Układy równań - darmowy e-book do gimnazjum, liceum i technikum

Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 1 Opracowanie to omawia rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania, przeciwnych współczynników, graficzną, wyznacznikową. Wyjaśnia typy (rodzaje) układów równań: oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny oraz pojęcia: układ równań, stopień układu równań, dodawanie i odejmowanie stronami, podstawianie. To jest darmowy e-book (opracowanie) pdf do gimnazjum. Nauczysz się z nim jak rozwiązywać układ równań liniowych (stopnia pierwszego). Download go.

Układy równań stopnia pierwszego

z dwiema i trzema niewiadomymi

Przedmowa

To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowie-dzieć np. jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą wyznacznikową. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Za-mieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych czynności.

Przystępując do omówienia układów równań, zakładam, że wszystko co było we wcześniejszych latach nauki w gimnazjum jest Ci już świetnie znane. Jeśli nie, to najpierw przeczytaj krótkie przypomnienie tego co powinno się umieć przed przystąpieniem do rozwiązywania układów równań (strona 66), a dopiero później zacznij czytać to opracowanie od początku.

Spis tematów

1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? .................................................................. 3

2. Rodzaje układów równań i ich nazwy. ............................................................................................................. 5

— układ sprzeczny .......................................................................................................................................... 7

— układ nieoznaczony ................................................................................................................................. 11

— układ oznaczony ...................................................................................................................................... 14

— układy równoważne .................................................................................................................................. 15

3. Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. ............................................. 17

— metoda graficzna ..................................................................................................................................... 18

— metoda podstawiania .............................................................................................................................. 19

— metoda przeciwnych współczynników .................................................................................................... 20

— metoda wyznacznikowa (Sarrusa dla układów Cramera) ........................................................................ 25

— sprawdzanie otrzymanego wyniku .......................................................................................................... 27

— zadania tekstowe ..................................................................................................................................... 28

— o sumie i różnicy dwóch liczb ........................................................................................................... 29

— z układaniem równania dotyczącego łącznej wartości czegoś ......................................................... 33

— o przelewaniu np. wody z jednego zbiornika do drugiego ............................................................... 37

— o wycieczce na którą pojechała jakaś grupa osób ............................................................................ 39

— dotyczące geometrii np. trójkątów lub czworokątów ...................................................................... 42

— na ułożenie 3-ch równań redukujących się do 2-ch równań stopnia pierwszego ........................... 42

— m.in. na przestawianie cyfr w liczbie ................................................................................................ 45

— dotyczące obliczania wieku (liczby lat) danej osoby ........................................................................ 51

— dotyczące obliczania liczby rodzeństwa danej osoby ...................................................................... 52


4. Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. ............................................... 53

— metoda wyznacznikowa .......................................................................................................................... 53

— metoda przeciwnych współczynników .................................................................................................... 55

— zadania tekstowe ..................................................................................................................................... 57

5. Rozwiązywanie układów równań z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. .................................. 59

6. Stężenia procentowe. ..................................................................................................................................... 62

7. Omówienie niektórych zagadnień przydatnych przy rozwiązywaniu układów równań. ............................... 66

— wzory skróconego mnożenia oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych .......................................... 66

— sformułowania najczęściej występujące w zadaniach tekstowych ......................................................... 68

— procenty ................................................................................................................................................... 68

— równania, proporcje ................................................................................................................................ 69


Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?

Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.

�� + � = 10� − � = 4 �.

Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. � lub �. Zmienne mogą być podnie-sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:

�3�� − 7�� = 10

−5� − 4� = 4 � � 3� + 4� + 5� = 8

−5� − 2� + 3� = 7

0� + 5� − 3� = −10

� Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.

W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę później.

Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie tego typu układów równań.

Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za-miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:

�� + � = 10� − � = 4 �

Jeśli w równaniu pierwszym zamiast � napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast � np. liczbę 2, to strona lewa będzie równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza-niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.

Skoro powyższe liczby tj. � = 8 i � = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc przykładowo � = 5 i � = 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast � w obu równaniach na-piszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast � napiszesz liczbę 1, to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw-dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem � = 5 i � = 1 nie spełniają tego układu równań, bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem będą nimi: � = −10 i � = 15. Jeśli zamiast � w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast � napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za-tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc liczby � = 7 i � = 3. Jeśli zamiast � w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast � napiszesz liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia-ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest � = � i = lub krócej — jest nim para liczb (7; 3) — zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były współrzędne punktu w układzie współrzędnych).

W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań) w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.


No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem tak nie jest.

Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (�; �) dla poda-nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:

równanie pierwsze tj. � + � = 10 jest spełnione m.in. przez pary (�; �):

(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3), (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2)

a równanie drugie: � − � = 4 m.in. przez pary (�; �):

(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1), (7; 3), (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).

Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale-zionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro-bione powyżej. Co by było gdybym zamiast � nie wstawił liczby 7 i zamiast � liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po-wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.

By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć wszystkie rozwiązania nazywają się tak:

— podstawiania (algebraiczna)

— przeciwnych współczynników (algebraiczna)

— graficzna

— wyznacznikowa (algebraiczna) zwana także metodą Sarrusa

— eliminacji Gaussa

— Kroneckera-Cappellego

i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).

Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania

współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów-

nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz

wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy-

kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa-

niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne

tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.

Ćwiczenie: Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań: �7� − 2� = 29

4� + � = 23�. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast � napisz liczbę

5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast � liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]

Ćwiczenie: Wypisz 8 par (�; �) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (�; �) spełniających równanie

drugie układu równań: �2� − � = 12� + 2� = 6�. Jaka para liczb (�; �) jest wspólna dla obu tych równań?

[Odp. (�;�) = (6; 0).]

Ćwiczenie: Wypisz po 10 par (�; �) spełniających równania układu równań: �2� − 3� = 12

3� + 2� = 5�. Jaka para liczb (�; �)

jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (�;�) = (3; −2).]


Temat: Rodzaje układów równań i ich nazwy.

Układowi równań możesz nadać nazwę zależnie od:

1. Liczby równań

— układ mający 2 równania nazywa się układem 2-ch równań

�2� − � = 12� + 2� = 6 �

— układ mający 3 równania nazywa się układem 3-ch równań

� 3� + 4� + 5� = 8

−5� − 2� + 3� = 7

0� + 5� − 3� = −10

� itd.

2. Liczby zmiennych

— układ mający 2 zmienne np. � i � nazywa się układem o 2-ch zmiennych

�2� − � = 12� + 2� = 6 �

Układ równań: �� = 7

� = 6� też jest układem o 2-ch zmiennych, bo można go zapisać w postaci równoważnej: �0� + � = 7

� + 0� = 6�.

— układ mający 3 zmienne np. �, �, � nazywa się układem o 3-ch zmiennych

� 3� + 4� + 5� = 8

−5� − 2� + 3� = 7

0� + 5� − 3� = −10

� itd.

3. Największego stopnia równania

— układ którego największy stopień równania wynosi 1 (wszystkie zmienne podniesione są do potęgi 1) nazywa się układem stopnia 1-wszego lub układem liniowym

�2� − � = 12� + 2� = 6 �

— układ którego największy stopień równania wynosi 2 nazywa się układem stopnia 2-giego

�3�� − 7�� = 10

−5� − 4� = 4 �

itd.

