Embed Size (px)
Citation preview
1
Udhëzues për mësuesinpër tekstin shkollor
“Matematika 12”
Botime shkollore Albas
2
Shënim. Ky Udhëzues do të plotësohet me modele mësimi për çdo temë mësimore;për projekte dhe veprimtari praktike.
Këtë material mund ta shkarkoni falas nga faqja jonë e internetit: www.albas-shb.com.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Isak Njuton (1642 – 1727) nga Anglia dhe Gotfrid Uilhelm Leibnic (1646 – 1716) nga Gjermania, njëkohësisht dhe pavarësisht nga njëri-tjetri, zhvilluan këtë matematikë të re të quajtur analizë. Fillimisht, analiza u përdor (dhe përdoret) në shkencën e fi zikës, por tani ajo është një mjet i dobishëm për zgjidhjen e mjaft problemave dhe në shkenca të tjera.
Tri problemet bazë të analizës1. Gjetja e ekuacionit të tangjentes së vijës y = f(x) në pikën M(xGjetja e ekuacionit të tangjentes së vijës y = f(x) në pikën M(xGjetja e ekuacionit të tangjentes 1; y1).
0
y
x
(x(x(x1, y1)
y = f(x)
0
y
x
y = f(x)
bba
HYRJE
Nga se ndryshojnë dy disiplinat e matematikës të quajtura “algjebër” dhe “lgjebër” dhe “lgjebër analizë”?Dy fjalët “statike” dhe “dinamike” e përshkruajnë më së miri ndryshimin ndërmjet tyre. Në algjebër, ne zgjidhin ekuacione për një vlerë të veçantë të ndryshores – një situatë statike. Në analizë interesohemi se si ndryshimi i një variabëli (ndryshoreje) ndikon te një tjetër ndryshore – një situatë dinamike.
3. Shpejtësia e çastit e rënies së një objekti
2. Gjetja e sipërfaqes e kufi zuar nga vija y = g(x); x = a; x = b dhe y = 0 (boshti x’x).
Sado të ndryshme që të duken, këto problema janë matematikisht të lidhura. Zgjidhjet e këtyre problemave dhe zbulimi i lidhjes mes tyre krijuan një matematikë të re: analizën matematike.
Bazë për studimin e analizës është kuptimi i limitit të funksionit i trajtuar në klasën XI.
12
1.1 Limitet e njëanshme të funksionit në një pikë
Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi:1. a. të përshkruajë kuptimin për limitin e funksionit në një pikë të fundme, për limitin e majtë, limitin e djathtë; b. të gjejë lim ( ); lim ( ); lim ( )f x f x f x
x ax a x a
→→ + → −
nga grafi ku
2. - të gjejë limitet e njëanshme lim ( ); lim ( ),f x f xx a x a→ + → −
nëse: a. f(x) është polinomi;b. f(x) është thyesë racionale a E ax b
cx d∉ = +
+, y ;
c. f xl x x am x
( )( )
( )=
>≤
x a
është funksion pjesor.
Udhëzime për zhvillimin e temësNë këtë kapitull do të përdoret kuptimi i limitit të funksionit për të përshkruar një veti të rëndësishme të shumë funksioneve (siç është vazhdueshmëria).Ndaj del e domosdoshme që ora e mësimit të fi llojë me një përsëritje (apo riaktivizim) i njohurive të trajtuara në klasën e 11 mbi limitin e funksionit (pa kaluar në përkufi zime të sakta).
Duhet të vihet në dukje kuptimi i limitit të funksionit na ndihmon të përshkruajmë sjelljen e f(x), ku vlerat e x-it janë afër (por jo të barabarta) me një vlerë të caktuar a,në të dyja anët e a-së. U jepet nxënësve të punojnë ushtrimin 1 e të diskutojnë së bashku.
1. Shqyrtoni grafi kun e funksionit.
2. Si gjendet limiti i një funksioni elementar në një pikë x = a, nëse: a. a ∈ E; b. a ∉ E?
lim( ); lim ; lim ;x x x
x xx x→ → →
− +−
−
2
2
3 25 6 4
24
2
f lg
fg
→ ≠→
⇒ → ∞0
0
3. Skiconi grafi kun e funksionit dhe përdorni grafi kun për të gjetur limitet e kërkuara. (Ndihmon për trajtimin e njohurive të reja).
I. y = x + 1; x > 0 II. yxx
x
=<=
2 02 0
III. yxx
=
a f x f xx x
x
)lim ( ) lim ( )→ →
>2 0
0
b)
lim ( ) lim ( )x x
x
f x f x→ →
<
= =2 0
0
a f x f xx x
) lim ( ) lim ( ) b) → →2 0
0
y
x-3 -1
2211
Konceptet e trajtuara:- limiti i funksionit në një pikë të fundme, - limiti i djathtë,- limiti i majtë, - grafi ku i funksionit,- funksione elementare, - funksione joelementare.
Vetitë
kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i ekzistencës së limitit të funksionit në një pikë
a) Tregoni pikat ku funksioni nuk është i përcaktuar. Cila është bashkësia e përcaktimit E?
b) Gjykoni për lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( )f x f x f x f xx x x x→− →− → →2 1 1 2
.
Kreu I - VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT
y = x + 1; x > 0
1
2
1
002
-1
0
y
x
13
Konceptet e trajtuara:trajtuara:- limiti i funksionit, - limite të njëanshme, - funksion i vazhdueshëm në një pikë, - funksion i vazhdueshëm në një interval (segment), - pikë këputjeje, - shtesë e funksionit Δx (Δy) në një pikë, - shtesë e ndryshores Δx.
Vetitëfunksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësinë e tyre të përcaktimit.
Diskutohen rastet I, II dhe kalohet në shtjellimin e njohurive të reja duke nxjerrë gradualisht përfundimet. Pas diskutimit të rastit III, formohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i ekzistencës së limitit të funksionit në x = a.
1. lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x l f x f x l→ → + → −
= → = = (është kushti i nevojshëm).
2. lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x f x l f x l→ + → − →
= = ⇒ = (është kushti i mjaftueshëm).
Shembujt 1, 2 dhe 4 duhen punuar patjetër, pasi ato përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit.
Ushtrime plotësueseI. Në ushtrimet 1 - 4 gjeni limitet e funksioneve në pikat e kërkuara, nëse ato ekzistojnë (x = 1; x = 2; x = 3). Skiconi për çdo rast grafi kun.
1123 5
. ( )f xx
=≤≤≤ ≤
-1 x < 1 1 x < 3 3
2. -1 x < 1
x 1 x < 3 3
f xx
( ) =≤≤≤ <
1
3 5aa f x f x f x
f x
x x x) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
. (
b c
→ → →1 2 3
3 )) ( )=≤
≥
=2 x 1x -1 < x < 11
4. -x -
2
xf x
1
1 x 11 - x -1 < x < 1x - 1
2
≤ −
≥
x 1
II. Për ç’vlerë të a-së ekziston lim f(x) në pikën e kërkuar?
1. ( ) 2x + 3 x 1a - 2x x < 1
për x = 1 2
f x =≥
2.
x4
x përf x x
x a
a( ) =
< <
− ≥
1 0
1 x = a
1.2 Funksioni i vazhdueshëm në një pikë
Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi:1. - të përcaktojë nëse një funksion është i vazhdueshëm në një pikë të dhënë x = a, nëse ai jepet: a) grafi kisht, b) analitikisht (me formulë) në situata të thjeshta, duke u mbështetur në përkufi zimin 1 të vazhdueshmërisë. 2. - të studiojë vazhdueshmërinë e funksioneve të trajtës:
f xg x x al x
( )( )
( )=
<≥
x a
në x = a.
3. - të gjejë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion elementar i dhënë.
Udhëzime për zhvillimin e temësMendojmë që trajtimi i kësaj teme të fi llojë me diskutimin e dy shembujve, për të bërë të natyrshme futjen e kuptimit të ri.
Shembull 1.Në tabelë jepet ndryshimi i temperaturës për çdo orë nga mesnata në mesditë.
Ora 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Temperaturat(në gradë) 10o 9o 6o 5o 4o 5o 8o 10o 12o 18o 22o 25o 28o
14
Këto të dhëna mund të paraqiten grafi kisht me anë të pikave. Meqenëse ndryshimi nga një temperaturë në tjetrën ndodh gradualisht, pikat bashkohen me një vijë të lakuar si në fi gurë. Vija mund të vizatohet në vijim, pra, pa e shkëputur lapsin nga letra.
Themi se kjo është një vijë e vazhduar (kurbë). Shumica e paraqitjeve grafi ke të dukurive natyrore janë si më sipër, ndërsa shumë paraqitje grafi ke në biznese, ekonomi etj. nuk janë të tilla.
