. Ecuacionesdeprimergrado. Resolverproblemasque

impliquenelplanteamientoylaresolucindeecuacionesdeprimergradodelasformasx+a=b;ax=b;ax+b=c,utilizandolaspropiedadesdelaigualdad,cuandoa,bycsonnmerosnaturalesydecimales.

18.1 Arepartirnaranjas Ecuaciones1 18.1 Arepartirnaranjas(Hojadeclculo)

Ecuacin

18.2 Elpaseoescolar Elterrenoyelro Ecuaciones2

18.3 Resolucindeecuacionesmixtas

Ecuacionesdeprimergrado

19. Existenciayunicidad. Construirtringulosy

cuadrilteros. Analizarlascondicionesde

existenciayunicidad.

19.1 Existeonoexiste? Desigualdadtriangular

19.2 Esunoosonmuchos? Esunoosonmuchos? 19.2 Esunoosonmuchos?(Geometradinmica)

Rombos

Construcciones

20. reasypermetros. Resolverproblemasque

impliquencalcularelpermetroyelreadetringulos,romboidesytrapecios,yestablecerrelacionesentreloselementosqueseutilizanparacalcularelreadecadaunadeestasfiguras.

Realizarconversionesdemedidasdesuperficie.

20.1 Problemasdeaplicacin

20.2 Relacionesimportantes

20.3 Medidasdesuperficie Medidasdesuperficie

21. Porcentajes. Resolverproblemasque

impliquenelclculodeporcentajesutilizandodemaneraadecuadalasexpresionesfraccionariasodecimales.

21.1 MxicoenelINEGI Porcentajes1

21.2 ElIVA 21.2 ElIVA(Hojadeclculo)

IVA

21.3 Miscelneadeporcentajes

Losmigrantes Porcentajes2

22. Tablasdefrecuencia. Interpretarycomunicar

informacinmediantelalectura,descripcinyconstruccindetablasdefrecuenciaabsolutayrelativa.

22.1 Quinllegprimero? Unrecorridoporelorigen delaestadstica

22.1 Quinllegprimero?(Hojadeclculo)

Atletismo

Edades

22.2 Tabladefrecuenciarelativa

22.2 Tabladefrecuenciarelativa(Hojadeclculo)

Frecuencias

22.3 Latablarepresenta 22.3 Latablarepresenta(Hojadeclculo)

Matrculas

23. Grficasdebarrasycirculares. Interpretarinformacin

representadaengrficasdebarrasycircularesdefrecuenciaabsolutayrelativa,provenientedediariosorevistasydeotrasfuentes.

Comunicarinformacinprovenientedeestudiossencillos,eligiendolaformaderepresentacinmsadecuada.

23.1 Qudicenlasgrficas

23.2 Grficasdebarras

23.3 Grficacircular Elratingenlatelevisin

24. Nocionesdeprobabilidad. Enumerarlosposiblesresultados

deunaexperienciaaleatoria.Utilizarlaescaladeprobabilidadentre0y1yvinculardiferentesformasdeexpresarla.

Establecerculdedosomseventosenunaexperienciaaleatoriatienemayorprobabilidaddeocurrir;justificarlarespuesta.

24.1 Probabilidadfrecuencial Lanzamonedas 24.1 Probabilidadfrecuencial(Hojadeclculo)Laruleta

24.2 Probabilidadclsica Bolsaconcanicas

24.3 ComparacindeprobabilidadesI

Quesmsprobable?

24.4 ComparacindeprobabilidadesII

E V A L U A C I N

Bloque 3

7SECUENCIA SESINRECURSOS TECNOLGICOS

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25. Nmerosconsigno. Plantearyresolverproblemasque

impliquenlautilizacin denmerosconsigno.

25.1 Niveldelmar

25.2 Distanciayorden Temperaturasambientales

Temperaturas

25.3 Valorabsolutoysimtricos

26. Razcuadradaypotencias. Resolverproblemasqueimpliquen

elclculodela razcuadradaylapotenciadeexponentenatural, ambasdenmerosnaturalesydecimales.

26.1 Cuadrosymscuadros 26.1 Cuadrosymscuadros(Hojadeclculo)

Cuadrado2

26.2 Clculoderacescuadradas Losbabiloniosylarazcuadrada

Mtodobabilnico

26.3 Cuntostatarabuelos? Diagramaderbol

27. Relacinfuncional. Analizarensituaciones

problemticaslapresenciade cantidadesrelacionadasyrepresentarestarelacin medianteunatablayunaexpresinalgebraica.

27.1 Laexpansindeluniverso Laexpansindeluniverso

27.2 Loshusoshorarios

27.3 Cocinanavidea 27.3.Cocinanavidea (Hojadeclculo)

Pavo

27.4 Elrecibodetelfono

28. Construccindecrculosycircunferencias. Construircrculosquecumplan

condicionesdadasa partirdediferentesdatos.

28.1 Lascircunferenciasquepasanpordospuntos

Lascircunferenciasquepasan

pordospuntos

28.2 Cuerdasycircunferencias Construccindecircunferencias

28.3 Trespuntosyunacircunferencia

Construccindecircunferenciasconla

mediatriz

28.3 Trespuntosyunacircunferencia(Geometradinmica)

Comunidades

Comunidad

Aplicacin

29. ElnmeroPi. Determinarelnmero comola

raznentrela longituddelacircunferenciayeldimetro.

Justificaryusarlafrmulaparaelclculodela longituddelacircunferencia.

29.1 Larelacinentrecircunferenciaydimetro

Relacinentrecircunferencia ydimetro

DedndesaliPi? 29.1 Relacinentrecircunferenciaydimetro(Geometradinmica)

ElnmeroPi

29.2 Permetrodelcrculo

30. Elreadeloscrculos. Resolverproblemasqueimpliquen

calcularel reayelpermetrodeuncrculo.

30.1 readelcrculo readelcrculo Clculodelreadelcrculo

deArqumedes

30.1 readelcrculo(Geometradinmica)

Crculos

Polgonosreadelcrculo

30.2 reasypermetros

31. Relacionesdeproporcionalidad. Formularlaexpresinalgebraica

quecorrespondaa larelacinentredoscantidadesquesondirectamenteproporcionales.

Asociarlossignificadosdelasvariablesenlaexpresiny=kxconlascantidadesqueintervienenendicharelacin.

31.1 Cambiodemoneda Historiadelamoneda Variacinproporcional6

31.2 Expresionesalgebraicasyrelacionesde proporcionalidadendistintoscontextos

32. Grficasasociadasasituacionesdeproporcionalidad. Explicarlascaractersticasdeuna

grficaquerepresente unarelacindeproporcionalidadenelplanocartesiano.

32.1 Grficasysuscaractersticas Grficas

32.2 Comparacindegrficas Variacinproporcionalygrficas

E V A L U A C I N

Bloque 4

SECUENCIA SESINRECURSOS TECNOLGICOS

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33. Cuentasdenmerosconsigno. Utilizarprocedimientosinformalesy

algortmicosdeadicinysustraccindenmerosconsignoendiversassituaciones.

33.1Lostomos Lostomos Lostomos1

33.2Sumasdenmerosconsigno

Lostomos2

33.3Restasdenmerosconsigno

Lostomos3

33.4Detodounpoco

34. reasdefigurasplanas. Resolverproblemasqueimpliquenel

clculodereasdediversasfigurasplanas.

34.1reasdefigurasformadas porrectas

Geometraandaluza

34.1reasdefigurasformadasporrectas(Geometradinmica)

Figura2

Figuras

34.2reasdefigurasformadas porcrculos

34.2.reasdefigurasformadasporcrculos(Geometradinmica)

Regin

35. Juegosequitativos. Reconocerlascondicionesnecesarias

paraqueunjuegodeazarseajusto,conbaseenlanocinderesultadosequiprobablesynoequiprobables.

35.1Culeslamejoropcin?

35.2Ruletas Laruleta

35.3Juegoscondados

35.4Quinielas Pronsticosnacionales

Lanzamonedas

36. Grficas,tablasyexpresionesalgebraicas. Calcularvaloresfaltantesapartirde

variasrepresentacionesrelacionandolasquecorrespondenalamismasituacin,eidentificarlasquesondeproporcionalidaddirecta.

36.1Grficas,tablasyexpresiones algebraicasasociadasaproblemas deproporcionalidaddirecta

Elementosdela proporcionali-

dad directa

36.1Grficas,tablasyexpresionesalgebraicasasociadasaproblemasdeproporcionalidaddirecta(Hojadeclculo)

Aos

36.2Delagrficaalproblema

37. Proporcionalidadinversa. Identificaryresolversituacionesde

proporcionalidadinversamediantediversosprocedimientos.

37.1Elagua

37.2Lavelocidad Lavelocidadconstante

Variacinproporcionalinversaygrficas1

37.3Lahiprbola Variacinproporcionalinversaygrficas2

37.3Lahiprbola (Hojadeclculo)

Rectngulos

Pintores

38.Medidasdetendenciacentral. Compararelcomportamientodedoso

msconjuntosdedatosreferidosaunamismasituacinofenmenoapartirdesusmedidasdetendenciacentral.