4. Liczby różnych rozwiązań (lub ich braku)

— układ nie mający ani jednego rozwiązania (0 rozwiązań) nazywa się układem sprzecznym

�� + � = 5� + � = 6�


— układ mający nieskończenie wiele różnych rozwiązań nazywa się układem nieoznaczonym

�� + � = 10� + � = 10�

— układ mający skończoną liczbę różnych rozwiązań np. dokładnie 1 rozwiązanie lub dokładnie 2 rozwiązania lub dokładnie 3 rozwiązania itd. nazywa się układem oznaczonym

�� + � = 10� − � = 4�

Każdy układ równań ma precyzyjną swoją nazwę. Tworzy się ją zawsze z 3-ch pierwszych powyższych punktów. Przykładowo układ równań:

�� + � = 10� − � = 4�

precyzyjnie nazywa się układem dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych, zaś układ równań:

� 3� + 4� + 5� = 8

−5� − 2� + 3� = 7

0� + 5� − 3� = −10

� precyzyjnie nazywa się układem trzech równań liniowych o trzech zmiennych. Układ równań:

�3�� − 7�� = 10

−5� − 4� = 4 �

nazywa się układem dwóch równań stopnia drugiego o dwóch zmiennych. Zauważ, że w tego typu układzie równań wystarczy, że przynajmniej jedno z równań jest stopnia drugiego.

Ćwiczenie: Nazwij precyzyjnie układy równań:

�2� − � = 12� + 2� = 6� � 2� − � = 12� + 2� = 6

5� − 3� = 0

� � 3� + 4� + 5� = 8

−5� − 2� + 3� = 7

0� + 5� − 3� = −10

� � 3� + 4� + 5� + � = 8

−5� − 2� + 3� − 3� = 7

0� + 5� − 3� + 2� = −10

� [Odp.: a) Układ dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych. b) Układ trzech równań liniowych o dwóch zmiennych. c) Układ trzech równań liniowych o trzech zmiennych. d) Układ trzech równań liniowych o czterech zmiennych.]

Uwaga. Aby układ równań można było rozwiązać w sposób jednoznaczny, to liczba zmiennych w nim występujących musi być równa liczbie równań lub od niej mniejsza. Oznacza to, że w powyższym ćwiczeniu ostatni układ równań jest nierozwiązywalny, gdyż ma 4 zmienne, a tylko 3 równania. By dało się rozwiązać trzeba albo skasować jedną zmienną, albo dopisać co najmniej jedno równanie o tych samych zmiennych.

— Układ równań liniowych (stopnia pierwszego) może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele.

— Układ równań stopnia 2-giego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub nieskończenie wiele.

— Układ równań stopnia 3-ciego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub 3 lub nieskończenie wiele.

— Układ równań stopnia n może mieć od 0 do n różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele.

Wniosek 1:

Jeśli układ równań jest stopnia 17-stego, to może mieć on do 0 do 17 różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele. Jeśli z obliczeń wyjdzie Ci że ma dokładnie 18 rozwiązań, to poszukaj błędu w obliczeniach.

Zapamiętaj


Wniosek 2:

Układ 2-ch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi:

�� + � = 10� − � = 4 �

rozpatrywany na samym początku tego opracowania może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele. Zatem znaleziona para liczb (7; 3) jest jedyną parą która go spełnia — innych par być nie może.

W tym opracowaniu będziemy się zajmować tylko układami równań stopnia pierwszego. Zatem układy równań jakie będziemy rozpatrywać będą mogły mieć albo: 0 rozwiązań, albo dokładnie 1 rozwiązanie albo nieskończenie wiele rozwiązań. Innych możliwości w ich przypadku nie ma.

Układ sprzeczny

Układ sprzeczny to taki, który nie ma rozwiązania (brak rozwiązania które było spełnione jednocześnie przez wszyst-kie równania tego układu). Przykładem układu sprzecznego jest:

�� + � = 5� + � = 6�

Przyjrzyj się mu uważnie i zauważ, że w obu równaniach po lewej stronie znaku równości jest dokładnie to samo wy-rażenie, a po prawej co innego. Oznacza to, że nawet jeśli Ci się uda znaleźć takie dwie liczby � i � które spełniają równanie pierwsze, to nie będą one spełniać równania drugiego i odwrotnie — jeśli uda Ci się znaleźć takie dwie liczby � i � które spełniają równanie drugie, to nie będą one spełniać równania pierwszego. Taki stan rzeczy za-wdzięczasz oczywiście temu, że lewe strony tych równań są sobie równe, a prawe nie.

Przykłady sprzecznych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych:

�� − � = 5� − � = 6� �� + 3� = 17� + 3� = 14

� �−5� + 16� = 5

−5� + 16� = −6� �−17� − 2� = 3

−17� − 2� = 24�

Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne.

a) �… � − � = 5

… � − � = 16� b) �3� + . . . � = 12

… � + 8� = 29� c) �−8� + 19� = . . .

−8� + 19� = . . .� d) � … � − 2� = . . .

−17� − . . . � = 24 �

[Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy � trzeba wpisać liczbę 8, a przy � liczbę 3. Lewe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko nie były one takie same. Muszą to być 2 różne liczby np. 5 i 13. d) Przy � trzeba wpisać liczbę −17, przy � liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę różną od 24. Prawe strony równań nie mogą być identyczne.]

Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on sprzeczny?

�−84� + 17� = −18

−84� − . . . � = 24 �

Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym rów-naniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by sprzeczny, w brakujące miejsce trzeba wpisać −17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus.

Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne.

a) �3� + . . . � = 5

3� − 7� = 16� b) � −4� + 9� = 23

−4� − . . . � = 22 � c) � … � + . . . � = −20

−8� − 19� = −16 � d) � 6� − 2� = 21

… � − . . . � = 24 �

[Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy � muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.]


Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z � było pod wyrażeniem z � a wyra-żenie z � pod wyrażeniem z �. Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań:

� � − 5 = �−6 − � = −��

Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest sprzeczny musisz w pierwszym równaniu zmienną � przenieść na lewą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę −5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem). W rów-naniu drugim liczbę −6 przenosisz na stronę prawą, a −� na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu:

�� − � = 5� − � = 6�

Teraz już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny, bo lewe strony obu równań są identyczne, a prawe różne.

Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą

stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny.

a) �5� = 7� − 4

7� = 5� + 4� b) �� = 2� + 4� = 2� − 4

� c) �� = 7� − 8 � = 7� + 16 � d) �5� = 3� − 6

5� = 3� − 6�

[Odp. a) nie, b) tak, c) tak, d) nie.]

To jeszcze nie koniec o układach sprzecznych. Układ równań:

�4� − 16� = 24

6� − 24� = 9 �

również jest sprzeczny. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i do-datkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostajesz nowy układ równań równoważny powyższemu:

�2� − 8� = 12

2� − 8� = 3 �

no i już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny.

Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ rów-nań:

�4� − 16� = 24�

�� −

��

�� =

�

� �

Aby przekonać się o sprzeczności powyższego układu równań wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek �

�. Nie ma też przymusu jednokrotnego

wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze równanie drugie można najpierw pomno-żyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Mnożenie zaś przez ułamek �

� jest lepsze, bo daje ten sam re-

zultat od razu. Pamiętaj tylko o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz musisz przepisać. Zobacz to na przykładzie powyższego układu równań.

�4� − 16� = 24 /: 2�

�� −

��

�� =

�

� /⋅ 7

�


� 2� − 8� = 12

6� − 24� = 9/: 3 �

�2� − 8� = 12

2� − 8� = 3 �

Wykonywanie działań na jednym z równań, zawsze powoduje automatyczne przepisanie wszystkich pozostałych równań, nawet jeśli na nich nie jest robione żadne przekształcenie.

Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron rów-

nań.

a) � �

�� + �

�� = 1�

�

0,5� + 1,25� = 3 � b) �0,5� − 0,375� = 0,625

33� + 55 = 44� � c) � 3,5� + � = 0,5

21� − 6� = 12 �

[Odp. a) Tak, jest sprzeczny. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Nie jest sprzeczny, bo mnożąc obie strony pierwszego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez −11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest sprzeczny. Mnożąc obie strony pierw-szego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z � będą takie same, a przy � różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).]