Shembull 2. Grafi ku i mëposhtëm ilustron varësinë e taksës që duhet të paguash, nga pesha e valixhes në një udhëtim.
2. Përkufi zimi. Për të shkuar në mënyrë të natyrshme te përkufi zimi i vazhdueshmërisë së funksionit, u jepen nxënësve si punë përgatitore ushtrimet e mëposhtme.
1. Jepen funksionet:
a y xx
yx
yx
) ) ) b c x 0
= = =
≠2 212
ç x < 0
1
xy
xx=
=≥
0 0
2
) d y x x R) ;= + ∈2 1
a. Skiconi grafi kët.
b. Gjeni f(0) (nëse ekziston), lim ( )x
f x→∞
dhe krahasojini.
Pas diskutimit të këtij ushtrimi, duke e parë si të veçantë rastin e fundit jepet përkufi zimi i vazhdueshmërisë f në një pikë x = a.f në një pikë x = a.fDuke shtjelluar përkufi zimin dhe duke vënë në dukje se përkufi zimet japin kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme, theksohen hapat që ndiqen për të studiuar vazhdueshmërinë.
Të trajtohen në fi llim shembulli grafi k dhe pastaj të dhënat me formulë.Përkufi zimi 2 i vazhdueshmërisë të jepet duke ilustruar grafi kisht se ç’është Δy, Δx.
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 120 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12orët pas mesnate
302015105
x
T
kurbë
Taks
a në
par
a
100 20 30Pesha në kg
22
0
y
x
a) b) c) ç) d)
15
1.6 Një veti e rëndësishme e funksionit të vazhdueshëm në segment
Objektiva: Në fund të orës së mësimit nxënësi:1. të formulojë teoremat që japin vetitë e funksionit të vazhdueshëm në segment dhe t’i interpretojë ato grafi kisht;2. të plotësojë kushtet e teoremave (vazhdueshmëria) para se t’i zbatojë në ushtrime;3. të zbatojë teoremën për të provuar ekzistencën e zgjidhjes së ekuacionit f(x) = 0;4. a) të studiojë shenjën e një funksioni pasi të ketë gjetur vlerat e tij.b) të zgjidhin ekuacionin (f(x) < 0), duke përdorur veti të funksionit të vazhdueshëm në segment.
Udhëzime për zhvillimin e temësOra nuk është e ngarkuar teorikisht. Është formuluar një veti e shprehur me anë të një teoreme, që mund ta paraqesim skematikisht.
Teoremë 1f y f x
c a: ( )
] ;=⋅
⇒ ∃ ∈
i vazhdueshëm në [ab]f(a) f(b) < 0
b f c[ ( ) = 0
Grafi kisht:
Udhëzojmë që të trajtohet dhe një teoremë tjetër, si rrjedhimi i teoremës së formuluar në tekst, e cila mund të përdoret gjerësisht për studimin e shenjave së funksioneve të vazhdueshme.
Teoremë 2 (rrjedhim i teoremës 1)Në qoftë se f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[ dhe f(x) ∈ 0, ∀ x ∈]a, b[, atëherë vlerat e f(x) kanë të njëjtën shenjë d.m.th. f(x) > 0, ∀ x ∈]a,b[ ose (x) < 0, ∀ x ∈]a, b[.Supozojmë se ekzistojnë numrat x1 e x2 në intervalin ]a,b[, të tillë që f(x1) dhe f(x2) nuk të mos kenë të njëjtën shenjë. P.sh., f(x1) < 0 dhe dhe f(x2) >0, a < x1< x2 < b. Nga teorema 1, ∃ ∈ =c x x f c ] , [ ( )1 2 0pra, grafi ku pret boshtin x’x. Meqenëse është dhënë që f(x) ≠ 0,∀ ∈ , x x x] [1 2 d.m.th. grafi ku i tij nuk mund ta presë boshtin x’x.
f(x)
ΔxΔyf(y) ΔyΔyΔy
a x
a b
Jepet f: y = f(x) i vazhdueshëm në x = aKur x = a vlera e funksionit është f(a); ∀ x ≠ a vlera e funksionit f(x).
Shënojmë: ∆ ∆y f f x f a= = −( ) ( ) dhe e quajmë shtesë të f në x = a. ∆x x a= − → shtesë e ndryshores.Në këtë orë jepet pa vërtetim teorema: “Funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësinë e tyre të përcaktimit”. Kjo mund të jepet dhe në mësimin 1.3, pas veprimeve me funksione të vazhdueshme. Më parë duhet vënë në dukje se ç’janë:- funksionet elementare themelore dhe- funksionet elementare.
a b
x1
x2
[x1f(x1)]
[x2f(x2)]
Konceptet e trajtuara:-- funksioni i vazhdueshëm në një segment;- limiti i funksionit në ±∞; - funksioni elementar; - zgjidhja e ekuacionit.
Vetitë
Formulohen veti të funksionit të vazhdueshëm në një segment (vetia mbi ekzistencën e zgjidhjes së ekuacionit f(x)=0.
16
Shembuj. Zbatimi i teoremës 2.
Shembull 1. Zgjidhni inekuacionin: ( )( )x
x+−
<41
03
5.
Shqyrtojmë: f x xx
për( ) ( )( )
, ,= +−
< ∈ [ ] ≠41
0 13
5 x R x 1.-
- Funksioni është i vazhdueshëm në R-[1], për x ≠ 1.- Funksioni nuk është i vazhdueshëm në x = 1. (Pse?)
f(x) = 0(x + 4)3
⇔≠
⇒+ =≠ −
⇒= −≠
x
xx
xx1
4 01
41
y = f(x) ≠ 0 në ]-∞; -4[; ]-4; 1[; ]1; +∞[ dhe i vazhdueshëm. Prandaj ai nuk ndryshon shenjë në këto intervale. Shenjën e f(x) mund ta gjenimë, duke marrë nga një numër provë në secilin prej
intervaleve: f f f( ) , ( ) , ( ) .− = > > =−
<3 145
0 0 0 2 61
03
Zgjidhja e inekuacionit është në ]1; +∞[.
Ushtrime plotësuese
1. Jepet y xx x
= −− +
2
2
13 2
. Zbatoni teoremën për të studiuar shenjën.
a) Pikat ku f nuk është i vazhdueshëm: x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ose x = 1.
b) f(x) = 0 x - 1 = 0 x = 1x 1 dhe x 2
2 ⇔ ±≠ ≠
c)
2. Jepet f: y x x= + −1 22
.a) Tregoni që f është i vazhdueshëm në R.b) Zgjidhni ekuacionin f(x) = 0.c) Studioni shenjën.3. Studioni shenjën e f(x) = sinx + cos x; x∈[0, 2 π].4. Tregoni që ekuacioni x5 – 3x3 + x + 2 = 0 ka të paktën një rrënjë reale.5. A ka zgjidhje ekuacioni x + sinx = 0?
x
f(x)
In.
+ + -
20-3 -4 1-∞ +∞
x
f(x)
In.
+ + +
0-2 -1-∞ +∞
-211 1 3
17
1.7 Ushtrime për kreun I (Përsëritje)
Kjo orë mësimore shërben për një sistemimin e përforcimin e njohurive të marra në këtë kapitull. Është mirë që nxënësve t’u lihet detyrë një orë më parë të bëjnë një përmbledhje të njohurive teorike të marra gjatë kapitullit.
I. f: y = f(x) i vazhdueshëm në x = a, atëherë dhe vetëm atëherë kur plotësohen:1) f i përcaktuar në x = a (ekziston f(a))
2) ekziston lim ( )x a
f x→
3) lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
Nëse të paktën njëra nga këto kërkesa nuk plotësohet, funksioni f nuk është i vazhdueshëm në x = a.
II. Në qoftë se f nuk është i vazhdueshëm në x = a, ajo quhet pikë këputjeje. Ndeshen tri lloje pikash këputjeje.
a) Pikë këputja e mënjanueshme, nëse lim ( )x a
f x l→
= (numri i fundëm)
b) Pikë këputjeje e pamënjanueshme, nëse nuk ekziston lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x f x f x→ → + → −
≠( ) .
c) Pikë këputjeje e pamënjanueshme, nëse f pmm në x = a, d.m.th. lim ( )x a
f x→
= ±∞ .
III. a) Në qoftë se f është i vazhdueshëm ∀ ∈ ] [x a b, thuhet se f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[.b) Nëse f është i vazhdueshëm në ]a, b[ dhe lim ( ) ( )
x af x f a
→ += dhe lim ( ) ( )
x bf x f b
→ −= thuhet se f është i
vazhdueshëm në segment (në segmentin [ab]).IV. Në qoftë se f e g janë dy funksione të vazhdueshme në x = a, atëherë janë gjithashtu të vazhdueshme në x = a dhe funksionet:
a) f + g; b) f – g c) f (c ∈ R) ç) f · g e) fg
g a( ) ≠( )0
V. Vazhdueshmëria e disa funksioneve
a) Një funksion polinomial P: y = P (x) është i përcaktuar∀ ∈x R dhe lim ( ) ( )x a
f x P a→
= prandaj P është i vazhdueshëm ∀ ∈x R .b) Një funksion racional f(x)(fx) = P x
Q x( )( )
është i vazhdueshëm ∀ ∈ ≠x R Q x( ) 0 .