38.1Promedios Promedios

38.2Quprefierencomer?

E V A L U A C I N

Bloque 5

E J E 1 : Sentidonumricoypensamientoalgebraico

E J E 2 : Forma,espacioymedida

E J E 3 : Manejodelainformacin

Clave de logos

Trabajo individual

En parEjas

En Equipos

Todo El grupo

ConExin Con oTras asignaTuras

glosario

ConsulTa oTros maTErialEs

Cd dE rECursos

siTios dE inTErnET

biblioTECas EsColarEs y dE aula

vidEo

programa inTEgrador EdusaT

inTEraCTivo

audioTExTo

aula dE mEdios

oTros TExTos

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10

Has estudiado matemticas durante toda la primaria.Ahoraqueiniciaslasecundaria,unodelospropsitosdelplandeestudiosesqueusesloqueyasabesparaaprenderlosnuevosconocimientosquetesernpresentados.Tuprofesor,conelapoyodeestelibroyelusodealgunosrecursostecnolgicos,teayudaraquelologres.

Tulibroesnuevoymuyatractivo.Teprovocacuriosidad?Elprimerretoserconocerloyfamiliarizarteconloselementosqueloforman.

Estelibrosecomponededostomosquecontienenvariassecuenciasdeaprendizaje.Encadasecuenciaaprendersuntemadelprogramadematemticasestudindoloatravsdevariassesiones.Unasesinestpensadaparaquelatrabajesenunaclase,aunqueenocasionessernecesarioqueledediquesunpocomsdetiempo.

Encadasesinpodrsencontrarlosapartadossiguientes:

Para empezarEsunaintroduccinaltemadelasesin.Serelacionaelnuevoconocimientoqueaprendersconalgoqueyahayasestudiado.

Consideremos lo siguienteAquseproponeunproblemaparaqueloresuelvasutilizandoloqueyasabes.

Manos a la obraSonlasactividadesespecficasdelasesin.Porlogeneralseincluyenmuchaspreguntasqueteayudarnarecordarloqueyasabes,aanalizarloqueestsaprendiendoyadeducirnuevasestrategiasdesolucin.

Avecestrabajarsindividualmenteyotrasenequipoocontodoelgrupo.

A lo que llegamosDespusderealizar lasactividadesdeManosa laobra, sepresentan lasconclusionessobrelosconceptosrevisados.

Lo que aprendimosEsunacoleccindeejerciciosqueteservirnparaaplicaryentendermejorloaprendido.

Para saber msSonsugerenciasparaquerevisesotrosmaterialesconlosquepuedesampliartuconocimientodeltema.Seincluyenreferenciasalibrosysitiosdeinternet.

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11

Los recursos tecnolgicos que apoyan a tu libro

Videos

Seindicanconlafiguradeunacmaradevideo.Teservirnparaintroduciroampliarinformacinacercadeltemadelasecuenciay,enocasiones,parapresentarejemplosenlosquesepuedaaplicarelconocimientoquevasaaprender.

Interactivos

Se indicancon lafiguradeunmouseoratn.Sonactividadesquevasarealizarenlacomputadoradelsalndeclase.Supropsitoesquedesarrollestusideassobreeltemaqueestsestudiando,queejerciteslastcnicasquesetepresentan,verifiquestusrespuestasyconfirmesorechacestusconjeturas.

Trabajo con hojas de clculo y

geometra dinmica

EstosrecursosestndiseadosparaemplearseenelAuladeMedios.Losusarsparaanalizardatosyresolverproblemassobreeltemaqueestsestudiandoentulibro.

Adicionalmente, tu libroutiliza los iconos siguientespara sugerirdistintas formasdeorganizacinenlaelaboracindelasactividadesindicadas.

Iconos de organizacin

2personas 3personas 4personas

Individual En equipos Todo el grupo

Esperamos que estos materiales te permitan disfrutar, en este ao escolar, tu aprendizaje de las matemticas.

MATEMTICAS I

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12

I II III IV V VI VII VIII IX X

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13

I II III IV V VI VII VIII IX X

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1

secuencia 1

es la introduccin al tema de la sesin.

En esta secuencia identificars las propiedades del sistema de nume-racin decimal y las contrastars con las de otros sistemas numricos posicionales y no posicionales.

Acertijos ArqueolgicosPara empezarLanecesidaddecontaryderegistrarcantidadeshaestadopresenteenmuchascivilizaciones;sinembargo,notodaslohanhechodelamismamanera.Enquintogradodeprimariarealizaste lacomparacindelsistemadenumeracindecimalconel sistemaegipcioyconelsistemaromano.Enestasesinsevaaretomarelsistemaegipcio.Sabasquesecomenzautilizaraproximadamenteenelao3000antesdenuestraera?

Consideremos lo siguienteFjensecmoescribanlosantiguosegipciosalgunosnmerosycompletenlatabla.

sesin 1

secuencia 1

3 7 8 14

76 225 599

2 130

3 062

215 460

1 200 108

4 000 000

aqu se propone un problema.

Van a trabajar en parejas.

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1

MATEMTICAS I

Todo el grupo.

Escribanensuscuadernoselsucesordeestenmero,segnelsistemaegipcio.

Comparensusrespuestasyexpliquencmolasencontraron.

Manos a la obrai. Completenlasiguientetabla,escribanlossmbolosegipciosyelvalordealgunosde

ellos,segncorresponda.

ii.Completenlatablaconnmerosdelsistemaegipcio.

Comparensustablasycomentencuntossmbolossenecesitanparaescribirelantecesorde ,segnelsistemaegipcio.

Recuerden que:

Para encontrar el

sucesor de un nmero

entero debe sumrsele

uno; para encontrar el

antecesor debe restr-

sele uno. Por ejemplo,

el sucesor de 7 es 8

y su antecesor es 6.

Smbolo egipcio

Valor del smbolo

100 10 000 100 000

son las actividades de la sesin que te ayudarn a recordar lo que ya sabes, a analizar lo que ests aprendiendo y a deducir nuevas estrategias de solucin.

Antecesor Nmero en el sistema egipcio Sucesor

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secuencia 1

1

ejercicios para aplicar y entender mejor lo que acabas de aprender.

aqu se presentan las conclusiones sobre los conceptos revisados.

iii.Enocasioneslosegipciosescribanlosnmerosensentidoopuesto.As,podanescri

bir otambin yelvalordelnmeroeselmismo.

a) Culeselvalordelnmeroanterior?

b) Usandoelsistemaegipcio,escribanensuscuadernoselnmero100436,enambossentidos.

A lo que llegamos

+ +

+ +

El sistema de numeracin egipcio es un sistema aditivo no posicional. Es aditivo por-que para encontrar el valor de un nmero se debe sumar el valor de cada uno de los smbolos que aparecen en el nmero; y es no posicional porque puede escribirse un n-mero poniendo los smbolos en sentido opuesto sin que cambie el valor del nmero.

Cada smbolo se puede repetir hasta nueve veces. Cuando se llega a 10 smbolos igua-les se sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 smbolos.

Con los siete smbolos que tenan los egipcios slo podan representar nmeros meno-res que 10 000 000; para ellos esto no era problema porque no se les presentaban situaciones en las que tuvieran que utilizar nmeros ms grandes.

Se piensa que el jeroglfico que representa 1 000 000 ( ) es la figura de un sacerdo-te o de un astrnomo que est viendo hacia el cielo, tratando de contar la gran canti-dad de estrellas que hay.

Una desventaja del sistema egipcio es que para escribir ciertos nmeros se necesitan muchos smbolos.

Lo que aprendimosLosantiguosegipciosrealizabansumascomolassiguientes.Expresa losresultadosdecadaunadeellasutilizandolosnmerosdelsistemaegipcio.

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1

MATEMTICAS Isesin 2otro sistemA de numerAcin

Para empezarLos nmeros mayas

LacivilizacinmayafueunadelasculturasmsimportantesdelapocaprehispnicadeAmricaCentral.Losmayasfuerongrandesastrnomos,muchomsexactosquesuscontemporneoseuropeos.

ElperiodoClsicodelacivilizacinmayasedesarrollentreelao300yelao1000denuestraera.

Enestasesinestudiarslascaractersticasdelsistemadenumeracindelosmayas.

Consideremos lo siguienteFjensecmoescribanlosmayasalgunosnmerosycompletenlatabla.

2 4 5 6 7

8 11 12 15

20 21 23 25

29 30 31 36 38

Escribanensuscuadernoslosnmerosdel1al20enelsistemadenumeracinmaya.

Cuntovaleelsmbolo ?

Cuntovaleelsmbolo ?

Comparensusrespuestasyexpliquencmolasencontraron.Comentencmoescribieronel20enelsistemamayayculeselsmboloquecorrespondealcero.

Vean el video sobre el sistema de numeracin maya.

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secuencia 1

1

Manos a la obrai. Losnmeros6y25escritosensistemamayaseparecenmucho:

6 25

Paradistinguirlos,enelcasodel25,losmayasdejabanunespacioentreelpuntoylaraya.Elespacioindicaquesetienendosniveles:enelprimernivel,deabajohaciaarriba,vanlasunidades;enelsegundovanlosgruposde20.

