166 Annalen der Physik. 7. qolge. Band 14. 1964

Uber die quantenmechanischen Grundlagen der Theorie der Y-y- Winkelkorrelationen '1

Von HARRY PAUL

Inhaltsiibersicht Bei der theoretischen Behandlung der y-y-Winkelkorrelationen t r i t t das Problem auf,

den Zustand eines Kerns quantenmechanisch zu beschreiben, der unmittelbar vorher ein erstes y-Quant bestimmter Aiisbreitungsrichtung n, und Polarisation p1 emittiert hat. Zu seiner Losung wird zunachst die (aus der WIGNER-WEISSKoPB-Losung der SCHRODINGER- Gleichung leicht zu erhaltende) Dichtematrix fur einen Kern berechnet, der sich - nach einer irgendwann vorher stattgefundenen Emission, eines y-Quants (n, p l ) - im Zwischen- zustand der y-y-Kaskade befindet. Die zeitliche Anderung dieser Dichtematrix lallt sich als Summe von drei Termen schreiben, die sich auf die drei Prozesse: a) obergang BUS den1 Ausgangszystand der Kaskade in den Zwischenzustand unter Emission eines y-Quants (n, p l ) , b) Ubergang aus dem Zwischenzust'and in den Endzustand unter Emission eines y-Quants beliebiger Richtun,g und Polarisation und c) ungest,brte (bezuglich der Strahlungs- wechselwirkung) zeitliche Andcrung der Dicht,ematrix jeweils beziehen. Der a) entspre- chende Term charakterisiert den Zustand eines Kerns unmittelbar nach der Ausstrahlung eines y-Quant's (nl pl). Damit ist die Anfangsbedingung fur die SCHRODINGER-GkiChUng be- kannt, die den zweiten EmissionsprozeB beschreibt,. Ihre Losung liefert den bekannten Aus- druck fur die y--y-Korrelationsfunktion bei verzogerten Koinzidenzen.

1. Einloitung Wahrend des Ablaufs einer yy -Kaskade finden zwei Emissionsakte stlatt.

Der Zeit,,punkt" t, der Emission des ersten y-Quants spielt dabei eine ahnlich ausgezeichnete Rolle wie der Anfangszeitpunkt t = 0: Zur Zeit t = 0 befindet, sich der Kern mit Sicherheit im Ausgangszustand, zur Zeit t , mit Sicherheit im Zwischenzustand der Kaskade. Um die Emission des zweiten y-Quants zu be- schreiben, hat man daher die SCHRODINGER-Gleichung mit derjenigen Wellen- funktion als Anfangsbedingung zu losen, die dem Kern unmittelbar nach Emis- sion des ersten y-Quants zukommt. Die Bestimmung dieser Wellenfunktion stellt aber ein prinzipielles Problem dar, denn die Quantenmechanik gibt in ihrer konventionellen Form keine Vorschrift zu ihrer Berechnung an : aus der zur Zeit t, genommenen Losung der SCHRiiDINGER-Gleichung kann man nur die Wellenfunktion fur den zur Zeit tl (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit) an- zutreffenden Zustand ,,der Kern befindet sich im Zwischenniveau und es ist ein y-Quant bestimmter Sorte vorhanden" ausrechnen, wobei vollig offen bleibt, in welchem Zeit,,punkt" des Intervalles 0 . . . t, das y-Quant tatsachlich emittiert wurde.

l) Gekurzter Auszug am der Habilitatiorisschrift des Verfassers, Berlin 1963.

H. P ~ c L : Quant,enmechanische Grundlagen der p y - Winkelkorrelationen 167'

In der konventionellen theoretischen Behandlung der y-y-Korrelationen 1s. BIEDENHARN')] erfolgt die Bestimmung der Wellenfunktion des Kerns, die nach der Emission des ersten y-Quants vorliegt, in der Weise, daS an Stelle der richtigen eine abgejnderte SCfrRODINGER-Gk?ichung gelost wird. Die Abande- rung besteht dabei darin, daS die Matrixelemente des Operators der Strahlungs- wechselwirkung, die sich auf die Emission des zweiten y-Quants beziehen, gleich Null gesetzt werden, d. h. der zweite fibergang wird formal verboten. Diese Methode 1aOt sich aber nur fur den Fall, daB die Lebensdauer des Ausgangs- niveaus sehr klein im Verhaltnis zur Lebensdauer des Zwischenniveaus ist, ein- sehen. Dieser Fall braucht jedoch im Experiment keineswegs realisiert zu sein !

