Tuyển tập đề thi HSG Toán 8»ƒn tập đề thi HSG Toán 8 Gv: Nguyễn Văn Tú 2 Trường THCS Thanh Mỹ 3 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 . x y

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1

§Ò 1

Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:

a) 85 + 211 chia hÕt cho 17

b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44

Bµi 2:

a) Rót gän biÓu thøc: 2

3 2

6

4 18 9

x x

x x x

b) Cho 1 1 1

0( , , 0)x y zx y z . TÝnh 2 2 2

yz xz xy

x y z

Bµi 3:(3®)

Cho tam gi¸c ABC . LÊy çc ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña çc tia BA, CA

sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®êng th¼ng

song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh

r»ng AB = CK.

Bµi 4 (1®).

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):

M = 4x2 + 4x + 5

§¸p ¸n

Bµi 1 : (3®)

a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17

Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17.

b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:

an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ.

Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +...+ 6918)

= 88(1918 - 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44.

Bµi 2 : (3®)

a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)

= (x+3)(x-2).

x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9

=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)

=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)

=(x+3)(x2 –7x +3)

=> 2

3 2

6

4 18 9

x x

x x x

=

2 2

(x+3)(x2) ( 2)

(x+3)(x 7x +3) x 7x +3

x Víi ®iÒu kiÖn x -1 ; x2 -7x + 3 0

b) (1,5®) V×



3

3 3 3 2 2 3

1 1 1 1 1 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 13. . 3 .

x y z z x y

z x y z x x y x y y

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 . . 3.

x y z x y x y x y z xyz

Do ®ã : xyz(3

1

x+

3

1

y+

3

1

z)= 3

3 3 3 2 2 23 3

xyz xyz xyz yz zx xy

x y z x y z

Bµi 3 : (3®)

Chøng minh :

VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta

cã AB = CM .

§Ó chøng minh AB = KC ta cÇn

chøng minh KC = CM.

ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC =

CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C

=> 1B E v× gãc C1 lµ gãc ngoµi

cña tam gi¸c BCE =>

1 1 1 1

1

2C B E B C mµ AC // BM

(ta vÏ) => 1 1

1

2C CBM B CBM

nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM .

Hoµn toµn t¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM,

OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB

Mµ : ,BAC BMC lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c

cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng

hµng.

Ta l¹i cã : 1

1( );

2M BMC cmt A M

1 2M A mµ 12A K (hai gãc ®ång vÞ)

=> 1 1K M CKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm)

Bµi 4: (1®)

Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4

= (2x + 1)2 + 4.

V× (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4 M 4

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = -1

2

A

B

D

M

E

C

K



-------------------------------------------------

®Ò 2

C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: 1 2 8a a .. . a tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:

a) 2

871 2 3a a a = a a b) 3

4 5 6 7 8 7 8a a a a a a a

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1.

khi vµ chØ khi ( mn – 2) 3.

¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1.

C©u 3 . Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2007.2006.2005

1...

4.3.2

1

3.2.1

1

x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).

C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; çc

®êng kÎ tõ A vµ B lÇn lît song song víi BC vµ AD c¾t çc ®êng chÐo BD vµ AC

t¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:

EF // AB

b). AB2 = EF.CD.

c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña çc tam gi¸c OAB; OCD; OAD

Vµ OBC

Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .

C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.

§¸p ¸n

C©u 1 . Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)

3 (2).

Tõ (1) vµ (2) => 3122 87 aa

=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )

3 – a7a8 = a4a5a600.

( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6

do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh¶ n¨ng:

a) . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 lµ sè 57613824.

b) . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625

c) . a7a8 = 26 => kh«ng tho¶ m·n

c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 20 r n = 3t + s víi 20 s

xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.

= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1

ta thÊy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)

vËy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1)

<=> ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi 2;0 sr

<=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n = 3t + 1

r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n = 3t + 2



<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)

mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)

=> (mn – 2) 3 §iÒu ph¶i chøng minh.

¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3.

( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1)

( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1

C©u 3 . Gi¶i PT:

2007.20063.22.12007.2006.2005

1.

4.3.2

1

3.2.1

1

x

Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®îc:

200520082007.2006143.2032.122007.2006.2005

2

4.3.2

2

3.2`.1

23

x

2007.2006.20052008.2007.20063.2.14.3.23.2.12

2007.2006

1

4.3

1

3.2

1

3.2

1

2.1

13

x

651.100.5

669.1004.10032008.2007.2006.2

2007.2006

1

2.1

13

xx

C©u 4 .a) Do AE// BC => OC

OA

OB

OE A B

BF// AD OD

OB

OA

FO

MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã

D A1B1 C

OD

OB

OC

OA nªn

OA

OF

OB

OE => EF // AB

b). ABCA1 vµ ABB1D lµ h×nh b×nh hµnh => A1C = DB1 = AB

V× EF // AB // CD nªn DC

AB

AB

EF => AB 2 = EF.CD.

c) Ta cã: S1 = 2

1AH.OB; S2 =

2

1CK.OD; S3 =

2

1AH.OD; S4 =

2

1OK.OD.

=> CK

AH

OBCK

OBAH

S

S

.2

1

.2

1

4

1 ; CKAH

ODCK

ODAH

S

S.

.2

1

.2

1

2

3 => 2

3

4

1

S

S

S

S => S1.S2 = S3.S4

C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45

= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4

= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 4

Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1

x- y- 6 = 0 x = 7

---------------------------------------------

O K E H F



®Ò 3

C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc:

A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1

b. NÕu x2=y2 + z2

Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2

C©u 2: a. Cho 0c

z

b

y

a

x (1) vµ 2

z

c

y

b

x

a (2)

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= 2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = 222222222 bac

ca

acb

bc

cba

ab

C©u 3: T×m x , biÕt :

31988

19

1997

10

2006

1·

xxx (1)

C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ®¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh

chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:

a.BM EF

b. Çc ®êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.

C©u 5: Cho a,b, c, lµ çc sè d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

P= (a+ b+ c) (cba

111 ).

§¸p ¸n

C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:

A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1

= (22-1)(22+1) ......... (2256+1)

= (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)

................

= [(2256)2 –1] + 1

= 2512

b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã:

(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2

(*)

V× x2=y2 + z2 (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2

C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1) bcx +acy + abz =0

Tõ (2)

02

2

2

2

2

2

2

yz

bc

xz

ac

xy

ab

c

z

b

y

a

x 424

2

2

2

2

2

2

xyz

bcxacyabz

c

z

b

y

a

x

b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0 a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab

T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac



B = 2

3

222

ca

ca

bc

bc

ab

ab

C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm)

(1) 01988

2007

1997

2007

2006

2007·

xxx

x= 2007 A

C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; B

H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM

EMB =BKM ( gcg)

Gãc MFE =KMB BH EF E M K

b. ( 1,25 ®iÓm) ADF = BAE (cgc) AF BE H

T¬ng tù: CE BF BM; AF; CE

lµ çc ®êng cao cña BEF ®pcm

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: D F C

P = 1 +

b

c

c

b

a

c

c

a

a

b

b

a

b

c

a

c

c

b

a

b

c

a

b

a311

MÆt kh¸c 2x

y

y

x víi mäi x, y d¬ng. P 3+2+2+2 =9

VËy P min = 9 khi a=b=c.

---------------------------------------

®Ò 4

Bµi 1 (3®):

1) Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a) x2 + 7x + 12

b) a10 + a5 + 1

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 4 6 8

98 96 94 92

x x x x

Bµi 2 (2®):

T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc 22 3 3

2 1

x xP

x

cã gi¸ trÞ nguyªn

Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )

1) KÎ ®êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

a) ABM ®ång d¹ng ACN

b) gãc AMN b»ng gãc ABC

2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F

lµ trung ®iÓm cña AK.

Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC.

Bµi 4 (1®):

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:



2

2

2007

20072

x

xxA

, ( x kh¸c 0)

§¸p ¸n

Bµi 1 (3®):

1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)

b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) +

(a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+

1 ) (1®)

2)

92

8

94

6

96

4

98

2

xxxx

(98

2x+1) + (

96

4x + 1) = (

94

6x + 1) + (

92

8x + 1) (0,5®)

( x + 100 )( 98

1 +

96

1 -

94

1 -

92

1) = 0 (0,25®)

V×: 98

1 +

96

1 -

94

1 -

92

1 0

Do ®ã : x + 100 = 0 x = -100

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100 (0,25®)

Bµi 2 (2®):

P = 12

52

12

5)24()2(

12

332 22

xx

x

xxx

x

xx (0,5®)

x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn

®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× 12

5

x ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ íc nguyªn cña 5 (0,5®)

=> * 2x - 1 = 1 => x = 1

* 2x - 1 = -1 => x = 0

* 2x - 1 = 5 => x = 3

* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)

VËy x = 2;3;0;1 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.

Khi ®ã çc gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ:

x = 1 => P = 8

x = 0 => P = -3

x = 3 => P = 6

x = -2 => P = -1 (0,5®)

Bµi 3 (4®):

1) a) chøng minh ABM ®ång d¹ng CAN (1®)



b) Tõ c©u a suy ra: AN

AM

AC

AB AMN ®ång d¹ng ABC

AMN = ABC ( hai gãc t¬ng øng) (1,25®)

2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)

BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)

mµ CAH = BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)

Suy ra:

CHA =CAH nªn CAH c©n t¹i C

do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)

BK = CA

VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH

Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF

// AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®)

Bµi 4 (1®):

A = 2

22

2007

20072007.22007

x

xx =

2

22

2007

20072007.2

x

xx +

2

2

2007

2006

x

x

= 2007

2006

2007

2006

2007

)2007(2

2

x

x

A min = 2007

2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)

------------------------------------

®Ò 5

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =

2

102:

2

1

36

6

4

2

3

2

x

xx

xxxx

x

a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .

b, Rót gän biÓu thøc A .

c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O

C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : 12

152

1

14 22

x

xx

x

xx

C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi

nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.

1, Chøng minh AQR vµ APS lµ çc tam gi¸c c©n.

2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ

h×nh ch÷ nhËt.

3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR.

4, MN lµ trung trùc cña AC.

5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.

C©u 4 ( 1 ®iÓm):



Cho biÓu thøc A =12

332 2

x

xx . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 5 ( 1 ®iÓm)

a, Chøng minh r»ng 33333 .3 zyxxyyxzyx

b, Cho .0111

zyx TÝnh

222 z

xy

y

xz

x

yzA

§¸p ¸n

C©u 1

a, x # 2 , x # -2 , x # 0

b , A = 2

6:

2

1

2

2

42

xxxx

x

=

2

6:

22

222

xxx

xxx

= x

x

xx

2

1

6

2.

22

6

c, §Ó A > 0 th× 02

1

x202 xx

C©u 2 . §KX§ : 2

1;1 xx

PT 0112

151

1

14 22

x

xx

x

xx0

12

23

1

23 22

x

xx

x

xx

0232102323012

1

1

123 22

xxxxxx

xxxx

x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .

VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S =

3

2;2;1

C©u 3:

1, ADQ = ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c

vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD

( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn AQR

lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng tù ta

cã: ARP=ADS

do ®ã AP = AS vµAPS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.

2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c

vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN SP vµ

AM RQ.

MÆt kh¸c : PAMPAN = 450 nªn gãc

MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.



3, Theo gi¶ thiÕt: QA RS, RC SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao cña SQR. VËy P

lµ trùc t©m cña SQR.

4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =2

1QR.

Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = 2

1QR.

MA = MC, nghÜa lµ M çch ®Òu A vµ C.

Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA=

NC, nghÜa lµ N çch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC

5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng çch ®Òu A vµ C. Nãi çch kh¸c, bèn

®iÓm M, N, B, D cïng çch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®êng trung trùc cña

AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng.

C©u 4 . Ta cã §KX§ x -1/2

A = (x + 1) +12

2

x v× x Z nªn ®Ó A nguyªn th×

12

2

xnguyªn

Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy :

2x+1 = 2 x=1/2 ( lo¹i )

2x+1 = 1 x = 0

2x+1 = -1 x = -1

2x +1 = -2 x = -3/2 ( lo¹i )

KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 5. a, , Chøng minh 33333 .3 zyxxyyxzyx

BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

b, Ta cã 0 cba th×

abcccabccbaabbacba 333 3333333

(v× 0 cba nªn cba )

Theo gi¶ thiÕt .0111

zyx .

3111333 xyzzyx

khi ®ã 33111

333333222

xyzxyz

zyxxyz

z

xyz

y

xyz

x

xyz

z

xy

y

xz

x

yzA

=====================

®Ò 6

Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :

M =

1

1

1

1224

2

xxx

x

2

44

1

1

x

xx

a) Rót gän

b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .

Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn



A = 3

83234 23

x

xxx

Bµi 3 : 2 ®iÓm

Gi¶i ph¬ng tr×nh :

a) x2 - 2005x - 2006 = 0

b) 2x + 3x + 82 x = 9

Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax

vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K .

§êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh :

a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .

b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC

c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC

kh«ng ®æi .

Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120

chia hÕt cho 24

§¸p ¸n

Bµi 1 :

a) M = ()1)(1(

1)1)(1(224

2422

xxx

xxxxx4+1-x2) =

1

2

1

112

2

2

244

x

x

x

xxx

b) BiÕn ®æi : M = 1 - 1

32 x

. M bÐ nhÊt khi 1

32 x

lín nhÊt x2+1 bÐ nhÊt x2

= 0 x = 0 M bÐ nhÊt = -2

Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 +3

4

x A Z

3

4

x Z x-3 lµ íc cña 4

x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0

(x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1 ; x2 = 2006

c) XÐt pt víi 4 kho¶ng sau :

x< 2 ; 2 x < 3 ; 3 x < 4 ; x 4

Råi suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5

Bµi 4 :

a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF

AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI EF .

IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .

Tø gi¸c EGFK cã 2 ®êng chÐo c¾t

nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®êng vµ

vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .

b) Ta cã :

KAF = ACF = 450 , gãc F chung



AKI ~ CAF (g.g) CFKFAFAF

KF

CF

AF.2

d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE

Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng

®æi) .

Bµi 5 : BiÕn ®æi :

B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120

Suy ra B 24

================================

®Ò 7

C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:

A=1212

36.

6

16

6

162

2

22

x

x

xx

x

xx

x ( Víi x 0 ; x 6 )

1) Rót gän biÓu thøc A

2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=549

1

C©u 2: ( 1 ®iÓm )

a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1 x. y + x + y ( víi mäi x ;y)

b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:

A = 2

223

xxx

x

C©u 3: ( 4 ®iÓm )

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng

cña C qua P .

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?

b) Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .

Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.

c)Chøng minh r»ng tØ sè çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ

trÝ cña ®iÓm P.

d) Gi¶ sö CP DB vµ CP = 2,4 cm,; 16

9

PB

PD

TÝnh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.

C©u 4 ( 2 ®iÓm )

Cho hai bÊt ph¬ng tr×nh:

3mx-2m > x+1 (1)

m-2x < 0 (2)

T×m m ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.

§¸p ¸n

C©u 1 ( 2 ®iÓm )



1) ( 1 ®iÓm ) §K: x 0; x 6 )

A = )1(12

)6)(6(.

)6(

16

)6(

162

x

xx

xx

x

xx

x =

)1(12

1.

636663662

22

xx

xxxxxx

= xxx

x 1

)1(12

1.

)1(122

2

2) A= 549

549

1

11

x

C©u2: ( 2 ®iÓm )

1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 x. y+x+y x2+y2+1 - x. y-x-y 0

2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) 0

(x- y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0

BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.

2) (2 ®iÓm )

(1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m. (*)

+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.

(*) 0x> 1+3

2 x .

+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.

(*) x> 13

21

m

m

+ XÐt 3m-1 < 0 3m <1 → m < 1/3

(*) x < 13

21

m

m .

mµ ( 2 ) 2x > m x > m/2.