Enelsegundonivelestepuntovale20 1 20

Enelprimernivelhay5unidades 5 1

25 25 = 20 + 5

Escribanensuscuadernosel11,el16,el30yel35enmaya.

Comparensusescriturasdelosnmerosycomentencmolosdistinguen.

ii. Fjensecmoescribanlosmayasel40:

Enelsegundonivelcadapuntovale20: yatenemoslos40Enelprimernivelhay0unidades

Paraindicarquenohayqueagregarnadams,losmayasutilizabanunsmboloespecialparaelcero: ,indicandoqueunnivelestvaco.Estesmbolorepresentaunaconchaouncaracol.

2de20 2 20

0unidades 0 1

40 40 = 40 + 0

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19

MATEMTICAS IObservencmoescribanlosmayasalgunosnmerosycompletenlatabla.

41 42 60 61 70

77 78 81 100 120

Comparensustablasycomentencmoescribieronlosnmeros.

iii.Losmayasescribanel400delasiguientemanera:

Eneltercernivelestepuntovale400 1 400

Enelsegundonivelponan0de20 0 20

Enelprimernivelponan0unidades 0 1

400 400 = 400 + 0 + 0

Escribanelnmero401enelsistemamayaycompletenlatabla.

Eneltercernivel1de400 1 400

Enelsegundonivel de20 20

Enelprimernivel unidades 1

401 401= + +

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secuencia 1

20

Tambin van a realizar las actividades del interactivo.

1Eneltercernivelsetenanlosgruposde360, ynode400.Sepiensaqueestoeraasdebidoaquelosmayasmanejabanuncalendariode360das.Apartirdeaqu,elvalordecadanivelseobtienemultiplicandopor20elvalordelnivelanterior.As,enelcuartonivel,setienenlosgruposde7 200 (360 20),ynode8 000;enelquintonivelsetienenlosgruposde144 000 (7 200 20),ynode160 000,etctera.

iV.Enelantiguosistemadenumeracinmayaseagrupabade20en20.Porestaraznencadanivelpuedeponersecualquiernmerodel1al19yluego,alllegaral20,hayqueponerunpuntoenelsiguientenivel.As,enelprimerniveldeabajohaciaarribaseescriben lasunidades,enel segundosetienen losgruposde20,en eltercerosetienenlosgruposde20 20 = 400,enelcuartosetienenlosgruposde20 20 20 = 8 000,etctera.Porejemplo,elnmero2077seescribaenmayadelasiguientemanera:

5de400 5 400

3de20 3 20

17unidades 17 1

2 077 2 077 = 2 000 + 60 + 17

Completenlasiguientetabla.Escribanlasoperacionesqueserequierenencadacaso.

8 400 + 3 20 + 5 1= 3 200 + 60 + 5

= 3 265 = 4 077

Comparenlosnmerosycomentencmolosencontraron.1

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21

MATEMTICAS I El sistema de numeracin maya es un sistema posicional porque el valor de cada

nmero depende de la posicin (o nivel) en la que se encuentre. El valor de cada nivel se obtiene multiplicando por 20 el valor del nivel anterior.

En el sistema maya existen tres smbolos: , y . Con estos smbolos los mayas podan escribir cualquier nmero. Utilizaban el smbolo para indicar que una posicin est vaca.

Los mayas llegaron a utilizar nmeros muy grandes: existen calendarios en los que se menciona un periodo de tiempo de 300 millones de aos.

A lo que llegamos

Enqutefijasteparaordenarlosnmeros?

Lo que aprendimos Enlacolumnadeladerechaordenalossiguientesnmerosdelmenoralmayor.

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secuencia 1

22

el sistemA decimAlPara empezarElsistemadenumeracindecimaltienesusorgenesenlosnmeroshindesyfuerondadosaconocerenEuropaporlosrabes,porloqueselesconocecomonmerosindoarbigos.

Consideremos lo siguienteEn esta actividaddebes hacer una sumapaso a paso para que vayas obteniendo losnmerosqueestnenlacolumnadelaizquierda.Porejemplo:parapasardel0al900,sesuma900,yparapasardel900al902,sesuma2.Debesponer,adems,cmoseleecadanmero.

RESULTADO OPERACIN REALIZADA EL RESULTADO SE LEE

0 ** Cero

900 Sesuma900

902 Sesuma2 Novecientosdos

400 902

410 902

410 972 Cuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos

50 410 972

58 410 972 Sesuma8 000 000 Cincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos

58 416 972

858 416 972

sesin 3

MAT1 B1 S01.indd 22 6/2/07 6:37:19 PM

23

MATEMTICAS Ia) Completa la siguiente suma con los nmeros que obtuviste en la columna de

operacinrealizada:

b) Culeselresultadodehacerestasuma?

c) En el sistema de numeracin decimal hay 10 smbolos o cifras. Cules son?

Comparensusrespuestasyexpliquencmolasobtuvieron.

Manos a la obrai. Observalasiguientetabla:

Millones Millares Unidades

D.demilln

U.demilln

C.demillar

D.demillar

U.demillar

Centenas(C)

Decenas(D)

Unidades(U)

5 8 4 1 0 9 7 2

Elnmero58410972seleecincuentayochomillonescuatrocientosdiezmilnovecientossetentaydos.

Fjateenlatablayresponde.

Millones Millares Unidades

C.demilln

D.demilln

U.demilln

C.demillar

D.demillar

U.demillar

Centenas(C)

Decenas(D)

Unidades(U)

8 5 8 4 1 6 9 7 2

Cmoseleeelnmero858 416 972?

Comentenycomparensusrespuestas.

Cuandoseleenlosnmerosseagrupancadatrescifras.Lastresprimeras,dederechaaizquierda,sonlasunidades;lastressiguientessonlosmiles;lastressiguientessonlosmillones;luegovienenlosmilesdemillonesydespuslosbillones.

900 + 2 + + + + + 8 000 000 + +

MAT1 B1 S01.indd 23 6/2/07 6:37:20 PM

secuencia 1

2

ii. Enelnmero858 416 972,elvalorposicionaldel5es50 000 000 unidades;elvalorposicionaldel6es6 000 unidades.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifra.

a) Completalasumadetodoslosnmerosdeltercerrengln,ledosdederechaaizquierda:

2 + 70 + + 6 000 + + 400 000 + + 50 000 000 +

b) Culeselresultadodeestasuma?

c) Estosnmerostambinseexpresanutilizandomultiplicaciones: lasunidadessemultiplicanpor1ylosdemsnmerossemultiplicanpor10,100,1000.Completalatablaparaexpresarascadaunadelascantidades.

d) Completalasumadetodoslosnmerosdelltimorengln:

Comparensustablasycomenten:

a) Enelnmero858 416 972,culeselvalorposicionaldelprimer8,deizquierdaaderecha?

b) Culeselvalorposicionaldelsiguiente8?

Millones Millares Unidades

C. de milln

D. de milln

U. de milln

C. de millar

D. de millar

U. de millar

Centenas (C)

Decenas (D)

Unidades (U)

8 5 8 400 000 1 6 9 7 2

50 000 000 400 000 6 000 70 2

8 5 8 4 1 6 9 7 2

50 000 000 400 000 6 000 70 2

8 1 000 000 6 1 000 9 100 7 10 2 1

ElvalorposicionalesElvalorposicionales

2 1 + 7 10 + + 6 1 000 + +

+ 8 1 000 000 + 5 10 000 000 +

Elvalorposicionales

MAT1 B1 S01.indd 24 6/2/07 6:37:21 PM

2

MATEMTICAS Iiii.Completalatablaconelvalorposicionaldecadacifraenelnmero50410972.

a) Culeselvalorposicionaldelprimer0,deizquierdaaderecha?

b) Culeselvalorposicionaldelsiguiente0?

c) Expresaentucuadernoelnmero50 410 972,utilizandolosmltiplosde10.

Comparensusrespuestas.

Enelsistemadenumeracindecimalseagrupade10en10: 10unidadesformanunadecena,10decenasformanunacentena,10centenasformanunaunidaddemillar,etctera. En cada posicin puede ponerse una cifra del0 al9; al llegar al10 hayqueagregarunaunidaden la siguienteposicin.As,dederechaa izquierda,en laprimeraposicinvanlasunidades,en lasegundaposicinvanlosgruposde10,enlaterceraposicinvanlosgruposde10 10 = 100,enlaterceraposicinsetienenlosgruposde10 10 10 = 1 000,etctera.

iV. Elsiguienteesunjuegoporequipos.Cadaintegrantedelequipodebehacercincotarjetascomolasquesemuestranyrecortarlas.

Encuentrentodoslosnmerosquepuedenobtenerseusandolascincotarjetas.Antenlosensuscuadernosenordendemenoramayor,conletrayconnmero.

a) Cuntosnmerosdiferentesencontraron?

b) Culeselmayor?Escrbanloconnmeros

c) Culeselmenor?Escrbanloconnmeros

Comparensusrespuestasyexpliquencmolasobtuvieron.