21
a
0
y
a0
y
a x
18
c) ∀ ∈ +n Z funksioni f x P xh( ) ( )= 2 është i vazhdueshëm në bashkësinë E x R P x= ∈ ≥{ ( ) }0 .
- funksioni g x P xhH( ) ( )= 2 është i vazhdueshëm ∀ ∈x R .
ç) Funksioni logaritmik f(x) = log p(x), 0 < a ≠ 1 është i vazhdueshëm në E = {x ∈RP(x) ≥ 0}.
d) Funksioni eksponencial f(x) = aP(x) 0 < a ≠ 1 është i vazhdueshëm ∀ ∈x R .e) Funksionet y = sinx; y = cos x janë të vashdueshme në R.
Funksioni y = tgx është i vazhdueshëm ∀ ∈ +x kπ π2
.
VI. Teoremë. f : [ab]→R. Në qoftë se f është i vazhdueshëm në [ab]; atëherë f nerr në këtë segment vlerën më të madhe dhe vlerën më të vogël.
VII. a) Teoremë. Në qoftë se f është i vazhdueshëmë në [ab], f(a) · f(b) < 0, atëherë ∃ ∈ = c ab f c] [ ( ) 0 . b) Rrjedhim. Në qoftë se f është i vazhdueshëm në ]ab[ dhe ∀ ∈ ≠x R a b] , [ , f(x) 0 , atëherë ∀ ∈x R a b] , [ f ruan shenjën, d.m.th. f(x) > 0, , ∀ ∈ < ∀ ∈x a b f x x R a b] , [ ( ( ) ] , [)0 .
Ushtrime plotësuese për përsëritje1. Studioni vazhdueshmërinë e f të dhënë grafi kisht në pikat:x = -2 x = -1 x = 0 x = 1 x = 3 x = 4.
2. Jepet f xx
( )2 2
5+ ≤−
për x -13x për x>-1
. A është ai i vazhdueshëm në x = -1? Pse?
3. Funksioni f x xx x
( ) = −− −
2
2
163 4
ka pikë këputjeje në x = 4. Sa duhet marrë f(4), në mënyrë që ai të jetë i
vazhdueshëm në x = 4?
4. Funksioni f x x x aa( ) log ( )= − +4 26 është i vazhdueshëm ∀ ∈x R Gjeni a-në.
5. Funksioni f x xx x a
( ) = ++ −
2
2
6nuk është i vazhdueshëm me x = 2. Gjeni a-në.
6. a) Gjeni bashkësinë ku f x x x( ) log lg= +2
2 është i vazhdueshëm. b) Gjeni bashkësinë ku f x x x( ) = −5 2 është i vazhdueshëm.
7. Jepet f xax b
b x( ) =
+ > −= −
− < −
për x për x
për
25 2
2 i vazhdueshëm në x = -2. Gjeni a + b.
8. Funksioni f xx
m x x
x
( ) =⋅ <+ ≥
3 5 13 4 1
nëse nëse
është i vazhdueshëm në x = 1. Gjeni m-në.
-1-2-3 1 2 3 4 5-1-1
4
3211
-1-1-1 3-2
19
9. Gjeni vlerat e x-it, për të cilat funksioni f: R R,
xx+1
nëse
12
nëse -1 x<
xx+1
nëse
→ =
<
≤
>
f x
x
x
( )
-1
1
1
nuk është i vazhdueshëm.
10. Gjeni bashkësinë, ku funksioni f x xx
( ) ln= −+
21
nuk është i vazhdueshëm.
11. Për ç’vlera të k-së funksioni Për ç’vlera të k-së funksioni Për f xx x
x k x( )
( )=
− <− ≥
30 333
nëse
është i vazhdueshëm ∀ ∈x R ?
12. Jepet f xx
ax nëse x( )
-=
>
≤
xx +1
nëse
21
2 1i vazhdueshëm në x = 1. Gjeni vlerën e parametrit a.
13. Për ç’vlera të m-së, funksioni f xx
ax nëse x( )
-=
>
≤
xx +1
nëse
21
2 1është i vazhdueshëm∀ ∈x R ?
14. Tregoni që ekuacioni x3 – 3x3 +1 = 0 ka një rrënjë në [01] (ose tregoni që ekuacioni x3 - 1 = x ka të paktën një rrënjë në ]1; 2[).
15. Tregoni që ekziston x x x∈ − =] ; [1 2 13 .
16. Gjeni bashkësinë ku funksionet e mëposhtme janë të vazhdueshme.
a) y = x - x + x + 1 c3 2 b f x xx
) ( ) =+2 2
))
d)
f x xx x
ç y x y x
( )
)
= +− +
= − = +
25 6
2 5 3 4
2
3 3 ++ − = −
= +
x f x x
e f x xx
23
2
12
4 4
2
dh)
( ) log ( )
) ( ) lg ë) f) f x xx
f x x( ) sincos
( ) sin=−
=1
Vlerësimi i nxënësve sipas nivelit të veprimtarisë matematikeSpecialistët e matematikës janë të mendimit që standardet e arritjes së nxënësve të jepen në tri nivele. Sipas një artikulli të Edmond Lulës (të botuar në “Kurrikula dhe shkolla”, Matematika, Tiranë 2002), këto tri nivele përcaktohen si më poshtë:• Niveli I është niveli i përgatitjes minimum (të domosdoshme) që duhet të arrijnë të gjithë nxënësit kalues. Ai duhet të jetë i përcaktuar qartë dhe në mënyrë unike, në mënyrë që të mund të verifi kohet drejtpërdrejt realizimi i tij dhe mbi këtë bazë të vlerësohet nxënësi që e arrin atë (nota 5-6).Një rrugë e mundshme për të konkretizuar këtë nivel është dhënia e shembujve të ushtrimeve tipike (në dokumentacionin zyrtar)• Niveli II Niveli II Niv fi kson ato kërkesa për përvetësimin e kursit të matematikës, që duhet të parashtrohen para eli II fi kson ato kërkesa për përvetësimin e kursit të matematikës, që duhet të parashtrohen para eli IInxënësve të mirë (nota 7-8).• Niveli III është niveli më i lartë (maksimumi) i përgatitjes së nxënësve (nota 9-10).veli III është niveli më i lartë (maksimumi) i përgatitjes së nxënësve (nota 9-10).veli IIITri kategoritë kryesore të shkathtësive (shprehive) në matematikë janë:
1. zgjidhja e problemave;2. arsyetimi matematik;3. komunikimi matematik.
Sipas këtyre tri kategorive, tre nivelet e arritjeve dhe vlerësimit të nxënësve në matematikë E. Lule i përcakton si në vijim.
20
Niveli I (notat 5-6), nxënësi zgjidh probleme:Niveli I (notat 5-6), nxënësi zgjidh probleme:Niveli I- me ndihmën e mësuesit;- me anë të një numri të kufi zuar metodash;- me gabime të shumta.
Nxënësi përdor arsyetime matematike- me ndihmën e mësuesit;- që janë të thjeshta;- me gabime.
Nxënësi i komunikon njohuritë matematikore:- me ndihmën e mësuesit;- me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë;- duke përdorur rrallë terminologjinë e
përshtatshme matematike.
Niveli II (notat 7-8), nxënësi zgjidh problema:- me ndihmën e kufi zuar të mësuesit;- me anën e një numri jo të madh
strategjisë bazale;- me gabime të vogla.
Nxënësi përdor arsyetime matematikore:- me ndihmën e kufi zuar të mësuesit- të përshtatshme për zgjidhjen e
problemave- me disa gabime të vogla
Nxënësi komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- përgjithësisht i qartë dhe i saktë me
termologji;- duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme. Niveli III (notat 9 – 10), nxënësi zgjidh Niveli III (notat 9 – 10), nxënësi zgjidh Niveli IIIproblema:
- në mënyrë të pavarur;- duke përdorur strategji të reja e të
ndryshme;- zakonisht me saktësi.
Nxënësi përdor arsyetime matematikore:- në mënyrë të pavarur;- të përshtatshme për zgjidhjen e
problemave, duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë.
Nxënësi komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- qartë dhe saktë;- duke përdorur terminologjinë dhe
simbolikën e përshtatshme.
Ushtrime të nivelit I për kreun I
I. Përdorni grafi kun f për t’iu përgjigjur pyetjeve.
1. Gjeni: a) lim ( )x
f x→0
b) f(0) c) A është f i vazhdueshëm në x = 0?