Hai bÊt ph¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.

0)1)(2(

3

1

0253

3

1

213

21

3

1

2 mm

m

mm

m

m

m

m

m

m-2 =0 m=2.

VËy : m=2.

C©u 3: (4 ®iÓm )

a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.

→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.

b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →

gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )

XÐt tam gi¸c c©n OAB →

gãc OBA= gãc OAB



Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA

→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)

MÆt kh¸c IP lµ ®êng trung b×nh cña MAC → IP // AC (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.

c) (1 ®iÓm ) Do MAF DBA ( g-g) → AB

AD

FA

MF kh«ng ®æi.

d) NÕu kPBBD

PB

PD

16916

9 → PD= 9k; PB = 16k.

Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.

PD = 9k =1,8

PB = 16 k = 3,2

DB=5

Tõ ®ã ta chøng minh ®îc BC2= BP. BD=16

Do ®ã : BC = 4 cm

CD = 3 cm

C©u4 ( 1 ®iÓm )

Ta cã A =

4

3)

2

1(

1

1

1

)2)(1(

2

222

xxxxxx

x

VËy Amax [ ( x+ ]4

3)

2

1 2 min x+ 2

1 = 0 → x = -

2

1

Amax lµ 3

4 khi x = -1/2

========================

®Ò 8

Bµi1( 2.5 ®iÓm)

a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0

b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)

Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).

Cho biÓu thøc: y = 2)2004( x

x ; ( x>0)

T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã

Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)

a, T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: :

( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.

B, Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 6x 3



Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ;

ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.

A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®êng th¼ng qua I thay ®æi.

B, Chøng minh r»ng 2

2

OB

OC

DB

CA

C, BiÕt SAOB = 3

8 2a. TÝnh CA ; DB theo a.

§¸p ¸n

Bµi 1: 3 ®iÓm

a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3

= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)

= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt)

VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM)

b, 1,5 ®iÓm Ta cã:

bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)

= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)

= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]

= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)

= d(a-b)(a-c)(b-c)

Bµi 2: 2 §iÓm §Æt t = y2004

1

Bµi to¸n ®a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt

Ta cã t = x

x

2004

)2004( 2 =

2 22.2004 2004

2004

x x

x

= x

x 20042

2004 = 2

2004

200422

x

x (1)

Ta thÊy: Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d¬ng ta cã:

x2 + 20042 2. 2004 .x 22004

200422

x

x (2)

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t 4 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.

VËy ymax= 8016

1

2004

1

t Khi x= 2004

Bµi 3: 2 §iÓm

a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®îc:

(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4

(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8

VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn çc thõa sè ph¶I cïng dÊu ( +

)hoÆc dÊu ( - ).



Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8 (1)

Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)

(2)

Tõ ph¬ng tr×nh (1) 12x -1 = 11 x = 1 ( tho¶ m·n)

Tõ ph¬ng tr×nh (2) 12x -1 = - 8 x=12

7 suy ra x Z.

VËy x=1 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh.

b, Ta cã 6x < 3 -3 < x – 6 < 3 3< x < 9

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: S = { x R/ 3 < x < 9}.

Bµi 4 : 3 §iÓm

Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ)

IAC ~ BAO (gg).

Suy ra: BO

IC

AO

AC

BO

AO

IC

AC (1)

T¬ng tù: BID ~ BAO (gg)

Suy ra: BD

OB

ID

OA

BD

ID

OB

OA (2)

Tõ (1) vµ(2) Suy ra: BD

ID

IC

AC

Hay AC. BD = IC . ID = a2

Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi.

b, Nh©n (1) víi (2) ta cã: OB

OA

OB

OA

BD

ID

IC

AC..

mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra: 2

2

OB

OA

BD

AC

C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;

SAOB = 2

1 OA.OB mµ SAOB =

3

8 2a ( gi¶ thiÕt)

Suy ra: OA.OB = 3

8 2a OA . OB =

3

16 2a

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = 3

16 2a a2 + a( CA + DB ) + CA . DB =

3

16 2a

Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a) a(CA +DB) = 3

16 2a - 2a2

CA + DB +3

102

3

162

22

a

a

aa

. VËy:

2

2

CA.DB a

10

3

aCA DB

Gi¶i hÖ pt CA = 3

a vµ DB = 3a



HoÆc CA = 3a vµ DB =3

a

====================

®Ò 9

Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :

2 2 2 2

1 1 1 1

x y x yP

x y y x y x x y

1.Rót gän P.

2.T×m çc cÆp sè (x;y) Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.

Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2 2 2 2

1 1 1 1 1

5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:

2

2 1

2

xM

x

Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn lît lµ

trung ®iÓm cña çc c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF.

1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.

2.Chøng minh MAD c©n.

3.TÝnh diÖn tÝch MDC theo a.

Bµi 5(1 ®iÓm). Cho çc sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = 3

2.

Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 3

4.

§¸p ¸n

Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)

MTC : 1 1x y x y

1.

2 2 2 21 1 1 1

1 1 1 1

x x y y x y x y x y x y x y xyP

x y x y x y x y

P x y xy .Víi 1; ; 1x x y y th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®îc x¸c ®Þnh.

2. §Ó P =3 3 1 2x y xy x y xy

1 1 2x y

Çc íc nguyªn cña 2 lµ : 1; 2.

Suy ra:

1 1 0

1 2 3

x x

y y

1 1 2

1 2 1

x x

y y

(lo¹i).



1 2 3

1 1 0

x x

y y

1 2 1

1 1 2

x x

y y

(lo¹i)

VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.

Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

2

3

4

5

6

x

x

x

x

x

Ta cã :

2

2

2

2

5 6 2 3

7 12 3 4

9 20 4 5

11 30 5 6

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi :

1 1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 5 6 8x x x x x x x x

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 2 4 3 5 4 6 5 8x x x x x x x x

1 1 1

6 2 8x x

4 1

6 2 8x x

2 8 20 0 10 2 0x x x x

10

2

x

x

tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh.

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.

Bµi 3.(2®iÓm)

2 22 2

2 2

2 22

2 2

2 2 12 1 2 2

2 2

2 1 11

2 2

x x xx x xM

x x

x x xM

x x

M lín nhÊt khi

2

2

1

2

x

x

nhá nhÊt.

V× 2

1 0x x vµ 2 2 0x x nªn

2

2

1

2

x

x

nhá nhÊt khi

21x = 0.

DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 1x . VËy Mmax = 1 khi x = 1.

Bµi 4. . (3iÓm)



a. 1 1( . . )BEC CFD c g c C D

CDF vu«ng t¹i C 0 01 1 1 190 90F D F C CMF vu«ng t¹i M

Hay CE DF.

b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã : ( . . )AEK BEC g c g BC AK

AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M

1

2AM KD AD AMD c©n t¹i A

c. ( . )CD CM

CMD FCD g gFD FC

Do ®ã : 2 2

.CMDCMD FCD

FCD

S CD CDS S

S FD FD

Mµ : 21 1.

2 4FCDS CF CD CD .

VËy : 2

2

2

1.4

CMD

CDS CD

FD .

Trong DCF theo Pitago ta cã :

2 2 2 2 2 2 2 21 1 5.

2 4 4DF CD CF CD BC CD CD CD

.

Do ®ã : 2

2 2 2

2

1 1 1.

5 4 5 54

MCD

CDS CD CD a

CD

Bµi 5 (1®iÓm)

Ta cã: 2

2 2 21 1 10 0

2 4 4a a a a a

T¬ng tù ta còng cã: 2 1

4b b ; 2 1

4c c

Céng vÕ víi vÕ çc bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc:

2 2 2 3

4a b c a b c . V×

3

2a b c nªn: 2 2 2 3

4a b c

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c =1

2.

=========================

®Ò 10

C©u 1. (1,5®)

Rót gän biÓu thøc : A = 1

2.5+

1

5.8+

1

8.11+ .+

1

(3 2)(3 5)n n

C©u 2. (1,5®) T×m çc sè a, b, c sao cho :

§a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4)

1 1

1 k

e m

d

c f b

a



C©u 3 . (2®) T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc 2

7

1x x cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .

Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)

C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®êng

trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.

§¸p ¸n

C©u 1.

A = 1

3 (

1

2 -

1

5 +

1

5 -

1

8+ .+

1

3 2n -

1

3 5n)

= 1

3 (

1

2 -

1

3 5n ) =

1

6 10

n

n

C©u 2. Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4

®îc ®a thøc d suy ra a = 0 ; b = - 16.

C©u 3. 2

7

1x x Z x2 –x +1 = U(7)= 1, 7

§a çc ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.

§¸p sè x = 2,1,3 .

C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt a < b + c a2 < ab + ac

Tng tù b2 < ab + bc

c2 < ca + cb

Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc (®pcm)

C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ

Träng t©m, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c.

ChØ ra ®îc GM

AG=

1

2 , HAG =OMG

ChØ ra OM

AH=

1

2(B»ng çch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH)

AHG MOG (c.g.c)

H,G,O th¼ng hµng.

======================

®Ò 11

C©u 1:Cho biÓu thøc: A=933193

36314323

23

xxx

xxx

a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.

b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.

c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.



C©u 2:

.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= x

xx )9)(16( víi x>0.

.b, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3

C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn lît lµ çc ®iÓm thuéc çc

c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.

.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ çc ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt.

.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh

ch÷ nhËt.

C©u 4: T×m d cña phÐp chia ®a thøc

x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

§¸p ¸n

C©u1 (3®)

a.(1®)

Ta cã A=)13()3(

)43()3(2

2

xx

xx(0,5®)

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x3,x1/3(0,5®)

b. Ta cã A=13

43

x

x do ®ã A=0 <=> 3x +4=0 (0,5®)

<=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)

VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)

c. (1®)

Ta cã A=13

43

x

x = 1+

13

5

x

§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× 13

5

xph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ íc cña 5<=> 3x-11,5

=>x=-4/3;0;2/3;2

VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)

C©u: 2: (3®)

a.(1,5®)

Ta cã

A=x

xx 144252 =x+

x

144+25 (0,5®)

Çc sè d¬ng x vµ x

144 Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x =

x

144

x=12 (0,5®)

VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®)

b.(1,5®)



TH1: nÕu x<-1 th× ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<-

1(lµ nghiÖm )(0,5®)

TH2: NÕu -1x<1/2 th× ta cã

x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®)

TH3: NÕu x1/2ta cã

x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®)

VËy ph¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®)

C©u 3: (3®)

C L D

M K

D N B1 K1 A

Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn lît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL.

KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB

SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5®)

T¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25®)

T¬ng tù S3+S4= x(1-x)S

S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)

SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25®)

VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn lît lµ

trung ®iÓm çc c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)

b.(1,5®)

tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)

tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BDAC (0,5®)

C©u 4: (1®)

Gäi Q(x) lµ th¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1

ta cã x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)

trong ®ã ax+b lµ d cña phÐp chia trªn

Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b

Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7

VËy d cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7

==========================

®Ò 12

Bµi 1: (3®)

Cho ph©n thøc : M = 82

634222

2345

xx

xxxxx



a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M

b) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0

c) Rót gän M

Bµi 2: (2®)

a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®îc

242.

b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B.

A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n

Bµi 3: (2®)

a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc

M = zxzyzyxyx

1

1

1

1

1

1

b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c

Chøng minh r»ng: bacacbcba

111

cba

111

Bµi 4: (3®)

Cho tam gi¸c ABC, ba ®êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC,

CA tØ lÖ víi 4,7,5

a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm

b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm

c) Chøng minh 1.. MA

CM

NC

BN

PB

AP

§¸p ¸n

Bµi 1:

a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0 x 2 vµ x - 4 (0,5®)

TX§ = 4;2;/ xxQxx 0,2®

b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) 1,0®

= 0 khi x=2; x= .1 0,2®

§Ó M= 0 Th× x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

x2+ 2x- 8 0 0,5®

VËy ®Ó M = 0 th× x = .1 0,3®

c) M = 4

)1)(3(

)4)(2(

)1)(3)(2( 2222

x

xx

xx

xxx 0,3®

Bµi 2:

a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242

(0,2®)

Rót gän ®îc x2 = 81 0,5®



Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9 0,2®

Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10 0,1®

b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) ®îc th¬ng n + 3 d 2 0,3®

Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2n(n-1) 2n 0,2®

Ta cã:

n 1 -1 2 -2

n-1 0 -2 1 -6

n(n-1) 0 2 2 -3

lo¹i lo¹i

0,3®

VËy n = -1; n = 2 0,2®

Bµi 3:

a) V× xyz = 1 nªn x 0, y 0, z 0 0,2®

1)1(1

1

xzz

z

xyxz

z

xyx 0,3®

zxz

xz

xzyzy

xz

yzy

1)1(1

1 0,3®

M = 11

1

11

xzzzxz

xz

xzz

z 0,2®

b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 0,2®

yxyx

411víi x,y > 0

bbacbcba

2

2

411

0,2®

cbacacb

211

0,2®

acbabac

211

0,2®

Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c 0,2®

Bµi 4: a) A

B C

N

AN lµ ph©n gi¸c cña A Nªn AC

AB

NC

NB 0,3®



Theo gi¶ thiÕt ta cã 5

4

574 AC

ABACBCABNªn 0,2®

)(109

.5

5

9

5

4cm

BCNC

NC

BC

NC

NB 0,5®

b) BM lµ ph©n gi¸c cña B nªn BA

BC

MA

MC 0,3®

Theo gi¶ thiÕt ta cã: 4

7

574

BA

BCACBCAB 0,2®

Nªn )(113

11.3

11

3

4

7cmac

MCMA

MAMC

MA

MC

0,5®

c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC

Nªn AB

AC

PB

AP

BA

BC

MA

MC

AC

AB

BC

BN ;; 0,5®

Do ®ã 1.... BC

AC

AB

BC

AC

AB

PB

AP

MA

MC

BC

BN 0,5®

========================

®Ò 13

C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm)

b/. x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)

C©u 2: ( 1 ®iÓm)

T×m GTNN cña : x2 + x + 1

C©u 3: ( 1 ®iÓm)

Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z.

C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)

Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :

x = 2

1

1

a

a a

; y =

2

1

1

b

b b

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1x + 2x + 3x = 14

C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)

Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F

cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.



§¸p ¸n

C©u 1: a/. Ta cã: x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)

( NÕu gi¶i b»ng çch kh¸c cho ®iÓm t¬ng ®¬ng )

b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24

Do ®ã f(x) x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12

VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)

Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12

Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)

Nh vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .

C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1 (1 ®’)

Ta cã : x2 + x + 1 = 21 3 3( )

2 4 4x VËy f(x) ®¹t GTNN khi 21

( )2

x = 0 Tøc x = -1

2

C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt

nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).

VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.

C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 11 1

a a a

ax a a ya a a b b

V× a> b > 0 nªn 2 2

1 1

a b vµ

1 1

a b . VËy x < y.

C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 x = - 4.

2/. -2 x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 x = 2. (lo¹i)

3/. 1 x < 3, ta cã : x + 4 = 14 x = 10 (lo¹i).

4/. x 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 x = 16

3 VËy ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = -

4 vµ x = 16

3.

C©u 6: ( 2,5 ®’) D C

F F

A B

Dùng tam gi¸c c©n BIC nh tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 .

Suy ra : 02 60B (1) .

2 I 2

F 2 H 15

0 150 2



Ta cã AFB BIC (theo çch vÏ) nªn: FB = IB (2).

Tõ (1) vµ (2) suy ra : FIB ®Òu .

§êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: 2I = 300 ( gãc ngoµi cña CIB ).

Suy ra: 2H = 900 ( v× B = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH

lµ ®êng trung trùc cña CFB . VËy CFB c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3)

MÆt kh¸c : DFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).

Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).

VËy DFC ®Òu.

Gi¶I b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t¬ng ®¬ng.

==============================

®Ò 14

C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc

f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x.

C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

(x+y+z)3 –x3-y3-z3.