Powyżej opisany sposób sprawdzania tego czy dany układ jest sprzeczny można zastąpić metodą jemu równoważną, która nie wymaga mnożenia obu stron równań. Mając postać np. taką:

�4� − 16� = 24

6� − 24� = 9 �

wystarczy, że pomnożysz liczby wyróżnione tym samym kolorem (wraz ze znakami jakie przed nimi stoją) i spraw-dzisz, czy otrzymane wyniki są sobie równe. Zatem sprawdzasz czy:

4 ⋅ −24��

= 6 ⋅ (−16)��

Ponieważ lewa strona powyższej równości jest równa stronie prawej i w układzie równań liczby stojące za znakami równości tj. 24 i 9 są różne od siebie, więc stwierdzasz, że przedstawiony powyżej układ równań jest sprzeczny. Pa-miętaj, że w tym sposobie konieczne jest by każde równanie w układzie równań miało po lewej stronie wyłącznie wyrażenie z x oraz y oraz że te wyrażenia we wszystkich równaniach muszą być tak podpisane by iksy były pod iksa-mi a igreki pod igrekami. Zatem nie można stosować przedstawionego mnożenia po skosie gdy układ równań ma postać np. taką:

�4� − 24 = 16�

9 = 6� − 24� � bo:

— w równaniu pierwszym po lewej stronie jest sama liczba (bez literki y)

— w równaniu pierwszym po prawej stronie występuje literka y

— w równaniu drugim po lewej stronie nie ma ani wyrażenia z x ani z y

— w równaniu drugim po prawej stronie nie ma samej liczby (bez x oraz bez y)

W układzie takim:

�16� + 4� = 24

6� − 24� = 9 �


również nie wolno zastosować mnożenia po skosie, bo iksy nie są pod iksami a igreki pod igrekami. Aby w obu po-wyższych przypadkach można było zastosować mnożenie lewych stron po skosie, wówczas najpierw musisz prze-kształcić te równania które tego wymagają do postaci:

�4� − 16� = 24

6� − 24� = 9 �

Dopiero teraz mając taką postać, możesz lewe strony mnożyć po skosie. Nigdy nie zapominaj o tym, że liczby za zna-kiem równości w takiej postaci nie mogą być takie same. Gdyby były takie same, to układ równań nie nazywałby się sprzeczny lecz nieoznaczony.

Przykład:

Bez mnożenia lub dzielenia obu stron równań sprawdź czy podany układ równań jest sprzeczny.

�3� = 23,1� −�

��

�� =

�

�+

�

��

� �3� − 23,1� = −

�

�

−�

�� +

�

�� =

�

�

� Ponieważ −

�

�≠

�

� oraz:

3 ⋅�

��

�

= −�

��⋅ �−

��

��

��

�

więc przedstawiony układ równań jest sprzeczny.

Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykorzystując powyżej opisany sposób.

a) � �

�� + �

�� = 1�

�

0,5� + 1,25� = 3 � b) �0,5� − 0,375� = 0,625

33� + 55 = 44� � c) � 3,5� + � = 0,5

21� − 6� = 12 �

[Odp. a) tak, b) nie, c) nie]

Zbliżamy się do końca układów sprzecznych. Zostały w zasadzie już tylko dwie rzeczy do omówienia. Zobacz przykła-dowy układ równań:

� �

� +

�

�� = 3

0,5� + 1,25� = 3 �

Czy potrafisz bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń ocenić czy jest on sprzeczny czy nie? Jeśli odpo-wiedziałaś „tak” to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś „nie”, to zauważ, że za znakiem równości są w obu równaniach te same liczby. Układ sprzeczny nie może mieć za znakiem równości tych samych liczb. Zatem ten układ równań na pewno nie jest sprzeczny. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych?

� 8� − 6� = 20

6� + 24� = 9 �

On również nie jest sprzeczny i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed � obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z � te same. W równaniu pierw-szym masz −6� a w drugim +24�. No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań:

�−4� − 16� = 24

6� − 24� = 9 �


On również nie jest sprzeczny, bo w nim liczby stojące przy � są przeciwnych znaków, a przy � tych samych znaków. No to teraz taki układ równań:

� 4� − 16� = 24

−6� + 24� = 9 �

Liczby stojące przy x są przeciwnych znaków, ale i przy y też są przeciwnych znaków. Ponieważ prawe strony są róż-ne, więc by rozstrzygnąć o jego ewentualnej sprzeczności trzeba jedną z czynności opisanych w początkach tego te-matu np. mnożenie po skosie. Wówczas okaże się, że układ ten jest sprzeczny. A co z układem takim jak ten:

� 4� − 16� = 24

−6� − 15 = 9 �?

Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci:

� 4� − 16� = 24

−6� + 0� = 9 + 15�

i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe, orzekasz, że nie jest on sprzeczny.

Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par (�; �) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ sprzeczny, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które nigdy się nie przetną. Dla równań liniowych wykresami tymi będą 2 proste równoległe do siebie niepokrywające się.

Układ nieoznaczony

Układ równań jest nieoznaczony, jeśli wszystkie równania go tworzące mają ze sobą nieskończenie wiele wspólnych par (rozwiązań).

Zobacz przykładowy nieoznaczony układ równań:

�2� + 4� = 6

2� + 4� = 6�.

i zauważ, że oba równania są identyczne, czyli, że każda para liczb (�; �) spełniająca pierwsze równanie, spełnia au-tomatycznie także równanie drugie. Ponieważ par tych jest nieskończenie wiele, więc po zaznaczeniu ich w jednym układzie współrzędnych, dostaniesz dwie proste (dwa wykresy funkcji liniowej) pokrywające się ze sobą.

Przykłady nieoznaczonych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych:

�� − � = 5� − � = 5� �� + 3� = 17� + 3� = 17

� �−5� + 16� = −6

−5� + 16� = −6� �−17� − 2� = 24

−17� − 2� = 24�

Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone.

a) �… � − � = 16

… � − � = 16� b) �3� + . . . � = 12

… � + 8� = 12� c) �−8� + 19� = . . .

−8� + 19� = . . .� d) � … � − 2� = . . .

−17� − . . . � = 24 �

[Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy � trzeba wpisać liczbę 8, a przy � liczbę 3. Lewe i prawe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko były one takie same. Muszą to być 2 identyczne liczby np. 5 i 5. d) Przy � trzeba wpisać liczbę −17, przy � liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę 24. Prawe strony równań muszą być identyczne.]

Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on nieoznaczony?

�−84� + 17� = −18

−84� − . . . � = −18 �


Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym rów-naniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by nieoznaczony, w brakujące miejsce musisz wpisać licz-bę −17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus.

Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone.

a) �3� + . . . � = 16

3� − 7� = 16� b) � −4� + 9� = 23

−4� − . . . � = 23 � c) � … � + . . . � = −16

−8� − 19� = −16 � d) � 6� − 2� = 21

… � − . . . � = 21 �

[Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy � muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.]

Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z � było pod wyrażeniem z � a wyra-żenie z � pod wyrażeniem z �. Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań:

� � − 5 = �−6 − � = −��

Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest nieoznaczony musisz w pierwszym równaniu zmienną � przenieść na le-wą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę −5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem). W równaniu drugim liczbę −6 przenosisz na stronę prawą, a −� na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu:

�� − � = 5� − � = 6�

Teraz już wyraźnie widzisz, że nie jest on nieoznaczony, bo prawe strony są różne, a powinny być takie same (równe sobie).

Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą

stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny.

a) �5� = 7� − 4

7� = 5� + 4� b) �� = 2� + 4� = 2� − 4

� c) � � = 7� − 8

−7� = −� − 8 � d) �5� = 3� − 6

5� = 3� − 6�

[Odp. a) nie, b) nie, c) tak, d) nie.]

To jeszcze nie koniec o układach nieoznaczonych. Układ równań:

�4� − 16� = 24

6� − 24� = 36�

również jest nieoznaczony. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostaniesz nowy układ równań równoważ-ny powyższemu:

�2� − 8� = 12

2� − 8� = 12�

no i już wyraźnie widzisz, że jest on nieoznaczony (2 identyczne równania).

Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ rów-nań:

�4� − 16� = 24�

�� −

��

�� =

�

� �


Aby przekonać się o tym, że powyższy układ równań również jest nieoznaczony, wystarczy obie strony jego pierw-szego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek �

�. Dostaniesz

wówczas:

�2� − 8� = 12

�� − 8� = 12�

Nie ma też przymusu jednokrotnego wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze rów-nanie drugie możesz najpierw pomnożyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Pamiętaj jednak o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz trzeba przepisać.

�4� − 16� = 24 /: 2�

�� −

��

�� =

�

� /⋅ 7

� � 2� − 8� = 12

6� − 24� = 36/: 3 �

�2� − 8� = 12

2� − 8� = 12�

Mnożenie przez ułamek �� było lepsze, bo dało ten sam rezultat od razu.

Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron

równań.

a) � �

�� + �

�� = 2

0,5� + 1,25� = 3 � b) �0,5� − 0,375� = 0,625

33� + 55 = 44� � c) � 3,5� + � = 0,5

21� − 6� = 3 �

[Odp. a) Tak, jest nieoznaczony. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Tak jest nieoznaczony, bo mnożąc obie strony pierw-szego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez −11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest nieoznacozny. Mnożąc obie stro-ny pierwszego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z � będą takie same, a przy � różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).]

Czy bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń potrafisz ocenić czy poniższy układ równań jest nieozna-czony?

� �

� +

�

�� = 3

0,5� + 1,25� = 5 �

Jeśli odpowiedziałaś „tak” to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś „nie”, to zauważ, że za znakiem rów-ności w obu równaniach nie są te same liczby. Układ nieoznaczony musi mieć za znakiem równości te same liczby. Zatem ten układ równań na pewno nie jest nieoznaczony. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych?

� 8� − 6� = 20

6� + 24� = 20 �

On również nie jest nieoznaczony i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed � obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z � te same. W równaniu pierw-szym masz −6� a w drugim +24�. No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań:

�−4� − 16� = 24

6� − 24� = 9 �

On również nie jest nieoznaczony, bo w nim liczby stojące przy � są przeciwnych znaków, a przy � tych samych zna-ków. A co z układem takim jak ten:


� 4� − 16� = 24

−6� − 15 = 9 �?

Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci:

� 4� − 16� = 24

−6� + 0� = 9 + 15�

i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe a lewe różne, orzekasz, że nie jest on nieoznaczo-ny.

Aby orzec o tym, czy układ równań jest nieoznaczony, najpierw doprowadź go do takiej postaci, by lewe strony wszystkich równań były identyczne, a potem spójrz czy równania tworzące dany układ równań są identyczne.

Ćwiczenie: Stosując odpowiednie przekształcenia, wskaż, które z poniższych układów równań są nieoznaczone.

a) � 4� − 6� = 8

10� − 15� = 20� b) �25� + 15� = 30

10� + 6� = 16� c) �14� + 26� = 50

21� + 13� = 25� d) �−8� + 13� = 9

−16� + 5� = 1�

[Odp. a) Tak, bo dzieląc obie strony pierwszego równania przez 2 i obie strony równania drugiego przez 5 powstaną 2 identyczne równania. b) Nie, bo dzie-ląc obie strony pierwszego równania przez 5 i drugiego przez 2 powstaną równania mające lewe strony równe, ale prawe różne. c) Nie, bo mnożąc obie strony drugiego równania przez 2, prawe strony będą równe, a lewe nie. Można też wykonać dzielenie obu stron pierwszego równania przez 2, ale wnio-sek będzie ten sam. d) Nie, bo mnożąc obie strony równania drugiego przez 9, prawe strony będą równe, a lewe nie.]

Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par (�; �) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ nieoznaczony, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które będą się idealnie pokrywać. Dla równań liniowych wykre-sami tymi będą 2 proste równoległe pokrywające się.

Układ oznaczony

Układ równań nazywa się oznaczonym jeśli ma przynajmniej 1 rozwiązanie (wspólną parę) i liczbę wszystkich jego rozwiązań (wspólnych par) można dokładnie policzyć. Innymi słowy liczba rozwiązań musi być skończona tj. dokład-nie równa 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub … . Liczba rozwiązań nigdy nie może być równa nieskończoności.

Aby sprawdzić czy układ równań jest oznaczony wystarczy przekształcić go do takiej postaci by każde równanie naj-pierw miało wyrażenie z � potem wyrażenie z � a za znakiem równości samą liczbę (bez iksa i bez igreka) np.:

�2� + 4� = 6

8� + 7� = 6�

a potem sprawdzić, czy mnożąc po skosie liczby wyróżnione wyżej tym samym kolorem wraz ze znakami jakie przed nimi stoją otrzymasz różne wyniki. Jeśli tak, to dany układ dwóch równań liniowych jest oznaczony. Liczby za zna-kami równości są nieistotne. Powyższy układ równań jest oznaczony bo 2 razy 7 nie daje tyle samo co 8 razy 4. Przy-pominam, że jeśli dany jest układ dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi i jest on oznaczony, to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wynika z tego że rozpatrywany na początku tego opracowania układ równań:

�� + � = 10� − � = 4 �

ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim wyłącznie znaleziona wtedy para (7; 3). Innych par w jego przypadku nie ma.

Aby się przekonać, że powyższy układ jest oznaczony choć nie ma liczb przed zmiennymi, najpierw w myślach zapi-sujesz go w postaci równoważnej:

�1� + 1� = 10

1� − 1� = 4 �

i tak jak poprzednio sprawdzasz czy: 1 ⋅ −1��

= 1 ⋅ 1��

. Ponieważ nie jest to prawda, więc układ ten jest oznaczony.

Zapamiętaj


Ćwiczenie: Sprawdź bez wyznaczania rozwiązań, które z poniższych układów równań są oznaczone.

a) � 4� − 6� = 8

10� − 15� = 20 � b) �25� + 15� = 30

10� + 6� = 16� c) �14� + 26� = 50

21� + 13� = 25� d) �−8� + 13� = 9

−16� + 5� = 1�

[Odp. a) Nie, bo 4 ⋅ �−15��

= −6 ⋅ 10��

, b) Nie, bo 25 ⋅ 6��

= 15 ⋅ 10��

, c) Tak, bo −8 ⋅ 5��

≠ −16 ⋅ 13��

.]

Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby, by powstał oznaczony układ równań.

a) �… � − 16� = 8

… � − 8� = 2� b) �6� + . . . � = 30

4� + … � = 16� c) �… � + 4� = 50

6� + . . . � = 25� d) �−8� + . . . � = 9

… � + 5� = 1�

[Odp. a) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. b) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. c) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby 24 np. 5 i 7. d) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby −40 np. 5 i 7.]

