TUYıN SINH Đ—I H¯C VØA LÀM VØA H¯C · trƯ˝ng Đ—i h¯c Đ˙ng thÁp khoa sƯ ph—m toÁn-tin bÀi gi…ng Ôn t−p gi…i tÍch tuyın sinh Đ—i h¯c vØa lÀm vØa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN

BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCHTUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC

ĐỒNG THÁP - 2014

MỤC LỤC

Lời nói đầu 3

1 Đạo hàm 41.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Tính đạo hàm bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số . . . . . 9

1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức . . . . . . . . . . . 10

2 Nguyên hàm và tích phân 122.1 Tính nguyên hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Tính nguyên hàm bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Tính tích phân xác định bằng quy tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Lí thuyết chuỗi 183.1 Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Đề thi 29

Tài liệu tham khảo 40

CHƯƠNG 1

ĐẠO HÀM

Trong chương này, chúng ta ôn tập lại một số dạng bài tập liên quan đến đạohàm.

1.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa

1.1.1 Định nghĩa (Đạo hàm). (1) Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên (a,b).

Với x0 ∈ (a,b), giá trị f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0được gọi là đạo hàm của f (x)

tại x0.

Nếu f (x) có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a,b) thì f (x) được gọi là có đạo hàm trên

(a,b).

(2) Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên [x0,b). Khi đó giá trị f ′(x+0 ) =

limx→x+0

f (x)− f (x0)

x− x0được gọi là đạo hàm bên phải của f (x) tại x0.

(3) Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên (a,x0]. Khi đó giá trị f ′(x−0 ) =

limx→x−0

f (x)− f (x0)

x− x0được gọi là đạo hàm bên trái của f (x) tại x0.

1.1.2 Định nghĩa (Đạo hàm cấp cao). Các khái niệm đạo hàm như trong định nghĩa

trên còn được gọi là đạo hàm cấp 1.

Khi đó, bằng quy nạp, ta gọi đạo hàm cấp 1 của đạo hàm cấp n−1 là đạo hàm

cấp n, nghĩa là

f (n)(x) = ( f (n−1))′(x).

1.1.3 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x2 tại x0 = 1.

4

5 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH

Giải. f ′(1) = limx→1

x2−1

x−1= lim

x→1(x+1) = 2. Vậy f ′(1) = 2.

1.1.4 Mệnh đề. Giả sử y = f (x) xác định trên (a,b) và x0 ∈ (a,b). Khi đó f (x) có

đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f (x) có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại x0

đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau.

1.1.5 Ví dụ. Cho hàm số

f (x) =

{x2 nếu x≥ 0

−x2 nếu x < 0.

Tìm đạo hàm của f (x) tại x0 = 0.

Giải. Ta có f ′(0+) = limx→0+

x2−0

x−0= lim

x→0+x = 0.

f ′(0−) = limx→0−

− x2−0

x−0= lim

x→0−(−x) = 0.

Vậy f ′(0+) = f ′(0−) = 0. Do đó f ′(0) = 0.

1.1.6 Ví dụ. Tính đạo hàm f ′(0) của hàm số

f (x) =

x2 sin1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

1.1.7 Ví dụ. Tính đạo hàm f ′(1) của hàm số

f (x) =

{x nếu x≤ 1

−x2 +2x nếu x > 1.

1.1.8 Ví dụ. Chứng tỏ hàm số f (x) = |x| 23 không có đạo hàm tại x = 0.

1.1.9 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = |x+1|3 tại x =−1.

1.2 Tính đạo hàm bằng quy tắc

1.2.1 Mệnh đề (Phép toán số học của đạo hàm). Giả sử f (x),g(x) có đạo hàm tại

x0. Khi đó f (x)±g(x), f (x)g(x),f (x)

g(x)với g(x) 6= 0 cũng có đạo hàm tại x0 và


1. ( f ±g)′(x0) = f ′(x0)±g′(x0).

2. ( f g)′(x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0).

3.( f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)

g2(x0).

Thông thường, chúng ta ít khi tính đạo hàm bằng định nghĩa mà thường tínhbằng các quy tắc. Ba mệnh đề tiếp theo đóng vai trò rất lớn trong việc tính đạohàm.

1.2.2 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm hợp). Giả sử u(x) có đạo hàm tại x0 và f (u) có

đạo hàm tại u0 = u(x0). Khi đó hàm số hợp f ◦u có đạo hàm tại x0 và ( f ◦u)′(x0) =

f ′(u0)u′(x0), viết gọn là

f ′x = f ′uu′x.

1.2.3 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử y = f (x) đơn điệu trên (a,b) và

f ′(x0) 6= 0. Khi đó hàm ngược x = ϕ ′(y) của y = f (x) có đạo hàm tại y0 = f (x0)

và

ϕ′(y0) =

1

f ′(x0).

1.2.4 Mệnh đề (Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản). 1. Hàm hằng có đạo hàm

trên R và c′ = 0.

2. Hàm luỹ thừa có đạo hàm trên (0,+∞) và (xα)′ = αxα−1.

3. Hàm số mũ có đạo hàm trên R và (ax)′ = ax lna,(ex)′ = ex.

4. Hàm số lôgarit có đạo hàm trên (0,+∞) và (loga x)′ =1

x lna,(lnx)′ =

1

x.

5. Hàm số lượng giác có đạo hàm trên miền xác định của nó và

(sinx)′ = cosx,(cosx)′ =−sinx,(tgx)′ =1

cos2 x,(cotgx)′ =−

1

sin2 x.

6. Hàm số lượng giác ngược arcsinx có đạo hàm trên (−1,1) và

(arcsinx)′ =1

√1− x2

.


Hàm số lượng giác ngược arccosx có đạo hàm trên (−1,1) và

(arccosx)′ =−1

√1− x2

.

Hàm số lượng giác ngược arctgx có đạo hàm trên R và

(arctgx)′ =1

1+ x2.