C©u 3 (2 ®iÓm ) :

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c

C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho

PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ

trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.

§¸p ¸n

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)

Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4.

= x2+1 d (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm)

f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d b»ng kh«ng.

Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ).

a-3=0 => a=3

b+4=0 => b=-4

Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

(x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A

Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23).

¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.

A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2) (1 ®iÓm)

= (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2].



= (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz).

= 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]

= 3(x+y) (y+z) ) (x+z) (1 ®iÓm).

Bµi 3 : (2 ®iÓm ).

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1

Ta cã : x2+x+1 = (x+2

1)2 +

4

3

4

3

Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4

3 khi (x+

2

1)2=0 Tøc x = -

2

1 (1 ®iÓm).

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3) (1 ®iÓm).

Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

= h(h+3) (h+2) (h+1)

= (h2+3h) (h2+3h+2)

§Æt : 3h+h2 =x

A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1

= (x+1)2-1 -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.

Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.

Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc.

Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0

Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 ®iÓm).

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0

§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi.

a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm).

Bµi 5 (2 ®iÓm) C

Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP

F lµ trung ®iÓm cña BP K M

Ta cã : KE=2

1AP = EP P

FM =2

1 BP =FP E F

A D B

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP

Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF

Tõ çc tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.

KEP =2KAP ; MEP = 2MBP

DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP

Theo gi¶ thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP

VËy DEK = DPM suy ra DEK= MFO (c.g.c)

Do ®ã : DK=OM



==========================

®Ò 15

C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt

a. HiÖu çc b×nh ph¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36

b. HiÖu çc b×nh ph¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40

C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:

22

522

20052006

20052006

20052006

20052006

hay

C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph¬ng tr×nh

06995

6

996

5

997

4

998

3

999

2

1000

1

xxxxxx

C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh ax –b> bx+a

C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®êng th¼ng AK song

song víi BC. Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD

ë E. Chøng minh r»ng:

a. EF song song víi AB

b. AB2 = CD.EF

C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®êng chÐo, c¾t nhau ë O .

TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam

gi¸c AOD lµ 196 cm2.

§¸p ¸n

C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).

Ta cã: (x+2)2 -x2 =36 => x = 8.

VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.

b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)

Ta cã (x+2)2 –x2 = 40 => x = 9

VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.

C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:

2

222

)20052006(

20052006

20052006

20052006.

20052006

20052006

20052006

20052006

= 22

22

20052005.2006.22006

20052006

<

22

22

20052006

20052006

C©u 3: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:

01995

61

996

51

997

4

998

31

999

21

1000

1

xxxxxx

0995

1001

996

1001

997

1001

998

1001

999

1001

1000

1001

xxxxxx

0)995

1

996

1

997

1

998

1

999

1

1000

1)(1001( x



x=-1001.

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=-1001.

C©u 4: * NÕu a> b th× x>ba

ba

* NÕu a<b th× x<ba

ba

* NÕu a=b th× 0x> 2b

+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0

+ V« nghiÖm nÕu b 0

C©u 5:

a. AEB vµ KEB ®ång d¹ng (g.g)EK

AE =

KD

AB

AFB Vµ CFI ®ång d¹ng (g.g) FC

AF =

CI

AB

Mµ KD = CI = CD – AB EK

A£ =

FC

AF EF // KC

VËy AF// AB

b. AEB Vµ KED ®ång d¹ng, suy ra EB

DE

AB

OK

EB

DB

AB

DC

EB

BD

AB

KCDK

EB

EBDE

AB

ABKD

(1)

Do EF// DIEF

AB

EB

DB

EF

DI

EB

DB (2)

Tõ (1) vµ (2) EFDCABEF

AB

AB

DC.2

C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn

tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2

SAOD = 196 cm2

Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD

vµ ®êng cao t¬ng øng b»ng nhau)

Suy ra SABO = SCOD

Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch hai tam gi¸c cã

chung ®êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t¬ng øng.

Do ®ã: COD

AOD

BOC

ABO

S

S

OC

AO

S

S => SABO.SCOD = SBOC.SAOD

Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142

=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)

================

A

D

B

C

E F

K I

D

B C

A

O



®Ò 16

C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.

2x3 + x2 + 2x + 5

A=

2x + 1

C©u 2(2®): Gi¶i ph¬ng tr×nh

x2 - 3|x| - 4 = 0

C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t¬ng øng çc ®iÓm P, Q, R.

Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:

PB QC RA

. . = 1

PC QA RB

C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = 3x2 + y2

§¸p ¸n

C©u 1

A nguyªn 2x+ 1 lµ íc cña 4

¦(4) = 1; 2; 4

Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.

C©u 2: x2 - 3|x| - 4 = 0

3|x| = x2 - 4

3x = (x2 - 4)

x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0

Gi¶i 2 ph¬ng t×nh nµy ®îc S = -4; 4

C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)

C©u 4: M = 18 khi a = b =

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...

Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4 A ¼

VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.

=========================

®Ò 17

Bµi 1. Cho biÓu thøc:

A = x

x

x

xx

x

x

x

x 2006).

1

14

1

1

1

1(

2

2



a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.

b) Rót gän biÓu thøc A.

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2:

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20062005

11

2004

2 xxx

b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1

Bµi 3.

Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ çc ®êng

th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. Çc ®êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC

vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J.

a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.

b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.

Bµi 4. Cho a 4; ab 12. Chøng minh r»ng C = a + b 7

§¸p ¸n

Bµi 1:

a) §iÒu kiÖn:

0

1

x

x

b) A = x

x

x

xxxx 2006

1

14)1()1((

2

222

=

x

x 2006

c) Ta cã: A nguyªn (x + 2006)

2006

12006

x

xxx

Do x = 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = 2006

Bµi 2.

a) Ta cã: 20062005

11

2004

2 xxx

12006

12005

11

2004

2

xxx 2006

2006

20062005

2005

2005

1

2004

2004

2004

2

xxx

2006

2006

2005

2006

2004

2006 xxx

0

2006

1

2005

1

2004

1)(2006( x

(2006 - x) = 0 x = 2006

b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã

ta t×m ®îc:

1

2

b

a

Bµi 3.

a) Ta cã: OB

DO

PM

FP

IE

FI (1)

D C

E

I J F Q

P

A M B



OA

CO

QM

EQ

FJ

EJ (2)

OA

CO

OB

DO (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra FJ

EJ

IE

FI hay FI.FJ = EI.EJ (4)

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

EHFHIJ

EHIJ

EHIJ

FHIJ

FH )2

)(2

()2

)(2

(

b) NÕu AB = 2CD th× 2

1

OA

CO

OB

DO nªn theo (1) ta cã

2

1

IE

FI

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.

Do ®ã: FI = EJ = IJ = 3

EF kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( 744

1

4

1232

4

1

4

32

4

1)

4

3

a

ababa (§PCM)

============================

®Ò 18

C©u 1:

a. T×m sè m, n ®Ó: x

n

x

m

xx

1)1(

1

b. Rót gän biÓu thøc:

M = 3011

1

209

1

127

1

65

12222

aaaaaaaa

C©u 2:

a. T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1.

b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.

C©u 3:

Cho tam gi¸c ABC, çc ®êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®êng trung

trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF.

C©u 4:

Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:

a = 19711969 ; b = 19702

§¸p ¸n

C©u 1: (3®)

a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®)

b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc

(¸p dông c©u a)



2

1

3

1

65

12

aaaa

(0.25®)

3

1

4

1

127

12

aaaa

(0.25®)

4

1

5

1

209

12

aaaa

(0.25®)

5

1

6

1

3011

12

aaaa

(0.25®)

§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®îc :

M = )6).(2(

4

2

1

6

1

aaaa (0.5®)

C©u 2: (2.5®)

a. (1.5®)

BiÕn ®æi:

n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + 1 (0.5®)

(n + 1) (n – 1) (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25®)

n – 1 n2 – n + 1 (v× n + 1 0 ) (0.25®)

NÕu n = 1 th× ta ®îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)

NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1

Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n2 – n +1 trªn tËp hîp sè

nguyªn d¬ng

VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®îc lµ 1 (0.25®)

b. n – 1 n2 – n +1

n(n – 1) n2 – n + 1

n2 – n n2 – n + 1

( n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1

1 n2 – n + 1 (0.5®)

Cã hai trêng hîp:

n2 – n + 1 = 1 n(n – 1) = 0 n = 0 hoÆc n = 1

Çc gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®)

n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 v« nghiÖm

VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®)

C©u 3: (3®) (H×nh *)

LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®êng trung b×nh cña

ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®)

T¬ng tù trong CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®)

Tõ BGAC vµ HEAC BG//IA (3) (0.25®)

T¬ng tù AKBC vµ HFBC AG//IB (4) (0.25®)

Tõ (3) vµ (4) BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)

Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)



KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2) BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)

C©u 4: (1.5®)

Ta cã: 19702 – 1 < 19702

1969.1971 < 19702

1970.21971.19692 (*) (0.25®)

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*)

ta cã:

1970.41971.196921970.2 (0.25®)

22 )19702()19711969( (0.25®)

1970219711969 (0.25®)

VËy: 1970219711969 (0.25®)

===============================

®Ò 19

Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc

A =

2

102:

2

1

36

6

4

2

3

2

x

xx

xxxx

x

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?

b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2

c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0

d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn

bµi 2 (2,5®)

a. Cho P = 12

1234

34

xxxx

xxx

Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh

8

1

3011

1

209

1

127

1

65

12222

xxxxxxxx

Bµi 3 (1®)

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =9

12272

x

x

Bµi 4 (3®)

Cho ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn lît lµ ®iÓm ®èi

xøng cña H qua AB vµ AC

a. CMR: E, A, H th¼ng hµng

b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh

thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®îc kh«ng.

K

D

A

I

C F B

E

G H

H×nh *



c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?

Bµi 5 (1®)

Cho çc sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1

CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8

§¸p ¸n

Bµi 1 (2,5®)

sau khi biÕn ®æi ta ®îc;

A = 6

2

22

6

x

xx 0,5®

a. TX§ = 0;2: xxx 0,25®

Rót gän: A = xx

2

1

2

1 0,25®

b. §Ó A = 2 5,1 x (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®

c. §Ó A < 0 th× 20202

1

xx

x (Tho· m·n ®k cña x) 0,5®

d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ íc cña 2. Mµ ¦ (2) = 2;1;2;1

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nhng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25®

VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25®

Bµi 2 (2,5®)

a. P = 12

1234

34

xxxx

xxx 1®

Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25®

MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25®

Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x 0,25®

VËy P =

1

1

11

112

2

22

22

x

x

xxx

xxx v× tö = xx 01

2 vµ mÉu x2 + 1 >0 víi

mäi x 0,25®

Nªn P x 0

b. Gi¶i PT: 8

1

311

1

209

1

127

1

65

12222

xxxxxxxx

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)

Trong ®ã

...3

1

2

1

32

1

65

12

xxxxxx

TX§ = 6;5;4;3;2; xx ph¬ng tr×nh trë thµnh:



2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 5 6 8

1 1 1

2 6 8

8( 6 2) ( 2)( 6)

32 8 12

8 20 0 2; 10

x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10

Bµi 3 (1®)

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc

2

22 2 2

2 2 2

27 12

9

12 36 9 627 121 1

9 9 9

xA

x

x x x xxA

x x x

A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 2

6 0x hay x = A =

22 2

2 2 2

4 36 4 12 9 2 327 124 4

9 9 9

x x x xx

x x x

. A ®¹t GTLN lµ 4

2 3

2 3 02

x x

Bµi 4 (3®)

a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®êng trung trùc cña ®oanh th¼ng

EH

vËy gãc EAH = gãcIAH (1)

gãc FAD = gãcDAH (2)

céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 900 theo gi¶

thuyÕt

hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 900 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng

b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 900 (hai gãc nhän tam gi¸c

vu«ng)

Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)

gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng)

suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900

haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800

suy ra gãc EBC + gãc FBC = 1800 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau)

do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75®

Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 900 ( 090E F

) vËy

H ph¶i lµ ch©n ®êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC

Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H ph¶i lµ

trung ®iÓm cña BC .. 0,25®



Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc vu«ng suy ra

( 045B C

) ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng

c©n ..0,25®

c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:

2EHF AIDHS S dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD

vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g)

suy ra HBIS HMB EHF ABMQ ABCS S S S S

víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC

khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã SEHF ABCS . T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC

th× ta cã

SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× SEHF lµ lín nhÊt.

Bµi 5 (1®) Cho çc sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1

Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

Do a, b, c lµ çc sè d¬ng nªn ta cã;

(a – 1)2 2

2 2 20 0 1 2 2 1 1 4a a a a a a a (1) 0,25®

T¬ng tù (b + 1)2 4b (2) 0,25®

(c + 1)2 4c (3) 0,25®

Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:

(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 64abc (v× abc = 1)

((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 64

(b + 1)(a – 1)(c + 1) 8 ..0,25®

=======================================

®Ò 20

C©u I :(3®)

a) Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .

b) Rót gän ph©n thøc :

6116

1219823

23

xxx

xxx

B

A .

C©u II : (3®) .

1 ) Cho ph¬ng tr×nh Èn x.

.22

2

ax

x

x

ax

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 4.

b) T×m çc gi¸ trÞ cña a sao cho ph¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.

2 ) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0.



C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ngêi ta lÊy çc ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB

vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K

lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.

a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB.

b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.

C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau :

yx2 +yx +y =1.

§¸p ¸n

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®)

B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1®)

2) 2

4

)3)(2)(1(

)4)(3)(1(

x

x

xxx

xxx

B

A (1®)

Bµi II :1) . Ph¬ng tr×nh 2)(

)2(

)2(

)(

ax

x

x

ax (1)

§iÒu kiÖn: x -2 vµ x a.

(1) x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a

– a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x

- (a - 2)2 = 2(a - 2)x (*)

a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã :

4 =4x x=1 (1®)

b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®îc.

(a – 2 )2 + (a - 2)= 0

(a - 2) (a – 2 + 2) = 0

a = 2

a = 0 (1®)

2) . Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :

2x2 + 10x + 19 > 0 (1)

BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®îc.

2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7

=2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7

= 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7

= (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x

Nªn bÊt ph¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi x . (1®)

Bµi III .

AP // DQ

XÐt tam gi¸c IDQ cã . AP = 2

1 DQ

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® )



AIADIDIAAQ

AP

ID

IA 2

2

1

Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO DB vµ AO lµ ®êng trung

b×nh cña BID

§iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®êng trung tuyÕn cñaBID ) .

(0,75®)

b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh.

MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ

®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®êng

th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®)

§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn çc ®êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = 2

1 AB vµ CQ =

3

1 CD.

ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra DQAPAQ

AP

ID

IA 2

2

1 mµ AB = CD §PCM.

(0,5®)

Bµi IV: y x2 + y x + y = 1 . (1)

NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.

(1) y(x2 + x +1) = 1

y= 1 y = 1 ,x= 0

x2 + x +1 =1

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). (1®)

===================================

®Ò 21

I. §Ò bµi:

Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

b c a c a b a b c

Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16

2) 1001 1003 1005 1007

41006 1004 1002 1000

x x x x

Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:

a = +

1 1 1 1... , n Z

1.2 2.3 3.4 n.(n+1) kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn.

Bµi 4:(3 ®iÓm)

Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA.

a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?



b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?

c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.