Układy równoważne

Aby mówić o układach równoważnych musisz mieć co najmniej dwa układy równań o dokładnie tych samych roz-wiązaniach. Przykłady układów równoważnych to:

� � + � = 10

7� − 7� = 28 � �5� + 5� = 50 � − � = 4

� bo:

— mnożąc obie strony pierwszego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 5

— dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 7

lub:

— dzieląc obie strony pierwszego równania w drugim układzie równań przez liczbę 5

— mnożąc obie strony drugiego równania w drugim układzie równań przez liczbę 7

dostaniesz w obu przypadkach taki sam układ równań:

�� + � = 10� − � = 4 �

Innymi słowy układy są równoważne, jeśli równania jednego z nich można tak przekształcić, by dostać równania drugiego z nich. Kolejność tych równań nie ma znaczenia. Oznacza to, że przykładowo takie układy równań:

też są sobie równoważne.

Ćwiczenie: Sprawdź które z poniższych układów równań są sobie równoważne.

a) � 4� − 6� = 8

12� − 15� = 21 � �4� + 5� = 7

2� − 3� = 4� b) �14� + 26� = 50

5� + 6� = 7� � −7� − 13� = −25

−15� − 18� = −3 �

[Odp. a) Nie, bo dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 3 dostaniesz 4� − 5� = 7, a pierwsze równanie drugie-go układu równań jest takie: 4� + 5� = 7. Jest różnica w znaku po lewej stronie równania. b) Tak, bo wystarczy obie strony pierwszego równania w pierw-szym układzie równań podzielić przez −2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez −3.]

Nie zawsze da się równania jednego układu równań tak poprzekształcać by otrzymać równania drugiego układu, a mimo to układy mogą być równoważne (będą mieć te same rozwiązania). Przykładem mogą być układy:

� � + � = 10

7� − 7� = 28 � �7� − 7� = 28 � + � = 10

�

�� + � = 10� − � = 4 � �3� − 7� = 0

5� − 2� = 29 �


Rozwiązaniem każdego z nich jest para (7; 3), ale równań pierwszego układu nie da się przekształcić na równania układu drugiego i odwrotnie. Mimo to układy te są sobie równoważne, bo ich rozwiązania są takie same.

Generalnie więc, by sprawdzić czy dwa układy równań są sobie równoważne, można:

a) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu (jak to zrobić będzie opisane w następnych tematach); znaleźć roz-wiązanie drugiego układu; sprawdzić czy otrzymane rozwiązania są identyczne

b) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu; sprawdzić czy spełnia ono oba równania drugiego układu

c) sprawdzić czy da się tak poprzekształcać równania jednego z układów, aby otrzymać równania drugiego układu. Kolejność równań nie ma znaczenia.

Jeśli równań jednego układu nie da się przekształcić na równania drugiego układu, to sprawdzanie równoważności tych układów należy wykonać metodą a) lub b).


Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiado-

mymi.

Sformułowanie rozwiązać układ równań o zmiennych � i � oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po napisaniu zamiast � i zamiast � sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:

� 5� + 3 = 7�2� − 4� = 9

� Jego rozwiązaniem są liczby � = −

��

� i � = −

��, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach

równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto-sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.

Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto-sować np. metodę:

— podstawiania (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Z jednego równania wyliczasz np. � i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą zmienną.

— przeciwnych współczynników (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0� lub 0�. Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do-wolnego równania.

— graficzną (rysunkowa)

Z obu równań wyliczasz zmienną � i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry-sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny, a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.

— wyznacznikową (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są opisane w osobnym temacie.

— eliminacji Gaussa (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa-łem małym drukiem i nie będę go omawiać.

— Kroneckera-Capellego (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)

Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.

Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:

�� + � = 10� − � = 4 �

ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami.


Metoda graficzna

Rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi tą metodą, oznacza, że trzeba zaznaczyć w jed-nym układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie pierwsze i drugie (utworzą one dwa wykresy funkcji), a następnie odczytać z wykonanego rysunku wszystkie wspólne pary (współrzędne punktów przecięć) dla obu tych równań. W zadaniach z zakresu gimnazjum wykresami tymi będą proste i o ile nie będą do siebie równole-głe, to będą się przecinać w dokładnie jednym punkcie. Ponieważ to opracowanie jest kierowane do gimnazjalistów, więc tę metodę będę omawiać na przykładzie układów równań stopnia pierwszego, a zacznę od wspomnianego wcześniej układu:

�� + � = 10� − � = 4 �

— Aby szybko zaznaczyć w układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie pierwsze, warto prze-kształcić je na wzór funkcji liniowej czyli w tym przypadku na � = −� + 10 i narysować jego wykres.

— Aby szybko zaznaczyć w układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie drugie, warto przekształ-cić je na wzór funkcji liniowej czyli w tym przypadku na � = � − 4 i narysować jego wykres.

Metoda graficzna polega więc na przekształceniu układu równań, w tym przypadku takiego:

�� + � = 10� − � = 4 �

na układ mu równoważny:

�� = −� + 10� = � − 4 �

narysowaniu wykresów powyższych funkcji liniowych i odczytaniu z wykresu współrzędnych ich punktu przecięcia.

Zapominalskim przypominam, że � to pierwsza współrzędna punktu, zaś � to druga współrzędna. Standardowo � odczytujemy z osi poziomej, zaś � z osi pionowej.

Wykonajmy więc rysunek (układ współrzędnych) i zobaczmy jak rysowanie wykresów tych funkcji wygląda w prakty-ce. Równania funkcji liniowych które będziemy rysować już mamy (są wyróżnione wyżej kolorem czerwonym). Pozo-staje tylko wyliczyć współrzędne co najmniej 2-ch punktów należących do każdej z nich i poprowadzić przez nie pro-ste. Zalecam wyznaczać minimum 3 punkty należące do podanych funkcji liniowych, bo pozwala to na wyłapanie ewentualnych błędów przy ich wyliczaniu. Zatem zróbmy 2 tabelki (po jednej do każdej funkcji liniowej) i wpiszmy do pierwszego wiersza przynajmniej 3 liczby. Najczęściej wpisuje się liczby: 0, 1, 2 (wyróżniłem je kolorem) i dla tych liczb wylicza się �.

� 0 1 2 � 0 1 2 � = −� + 10 10 9 8 � = � − 4 −4 −3 −2

Uwaga. Gdyby w równaniu funkcji liniowej przy zmiennej � był jakiś ułamek np. 2/7, to do wiersza pierwszego tabelki

warto byłoby wpisać wielokrotności liczby znajdującej się w mianowniku tegoż ułamka, czyli wielokrotności liczby 7: {0, 7, 14, 21, 28, 35, …}.

Na podstawie tych tabelek widzisz (patrząc na kolumny), że dla pierwszej funkcji masz punkty o współrzędnych: (0; 10), (1; 9), (2; 8), a dla drugiej: (0; −4), (1; −3), (2; −2). Zaznaczasz więc je w jednym układzie współrzędnych i prowadzisz przez te punkty 2 proste (patrz rysunek obok).

Na podstawie rysunku obok widzisz, że istnieje tylko jeden punkt przecięcia narysowanych prostych i ma on współrzędne (7; 3). Ponieważ pierwsza współrzędna punktu to �, zaś druga to �, więc rozwiązaniem tego układu równań jest � = 7 i � = 3 — zgodność z tym co zgadliśmy na początku tego opracowania.

Użyte słowo „i” jest bardzo istotne. Zastąpienie go np. słowem oraz jest poważnym błędem mate-matycznym.


W przypadku tej metody rozwiązywania układów równań, narysowane wykresy funkcji liniowych nie muszą się zaw-sze przecinać. Jeśli proste te:

— przecinają się w jednym punkcie, wówczas mówimy, że dany układ dwóch równań jest oznaczony

— pokrywają się, wówczas mówimy, ze dany układ dwóch równań jest nieoznaczony

— są do siebie równoległe i nie pokrywają się (są rozłączne), to dany układ równań jest sprzeczny.