Millones Mil Seis Tres Ocho

Millones Millares Unidades

5 0 4 1 0 9 7 2

50 000 000 400 000

Elvalorposicionales

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secuencia 1

2

Lo que aprendimos1. DeacuerdoconlosdatosdelltimoCenso General de

Poblacin y Vivienda, en el ao 2000Mxico tena97 483 412habitantes.ElestadomspobladoeraelEstadodeMxicocon13 083 359,elmenospobladoera Baja California Sur con 423 516. El DF tena8 591 309,Jalisco6 321 278yVeracruz6 901 111.

Conestosdatoshazunatablaenlaqueindiques:

Elnombredecadaestado.

Supoblacin,escritaconnmeroyconletra.

Ordenalosdatosdemenoramayorpoblacin.

2. Relacionalascolumnas:

A.Sistemadenumeracindecimal.

B.Sistemadenumeracinmaya.

C.Sistemadenumeracinegipcio.

( )Puedeescribirseunnmeroponiendolossmbolosensentidoopuestosinquecambieelvalordelnmero.

( )Elvalordecadaposicinseobtienemultiplicandopor10elvalordelaposicinanterior.

( )Tienetressmbolos.

( ) El valor de cadanivel seobtienemultiplicandopor20 elvalordelnivelanterior.

( )Paraescribirciertosnmerossenecesitanmuchossmbolos.

( )Seusandiezsmbolosocifras

( )Notienecero.

A lo que llegamos En el sistema de numeracin decimal, que es el de uso oficial en nuestro pas y en casi

todo el mundo, se usan diez smbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 llamados dgitos. Es un sistema posicional porque el valor de cada dgito depende de la posicin en la

que se encuentre. Al escribir nmeros enteros, el valor del dgito que est en la segunda posicin, de derecha a izquierda, se multiplica por 10; el que est en la tercera se multi-plica por 100; el que est en la cuarta se multiplica por 1 000, y as sucesivamente.

Uno de los dgitos, el 0, sirve para indicar que una determinada posicin est vaca.

MAT1 B1 S01.indd 26 6/2/07 6:37:23 PM

2

MATEMTICAS I3. AgregaalastarjetasdelaactividadIV,unatarjetaconelnombreciento(s).Estatar

jetapuedeutilizarsecomoelsingularcientooelpluralcientos.Encuentralamayorcantidadposibledenmerosquepuedenobtenerseusandolasseistarjetas.Escrbelosen tucuadernocon letray connmero. Indicaelnmeromayoryelnmeromenor.

4. Tienenentucomunidadunsistemadenumeracindistintodeldecimal?,cuntossmbolos tiene?,esaditivo?,esposicional?, hayalgnsmboloque indiquequeunaposicinestvaca?

Para saber ms

Sobre los sistemas de numeracin consulta en el libro de texto de Matemticas quin-to grado, SEP, la portada del Bloque 1 (pp. 8 y 9).

Sobre los sistemas de numeracin maya consulta:http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/sabias/html/mayas/html/mayas.html [Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.

sugerencias para que revises otros materiales con los que puedes ampliar tu conocimiento del tema.

MAT1 B1 S01.indd 27 6/2/07 6:37:24 PM

secuencia 2

28

En esta secuencia trabajars en la representacin de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representacin.

El salto dE alturaPara empezar

sEsin 1

El salto de altura

El salto de altura es una de las competencias atlticas ms atractivas. Se trata de saltar sobre una barra horizontal que est colocada a varios metros sobre el nivel del piso. Los mejores atletas saltan ms de 2 metros de altura! Para decidir cundo un competidor gana o pierde una competencia es muy importante medir de modo muy preciso la altura de sus saltos. Las mediciones de los saltos se pueden realizar usando fracciones y nmeros decimales.

La tabla muestra tres marcas conseguidas en el salto de altura por distintos atletas.

Ao Competencia Atleta Longitud aproximada del salto (metros)

1993 Campeonato Mundial de Atletismo

Javier Sotomayor2 wQ

1996 Juegos Olmpicos de Estados Unidos

Charles Austin2 tW

2004 Juegos Olmpicos de Atenas

Stefen Hlm2 eQ

MAT1B1S02.indd28 6/2/076:48:55PM

29

MATEMTICAS IConsideremos lo siguiente

En la siguiente recta se ha representado el salto de Sotomayor. Anota en el lugar correspondiente la representacin de la distancia que saltaron Austin y Hlm.

a) Quin hizo el salto de mayor altura?

b) Quin hizo el salto de menor altura?

Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

Manos a la obra i. Ubica en la siguiente recta los nmeros 1, wQ y 1 wQ .

a) En la misma recta ubica el 3.

b) Cmo supiste dnde va el 3?

c) Con tu regla mide la distancia del 0 al 1. Cunto es? Y la distancia de 1 a 2? , y la de 2 a 3? Verifica que estas tres distancias sean iguales, si no es as revisa en dnde est el error.

ii. Considera ahora slo la distancia de 2 a 3.

a) Ubica el punto 2 Qe (altura que salt Hlm).

b) Qu hiciste para localizar el punto 2 Qe ?

Recuerda que:

Un nmero mixto se

puede expresar

como una fraccin

impropia. Por ejemplo,

2 Qw = 2 + Qw = wT .

0 2 2 wQ Sotomayor

0 2 2 wQ

0 2 3

MAT1B1S02.indd29 6/2/076:48:57PM

secuencia 2

30

c) Hay muchas maneras de dividir un segmento en tres partes iguales; a continua-cin se presenta una.

d) Utiliza el procedimiento anterior para dividir segmentos en tres partes iguales y ubica en la recta Qe , We , Ee , 1 Qe , 1 We , 2 Qe .

e) Verifica que el segmento que va de 0 a 1 haya quedado dividido en tres partes iguales. Puedes usar tu regla para medir la longitud de las partes.

1. Necesitas una hoja rayada. 2. Tomas la hoja de papel y colocas una de las rayas al inicio del segmento que quieres dividir.

3. Giras la hoja hasta que tres renglones corten al seg-mento que quieres dividir.

4. Pones una marca en cada corte y listo! el segmento queda dividido en tres partes.

0 1 2 3

MAT1B1S02.indd30 6/2/076:49:03PM

31

MATEMTICAS IEl nmero de renglones que debes considerar es igual al nmero de partes en que quieres dividir el segmento; por ejemplo, si quieres dividirlo en cinco partes, giras la hoja hasta que cinco renglones corten al segmento.

iii. Considera la recta y ubica los puntos que corresponden a Qt , Wt , Et , It , 1 Et , 1 Rt , 2 Wt .

Utiliza tu regla para verificar que el segmento que va de 1 a 2 haya quedado dividido en cinco partes iguales.

Regresen al problema inicial y verifiquen, apoyndose en el procedimiento de la hoja rayada, si localizaron bien los saltos de Austin y Hlm.

A lo que llegamos

En la recta numrica pueden ubicarse fracciones.

Si se desea ubicar novenos en la recta, la unidad en la que se va a ubicar debe quedar dividida en nueve partes iguales.

Para ubicar nmeros en la recta numrica es importante que consideres que a diferencias iguales entre nmeros deben corresponder distancias iguales.

0 1 2 3

0 1 1oT 2 3

MAT1B1S02.indd31 6/2/076:49:07PM

secuencia 2

32

iV. Cada uno de los miembros de la pareja localice la fraccin Te en la siguiente recta numrica considerando los puntos dados. Hganlo por separado.

Por ejemplo,

a) la distancia de 3 a 4 debe ser la misma que la de 4 a 5.b) la distancia de Qw a 1 debe ser la misma que la de 3 a 3 Qw .

Recta A

0

0 1 2 3

Longitudes iguales

0 wT

Recta B

a) En cuntas partes dividieron el segmento que va de 0 a Tw ? b) Localicen otra vez la fraccin Te , pero ahora hganlo en la recta B. c) Llegaron los dos al mismo resultado? Comenten cmo lo obtuvieron.

Comparen sus respuestas y comenten:

a) Cuntas maneras distintas encontraron para localizar Te en la recta a?b) Cuntas maneras distintas hay para localizar Te en la recta B?

Comparen sus respuestas. Con su regla midan la distancia de 0 a Te . Es la misma o es distinta? Porqu creen que sea as?

iV. En la recta B localicen 1 y 2. Hganlo por separado y no se olviden de considerar los puntos dados.

MAT1B1S02.indd32 6/2/076:49:09PM

33

MATEMTICAS IA lo que llegamosEn una recta numrica que slo tiene localizado un nmero, hay muchas maneras correctas de localizar otro. Por ejemplo, en la recta A de la actividad anterior hay muchas maneras distintas de localizar Te . Si en la recta numrica estn ya localizados dos puntos, entonces hay una sola manera de localizar cualquier otro. Por ejemplo, en la recta B de la actividad anterior hay una sola manera de localizar Te .

Lo que aprendimos1. Usa una hoja rayada para dividir segmentos en el nmero de partes que se requiere y

ubica las fracciones que se indican.