§¸p ¸n

Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 b + c = - a. 0.25 ®iÓm

B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2

b2 + 2bc + c2 = a2 b2 + c2 - a2 = -2bc 0.5 ®iÓm

T¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca

a2 + b2 - c2 = -2ab 0.5 ®iÓm

A = 1 1 1 (a+b+c)

= =02bc 2ca 2ab 2abc

(v× a + b + c = 0) 0.5 ®iÓm

VËy A= 0. 0.25 ®iÓm

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1) §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh:

(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16

y4 + 6y2 -7 = 0 0.5 ®iÓm

§Æt z = y2 ta ®îc ph¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ

z1 = 1 vµ z2 = -7. 0.5 ®iÓm

y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.

y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm. 0.5 ®iÓm

2) 1001 1003 1005 1007

41006 1004 1002 1000

x x x x

1001 1003 1005 1007

1 1 1 1 01006 1004 1002 1000

x x x x

2007 2007 2007 2007

01006 1004 1002 1000

x x x x 0.5 ®iÓm

1 1 1 1

( 2007) 01006 1004 1002 1000

x

( 2007)x = 0 0.5 ®iÓm

V× 1 1 1 1

01006 1004 1002 1000

2007x 0.5 ®iÓm

Bµi 3:(1,5 ®iÓm) Ta cã:

a = 1 1 1 1 1 1 1

1 ...2 2 3 3 4 n n+1

0,5®iÓm

= 1 n

1 = 1n+1 n+1

; 0.5 ®iÓm

MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn 0.5 ®iÓm



Bµi 4:(3,5 ®iÓm)

VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng 0.5 ®iÓm

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh 1 ®iÓm

b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, ACBD 1 ®iÓm

c) SABCD =2a

2; SMNPQ =

2a

4; 0.5 ®iÓm

ABCD

MNPQ

S2

S 0.5 ®iÓm

=========================

®Ò 22

Bµi 1 (3 ®iÓm)

a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.

A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120

b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24

Bµi 2 ( 3 ®iÓm)

a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph¬ng tr×nh: 6

7

3

2

2

12

2

2

2

xx

xx

xx

xx

b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = 4

2

1 x

x

víi x # 0

Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P = 233

6523

2

xxx

xx

Bµi 4 ( 3 ®iÓm )

Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng

gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E AB ; F AC )

a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc

vµo vÞ trÝ cña M.

b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.

c. Chøng tá ®êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh

m n

p q

d

a

b

c



§¸p ¸n

Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120

KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm )

b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)

Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A 24 (1 ®iÓm )

Bµi 2: a. 6

7

3

2

2

12

2

2

2

xx

xx

xx

xx

T×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm)

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

B= 4

2

1 x

x

víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®îc B max = 1/2 th× x = 1 ( 1, 5 ®iÓm )

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:

P =

1

3.

12

3.2

233

652223

2

xx

xP

xxx

xx

xxx

xx ( 1®iÓm )

Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®îc

F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm )

+ Chøng minh ®îc chu vi tø gi¸c

MEAF = 2 AB

( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )

b. Chøng tá ®îc M lµ trung ®iÓm BC

Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )

c. Chøng tá ®îc ®êng th¼ng

MH EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )

Đề 23 Câu 1: (4đ)

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 2x)(x22x1) 6



b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 Câu 2: (2đ)

Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và x

1 +

y

1 +

z

1 = 3

Tính giá trị của biểu thức P = 222

111

zyx

Câu 3: (3đ) Tìm x biết

a, 23 x < 5x 4

b, 57

43x+

54

46x =

48

52

51

49

xx

Câu 4: (3đ) a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N* b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = yx

z

xz

y

zy

x

Bài 5: (6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB .

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD

BC AH HC

.

Bài 6: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Đề 23 Câu1(4đ)

a,đặt a = x2 2x thì x2 2x 1 = a1 A = (x+1)(x3)(x22x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200x2) + (x100x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x1981)+x4(x961) + (x4 +x2+1) = x2((x6)331)+x4((x6)161) +(x4+x2=1)= x2(x61).B(x) +x4(x61).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x61 =( x31)(x3+1)= (x+1)(x1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 A chia hết cho x4 + x2 + 1

.1đ 1đ 1đ 1đ



Cau 2 :(2đ

Có ( 2)111

zyx =

222

111

zyx + 2( )

111

yzxzxy

( 2)3 = p + 2xyz

xyz vậyP+2=3

suy ra P = 1

0.75đ 0,75đ 0.5đ

Câu 3: (3đ)

giải 45x < 3x +2< 5x 4 làm đúng được x> 3 b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung

(x+100)(48

1

51

1

54

1

57

1 ) = 0 S = 100

1đ 0.5đ 1đ 0.5đ

Câu 4: 3đ

a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 2

cba

x = 2

cba ; y =

2

cba ; z=

2

cba

P = c

cba

b

cba

a

cba

222

=

)111(2

1

c

b

c

a

b

c

b

a

a

c

a

b =

))()()(3(2

1

b

c

c

b

c

a

a

c

b

a

a

b

2

3

Min P =2

3 ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z

0.5đ 0,5đ 0,5đ 0.5đ 1đ

Câu 5: (2đ)

+ Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung.

CD CA

CE CB (Hai tam

giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ



Suy ra:BEC= 0135ADC (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên 045AEB do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 2 2BE AB m

0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ

b) 2đ

Ta có: 1 1

2 2

BM BE AD

BC BC AC (do BEC ~ ADC )

mà 2AD AH (tam giác AHD vuông vân tại H)

nên 1 1 2

2 2 2

BM AD AH BH BH

BC AC AC BEAB (do ABH Đồng

dạng CBA) Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c) suy ra: 0135 BECBHM 045AHM

0,5đ 1đ 0,5đ

C) 2đ

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Suyra: GB AB

GC AC ,

vì ABC ~ DEC nênHC

HD

HC

AH

DC

ED

AC

AB (DE//AH)

Do đó: GB HD GB HD GB HD

GC HC GB GC HD HC BC AH HC

1đ 1đ

Câu 6

Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a1)(a2+a+1) Vì p là số nguyên tố nên: Hoặc : a1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1 Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.

1đ 0,5đ 0,5đ

Đề 24

Câu 1: (4điểm)

a. Cho: 3yx=6 Tính giá trị biểu thức: A=6x

y3x2

2y

x

b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh : abc

3

c

1

b

1

a

1333

Câu 2: (3điểm)

a. Tìm x,y,x biết : 5

zyx

4

z

3

y

2

x 222222

b.Giải phương trình : 2x(8x1)2(4x1)=9



Câu 3: (3điểm)

a. Chứng minh : a5 a chia hết cho 30 với aZ

b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+

Câu 4: (2điểm)

Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :

Câu 5: (6 điểm)

cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H

a)tính tổng : '' A'

'

CC

CH

BB

BH

A

AH

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;

AIB(MAC;NAB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM

c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức : 222

2

''A'

)(

CCBBA

CABCAB

đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6(2điểm)

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì

(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ.

……………..Hết…………………….

Đề 24

Bài Nội dung điểm Bài1 a) 2đ b) 2đ

3yx=6 x=3y6

Thay vào ta có A=4

Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0.

0bcacab 0abc

bcacab

0c

1

b

1

a

1

Đặt : zc

1;y

b

1;x

a

1

0,5đ 1,5đ 1đ



chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì:

x3+y3+z3=3xyz đpcm

1đ

Bài 2: a) 1,5đ b) 1,5đ

. :

5

zyx

4

z

3

y

2

x 222222

5

z

4

z

5

y

3

y

5

x

2

x 222222

=0

zyx020

z

15

y2

10

x3 222

.phươngtrình:

2x(8x1)2(4x1)=9 9)x2x8)(1x16x64( 22

72)x16x64)(1x16x64( 22

đặt :64x216x+0,5=k

Ta có pt : (k+0,5)(k0,5)=72 5,8k25,72k 2

Với k=8,5 Ta có x=2

1x;

4

1

Với k=8,5 phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2nghiệm x=1/4và x=1/2

1đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Bài 3 a) 1.5đ b) 1.5đ

, có: a5a=a(a41)=a(a21)(a2+1)=a(a1)(a+1)(a24+5)

= a(a1)(a+1)(a+2)(a2)+5a(a1)(a+1)

vì a nguyên nên a(a1)(a+1)(a+2)(a2) là tích 5 số nguyên liên

tiếp nên 30 (2)

5a(a1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết

cho 30

Từ (1); (2) suy rađpcm

b,Từ bài toán trên ta có: x5x 5 x5x+2 chia 5 dư 2

x5x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương

0, 75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ



nào có tận cùng là 2hoặc 7) Vậy:

x5x+2 không thế là số chính phương với mọi xZ

0,5đ 0,25đ

Câu4 2đ đặt A=

bc

ac

ba

cb

ac

ba =

bc

ac

a

1

ac

b

b

cab

2

2

2

=abc

1

a

c

c

b

a

b

b

a

b

c

c

aabc

22

2

2

22

=

2

2

2

2

2

2

b

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

abc

1abc

tacó x+ xx

21

>0 Nên A8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

1đ 0,5đ 0,5đ

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D

Ta có :ABC

AHC

S

S

BCAH

AHCABA

AA

AH

AHBS

.2

1

).''(2

1

' (1)

Tương Tự: ABC

BHC

S

S

BB

BH AHBS

' (2)

ABC

AHC

S

S

CC

CH CHBS

(3)

Từ (1); (2); (3) ta có: '' A'

'

CC

CH

BB

BH

A

AH = 2

)(2

ABC

CHABHCAHB

S

SSS

b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC, ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM

BI

AI

NB

AN

AC

AB

IC

BI ;; suy ra

AMICBNCMANBI

ABAC

ACAB

BI

IC

AC

AB

AI

IC

BI

AI

AC

AB

MA

CM

NB

AN

IC

BI

....

1.

......

câu 5 a) b. c)

c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ



Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2

4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC Tức tam giác ABCđều

0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Câu6 2đ

có 1+a2 =ab+ac+bc+a2 =(a+c)(a+b) Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c) 1+c2=(b+c)(a+c)

2222 cbcaba)c1)(b1)(a1( đpcm

1đ 0,5đ 0,5đ

Đề 25 Bài 1: (5 điểm)

Cho biểu thức:

3 2 2 3

2 1 1 1 x 1A 1 1 :

x x 2x 1 x xx 1

a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 3 (4 điểm): a) Giải phương trình:

yy

y

yy 31

2

19

6

3103

122

b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (6 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK.



b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3

Đề 25

BÀI NỘI DUNG Bài 1 a) b) c)

A= 322

2

22

1:

)1(

1

.1

2

x

x

xx

x

xx

x

ĐKXĐX{0;1;1}

A=22

32

)1)(1(

)1(

xxx

xx

A=1x

x

Tacó:1A=1

1

x>0 khi x1<0 suy ra x<1

Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;1

A= 1+1

1

x

Vì x nguyên nên x1 nguyên để A là số nguyên thì x1là ước của 1 Hoặc x1=1 suy ra x=2 Hoặc x1=1 suy ra x=0 (loai) Vởy x=2 là giá trị cần tìm

1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ

Bài 2:

Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1 Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1)2+abc 0 (1) Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)abc Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(abc)

Vì ì a2+b2+c2=1nên 1 1;; cba nên (1+a)(1+b)(1+c) 0

Và abc 0 nên A 0 (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0;5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3: a) b)

Biến đổi phương trình về:)13)(13(

2

)3)(13(

1

yyyy

Đkxđ: y {3; 3

1;

3

1 }

3y+1=2y+6 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1 Từ giả thiết chỉ ra: 14x228x +70 chia hết cho x2+bx+c (x22x+5 )(x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=2; c=5 Khi đó P(1) =122.1+5 =4

0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ



G

K

H

I

E

M

D

C

BA

Bài 4: b)

Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 1/2 Từ đó chứng minh:CK=ED (1) EB=BC (2)

BCKBED =1350 (3) từ: (1);(2);(3)suy ra:

090

).(

DBK

CBKEBD

ccgBCKBED

Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ nhật Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M H là trung điểm củaCM AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1) Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK vậy: GIH (2) Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng

0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,5đ

Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có (x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)

0,5đ 1,0đ 0,25đ 0, 25đ

ĐỀ THI SỐ 26 Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3

2 4 2 3( ) : ( )

2 4 2 2

x x x x xA

x x x x x



a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b) Tìm giá trị của x để A > 0?

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x 7| = 4.


a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = 0.

b) Cho 1x y z

a b c và 0

a b c

x y z . Chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c .


Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F

lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm

Bài 1 a 2,0

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x 2) – (x 2) 0,5

= (x 2)(3x 1). 0,5 b 2,0

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x a) – (x a) = 0,5

= (x a)(ax 1). 0,5 Bài 2: 5,0

a 3,0 ĐKXĐ :

2

2

2 3

2 0

4 0 0

2 0 2

33 0

2 0

x

x x

x x

xx x

x x

1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )( ) : ( ) .2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)

x x x x x x x x x xA

x x x x x x x x x

1,0



24 8 (2 ).

(2 )(2 ) 3

x x x x

x x x

0,5

24 ( 2) (2 ) 4

(2 )(2 )( 3) 3

x x x x x

x x x x

0,25

Vậy với 0, 2, 3x x x thì 24x

3A

x

. 0,25

b 1,0

Với 24

0, 3, 2 : 0 03

xx x x A

x

0,25

3 0x 0,25 3( )x TMDKXD 0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0

7 47 4

7 4

xx

x

0,5

11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD

0,25

Với x = 11 thì A = 121

2 0,25

Bài 3 5,0 a 2,5

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0

9(x 1)2 + (y 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : 2 2 2( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z 0,5

Nên : (*) x = 1; y = 3; z = 1 0,25

Vậy (x,y,z) = (1,3,1). 0,25 b 2,5

Từ : ayz+bxz+cxy

0 0a b c

x y z xyz 0,5

ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có : 21 ( ) 1x y z x y z

a b c a b c 0,5

2 2 2

2 2 22( ) 1

x y z xy xz yz

a b c ab ac bc 0,5

2 2 2

2 2 22 1

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

0,5

2 2 2

2 2 21( )

x y zdfcm

a b c 0,25

Bài 4 6,0



OF

E

K

H

C

AD

B

0,25

a 2,0 Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : ( )BEO DFO g c g 0,5 => BE = DF 0,25

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0

Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,5

Chứng minh : ( )CBH CDK g g 1,0

. .CH CK

CH CD CK CBCB CD

0,5

b, 1,75 Chứng minh : AF ( )D AKC g g 0,25

AF

. A .AK

AD AK F ACAD AC

0,25

Chứng minh : ( )CFD AHC g g 0,25

CF AH

CD AC 0,25

Mà : CD = AB . .CF AH

AB AH CF ACAB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

0,25

ĐỀ SỐ 27

Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

4x 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24

b. Giải phương trình: 4 2x 30x 31x 30 0

c. Cho a b c

1b c c a a b

. Chứng minh rằng: 2 2 2a b c

0b c c a a b



Câu2. Cho biểu thức: 2

2

x 2 1 10 xA : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x =

1

2.

c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.

a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4.

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 1

9a b c

b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm

a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) 24

= (x2 + 7x + 11 1)( x2 + 7x + 11 + 1) 24 = [(x2 + 7x + 11)2 1] 24 = (x2 + 7x + 11)2 52

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

(2 điểm)

b. 4 2x 30x 31x 30 0 <=>

2x x 1 x 5 x 6 0 (*)

Vì x2 x + 1 = (x 1

2)2 +

3

4 > 0 x

(*) <=> (x 5)(x + 6) = 0

x 5 0 x 5

x 6 0 x 6

(2 điểm)

Câu 1 (6 điểm)

c. Nhân cả 2 vế của: a b c

1b c c a a b

với a + b + c; rút gọn đpcm (2

điểm)



MF

E

D C

BA

Biểu thức: 2

2

x 2 1 10 xA : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

a. Rút gọn được kq: 1

Ax 2

(1.5

điểm)

b. 1

x2

1

x2

hoặc 1

x2

4

A3

hoặc 4

A5

(1.5 điểm)

c. A 0 x 2 (1.5 điểm)

Câu 2 (6 điểm)

d. 1

A Z Z ... x 1;3x 2

(1.5 điểm)

HV + GT + KL

(1 điểm)

a. Chứng minh: AE FM DF AED DFC đpcm

(2 điểm)

b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm)

Câu 3 (6 điểm)

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi

AEMFS ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình

vuông) M là trung điểm của BD.