Hàm số lượng giác ngược arccotgx có đạo hàm trên R và

(arccotgx)′ =−1

1+ x2.

1.2.5 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số

f (x) =

x2 sin1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

1.2.6 Nhận xét. 1. Hàm số sơ cấp có đạo hàm (và liên tục) trên tập xác định của

nó.

2. Nếu hàm số f (x) được xác định trên D bởi công thức sơ cấp A(x) và A(x) có

đạo hàm (liên tục) tại điểm x0 ∈ (a,b)⊂ D thì f (x) có đạo hàm (liên tục) tại

x0.

1.2.7 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số

f (x) =

{x nếu x≤ 1

−x2 +2x nếu x > 1.

1.2.8 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = |x+1|3.

1.2.9 Ví dụ. Cho hàm số

f (x) =

{xe−

1x2 nếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

1. Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số.


2. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số.

1.2.10 Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số

f (x) =

xsin1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

1.2.11 Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số

f (x) =

x2 sin1

xnếu x 6= 0

0 nếu x = 0.

1.2.12 Ví dụ. Tính đạo hàm f (6)(x) của hàm số f (x) = sinx.

1.2.13 Ví dụ. Tính đạo hàm f (n)(x) của hàm số f (x) =1

x2−3x+2.

1.2.14 Ví dụ. Tính đạo hàm f (100)(x) của hàm số f (x) = x2 sinx.

1.2.15 Ví dụ. Tính đạo hàm f (n)(x) của hàm số f (x) =x

1− x.

1.3 Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm

1.3.1 Mệnh đề (Quy tắc L’hopistal). Nếu giới hạn limx→x0

f (x)

gxcó dạng

0

0hoặc

∞

∞và

limx→x0

f ′(x)

g′(x)= l thì lim

x→x0

f (x)

gx= l.

Chúng ta có thể thay x→ x0 bởi x→ ∞, x→ x+0 , x→ x−0 .

1.3.2 Ví dụ. Tính các giới hạn sau:

1. limx→0

sinx

x.

2. limx→0

ln(x+1)

x.

3. limx→0

ax−1

x.



1. limx→0

( 1

sin2 x−

1

x2

).

2. limx→1

x1

1−x .


1. limx→0

tanx− x

x− sinx.

2. limx→+∞

lnx

x.

3. limx→1

( arcsinx

x

) 1x2 .

1.4 Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của

hàm số

1.4.1 Mệnh đề (Fermat). Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 và tồn tại đạo hàm f ′(x0) thì

f ′(x0) = 0.

1.4.2 Mệnh đề (Rolle). Nếu f (x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f (a) =

f (b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho f ′(c) = 0.

1.4.3 Mệnh đề (Lagrange). Nếu f (x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) thì tồn

tại c ∈ (a,b) sao cho f ′(c) =f (b)− f (a)

b−a.

1.4.4 Mệnh đề (Cauchy). Nếu f (x),g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và

g′(x) 6= 0 trên (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao chof ′(c)

g′(c)=

f (b)− f (a)

g(b)−g(a).

1.4.5 Mệnh đề. 1. Nếu f ′(x)> 0 trên (a,b) thì f (x) đồng biến trên (a,b).

2. Nếu f ′(x)< 0 trên (a,b) thì f (x) nghịch biến trên (a,b).


1.4.6 Ví dụ. Chứng tỏ phương trình x3− 3x+ c = 0 không thể có 2 nghiệm phân

biệt trong (0,1).

1.4.7 Ví dụ. Chứng tỏ đa thức f (x) = xn+ px+q không thể có 2 nghiệm thực nếu

n chẵn và không thể có hơn 3 nghiệm thực nếu n lẻ.

1.4.8 Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. ex ≥ 1+ x với mọi x ∈ R.

2. x−x2

2< ln(1+ x)< x với mọi x > 0.

3. x−x3

3< sinx < x với mọi 0 < x <

π

2.

1.5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức

1.5.1 Mệnh đề (Công thức Taylor). Giả sử f (x) là một hàm liên tục trên [a,b] và

có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b), x0 ∈ (a,b). Khi đó với mọi x ∈ [a,b] ta có

f (x) =n

∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k +Rn(x)

trong đó Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+1)!(x− x0)

n+1 được gọi là phần dư, với c là một số nằm

giữa x0 và x, là một vô cùng bé so với (x− x0)n khi x−→ x0.

Nếu x0 = 0 thì ta có công thức Mac Laurin:

f (x) =n

∑k=0

f (k)(0)

k!xk +Rn(x)

trong đó Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+1)!xn+1.

1.5.2 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau:

1. f (x) =1

1+ x.


2. f (x) =√

1+ x.

3. f (x) =1

√1+ x

.

1.5.3 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau.

1. f (x) = ex.

2. f (x) = sinx.

3. f (x) = cosx.

4. f (x) = (1+ x)α .

5. x = ln(1+ x).

6. f (x) = arctanx.

1.5.4 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau:

1.√

10001.

2. 3√

28.

3. 4√

17.

4. arctan0,51.

1.5.5 Ví dụ. Viết công thức Mac Laurin cho y =ln(1+ x)

1+ xđến số hạng x4.

1.5.6 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin cho hàm f (x) = ln(cosx) đến cấp 5. Từ đó hãy

tính (5)(0).

1.5.7 Ví dụ. Viết công thức Taylor cho y = (x3− x+ 1)3 đến số hạng bậc 12 của

(x−1).

1.5.8 Ví dụ. Viết công thức Taylor cho f (x) = 3√

x đến số hạng bậc 3 của (x−1).

CHƯƠNG 2

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

2.1 Tính nguyên hàm bằng định nghĩa

2.1.1 Định nghĩa (Nguyên hàm). Hàm F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm

f (x) trên X nếu F ′(x) = f (x) với mọi x ∈ X .

2.1.2 Ví dụ. Hàm F(x) = x2 là một nguyên hàm của f (x) = 2x trên R vì (x2)′ = 2x

với mọi x ∈ R.