Eine befriedigendere Moglichkeit, zu einer Beschreibung des Zustandes un- mittelbar nach der Emission zu gelangeii, wurde voii cOESTER3) diskutiert. Die- ser Autor geht voii der Vorstellung aus, daIj die aufgestellten Zahler (zumindest im Prinzip) standig eine Beobachtung an dem System vornehmeri. Sie stellen, genau gesagt, alle 6t Sekunden fest, ob ein Lichtquant da ist oder nicht (wobei im Endergebnis der Rechnung der Grenziibergang 6f --f 0 durchgefuhrt werden kann). Alle 6t Sekunden muR daher eine entsprechende ,,Ausreduktion der Wel- lenpakete" vorgenommen werden, und es bereitet keine Schwierigkeit, die Wel- lenfunktion, genauer die Dichtematrix, fur einen Kern anzugeben, der gerade in einem Zeitintervall t, . . . t, + 6t eiri y-Quant bestimmter Richtung und Polari- sation emittiert hat.

Wir wollen im folgenden einen anderen Weg zur Gewinnung der eben ge- nannten Dichtematrix einschlagen, der sich von den konventionellen Aussagen der Quantenmechanik moglichst wenig entfernt. Wir werden zeigen, daS die zeit- liche h d e r u n g der (aus der WIGNER-WEISSKOPF-Losung der SCHRODINGER- Gleichung leicht zu erhaltenden) Dichtematrix fur einen Kern, der sich zur Zeit tl - nach einer irgendwann vorher stattgefundenen Emission eines y-Quants der Ausbreitungsrichtung n, und der Polar isation p, - im Zwischenzustand der y-y-Kaskade befindet, als Summe von drei Termen geschrieben werdeii kann, die sich den drei Prozessen: a ) ubergang aus dem Ausgangszustand in den Zwischenzustand der Kaskade unter Emission eines y-Quants (n, p,), b) uber- gang aus dem Zwischenzustand in den Endzustand unter Emission eines y - Quants beliebiger Richtung und Polarisation und c) ungestorte (bezuglich der Strahlungswechselwirkung) zeitliche dnderung der Dichtematrix jeweils zuord- nen lassen. I m bes. erhalten wir so die gesuchte Dichtematrix fiir einen Kern, der im Zeitintervall t, . . . t, + At, aus dem Ausgangs- in das Zwischenniveau uber- gegangen ist und dabei ein y-Quant (n, p,) ausgestrahlt hat. Mit der Kenntnis dieser Dichtematrix ist es dann ein leichtes, die y-y-Korrelationsfunktion fur verzogerte Koinzidenzen aufzuschreiben.

2. Die WIGNER-WEIRSKOPF-LOSUnff der SCHRODIKGER-GleiChUn~

Wir geben zunachst die S C H R O D I N C E R - G I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ und ihre Losung in der WIGNER-WEISSKOPF-Naherung an. Zuvor is t es notig, eine Reihe von Bezeich- tiungeri einzufuhren : Wir numerieren die Unterniveaus des - im allgemeinen

2) L. C. BIEDENIIARN u. M. E. ROSE, Rev. mod. Phys. 95, 729 (1963). 3, F. COESTER, Phys. Rev. 93, 1304 (1954).

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Falle durch (statische) auBere Felder aufgespaltenen - Ausgangszustandes des Kerns durch den Buchstaben a; die jeweilige Energie sei ti ma. Entsprechend beziehe sich der Buchstabe B auf den Zwischen- und der Buchstabe y auf den Endzustand. Ein y-Quant werde durch seinen Wellenzahlvektor f und seine Polarisation p charakterisiert (fur rechtszirkular polarisierte Quanten gilt p = -1, fur linkszirkular polarisierte p = + 1); ti mf sei seine Energie. Die Wechselwirkung zwischen Kern und Strahlungsfeld werde als Storung behan- delt ; H,, bezeichne den ungestorten HAMILTON-Operator des Gesamtsystems (in ihm seien die auljeren Felder also bereits enthalten), und der Operator HW be- schreibe die Wechselwirkung zwischen Kern und Strahlungsfeld.