(1 điểm)

Câu 4: (2 điểm)

a. Từ: a + b + c = 1

1 b c1

a a a

1 a c1

b b b

1 a b1

c c c

(1 điểm)



1 1 1 a b a c b c3

a b c b a c a c b

3 2 2 2 9

Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1

3

b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = 1 hoÆc b = 1

Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(1 i m)

§Ò thi SỐ 28

C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=8147

4423

23

aaa

aaa

a) Rót gän P

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

C©u 2 : (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng çc

lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.

b) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .

C©u 3 : (2 ®iÓm)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 18

1

4213

1

3011

1

209

1222

xxxxxx

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

A = 3

cba

c

bca

b

acb

a

C©u 4 : (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600

quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D

vµ E . Chøng minh :

a) BD.CE=4

2BC

b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña çc gãc BDE vµ CED.



c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.

C©u 5 : (1 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ çc tam gi¸c vu«ng cã sè ®o çc c¹nh lµ çc sè nguyªn d¬ng vµ sè

®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái

C©u 1 : (2 ®)

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5

Nªu §KX§ : a 4;2;1 aa 0,25

Rót gän P=2

1

a

a 0,25

b) (0,5®) P=2

31

2

32

aa

a ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,

mµ ¦(3)= 3;3;1;1 0,25

Tõ ®ã t×m ®îc a 5;3;1 0,25

C©u 2 : (2®)

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) abbaba 3)2( 22 =

=(a+b) abba 3)( 2 0,5

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

Do vËy (a+b) abba 3)( 2 chia hÕt cho 9 0,25

b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5

Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25

Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25

C©u 3 : (2®)

a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25



§KX§ : 7;6;5;4 xxxx 0,25

Ph¬ng tr×nh trë thµnh :

18

1

)7)(6(

1

)6)(5(

1

)5)(4(

1

xxxxxx

18

1

7

1

6

1

6

1

5

1

5

1

4

1

xxxxxx

18

1

7

1

4

1

xx 0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

(x+13)(x-2)=0

Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2; 0,25

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Tõ ®ã suy ra a=2

;2

;2

yxc

zxb

zy

; 0,5

Thay vµo ta ®îc A=

)()()(

2

1

222 y

z

z

y

x

z

z

x

y

x

x

y

z

yx

y

zx

x

zy 0,25

Tõ ®ã suy ra A )222(2

1 hay A 3 0,25

C©u 4 : (3 ®)

a) (1®)

Trong tam gi¸c BDM ta cã : 10

1ˆ120ˆ MD

V× 2M =600 nªn ta cã : 10

3ˆ120ˆ MM

Suy ra 31ˆˆ MD

Chøng minh BMD CEM (1) 0,5

Suy ra CE

CM

BM

BD , tõ ®ã BD.CE=BM.CM

V× BM=CM=2

BC , nªn ta cã BD.CE=

4

2BC 0,5

b) (1®) Tõ (1) suy ra EM

MD

CM

BD mµ BM=CM nªn ta cã

EM

MD

BM

BD

Chøng minh BMD MED 0,5

Tõ ®ã suy ra 21ˆˆ DD , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE

32

1

21

x

y

E

D

MCB

A



Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC

Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5

C©u 5 : (1®)

Gäi çc c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z

(x, y, z lµ çc sè nguyªn d¬ng )

Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25

Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :

z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4

(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®îc :

xy=2(x+y+x+y-4)

xy-4x-4y=-8

(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

Tõ ®ã ta t×m ®îc çc gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

ÑEÀ THI SOÁ 29

Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû

1 3 5 7 15A a a a a

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

10 1x a x

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân

Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = 4 33x x ax b chia heát

cho ña

thöùc 2( ) 3 4B x x x



Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø

phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.

Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng

Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng

2 2 4 2

1 1 1 1... 1

2 3 4 100P

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm

Caâu Ñaùp aùn Bieåu

ñieåm

1

2 ñ

2 2

22 2

22

2 2

2

1 3 5 7 15

8 7 8 15 15

8 22 8 120

8 11 1

8 12 8 10

2 6 8 10

A a a a a

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a

0,5 ñ

0,5 ñ

0,5 ñ

0,5 ñ

2

2 ñ

Giaû söû: 10 1 ;( , )x a x x m x n m n Z

2 2

10. 10 1

10 10 1

m n am n a

x a x a x m n x mn

Khöû a ta coù :

mn = 10( m + n – 10) + 1 10 10 100 1

( 10) 10 10) 1

mn m n

m n n

vì m,n nguyeân ta coù: 10 1 10 110 1 10 1

m mn nv

suy ra a = 12 hoaëc a =8

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

3

1 ñ

Ta coù:

A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4

Ñeå ( ) ( )A x B x thì 3 0 34 0 4

a ab b

0,5 ñ

0,5 ñ



4

3 ñ

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng

Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø AHB vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc

Hay DHE = 900 maët khaùc ADH AEH = 900

Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)

Do

00

00

9045

2 2

9045

2 2

AHBAHD

AHCAHE

AHD AHE

Hay HA laø phaân giaùc DHE (2)

Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,5 ñ

0,5 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

0,25 ñ

5

2 ñ 2 2 4 2

1 1 1 1...

2 3 4 100

1 1 1 1...

2.2 3.3 4.4 100.100

1 1 1 1...

1.2 2.3 3.4 99.100

1 1 1 1 11 ...

2 2 3 99 100

1 991 1

100 100

P

0,5 ñ

0,5 ñ

0,5 ñ

0,5 ñ

ĐỀ THI SỐ 30 Bài 1: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm)



Giải phương trình:

x 241 x 220 x 195 x 166

1017 19 21 23

.

Bài 3: (3 điểm)

Tìm x biết:

2 2

2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

492009 x 2009 x x 2010 x 2010

.

Bài 4: (3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2010x 2680A

x 1

.

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm)

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,

AB sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .

a) Chứng minh rằng: BDF BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

Một lời giải: Bài 1:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 3 3 3 3x y z x y z

= 2 2 2 2y z x y z x y z x x y z y yz z

= 2y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y

= 3 x y y z z x .

b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = 4 2x x 2010x 2010x 2010

= 2 2x x 1 x x 1 2010 x x 1 = 2 2x x 1 x x 2010 .

Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166

1017 19 21 23



x 241 x 220 x 195 x 166

1 2 3 4 017 19 21 23

x 258 x 258 x 258 x 258

017 19 21 23

1 1 1 1

x 258 017 19 21 23

x 258 Bài 3:

2 2

2 2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

492009 x 2009 x x 2010 x 2010

.

ĐKXĐ: x 2009; x 2010 .

Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức:

2 2

2 2

a 1 a 1 a a 19

49a 1 a 1 a a

2

2

a a 1 19

3a 3a 1 49

2 249a 49a 49 57a 57a 19 28a 8a 30 0

2 22a 1 4 0 2a 3 2a 5 0

3a

2

5a

2

(thoả ĐK)

Suy ra x =4023

2 hoặc x =

4015

2 (thoả ĐK)

Vậy x =4023

2 và x =

4015

2 là giá trị cần tìm.

Bài 4:

2

2010x 2680A

x 1

= 2 2 2

2 2

335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)335 335

x 1 x 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

Bài 5:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì oE A F 90 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của BAC. b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6:

a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF .

E

F

A B

C

D



Ta có 0BAC 180 (*)

Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.

oOFD OED ODF 90 (1)

Ta có oOFD OED ODF 270 (2)

(1) & (2) o180 (**)

(*) & (**) BAC BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

B , C

AEF DBF DEC ABC

BD BA 5 5BF 5BF 5BFBD BD BD

BF BC 8 8 8 8

CD CA 7 7CE 7CE 7CECD CD CD

CE CB 8 8 8 8

AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24

AF AC 7

CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5

ĐỀ SỐ 31 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25

b) 41004

1x

1986

21x

1990

17x

c) 4x – 12.2x + 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0z

1

y

1

x

1 .

Tính giá trị của biểu thức: xy2z

xy

xz2y

xz

yz2x

yzA

222

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

O

A

B C

F

D

E

s s

s



a) Tính tổng 'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 222

2

'CC'BB'AA

)CABCAB(

đạt giá trị nhỏ nhất?

ĐÁP ÁN

Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = 3 ( 1 điểm )

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

Bài 2(1,5 điểm):

0z

1

y

1

x

1 0xzyzxy0

xyz

xzyzxy

yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:)yz)(xz(

xy

)zy)(xy(

xz

)zx)(yx(

yzA

( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )


Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 090 a,d,c,b,a (0,25điểm)

Ta có: 2kabcd

2m)3d)(5c)(3b)(1a(

2kabcd

2m1353abcd

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37

v i k, mN, 100mk31 (0,25 i m)

ho c

ho c



k = 56 k = 4 (0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a) 'AA

'HA

BC'.AA.2

1

BC'.HA.2

1

S

S

ABC

HBC ;

(0,25điểm)

Tương tự: 'CC

'HC

S

S

ABC

HAB ; 'BB

'HB

S

S

ABC

HAC

(0,25điểm)

1S

S

S

S

S

S

'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC

(0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI

IC

MA

CM;

BI

AI

NB

AN;

AC

AB

IC

BI

(0,5điểm )

AM.IC.BNCM.AN.BI

1BI

IC.

AC

AB

AI

IC.

BI

AI.

AC

AB

MA

CM.

NB

AN.

IC

BI

c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)

Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)

Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2

4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

(0,25điểm)

Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm)

(0,5 i m ) (0,5 i m )

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D



*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó

ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức A = 32

23

1

1:

1

1

xxx

xx

x

x

với x khác 1 và 1.

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 3

21 .

c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm)

Cho 2 2 2 2 2 2a b b c c a 4. a b c ab ac bc .

Chứng minh rằng cba . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 5432 234 aaaa . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.

Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON.

b, Chứng minh rằng MNCDAB

211 .

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

Đáp án Bài 1( 4 điểm )

a, ( 2 điểm ) Với x khác 1 và 1 thì :

A=)1()1)(1(

)1)(1(:

1

12

23

xxxxx

xx

x

xxx

0,5đ

=)21)(1(

)1)(1(:

1

)1)(1(2

2

xxx

xx

x

xxxx

0,5đ

= )1(

1:)1( 2

xx

0,5đ



= )1)(1( 2 xx 0,5đ

b, (1 điểm)

Tại x = 3

21 =

3

5 thì A =

)

3

5(1)

3

5(1 2

0,25đ

= )3

51)(

9

251( 0,25đ

27

210

27

272

3

8.

9

34 0,5đ

c, (1điểm) Với x khác 1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi 0)1)(1( 2 xx (1) 0,25đ

Vì 01 2 x với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 01 x 1 x KL

0,5đ 0,25đ

Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được

bcacabcbaacacbccbabba 444444222 222222222 0,5đ

Biến đổi để có 0)2()2()2( 222222 accabccbacba 0,5đ

Biến đổi để có 0)()()( 222 cacbba (*) 0,5đ

Vì 0)( 2 ba ; 0)( 2 cb ; 0)( 2 ca ; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi 0)( 2 ba ; 0)( 2 cb và 0)( 2 ca ;

0,5đ 0,5đ

Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm)

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.

Phân số cần tìm là 11x

x (x là số nguyên khác 11)

0,5đ

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 15

7

x

x

(x khác 15)

0,5đ

Theo bài ra ta có phương trình 11x

x=

7

15

x

x 0,5đ

Giải phương trình và tìm được x= 5 (thoả mãn) 1đ

Từ đó tìm được phân số 6

5 0,5đ

Bài 4 (2 điểm)

Biến đổi để có A= 3)2()2(2)2( 2222 aaaaa 0,5đ

= 3)1)(2(3)12)(2( 2222 aaaaa 0,5đ

Vì 022 a a và aa 0)1( 2 nên aaa 0)1)(2( 22 do đó

aaa 33)1)(2( 22

0,5đ

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 01 a 1 a 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm)



a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)

Tính được AD = cm3

34; BD = 2AD = cm

3

38

AM = BD2

1cm

3

34

0,5đ

Tính được NI = AM = cm3

34

0,5đ

DC = BC = cm3

38 , MN = DC

2

1cm

3

34

0,5đ

Tính được AI = cm3

38

0,5đ

Bài 6 (5 điểm) a, (1,5 điểm)

Lập luận để có BD

OD

AB

OM ,

AC

OC

AB

ON 0,5đ

Lập luận để có AC

OC

DB

OD 0,5đ

AB

ON

AB

OM OM = ON 0,5đ

b, (1,5 điểm)

Xét ABD để có AD

DM

AB

OM (1), xét ADC để có

AD

AM

DC

OM (2)

Từ (1) và (2) OM.(CDAB

11 ) 1

AD

AD

AD

DMAM

0,5đ

N

I

M

D CA

B

ONM

D C

BA



Chứng minh tương tự ON. 1)11

( CDAB

0,5đ

từ đó có (OM + ON). 2)11

( CDAB

MNCDAB

211 0,5đ

b, (2 điểm)

OD

OB

S

S

AOD

AOB , OD

OB

S

S

DOC

BOC AOD

AOB

S

S

DOC

BOC

S

S AODBOCDOCAOB SSSS ..

0,5đ

Chứng minh được BOCAOD SS 0,5đ

2)(. AODDOCAOB SSS

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009

0,5đ

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

0,5đ

ĐỀ SỐ 33

§Ò thi häc sinh giái líp 8

C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

b, B =2

26232

234

n

nnnn Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.

c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :

a, 1111

cac

c

bbc

b

aab

a biÕt abc=1

b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

c, c

a

a

b

b

c

a

c

c

b

b

a

2

2

2

2

2

2

C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

a, 682

54

84

132

86

214

xxx

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.

b. Chøng minh: EFCDAB

211

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu çch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm



a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5

b, (2®iÓm) B=n2+3n-2n

22

B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2 n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 1 (5®iÓm)

c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) 542 n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+15 VËy D chia 5 d 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

a, (1®iÓm)

111 cac

c

bbc

b

aab

a

12

cac

c

acabcabc

abc

cacabc

ac

= 11

1

111

acabc

acabc

cac

c

acc

abc

cac

ac

b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2

C©u 2 (5®iÓm)

c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y

c

a

c

b

b

a

c

b

b

a.2..2

2

2

2

2

; b

c

a

c

b

a

a

c

b

a.2..2

2

2

2

2

;

a

b

c

b

a

c

c

b

a

c.2..2

2

2

2

2

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:

)a

b

b

c

c

a(2)

a

c

c

b

b

a(2

2

2

2

2

2

2

a

b

b

c

c

a

a

c

c

b

b

a2

2

2

2

2

2

0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5



a, (2®iÓm) 682

54

84

132

86

214

xxx

0)382

54()2

84

132()1

86

214(

xxx

082

300

84

300

86

300

xxx

(x-300) 082

1

84

1

86

1

x-300=0 x=300 VËy S = 300

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k= 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;

x=4

1;

2

1 x

Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm.

VËy S =

4

1,

2

1

C©u 3 (5®iÓm)

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

C©u 4 (5®iÓm)

a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBA (cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC

b, (2®iÓm) V× EO//DC AC

AO

DC

EO MÆt kh¸c AB//DC

DCAB

AB

DC

EO

AC

AO

BCAB

AB

OCAO

AO

BCAB

AB

OC

AO

DC

AB

EFABDCEFDCAB

DCAB

DCAB

AB

DC

EF 2112

.2

c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (NDF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.

0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0

ĐỀ SỐ 34

A B

CD

OE F

K

I

MN



C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = 2 3

3 3 4

1 1 1

x x x

x x x x

a) Rót gän biÓu thøc A

b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d¬ng víi mäi x ≠ - 1

C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a) 2 3 2 1 0x x x

b) 2 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 4 4 4x x x x x

x x x x

C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.