2. Gjeni: a) lim ( )x y
f x→ −1
b) f(-1) c) A është f i vazhdueshëm në x = -1?
3. Gjeni: a) lim ( )x
f x→1
b) f(1) c) A është f i vazhdueshëm në x = 1?
4. Gjeni: a) lim ( )x
f x→2
b) f(2) c) A është f i vazhdueshëm në x = 2?
5. Gjeni: a) lim ( )x
f x→0
b) f(-2) c) A është f i vazhdueshëm në x = -2?
2. Përdorni teoremën për vazhdueshmërinë e funksioneve elementare për të përcaktuar ku janë të vazhdueshme funksionet.
a) f(x) = 2x – 3; g(x) = 3 - 5x; h(x) = 2x – 5x + 6.
b yx
y x
) ; ; h(x)= xx+5
y = x -5(x-3)(x-2)
c)
=−
= −
23
3 ç) y x y x y x y x= = + = = −3 1 4 52 2 3- -
b yx
y x
) ; ; h(x)= xx+5
y = x -5(x-3)(x-2)
c)
=−
= −
23
3 ç) y x y x y x y x= = + = = −3 1 4 52 2 3- -
3. Skiconi grafi kun e funksionit dhe tregoni pikat ku ai është i vazhdueshëm. Argumentoni përgjigjen!
a f xxx x
f xx
) ( ) ( ) x 1
b) x 1
=+ ≤− >
=≤1
5 1 2
2
xx x > 1
-1-2-3 1 2 3 4 5
321
-4
3
Më poshtë është një përpjekje për të konkretizuar të tria nivelet e arritjeve të ushtrimeve tipike.Më poshtë është një përpjekje për të konkretizuar të tria nivelet e arritjeve të ushtrimeve tipike.
21
c f xxx x
f xx
) ( ) ( ) x
ç) x
=+ ≤− >
=1 25 2
2 ≤≤>
=− <
=>
22 2
01 0
0
x x
f xx x
xx x
d)
( ) dh) 1 0
f x
xx
x x( ) =
<=
+ >
00
1 0
4. Gjeni pikat e këputjes dhe tregoni llojin e tyre.
a y xx
y xx
) b) = −+
= −−
3 12
11
2
c) y xx
= −−112
5. Gjeni bashkësinë ku janë të vazhdueshme funksionet.
a y x y x y) b) c)= − = − =4 92 2 xx x
ç y x x x y xx
2
3 2
2 1
6 11
− +
= + − = +−
) d) dh) y xx
= −+
23
6. Studioni vazhdueshmërinë: f yxx: =−−
≠
≠
2 93
x 3
5 x 3.
a) Gjeni f(3).b) Gjeni lim ( )
xf x
→3.
7. Jepen: f xx
xh x
xx
( )-
; ( )=− ≥
−
=≥2
1 42
2 x 1 x<1
+3x x 1−−
=− ≤
− + >14 5 1
2 1 x<1
; ( )h xx xx x
a) A janë të përcaktuara funksionet në x = 1?b) A janë të vazhdueshme funksionet në x = 1?
Ushtrime të nivelit II1. a) Shkruani një funksion me dy pika këputjeje të pamënjanueshme.
b) Shkruani një funksion me dy pika këputjeje, një të mënjanueshme e një të pamënjanueshme.c) Shkruani një funksion me dy pika këputjeje të mënjanueshme.
2. Studioni vazhdueshmërinë e funksioneve.
a yxx
x) për
x=0 b=
− − ≠
2 2 0
5))
y
x xx x x
x x=
<− + − ≤ ≤+ >
14 2 1 3
4
2
33
; në x = 1 dhe në x = 3
3. Caktoni vlerën e parametrit A, që funksioni të jetë i vazhdueshëm.
a yxx
x
A x) -
-
në x = -2 =
++
≠
=
3 82
2
2 b)
në x =y
xx
x
A x=
−−
≠
=
33
3
3 3 c)
y
Ax xx
xx
=+ ≤+
−>
2 1 22
7 32
--
4. Funksionet e mëposhtme nuk janë të përcaktuara në x = c. Skiconi grafi kun e funksionit f dhe përcaktoni nëse mund të mënjanohet kjo pikë këputjeje c.
a f x xx
f x xx
) ( ) ( ) c = 0 b) = =2
c = 0
c) c = 1 ç) f x xx
( ) = −−
2 11
ff x x xx
( ) ( )= −−
11
c = 1
22
KREU II DERIVATI I FUNKSIONIT
2.1 Problema që çuan në kuptimin e derivatit
Objektiva: Në fund të orës së mësimit nxënësi:
1. të gjenië ∆x, ∆y, ∆∆
yx
për një funksion të dhënë dhe për një vlerë të dhënë të x-it;2. të gjenië shpejtësinë në çastin t0 të një pike materiale, që lëviz sipas një
ligji të dhënë, si: V t st
s t h s tht h( )
lim lim ( ) ( )0 0 0
0= =+ −
→ →∆
∆∆
;
3. të gjenië koefi cientin këndor të tangjentes ndaj vijës y = f(x) në x = x1.
Udhëzime për zhvillimin e temësNë këtë kapitull do të përdoret koncepti i limitit për të zgjidhur dy nga tre problemet bazë të analizës matematike: - shpejtësia e çastit e pikës materiale;
- koefi cienti këndor i tangjentes në M(x1; f(x1)) të vijës y = f(x) (tangjentja në një pikë të vijës).
Për këtë veprohet me kuptimet: - ndryshesë e funksionit ∆x = h, - shpejtësi mesatare e ndryshimit të vlerave të funksionit ∆
∆yx
.
Prandaj, pasi të punohen shembulli 1, 2 të tekstit të jepen përkufi zimet për ∆x, ∆y, ∆∆
yx
.
Jepet f: y = f(x); x ∈I, x1∈I, x2 ∈I.Shënojmë ∆x = x2 - x1 (ose h = x2 - x1), që tregon ndryshesën e x-it në [x1, x2]; x1 = x2 + ∆x; apo x2 = x1 + h).Kur x-i ndryshon me ∆x funksioni ndryshon me ∆y = f (x2) – f (x1). ∆x ∆y = f (x2) - f (x1)
Raporti ∆∆
yx
f x h f xh
=+ −( ) ( )1 1 paraqet ndryshimin mesatar të funksionit në [x1, x2].
Të theksohet që raporti ∆∆
yx
f x h f xh
=+ −( ) ( )1 1 varet nga:
a) funksioni f;b) pika x1;c) dhe nga shtesa (ndryshesa h(∆x)).Pastaj të kalohet te problema 1.Problema 1. Shpejtësia e çastit e pikës materiale që lëviz sipas ligjit s = s(t).
Përcaktohet VS(t +h) - S(t )
hm1 1 që çon në shpejtësinë në çastin t1.
V V VS(t +h) - S(t )
h(t ) m m1 1
1= =
→ →lim limh h0 0
.
Problema 2. Si problemë e dytë mund të trajtohet problema i tangjentes në M1(x1 f(x1)) ndaj vijës y = f(x), si një nga problemat që ka çuar te kuptimi i derivatit. Prerësja (M1, M2) e ka koefi cientin këndor:
y2 = f(x2) = f(x1 + h)
Konceptet e trajtuara:
- ndryshesë (shtesë) e funksionit ∆y (∆f); - ndryshesë (shtesë) e
x-it, ∆y- shpejtësi e çastit të
lëvizjes së një pikë materiale;
- shpejtësi e ndryshimit të vlerave
të funksionit ∆∆
yx
.
Δx
Δy
x1
M2(x2, y2)
x2
y1
y2
x1
M2(x2, y2)
x2=x1 + h
t
M2(x2, y2)
k y yx x
f x h f xh
yxM M( )
( ) ( )1 2
2 1
2 1
1 1=−−
=+ −
= ∆∆
23
Në qoftë se M2 M1 d.m.th. x2 x1; ⇔ h = ∆x 0 të gjitha prerëset tentojnë te një pozicion kufi , te tangjentja ndaj vijës dhek kM M t1 2
→ .
k k f x h f xh
a k f h
t M M h
t h
t M= =
+ −
=+ −
→ →
→
lim lim ( ) ( )
Pr , lim ( )
∆ 1 1 2 0
1 1
0
1 ff xh
h hh
k yx
f x h f xh
h
t t h
( ) lim
lim lim ( ) ( )
1
0
2
0 01 1
2= +
= =+ −
→
→ →∆
∆∆
Shembull. Jepet f(x) = x2. Gjeni koefi cientin këndor të tangjentes në pikën x1 = 1.
k f h fh
h hht t h
= + − = +→ →
lim ( ) ( ) lim∆ 0 0
21 1 2
k ht t= + =
→lim ( )∆ 0
2 2
f(1) = 1f(1 + h) = 1 + 2h + h2 ∆f = f(1 + h) – f (1) = 2h + h2
2.5 Kuptimi gjeometrik i derivatit
Objektivat: Në fund të orës së mësimit nxënësi: 1. të gjenië koefi cientin këndor të tangjentes në pikën A(a, f(a)) të vijës y = f(x);2. të dallojë pikën ku funksioni f i dhënë grafi kisht ka apo nuk ka derivate; 3. të gjenië pikën e vijës me ekuacion y = f(x), ku duhet të hiqet tangjentja që plotëson një kusht të dhënë.