Wir setzen voraus, daB HW linear im Vektorpotential des Strahlungsfeldes, also in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren fur die Lichtquanten ist. In der Ha-Darstellung sind somit nur solche Matrixelemente von HW ungleich Null, bei denen sich Anfangs- und Endzustand um genau e in Lichtquant unterscheiden. Weiterhin wird angenommen, daB der Endzustand der Kaskade der Grundzustand des Kerns ist und daB keine direkten Obergange zwischen Ausgangs- und Endzustand stattfinden. Auljerdem konnen Obergange zwischen den Unterniveaus eines Hauptniveaus wegen ihrer - im Verhaltnis zu den y - Obergangen zwischen den Hauptniveaus - auBerordentlich geringen Wahr- scheinlichkeit aul3er Betracht gelassen werden.

I m Anfangszustand befindet sich der Kern im obersten Niveau der Kaskade, und es ist kein y-Quant vorhanden. Die zeitliche Entwicklung dieses Zustandes kann genahert in der Form

dargestellt werden. Die Naherung besteht darin, dalj in (1) alle Zustande weg- gelassen wurden, die nur unter Verletzung des Energiesatzes erreicht werden konnen. Fur die Koeffizienten a,, bB(fG,), c y ( ~ l P l ) ( ~ ~ p 2 ) gilt dann die folgende SCHRODINGER-Gleichung [s. z. B. BIEDENHARN2)]

Eine genaherte Losung dieses Gleichungssystems, die der Anfangsbedingung

(3) 0 ado) = a, b,,T,P,(O) = CY(f,PJ(t,P,)(O) = o

genugt, kann am einfachsten mit Hilfe der Methode der LAPLACE-Transforma- tion [s. TRALLI~)] gefunden werden. Man erhalt so die WICNER-WEISSKOPF-

4, N. TRALLI u. G. GOERTZEL, Phys. Rev. 83, 399 (1951).

H. PAUL: Quantenmechanische Grundlagcn der y-y-Winkelkorrelationen 169

den reziproken Wert der Lebensdauer des Ausgangszustandes (bezuglich y- Emission), und eine eritsprechende Formel gilt fur die reziproke Lebensdauer r, des Zwischenzustandes.

3. Der Zustand des Kerns iinmittelbar nach der Emission Der Anteil

g bD(f,P,) (4) I B (fl PI)) (6)

der Losung der SCHRODINGER-Gleichung beschreibt bekanntlich den Zustand des Systems, bei dem sich der Kern (zur Zeit tl) im Zwischenzustand befindet und ein y-Quant (fl pl) vorliegt.

Da wir vom Anfangszustand nicht die Wellenfunktion 2 a: 1 n), sondern U

nur die Dichtematrixelemente

(der doppelte Querst,rich sol1 die Mittelung iiber eine Gesamt'heit andeuten) kennen, empfiehlt, es sich, auch in G1. (6) gleich den Obergang von der Wellen-

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funktion zur Dichtematrix vorzunehmen. Da Ausbreitungsrichtung n, und Pola- risation p1 des y-Quants durch den Zahler (zumindest im Prinzip) scharf gemes- sen werden, ist diese Dichtematrix diagonal bezuglich dieser beiden GroBen, d. h. das Dichtematrixelement lautet

___ __ (8) RB(f,P,):B’(f;P;) (4) = hflp,) (4) v Y € ; P ; j (4) 6n,n; S,,,;

(6 KRONECKER-Symbol). Die Normierung der Dichtematrix (8) ist so gewahlt, daB die Spur von RB(flP1):B,(f,PI) (t,) (bezuglich /3) die Wahrscheinlichkeit an- gibt, zur Zeit t, den Kern im Zwischenzustand anzutreffen und gleichzeitig ein y-Quant (f, p l ) vorzufinden. Da das einmal emittierte y-Quant fur das weitere Schicksal des Kerns, namlich die Emission eines zweiten y-Quants, ohne Bedeu- tung ist, interessiert uns eigentlich nur die Dichtematrix fur den Kern allein, die sich bekanntlich5) aus der Dichtematrix (8) durch Spurbildung bezuglich der Energie6) des y-Quants ergibt