2. Anota el nmero que corresponde a cada punto.

b) 1 Wt0 1 2

c) Eu 1 2

d) qQ pQ 1 2

0 1 2 3

0 1 2a) Wt

MAT1B1S02.indd33 6/2/076:49:11PM

secuencia 2

34

Comenten sus respuestas con otros compaeros. Mencionen la manera en que hallaron los nmeros de la actividad 2. Con respecto a la actividad 3, comenten acerca de cules incisos tenan varias respuestas y cules slo una y justifiquen por qu tenan una o varias respuestas.

dEnsidad y fraccionEsPara empezarEntre dos fracciones siempre hay otra fraccin. A esta propiedad se le conoce como densidad de las fracciones. En esta sesin estudiarn esta propiedad.

Consideremos lo siguienteEncuentren un nmero que est entre Qe y We . Localcenlo en la siguiente recta numrica:

Comparen sus respuestas y comenten cmo las obtuvieron.

sEsin 2

3. Ubica en la recta numrica los nmeros indicados.

3a) Qw

20b) Er

c) 1 Qw

d) 2 We0 wT

eWeQ

MAT1B1S02.indd34 6/2/076:49:11PM

35

MATEMTICAS IManos a la obrai. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no hay ningn nmero entre Qe y We ,

porque entre 1 y 2 no hay ningn nmero.Comenten: Estn de acuerdo con ellos?, por qu?

ii. En la recta numrica localicen los nmeros 0 y 1. El segmento que va de 0 a 1 queda dividido en tercios. Verifquenlo.a) Dividan los tercios en sextos, en cuntas partes tienen que dividir cada tercio?

b) Entre Wy y Ry hay otra fraccin con denominador 6, cul es? Localcenla en la recta.

c) Dividan en novenos el segmento de 0 a 1, en cuntas partes tienen que dividir cada tercio?

d) Encuentren y localicen en la recta tres nmeros que estn entre Qe y We . Cules son?

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos

Entre cualquier par de nmeros fraccionarios siempre hay otros nmeros fraccionarios. sta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de las fracciones.

iii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005, un competidor tuvo mejores marcas que Hlm, pero no super la marca de Austin. En la recta num-rica estn representadas las alturas que saltaron Hlm y Austin.

2 eQHlm

2 tWAustin

Contesten:

Cunto pudo haber saltado el nuevo competidor?

Representen esta altura en la recta numrica.

MAT1B1S02.indd35 6/2/076:49:12PM

secuencia 2

36

iV. Los alumnos de otra telesecundaria dijeron que no se puede resolver el problema anterior. Convirtieron los resultados de Austin y de Hlm a quinceavos:

Charles Austin: 2 Wt m = 2q t m.

Stefen Hlm: 2 Qe m = 2 q t m.

Y dijeron que entre 2 q t y 2q t no hay ningn nmero.

Estn de acuerdo con lo que dicen en esa escuela? Por qu?

V. En la recta numrica localicen 2 q t y 2q t . Dividan en treintavos y encuentren:

2q t = 2e p

2 q t = 2 e p

a) En cuntas partes hay que dividir cada quinceavo para obtener treintavos?

b) Exactamente a la mitad entre 2 q t y 2q t hay otro nmero, cul es?

c) Sin dividir en la recta, encuentren las siguientes equivalencias:

2q t = 2 r t

2 q t = 2 r t

d) Entre 2 Wt y 2 Qe hay dos fracciones con denominador 45, cules son?

Encuentren tres posibles saltos ms altos que 2 Qe m (Stefen Hlm), pero ms bajos que 2 Wt m (Charles Austin):

Recuerda que:

Cuando en una fraccin se

multiplica por el mismo nmero

al numerador

y al denominador, se obtiene

una fraccin equivalente.

Por ejemplo:

Entonces Wt y q t son equivalentes.

Numerador

Denominador Wt q t .

3

3

MAT1B1S02.indd36 6/2/076:49:13PM

37

MATEMTICAS ILo que aprendimos1. En la siguiente recta numrica ubica el nmero wQ :

Encuentra tres nmeros que estn entre Wt y Et . Localzalos en la recta.

2. Encuentra tres nmeros que estn entre 1 Eu y 1 Tu . Localzalos en la siguiente recta numrica:

El salto dE longitud y los nmEros dEcimalEsPara empezarOtra de las pruebas atlticas ms emocionantes es la del salto de longitud. Como vern, al igual que las fracciones, los decimales juegan un papel sumamente importante en las decisiones que los jueces toman para saber quin es el ganador de una prueba.

Consideremos lo siguienteLa siguiente tabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la categora varonil.

MEJOR MARCA MUNDIAL

DE ATLETISMO

MEJOR MARCA

EN JUEGOS OLMPICOS

MEJOR MARCA EN LOS JUEGOS

OLMPICOS DE ATENAS (2004)

Mike Powell (EEUU) 8.95 m

Bob Beamon (EEUU) 8.9 m

Dwight Phillips (EEUU) 8.59 m

Localicen en la siguiente recta cada una de estas marcas.

a) Super Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?

b) Super Dwight Phillips la marca de Mike Powell?

sEsin 3

tEtW

8.5 9

MAT1B1S02.indd37 6/2/076:49:13PM

secuencia 2

38

Comparen sus procedimientos con los de sus compaeros y comenten: En una escuela dicen que 8.59 es ms grande que 8.9, porque 59 es mayor que 9. Ustedes qu opinan, cul ser ms grande? Por qu?

Manos a la obrai. Realicen las siguientes actividades:

a) Localicen en la recta los nmeros 8aGp , 8aHp , 8aJp , 8q p y 8aLp .

Recuerda que:

Los nmeros fraccionarios

decimales se pueden escribir

como fraccin con denomi-

nador 10, 100, 1000, etc.,

dependiendo de si el nmero

decimal tiene dcimos,

centsimos, milsimos,

etctera.

Por ejemplo, 8.5=8 q p

b) Escriban las marcas de Powell, Beamon y Phillips en forma de nmero fraccionario mixto:

8.90 8.95

8.5 9

Powell: 8.95=8a p p

Beamon: 8.9=8a p

Phillips: 8.59=8a p p

c) A cuntos centsimos equivalen 9 dcimos?

d) Qu nmero es mayor 8aOp Pp o 8aTp Op ?

e) En la recta anterior localicen los nmeros: 8aOp Tp , 8aOp Pp y 8aTp Op .

Comenten:

En qu se equivocaron en la respuesta de la otra escuela?

ii. En las rondas eliminatorias para el Campeonato Mundial de 2005 hubo cinco com-petidores con mejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell. Todos estos competidores tuvieron marcas distintas.

a) Cunto pudieron haber saltado estos competidores?

b) Ubiquen sus saltos en la siguiente recta:

MAT1B1S02.indd38 6/2/076:49:14PM

39

MATEMTICAS I

Lo que aprendimos 1. En la siguiente recta numrica localiza los nmeros 0.5 y Ur . Despus encuentra dos

nmeros que estn entre ellos.

2. En la siguiente recta numrica localiza los nmeros Wt , qHp , 0.4, 0, Et :

a) Cul es el mayor de los nmeros que localizaste?

b) Y, cul es el menor?

c) Encuentra y localiza dos nmeros que estn entre Wt y Et .

Comparen sus respuestas con las de sus compaeros y comenten:

a) Encontraron las mismas distancias para los saltos?

b) Si se divide a la mitad el segmento que va de 8.90 a 8.91, se encuentra el nme-ro 8.905. Qu nmero se encuentra si se divide a la mitad el segmento que va de 8.91 a 8.92?

0

tQ 1

Para saber msSobre las distintas maneras de representar nmeros enteros consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Marvan, Luz Mara. Escritura decimal infinita y Otros smbolos para nmeros no ente-ros en Representacin numrica. Mxico: SEP/Santillana Libros del Rincn, 2003.Sobre las distintas maneras de interpretar los nmeros escritos en forma de fraccin consulta:Marvan, Luz Mara. Andrea y las fracciones. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.Sobre la distribucin de la poblacin en el pas consulta:http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.asp [Fecha de consulta: 23 mayo 2006].Ruta: entrar al acceso directo II Conteo de Poblacin y Vivienda 2005.Instituto Nacional de Estadstica Geografa e Informtica.

A lo que llegamosEntre cualquier par de nmeros decimales siempre hay otros nmeros decimales. sta es una propiedad que se conoce como propiedad de densidad de los nmeros decimales.

MAT1B1S02.indd39 6/2/076:49:17PM

secuencia 3

40

En esta secuencia construirs sucesiones a partir de una regla dada y determinars expresiones generales para definir las reglas de suce-siones numricas y figurativas.

Figuras que crecenPara empezarFiguras que crecen

Una sucesin de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay un patrn de crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el primer lugar de la sucesin, luego la que ocupa el segundo, luego la que ocupa el tercero y as sucesivamente. Se llama figura 1 a la que ocupa el primer lugar en la sucesin, figura 2 a la que ocupa el segundo, figura 3 a la que ocupa el tercero y as sucesivamente.

Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesin de figuras.

sesin 1

Figura 1 Figura 2 Figura 4 Figura 5

Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9

Figura 3

MAT1 B1 S03.indd 40 6/2/07 6:50:38 PM

41

MATEMTICAS I

Comparen sus tablas y comenten:

a) Cmo calcularon el nmero de puntos de la figura 14?b) Cmo calcularan el nmero de puntos de cualquiera de las figuras?

