TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA

PARADOKS ZENO

Disusun oleh :

Anisa Rahmawati 12/331118/PA/14455

Zainab Mursyidah 12/331194/PA/14492

Vivien Tiara Dewi 12/331291/PA/14568

Kholida Khoirunnisa 12/331359/PA/14622

Dia Primasari 12/331378/PA/14636

Sintya Sucofiana 12/334604/PA/14837

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2015

A. BIOGRAFI ZENO DARI ELEA

Zeno adalah seorang filsuf

Yunani yang diperkirakan lahir pada

tahun 490 SM. Zeno merupakan

anak dari Teleutogoras dan tinggal di

Magna Graecia (Elea), Italy. Semasa

mudanya Zeno merupakan murid

sekaligus teman dari Parmenides dan

tergabung dalam Eleatic School.

Menurut catatan Plato, yang

merupakan temannya pada masa itu,

guna melindungi Parmenides dari

para pengkritiknya, Zeno melalui

ide-idenya membuat banyak sekali

paradoks yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka di Yunani

saat itu. Melalui paradoks tersebut, Zeno berusaha menyatakan bahwa semua

gerak dan perubahan di dunia ini bersifat semu. Baik Zeno maupun Parmenides

berpendapat bahwa alam semesta sebenarnya tunggal, diam dan seragam.

Hanya tampak luarnya saja yang mengesankan perbedaan atau perubahan.

Meskipun begitu, di masa kini hampir tidak ada karya asli Zeno dan

Parmenides yang bertahan. Buku yang berisi 40 buah paradoks hilang dicuri

orang. Hanya beberapa kutipan dari filsuf sepantaran mereka yang memberi

petunjuk. Salah satu pendapatnya tertuang dalam buku Physic yang dicatat oleh

Aristoteles. Melalui catatan tersebut, orang dapat membaca pemikiran Zeno.

Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan

oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno

membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat

menemukan kesalahan pada logika Zeno.

Paradoks ini menjadi sangat termasyhur karena terus “mengganggu”

pemikiran para matematikawan dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun

kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks

lomba lari Achilles dan kura-kura.

Di penghujung hayatnya, Zeno menghadapi permasalahan yang serius.

Sekitar tahun 430 SM, Zeno bersekongkol untuk menggullingkan tirani Elea

saat itu, yaitu Nearchus. Zeno membantu penyelundupan senjata dan

mendukung pemberontakan. Namun Nearchus mengetahui skenario itu dan

akhirnya Zeno ditangkap. Meskipun Zeno telah wafat, namun hasil dari

pemikiran-pemikirannya membuahkan inspirasi pada konsep limit dan deret

tak hingga.1

B. PARADOKS ZENO TENTANG GERAK

Pada buku Physics karya Aristoteles subbab 6.9, menyatakan bahwa Zeno

mempunyai empat pendapat mengenai gerak yang sulit dipecahkan. Aristoteles

mengungkapkannya dalam bentuk parafrase dan memberikan pandangannya

sendiri. Pendapat-pendapat tersebut selanjutnya disebut Paradoks .

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, Paradoks merupakan pernyataan

yang seolah-olah bertentangan (berlawanan) dengan pendapat umum atau

kebenaran tetapi kenyataannya mengandung kebenaran.2

Berikut adalah keempat paradoks yang termuat dalam buku Physics

1. Paradoks Dikotomi (Dichotomy Paradox)

“There is no motion because that which is moved must arrive at the middle

of its course before it arrives at the end.”

– Physics, Aristoteles

Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertama-

tama benda harus menempuh segmen setengah perjalanan. Lalu sesudah itu

dia masih harus melewati banyak segmen: seperempat, seperdelapan,

seperenambelas, sepertigapuluhdua dan seterusnya sedemikian hingga

jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.

1 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Zeno_of_Elea.html 2 http://kbbi.web.id/paradoks

Karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda

takkan pernah sampai tujuan.

2. Paradoks Anak Panah (Paradox of Arrow)

“If, says Zeno, everything is either at rest or moving when it occupies a

space equal to itself, while the object moved is in the instant, the moving

arrow is unmoved.”

– Physics , Aristoteles

Misalnya kita membagi waktu sebagai “deretan masa-kini”. Kemudian kita

lepaskan anak panah. Di setiap “masa-kini” anak panah menduduki posisi

tertentu di udara.

Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.