2.1.3 Mệnh đề. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì mọi nguyên hàm của

f (x) đều có dạng F(x)+C với C là hằng số.

2.1.4 Định nghĩa (Tích phân bất định). Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên

(a,b) được gọi là tích phân bất định của f (x), kí hiệu là∫

f (x)dx.

2.1.5 Ví dụ. Tích phân bất định của f (x) = 2x trên R là∫

2xdx = x2 +C.

2.2 Tính nguyên hàm bằng quy tắc

Tiếp theo chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của nguyên hàm.

2.2.1 Mệnh đề. 1.(∫

f (x)dx)′

= f (x); d(∫

f (x)dx)= f (x)dx.

2.∫

dF(x) = F(x)+C.

3.∫( f (x)±g(x))dx =

∫f (x)dx±

∫g(x)dx.

12


4. Với α 6= 0,∫

α f (x)dx = α

∫f (x)dx.

2.2.2 Mệnh đề (Công thức đổi biến số). Nếu u = u(x) là một hàm khả vi thì∫f [u(x)]u′(x)dx =

∫f (u)du.

2.2.3 Mệnh đề (Công thức nguyên hàm từng phần). Nếu u,v là những hàm khả vi

thì ∫udv = uv−

∫vdu.

Tiếp theo là bảng nguyên hàm của một số thường gặp.

2.2.4 Mệnh đề. 1.∫

αdx = αx+C.

2.∫ dx

x= ln |x|+C.

3. Với p 6=−1,∫

xpdx =xp+1

p+1+C.

4.∫

axdx =ax

lna+C.

5.∫

exdx = ex +C.

6.∫

cosxdx = sinx+C.

7.∫

sinxdx =−cosx+C.

8.∫ dx

cos2 x= tgx+C.

9.∫ dx

sin2 x=−cotgx+C.

10.∫ dx√

1− x2= arcsinx+C.

11.∫ dx√

1+ x2= arctgx+C.

2.2.5 Ví dụ. Tính I =∫ xdx

x4 +2x2 +5.

2.2.6 Ví dụ. Tính I =∫ √

a2− x2dx.

2.2.7 Ví dụ. Tính I =∫

xsinxdx.


lnxdx.


ex sinxdx.

2.2.10 Ví dụ. Tính I =∫ dx

(x+1)(x2 +1).


2.3 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa

2.3.1 Định nghĩa (Tích phân xác định). Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a,b].

Xét phân hoạch P gồm các điểm chia x) = a < x1 < .. . < xn = b. Với mỗi i =

1, . . . ,n, chọn điểm tuỳ ý ci ∈ [xi−1,xi], lập tổng σP =n∑

i=1f (ci)(xi− xi−1) và đặt

|P|= max{xi− xi−1 : i = 1, . . . ,n}. Khi đó, giới hạn lim|P|→0

σP, nếu tồn tại, được gọi

là tích phân xác định của f (x) trên [a,b], kí hiệu là∫ b

af (x)dx. Như vậy

∫ b

af (x)dx = lim

|P|→0

n

∑i=1

f (ci)(xi− xi−1).

Khi a = b, ta định nghĩa∫ a

af (x)dx = 0.

Khia a > b, ta định nghĩa∫ b

af (x)dx =−

∫ a

bf (x)dx.

Nếu tồn tại tích phân∫ b

af (x)dx thì hàm f (x) được gọi là khả tích trên [a,b].

2.3.2 Mệnh đề (Điều kiện cần để hàm khả tích). Nếu hàm f (x) khả tích trên [a,b]

thì f (x) bị chặn trên [a,b].

2.3.3 Mệnh đề (Điều kiện đủ để hàm khả tích). Nếu hàm f (x) liên tục trên [a,b]

thì f (x) khả tích trên [a,b].

2.3.4 Ví dụ. Tính I =∫ b

acdx.

2.4 Tính tích phân xác định bằng quy tắc

2.4.1 Mệnh đề. Giả sử f (x),g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn K nào đó và

a,b,c ∈ K.

1.∫ b

a(α f (x)+βg(x))dx = α

∫ b

af (x)+β

∫ b

ag(x)dx.

2.∫ c

af (x)dx =

∫ b

af (x)dx+

∫ c

bf (x)dx.


3. Nếu f (x)≥ g(x) với mọi x ∈ [a,b] thì∫ b

af (x)dx≥

∫ b

ag(x)dx.

2.4.2 Mệnh đề. Nếu f (t) liên tục trên [a,b] và x ∈ [a,b] thì F(x) =∫ x

af (t)dt là

một nguyên hàm của f (x) trên [a,b].

2.4.3 Mệnh đề (Newton-Leibnitz). Nếu f (x) liên tục và F(x) là một nguyên hàm

của f (x) trên [a,b] thì∫ b

af (x)dx = F(b)−F(a).

2.4.4 Mệnh đề (Công thức đổi biến số). Giả sử f (x) liên tục trên [a,b] và x = ϕ(t)

là một hàm thoả mãn ϕ(t) khả vi liên tục trên [α,β ], ϕ(t)∈ [a,b] với mọi t ∈ [α,β ]

và ϕ(β ) = a, ϕ(β ) = b. Khi đó∫ b

af (x)dx =

∫β

α

f (ϕ(t))ϕ ′(t)dt.

2.4.5 Ví dụ. Tính tích phân∫ 2

0|x2− x|dx.

2.4.6 Ví dụ. Tính tích phân∫ e

1

x2 +1

xlnxdx.


1

√1+3lnx lnx

xdx.


1

x

1+√

x−1dx.


1x2 ln2 xdx.


1

x3 +1

xlnxdx.


1x 3√1− xdx.


1|x2−2x+m|dx với

1. m = 1.

2. m <−3.

2.4.13 Ví dụ. Tính tích phân∫ π

2

0cos4 2xdx.



0

x

(2x+1)3dx.

2.4.15 Ví dụ. Tính tích phân∫ π

2

0

sinx

cos2 x+3dx.