Manos a la obrai. Cules de los siguientes procedimientos sirven para encontrar el nmero total de

puntos de cualquiera de las figuras de la sucesin? Subryenlos.

Multiplicar por 4 el nmero de puntos que tiene la figura en cada lado. Se le suman 4 puntos al nmero de puntos de la figura anterior. Son los mltiplos de 4. Es el nmero de la figura multiplicado por 4.

Comparen sus respuestas. Usen los procedimientos que escogieron para contestar:

a) Cuntos puntos tendr la figura 15?

b) Cuntos puntos tendr la figura 20?

ii. Contesten:

a) Escriban el nmero que corresponde a cada una de las figuras de la derecha.

b) Qu figura tendra 56 puntos?

c) Qu figura tendra 72 puntos?

Comenten:

Por qu no hay figuras con un nmero impar de puntos: 1, 3, 5, 7, 9, ?

Recuerden que:

Los mltiplos de 4 son

los nmeros que se

obtienen al multiplicar

el nmero 4 por algn otro nmero.

Por ejemplo, 12 es mltiplo de 4 porque: 4 3 = 12.

b) Completen la tabla para encontrar cuntos puntos tienen algunas de las figuras de la sucesin. Si es necesario dibujen las figuras en sus cuadernos.

Nmero de la figura

Nmero de puntos de la figura

Nmero de la figura

Nmero de puntos de la figura

1 4 82 93 104 115 126 137 14

Figura Figura

MAT1 B1 S03.indd 41 6/2/07 6:50:39 PM

secuencia 3

42

Figura 7 Figura 9

A lo que llegamos

A los procedimientos que dicen cmo obtener el nmero de puntos de cada figura en una sucesin se les llama reglas. Por ejemplo, en la anterior sucesin de figuras, el procedimiento son los mltiplos de 4 es una regla que permite encontrar el n-mero de puntos que tiene cada figura.

Cuando hay varias reglas para obtener el nmero de puntos de cada figura en una sucesin se dice que son reglas equivalentes. En el ejemplo, las siguientes reglas son equivalentes:

Se le suman 4 puntos al nmero de puntos de la figura anterior. Son los mltiplos de 4. Es el nmero de la figura multiplicado por 4.

Lo que aprendimos1. Completen la siguiente sucesin de figuras:

a) Cules de las siguientes reglas sirven para encontrar el nmero de puntos de cualquiera de las figuras de la sucesin? Subryenlas.

El nmero de puntos de la figura anterior ms 2 puntos. Los nmeros impares.

Multiplicar por 2 el nmero de la figura y sumar 1.

Figura 8Figura 6

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

MAT1 B1 S03.indd 42 6/2/07 6:50:40 PM

43

MATEMTICAS Ib) Usando la regla que escogieron, completen la siguiente tabla para calcular el

nmero de puntos de algunas de las figuras de la sucesin.

Nmero de la figura Nmero de puntos

1

2

3

4

5

8

10

15

20

25

30

Comparen sus tablas y las reglas que escogieron. Encuentren las reglas que son equivalentes.

2. Contesten las siguientes preguntas:

a) Qu figura tiene 51 puntos?

b) Qu figura tiene 61 puntos?

c) Habr alguna figura con 62 puntos?

Expliquen en sus cuadernos por qu.

Comenten:

a) Por qu la siguiente figura no aparece en la sucesin?

b) Por qu en la sucesin no hay figuras que tengan un nmero par de puntos: 2, 4, 6, 8, ?

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secuencia 3

44

nmeros que crecenPara empezarEn una sucesin de nmeros, como: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Se llama primer trmino al nmero que ocupa el primer lugar en la sucesin, en el ejem-plo el primer trmino es 2.Se llama segundo trmino al nmero que est en el segundo lugar en la sucesin, en el ejemplo el segundo trmino es 4.Se llama tercer trmino al nmero que est en el tercer lugar, en el ejemplo el tercer trmino es 6, etctera.

Consideremos lo siguientea) Completen la siguiente sucesin de nmeros:

b) Escriban en sus cuadernos una regla para obtener cualquiera de los trminos de la sucesin.

Comparen sus respuestas y las reglas que escribieron.

Manos a la obrai. Usando la regla que escribieron completen la siguiente tabla (observen que la tabla

inicia con el trmino que ocupa el lugar 21):

Lugar del trmino Trmino de la sucesin

212223242530

9340

123126

50180

sesin 2

3, , 9, 12, , 18, , , 27, ,33, , , 42, , 48, , 54, , 60, ,

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45

MATEMTICAS Ia) Cul es el trmino de la sucesin que est en el lugar 40?

b) Cul es el trmino de la sucesin que est en el lugar 24?

c) En qu lugar est el trmino 30?

d) En qu lugar est el trmino 123?

ii. De las siguientes reglas, cules son equivalentes a la que ustedes encontraron para obtener los trminos de la sucesin? Subryenlas.

Sumar 3 al lugar del trmino. Sumar 3 al trmino anterior. Los mltiplos de 3. Multiplicar por 3 el lugar del trmino.

Comparen sus tablas y sus respuestas.

A lo que llegamosLas reglas que sirven para obtener los trminos de una sucesin se pueden dar a partir del lugar del trmino, por ejemplo multiplicar por 3 el lugar del trmino.

iii. En la columna izquierda se presentan los primeros trminos de algunas sucesiones y en la columna derecha, algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones. Relacionen ambas columnas.

Cuidado: algunas de las sucesiones se pueden obtener usando dos reglas!

Trminos de la sucesin Reglas

( ) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, (A) Sumar cuatro al trmino anterior.

( ) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, (B) Los nmeros pares.

( ) 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, (C) Multiplicar el lugar del trmino por 4.

( ) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, (D) Multiplicar el lugar del trmino por 5.

( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45, (E) Multiplicar el lugar del trmino por 5 y sumar 4.

(F) Multiplicar el lugar del trmino por 2.

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secuencia 3

46

Comparen sus respuestas y comenten:

Cules de las reglas anteriores son equivalentes?

Lo que aprendimosUn juego en parejas:

El primer jugador inventa una regla y la escribe en su cuaderno (sin que la vea su compaero). Luego, usando la regla, escribe los primeros ocho trminos de la sucesin y se los ensea a su compaero.

El segundo jugador escribe una regla para obtener la sucesin.

Los dos jugadores verifican si con la regla del segundo se obtienen los trminos de la sucesin planteada por el primero (es decir, si el segundo jugador escribi la regla correcta). De ser as, el segundo jugador gana un punto.

Se empieza nuevamente el juego intercambiando los papeles de los jugadores.

regla de sucesionesPara empezarEn las sesiones anteriores aprendieron a escribir reglas que describen las sucesiones de nmeros y figuras usando palabras. En esta sesin aprendern otra forma de escribir estas mismas reglas utilizando el lugar que ocupa el trmino en la sucesin.

Consideremos lo siguienteCompleten la siguiente sucesin de nmeros y contesten las preguntas.

7, 14, 21, , 35, , , 56, 63, ,77, , , 98, , 112, ,

a) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 4?

b) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 10?

c) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino del lugar 20?

d) Usen la letra n para representar el nmero del lugar y escriban una regla para encon-

trar el trmino del lugar n.

Comparen sus respuestas y comenten cmo las encontraron.

Recuerden que:Dos reglas son equivalentes si con las dos se obtienen los trminos de la misma sucesin.

sesin 3

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47

MATEMTICAS IManos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular algunos de los trminos de la sucesin y

respondan las preguntas. Usen las reglas que encontraron.

Lugar del trmino

Trmino de la sucesin

1 7

2 14

3 21

4

5 35

6

7

8 56

63

10

15

140

25

210

40

a) Entre qu nmero dividen el 63 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesin?

b) Entre qu nmero dividen el 210 para encontrar el lugar que ocupa en la sucesin?

c) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar 30?

d) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar 40?

e) Qu multiplicacin hicieron para encontrar el trmino que est en el lugar n?

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secuencia 3

48

Figura 4

ii. En una telesecundaria escribieron las siguientes reglas para encontrar el trmino que est en el lugar n, con cules de estas reglas estn ustedes de acuerdo? Subryenlas.

Sumar n ms 7.

Multiplicar por 7.

Sumar 7 al trmino anterior.

Multiplicar n por 7.

Comparen sus respuestas y encuentren las reglas que son equivalentes.

iii. Usando las reglas que encontraron contesten las siguientes preguntas:

a) Cul es el trmino que est en el lugar 100?

b) Cul es el trmino que est en el lugar 150?

c) Cul es el trmino que est en el lugar 300?

d) En qu lugar est el trmino 777?

iV. Completen la siguiente sucesin de figuras y contesten las preguntas.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Figura 5 Figura 6 Figura 7

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49

MATEMTICAS Ia) Cuntos puntos tendr la figura 4?

b) Cuntos puntos tiene la figura 7?

c) Cuntos puntos tendr la figura 9?

d) Cuntos puntos tendr la figura 10?

e) Cules de las siguientes reglas permiten encontrar el nmero de puntos de la fi-gura que est en el lugar n? Subryenlas.

Sumar 5 al trmino anterior.