Udhëzime për zhvillimin e temësPara shtjellimit të njohurive të reja të bëhet një riaktivizim i njohurive të kaluara që do të përdoren gjatë trajtimit të tyre dhe gjatë zbatimit në ushtrime.
1. Drejtëza në plan me ekuacionin e saj më të thjeshtë:
y = kx + t ⇔ kx – y + t = 0. d vk
d x�r=
⊥
10( )
k = tgα, k koefi cienti këndor i drejtëzës.
2. M1 (x1, y1)∈d, M2(x1, y2) ∈d. ( )d ox⊥
d M Mx xy y
K y yx x
�u ruuuu
1 22 1
2 1
2 1
2 1
=−−
=
−−
;
3. d1 || d2 ⇔ k1 = k2 d1 ⊥ d2 ⇔ k1 ⋅ k2 = -1.
Konceptet e trajtuara:
Koefi cient këndor i drejtëzës,
- limiti i funksionit, - grafi ku i funksionit - shtesa: ∆y; ∆x; - derivati i funksionit
në një pikë.
Vetitëk-koefi cienti këndor, nëse dy pika të drejtëz
( ) .
( ; ).
K y yx x
K tg
d i
=−−
− =
=
2 1
2 1
α
αr
- kushte të paralelizmit, apo të pingultisë së dy drejtëzave.
M1
M2
d1
dd2
v2
v1
α
2
d11
d2
α α
∆∆
yx
24
Për trajtimin e njohurive të reja të ndiqet rruga e përshkruar në tekst dhe pastaj të punohen shembujt e rekomanduar.
Kujdes!Kujdes!Ku Shtesa ∆x = h, që merr vlera x = a mund të jetë pozitive ose negative:jdes! Shtesa ∆x = h, që merr vlera x = a mund të jetë pozitive ose negative:jdes!h < 0. (D.m.th. pika Q [a + h; f (a + h)] i afrohet P(a, f (a)) nga të dyja anët).
Ushtrimet 1 dhe 2 përfaqësojnë nivelin minimal të përvetësimit. Për ta bërë më të plotë të kuptuarin e interpretimit gjeometrik të derivatit të përqendrohet vëmendja te pyetja: Si të dallojmë pikën në grafi kun e funksionit f: y = f(x), ku nuk ekziston derivati apo ka derivat ?
D.m.th. ⇔ kur nuk ekziston dhe kur ekziston: lim ( ) ( )h
f a h f ah→
+ −0
? Ilustroni grafi kisht.
Pra, në qoftë se f është i derivueshëm në intervalin ]a, b[, atëherë asnjëra nga situatat e mësipërme nuk ndodh. Me fjalë të tjera, grafi ku i një funksioni të derivueshëm është një vijë e vazhduar pa “cepa” (maja) dhe pa tangjente pingule me boshtin x’x.
Ushtrime plotësueseUshtrimi 1. Shqyrtoni grafi kun e f: y = f(x) dhe përcaktoni në ekziston f’(x) në pikat e dhëna.
Ushtrimi 2. Skiconi grafi kun e funksionit f dhe tregoni ku f është i derivueshëm dhe ku jo
.2.8 UshtrimeUshtrimi 1.Ushtrimi 1.U Gjykoni nëse funksionet e mëposhtme janë të derivueshme në x = 0, duke u bazuar te
përkufi zimi i derivatit (pra, tek ekzistenca e lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x a x a
f x f ax a
f x fx→ →
−−
= − 0 në a = 0.)
a) y = |x| + x; b) y = x |x| ç) c y x y x) = =23 3 d) y = x3 |x| dh) y x= +2
Ushtrimi 2.
a) Jepet: f xx xx x
( )6 0 89 24 8
≤ ≤− >
A është i derivueshëm funksioni në x = 8? Pse?
b) Jepetf x
x x xx x
( )2 7 1
9 24 1+ ≤− >
. A është i derivueshëm funksioni në x = 1?
c) Jepet f xx xx xx x x
( )+ <
=− >
6 33
6 3
2
3
. Gjeni f’(3).
y
xa0
y
xa0
Në x = a nuk ka një pozicion të vetëm kufi i prerëseve. (Grafi ku ka majë (cep) apo vija nuk është e lakuar).
Tangjentja në x = a është pingule me Ox. ((t) ⊥ (0x) në x = a
((t) ⊥ (0x) në x = af jo i vazhdueshëm në x = a ⇒ nuk ekziston f’(a)
y
xa0
y
xa0
y
a b c ç d dh e f0
25
Ushtrimi 3. Jepet y = |2 - x|. Gjeni f’(1); f’(2); f’(3).
Ushtrimi 4. Jepet y = |x2 – 4x + 3|. Gjeni:a) f’(0), f’(2), f’(4); b) f’(1), f’(3).Ilustrojini grafi kisht.
2.14 Derivatet e funksioneve trigonometrike
Objektivat: Nxënësi:1. të shkruajë formulat që japin funksionet derivate të f: y = sinx; y = tgx; y = yx; y = cotgx dhe ato që japin derivatet e përbërjeve të funksioneve trigonometrike me funksione të tjera;2. të gjejë derivate të funksioneve trigonometrike në situata të kombinuara.
Udhëzime për zhvillimin e orës së mësimitOra e mësimit mund të fi llojë me riaktivizimin e njohurive të kaluara për funksionet trigonometrike. Mund t’u caktohet nxënësve një orë më parë për të bërë një përmbledhje të tillë dhe në fi llim të orës të bëhet duke iu drejtuar nxënësve pyetjet:
1. Ç’është funksioni sinus?∀ ∈ → ∃ x R M e vetme në rrethin trigometrik i tillë që: I AM x⋅ =� , M(xM, yM).
• funksioni sin: x→ yM shënohet y = sinx;• funksioni cos: x→ xM shënohet y = cosx;
• funksioni tg: x→ yx
M
M
shënohet y = tgx.
2. Cila është bashkësia e përcaktimit e f: y = sinx; y = cosx; y = tgx?
3. Çiftësia e funksioneve trigonometrike. sin(-x) = -sinx cos(-x) = cosx tg(-x) = tgx
4. Periodiciteti i funksioneve. sin(x+ 2π) = sinx cos( x+ 2 π) = cosx tg(x+ π) = tgx
5. Ç’mund të thoni për derivueshmërinë e funksioneve trigonometrike?Të gjitha këto janë elemente të studimit të variacionit të funksionit. Në këtë mësim do të studiohet derivueshmëria e funksioneve trigonometrike.Për këtë kujtojmë:
a) Ç’është f’(x)?
f x f x h f xhh o
'( ) lim ( ) ( )= + −→
b) sin sin sin cosα β α β α β− = − +22 2
c) lim sinn
nn→
=0
1, n = n(x)
ç) Derivati i funksionit të përbërë y= f [u(x)]. [f[u(x)]]’= f’n·u’x.
Në vijim të ndiqet ecuria e orës siç është trajtuar në tekst.Ushtrimet e të nivelit minimal janë ushtrimet 1 dhe 2 në fund të mësimit dhe ushtrimet 1, 2 të paragrafi t 2.16.
Konceptet e trajtuara:
limiti i funksionit, derivati i funksionit, funksion i përbërë, vlerë e funksionit
Vetitë
lim sinn
nn→∞
= 1
- vazhdueshmëria e funksionit të përbërë;- rregulla e derivimit të funksionit të përbërë;- identiteti trigonometrik.
sin cosα α β α β− +2 2 .