Hier wurde noch die Unscharfe der Emissionsrichtung, ausgedriickt durch ein Raumwinkelelement dQ,, berucksichtigt. e (mf,) bezeichne die Dichte der Pho- tonenzustande. Durch Einsetzen der Formel (4b) fur b p ( ~ , ~ , ) (t,) entsteht (mit Cof, = w)

Da der Ausdruck e (w) (/3 (f, p,) I Hw I a ) @’(f, p,) I HW 1 a‘)* eine schwach ver- anderliche Funktion von w ist, kann er - genommen an der Stelle w = Am, (mit ti Am, als mittlerem Abstand zwischen dem Ausgangs- und dem Zwischen- niveau des Kerns) - vor das Tntegralzeichen gezogen werden. Wenn t, nicht zu klein ist, praziser, wenn t, die Ungleichung

A q . t , $ 1 (11) erfiillt, kann man den Integrationsweg in (10) durch - 00 . . . + 00 ersetzcii (die von dem Teilstuck - 00 . . . 0 herruhreriden Beitrage sind dann vernach- lassigbar gegeniiber den Hauptbeitragen von den Resonanzstellen) und das so entstehende Integral leicht mit Hilfe der Residuenmethode berechnen. Man er- halt auf diese Weise die Dichtematrix fur einen Kern, der sich - bei gleichzeiti-

5, Siehe bei5pielsweise G. LUDWIG, Die Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin 1954. ~ ~~

‘j) Die Energie ist die einzige GroBe fur das y-Quant, deren Wert nicht durch die Mes- sung fixiert wird.

H. PAUL: Quantenmechanische C;rundlagen der winkelkorr elk or relation en 171

gem Vorhandensein eines y-Quants (nl p l ) - im Zwischenzustand befindet, zu

(1'7) rxp { - i ( w , - ftJ&#) t , - r, t l } - exp {- i (cup - wS,) I, - r, tl}

- i ( W J - War - [cup - W 8 # ] ) - (r, - r2) x

(fur wr, denke man sich von jetzt a b stillschweigend den Wert Awl eingesrtzt). Zum Zweck einer spateren Anwendung bestimmen wir noch den Wert tler

Dichtematrix (12 ) fur kleine Zeiten t , = t, die den Unglcichungen 1 (w, - OJ,.) t ~ < 1 1 (wp - cup') t I < 1

(13) rlt< 1 rZt < 1, aber auch der Ungleichung (11). genugen. Aus (12) ergibt sich sofort

Der gleiche Ausdruck folgt iibrigeiis auch aus der DIRacschen Storungsrechnung. Stellen wir uns nun, um die Verhaltnisse moglichst klar zu uberblicken, nicht

e i n e n Kern vor, sondern pine Geaamtheit von sehr vielen Kernen, die sich zur Zeit t = 0 alle im Ausgangszustand der Kaskade befinden mogen, so beschreibt die Dichtematrix (12) diejenige Teilgesamtheit von Kernen (zur Zeit t , ) , die zur Zeit f, im Zwischenzustand angetroffen werden und irgendwann vorher ein y - Quant (n, p , ) (mit der Richtungsuiischarfe dQ,) ausgestrahlt haben. Die zeitlirhe Anderung dieser Teilgesamtheit im Zeitintervall 1, . . . t, + A t , hat folgende Ursacheri :

a) es gehen wahrend des genannten Zeitintervalls Kerne aus dem Ausgangs- in das Zwischenniveau unter Emission eines y-Quants (n, p,) iiber, wodurch sich die Teilgesamtheit vergroBert ; und

b) es verschwinden im Zeitraum t , . . . t, + dl, Kerne aus der Teilgesamt- heit durrh Ubergange aus dem Zwischen- in das Endniveau unter Emission eines y-Quants beliebiger Richtung und Polarisation.