Chøng minh r»ng:

3 3 2 2

2 2

1 1 3

xyx y

y x x y

= 0

C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc :

M = 2 4 6 8 16x x x x lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tØ.

C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.

4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB .

5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM

6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB HD

BC AH HC

.

----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------

Híng dÉn chÊm to¸n 8

C©u Néi dung §iÓm



1

a

- Rót gän: A = 2 3

3 3 4

1 1 1

x x x

x x x x

=

2

2

1 1 3 3 4

1 1

x x x x x x

x x x

=

23 2 2

22 2

1 12 2 1 1

11 1 1 1

x x xx x x x x

x xx x x x x x

1®iÓm

1®iÓm

b

Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2

2

1

1

x x

x x

=

2

2

1 3

2 4

1 3

2 4

x

x

V× 2 2

1 3 1 30; 0, 1 0, 1

2 4 2 4x x x A x

1®iÓm

1®iÓm

2

a

* Víi x 1 (*) x - 1 0 1 1x x ta cã ph¬ng tr×nh

x2 -3x + 2 + x-1 = 0 22 2 1 0 1 0 1x x x x ( Tho¶

m·n ®iÒu kiÖn *)

* Víi x< 1 (**) x - 1 0 1 1x x ta cã ph¬ng tr×nh

x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 2 4 3 0 1 3 0x x x x

+ x - 1 = 0 1x ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)

+ x - 3 = 0 3x ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1

1®iÓm

1®iÓm

b

* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)

* pt 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 4 4x x x x x

x x x x

2

22 2 2

2 2 2

1 1 1 18 2 4 4x x x x x

x x x x

2

16 4 8 0 0x x x x hoÆc x = -8

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - 8

0.5®iÓm

1®iÓm

0.5®iÓm

3 Ta cã 3 2 21 1 1 1y y y y x y y v× xy 0 x, y 0 x, y 0

y-1 0 vµ x-1 0

1®iÓm



3 2

3 2 2

3 2

1

1 1

11 1 1 1

1 1

x

y y y

yx x x x y x x

x x x

3 3 2 2

1 1

1 1 1 1

x y

y x y y x x

22 2

22 2 2 2

2 2 3 3 2 2

2 21 1

1 1 2 1

2 24 20

3 1 1 3

x y xy x yx x y y

x x y y x y x y xy xy x y xy x y

xyxy x y

x y y x x y

1®iÓm

1®iÓm

4

Ta cã: M = 2 210 16 10 24 16x x x x

§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2

M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)

1®iÓm

1®iÓm

1®iÓm

5

a

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung.

CD CA

CE CB (Hai tam gi¸c vu«ng CDE

vµ CAB ®ång d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).

Suy ra: 0135BEC ADC (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).

Nªn 045AEB do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 2 2BE AB m

1.5®iÓm

1®iÓm

b

Ta cã: 1 1

2 2

BM BE AD

BC BC AC (do BEC ADC )

mµ 2AD AH (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)

nªn 1 1 2

2 2 2

BM AD AH BH BH

BC AC AC BEAB (do ABH CBA )

Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: 0 0135 45BHM BEC AHM

1.5®iÓm

1®iÓm

c

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.

Suy ra: GB AB

GC AC , mµ //

AB ED AH HDABC DEC ED AH

AC DC HC HC

Do ®ã: GB HD GB HD GB HD


1®iÓm

ĐỀ SỐ 35



B i 1: Cho bi u th c: M =

2

1

36

6

43

2

xxxx

x :

2

102

2

x

xx

a. Rút g n M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt. B i 2: a. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b. Cho các s x,y,z th a mãn ng th i: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tính t ng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Bµi 3:

a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 209

12 xx

+ 3011

12 xx

+ 4213

12 xx

= 18

1

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:

x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). B i 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã çc ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.

a. TÝnh tæng: HD HE HF

AD BE CF

b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chøng minh: H çch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF. d. Trªn çc ®o¹n HB,HC lÊy çc ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN. Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Híng dÉn chÊm m«n to¸n 8

Bµi Néi dung §iÓm

a

2

1

36

6

43

2

xxxx

x=

2

1

)2(3

6

)2)(2(

2

xxxxx

x

= 2( 2) ( 2)

( 2)( 2)

x x x

x x

= 6

( 2)( 2)x x

2

102

2

x

xx =

2( 2)( 2) (10 )

2

x x x

x

= 6

2x

M =6

2.

)2)(2(

6

x

xx =

x2

1

0,5

0,5

0,5

0,5

1

b + NÕu x 2 th× M 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.

+ VËy x 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d¬ng, nªn M

0,5

0,5



muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng 2 – x = 1 x = 1. VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.

0,5 0,5

a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) = 2 2( )b c a

2 2( )b c a

= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)

0,5 0,5 0,5

2

b Ta có: (b+c –a ) >0 ( B T trong tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0 V y A< 0

0,5 0,5 0,5

a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010 D u ''='' x¶y ra x – y = 0 v y – 2 = 0 x = y = 2. V y GTNN c a A l 2010 t¹i x = y =2

0,5

0,5 0,5

3

b Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3+ z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) k t h p các i u ki n ã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 M t trong các th a s c a tích (x + y)(y + z)(z + x) ph i b ng 0 Gi s (x + y) = 0, k t h p v i /k : x + y + z = 1 z = 1, l¹i k t h p v i /k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y = 0. Vậy trong 3 s x,y,z ph i có 2 s b ng 0 v 1 s b ng 1, S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1 Nên t ng S luôn có giá tr b ng 1.

0,5

0,5

0,5

a

Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: 4; 5; 6; 7x )

1 1 1

( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x

=

1

18

(1 1

4 5x x

) + (

1 1

5 6x x

) + (

1 1

6 7x x

) =

1

18

1 1

4 7x x

=

1

18 (x + 4)(x +7) = 54

(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = 13;2

0,5

0,5

0,5

0,5

4

b + Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)

2

1

1

x d

x d

2

2 1

1

x x d

x d

x d

1

1

x d

x d

2 d mµ d lÎ nªn d = 1.

+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng

0,25

0,25



Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng

§Æt:2 2

2

1

1

x k

x t

(k + x)(k – x) = 1

1

0

k

x

hoÆc

1

0

k

x

+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) = (0;0), (0; 1)

0,25

0,25

O

KI

N

M

E

H

F

A

D

B

C

0,5

a Tríc hÕt chøng minh: HD

AD =

( )

( )

S HBC

S ABC

T¬ng tù cã: ( )

( )

HE S HCA

BE S ABC ;

( )

( )

HF S HAB

CF S ABC

Nªn HD HE HF

AD BE CF =

( ) ( ) ( )

( )

S HBC S HCA S HAB

S ABC

HD HE HF

AD BE CF = 1

0,5

0,5

0,5

0,5

b Tríc hªt chøng minh BDH ~ BEC BH.BE = BD.BC Vµ CDH ~CFB CH.CF = CD.CB. BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm)

0,5 0,5 0,5 0,5

c Tríc hÕt chøng minh: AEF ~ ABC AEF ABC

Vµ CDE ~CAB CED CBA

AEF CED mµ EBAC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF. T¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña çc gãc EDF vµ DFE. VËy H lµ giao ®iÓm çc ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF nªn H çch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm)

0,5

0,5

0,5

5

d Gäi O lµ giao ®iÓm cña çc ®êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ

HC, ta cã OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN .(1)

MÆt kh¸c ta còng cã OCH c©n t¹i O nªn: OHC OCH .(2)

0,25

0,25



Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC OHB HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh. Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.

O,25 0,25

ĐỀ SỐ 36

Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì 5 6 6n n n với n .

b, CMR với n thì: 5 30n n .

c, Tìm số tự nhiên n để phân số 13

2

n

n

tối giản.

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, 2 2 2 2 24a b a b c

b, x5 + x + 1 c, 1 2 3 4 1x x x x

Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0

b, 2 2 2

1 1 1 1

4 3 8 15 12 35 9x x x x x x

c, 4 4

2 3 1x x

Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia 1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2

b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số

táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1

3 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả.

Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Bài 5: (4,5đ)

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:

a, AB.AE + AD.AF = AC2 b, FCE ABC. Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết Â = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm.

(Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình).

**************The end**************

Bài Phần Nội dung Điểm

a

Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = n(n – 1) + 30 + 12n 6n

3 3 11 3

1 30 63030 3

n n kn nn n n

n

n = 1; 3; 6; 10; 15; 30

1 1

b CMR: với n thì: 5 30n n

1,5



Ta có 30 = 2.3.5

5 4 21 1 1 1n n n n n n n n

n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích 1 1 6n n n

ta chứng minh 5 2 21 1 5n n n n n

Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k 1 hoặc n = 5k 2 1, Nếu n = 5k thì 5 5n n 2, Nếu n = 5k 1 thì 2 51 5 5n n n 3, Nếu n = 5k 2 thì 2 51 5 5n n n

c

13 151

2 2

n

n n

tối giản 15; 2 1n

n – 2 3 và n – 2 5 3 2

3 5

n k

n k

1

a

22 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

4

2

2 2

a b a b c

ab a b c

ab a b c ab a b c

c a b a b c

a b c a b c c a b c a b

1

b x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)

1 2

c

2 2

2 2

2 22 2

1 2 3 4 1

1 4 2 3 1

5 4 5 6 1

5 5 1 5 5 1 1

5 5 1 1 5 5

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1

3 a

x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0

4 230 1 0x x x x

3 21 30 1 0x x x x

2 21 1 30 1 0x x x x x x

2 21 30 0x x x x 2

2 2 1 330 0 ì 1 0

2 4x x v x x x

2 6 5 30 0x x x

6

6 5 05

xx x

x

1



Vậy 6;5S

b

2 2 2

1 1 1 1

4 3 8 15 12 35 9x x x x x x

2 2 2

1 1 1 1

3 3 5 3 15 7 5 35 9x x x x x x x x x

1 1 1 1

1 3 3 5 5 7 9x x x x x x

ĐKXĐ: 1; 3; 5; 7x

Phương trình trên có thể viết: 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 3 5 5 7 9x x x x x x

1 1 1 1 6 1

2 1 7 9 2 1 7 9x x x x

2

22 2

1 7 27 8 20 0

8 16 36 4 6

x x x x

x x x

4 6 2

4 6 10

x x

x x

(TM ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = 10

ĐỀ SỐ 37 Bµi 1 (4 ®iÓm)

Cho biÓu thøc A = 32

23

1

1:

1

1

xxx

xx

x

x

víi x kh¸c -1 vµ 1.

a, Rót gän biÓu thøc A.

b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x 3

21 .

c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.

Bµi 2 (3 ®iÓm)

Cho bcacabcbaaccbba 222222.4 .

Chøng minh r»ng cba .

Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.

Bµi 4 (2 ®iÓm)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 5432 234 aaaa .

Bµi 5 (3 ®iÓm)



Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.

a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh çc c¹nh cña tø gi¸c AMNI.

Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t çc c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.

a, Chøng minh r»ng OM = ON.

b, Chøng minh r»ng MNCDAB

211 .

c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD.

híng dÉn chÊm thi häc sinh giái

Bµi 1( 4 ®iÓm ) a, ( 2 ®iÓm ) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :

A=)1()1)(1(

)1)(1(:

1

12

23

xxxxx

xx

x

xxx

0,5®

=)21)(1(

)1)(1(:

1

)1)(1(2

2

xxx

xx

x

xxxx

0,5®

= )1(

1:)1( 2

xx

0,5®

= )1)(1( 2 xx KL

0,5®

b, (1 ®iÓm)

T¹i x = 3

21 =

3

5 th× A =

)

3

5(1)

3

5(1 2 0,25®

= )3

51)(

9

251( 0,25®

27

210

27

272

3

8.

9

34

KL

0,5®

c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi 0)1)(1( 2 xx (1) 0,25® V× 01 2 x víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 01 x 1 x KL

0,5® 0,25®

Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc

bcacabcbaacacbccbabba 444444222 222222222 0,5®

BiÕn ®æi ®Ó cã 0)2()2()2( 222222 accabccbacba 0,5® BiÕn ®æi ®Ó cã 0)()()( 222 cacbba (*) 0,5® V× 0)( 2 ba ; 0)( 2 cb ; 0)( 2 ca ; víi mäi a, b, c

nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi 0)( 2 ba ; 0)( 2 cb vµ 0)( 2 ca ;

0,5® 0,5®



Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5® Bµi 3 (3 ®iÓm)

Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11.

Ph©n sè cÇn t×m lµ 11x

x (x lµ sè nguyªn kh¸c -11)

0,5®

Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc ph©n sè 15

7

x

x

(x kh¸c -15)

0,5®

Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh 11x

x=

7

15

x

x 0,5®

Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n) 1®

Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè 6

5

KL

0,5®

Bµi 4 (2 ®iÓm)

BiÕn ®æi ®Ó cã A= 3)2()2(2)2( 2222 aaaaa 0,5®

= 3)1)(2(3)12)(2( 2222 aaaaa 0,5® V× 022 a a vµ aa 0)1( 2 nªn aaa 0)1)(2( 22 do ®ã

aaa 33)1)(2( 22

0,5®

DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi 01 a 1 a 0,25® KL 0,25® Bµi 5 (3 ®iÓm) a,(1 ®iÓm) Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5® Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n 0,5® b,(2®iÓm)

TÝnh ®îc AD = cm3

34; BD = 2AD = cm

3

38

AM = BD2

1cm

3

34

0,5®

TÝnh ®îc NI = AM = cm3

34

0,5®

DC = BC = cm3

38 , MN = DC

2

1cm

3

34

0,5®

N

I

M

D CA

B



TÝnh ®îc AI = cm3

38

0,5®

Bµi 6 (5 ®iÓm) a, (1,5 ®iÓm)

LËp luËn ®Ó cã BD

OD

AB

OM ,

AC

OC

AB

ON 0,5®

LËp luËn ®Ó cã AC

OC

DB

OD 0,5®

AB

ON

AB

OM OM = ON 0,5®

b, (1,5 ®iÓm)

XÐt ABD ®Ó cã AD

DM

AB

OM (1), xÐt ADC ®Ó cã

AD

AM

DC

OM (2)

Tõ (1) vµ (2) OM.(CDAB

11 ) 1

AD

AD

AD

DMAM

0,5®

Chøng minh t¬ng tù ON. 1)11

( CDAB

0,5®

tõ ®ã cã (OM + ON). 2)11

( CDAB

MNCDAB

211 0,5®

b, (2 ®iÓm)

OD

OB

S

S

AOD

AOB , OD

OB

S

S

DOC

BOC AOD

AOB

S

S

DOC

BOC

S

S AODBOCDOCAOB SSSS .. 0,5®

Chøng minh ®îc BOCAOD SS 0,5® 2)(. AODDOCAOB SSS

Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009

0,5®

Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)

0,5®

ĐỀ SỐ 38

Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:

a) Víi mäi a Z , nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× 6 6a b chia hÕt cho 9

b) Với mọi n N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:2 2 2

1 1 1 1

189 20 11 30 13 42x x x x x x

b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

v 2010200920092009 3 zyx

ONM

D C

BA



Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:

Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: 1 1 1

a b ca b c

th× ta có bất đẳng thức 3a b c abc Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2

Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña

AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

b) 1AB

NB

AN

NC

ĐÁP ÁN Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm) Vi a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k Z ) NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d 1. NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d 1. VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1.(1) T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3 d 1.(2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b23 (3) (0,5 ®) Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+(b2)2+3a2b2] = (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] Theo c/m trªn a2-b23 => (a2-b2)2 3 mµ 3a2b2 3 víi mäi a Z nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 3 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] 3.3 hay a6-b6 9 (0,5 ®) b) (1,0 ®iÓm) Ta cần chứng minh: n5 – n 10 * Chứng minh : n5 n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (0,25 ®) (vì với n N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp) * Chứng minh: n5 – n 5 n5 n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 ( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) 5 với mọi n N ) (0,5 ®) Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®)

Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5) x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6) x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7) §KX§ : 4; 5; 6; 7x x x x

2 2 2

1 1 1 1

189 20 11 30 13 42x x x x x x



1 1 1 1

( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18x x x x x x

(0,5 ®)

1 1 1

( 4) ( 7) 18x x

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7) => (x+13)(x-2) = 0 (0,25 ®) => x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§) VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2 (0,25 ®) b) 1,0 ®iÓm Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0

(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,25 ®)

x y 0

y z 0

z x 0

x y z x2009 = y2009 = z2009 (1) (0,25 ®)

Theo bµi ra ta cã 2010200920092009 3 zyx (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 (0,25 ®) V y x = y = z = 3 (0,25 ®) Bµi 3. Chứng minh rằng:

N u a, b, c l các s d ng tho mãn: 1 1 1

a b ca b c

th× ta có b t ng th c 3a b c abc

Ta cã 1 1 1

a b ca b c

bc ca aba b c

abc

( )ab bc ca a b c abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0)

Mµ 2 2 2 2 2 22 ; 2 ; 2a b ab c b cb a c ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta

®îc 2 2 22( ) 2( )a b c ab bc ca 2 2 2 )a b c ab bc ca (1)

L¹i cã 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab bc ca (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã 2( ) 3( )a b c ab bc ca (**)

Tõ (*) vµ(**) ta cã 2( ) 3 ( )a b c abc a b c 3a b c abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 §Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:

(3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 10

1 Hay 4a2 + 25b2

10

1.