M x
A
26
2.17/2.18 Ushtrime për kreun II
Këto orë janë përsëritje të njohurive të marra në kapitull; përpunimi dhe përforcimi të shprehive të fi tuara. Është mirë që mësuesi t’u japë paraprakisht, si detyrë shtëpie nxënësve përsëritjen e njohurive dhe fakteve kryesore gjë që mund ta bëjnë duke iu përgjigjur pyetjeve:1. Formuloni përkufi zimin e derivatit të funksionit f’(x).2. Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit?3. Cili është kuptimi kinematik (në shkencën e fi zikës) i derivatit të funksionit?4. Ç’kuptim ka shprehja “kur x = 3, vlera e funksionit është 1”?5. Ç’kuptim ka shprehja “kur x = 3, vlera e derivatit të funksionit është 1?6. Ç’kuptim ka shprehja “f është i diferencueshëm në x = a”?7. Ç’lidhje ka ndërmjet derivueshmrisë dhe vazhdueshmërisë së një funksioni?8. Formuloni (shkruani) rregullat e derivimit të funksioneve.9. Çfarë rregullash duhen zbatuar për të gjetur derivatet e funksioneve të mëposhtme?
f x g x m x n x( ) ( ) ( ) ( )⋅( )
+ ⋅
2012 ' f(x)
g(x)
'''
f g(h(x)){ }
10. A është e mundur që derivati i një funksioni të jetë i barabartë me vetë funksionin? Jepni shembuj.
Ushtrime të nivelit të I (Notat 5 - 6)
1. Gjeni f’(x) për funksionet e dhëna.
1. f(x) = 3x4 - 2x2 + 1 2. f(x) = 5 3. 4.f x x x f xx
x( ) ( )= − = +2 3 12 22
2
5. f(x) = (2x - 1)(3x + 2) 6. f(x) = (x2 - 1) (x3 - 3) 7. 8. f x xx
b ac f xx
( ) ( )= +−
− =+
3 12
4 13 2
2
9. f x xx
( ) =+
222
10. f(x) = (2x - 3)3 11. f x x( ) = +( )−2 22
2. Për funksionin y = f(x) = x2 + 4 gjeni:a) koefi cientin këndor të tangjentes në x = 1;b) ekuacionin e tangjentes ndaj grafi kut në x = 1.
3. Gjeni vlerën e x-it, për të cilën tangjentja ndaj vijës është horizontale (paralele me boshtin x’x).
1. f(x) = 10x - x2; 2. f(x) = (x + 3)(x2 - 25); 3 f x xx
( ) =+2 4
4. Një pikë materiale kryen lëvizje sipas ligjit y = f(t) = 16t2 - 4t (t në sekonda). Gjeni:a) funksionin që jep shpejtësinë e lëvizjes në çdo çast;b) shpejtësinë e lëvizjes në çastin t = 3s.
27
Teste për kreun II
Varianti A
1. Jepet f(x) = x3 – 2x2 + 1. Gjeni vlerën e lim ( ) ( )x
f x fx→
−−2
22 . Çfarë paraqet kjo vlerë?
a. 2 b. 3 c. 4 ç. 5x + 1 d. 3x2 – 4.
2. Gjeni koefi cientin këndor të tangjentes ndaj vijës y = x4 – (lnx)2 në pikën me abshisë x = 1. a. 4 b. 4 c. 4 ç. 10 d. 15
3. Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës, ndërtoni grafi kun e funksionit f(x) = 3cos 2x - 1 në pikën M π2
4;−
.
a. y = 1 b. y = 2 c. y = -4 ç. y = x – 2 d. y = -1
4. Jepet f(x) = ax2 – 3x3 + 4 dhe f’(2) = 8. Gjeni vlerën e a-së.
a. 3 b. 4 c. 7 ç. 11 d. 29
5. Në fi gurë jepet grafi ku i parabolës y = ax2 + bx + c. Në pikën M( ; )1
21 është hequr drejtëza tangjente me vijën.
Duke përdorur të dhënat në fi gurë, gjeni a + b+ c.
a) -2 b) − 12
c) 0 ç) 10 d) 15
6. Jepet f(x) = x2ex. Gjeni f’(x).
a) ex (2x + 1) b) x(2ex + x2) c) xex(x +2) ç) 2xex d) xex
7. Jepet f(x) = sinx dhe g(x) = x2 + 3. Gjeni derivatin e f[g(x)].
a) 2x cos (x2 + 3) b) 2x sinx c) (x +sinx) ç) xsin (x2 + 3) d) –xcos (x2 + 3)
8. Jepet f xxx
xx
( )3
311
≤>
. Gjeni f’(1).
a) 0 b) 1 c) 2 ç) 3 d) nuk ekziston
9. Jepet f(x) = 2x2 – 3x + 1. Gjeni f”(1).
a) 8 b) 6 c) 4 ç) 3 d) 1
10. Jepet f(x) = tgx – cotg x. Gjeni f’(x).
a) b)42
322sin sinx x
c) 2tg2x ç)tg2x + cotg2x d) sin 2x
11. Jepet f x x( ) = −2 1 . Gjeni f’(5).
12. Gjen df xdx( ) (f’(x)) për f(x) ln(cos x).
a) – tgx b) – cos x c) – cotgx ç) d) − 1 1sin cosx x
y
0 − 12 450
-1
x
28
Varianti B
1. Jepet f x ee
x
x( ) = −+
11
. Gjeni f’(x).
a) 2 ex b) 2 ex(ex-1) c) ç) d) ee
ee
ee
x
x
x
x
x
x+ − +1 12
12 2( ) ( )
2. Jepet f(1) =3, lim ( ) ( )x
f x fx→
−−
=1
31
6 dhe h(x) = x3 ⋅ f(x). Gjeni h’(1).
a) 3 b) 6 c) 15 ç) 18 d) 20
3. Jepet f(3x – 5) = 2x2 + x – 1. Gjeni vlerën e shprehjes f’(1) + f(1). a) 10 b) 12 c) 14 ç) 16 d)18
4. Grafi ku i f: y xa
=2
është tangjent me drejtëzën t: x – y = 1. Gjeni a-në.
a) 5 b) 4 c) 3 ç) 2 d) 1
5. f(x) = |2 – x| + 2. Gjeni vlerën e shprehjes f’(1) + f’(3).
a) 0 b)1 c) 2 ç) 3 d) 4.
6. Në fi gurë jepet grafi ku i funksionit f: y = f(x).
Në qoftë se g x f xx
( ) ( )= .
Gjeni g’(2), duke parë të dhënat në fi gurë.
a) b) − −14
12
c) 2 ç) 1 d) 0
7. Jepet f x xx
( ) = −3
3 . Gjeni f’ (9).
a) 9 b) 3 c) d) e) 13
16
19
8. Gjeni f”(x) për funksionin f(x) = sin(ex).
a) e2x sin b) ex (cos ex – sinex) c) ex (cosex – sinex)ç) ex (sin ex – cosex) d) ex (cos ex – ex sinex)
9. Gjeni f”(x) për f(x) = (sinx+cosx)2.a) 2(cosx – sinx) b) 2(sinx-cosx) c) sin2x – cos2xç) 2 cos 2x d) – 4 sin 2x
10. Jepet f x x xx x
( ) ln= − +− +
2
2
3 34
. Gjeni f’(2).
a) b) e c) ln ç) d) 12
32
52
y
0 1 2 3 4
1
1 2 3 4 y = f(x)
29
Varianti C
1. Gjeni limx
xx→
+ −0
4 16 2.
a) b) c) ç) d) 12
14
18
116
132
2. Jepet f xx
xxx
( ) = ++
≤>
2 22 1
11
. Gjeni f’(1).
a) 0 b) 1 c) 2 ç) 3 d) nuk ekziston.
3. Jepet f x xx
( ) = +−
22
2
. Gjeni dfdx( )3
.
a) –300 b) -200 c) -150 ç) -90 d) -40
4. Drejtëza t është tangjente me vijën y = f(x) në pikën M(3, 2). Në qoftë se h x f xx
( ) ( )= , gjeni h’(3).
a) b) c) ç) d)29
59
19
13
43
− −
a) b) c) ç) d)29
59
19
13
43
− −
5. Gjeni koefi cientin këndor të normales (pingules) ndaj grafi kut të funksionit f(x) = sin(cos 5x) në
pikën x = π10
.
a) b) c) ç) d)− −45
15
15
25
45
6. Jepet f(x) = (x-1)2 ⋅ (2x – t) dhe f”(0) = 0. Gjeni vlerën e parametrit t. a) 4 b) 2 c) 0 ç) -2 d) -4
7. Jepet f x x( ) = +2 . Gjeni f’(4).
a) 1 b) 4 c) ç) d) 12
14
116
8. Jepet vija f y xx
: =3
. Në pikat me abshisa x = a dhe x = -a hiqet tangjentet ndaj saj.
Rrethoni pohimin e vërtetë?a) Ato janë pingule me njëra-tjetrën. b) Ato janë paralele me njëra-tjetrën. c) Këndi ndërmjet tyre është 300. ç) Ato janë paralele me boshtin x’x. d) Ato janë paralele me boshtin y’y.