5n + 2.

Multiplicar n por 5 y sumar 2.

f) Usando la regla que eligieron completen la siguiente tabla para obtener el nme-ro de puntos de algunas de las figuras de la sucesin.

Lugar de la figura

Nmero de puntos de la figura

1 7

2 12

3 17

4

5 27

6

7 37

8

9

10

20

25

30

100

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secuencia 3

50

Lo que aprendimosCompleta la siguiente sucesin de figuras y contesta las preguntas.

A lo que llegamos

Las reglas que sirven para obtener los trminos de una sucesin se pueden dar a partir del lugar del trmino de la sucesin.

Por ejemplo, la regla multiplicar el lugar del trmino por 7 se puede escribir usan-do la letra n como: multiplicar 7 por n. 7 por n.Por convencin, 7n se puede escribir como: 7n.Entonces:

El trmino que est en el primer lugar es igual a 71=7. El trmino que est en el segundo lugar es igual a 72=14. El trmino que est en el tercer lugar es igual a 73=21. El trmino que est en el lugar n es igual a 7n.

Figura 9Figura 8Figura 7

Figura 6Figura 5Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

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51

MATEMTICAS Ia) Qu figura tendr 25 puntos ?

b) Cuntos puntos tendr la figura 8?

c) Qu figura tendr 100 puntos?

d) Cuntos puntos tendr la figura 20?

e) Escribe una regla para calcular el nmero de puntos de la figura del lugar n:

Para saber msSobre las sucesiones de nmeros y patrones consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Ruiz, Concepcin y Sergio De Rgules. Aventuras Fractales en El Piropo matemtico. De los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Editorial Lectorum, Libros del Rincn, 2003.

Sobre patrones que aparecen en la naturaleza como la razn urea y los fractales consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007]. Ruta para la razn urea: SECUNDARIA RAZN UREA (dar clic en el dibujo de Nautilus).Ruta para fractales: BACHILLERATO Y LICENCIATURA FRACTALES (dar clic en el dibujo de la Curva de Koch).Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora, UNAM.

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52

secuencia 4

En esta secuencia explicars en lenguaje natural el significado de algunas frmulas geomtricas, interpretando las literales como nme-ros generales con los que es posible operar.

frmulas y permetrosPara empezarFrmulas y permetros

Recuerda que el permetro de una figura geomtrica es la medida de su contorno. A continuacin se calcula el permetro de un rectngulo, de un pentgono regular (de la-dos y ngulos iguales) y el de un polgono irregular; observa que el contorno est resal-tado con una lnea roja.

sesin 1

2 cm

4 cmPermetro = 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm

Permetro = 6 cm + 5 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 19 cm

6 cm

3 cm

5 cm

2 cm

Permetro = 5 3 cm = 15 cm

3 cm

3 cm

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53

MATEMTICAS IConsideremos lo siguienteCompleten la siguiente tabla para calcular el permetro de algunos cuadrados de distin-tos tamaos:

Medida del lado (cm) Permetro (cm)

456789

102025

Tabla 1

a) Cmo se obtiene el permetro de un cuadrado?

b) Cul es el permetro de un cuadrado cuyo lado mide x cm?

Comparen sus tablas y comenten sus respuestas.

Manos a la obrai. Calculen el permetro de los siguientes cuadrados:

3 cm

3 cm

3 cm 3 cm

4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

5 cm

5 cm

5 cm 5 cm

Permetro: Permetro: Permetro:

Cmo se calcula el permetro de cualquier cuadrado?

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54

secuencia 4ii. En una escuela escribieron las siguientes expresiones para calcular el permetro de un

cuadrado cuyo lado mide x cm. Subrayen las correctas.

x + 4; x 4; x + x + x + x; x por 4; 4 por x.

Comenten en grupo las expresiones que creen que son correctas y contesten:

a) Cmo usaran las expresiones para calcular el permetro de un cuadrado de lado 30 cm?

b) Cules de las expresiones les dan los mismos resultados?

A lo que llegamosDos expresiones para calcular el permetro son equivalentes si siempre dan los mismos resultados. Por ejemplo, las expresiones x + x + x + x y 4 por x son equivalentes.

iii. La siguiente figura es un hexgono regular.

a) Encuentren y subrayen las expresiones correctas para calcular el permetro del hexgono:

6 a 6a3a + 3a 6 + a

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 a + a + a + a + a + aa 6 a + 6

Tabla 2

a

a

a

a

a

a

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55

MATEMTICAS I

Lo que aprendimos1. Relaciona las columnas escribiendo en el parntesis la letra que corresponda.

(A) ( ) 3 x

(B) ( ) x + x + x + x + x + x + x

(C) ( ) 8 + x

( ) 8 x( ) x + 6

b) Usando las expresiones que escogieron llenen la siguiente tabla para calcular el permetro de algunos hexgonos.

Anoten en el primer rengln las expresiones que encontraron.

Lado (cm)

2 4 10.5

Tabla 3

A lo que llegamosLas expresiones como las de la tabla 2 se llaman expresiones algebraicas.

Las expresiones algebraicas a + a + a + a + a + a, 3a + 3a, a 6, 6 a y 6a son equivalentes y sirven para calcular el permetro de un hexgono con medida de lado igual que a.Por convencin, 6 a tambin se escribe 6a.

x

x

x

MAT1 B1 S04.indd 55 6/2/07 6:59:29 PM

56

secuencia 42. Escriban las expresiones algebraicas que sirven para calcular los permetros de las si-

guientes figuras geomtricas:

Expresin:

p q

b

a

s

frmulas y reasPara empezar El rea de una figura es la cantidad de unidades de superficie que caben en su interior.

Un ejemplo de unidad de superficie es un centmetro cuadrado, que es de este tamao y se abrevia cm2.

Por ejemplo, el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho; en el caso del cuadrado, ambas medidas son iguales, por lo que se multiplica lado por lado.

Expresin:

Expresin: Expresin:

sesin 2

2 cm

2 cm

rea = 4 cm2 rea = 8 cm2

2 cm

4 cm

t

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57

MATEMTICAS IConsideremos lo siguienteObserven los siguientes rectngulos

a) Cunto mide el rea del rectngulo azul?

b) Cunto mide el rea del rectngulo rojo?

c) Cunto mide el rea del rectngulo morado?

Comparen sus respuestas y expliquen cmo las encontraron.

Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla:

Largo (cm)

Ancho (cm)

rea (cm2)

2 14 35 26 26 57 48 38 69 7

10 210 3

Comparen sus tablas y comenten cmo las completaron.

6 cm4 cm

1 cm

s cm

t cm

3 cm

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58

secuencia 4ii. Cules de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el rea del rec-

tngulo que mide de largo s y de ancho t? Subryenlas.

s + t + s + t.

s + t.

st.

s t.

s s t t.

t s.Comparen sus respuestas y usen las expresiones que escogieron para calcular:

a) El rea de un rectngulo que mide de largo 15 cm y de ancho 8 cm. b) El rea de un rectngulo que mide de largo 3 m y de ancho 2 m.

A lo que llegamos

Las expresiones s t y st son expresiones algebraicas para calcular el rea de un rectngulo de largo s y ancho t. Por convencin, s t se escribe st.

iii. La siguiente figura es un cuadrado cuyo lado mide b:

a) Subrayen las expresiones correctas para calcular el rea del cuadrado anterior:

4 b 4bb + b 4 + b

b + b + b + b bbb b

b) Usando las expresiones que escogieron, llenen la siguiente tabla para calcular el rea de algunos cuadrados.

b

b

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59

MATEMTICAS IAnoten en el primer rengln las expresiones que encontraron.

Lado

3 cm 2.5 cm 2 m

Comparen sus expresiones.

Lo que aprendimos1. a) Escribe una expresin algebraica que permita

calcular el rea del siguiente tringulo: Recuerda que:

El rea de un tringulo se c

alcula

multiplicando la medida de

la base por

la medida de la altura y div

idiendo el

resultado entre dos.

b) Usa la expresin que escribiste para calcular el rea de los tringulos con las siguientes medidas:

c) Compara la expresin algebraica que escribiste y tu tabla con uno de tus compaeros. Comenten si las expresiones que encontraron son equivalentes.

Para saber ms Sobre el clculo de reas y permetros de distintas figuras geomtricas consulta: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Los_cuadrilateros/Cuadrilateros2.htm[Fecha de consulta: 16 de junio 2006]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

a

Base (cm)

Altura (cm)

rea (cm2)

2 14 32 56 2

Expresin:

b

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60

secuencia 5

En esta secuencia tendrs la oportunidad de construir figuras simtri-cas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.

Como si fuera un espejoPara empezar

sesin 1

El Taj Mahal se encuentra en la India y por su diseo y belleza es considerado una maravilla de la arquitectura. Ya observaste cmo se refleja en el agua?

Cuando el agua est tranquila refleja las imgenes de los objetos y seres como si fuera un espejo.

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61

MATEMTICAS I

C

Consideremos lo siguienteDe qu manera podra trazarse el simtrico del barco con respecto a la lnea roja? Planeen y lleven a cabo una manera para hacer el trazo con sus instrumentos geomtricos.