Uwaga. Ponieważ odczytywanie współrzędnych punktu przecięcia wykresów prawie nigdy nie daje precyzyjnego wyniku, więc metody tej w praktyce się nie używa. Można ją jednak wykorzystywać do określania przybli-żonego rozwiązania danego układu równań.

Ćwiczenie: Stosując metodę graficzną, rozwiąż poniższe układy równań oraz oblicz pole figury ograniczonej wykre-

sami funkcji o tych równaniach i osią odciętych. [Inne nazwy osi odciętych, to: oś pozioma, oś argumentów.]

a) � � = 3� + 5

2� − 7� = 6� b) � � = 4� − 2

5� + 3� = −8� c) �−� − � = 11� = 6� � d) �3� + 4� = −3� = 2� + 1

� Ćwiczenie: Stosując metodę graficzną, rozwiąż poniższe układy równań oraz oblicz pole figury ograniczonej wykre-

sami funkcji o tych równaniach i osią rzędnych. [Inne nazwy osi rzędnych, to: oś pionowa, oś wartości funkcji.]

a) �3� = 3� + 6

2� − 7� = 6� b) �4� = 4� − 10

5� + 3� = −8� c) �−� − � = 11

7� = 14� � d) �3� + 4� = −3

4� = 2� + 1�

Metoda podstawiania

Metoda ta polega na tym, że z dowolnego równania wyliczasz jedną ze zmiennych i to co otrzymasz wstawiasz do równania z którego ta zmienna nie była wyliczana. Weźmy ponownie układ równań:

I: II:

�� + � = 10� − � = 4 �

Zmienną � możesz wyliczyć albo z równania pierwszego, albo z równania drugiego. Nie ma znaczenia z którego ją wyliczysz. Wynik końcowy wyjdzie ten sam. Zobacz:

Wyliczasz ile jest równy � w równaniu pierwszym:

I: � = 10 − �

i wstawiasz otrzymane 10 − � zamiast � do równania drugiego tj. do: � − � = 4. Masz zatem:

10 − ��

− � = 4

10 − 2� = 4

10 − 4 = 2�

6 = 2�/: 2

3 = �

Wyliczasz ile jest równy � w równaniu drugim:

II: � = 4 + �

i wstawiasz otrzymane 4 + � zamiast � do równania pierwszego tj. do: � + � = 10. Masz zatem:

4 + ��

+ � = 10

4 + 2� = 10

2� = 10 − 4

2� = 6/: 2 � = 3

Aby wyliczyć � patrzysz na to co masz w ramce na samej górze i zamiast niewiadomej � piszesz liczbę 3, bo tak przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem: � = 10 − 3 = 7

Aby wyliczyć � patrzysz na to co masz w ramce na samej górze i zamiast niewiadomej � piszesz liczbę 3, bo tak przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem: � = 4 + 3 = 7

Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest � = 7 i � = 3.

Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest � = 7 i � = 3.


W metodzie podstawiania nie musisz najpierw wyliczać zmiennej � jak to zostało pokazane wyżej. Możesz najpierw wyliczyć zmienną � z dowolnego równania, a dopiero potem �. Nie ma to znaczenia. Wynik i tak wyjdzie taki sam o ile nie popełnisz gdzieś błędu rachunkowego.

Metodę tę najlepiej stosować gdy przynajmniej w jednym równaniu jest już wyliczona zmienna. Przykładowe układy równań, które warto rozwiązywać metodą podstawiania:

� � = 3� + 5

2� − 7� = 6� � � = 4� − 2

5� + 3� = −8� �−� − � = 11� = 6� � �3� + 4� = −3� = 2� + 1

� Zaletą tej metody jest prostota — stosują ją nawet uczniowie szkół podstawowych do rozwiązywania zadań w których występują dwa równania z dwiema niewiadomymi. Oczywiście nie spinają oni równań klamerką i nie wie-dzą, że stosowany przez nich sposób ma swoją nazwę, ale go znają.

Ćwiczenie: Stosując metodę podstawiania, rozwiąż poniższe układy równań.

a) � � = 3� + 5

2� − 7� = 6� b) � � = 4� − 2

5� + 3� = −8� c) �−� − � = 14� = 6� � d) �13� + 4� = −3� = 2� + 1

� [Podpowiedź: a) W równaniu drugim zamiast � napisz (3� + 5) bo tak masz w równaniu pierwszym. b) W równaniu drugim zamiast � napisz (4� − 2) bo tak masz w równaniu pierwszym. c) W równaniu pierwszym zamiast � napisz 6� bo tak masz w równaniu drugim. d) W równaniu pierwszym zmiast � na-

pisz (2� + 1) bo tak masz w równaniu drugim. Odp. a) (17; 4) b) − �

��; −��

�� c) (−12; −2) d) (−3; −5).]

Zadania tekstowe obrazujące wykorzystanie metody podstawiania znajdziesz w podtemacie dotyczącym rozwiązy-wania zadań (strona 28). W zadaniach tych za pomocą metody podstawiania będą rozwiązane tylko te za-dania które tą metodą liczą się łatwiej niż inną. Przy zadaniach rozwiązanych metodą podstawiania znaj-dziesz znaczek taki jaki widzisz po lewej stronie tego tekstu.

Metoda przeciwnych współczynników

Nim omówię tę metodę, musisz najpierw umieć dodawać równania stronami.

Dodawanie równań stronami oznacza nic innego jak dodawanie do siebie jednomianów ze wszystkich równań, przy czym oddzielnie dodaje się lewe (kolor żółty) i prawe (kolor zielony) strony tychże równań. Przypuśćmy, że masz układ równań:

�2� = 5� − 3

4 = 8� �.

Dodając jego równania stronami (strona lewa + strona lewa = strona prawa + strona prawa), otrzymujesz:

2� + 4 = 5� − 3 + 8�

a po ich przekształceniu:

2� − 8� − 5� = −3 − 4

−6� − 5� = −7

Jeśli chcesz otrzymać to samo równanie co w powyższej ramce, ale dużo szybciej, to najpierw przekształcić układ równań do postaci mu równoważnej (wyrażenia z � oraz � przenosisz w obu równaniach na stronę lewą, a wyraże-nia nie zawierające ani � ani � przenosisz na stronę prawą):

� 2� − 5� = −3

−8� + 0� = −4 �

by mieć iksy pod iksami, igreki pod igrekami, a wyraz wolne po prawej stronie znaku równości i dopiero teraz dodaj te równania stronami (kolumnami tak jak pokazują to kolory). Robiąc tak, od razu otrzymasz to samo równanie co w powyższej ramce:

−6� − 5� = −7


Zadanie: Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego równania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości, należy zmienić jego znak na przeciwny.

a) b) c) �7� = 2� + 1

2� = 6 + 8�� −8� = 3� + 6

2� + 10� = 6 � �−2� = 7� + 5

−7� = 14 − 2�� Postać równoważna: �7� − 2� = 1

2� − 8� = 6� �−8� − 3� = 6

2� + 10� = 6� �−2� − 7� = 5

2� − 7� = 14�

Po dodaniu stronami: 9� − 10� = 7 −6� + 7� = 12 0� − 14� = 19

lub −14� = 19

Ćwiczenie: Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego rów-

nania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równo-

ści, należy zmienić jego znak na przeciwny.

a) � � = 3� + 5

2� − 7� = 6� b) � � = 4� − 2

5� + 3� = −8� c) �−� − � = 14� = 6� � d) �13� + 4� = −3� = 2� + 1

� [Odp.: a) 3� − 10� = 11 b) � + 4� = −10 c) 0� − 7� = 14 d) 11� + 5� = −2.]