(Rcabsorptionen vorher emittierter y-Quanten spielen keiiie Rolle, weil die y-Quantrn von ihrem Entstehungsort wegfliegen.)

Der zeitlirhen Anderung der Teilgesamtheit entspricht eine zeitliche Ande- rung der Dichtematrix Rg?'(tl). wobci zu beachten ist, daD sich die Dichte- matrix suf Grund der SCHRoDrxaER-c+leiChUng auch dann andert, wenil gar keine Strahlungs~echsel\irkung vorhanden ist. d. h. keine Ubergange stattf in- den.' Die zeitliche A%nderung von Rjl"8:P"(tl) beschreibt daher die Prozesse a): b) und iiberdies c) die (beziiglich drr Rtrahlungsaechselwirkung) ungestorte zeit - liche Entwicklung der - nach Emission eines y-Quants (n, p,) - im Zwischen- zustand befindlichen Kerne. Ent sprechend diesen drei verschiedenen Vorgangen zerfallt die zeitliche Anderung dcr Dichtematrix Rjl"s:P"(tl) in drei Summanden, die sich den einzelnen Prozessen a) . b ) und c) jemeils eindeutig zuordiien lasseii. I n der Tat folgt aus G1. ( 1 2 )

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fur Werte von At,, die den Ungleichungen (13) genugen. Zunachst ist klar, daR die ungestorte zeitliche Entwicklung der Dichtematrix R$F1'(t,) durch die Gleichung

(16) R(n,Pd p p r ( t , + t ) = ~ & + ' ( t , ) exp f- i (wp - cup.) t>

gegeben ist, da die ungestijrten Eigenfunktionen 18) in der Form exp { - i c o p t } von der Zeit abhangen. Der Term - i (wp - cop,) At, R&@ ( t , ) auf der rechten Seite von G1. (15) entspricht daher dem ProzeB c). Der Summand - I ' . .At lR~~l) ( t l ) andererseits laat sich dem ProzeB b) (ffbergang in den Endzustand) zuordnen. Dies lehrt ein Vergleich mit der Situation im Ausgangsniveau, wo ja nur Ober- gange in das tiefere Niveau stattfinden konnen. Hier tritt eine zeitliche h d e - rung der Dichtematrix von derselben Art auf, denn nach GI. (4a) lautet die Dichtematrix fur die im Ausgangszustand befindlichen Kerne

Nach dem oben Gesagten kann sich daher der noch verbleibende erste Summand auf der rechten Seite von G1. (15) nur auf den ProzeR a) beziehen. Wir wollen dies noch etwas deutlicher zeigen.

Zunachst laat sich der im fraglichen Ausdruck enthaltene Term (0) x exp {- i (ma - w,.) tl - r, t,) gemaB GI. (17) als Dichtematrix pa,. (t ,) fur diejenige Teilgesamtheit von Kernen interpretieren, die sich zur Zeit t , noch im Ausgangszustand der y-y-Kaskade befinden. Eine gewisse Anzahl dieser Kerne geht im folgenden Zeitraum t, . . . t, + At, in den Zwischenzustand unter Emission eines y-Quants (it, p,) (mit der Richtungsunscharfe dS,) uber. Diese so entstehende neue Teilgesamtheit wird, wenn At, die Ungleichungen (13) und (11) befriedigt, nach GI. (14) durch die Dichtematrix

beschrieben. Das ist aber genau der erste Summand auf der rechten Seite der GI. (15), dessen physikalische Bedeutung als Dichtematrix fur diejenigen Kerne, die gerade im Zeitintervall t , . . . t, + At , einen nbergang aus dem Ausgangs- in das Zwischenniveau unter Emission eines y-Quants (n, p,) vorgenommen haben, hiernach klar ist. Damit haben wir in G1. (18) die gesuchte Dichtematrix fur den Zustand des Kerns unmittelbar nach der Emission des ersten y-Quants gefunden.