2.5 Ứng dụng của tích phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong lí thuyết cũng như thực tế. Trong mụcnày chúng tôi chỉ đề cập đến ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích.

2.5.1 Mệnh đề (Diện tích của hình phẳng). Giả sử f (x),g(x) liên tục trên [a,b].

Khi đó diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của f (x), g(x) trên

[a,b] và hai đường thẳng x = a, x = b là

S =∫ b

a| f (x)−g(x)|dx.

2.5.2 Mệnh đề (Thể tích của vật thể tròn xoay quanh Ox). Thể tích của vật thể tròn

xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f (x)

trên [a,b], trục Ox và hai đường thẳng x = a,x = b quanh trục Ox là

V = π

∫ b

af 2(x)dx.

2.5.3 Mệnh đề (Thể tích của vật thể tròn xoay quanh Oy). Thể tích của vật thể tròn

xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục x = g(y)

trên [c,d], trục Oy và hai đường thẳng y = c,y = d quanh trục Oy là

V = π

∫ d

cg2(y)dy.

2.5.4 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y= |x2−4x+3|và y = x+3.

2.5.5 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường xy = 1, xy = 2,

y = x, y = 3x với x,y > 0.

2.5.6 Ví dụ. Trên mặt phẳng Oxy cho D là miền giới hạn bởi parabol y = x2 và

đường thẳng y = x.


1. Tính diện tích của miền D.

2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay miền D quanh trục

Ox.

3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay miền D quanh trục Oy.

2.5.7 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = 2− x2,

y3 = x2.

2.5.8 Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y =√

x, x = 3, y = 0 quanh trục Ox.

2.5.9 Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = sin2 x, x = 3, y = 4 quanh

1. trục Ox.

2. đường thẳng x = 2.

2.5.10 Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được xác định bởi

x2−2x≤ y≤ 3,1≤ x≤ 3

quanh trục Oy.

CHƯƠNG 3

LÍ THUYẾT CHUỖI

3.1 Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa

Dạng bài tập này đòi hỏi người học phải nắm vững khái niệm tổng của chuỗi.

3.1.1 Định nghĩa (Chuỗi số). Giả sử {un}n là một dãy số. Khi đó tổng hình thức

u1 +u2 + . . .+un + . . . hay∞

∑n=1

un được gọi là một chuỗi số.

Với mọi n ∈ N, un được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi còn giá trị Sn =n∑

i=1ui = u1 + . . .+un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.

Nếu tồn tại limSn = S ∈ R thì chuỗi∞

∑n=1

un được gọi là hội tụ và ta viết

∞

∑n=1

un = S.

Giá trị S được gọi là tổng của chuỗi. Chuỗi không hội tụ được gọi là phân kì.

Chuỗi∞

∑i=n+1

ui được gọi là phần dư thứ n của chuỗi.

3.1.2 Ví dụ (Chuỗi cấp số nhân). Với q ∈ R, chuỗi∞

∑n=1

qn được gọi là chuỗi cấp số

nhân.

Tổng riêng thứ n của chuỗi cấp số nhân

Sn = q+ . . .+qn =

n nếu q = 1,

qqn−1

q−1nếu q 6= 1.

Chuỗi hội tụ nếu |q|< 1, phân kì nếu |q| ≥ 1. Hơn nữa, nếu nếu |q|< 1 thì∞

∑n=1

qn =

18


q

1−qvà nếu q≥ 1 thì

∞

∑n=1

qn =+∞.

3.1.3 Định nghĩa. Giả sử {un(x)}n là một dãy hàm xác định trên X .

(a) u1(x)+ u2(x)+ . . .+ un(x)+ . . . hay∞

∑n=1

un(x) được gọi là một chuỗi hàm

xác định trên X , ở đây, với mỗi x ∈ X ,∞

∑n=1

un(x) là một chuỗi số.

(b) Nếu tại x0 ∈ X , chuỗi số∞

∑n=1

un(x0) hội tụ thì chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) được gọi

là hội tụ tại x0; ngược lại, chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) được gọi là phân kì tại x0.

(c) Với mỗi n ∈N, hàm Sn(x) =n∑

i=1un(x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi

hàm∞

∑n=1

un(x). Với mỗi x ∈ X , giới hạn hữu hạn của dãy tổng riêng {Sn(x)}n (nếu

có) được gọi là tổng của chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) và ta viết

∞

∑n=1

un(x) = limSn(x).

(d) Nếu dãy hàm {Sn(x)}n hội tụ đều trên X thì chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) được gọi là

hội tụ đều trên X .

(e) Chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) được gọi là hội tụ tuyệt đối trên X nếu chuỗi∞

∑n=1|un(x)|

hội tụ trên X .

3.1.4 Ví dụ. Xét dãy hàm {xn}n với x ∈ R. Khi đó ta có chuỗi hàm∞

∑n=1

xn.

Tổng riêng thứ n: Sn(x) =n∑

i=1xn = x

1− xn

1− x.

Nếu |x| < 1 thì limSn(x) =x

1− x, do đó chuỗi hàm

∞

∑n=1

xn hội tụ và∞

∑n=1

xn =

x

1− x.

Nếu |x| ≥ 1 thì không tồn tại giới hạn hữu hạn limSn(x), do đó chuỗi hàm∞

∑n=1

xn

phân kì.

3.1.5 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi số∞

∑n=1

(√

n+2−2√

n+1+√

n).


3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi số

Để xét sự hội tụ của chuỗi số chúng ta có thể sử dụng hai cách.

Cách 1: Tính tổng của chuỗi số, nếu tổng là một số thực thì kết luận chuỗi sốhội tụ. Cách này trở về bài toán tính tổng của chuỗi số.

Cách 2: Xét chuỗi số đã cho thuộc loại nào (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗicó dấu bất kì, . . . ) rồi sử dụng những dấu hiệu phù hợp.

3.2.1 Mệnh đề. Chuỗi∞

∑n=1

un hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 sao cho

với mọi n≥ n0, với mọi p ∈ N ta có |un+1 + . . .+un+p|< ε .