3. Paradoks Stadion (Stadium Paradox)

“…concerning the two rows of bodies, each row being composed of an

equal number of bodies of equal size,

passing each other on a race-course as

they proceed with equal velocity in

opposite directions, the one row

originally occupying the space between

the goal and the middle point of the

course and the other that between the

middle point and the starting-post.

This...involves the conclusion that half a

given time is equal to double that time.”

–Physics, Aristoteles

B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak

bersejajar dengan barisan A).

Antara “Sebelum” dan “Sesudah”, titik C paling kiri melewati dua buah B,

tetapi cuma satu buah A.

Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A.

Padahal A dan B adalah unit yang identik!

Mungkinkah setengah waktu = satu waktu?

4. Paradoks Lomba Lari Achilles dan Kura-kura

“... the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that

which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing

started, so that the slower must necessarily always be some distance

ahead.”

Paradoks Zeno dalam buku Physics karya Aristoteles

Achilles (Pahlawan Yunani dalam Perang Troja/Trojan War) dan kura-

kura akan berlomba lari. Achilles dapat berlari dengan kecepatan 10 meter

per detik, sedangkan kura-kura hanya mampu berlari 1 meter per detik.

Achilles –selain manusia perkasa juga sportif – berbaik hati

memberikan keuntungan start bagi sang kura-kura 10 meter di depannya.

Tidak masalah, mungkin begitu pikir Achilles. Jadi, siapa yang menang?

Kura-kura memulai start 10 meter di depan Achilles. Keduanya lalu

mulai berlari.

- Setelah satu detik, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura

memulai start-nya. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 1 meter di

depan.

- Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada

tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 0.1 meter di depan.

- Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih selisih 0.1

meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 0.01 meter

di depan.

Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil

mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang

kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak dan tetap berada di depan

Achilles.

Pada makalah ini, paradoks lomba lari akan dibahas lebih lanjut.

Sedangkan ketiga paradoks lainnya secara analog memiliki penyelesaian

seperti paradoks lomba lari. Selanjutnya dalam makalah ini, paradoks lomba

lari ini disebut Paradoks Zeno.

C. PENYELESAIAN PARADOKS ZENO

Berikut adalah beberapa variasi penyelesaian paradox Zeno. Semua

penyelesaian di bawah ini ditemukan setelah Zeno wafat. Dasar penyelesaian

ini adalah penyelesaian dengan deret tak hingga oleh Augustin-Loius Cauchy

(dibahas pada poin ketiga). Sedangkan dua penyelesaian lainnya yang akan

dibahas, merupakan variasi penyelesaian.

1. Penyelesaian dengan Mempertimbangkan Finish

Dahulu, Zeno memiliki kesulitan tentang notasi dan simbol

matematika karena pada jamannya notasi dan simbol matematika belum

berkembang dan hanya tersedia bahasa saja. Berbeda dengan sekarang yang

notasi dan simbol matematika sudah sangat berkembang. Maka, untuk

menyelesaikan paradoks Zeno ini, kita akan memanfaatkan notasi aljabar

sederhana.

Perhatikan gambar berikut.

Finish 10 meter

Karena titik start kura-kura berada pada 10 meter didepan achilles, maka

jika finish di 10 meter, kura-kura langsung menang bahkan sebelum kura-

kura bergerak.

Finish 11 meter

Achilles berlari dengan kecepatan 10 m/s dan kura-kura bergerak dengan

kecepatan 1 m/s, maka pada detik pertama, Achilles menempuh jarak 10

meter, sedangkan kura-kura telah menempuh jarak 11 meter. Jadi, kura-

kura menang karena mencapai finish terlebih dahulu dengan waktu 1 detik.

Finish 12 meter

Dengan kecepatan 1 m/s, untuk mencapai finish 12 meter, kura-kura

membutuhkan waktu 2 detik, padahal dengan waktu 2 detik, Achilles telah

menempuh 20 meter. Jadi sebelum kura-kura menempuh jarak 12 meter,

Achilles telah menyalip kura-kura.

Finish lebih dari 12 meter

Untuk finish yang lebih dari 12 meter, Achilles akan terus menang karena

selalu dapat mencapai finish terlebih dahulu.

Lalu, bagaimana proses Achilles menyalip kura-kura?

Achilles akan menyusul kura-kura saat Achilles menempuh jarak yang

sama dengan jarak yang ditempuh kura-kura. Secara matematis dapat

ditulis sebagai berikut.

𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ 𝐴𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ 𝑘𝑢𝑟𝑎 − 𝑘𝑢𝑟𝑎

10. 𝑡 = 10 + 1. 𝑡

9. 𝑡 = 10

𝑡 = 10

9(𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘)

Jadi pada saat 𝑡 = 10

9 detik Achilles berhasil menyusul kura-kura.

Jarak tempuh Achilles = 10 × 10

9 =

100

9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 = 11,111 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟.

Jarak tempuh kura-kura = 10 + 1 ×10

9 =

100

9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 =

11,111 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟.

Jadi, Achilles mulai menyalip kura-kura pada jarak 11,111 meter.

Dengan demikian, untuk jarak finish yang kurang dari 11,111

meter, maka kura-kura akan menang. Akan tetapi, untuk jarak finish yang

lebih dari 11,111 meter, maka Achilles lah yang akan selalu menang.

2. Penyelesaian dengan Konsep Himpunan

Didefinisikan himpunan (interval waktu) :

𝐴 = {𝑡|0 ≤ 𝑡 <10

9}

𝐵 = {𝑡|𝑡 =109 }

𝐶 = {𝑡|𝑡 >10

9}

Jelas bahwa ketiga interval waktu di atas saling asing.

Selanjutnya, dengan hitungan aljabar sederhana, dapat dihitung jarak

tempuh kura-kura dan Achilles, yaitu

Jarak tempuh kura-kura : 10 + 𝑡

Jarak tempuh Achilles : 10𝑡

Selisih jarak tempuh (𝑠(𝑡)) : (10 + 𝑡) − 10𝑡 = 10 − 9𝑡

Perhatikan bahwa interval waktu di atas menunjukkan selisih jarak tempuh

yang berbeda.

a. Untuk 𝑡 ∈ 𝐴,

0 ≤ 𝑡 <10

9

0 ≤ 9𝑡 < 10

10 − 9𝑡 > 0

𝑠(𝑡) > 0

Selisih jarak tempuh bernilai positif. Artinya, jarak yang ditempuh kura-

kura lebih jauh daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga kura-kura

menang.

b. Untuk 𝑡 ∈ 𝐵, 𝑡 =10

9

𝑠(𝑡) = 10 − 9𝑡 = 10 − (9 ⋅10

9) = 10 − 10 = 0

Selisih jarak tempuh bernilai nol. Artinya, keduanya seri.

c. Untuk 𝑡 ∈ 𝐶,

𝑡 >10

9

9𝑡 > 10

10 − 9𝑡 < 0

𝑠(𝑡) < 0

Selisih jarak tempuh bernilai negatif. Artinya, jarak yang ditempuh kura-

kura lebih pendek daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga Achilles

menang.

Zeno mengatakan bahwa setiap Achilles mendekati kura-kura, maka

kura-kura telah melangkah sedikit ke depan, sehingga kura-kura menang.

Hal ini bernilai benar untuk interval waktu 𝐴. Sedangkan dalam intuisi kita,

mengatakan bahwa Achilles pada akhirnya akan menang. Hal ini benar

untuk interval waktu 𝐶. Kedua kondisi pada interval waktu 𝐴 maupun pada

interval waktu 𝐶 sama sama bernilai benar, namun bertentangan

sehingga memunculkan paradoks Zeno.

Mengingat interval waktu 𝑨 dan interval waktu 𝑪 saling asing,

maka 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅. Tidak mungkin ada kejadian yang terjadi pada interval

waktu yang berupa himpunan kosong. Artinya, tidak mungkin kura-kura

dan Achilles sekaligus kedua-duanya menang. Jadi, paradoks Zeno ini

muncul karena menganggap ada kejadian yang dapat terjadi pada

interval waktu yang berupa himpunan kosong.

Dengan demikian, solusinya adalah kura-kura menang pada interval

waktu 𝐴 dan Achilles menang pada interval waktu 𝐶.

3. Penyelesaian dengan Limit Tak Hingga

Pandangan Zeno terhadap cerita di atas adalah bahwa setiap kali

Achilles mencapai tempat siput, maka siput sudah maju sedikit lebih di

depan Achilles. Menurut Zeno pula hal tersebut akan berlaku untuk waktu

yang tak terhingga, karena 1 + 0,1 + 0,001 + ⋯ akan menuju tak hingga.

