ÜNİTE IMANTIK1. ÖNERMELERa. Mantıkb. Terim,tanımlı ve tanımsız terimlerc. Önermenin tanımı sembolle gösterimç. Önermenin doğruluk değerid. Önermenin doğruluk değerleri

tablosue. Denk (eşdeğer) önermelerf. Bir önermenin değili (olumsuzu)

BİLEŞİK ÖNERMELERa. Bileşik önermelerb. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik

önermeler ve özelikleric. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik

önermeler ve özeliklerid. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri

üzerine dağılma özeliğie. De Morgan (Dö Morgan) kurallarıf. Totoloji ve çelişki

Koşullu (şartlı) önermelerI. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik

önermelerII. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi,

karşıt tersiIII. Koşullu önerme ile ilgili özeliklerIV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile

kurulan iki yönlü koşullu önermelerV. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili

özelikler

AÇIK ÖNERMELERa. Açık önermelerb. Açık önermenin doğruluk

(çözüm) kümesic. NiceleyicilerI. Evrensel niceleyici (her)II. Varlıksal niceleyici (bazı)III. Niceleyicilerin değili

İSPAT YÖNTEMLERia. Tanımb. Aksiyonc. Teoremd. İspat yöntemleriI. Doğrudan ispat yöntemiII. Olmayana ergi ile ispat yöntemiIII. Deneme yöntemi ile ispatIV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispatV. Tümevarım yöntemi ile ispatVI.Tümden gelim yöntemi ile ispat

BU ÜNİTENİN AMAÇLARI* Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan

terimi, tanımlı ve tanımsız terimleriörneklerle açıklayabilecek,* Önermenin tanımını, sembolle gösterimini,

doğruluk değerini, iki önermenindenkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri

tablosu yapabilecek,* Bir önermenin değilini açıklayabilecek,* Birleşik önermeyi açıklayabilecek,* “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik

önermelerin özelliklerini açıklayabilecek,* De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi

doğruluk tablosu yaparak gösterebilecek,

* Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler

arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek, * Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek, * Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle

açıklayabilecek, bu niceleyecileri içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu

yazabilecek, * Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve

ispat kavramlarını açıklayabilecek, * Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek,

bir teoremin karşıtını, tersini, karşıt tersini, yazabilecek, * İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.

Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru düşünme ve doğru yargıya, mantık kuralları

ile ulaşılır.Matematiğin amacı, doğru ve

sistemli düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık

Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına ulaşılamaz.

Mantığa matematiksel yapı kazandıran ingiliz bilim adamı George Boole’dir.

Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde

matematiğin dilini oluşturmak amacıyla, sembolik mantığın temel kurallarını

inceleyeceğiz.

Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler

Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden farklı anlamı (özel anlamı) olan sözlüklerden

her birine, o bilim dalının bir terimi denir.

Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi tanımlamak denir.

Üçgen, çember, doğru parçası birer matematiğin tanımlı terimleridir.

Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere

tanımsız terim denir.Nokta, doğru, düzlem birer

matematiğin tanımsız terimidir.

Önermenin Tanımı, Sembolle Gösterimi

Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler

genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle gösterilir.

p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”q : “Bir yıl 12 aydır.”r : “İyi günler.”s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”Burada p, q ve s ifadeleri birer

önermedir. Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm

bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir

hüküm bildirmemektedir.

Önermenin Doğruluk Değeri

Bir önerme do¤ru ise doğruluk değeri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk

değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini belirtelim

p: “Bir gün 24 saattir.”q: “9 asal bir sayıdır.”r: “Adana Ege bölgesindedir.”s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının

uzunlukları eşittir.”Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur.

Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi iseyanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.

Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini bulalım. Bu önermelerden,

birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları ise ≡ sembolünü kullanarak

gösterelim. p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.” q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek

doğal sayıdır.” r : “Köpek memeli bir hayvandır.” s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.” Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1,

q≡ 0, r ≡1 ve s ≡ 0 dır. O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Verilen bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle, elde edilen yeni önermeye, bu

önermenin değili (olumsuzu) denir.

Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir.

“p nin değili” diye okunur.

BİLEŞİK ÖNERMELERBu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak”

bağlaçlarını kullanarak yeniönermeler oluşturacağız. iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”,

“ancak ve ancak” gibi bağlaçlarlabağlanmasından elde edilen yeni önermelere,

bileşik önermeler denir.Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”,

“ancak ve ancak” gibi terimleremantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine

bağlanan önermelere, bileşik önermeninbileşenleri denir.

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, bu basit önermelerin “veya”

bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik önermeye, p veya q bileşik önermesi

denir. pVq şeklinde gösterilir.pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az

birisi doğru iken doğru, ikisi deyanlış iken yanlıştır.pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri

tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır.Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1

, 0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.

p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri

veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşikönermesini yazalım ve doğruluk değerini

bulalım.pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü

veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır.p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna

göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşikönerme doğrudur.

Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özelikleri

Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır.

1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği)2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği)3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr

(Birleşme özelliği)4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡ 1V1 ≡ 1 olur.

O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı

ile bağlanmasından oluşan bileşik önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p Λ q şeklinde

gösterilir.p Λ q bileşik önermesi, p ve q

önermelerinin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır

p : “Portakal meyvedir.”q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ

q bileşik önermesini yazalım. Doğrulukdeğerini bulalım.p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm

sebzedir.”p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır.

p≡1, q≡ 0 dır.Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup,

bileşik önerme yanlıştır.

Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermenin Özelikleri

Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşağıdaki özelikler vardır

1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme

özelliği)3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r

(Birleşme özelliği4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

De Morgan (Dö Morgon) Kuralları (Bileşik Önermenin Olumsuzu)

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen

bileşik önermeler ile bu önermelerin olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile

(p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.

Totoloji ve ÇelişkiBir bileşik önerme, kendisini

oluşturan her değeri için daima doğru oluyorsa, bu

bileşik önermeye totoloji, daima yanlış oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki denir.

Koşullu (şartlı) Önermelerİse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik

Önermeler:Verilen p ile q önermelerinin “ise”

sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik önermesine

koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q” diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q şeklinde yazılır.

Verilen bileşik önermede, p doğru ve q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda

doğrudur.Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik

önermenin doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki

şekilde yapılmıştır.Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1

⇒ 0 ≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğugörülmektedir

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi

Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu önerme meydana getirildiğinde;

1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.

2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.

3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.

Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler:

1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′)2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q)3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′4. (p ⇒ p) ≡ 15. (p ⇒ p′) ≡ p′6. (0 ⇒ p) ≡ 1

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile Kurulan İki Yönlü Koşullu ÖnermelerVerilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒

q) bileşik önermesine, iki yönlükoşullu önerme denir. Burada p ⇒ q

koşullu önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p

bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q

biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye okunur.

Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) olur

p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken

doğru, farklı iken yanlıştır.Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu

önermesinin doğruluk değeri “1” yani doğru ise

bu önermeye çift gerektirme denir.

İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler

1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p )2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´

)3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme

özelliği)5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r )

(birleşme özelliği)6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)

AÇIK ÖNERMELERDoğruluğu içindeki değişkene

bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme

fonksiyonu denir.

NiceleyicilerDoğruluk kümelerini oluşturan

veya verilen önermeleri doğrulayan, elemanların

miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”, “hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız. Varlıkların

miktarını belirtmek için kullanılan bu ifadelere niceleyici denir.

Evrensel Niceleyici (her)Her biri, hepsi, bütünü anlamına

gelen “∀" sembolü evrensel niceleyicidir

Varlıksal niceleyici (Bazı)Verilen p(x) açık önermesi E

evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E

kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı

için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az bir x elemanı varsa, bu açık önermeye

varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈ E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.

Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması için, bazı x ler için p(x) doğru veya en

az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x) önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x)

yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış olur.

Niceleyicilerin DeğiliVerilen bir doğru önermenin

değilinin yanlış, yanlış bir önermenin değili ise

doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)” tir.

Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x) değilidir.”

Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değilini yazalım.

“Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili “Bütün sayılar asal değildir” olur.

İSPAT YÖNTEMLERİAksiyomDoğru olduğu ispatlanmadan

kabul edilen önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar

kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar

bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.

TeoremMatematikte ispatlanması gereken önermelere

teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu,önceden verilen tanım ve aksiyomlardan

yararlanarak ispatlayabiliriz. Bir teoremin ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde

kullanılır.Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta

olan p önermesine hipotez(varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm

(yargı) denir.Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün

doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir. Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.

İspat YöntemleriI. Doğrudan ispat:Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu

kabul edilerek, hükmünde doğruolduğu gösterilirse, bu ispat şekline,

doğrudan ispat yöntemi denir.II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi:Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´)

dür.p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´

teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremiispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi

ile ispat yöntemi denir.

III. Deneme Yöntemi ile ispatVerilen önermedeki değişkene

farklı değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı yerlerine

yazılarak önermenin doğruluğu kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispatVerilen bir önermenin doğru olduğu

ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya

çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu ispatlanır.

Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak

için kullanılır.O halde, verilen önermenin doğru olmadığını

gösteren en az bir değer varsa, buönermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.

V. Tüme Varım Yöntemi ile ispatTüme varım yöntemi, özel

kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir.

O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün doğruluğunu bulmaktır.

VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat

Tümden gelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden

giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama yöntemidir.