9. Tangjentja ndaj vijës y = x3 në M(2, 8) pret vijën në një pikë tjetër B(x0, y0). Gjeni x0.
a) b)− 32
52
c) -3 ç) -4 d) -5
10. Jepet f(x) = ln (1 – x). Gjeni derivatin e rendit n. y (n)(x) = ?
a) b) c) ( ) ( )!( )
( ) ( )!( )
( )− −−
− −−
−+ +1 11
1 11
12 1 1n
n
n
n
nnx
nx
++ +−−
− −−
1 111
1 11
( )( )
( ) ( )( )
(nx
nxn
n
n ç) d) −− +−
−
−
1 11
2 1
2 1
) ( )!( )
n
n
nx
y
0 1 2 3 4
11
1 2 3 4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1
2y = f(x)y = f(x)
Mt
30
Test për kreun III
1. Gjeni intervalin në të cilin funksionin f(x) = x2 - 6x + 2 është zbritës.a. ]-∞;3[ b. ]-3; 3[ c. ]-3; 3[ ç. ]0;+∞[ d. ]-∞; 6[
2. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit f(x) = e x x4 2− .a. 1 b. e c. e2 ç. e4 d. e8
3. Cili nga pohimet e mëposhtme është i gabuar për grafi kun e funksionit të dhënë y = f(x)?a. f(2) = 0 b. f’(-1) = 0 c. f’’(1) > 0 ç. f’’(-1) >0 d. f’ (0) < 0
4. Gjeni ekstremumet e funksionit f(x) = x3 - 3x2 + 3x + 1.
5. Gjeni intervalin, kur funksioni y = (x + 2)3 është konkav (i lugët).
a. ]-2; +∞[ b. ]-∞; -2[ c. ]-2; -2[ d. ]-∞; +∞[ e) ]2; +∞[
6. Cila nga fjalitë e mëposhtme është e vërtetë për funksionin f(x) = 2x3 + 3x2 + 3x2 + 3x + 12x + 4?a. f ka minimum në x = 0.b. f’ (2)< 0.c. f është i lugët në ]-∞; − 1
2[;
ç. f është rritës në R;d. f ka maksimum në x= -1.
7. Gjeni pikën e prerjes së asimptotave të grafi kut të f y xx
: = −+
32
.
8. Për ç’vlerë të parametrit k funksioni f(x) = x3 + (k +1)x2 + 3x + 2 është rritës në R?
a. k ∈]-6; 3[ b. k > 0 c. k ∈]-4; 0[ ç. k ∈]-3; 2[ d. k ∈]-4; 2[
9. Për ç’vlerë të m-së funksioni f(x) = x4 + x3 + (m - 1)x2 ka një pikë infl eksioni në x = -1?
a. -3 b. -2 c. -1 ç. 0 d. 1
y
0 1 2 3 4 1 2 3 4
11
-2 -1
2
0 1 2 3 4
31
y
0 1 2 3 4
1
1 2 3 4 y = f(x)
10. Në fi gurë jepet grafi ku i funksionit derivat të f(x) = x3 + ax2 + bx + 1. Gjeni a + b.
a. 17 b. 11 c. 5 ç. -17 d. -10
11. Le të jenë x1, x2 rrënjë të ekuacionit x2 – (m + 1)x + 2m -1 = 0.
Për ç’vlerë të m-së shuma s = x12 + x2
2 merr vlerën më të vogël?
a. 0 b. 1 c. -1 ç. 2 d. -2
12. Gjeni pikën e parabolës y x=2
2 që është më afër pikës A −
32
0; .
a M. ; ; b. c. (0; 0) −
1 12
1 12
çç. d. −
12
18
12
18
; ;
32
Kreu IV
Gjatë studimit të matematikës në vitet e kaluara (kl. X, XI) është treguar që drejtëza, në lidhje me një sistem kënddrejtë koordinativ xoy në plan, paraqitet me ekuacionin ax + by + c – 0, ana e majtë e të cilit është polinom i fuqisë së parë i ndryshoreve x dhe y. Prandaj dhe drejtëza shpesh quhet vijë e fuqisë së parë.Në kreun IV studiohet me metodën e koordinatave disa vija të tjera, ana e majtë e ekuacioneve të të cilave është polinom i fuqisë së dytë i ndryshimeve x dhe y. Vija të tilla quhen vija të fuqisë së dytë. Këto janë rrethi, elipsi, hiperbola dhe parabola, të cilat njihen me nj emër të përbashkët Konikë.Konikët njiheshin që nga grekët e lashtë dhe ndoshta jo vetëm prej tyre.Apoloni, nga fundi i shekullit III p.e.r, në veprën e tij : “Konika” prej tetë librash i trajton gjerësisht këto vija. Ai i përfytyronte ato si prerje të një sipërfaqeje konike me një plan, mjafton që plani prerës të ndryshonte pjerrësinë në mënyrë të caktuar. Konkretisht: (fi gura).
1. Nëse plani prerës është pingul me boshtin e sipërfaqes konike, prerja është RRETH. 2. Nëse plani prerës nuk është paralel me ndonjë përftuese të sipërfaqes konike, atëherë prerja
është ELIPS.3. Nëse plani prerës është paralel me njërën nga përftuesit e sipërfaqes konike, atëherë prerja
është PARABOLË.4. Nëse plani prerës është paralel me boshtin e sipërfaqes konike, atëherë prerja është
HIPERBOLË.Studimi i prerjebe konike mori zhvilli me krijimin e metodës së koordinatave nga Dekarti e Ferma. Kjo metodë është mjaft e përshtatshme,e për studimin e tyre dhe ka bërë që këto vija të bëhen ndër objektet kryesore të “Gjeometrisë analitike”. Duke zgjidhur sisteme koordinatave të përshtatshme, arrihet që ekuacionet e tyre të jena të përshtatshme, arrihet që ekuacionet e tyre të jenë sa më të thjeshta dhe studimi të kryhet me lehtë.
4.11 Ekuacioni i tangjentes dhe i pingules të ndërtuar në një pikë të elipsit xa
yb
2
2
2
21+ =
Objektivat: Në fund të orës së mësimit nxënësi:
1.të shkruajnë ekuacionin e pingules xa
yb
2
2
2
21+ = në pikën M0(x0, y0) ∈E;
2.të shkruajë ekuacionin e pingules në një pikë M0(x0, y0) të elipsit;3.të gjeninë pikën e tangjencës së drejtëzës tangjente me elipsin;4.të punojnë ushtrime ku kombinohen njohuritë e marra.Udhëzime për zhvillimin e mësimitUdhëzojmë që ora e mësimit të fi llojë me një riaktivizim të njohurive të kaluara që do të përdoren gjatë shtjellimit të njohurive të reja.
1. Cili është ekuacioni i d: 1. kalon y M0(x0, y0) 2. Me koefi cenmt këndor k
d: y – y0= k(x-x0).
2. Elipsi ka ekuacionin xa
yb
2
2
2
21+ = . Ç’do të thotë kjo?
M0(x0, y0) ∈E → xa
yb
02
20
2
21+ = barazim numerik i vërtetë.
xa
yb
02
20
2
21+ = V→ M0(x0, y0) ∈E
3. Cili është kuptimi gjeometrik i koefi cientit këndor k = tgα?
Konceptet e trajtuara:ekuacion i elipsittangjente në një pikë të vijëspingule në një pikë të vijëskoefi cienti këndor i drejtëzëskuptimi gjeometrike i derivatitekuacion i drejtëzësfunksionfunksion
y
0 α
x
33
4. Për të gjetur k(koefi cientin këndor) të tangjentes është përdorur kuptimin gjeometrik të derivatit.
Të vihet në dukje se funksioni që derivohet është ai që jep varësinë e ordinatës së pikës nga abshisa
y ba
a x a x= − −2 2 2 2 V y = - ba
(vija që paraqet elipsin në planin xoy nuk paraqet grafi k të një funksioni)Por për të gjetur derivatin e funksionit në tekst ështëpërdorur një mënyrë indirekte.
Nuk derivohet y = f(x) y = ba
22
2± −
a x2 2 por katrori i funksionit y = b
a2
2
2± −( )a x2 2 .
5. Prandaj gjatë derivimit përdoret rregulla e derivimit të funksionit të përbërë.(y2)1= 2y · y1 y = y(x)Gjetja e ekuacionit të pingules në M0(x0, y0) dhe është pingul me një drejtëz.Ushtrimet 1 e 2 përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit.
Ushtrimi 3. Për të gjetur pikën e tangjentes së drejtëzës me elipsin mund të veprohet në 2 mënyra.
Mënyra e parë. Zgjidhet sistemi: x y
x y
2 2
12 41
4
+ =
− =
Mënyra e dytë
Shndërrohet ekuacioni x – y = 4 në trajtën xxa
yyb
02
02
1+ = d.m.th. xx yy0 0
12 41+ =
x – y = 4 ↔ x y x y4 4
1 34 3
14
1− = ↔ ⋅⋅
+ − =( )
x – y = 4 ↔ x y⋅ + − =312
14
1( ) Pika e tangjentes M0(3;-1)
Ushtrime plotësuese
1. Vërtetoni se tangjentet me elipsinxa
yb
2
2
2
21+ = të hequra në skajet e çdo korde të tij që kalon
nëpër qendrë janë paralele.2. Jepet elipsi x y
22
41+ = dhe M(1; y<0) në të.
a. Gjeni ekuacioni e tangjentes së hequr në pikën M.b. Gjeni sipërfaqen e fi gurës së kufi zuar nga boshtet koordinatave dhe tangjentja e hequr në pikën M.