DÊu b»ng xÈy ra <=> y

1

x

3 <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=> 6a = - 45b (2)



Tõ (1) vµ (2) => 20

3a;

50

1b

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM

lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.

b) 1AB

NB

AN

NC

a)ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = 1

2AC )

CNM + MNA = 1v

BAN + NAC = 1v

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN

MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN

=> BNE BAN

b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.

Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i

trung ®iÓm cña mçi ®êng)

=> CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) =>BAN BFA =>

1AB

NB

AN

NC

AB

NBAB

AN

NC

AB

NBFN

AN

NC

BA

BF

AN

FA

(§pcm)

Çch kh¸c: b) Ta cã:ACN EAN => (1)CN AC AN

AN EA EN

BNE BAN => (2) (3)AN BA BE NB

vaNE BN BN AB

. Tõ (1) vµ (2) => BN = AE

Tõ 1 1 4CN AC CN AB AE EB EB EB

AN EA AN AE AE AE BN

Tõ (3) vµ (4) => 1CN NB

AN AB (§pcm)

§Ề SỐ 39

Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:

1. 2 7 6x x 2. 4 22008 2007 2008x x x

Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh:

C

F M

N

A E B



1. 2 3 2 1 0x x x

2. 2 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 4 4 4x x x x x

x x x x

Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ çc sè dư¬ng ,ta cã:

(a+b+c)( 9)111

cba

3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc 2 4 6 8 2008x x x x

cho ®a thøc 2 10 21x x . Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.

1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB .

2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM

3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: GB HD

BC AH HC

.

Bµi 1

C©u

Néi dung §iÓm

2,0 1. 1.1 (0,75 ®iÓm)



2 27 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x

1 6x x

0.5

0,5 1.2 (1,25 ®iÓm) 4 2 4 2 22008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x 0,25

24 2 2 2 2 21 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x 0,25 2 2 2 2 21 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x

0,25 2. 2,0 2.1 2 3 2 1 0x x x (1)

+ NÕu 1x : (1) 2

1 0 1x x (tháa m·n ®iÒu kiÖn

1x ). + NÕu 1x : (1)

2 24 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x

1; 3x x (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,

nªn bÞ lo¹i) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ 1x .

0,5

0,5

2.2

2 2 222 2

2 2

1 1 1 18 4 4 4x x x x x

x x x x

(2)

§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 0x

(2) 2 2

22 2

2 2

1 1 1 18 4 4x x x x x

x x x x

2

2 22

2

1 18 8 4 4 16x x x x

x x

0 8x hay x vµ 0x . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm 8x

0,25

0,5

0,25

3 2.0 3.1 Ta cã:

A= 111)111

)(( b

c

a

c

c

b

a

b

c

a

b

a

cbacba

= )()()(3c

b

b

c

a

c

c

a

a

b

b

a

Mµ: 2x

y

y

x (B§T C«-Si)

Do ®ã A .92223 VËy A 9

0,5

0,5

3.2 Ta cã:

2 2

( ) 2 4 6 8 2008

10 16 10 24 2008

P x x x x x

x x x x

§Æt 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i:

2( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t

Do ®ã khi chia 2 2 1993t t cho t ta cã sè d lµ 1993

0,5

0,5



4 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c

ADC vµ BEC cã: Gãc C chung.

CD CA

CE CB (Hai

tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB

®ång d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).

Suy ra: 0135BEC ADC (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).

Nªn 045AEB do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 2 2BE AB m

1,0

0,5

4.2 Ta cã: 1 1

2 2

BM BE AD

BC BC AC (do BEC ADC )

mµ 2AD AH (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)

nªn 1 1 2

2 2 2

BM AD AH BH BH

BC AC AC BEAB (do

ABH CBA ) Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: 0 0135 45BHM BEC AHM

0,5

0,5

0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n

gi¸c gãc BAC.

Suy ra: GB AB

GC AC , mµ

//AB ED AH HD

ABC DEC ED AHAC DC HC HC

0,5

Do ®ã:

GB HD GB HD GB HD


0,5

®Ò SỐ 40

®Ò bµi: Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:

P =

2

2 2 2

2 3 2 8 3 21 2 8: 1

4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3

x x x x

x x x x x x x

a) Rót gän P

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi 1

2x

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. d) T×m x ®Ó P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:



a) 2

15 1 11 12

3 4 4 3 3

x

x x x x

b)

148 169 186 19910

25 23 21 19

x x x x

c) 2 3 5x

Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng çch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC

vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo

vÞ trÝ cña ®iÓm P.

d) Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, 9

16

PD

PB . TÝnh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt

ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ çc sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:

2 2

1 1 2

1 1 1x y x y

Đ¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®

§iÒu kiÖn: 1 5 3 7

; ; ; ; 42 2 2 4

x x x x x

0,5®

a) Rót gän P =2 3

2 5

x

x

2®

b) 1

2x

1

2x hoÆc

1

2x

+) 1

2x P =

1

2



+) 1

2x

P =

2

3 1®

c) P =2 3

2 5

x

x

=

21

5x

Ta cã: 1 Z

VËy P Z khi 2

5Z

x

x – 5 ¦(2)

Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x = 3 (TM§K) x – 5 = -1 x = 4 (KTM§K) x – 5 = 1 x = 6 (TM§K) x – 5 = 2 x = 7 (TM§K)

KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®

d) P =2 3

2 5

x

x

=

21

5x

0,25®

Ta cã: 1 > 0

§Ó P > 0 th× 2

5x > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5®

Víi x > 5 th× P > 0. 0,25 Bµi 2:

a) 2

15 1 11 12

3 4 4 3 3

x

x x x x

15 1 1

1 124 1 4 3 1

x

x x x x

§K: 4; 1x x

3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0

+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0} 1®

b)

148 169 186 19910

25 23 21 19

x x x x

148 169 186 199

1 2 3 4 025 23 21 19

x x x x

(123 – x)1 1 1 1

25 23 21 19

= 0



Do 1 1 1 1

25 23 21 19

> 0

Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1®

c) 2 3 5x

Ta cã: 2 0x x => 2 3x > 0

nªn 2 3 2 3x x

PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:

2 3 5x

2x = 5 – 3

2x = 2

+) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1® Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng çch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25® VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:

3( / )

1 1033

x xkm h

(3h20’ = 1

33

h ) 0,25®

VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:

3

5 /10

xkm h 0,25®

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:

3

5 .310

xx

0,5®

x =150 0,5® VËy kho¶ng çch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25®

VËn tèc dù ®Þnh lµ: 3.150

45 /10

km h

Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5®

A B

C D

O M

P

I

E

F



a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM. AM//PO tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®

c) MAF DBA g g nªn MF AD

FA AB kh«ng ®æi. (1®)

d) NÕu 9

16

PD

PB th× 9 , 16

9 16

PD PBk PD k PB k

NÕu CP BD th× CP PB

CBD DCP g gPD CP

1®

do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5® do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5®

Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.

b) 2 2

1 1 2

1 1 1x y x y

(1)



2 2

2 2

2

2 2

1 1 1 10

1 1 1 1

01 1 1 1

10 2

1 1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

V× 1; 1x y => 1xy => 1 0xy => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®

ĐỀ SỐ 41 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .

c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng

3 3 2 2

20

1 1 3

x yx y

y x x y

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b) 2003

6

2004

5

2005

4

2006

3

2007

2

2008

1

xxxxxx

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 5x2 + 8x 4 = x3 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét

2A 1 0 x 7 x 5 75 x 4

B 2 x 3 2 x 3

(0,25đ)



Với x Z thì A B khi 7

2 3x Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ)

Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ)

c) (1,5đ) Biến đổi 3 3

x y

y 1 x 1

=

4 4

3 3

x x y y

(y 1)(x 1)

= 4 4

2 2

x y (x y)

xy(y y 1)(x x 1)

( do x + y = 1 y 1= x và x 1= y) (0,25đ)

= 2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y x y (x y)

xy(x y y x y yx xy y x x 1)

(0,25đ)

= 2 2

2 2 2 2

x y (x y 1)

xy x y xy(x y) x y xy 2

(0,25đ)

= 2 2

2 2 2

x y (x x y y)

xy x y (x y) 2

= 2 2

x y x(x 1) y(y 1)

xy(x y 3)

(0,25đ)

= 2 2

x y x( y) y( x)

xy(x y 3)

=

2 2

x y ( 2xy)

xy(x y 3)

(0,25đ)

= 2 2

2(x y)

x y 3

Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y 12 = 0 y2 + 6y 2y 12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y 2) = 0 y = 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x 2 = 0 x2 + 2x x 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x 1) = 0 x = 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = 2 ; x =1

b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

2008 2007 2006 2005 2004 2003

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2008 2007 2006 2005 2004 2003

2003

2009

2004

2009

2005

2009

2006

2009

2007

2009

2008

2009

xxxxxx

x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 20090

2008 2007 2006 2005 2004 2003

(0,25đ)

0)2003

1

2004

1

2005

1

2006

1

2007

1

2008

1)(2009( x (0,5đ) Vì 1 1

2008 2005 ; 1 1

2007 2004 ;

1 1

2006 2003

Do đó : 02003

1

2004

1

2005

1

2006

1

2007

1

2008

1 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x =

2009 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ)

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D

Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) 1 2

ˆ Ê F A

B

E I

D

C

O

F

2 1

1 2



Mà 1 2 1

ˆ ˆ Ê E F = 900 2 2 1

ˆ ˆ ˆF E F = 900

EDF= 900. VậyEDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD

Mà EDF vuông cân DI =1

2EF

Tương tự BI =1

2EF DI = BI

I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)

Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)

= 2(x –2a

4)2 +

2a

2

2a

2 (0,25đ)

Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x =a

2 (0,25đ)

BD = AE =a

2 D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)

b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Ta có: SADE =1

2AD.AE =

1

2AD.BD =

1

2AD(AB – AD)=

1

2(AD2 – AB.AD) (0,25đ)

= –1

2(AD2 – 2

AB

2.AD +

2AB

4) +

2AB

8 = –

1

2(AD –

AB

4)2 +

2AB

2

2AB

8 (0,25đ)

Vậy SBDEC = SABC – SADE 2AB

2 –

2AB

8 =

3

8AB2 không đổi

(0,25đ)

Do đó min SBDEC =3

8AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)

ĐỀ SỐ 42

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7

Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:

A

D

B

C

E



x

A

x

x

2

1642

2

Bµi 3: Cho ph©n thøc: xx

x

22

552

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh.

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.

Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : )2(

21

2

2

xxxx

x

b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh:

Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.

Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ

trung tuyÕn AM.

a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA

b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ?

c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?

BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n

§¸p ¸n BiÓu ®iÓm

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1)

= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)

Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A =

84)2(4)2(

)2(2).2(2.

)2(

)42)(42(

2

4)2[(

2

164(2

22

2

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 2x 0 vµ x + 1 0 x 0 vµ x -1 (1 ®iÓm) b) Rót gän:



xxx

x

xx

x

2

5

)1(2

)1(5

22

552

(0,5 ®iÓm)

2

5251

2

5 xx

x (0,25 ®iÓm)

V× 2

5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn

2

5x (0,25 ®iÓm)

Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2

- Gi¶i: )2(

2

)2(

2) (x 2)x(x

xxxx x2 + 2x – x +2 = 2;

x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = 1

b) x2 – 9 < x2 + 4x + 7

x2 – x2 – 4x < 7 + 9 - 4x < 16 x> - 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4

1 ®

1®

Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy

§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1

VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy)

- Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13

57x – 57 – 50x = 13 7x = 70

x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy.

Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm)

0,5 ® 0,5 ®

0,5 ®

0,5 ® 1 ®

Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:

Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung

∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc)

b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC

ta cã : BC = 22 ACAB = 22 2015 = 625 = 25 (cm)

v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn 15

252015

HAHBhay

BA

BC

HA

AC

HB

AB

AH = 1225

05.20 (cm)

BH = 925

15.15 (cm)

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)

c) HM = BM – BH = )(5,392

25

2cmBH

BC

SAHM = 2

1AH . HM =

2

1. 12. 3,5 = 21 (cm2)

- VÏ ®óng h×nh: A

1 ®

1 ®

1 ®

1 ®

1®

1 ®



B H M C

ĐỀ SỐ 43 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25

b) 41004

1x

1986

21x

1990

17x

c) 4x – 12.2x + 32 = 0


1

y

1

x

1 .


xy

xz2y

xz

yz2x

yzA

222

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực

tâm. a) Tính tổng 'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: 4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI


b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )


0z

1

y

1

x

1 0xzyzxy0

xyz

xzyzxy






Do đó:)yz)(xz(

xy

)zy)(xy(

xz

)zx)(yx(

yzA

( 0,25điểm

)




Ta có: 2kabcd

2m)3d)(5c)(3b)(1a(

2kabcd

2m1353abcd (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a) 'AA

'HA

BC'.AA.2

1

BC'.HA.2

1

S

S

ABC

HBC ;

(0,25điểm)

Tương tự: 'CC

'HC

S

S

ABC

HAB ; 'BB

'HB

S

S

ABC

HAC

(0,25điểm)

1S

S

S

S

S

S

'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC


với k, mN, 100mk31 (0,25điểm)

hoặc

hoặc

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D



AI

IC

MA

CM;

BI

AI

NB

AN;

AC

AB

IC

BI

(0,5điểm )

AM.IC.BNCM.AN.BI

1BI

IC.

AC

AB

AI

IC.

BI

AI.

AC

AB

MA

CM.

NB

AN.

IC

BI


Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2

4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

(0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)

§Ò SỐ 44

C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.

b, B =2

26232

234

n

nnnn Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.

c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :

a, 1111

cac

c

bbc

b

aab

a biÕt abc=1

b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

c, c

a

a

b

b

c

a

c

c

b

b

a

2

2

2

2

2

2

C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

a, 682

54

84

132

86

214

xxx

(0,5điểm ) (0,5điểm )



b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.

b. Chøng minh: EFCDAB

211

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu çch dùng ®êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm

a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5

b, (2®iÓm) B=n2+3n-2n

22

B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2 n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 1 (5®iÓm)

c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) 542 n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+15 VËy D chia 5 d 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

a, (1®iÓm)

111 cac

c

bbc

b

aab

a

12

cac

c

acabcabc

abc

cacabc

ac

= 11

1

111

acabc

acabc

cac

c

acc

abc

cac

ac

C©u 2 (5®iÓm)

b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2

0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5



c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y

c

a

c

b

b

a

c

b

b

a.2..2

2

2

2

2

; b

c

a

c

b

a

a

c

b

a.2..2

2

2

2

2

;

a

b

c

b

a

c

c

b

a

c.2..2

2

2

2

2

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:

)a

b

b

c

c

a(2)

a

c

c

b

b

a(2

2

2

2

2

2

2

a

b

b

c

c

a

a

c

c

b

b

a2

2

2

2

2

2

0,5 0,5 0,5 0,5

a, (2®iÓm) 682

54

84

132

86

214

xxx

0)382

54()2

84

132()1

86

214(

xxx

082

300

84

300

86

300

xxx

(x-300) 082

1

84

1

86

1

x-300=0 x=300 VËy S = 300

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k= 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;

x=4

1;

2

1 x

Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm.