Die Aufspaltung von ARE?' (t , ) in drei Anteile bringt eine entsprechende Zerlegung der zeitlichen dnderung von S p RI;B:""(t,), d. h. der dnderung der Wahrscheinlichkeit, den Kern im Zwischenzustand - nach einer irgendwann vorher erfolgten Emission eines y-Quants (n, p,) - anzutreffen, mit sich. Der Anteil der Bnderung von Sp R#F"(t,), der dem ProzeR a) entspricht, ist offenbar gleich der Wahrscheinlichkeit w (n, p,; t , . . . t , + At,), daR ein Kern im Zeitintervall t, . . . tl + At, ein y-Quant (n, p,) mit der Richtungsunscharfe dS, emittiert :

~ ( ~ , p , ; t , . . . t , + A t , ) = S p R w ' ( t , . . . t , + A t , ) . (19)

H. PAUL : Quantenmechanische Grundlagen der y-y-Winkelkorrelationen 173

Wir bemerken noch, daS sich auch der Ausdruck (12) fur die Dichtematrix R$P' (tl) physikalisch einfach interpretieren la&. Man kann zunachst GI. (12) mathematisch umf ormen in

t l 2 z dR, 4 e (w,) <P (fl P1) ~ H" 1 a) W(fl P1) 1 Hrv 1 a'>* R("91)

BB' (4) = j- at',,- aa

(20) 0

x (0) exp {- i - ha.) t' - r, t'} x exp { - i (cog - wBr) (t l - t ' ) - I', (tl - t ' )} .

Hier erscheint als Teil des Integranden die eben diskutierte Dichtematrix (18)

die nach dem Obigen die Teilgesamtheit von Kernen beschreibt, die im Zeit- interval1 t' . . . t' + dt' unter Emission eiiies y-Quaiits (n, pl) aus dem Ausgangs- in das Zwischenniveau ubergegangen sind. Die Multiplikation dieser Dichte- matrix mit dem Faktor exp {- i (wp - u p ) (tl - t ' ) -r2 (t l - t ')}, die den uiiter dem Integralzeichen stehenden Ausdruck in G1. (20) liefert, entspricht dem ffbergang von der Teilgesamtheit von Kernen, die im Zeitintervall t' . . . t' + dt' ein y-Quant (n, p, ) emittiert haberi, zu demjenigen Anteil dieser Teilgesamtheit, der im Zeitpunkt t, noch im Zwischenzustand anzutreffen ist. (Weil eine Reab- sorption von y-Quanten nicht stattfindet, sind die beim zweiteii ffbergang vor- liegenden Verhaltnisse ganz analog denen des ersten ffbergangs, im bes. ist die Dichtematrix fur die im Zwischenzustand verbliebenen Kerne durch den zu (17) analogen Ausdruck gegeben.)

In GI. (20) wird also die Summe der Dichtematrizen fur die Teilgesamtheiten von Kernen gebildet, die durch das Schicksal ,,flbergang aus dem Ausgangs- in das Zwischenniveau unter Emission eines y-Quants (n, p,) im Zeitintervall 1 und anschlieflendes Verbleiben im Zwischenniveau his mindestens zum Zeitpunkt t;' zu kennzeichneii sind. Die Summation erstreckt sich dabei uber alle Zeitinter- valle I , die aneinandergefugt den Zeitraum 0 . . . t, ergeben. Die Form (20) der Dichtematrix fur die - bei gleichzeitigem Vorhandensein eines y-Quants (n, p,) - zur Zeit tl im Zwischenzustand befindlichen Kerne bringt daher einfach die Tatsache zum Ausdruck, daS es sich hierbei um alle Kerne handelt, die ir- gendwann vorher (in einem Zeitiritervall I jeweils) ein y-Quant (n, p l ) emittiert und bis zum Zeitpunkt t , keinen weiteren ffbergang durchgefuhrt haben.

4. Die y-y-Norrelationsfunktion Die experimentell unmittelbar bcstimmbare y-y-Korrelationsfunktion fur

verzogerte Koiiizidenzen ist defiriiert als der relative Wert der Wahrscheinlich- keit, daB ein Kern im zeitlichen Abstand t (Verzogerungszeit) zwei y-Quaiiten (n, p,) und (n2 p z ) cmittiert. Zu ihrer Berechnung ermittelii wir zunachst die Dichtematrix, die den Zustand eines solchen Kerns nach der Emission des zwei- ten y-Quants beschreibt.