Rozwiązywanie układu równań (o zmiennych � i �) metodą przeciwnych współczynników, polega na tym, żeby po dodaniu równań stronami otrzymać 0� lub 0�. Innymi słowy we wcześniejszym układzie równań:

� 2� − 5� = −3

−8� + 0� = −4 �

by po dodaniu stronami otrzymać 0� lub 0� musisz najpierw obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 4 lub obie strony równania drugiego podzielić przez 4, bo wówczas po dodaniu równań stronami otrzymasz 0�. Zo-bacz:

� 2� − 5� = −3 /⋅ 4

−8� + 0� = −4 �

�8� − 20� = −12

−8� + 0� = −4 �

0� − 20� = −16

20� = 16 /: 20

� =16

20=

4

5

No i masz już wyliczony y. Pozostaje już tylko wykorzystać metodę podstawiania, i wyliczony y wstawić do którego kol wiek równania w głównym układzie równań i wyliczyć x. Główny układ równań był taki:

�2� = 5� − 3

4 = 8� �

więc np. z równania pierwszego, masz, że:

2� = 5 ⋅4

5

2� = 4 /: 2 � = 2


No i masz już wyliczony także �. Wystarczy tylko udzielić odpowiedź.

Zauważ również, że w powyższym układzie równań z równania drugiego tj. 4 = 8� można było od razu wyliczyć że � = 2 i wstawić go do równania pierwszego. Stosowanie metody przeciwnych współczynników do rozwiązania tego układu równań nie było konieczne.

Dla przejrzystości obliczeń polecam zawsze obliczony � oraz � brać w rameczkę. Lepiej wówczas widać co już zostało wyliczone i w którym miejscu.

Rozwiążmy teraz tą metodą układ równań:

�3� + 4� = 5

7� − 6� = 2 �

Zauważ, że oba równania są już zapisane tak jak być powinny, więc wystarczy tylko:

— przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0�

lub

— przekształcić oba równania w taki sposób, aby dodaniu stronami otrzymać 0�.

Jeśli wybierzesz sposób pierwszy, to musisz znaleźć naj-mniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed ik-sami tj. dla liczb: 3 i 7. Ponieważ wielokrotnością tą jest liczba 21, więc obie strony równania pierwszego musisz pomnożyć przez 7, a drugiego przez 3. Otrzymasz wów-czas w pierwszym równaniu 21� i w drugim również 21�. Niestety po dodaniu tych wyrażeń nie dostaniesz upragnionego 0� lecz 42�. Aby tego uniknąć musisz:

— w równaniu pierwszym mieć −21� i w drugim 21�

lub

— w równaniu pierwszym mieć 21� i w drugim −21�.

Zatem, albo:

1a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez −7, a drugiego przez 3, otrzymując:

�−21� − 28� = −35

21� − 18� = 6 �

albo

1b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 7, a drugiego przez −3, otrzymując:

� 21� + 28� = 35

−21� + 18� = −6 �

Niezależnie od tego czy wybierzesz 1a) czy 1b) zawsze po dodaniu tych równań stronami, dostaniesz 0�.

Jeśli wybierzesz sposób drugi, to musisz znaleźć naj-mniejszą wspólną wielokrotność liczb stojących przed igrekami tj. dla liczb: 4 i 6 (znaki stojące przed tymi licz-bami są teraz nieistotne). Ponieważ wielokrotnością tą jest liczba 12, więc:

2a) obie strony równania pierwszego mnożysz przez 3 i drugiego przez 2, otrzymując:

� 9� + 12� = 15

14� − 12� = 4 �.

lub

2b) obie strony równania pierwszego mnożysz przez −3 i drugiego przez −2 otrzymując:

� −9� − 12� = −15

−14� + 12� = −4 �.

Niezależnie od tego czy wybierzesz 2a) czy 2b) zawsze po dodaniu tych równań stronami, dostaniesz 0�.

Wniosek: Układ równań:

�3� + 4� = 5

7� − 6� = 2�

można rozwiązać metodą przeciwnych współczynników na cztery różne sposoby: 1a), 1b), 2a), 2b).


I jeszcze jedna sprawa o której nie powiedziałem. Dodając równania stronami, należy u dołu układu równań wyko-nać kreskę poziomą (taką jak przy dodawaniu pisemnym) i tuż nad nią, z lewej strony (na wysokości dolnego równa-nia) napisać symbol działania które będziemy wykonywać (najczęściej dodawania).

Rozwiązanie każdego z 4-ch powyższych przypadków będzie wyglądać tak:

1a)

�3� + 4� = 5 /⋅ (−7)

7� − 6� = 2 /⋅ 3 � 1b)

�3� + 4� = 5 /⋅ 3

7� − 6� = 2 /⋅ (−3)� 2a)

�3� + 4� = 5 /⋅ 3

7� − 6� = 2 /⋅ 2 � 2b)

�3� + 4� = 5 /⋅ (−3)

7� − 6� = 2 /⋅ (−2)�

+�−21� − 28� = −35

21� − 18� = 6 �

−28� − 18� = −35 + 6

−46� = −29/: (−46)

� =29

46

+� 21� + 28� = 35

−21� + 18� = −6 �

28� + 18� = 35 − 6

46� = 29/: 46

� =29

46

+� 9� + 12� = 15

14� − 12� = 4 �

9� + 14� = 15 + 4

23� = 19/: 23

� =19

23

+� −9� − 12� = −15

−14� + 12� = −4 �

−9� − 14� = −15 − 4

−23� = −19/: (−23)

� =19

23

Z równania pierwszego: 3� + 4� = 5 masz, że:

3� + 4 ∙29

46= 5

3� +116

46= 5

3� = 5 −116

46

3� =230

46−

116

46

3� =114

46/∙

1

3

� =114

138=

19

23

� =19

23

Z równania pierwszego: 3� + 4� = 5 masz, że:

3 ∙19

23+ 4� = 5

57

23+ 4� = 5

4� = 5 −57

23

4� =115

23−

57

23

4� =58

23/∙

1

4

� =58

92=

29

46

� =29

46

Odp. Rozwiązaniem układu równań � 3� + 4� = 5

7� − 6� = 2 �jest � =

��

� i � =

��

�� .

W tej metodzie dozwolone jest także odejmowanie równań stronami, a w szczególnych przypadkach także mnoże-nie i dzielenie. W praktyce jednak, stosuje się tylko dodawanie stronami, a to ze względu na to, że prawie do zera zostaje obniżone prawdopodobieństwo popełnienia błędu w trakcie obliczeń. Gdybyśmy jednak uparli się na odej-mowanie równań stronami, to należy bardzo uważać na zmiany znaków na przeciwne w odejmowanym (drugim) równaniu. Prześledź odejmowanie równań stronami na poniższym przykładzie:

−� 5� − 7� = −3

−3� − 7� = 9 �

5� − −3�� − 7� − −7�� = −3 − 9

5� + 3� − 7� + 7� = −12

8� = −12

…

lub bez skrótów myślowych: −

� 5� − 7� = −3

−3� − 7� = 9 �

5� − 7�� − −3� − 7�� = −3 − 9

5� − 7� + 3� + 7� = −12

8� = −12

…


Jak widać o pomyłkę bardzo łatwo. Nie polecam stosować tego sposobu przy rozwiązywaniu układów równań.