VËy S =

4

1,

2

1

C©u 3 (5®iÓm)

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5



C©u 4 (5®iÓm)

a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBA (cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC

b, (2®iÓm) V× EO//DC AC

AO

DC

EO MÆt kh¸c AB//DC

DCAB

AB

DC

EO

AC

AO

BCAB

AB

OCAO

AO

BCAB

AB

OC

AO

DC

AB

EFABDCEFDCAB

DCAB

DCAB

AB

DC

EF 2112

.2

c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (NDF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.

0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0

ĐỀ THI SỐ 45

Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) x2 – xz – 9y2 + 3yz.

b) 4x4 + 4x3 – x2 - x.

Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.

P = (2793

323

2

xxx

xx+

9

32 x

): (3

1

x -

2793

623 xxx

x)

a) Rót gän P.

b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?

c) T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

a) x3 – 3x2 + 4 = 0

b) 16

31

)2(

11...

5.3

11

4.2

11.

3.1

11

xx

Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2.

Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1.

A B

CD

OE F

K

I

MN



Bµi 5: (3.5®)

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®-

êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.

Chøng minh r»ng:

a) OA.OB = OC.OH

b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.

c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.

BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8

Bµi 1: (1.5®)

C©u a: (0.57®)

= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 0.25®

= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25®

= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25®

C©u b: (0.75®)

= x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25®

= 114 2 xxxx 0.25®

= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25®

Bµi 2: (2.5®)

C©u a: 1®

P =

9

3

)3)(9(

)3(22 xxx

xx:

)9)(3(

6

3

12xx

x

x 0.25®

= 93

69:

9

32

2

2

xx

xx

x

x 0.25®

=

2

2

23

93.

9

3

x

xx

x

x 0.25®

= 3

3

x

x 0.25®

C©u b: (0.75®)

P =

3

3

x

x Px - 3P = x + 3 0.25®

(P – 1)x = 3(P + 1)



x =

1

13

P

P

Ta cã: x > 0

01

10

1

13

P

P

P

Px

1

1

01

01

01

01

P

P

P

P

P

P

VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25®

C©u c: 0.75® §KX§: 3x

P = 3

3

x

x =

3

61

3

63

xx

x 0.25®

P nhËn gi¸ trÞ nguyªn x - 30¦ (6) = 6;3;2;1

Tõ ®ã t×m ®îc x 3;9;0;6;1;5;2;4 0.25®

KÕt hîp víi §/C 3x ; zx ta ®îc.

x 9;0;6;1;5;2;4 0.25®

VËy x 9;0;6;1;5;2;4 th× P nguyªn.

Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1.5®)

C©u a: (0.75®)

- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0 0.50®

2

1

x

x

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 0.25®

C©u b: (0.75®) §K: xN*n

- §a vÒ d¹ng 16

31

)2(

)1(...

5.3

4.

4.2

3.

3.1

2 2222

xx

x 0.25®

16

31

2

)1(2

x

x 0.25®

Tõ ®ã t×m ®îc x = 30 (t/m xN*)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30 0.25®

Bµi 4: (1®)

Gi¶ sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1

abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 0.25®



v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0.

Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt.

a = 2 – a a = 1

T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt b = 1

c(2 – c) lín nhÊt c = 1

VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1 (2)

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1 0.25®

(1) vµ (2) m©u thuÈn nhau.

Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ

®ång thêi lín h¬n 1 0.25®

Bµi 5: (3.5®)

C©u a: (1®)

Chøng minh: B0H C0A (g.g) 0.5®

A

H

C

B

0

0

0

0 0A.0B = 0C.0H 0.25®

C©u b: (1.25®)

A

H

C

B

0

0

0

0 (suy ra tõ B0H C0A)

B

H

C

A

0

0

0

0 0.25®

- Chøng minh 0HA 0BC (c.g.c) 0.25®

OHA = OBC (kh«ng ®æi)

C©u c: (1.25®)

VÏ MK BC

- BKM BHC (g.g) BH

BK

BC

BM

BM.BH = BC.BK (1) 0.5®

CKM CAB (g.g) 0.25®

B

C

O

H

M

A

K



CA

CK

CB

CMCM.CA = BC.CK (2) 0.25®

- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc:

- BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK

= BC . (BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi) 0.25®

ĐỀ THI SỐ 46


Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).


Cho biểu thức :

2 2

2 2 3

2 4 2 3( ) : ( )

2 4 2 2

x x x x xA

x x x x x

d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

e) Tìm giá trị của x để A > 0?

f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x 7| = 4.


c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = 0.

d) Cho 1x y z

a b c và 0

a b c

x y z . Chứng minh rằng :

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c .


Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F

lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm

Bài 1



a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x 2) – (x 2) 0,5

= (x 2)(3x 1). 0,5 b 2,0

a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x a) – (x a) = 0,5

= (x a)(ax 1). 0,5 Bài 2: 5,0

a 3,0 ĐKXĐ :

2

2

2 3

2 0

4 0 0

2 0 2

33 0

2 0

x

x x

x x

xx x

x x

1,0

2 2 2 2 2 2

2 2 3

2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )( ) : ( ) .2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)

x x x x x x x x x xA

x x x x x x x x x

1,0

24 8 (2 ).

(2 )(2 ) 3

x x x x

x x x

0,5

24 ( 2) (2 ) 4

(2 )(2 )( 3) 3

x x x x x

x x x x

0,25

Vậy với 0, 2, 3x x x thì 24x

3A

x

. 0,25

b 1,0

Với 24

0, 3, 2 : 0 03

xx x x A

x

0,25

3 0x 0,25 3( )x TMDKXD 0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0

7 47 4

7 4

xx

x

0,5

11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD

0,25

Với x = 11 thì A = 121

2 0,25

Bài 3 5,0 a 2,5

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0

9(x 1)2 + (y 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5



Do : 2 2 2( 1) 0; ( 3) 0; ( 1) 0x y z 0,5

Nên : (*) x = 1; y = 3; z = 1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,1). 0,25

b 2,5

Từ : ayz+bxz+cxy

0 0a b c

x y z xyz 0,5

ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Ta có : 21 ( ) 1x y z x y z

a b c a b c 0,5

2 2 2

2 2 22( ) 1

x y z xy xz yz

a b c ab ac bc 0,5

2 2 2

2 2 22 1

x y z cxy bxz ayz

a b c abc

0,5

2 2 2

2 2 21( )

x y zdfcm

a b c 0,25

Bài 4 6,0

OF

E

K

H

C

AD

B

0,25

a 2,0 Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : ( )BEO DFO g c g 0,5

=> BE = DF 0,25

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0

Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,5

Chứng minh : ( )CBH CDK g g 1,0

. .CH CK

CH CD CK CBCB CD

0,5

b, 1,75 Chứng minh : AF ( )D AKC g g 0,25

AF

. A .AK

AD AK F ACAD AC

0,25

Chứng minh : ( )CFD AHC g g 0,25



CF AH

CD AC 0,25

Mà : CD = AB . .CF AH

AB AH CF ACAB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

0,25

ĐỀ THI SỐ 47

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + 4 = 25

b) 41004

1x

1986

21x

1990

17x

c) 4x – 12.2x + 32 = 0


1

y

1

x

1 .


xy

xz2y

xz

yz2x

yzA

222

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực

tâm. a) Tính tổng 'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: 4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI


b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )



2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )


0z

1

y

1

x

1 0xzyzxy0

xyz

xzyzxy




Do đó:)yz)(xz(

xy

)zy)(xy(

xz

)zx)(yx(

yzA

( 0,25điểm )




Ta có: 2kabcd

2m)3d)(5c)(3b)(1a(

2kabcd

2m1353abcd

(0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k = 4 (0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm)

a) 'AA

'HA

BC'.AA.2

1

BC'.HA.2

1

S

S

ABC

HBC ;

(0,25điểm)

với k, mN, 100mk31 (0,25điểm)

hoặc

hoặc



Tương tự: 'CC

'HC

S

S

ABC

HAB ; 'BB

'HB

S

S

ABC

HAC

(0,25điểm)

1S

S

S

S

S

S

'CC

'HC

'BB

'HB

'AA

'HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC


AI

IC

MA

CM;

BI

AI

NB

AN;

AC

AB

IC

BI

(0,5điểm )

AM.IC.BNCM.AN.BI

1BI

IC.

AC

AB

AI

IC.

BI

AI.

AC

AB

MA

CM.

NB

AN.

IC

BI


Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2

4'CC'BB'AA

)CABCAB(222

2

(0,25điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.

(0,5 i m ) (0,5 i m )

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D

B

A

CI

B’H

N

x

A’

C’

M

D



ĐỀ THI SỐ 48 Bµi 1: (6 ®iÓm) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0

b, 1 2 3

21 1

x

x x

c, |x - 4| + |x - 9| = 5 Bµi 2: (4 ®iÓm)

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 1 1

( 2)x x

x m xm m

víi m lµ h»ng sè.

Bµi 3: (3 ®iÓm) Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong çc ®êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®êng cao thø hai. Bµi 4: (3 ®iÓm) Mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc. Cïng lóc ®ã mét vßi níc kh¸c

ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê lîng níc ch¶y ra b»ng 4

5 lîng níc ch¶y vµo. Sau 5 giê

níc trong bÓ ®¹t tíi 1

8 dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã níc mµ chØ më vßi ch¶y

vµo th× bao l©u bÓ ®Çy? Bµi 5: (4 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC cã A 2B . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a2 = b2 + bc. ĐÁP ÁN

Bµi S¬ lîc lêi gi¶i §iÓm Bµi 1

(6 ®iÓm)

a, §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. Gi¶i ®îc x = -5 hoÆc x = 2 b, §KX§: x 1.

Víi x 1 ta cã 1 3 2

2 1 2( 1) 3 2 4 4 11 1

xx x x x

x x

Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

c, NhËn xÐt |x - 4| =

x 4 víi x 4

4 x víi x < 4 vµ |x - 9| =

x 9 víi x 9

9 x víi x < 9

- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng 4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (kh«ng tháa m·n) - Víi 4 x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5 (lu«n ®óng) - Víi x 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (tháa m·n) VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ S = x | 4 x 9

1 1

0,5 1

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Bµi 2 (4

1 1 2( 2) ( 1)

x xx m x m x

m m m

(1)

1



®iÓm) - NÕu m < 1 vµ m 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1) 2

( 1)x

m m

- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) 2

( 1)x

m m

- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) 0x < 2 (lu«n ®óng víi mäi x). KÕt luËn:

- Víi m < 1 vµ m 0 th× tËp nghiÖm lµ S = 2

|( 1)

x xm m

- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.

- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S = 2

|( 1)

x xm m

- Víi m = 1 th× S = R

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,5 0,25

Bµi 3 (3

®iÓm)

- VÏ h×nh:

8cm

6cm

K

H

A B

D C

Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã mét ®êng cao dµi 5cm . V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ x¶y ra hai trêng hîp: AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20

3(cm)

AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15

4 (cm)

VËy ®êng cao thø hai cã ®é dµi lµ 20

3cm hoÆc

15

4 cm

0,5

1 1

0,5

Bµi 4 (3

®iÓm)

Gäi thêi gian vßi níc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0

Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®îc 1

x bÓ

1 giê vßi kh¸c ch¶y ra lîng níc b»ng 4

5x bÓ.

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh 1 4 1

.55 8x x

Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc x = 8 (TM§K x>0) VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê.

0,5

0,5

0,5 1

0,5

Bµi 5 (4

®iÓm)

- VÏ h×nh ®óng 0,5 0,25



a

c

b

c

C

BA

E

HÖ thøc a2 = b2 + bc <=> a2 = b (b + c) Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = c, suy ra CE = b + c.

Khi ®ã ABE E (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A) BAC ABE E (gãc ngoµi tam gi¸c) nªn A 2E .

Theo gi¶ thiÕt A 2B . VËy E ABC . Chøng minh ®îc BCE ACB (g.g)

suy ra 2BC CEBC AC.CE

AC BC

hay a2 = b (b + c)

0,25

0,5

0,5 1

0,25

0,25

ĐỀ THI SỐ 49

Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức

2 2

3x y x y y xA

xy y x xy x y

Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình

3 30

2 5 2 5

x x x

x x x x

Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên

3 23 11 8

5

x x xA

x

Baøi 4: ( 3 ñieåm )

Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng 3

4 số

học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến của mỗi khối?

Baøi 5: ( 4 ñieåm ) Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.

a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?

Baøi 6: ( 4 ñieåm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC BD, BD=15(m).



a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh 2BD = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE.

b/ Tính diện tích hình thang ABCD.

ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM

Baøi Ñaùp aùn Ñieåm 1

(3 đ)

2 2

3x y x y y xA

xy y x xy x y

* Điều kiện: 0; 0;x y x y

2 2

22 2

3 3

33

3

x y x y y x x y x y x yA

xy y x xy x y y x y x x y x y

x y x x y yx y x y

y x y x x y xy x y

x y x yx xy xy y

xy x y xy x y xy

1

1

1

2 (3 đ)

3 30

2 5 2 5

x x x

x x x x

* Tập xác định: 2; 5x x

2 2

2

3 3 3 30 0

2 5 2 52 5 2 5

3 5 2 3 0 3 15 2 3 0

02 10 0 2 5 0

5 0 5 TXÑ

x x x x x x

x x x xx x x x

x x x x x x x x x x

x TXÑx x x x

x x

Vaäy 0S

0,5

1

1

0,5

3 (3 ñ)

3 223 11 8 3

2 15 5

35 1; 3

5

* 5 1 6;4

* 5 3 8;2

2;4;6;8

x x xA x x

x x

A xx

x x

x x

x

1

1

0,5 0,5

4

(3 ñ)

Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0)

0,25



soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh)

Ta coù phöông trình:

3 60 3 3. 270 . 270

4 100 4 5

3 810 3. 15 3240 12 27 3240

4 5

120 ( )

x x x x

xx x x x

x Nhaän

Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120

= 150 hoïc sinh.

0,25

1

1

0,25

0,25

5

(4 ñ)

a/

1/ / ;

2 / / ;1

/ / ;2

MN DF MN DFMN PQ MN PQ

PQ DF PQ DF

. Vaäy MNPQlaø hình

bình haønh.

b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ

Maø

2

2

ACMP AF

AC ABAB

NQ AD

Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät.

** Hoaëc:

/ / ;

/ /

.

MN MQ

MN BC AE BC ñoàng thôøi EB EC

MQ AE

Neân tam giaùc ABC caân taïi A

c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ

1

4 2 2

BC AEMN MQ AE BC

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi.

1

0,5

1

0,5

1



** Hoaëc: MP NQ AC AB

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A

6

(4 ñ

a/ Keû BH DC

2 2 2 2 2 215 12 9

9

DH BD BH

DH m

Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB

1BHD DBE v

BDE chungBDH EDB

2

25BD DH BD

DE mDE BD DH

b/

1

2

1 125 12 150

2 2

ABCDS AB DC BH

DE BH m

1

1

1

0,5

0,5

Documents

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8»ƒn tập đề thi HSG Toán 8 Gv: Nguyễn Văn Tú 2 Trường THCS Thanh Mỹ 3 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 . x y