Da wir von dem zur Zeit t = 0 vorliegeiiden Anfangszustand nur wissen, daB alle Unterniveaus a mit gleicher Wahrscheinlichkeit besetzt sind und daB keinc definierten Phaseiibeziehungen zwischen den Wahrscheiiilichkeitsamplitudcli fur die einzelrien Uiiterniveaus bestehen, ist die Dichtematrix fur den h f a n g s -

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zustand gegeben durch

( j , Spin des Ausgangsniveaus des Kerns). Entsprechend G1. (18) lautet daher die Dichtematrix (zur Zeit t, + t) fur einen Kern, der im Zeitintervall 4 . . . t, + t ein y-Quant (n, p,) ausgestrahlt hat [t geniige dabei den Ungleichungen (11) und (1311

x (B' (tl p,) I H m I .)* c r i C 1 .

Diese Dichtematrix dient als iieue Anfaiigsbedingung (zur Zeit 4 + Z) zur Be- schreibung der Emission des zweiten y-Quants. In genauer Analogie zur Emis- sion des ersten y-Quants [s. G1. (18)] ergibt sich die Dichtematrix fiir einen Kern, der im Zeitintervall t, + t . . . t, + t + t unter Emission eines y-Quants (n, p,) (mit der Richtungsunscharfe dQ,) aus dem Zwischen- in das Endniveau iibergegangen ist :

2 X T dG2 R g F ( t l + t . . . tl + t + t) = f i2 3 e b r , ) ( y (f, pz) I Hw I B>

x (y'(€zp,) / H w / p ' ) * R # J ( 4 . . . t l + t ) (23)

x exp {- i (wB - 0 s ' ) t - rz t } .

Hier wurden die Ungleichungen (13) beriicksichtigt, und fiir wr, hat man sich den Wert Am, (ti Am, mittlerer Abstand zwischen dem Zwischen- mid dem End- zustand der Kaskade) eingesetzt zu denken.

Die Spur der Dichtematrix (23) gibt offenbar die Wahrscheinlichkeit an, daB ein Kern sich t, sec im Ausgangsniveau aufhiilt, anschlieoend in einem Zeitinter- vall der Liinge z ein y-Quant der Richtung n, (mit der Unscharfe dQ,) und der Polarisation pl emittiert und t sec spiiter - in einem Zeitintervall gleicher Liinge - ein y-Quant der Richtung n, (mit der Unscharfe dQ,) und der Polari- sation pa . Der relative Wert dieser Wahrscheinlichkeit, also die Korrelations- funktion W(nl pl, n, p , ; t ) , hangt offenbar nicht von t, ab, und wir erhalton, wenn wir die Spurbildung [unter Berucksichtigung von G1. (22)] ausfiihren und alle uninteressanten Faktoren weglassen, den aus der Literatur bekannten Aus- druck [s. z. B. ABRAGAM')] fur die y-y-Korrelationsfunktion bei verzogerten Koinzidenzen (Verzogerungszeit t ) .

~ ( ~ 1 P l ~ F Z P z ; t ) = @ - / a IH"I B(f1 Pl)) ( B I P I Y(f, PA) (Y(f,P,) IH"I8') (24)

x (B ' ( f1 Pl) 1 p w 1 a> exp (i(wj3 - (Oa.) t - r z t } .

Wenn die Verzogerungszeit t nicht gemessen wird, haben wir iiber alle Werte t von t = 0 bis t = 00 zu integrieren, d. h. die gewohnliche Korrelationsfunktion lautet

W(n1 Pl, n, PA = a& (a I H" I B (€1 PI)) <B I ITW I Y (fz PZ)) ( y (€2 PA I H" I B') (25)

x <B'(€l p1) p( a> (1 - i (wp - wB,)irz}-l.

7) A. ABRAGAM u. R. V. POUND, Phys. Rev. 92, 943 (1953).

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Herrn Dr. W. BRUNNER danke ich fur zahlreiche Diskussionen. Ganz beson- ders zu Dank verpflichtet bin ich Herrn Prof. Dr. G. RICHTER fur seine uner- mudliche fordernde Kritik.

Berlin - Adlers 11 of , Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin: Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.

Be der Redaktion eingegangen am 21. Marz 1964.