3. Jepet elipsi x y2 2
25 41+ = dhe pika M(4; 6
5)
a) Tregoni se M është pikë e elipsit. Shkruani ekuacionet e tangjenteve me elipsin në pikën M dhe në skajet A e A’dhe në skajet A e A’dhe në skajet A e A të boshtit të madh të tij.
b) Tregoni se segmenti i tangjentes në pikën M, i cili i ka skajet në tangjentet me elipsin në pikat A dhe A’A dhe A’A dhe A, shihet nën një kënd të drejtë nga vatrat e elipsit.
4. Jepet elipsi x y2 2
16 121+ = .
a. Provoni se M(2,3) është pikë e elipsit dhe gjeni ekuacioni i tangjentes me elipsin në pikën m.b. Provoni se kjo tangjente formon kënde të barabarta me rrezet vatrore të pikës M.
y
y = f(x)
t
x0
y0
34
5. Gjeni ekuacionin e tangjentes së elipsit 3x2 + 8y2=45, largësia e së cilës nga qendra e tij është e barabartë me 3.
P. ( : )p x y± ± + −3 4 15 0
6. Gjeni ekuacionet e brinjëve të një katrori të jashtëshkruar elipsit me ekuacion x y2 2
6 31+ = .
7. Gjeni ekuacionet e asaj tangjenteje të elipsit x y2 2
25 91+ = , e cila, raportin e largësive nga dy
vatrat e ka 9.
Ushtrime kontrolli për kreun IV
1. Shkruani ekuacionin e rrethit në qoftë se skajet e një diametri të tij janë: A(1;4) dhe B(-3; 2)
2. Gjeni tangjentet e përbashkëta të elipsave x y x y22
2 2
71
5 91+ = + = dhe .
3. Shkruani ekuacionin e hiperbolës që kalon nëpër vatrat e elipsit x y2 2
169 1441+ = dhe i ka vatrat në
kulmet e këtij elipsi.
1*. Shkruani ekuacionin e rrethit që e ka qendrën në pikën M(9;5) dhe është tangjent me drejtëzën 3x + 4 y -12 = 0.
2*. Shkruani ekuacionin e elipsit që kalon nga pika M( ; )2 53− dhe e ka jashtëqendërsinë e = 2
3.
3*. Shkruani ekuacionet e tangjenteve të parabolës y2 = 4x në pikat e prerjes së saj me drejtëzën 3x + 2y + 1 = 0.
4*. *. Jepet elipsi: x y2 2
8 21+ =
a) Në kuadratin e parë gjendet pika A e elipsit, ku tangjentja të jetë paralele me drejtëzën x + 2y = 0.b) Shkruani ekuacionin e parabolës me kulm në origjinën e koordinatave, simetrike me boshtin y’y dhe që kalon nga pika A.
35
Kreu VI
Shumë probleme në matematikë kanë të bëjnë me radhitjen e objekteve në një grup të dhënë apo me numrin e grupeve të ndryshme, që mund të formohen prej një bashkësie të dhënë objektivash. Pra janë probleme të numërimit. Kështu p.sh pyetja: Sa trekëndësha mund të ndërtohen me 7 pika të dhëna në një plan, në qoftë se çdo tre prej tyre nuk ndodhen në një vijë të drejtë? Kthehet në problemin e kombinatorikës. “Në sa mënyra mund të zgjidhen tre pika midis 7 pikave të dhëna”.Në këtë pjesë të kreut trajtohen kuptime të tilla si: dispozicionet, përkëmbimet, kombinacionet që lidhen me bashkësi që kanë një numër të fundmë elementesh dhe me formimin e sistemeve të radhitura apo jo të k objekteve nga këto bashkësi. Numërimi i këtyre sistemeve prej k elementesh nga një bashkësi bëhet duke u mbështetur në dy parime bazë njehsimi: parimi i mbledhjes dhe parimi i shumëzimit.
Parimi i mbledhjesLe të jenë a dhe b dy veprime që nuk mund të kryhen njëherësh. Në qoftë se veprimi a mund të kryhet në n1 mënyra dhe veprimi b në n2 mënyra, atëherë veprimi a dhe b do të kryhet në n1 + n2
mënyra.
Parimi i shumëzimitNë qoftë se veprimi a mund të kryhet në n1 mënyra dhe për secilën nga këto mënyra veprimi b mund të kryhet në n2 mënyra, atëherë të dy veprimet së bashku kryhen njëri pas tjetrit në n1 ∙ n2 mënyra.
Shembuj
1. Sa numra dyshifrorë mund të formohen me shifrat 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Shënojmë A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Çdo numër dyshifrorë është një çift i radhitur shifrash ku shifra e parë dhe e dytë janë elementë të A-së, pra është element i prodhimit hartezian A x A = A2. Atëherë n(A x A) = n (A) ∙ n(A) = 6 ∙ 6 = 36.
2. Një restorant ofron 4 lloj supash, 3 lloj gjellësh dhe 5 lloj ëmbëlsirash. Sa mundësi servirjeje ka, nëse çdo servirje ka një supë, një gjellë dhe një ëmbëlsirë?
36
6.1 Dispozicionet
Objektivat. Nxënësit të jenë të aftë të:- të tregojnë dispozicione me k elementë nga bashkësia e dhënë me n-elemente- të njehsojnëDk
n sipas formulës përkatëse, për vlera të dhëna të n-së dhe k-së.- të dallojnë në situata të thjeshta praktike, nëse kemi të bëjmë me dispozicione.
Udhëzime për zhvillimin e mësimitPër të ardhur tek kuptimi i dispozicionit si një sistem i radhitur elementësh, të ndryshëm nga n të dhënë gjithsej është mirë të trajtohen shembuj dhe jo të jepen direkt përfundimi.
Shembull 1. Është dhënë bashkësia A={a, b, c, d}.a) Tregoni treshe të radhitura me elemente nga kjo bashkësi.abc, bac, cba, acb, bcd etj.
Çdo treshe e tillë është një dispozicion me 3 elemente nga bashkësia me 4 elemente.
b) Sa treshe të radhitura formohen me elemente të kësaj bashkësie?Për të llogaritur numrin e tresheve të radhitura mund të përdoret parmimi i shumëzimit ose metoda e “pemës”.
Shembull 2. Në sa mënyra të ndryshme mund të vendosen njëra pas tjetrës 4 piktura nga 7 të tilla në murin e ekspozitës. Pas trajtimit të shembujve të jepet përkufi zimi .Për të gjetur numrin e dispozicioneve të ndryshme me k elemente nga bashkësia A prej n elementesh, të përdoret parimi i shumëzimit.
n n – 1 n – 2 .......... n – (k – 1)
Dhe prej këtej formula Dkn = n (n – 1) (n – 2)..... [n – (k-1)] e cila është më e përshtatshme për t’u
përdorur në krahasim me D nn kn
k =−
!( )!
.Ushtrimet 1, 2, 3 përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit të njohurive.
Ushtrime plotësuese1. Në sa mënyra të ndryshme mund të ulen 7 njerëz në një stol që ka 3 vende?
2. Janë dhënë shifrat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.a) Sa numra 4 shifrorë mund të formohen?b) Sa numra 4 shifrorë formohen me kusht që shifrat të mos përsëriten?c) Sa prej tyre fi llojnë me 2? Sa mbarojnë me zero?
37
3. Janë dhënë shifrat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a. Sa numra 4 shifrorë çift mund të formohen.b. Sa numra 4 shifrorë çift mund të formohen me kusht që shifrat të mos përsëriten?
4. Sa numra tej me 4 shifra mund të formohen duke përdorur shifrat pa përsëritje.
5. Sa numra më të vegjël se 8000 formohen me shifrat 3, 5, 6, 7?
6. Vërtetoni që:
a D D nDn n) b) D 64
53 4
136= = − c) Dn
6 − = − ⋅D n Dn n5 2 44( )
7. Zgjidhni ekuacionet në lidhje me n, x:
a D D Dn n n) , , , b) 2 c)2 2 2 26 32= + =DD
D
ç x D xD D
n
n
x
,
,
, , ,)
3
12
22 1 4 3 2
2
0
+=
− − = d) x ND Dx x5
2418= ∈− ;
8. Gjeni bashkësinë e përcaktimi dhe bashkësinë e vlerave të funksionit: f(x)=D x N8-x
x-2 ∈ .
38
39
40