Comenten con otros equipos el procedimiento que emplearon para trazar el simtrico.

Manos a la obra i. En los siguientes dibujos el simtrico no est bien trazado. Corrgelos.

En la figura de la derecha el reflejo es simtrico al rbol con respecto a la lnea roja.

Esa lnea roja recibe el nombre de eje de simetra.

Eje de simetra

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62

secuencia 5ii. En el siguiente dibujo se ha trazado correctamente el simtrico del barco.

Encuentra el punto que es el simtrico de A, nmbralo A (se lee A prima)

Usa tu regla para unir A con A, al hacerlo obtienes el segmento aa.

a) Cunto mide la distancia del punto a

al eje de simetra?

b) Cunto mide la distancia del punto a

al eje de simetra?

c) Cunto mide el ngulo que forman el

eje de simetra y el segmento aa?

Recuerda que:

Las perpendiculares

forman ngulos de 90.

La distancia de un punto

a una recta se mide por

la perpendicular que va

del punto a la recta.

Se dice que A es el simtrico

de A, o bien, que A es el

correspondiente simtrico de

A'.

Eje de simetra

A

A

La distancia del punto A y de A al eje de simetra es la misma, es decir, el punto A y A equidistan del eje.

El eje de simetra y el segmento AA son perpendiculares.

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63

MATEMTICAS Iiii. Verifica que para los puntos B y C y sus simtricos se cumplen tambin las dos con

diciones enunciadas en el recuadro anterior.

Anota en la figura las distancias de B, B, C, C al eje y la medida de los ngulos que forman el segmento BB y CC con el eje.

Elige otros dos puntos y sus simtricos y verifica que tambin se cumplen las condiciones mencionadas.

Esto que exploraste con algunas parejas de puntos simtricos pasa con cualquier pareja de puntos simtricos.

iV. Verifica en el problema inicial que los puntos rojos y sus simtricos tambin cumplen esas dos condiciones.

A lo que llegamos

C

B

B,

C,

A

A,

B,

B

Un punto es simtrico a otro con respecto a una recta si y slo si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta.

90

P

1 cm

1 cm

Eje de simetraP

El simtrico de un segmento con res-pecto a una recta es otro segmento.

Todos y cada uno de los puntos del segmento AB tienen su correspondiente simtrico en el segmento AB.

El segmento AB es el correspondiente simtrico del segmento AB

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64

secuencia 5

papel piCadoPara empezarTe has fijado en las figuras que se forman cuando se hace papel picado?

Muchos de los diseos de papel picado son composiciones de figuras simtricas con respecto a un eje.

Consideremos lo siguientePlaneen y lleven a cabo una estrategia para terminar el siguiente papel picado de tal manera que sea una composicin simtrica respecto a la lnea roja.

sesin 2

Comenten en grupo el procedimiento que siguieron para terminar el diseo del papel picado. En particular digan cmo le hicieron para que un punto y su simtrico queden a la misma distancia del eje.

Recuerden que:

Los puntos simtricos

equidistan del eje, y que el

segmento que los une debe

ser perpendicular al eje.

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65

MATEMTICAS IManos a la obrai. Se quiere trazar el simtrico de este tringulo con respecto al eje

a) Ser necesario trazar el simtrico de todos y cada uno de los puntos del trin

gulo?

b) Cules puntos hay que localizar para trazar el tringulo simtrico?

ii. El siguiente es un procedimiento que puede emplearse para trazar figuras simtricas con respecto a un eje.

a) Se traza una perpendicular por cada vrtice al eje de simetra. Para ello, primero se colocan las escuadras de manera similar al dibujo de la pgina 62, para trazar un segemento perpendicular el eje; despus se prolonga este segmento hasta el otro lado del eje. Esto se hace en cada vrtice.

A

B

C

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66

secuencia 5b) Con el comps se toma la medida de la distancia

de un punto al eje (puede hacerse con la regla, pero con el comps es ms preciso). Observa cmo.

c) Con esa misma abertura se localiza el simtrico de ese punto.

d) Se repite lo indicado en b) y c) en cada vrtice de la figura.

e) Se unen los vrtices para obtener la figura buscada.

MAT1 B1 S05.indd 66 6/2/07 7:00:19 PM

67

MATEMTICAS Iiii. Utiliza el procedimiento descrito para completar el dibujo del siguiente papel picado,

de tal manera que sea simtrico con respecto a la lnea azul.

iV. En tu cuaderno traza un tringulo equiltero y una recta exterior al tringulo, despus traza su simtrico con respecto a la recta. Haz lo mismo con un rombo.

A lo que llegamosPara construir un polgono simtrico a otro con respecto a una recta:

1. Se traza una perpendicular a la recta por cada vrtice de la figura.

2. Sobre la perpendicular que se traz se toma la distancia de cada vrtice a la recta y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta. Se puede utilizar la regla o el comps.

3. Se unen los vrtices encontrados para formar el polgono.

En pocas palabras: se traza el simtrico de cada vrtice con respecto a la recta y se unen.

los vitralesPara empezarConoces los vitrales? Son composiciones de vidrios de colores, su magia est en la luz que a lo largo del da dejan pasar. La simetra tambin est presente en algunos vitrales.

sesin 3

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68

secuencia 5

Consideremos lo siguienteDeterminen y coloreen el rombo que ha sido bien trazado para que el vitral sea simtrico con respecto a la lnea vertical.

En qu se fijaron para elegir las figuras?

Comenten sus respuestas con sus compaeros del grupo, no olviden mencionar en qu se fijaron para elegir las figuras.

1 2

3 4

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69

MATEMTICAS IManos a la obrai. Anota si ests o no de acuerdo con las siguientes afirmaciones; en cada caso explica

por qu.

Afirmacin De acuerdo? Por qu?

El vitral simtrico es el 3 porque los ngulos del rombo de la derecha son iguales a sus ngulos correspondientes del rombo azul.

El vitral simtrico es el 4 porque los lados de la figura de la derecha miden lo mismo que sus correspondien-tes del rombo de la izquierda.

El vitral simtrico es el 1 porque los dos rombos tienen sus lados y ngulos correspondientes iguales.

ii. El siguiente vitral es simtrico con respecto al eje rojo.

Nombra A al simtrico de A, B al simtrico de B y as sucesivamente. Mide lo que se requiere y completa las tablas.

Medida del segmento(cm)

Medida de su simtrico(cm)

AB AB

BC BC

CD CD

DA DA

PQ PQ

QR QR

RP RP

Medida del ngulo (grados)

Medida del ngulo (grados)

A A

B B

C C

D D

P P

Q Q

R R

B

A D

P

C

Q R

a) Cmo son entre s la medida de un segmento y su simtrico?

b) Cmo son entre s la medida de un ngulo y su correspondiente?

MAT1 B1 S05.indd 69 6/2/07 7:00:25 PM

70

secuencia 5iii. Las siguientes son figuras simtricas con respecto al eje; sin medir, anota los datos

que se piden. No olvides colocar las unidades de medida (cm y grados).

a) Lado AD =

b) Lado NP =

c) Lado PQ =

d) ngulo M =

e) ngulo B =

A lo que llegamos

Una figura simtrica a otra con respecto a un eje conserva la medida de los lados y de los ngulos de la figura original.

A

BC C

B

A

A

B

C D90

45

2 cm

2 cm

m

n P

135

90

4 cm

2.8 cm

Q

iV. Observa en el vitral de la actividad II que:

aD es paralelo a Bc, esto se simboliza aD l l Bc.

PR es perpendicular a QR, esto se simboliza PR ^ QR.

a) Qu segmentos son paralelos en la figura del lado izquierdo?

b) Sus simtricos tambin son paralelos?

c) Qu segmentos son perpendiculares en la figura del lado izquierdo?

d) Sus simtricos tambin son perpendiculares?

Recuerda que:

Las rectas paralelas

son las que conservan

siempre la misma

distancia entre s.

AB = ABBC = BCAC = AC

A = A B = B C = C

A se lee ngulo A

MAT1 B1 S05.indd 70 6/2/07 7:00:28 PM

71

MATEMTICAS IV. Considera las figuras de la actividad III. Anota el smbolo de paralelas ( l l ) o el de

perpendiculares ( ^ ).Si AD CD entonces MN NP.

Si AD BC entonces MN QP.

A lo que llegamosComo en una simetra se conservan las medidas de los segmentos y de los ngulos, entonces, si hay lados paralelos o perpendiculares en la figura original sus simtricos tambin son paralelos o perpendiculares.

Los vitrales

Como te has dado cuenta, la simetra permite dar belleza y armona a diversas composiciones, como es el caso de los vitrales. Para construir un vitral simtrico es importante identificar las propiedades que se conservan en la simetra con respecto a un eje.

algo ms sobre simetraLo que aprendimos

m

n

P

Q

m

Q

n

P

3.6 cm

3 cm

2 cm

33.6

56.4

90

1. Estos dos tringulos son simtricos respecto al eje rojo; sin medir, escribe la medida de cada lado y de cada ngulo de la figura simtrica.

2. Completa la figura para que sea simtrica con respecto a la lnea azul.

Si MN PQ entonces MN