Hal tersebut terjadi karena pada zaman tersebut belum mengenal

adanya konsep deret tak hingga. Paradoks tersebut masih meresahkan para

matematikawan sampai 2000 tahun. Hingga akhirnya pada abad ke-19 ahli

matematika dunia bernama Augustin-Louis Cauchy dapat menyelesaikan

paradoks Zeno dengan sangat memuaskan. Cauchy menemukan solusi

dengan deret tak hingga.

Dihitung dari titik awal, maka jarak yang ditempuh oleh kura-kura

adalah,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … = 𝑆𝑘 (1)

Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh

0,1(10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … . … . . ) = 0,1 𝑆𝑘

1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … = 0,1 𝑆𝑘 (2)

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), sehingga hasilnya menjadi

10 = 𝑆𝑘 – 0,1 𝑆𝑘 = 0,9 𝑆𝑘 atau

𝑆𝑘 =10

0,9 =

100

9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

Sementara itu, jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … = SA

Dengan cara yang sama diperoleh jarak yang ditempuh Achilles adalah,

𝑆𝐴 =100

9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

Karena jarak Achilles pada akhirnya sama dengan jarak yang ditempuh oleh

kura-kura maka Achilles berhasil menyamai kura-kura pada jarak

𝑆𝑘 = 𝑆𝐴 =100

9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

Permasalahan selanjutnya adalah apakah Achilles memiliki cukup

waktu untuk berada di depan kura-kura. Perhatikan kembali bahwa Achilles

membutuhkan waktu 1 detik untuk mencapai 10 meter, 0,1 detik untuk 1

meter, 0,001 detik untuk 0,1 meter, dan seterusnya. Menurut anggapan

Zeno, karena perubahan waktu tersebut akan memberikan perubahan posisi

pada kura-kura untuk tetap berada depan Achilles. Hal tersebut akan terjadi

untuk waktu yang tak hingga.

Akan tetapi perhatikan deret berikut:

𝑡𝐴 = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … (3)

Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh,

0,1 𝑡𝐴 = 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … (4)

Dengan mengurangi persamaan (3) dengan persamaan (4) diperoleh:

𝑡𝐴 – 0,1 𝑡𝐴 = 1

0,9 𝑡𝐴 = 1

𝑡𝐴 =1

0,9 =

10

9

Artinya bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura dalam

waktu yang singkat, yaitu 10

9 detik atau 1,111 detik (merupakan bilangan

yang berhingga).

Dari pembuktian dengan menggukan deret tak hingga tersebut,

terlihat bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura pada jarak

100

9 meter dari garis start, dan akan berada di depan kura-kura pada jarak

selanjutnya. Waktu yang dibutuhkan Achilles pun tidak banyak, yaitu

sekurang-kurangnya 1,111 detik untuk berada di depan kura-kura.

D. PENGARUH PARADOKS ZENO TERHADAP MATEMATIKA

Keberadaan paradoks Zeno yang meresahkan para filsuf dan matematikawan

membuat mereka bertanya-tanya bagaimana cara membuktikan kebenarannya.

Selama berabad-abad mereka berusahan melakukan berbagai pendekatan

hingga terbentuknya deret menuju tak hingga. Perkembangan tentang

matematika yang cukup pesat menjadikan paradoks Zeno ini sebagai cikal bakal

konsep limit menuju tak hingga.

E. KESIMPULAN

Paradoks Zeno terpecahkan karena dua nilai yang saling bertentangan akhirnya

dapat dibuktikan bahwa masing-masing nilai tersebut benar dengan syarat

tertentu. Dan melalui paradoksnya, Zeno mampu merangsang otak-otak kreatif

matematikawan setelah zamannya sehingga memberi warna pada sejarah

perkembangan matematika.

F. DAFTAR PUSTAKA

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Zeno_of_Elea.html

diakses pada 3 Maret 2015 pukul 15.00 WIB

http://m.kaskus.co.id/thread/5365cb306607e7b5098b4665/paradoks-zeno-

paradoks-yang-tidak-terselesaikan-selama-ribuan-tahun/ diakses pada 23 Februari

2015

https://zenosphere.wordpress.com/2011/01/28/empat-paradoks-zeno/ diakses pada

4 Maret 2015 pukul 11.30 WIB

http://kbbi.web.id/paradoks diakses pada 22 Maret 2015 pukul 11.48 WIB