3.2.2 Hệ quả (Điều kiện cần của chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi∞

∑n=1

un hội tụ thì limun =

0.

Một cách tương đương, nếu limun 6= 0 thì chuỗi∞

∑n=1

un phân kì.

3.2.3 Ví dụ. Xét chuỗi cấp số nhân, với |q| ≥ 1 ta có limqn 6= 0, suy ra chuỗi phân

kì.

3.2.4 Mệnh đề (Tính chất số học của chuỗi). Giả sử∞

∑n=1

un,∞

∑n=1

vn là hai chuỗi hội

tụ. Khi đó, với a,b ∈ R, chuỗi∞

∑n=1

(aun +bvn) là một chuỗi hội tụ và

∞

∑n=1

(aun +bvn) = a∞

∑n=1

un +b∞

∑n=1

vn.

3.2.5 Định nghĩa (Chuỗi số dương). Chuỗi số∞

∑n=1

un được gọi là chuỗi số dương

nếu un ≥ 0 với mọi n ∈ N.

3.2.6 Ví dụ. Chuỗi∞

∑n=1

2n là một chuỗi số dương.

3.2.7 Mệnh đề. Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn

trên (bị chặn).

3.2.8 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi số∞

∑n=1

1

n2 hội tụ.

Giải. Tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là

Sn =n

∑i=1

1

i2< 1+

1

1.2+

1

2.3+ . . .+

1

n(n+1)= 2−

1

n+1< 2.

Vậy chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ.


3.2.9 Mệnh đề (Dấu hiệu so sánh). Giả sử∞

∑n=1

an,∞

∑n=1

bn là hai chuỗi số dương. Khi

đó

(1) Nếu tồn tại c > 0 và n0 sao cho an ≤ cbn với mọi n≥ n0 thì chuỗi∞

∑n=1

bn hội tụ

kéo theo chuỗi∞

∑n=1

an hội tụ, chuỗi∞

∑n=1

an phân kì kéo theo chuỗi∞

∑n=1

bn phân kì.

Đặc biệt với c = 1 ta có an ≤ cbn trở thành an ≤ bn.

(2) Nếu liman

bn= k ∈ [0,+∞) thì chuỗi

∞

∑n=1

bn hội tụ kéo theo chuỗi∞

∑n=1

an hội tụ.

(3) Nếu liman

bn= k ∈ (0,+∞] thì chuỗi

∞

∑n=1

bn phân kì kéo theo chuỗi∞

∑n=1

an phân kì.

(4) Nếu liman

bn= k∈ (0,+∞) thì chuỗi

∞

∑n=1

bn và chuỗi∞

∑n=1

an cùng hội tụ hoặc phân

kì.

3.2.10 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi∞

∑n=1

ntgπ

2n+1.

Giải. Với x ∈ [0,π

4], ta có tgx≤ 2x. Do đó với mọi n ∈ N ta có

ntgπ

2n+1 ≤ n2π

2n+1 = πn

2n.

Ta có limn2n

1n2

= limn3

2n = 0 và chuỗi∞

∑n=1

1

n2 hội tụ nên chuỗi∞

∑n=1

n

2n hội tụ. Vậy

chuỗi∞

∑n=1

πn

2n hội tụ, suy ra chuỗi đã cho hội tụ.

3.2.11 Mệnh đề (Dấu hiệu Cauchy). Giả sử∞

∑n=1

an là chuỗi số dương và tồn tại

lim n√

an =C. Khi đó

(1) Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ.

(2) Nếu C > 1 thì chuỗi phân kì.

(3) Nếu C = 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi.



∑n=1

(2n−1

3n−2

)n.

Giải. Vì limn

√(2n−1

3n−2

)n=

2

3< 1 nên chuỗi đã cho hội tụ.

3.2.13 Mệnh đề (Dấu hiệu D’lambert). Giả sử∞

∑n=1

an là chuỗi số dương và tồn tại

liman+1

an= D. Khi đó

(1) Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ.

(2) Nếu D > 1 thì chuỗi phân kì.

(3) Nếu D = 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi.

3.2.14 Mệnh đề (Dấu hiệu tích phân). Giả sử f (x) là một hàm dương và giảm trên

[1,+∞). Khi đó chuỗi+∞

∑n=1

f (n) và tích phân suy rộng∫ +∞

1f (x)dx cùng hội tụ hoặc

phân kì.

3.2.15 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số+∞

∑n=1

1

n lnn.

Giải. Xét f (x) =1

x lnxtrên [1,+∞), ta có f (x) dương, giảm và

∫ +∞

1f (x)dx = lim

b→+∞ln(lnx)

∣∣∣b1=+∞.

Vậy chuỗi đã cho phân kì.

3.2.16 Định nghĩa (Chuỗi đan dấu). Chuỗi∞

∑n=1

(−1)nun được gọi là chuỗi đan dấu.

3.2.17 Ví dụ. Chuỗi∞

∑n=1

(−1)n là chuỗi đan dấu.

3.2.18 Mệnh đề (Dấu hiệu Leibnitz). Giả sử∞

∑n=1

(−1)nan là chuỗi đan dấu và {an}n

là dãy số dương giảm về 0. Khi đó chuỗi∞

∑n=1

(−1)nan hội tụ.


∑n=1

(−1)n

n.


Giải. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu và {1

n}n là dãy số dương giảm về 0. Vậy chuỗi

đã cho là chuỗi hội tụ.

3.2.20 Định nghĩa (Chuỗi hội tụ tuyệt đối). Chuỗi∞

∑n=1

an được gọi là hội tụ tuyệt

đối nếu chuỗi∞

∑n=1|an| hội tụ.

3.2.21 Mệnh đề. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là một chuỗi hội tụ.


∑n=1

cosn

n2 .

Giải. Ta có∣∣ cosn

n2

∣∣ ≤ 1

n2 với mọi n ∈ N. Kết hợp với chuỗi∞

∑n=1

1

n2 hội tụ nên ta có

chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

3.2.23 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số∞

∑n=1

an với an như sau.

1. an =2n2

n2 +n+1.

2. an =2nn!

nn .

3. an =(n!)2

(2n)!.

4. an = ln(1+ tg1

n2).

5. an =n√

n

n2 .

6. an =1

n2

(n+1

n

)2.

3.2.24 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.

1.∞

∑n=1

1

n ln(1+n).

2.∞

∑n=1

(−1)n

3√

n+(−1)n.

3.∞

∑n=1

1

n lnn.

4.∞

∑n=1

1

lnn!.

5.∞

∑n=1

enn1

nn .

6.∞

∑n=1

(1+

1

n

)n2

e−n.

3.3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm chúng ta có thể sử dụng hai cách.

Cách 1: Tính tổng của chuỗi hàm, nếu trên miền X tổng là một hàm số thì kếtluận chuỗi hàm hội tụ trên X . Cách này trở về bài toán tính tổng của chuỗi hàm.

Cách 2: Xét chuỗi hàm đã cho thuộc loại nào (chuỗi luỹ thừa, . . . ) rồi sử dụngnhững dấu hiệu phù hợp.


Trong trường hợp chuỗi luỹ thừa thì tìm bán kính hội tụ R rồi xét thêm sự hội tụcủa chuỗi tại ±R.

3.3.1 Mệnh đề (Weierstrass). Nếu |un(x)| ≤ cn với mọi n ∈ N, x ∈ X và chuỗi số∞

∑n=1

cn hội tụ thì chuỗi hàm∞

∑n=1

un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X .

3.3.2 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm∞

∑n=1

sinnx

n3 hội tụ tuyệt đối và đều trên R.

Giải. Ta có∣∣∣ sinnx

n3

∣∣∣ ≤ 1

n3 với mọi x ∈ R và n ∈ N. Vì chuỗi số∞

∑n=1

1

n3 hội tụ nên

chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều.

3.3.3 Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng∞

∑n=0

an(x− x0)n,

với an là hằng số với mọi n = 0,1,2, . . ., x0 là hằng số và x ∈ X .

Khi x0 = 0 thì chuỗi luỹ thừa có dạng∞

∑n=0

anxn.

Khi x0 6= 0, nếu đặt X = x− x0 thì chuỗi luỹ thừa∞

∑n=0

an(x− x0)n trở thành

∞

∑n=0

anXn.

Chúng ta có thể thay n = 0 trong∞

∑n=0

anxn bởi n = n0 với n0 nào đó thuộc Z.

3.3.4 Mệnh đề (Abel). Nếu chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn hội tụ tại x0 6= 0 thì nó hội tụ

tuyệt đối tại x mà |x|< |x0|.

3.3.5 Định nghĩa. Giá trị R = sup{|x| :∞

∑n=0

anxn hội tụ } được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn.

3.3.6 Nhận xét. Giả sử R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn. Khi đó

1. R là giá trị thoả mãn chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn hội tụ với mọi |x|< R và phân kì

với mọi |x|> R.

2. Nếu R = 0 thì chuỗi hội tụ tại duy nhất x = 0.


3. Nếu R =+∞ thì chuỗi hội tụ tại mọi x ∈ R.

Như vậy để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta có thể đi tìm bán kínhhội tụ của nó.

3.3.7 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn thoả mãn lim|an+1||an|

= r hoặc

lim n√|an|= r. Khi đó bán kính hội tụ

R =

1

rnếu r 6= 0,

0 nếu r =+∞,

+∞ nếu r = 0.

Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi hàm có nghĩa là tìm miền hội tụ của chuỗi hàmđó. Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa chúng ta đi tìm bán kính hội tụ R và xétsự hội tụ tại hai giá trị cụ thể x =±R nếu R ∈ (0,+∞).

3.3.8 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa

1.∞

∑n=0

xn

n!.

2.∞

∑n=0

nnxn.

3.∞

∑n=1

(x+2)n

n3n .

4.∞

∑n=1

xn

n.

Giải. (1). Ta có∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = 1

n+1→ 0 khi n→ ∞. Do đó bán kính hội tụ của chuỗi

đã cho là R =+∞. Vậy chuỗi hội tụ trên R.

(2). Ta có lim n√|an| = limn = +∞ nên R = 0. Vậy chuỗi lũy thừa hội tụ tại

điểm duy nhất x = 0.

(3). Đặt X = x+ 2 ta có chuỗi∞

∑n=1

Xn

n3n. Vì lim|an+1||an|

= limn

3(n+1)=

1

3. Vậy

bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa∞

∑n=1

Xn

n3n là R = 3.

Tại X = 3, ta có chuỗi∞

∑n=1

1

nphân kì.

Tại X =−3 ta có chuỗi∞

∑n=1

(−1)n

nhội tụ.


Vậy miền hội tụ là X ∈ [−3,3) hay x ∈ [−5,1).

3.3.9 Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau.

1.∞

∑n=1

xn

np với p ∈ R.

2.∞

∑n=1

(n!)2

(2n!)2xn.

3.∞

∑n=1

1

2n+1

(1− x

1+ x

)n.

4.∞

∑n=1

xn

n2.

5.∞

∑n=1

(1+

1

n

)n2

xn.

6.∞

∑n=1

3n +(−2)n

n(x+1)n.

3.4 Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm

Khi∞

∑n=1

un(x) hội tụ trên X , ta có hàm một biến số u(x) =∞

∑n=1

un(x) xác định

trên X . Vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính liên tục, khả vi và khả tích của u(x) trên X .

Cách 1. Tính tổng u(x) cụ thể của chuỗi hàm∞

∑n=0

un(x) đã cho và xét trực tiếp

tính chất của u(x). Cách này dẫn đến bài toán tính tổng của chuỗi hàm.

Cách 2. Sử dụng dấu hiệu tương ứng với tính chất cần xét.

3.4.1 Mệnh đề (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm). Giả sử un(x) liên tục trên X

với mọi n ∈ N,∞

∑n−1

un(x) hội tụ đều và∞

∑n=1

un(x) = u(x) trên X . Khi đó u(x) liên tục

trên X .

3.4.2 Mệnh đề (Tính khả tích của tổng chuỗi hàm). Giả sử un(x) liên tục trên [a,b]

với mọi n ∈ N,∞

∑n−1

un(x) hội tụ đều và∞

∑n=1

un(x) = u(x) trên [a,b]. Khi đó u(x) khả

tích trên [a,b] và∞

∑n=1

∫ b

aun(x)dx =

∫ b

a

∞

∑n−1

un(x)dx =∫ b

au(x)dx.

3.4.3 Mệnh đề (Tính khả vi của tổng chuỗi hàm). Giả sử u′n(x) liên tục trên [a,b]

với mọi n ∈ N, chuỗi∞

∑n=1

un(x) hội tụ,∞

∑n=1

u′n(x) hội tụ đều và∞

∑n=1

un(x) = u(x) trên

[a,b]. Khi đó u(x) khả vi trên [a,b] và( ∞

∑n=1

un(x))′

= u′(x) =∞

∑n=1

u′n(x).


Những tính chất này được cụ thể vào chuỗi lũy thừa như sau.

3.4.4 Mệnh đề. Nếu chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn có bán kính hội tụ R thì chuỗi hội tụ

tuyệt đối và đều trên [−r,r] với mọi 0 < r < R.

3.4.5 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa∞

∑n=0

anxn có bán kính hội tụ là R. Khi đó

1. Hàm u(x) =∞

∑n=0

un(x) liên tục trên (−R,R).

2. Với mọi x ∈ (−R,R) ta có∫ x

0u(t)dt =

∞

∑n=0

∫ x

0antndt =

∞

∑n=0

an

n+1xn+1.

3. Với mọi x ∈ (−R,R) ta có u′(x) =∞

∑n=0

nanxn−1.

3.4.6 Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa u(x) =∞

∑n=0

anxn có bán kính hội tụ R ∈

(0,+∞). Khi đó

1. Nếu chuỗi số∞

∑n=0

anRn hội tụ thì limx→R−

u(x) =∞

∑n=0

anRn.

2. Nếu chuỗi số∞

∑n=0

an(−R)n hội tụ thì limx→−R+

u(x) =∞

∑n=0

an(−R)n.

3.4.7 Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm∞

∑n=1

sinnx

n3 liên tục trên R.

Giải. Ta có∣∣∣ sinnx

n3

∣∣∣ ≤ 1

n3 với mọi x ∈ R và n ∈ N. Vì chuỗi số∞

∑n=1

1

n3 hội tụ nên

chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều.

Mặt khác, un(x) =sinnx

n3 liên tục trên R nên chuỗi hàm đã cho liên tục trên R.

3.4.8 Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm∞

∑n=1

(−1)n−1(x−2)n

3n.

3.4.9 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi luỹ thừa∞

∑n=1

n(n+1)xn−2.

3.4.10 Ví dụ. Cho chuỗi hàm∞

∑n=1

(−1)n

3n(2x−1)n.


(a) Tìm miền hội tụ của chuỗi đã cho.

(b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ của nó.

3.4.11 Ví dụ. Tính tổng của chuỗi hàm∞

∑n=1

n(n+1)xn−2 trong miền hội tụ của nó.

3.4.12 Ví dụ. Cho chuỗi hàm∞

∑n=1

1

2n(x+2)n.

(a) Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi đã cho.

(b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ.


∑n=1

(2n +3n)xn.


∑n=1

(−1)nn(x−1

x+1)n.

CHƯƠNG 4

ĐỀ THI

Trong chương này chúng tôi trình bày một số đề thi để các học viên tham khảo.

TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008ĐỀ SỐ 1 Môn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f ′(x) của hàm số f (x) =

x2008 sin1

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.

2. Tìm đạo hàm f (2008)(x) của hàm số f (x) =2x+3

x2 +3x+2với x 6=−1,x 6=−2.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng ex ≥ x+1 với mọi x ∈ R.

2. Áp dụng công thức f (x)' f (x0)+ f ′(x0)∆x tính gần đúng√

101.

Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phân I =∫ π

2

0

sinxcosx

sin2 x+2dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi elipx2

a2+y2

b2 = 1 với a,b > 0.

Câu 4. (2 điểm)

29


1. Tính tổng∞

∑n=1

2−n.

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm∞

∑n=1

xn

n2 +1.

Câu 5. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng 0≤∫ 1

0x2008ex2

dx≤ e.

2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x4 +1 tại x = 1.

- - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 2008ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (2 điểm)

1. Tìm đạo hàm f ′(x) của hàm số f (x) = |x−2008|.


x2 +4x+3với x 6=−1,x 6=−3.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng x≥ sinx với mọi x≥ 0.

2. Áp dụng công thức f (x)' f (x0)+ f ′(x0)∆x tính gần đúng√

99.

Câu 3. (2 điểm)


2

0

sinx

cosx+2dx.

2. Tính thể tích của của vật thể tròn xoay khi quay elipx2

a2 +y2

b2 = 1 với a,b > 0

quanh trục Ox.

Câu 4. (2 điểm)


1. Tính tổng∞

∑n=1

3−n.


∑n=1

xn

n+2.

Câu 5. (2 điểm)


0x2008 sinx2dx≤ 1.

2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x3 +1 tại x = 2.

Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2010

Môn thi: Giải tích

Đề số 1

Câu 1. (2 điểm)


x2010 cos1

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.

2. Tìm đạo hàm f (2010)(x) của hàm số f (x) =1

x2 +3x+2với x 6=−1,x 6=−2.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng ex ≥ ex với mọi x≥ 1.

2. Tính giới hạn limx→0

tgx− x

sinx− x.

Câu 3. (2 điểm)

1. Tính tích phân I =∫ ln2

0

√ex−1dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = x2 và đường

thẳng x+ y = 2.

Câu 4. (2 điểm)

1. Xét sự hội tụ của chuỗi số∞

∑n=1

2010n

2010n .



∑n=1

xn

n2010 +1.

Câu 5. (2 điểm) nguyên hàm


0x2010 cos

πx

2dx≤ 1.

2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x4 + x3 + x2 +1 tại x0 = 1.

Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2010

Môn thi: Giải tích

Đề số 2

Câu 1. (2 điểm)


{x2010 nếu x≥ 0,

−x2010 nếu x < 0.

2. Tìm đạo hàm f (2010)(x) của hàm số f (x) = lnx với x > 0.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng sinx≤ x với mọi x≥ 0.

2. Tính giới hạn limx→+∞

x2

2x.

Câu 3. (2 điểm)


2

0(x+2010)cosxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol y = x2 và y =

2− x2.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

n

(2n)!.


∑n=1

xn

n2010n.


Câu 5. (2 điểm)


0x2010 sinxdx≤ 1.

2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x4− x3 + x2−1 tại x0 = 1.

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2011ĐỀ SỐ 1 Môn thi: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (2 điểm)


2011xcos2011

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.

2. Tìm đạo hàm f (2011)(x) của hàm số f (x) =x

1+ xvới x 6=−1.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng lnx < x+1 với mọi x≥ 1.

2. Tính giới hạn limx→0

2011x−1

sinx.

Câu 3. (2 điểm)


2

0

sinx

cos2 x+3dx.

2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi các

đường y =√

x, y = 0 và x = 2011 quay quanh trục Ox.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

cos2011n

n2011 .


∑n=1

xn

n2011n.

Câu 5. (2 điểm)


0x2011ex2011

dx≤ e.

2. Biểu diễn hàm số f (x) = x4−x3+x2−1 dưới dạng tổng của các lũy thừa của

(x−2).

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2011ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích


Câu 1. (2 điểm)


{x2011 nếu x≥ 0,

−x2011 nếu x < 0.


Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng sinx≤ x với mọi x≥ 0.


x2

2011x.

Câu 3. (2 điểm)


2

0(x+2011)sinxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = x2 và y =

8− x2.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

sin2011n

2011n2 .


∑n=1

xn

2011n +1.

Câu 5. (2 điểm)


0x2011 cosxdx≤ 1.

2. Biểu diễn hàm số f (x) = x4 + x3 + x2− 1 dưới dạng tổng các lũy thừa của

(x−1).

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012ĐỀ SỐ 1 Môn thi: Giải tích


Câu 1. (2 điểm)


x.cos2012

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.

2. Tìm đạo hàm f (2012)(x) của hàm số f (x) = ln(x+2012) với x >−2012.

Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng lnx≤ x−1 với mọi x > 0.


2012x

2012x .

Câu 3. (2 điểm)


2

0

cosx

sinx+3dx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x2 và y−3x+

2 = 0.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

sinn

n2012.


∑n=1

xn

n+2012.

Câu 5. (2 điểm)


0x2012 sinx2012dx≤ 1.


2. Biểu diễn hàm số f (x) = x5− x3 + 1 dưới dạng tổng của các lũy thừa của

(x−1).

———— Hết ————Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 2012ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích


Câu 1. (2 điểm)


{x2012 nếu x≥ 0,

−x2012 nếu x < 0.


Câu 2. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng ex ≥ 1+ x với mọi x ∈ R.


x2

2012x.

Câu 3. (2 điểm)


2

0(x+2012)cosxdx.

2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = x2 và y−5x+

6 = 0.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

cos(2012n)

2012n3 .


∑n=1

xn

2012n +3.

Câu 5. (2 điểm)


0x2012 cos(2012x)dx≤ 1.

2. Biểu diễn hàm số f (x) = x5+x3−1 dưới dạng tổng các lũy thừa của (x−1).

———— Hết ————

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2013

ĐỀ SỐ 1 Môn thi: Giải tích


Câu 1. (2 điểm)


2014

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.


x2 +5x+4với x 6=−1,x 6=−4.

Câu 2. (2 điểm)



ln(2013+ x)

2013x.

Câu 3. (2 điểm)


2

0(x+2013).cosxdx.

2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi

y = x2, x = 1, y = 0 quanh trục Ox.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

(3n−1

4n+2

)n.


∑n=1

xn

2013n +1.

Câu 5. (2 điểm)


1

cos2 x

x2 dx≤ 1.

2. Áp dụng công thức f (x)' f (x0)+ f ′(x0)(x− x0) tính gần đúng√

10002.

———— Hết ————


TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2013

ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích


Câu 1. (2 điểm)


2013

xnếu x 6= 0,

0 nếu x = 0.


x2 +5x+4với x 6=−1,x 6=−4.

Câu 2. (2 điểm)



ln(2013+ x)

2013x.

Câu 3. (2 điểm)


2

0(x+2013).cosxdx.

2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi

y = x2, x = 1, y = 0 quanh trục Ox.

Câu 4. (2 điểm)


∑n=1

(3n−1

4n+2

)n.



∑n=1

xn

2013n +1.

Câu 5. (2 điểm)


1

cos2 x

x2 dx≤ 1.

2. Áp dụng công thức f (x)' f (x0)+ f ′(x0)(x− x0) tính gần đúng√

10002.

———— Hết ————


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn và Trần Đình Thanh

Giải tích toán học, NXB Giáo dục, 2007.

[2] Nguyễn Dương Hoàng, Đề cương ôn tập giải tích đại học hóa toán, Khoa Toán

học, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, 2006.

40

Documents

TUYıN SINH Đ—I H¯C VØA LÀM VØA H¯C · trƯ˝ng Đ—i h¯c Đ˙ng thÁp khoa sƯ ph—m toÁn-tin bÀi gi…ng Ôn t−p gi…i tÍch tuyın sinh Đ—i h¯c vØa lÀm vØa