Metodą przeciwnych współczynników można także rozwiązywać te układy równań, których równania z pozoru nie dają się przekształcić do postaci �� + �� = �. Rozpatrz przykładowo taki układ równań:

�

�=

��

� ��= 8

�. Skoro nie można równań tego układu zapisać w postaci �� + �� = � więc trzeba się zastanowić jak to ominąć. Spo-sób jest banalny. Wystarczy wykorzystać tzw. proporcje

1 (strona 67) i w oparciu o nie zapisać równania w postaci:

�4� = 3�

3� = 8(5� + 2�)�

Przekształcając równanie pierwsze do postaci �� + �� = � oraz opuszczając w równaniu drugim nawiasy, dostajesz:

�3� − 4� = 0

3� = 40� + 16� � Przenosząc w równaniu drugim wszystkie jednomiany ze zmienną � i � na lewą stronę równania, a wszystkie pozo-stałe na prawą, masz:

� 3� − 4� = 0

3� − 16� − 40� = 0�

� 3� − 4� = 0

−13� − 40� = 0�

o co właśnie chodziło. By wyliczyć zmienne � i � wystarczy obie strony równania pierwszego pomnożyć przez −10, bo po dodaniu stronami otrzymasz 0� i kontynuować tak, jak pokazuje to metoda przeciwnych współczynników.

Sprawy kolejne:

1. Podczas wykonywania obliczeń tą metodą dobrze jest brać w ramki otrzymane wyniki. Zwiększa to czytelność obliczeń i lepiej uświadamia jakimi danymi już dysponujemy.

2. Po skończeniu obliczeń, należy zawsze udzielić odpowiedź. Można to jednak zrobić na kilka różnych, ale równo-ważnych sposobów. Przypuśćmy, że rozwiązaniem jest x = 2 i y = 5. Odpowiedź wówczas możemy zapisać na-stępująco:

a) � = 2 i � = 5

b) � = 2, � = 5 Jeśli rozwiązaniem są ułamki dziesiętne, to zamiast przecinka można stosować średnik.

c) � = 2 ∧ � = 5 Użyty symbol matematyczny: ∧, oznacza tzw. koniunkcję, i czyta się go „i”.

d) �� = 2� = 5�

e) �; �� = (2; 5). Sposób ten stosuje się głównie wtedy, gdy układ równań był rozwiązywany metodą gra-ficzną.

f) Jeśli w zadaniu przez � oznaczona została np. cyfra dziesiątek, zaś przez � cyfra jedności, to odpowiedzią jest liczba — w tym przypadku 25, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest � = 2, � = 5 jest wówczas błędne.

1 Co to jest proporcja oraz jak się ją rozwiązuje, możesz szczegółowo dowiedzieć się czytając opracowanie o rozwiązywaniu równań i nie-

równości.


g) Jeśli w zadaniu przez � oznaczona została np. cyfra jedności, zaś przez � cyfra dziesiątek, to odpowiedzią jest liczba — w tym przypadku 52, a nie jej cyfry. Pisanie, że rozwiązaniem jest � = 5, � = 2 jest wówczas błędne.

3. Po obliczeniu wszystkich zmiennych, zaleca się wykonanie sprawdzenia otrzymanych wyników (strona 27).

Zadania tekstowe obrazujące wykorzystanie metody przeciwnych współczynników znajdziesz w podtemacie doty-czącym rozwiązywania zadań (strona 28). W zadaniach tych za pomocą metody przeciwnych współczynni-ków będą rozwiązane tylko te zadania które tą metodą liczą się łatwiej niż inną. Zadania które będą rozwią-zane za pomocą tej metody zostaną oznaczone symbolem takim jaki widzisz po lewej stronie tego tekstu.

Metoda wyznacznikowa (Sarrusa dla układów Cramera)

Aby stosować tę metodę do równań o dwóch zmiennych � i �, trzeba będzie najpierw każde równanie przekształcić

do postaci znanej z metody przeciwnych współczynników (najpierw wyrażenie z � potem wyrażenie z � a po prawej

stronie znaku równości tylko liczba nie mająca przy sobie ani � ani �), a następnie policzyć 3 tzw. wyznaczniki.

Wyznacznik to liczba otrzymana w specyficzny sposób. Aby ją wyliczyć musisz mieć najpierw tabelę składa-

jącą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn (gdy równania mają tylko dwie zmienne np. � i �) albo z trzech

wierszy i trzech kolumn (gdy równania mają dokładnie trzy zmienne np. �, �, �).

Zazwyczaj gdy mówimy o tabelach, rysujemy kratkę o odpowiedniej ilości wierszy i kolumn, i wpisujemy w nią naj-

częściej liczby. W przypadku wyznaczników jest nieco inaczej. Tabelę uzupełniasz tylko liczbami, ale bez rysowania

kratek. Aby zaznaczyć, że jest to tabela (tzw. macierz), ujmuje się ją w rozciągnięte nawiasy kwadratowe. Przykła-

dowa tabela (macierz) 3 × 3 (czyli 3 wiersze i 3 kolumny) wygląda następująco:

−3 8 52 4 −15 0 6

!

Licząc wyznacznik z tabeli 2 × 2 (2 wiersze i 2 kolumny) lub 3 × 3 należy z przodu dopisać „det” (skrót od angielskiego

słowa determinant):

det −3 8 52 4 −15 0 6

! = …

a następnie daną tabelę ująć w dwie pionowe kreski i pominąć rozciągnięte nawiasy kwadratowe oraz słowo „det”:

det −3 8 52 4 −15 0 6

! = "−3 8 52 4 −15 0 6

" Obliczenia można też od razu zaczynać od zapisu z pionowymi kreskami, bo one zastępują słowo „det” i wiadomo

o co chodzi. Tak też będziemy robić w tym opracowaniu. Słowa „det” nie będziemy używać.

Rozpatrzmy przykładowy układ dwóch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi:

� 3� = 5� − 2

−4� = 6� + 9 �

i zapiszmy każde jego równanie w postaci �� + �� = � czyli tak jak przy metodzie przeciwnych współczynników.

W metodzie wyznacznikowej jest to konieczne. Masz zatem postać równoważną powyższego układu równań:

� 3� − 5� = −2

−6� − 4� = 9 �


Najpierw trzeba policzyć wyznacznik który oznaczmy literą #, później #�, a na końcu # .

Wyznacznik # wyliczasz z tabeli utworzonej z liczb stojących przed zmiennymi � i �:

# = $ 3 −5

−6 −4$

w taki sposób, że mnożysz liczbę stojącą w lewym górnym rogu (3) przez liczbę w prawym dolnym rogu (−4) i od

otrzymanego iloczynu2 odejmujesz iloczyn liczby stojącej w prawym górnym rogu (−5) i lewym dolnym (−6). Masz

więc:

# = $ 3 −5

−6 −4$ = 3 ∙ −4��

��

− %−5 ∙ −6�&��

= −12 − 30 = −42.

Wyznacznik #� wyliczasz analogicznie do wyznacznika #. Jedyna różnica jest taka, że tabela w pierwszej kolumnie

będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem:

#� = $−2 −5

9 −4$ = −2 ∙ −4��

�

− −5 ∙ 9��

= 8 − −45� = 8 + 45 = 53.

Wyznacznik # wyliczasz również analogicznie do wyznacznika #. Jedyna różnica jest taka, że tabela w drugiej ko-

lumnie będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem:

# = $ 3 −2−6 9

$ = 3 ∙ 9��

− %−2 ∙ −6�&��

= 27 − 12 = 15.

Szukane wartości zmiennych � i � wylicza się ze wzorów:

� =��

�, gdy # ≠ 0, � =

��

�, gdy # ≠ 0.

Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest � = −�

�� i � = −

��

��.

W celu nabrania lepszej wprawy, rozwiąż teraz tą metodą układ równań:

�−7� − 5� = −2

−4� + 0� = 15�.

# = $−7 −5

−4 0$ = 0 − 20 = −20; #� = $−2 −5

15 0$ = 0 + 75 = 75; # = $−7 −2

−4 15$ = −105 − 8 = −113;

� = −75

20 � =

113

20

Sprawdzenie otrzymanych wyników wykonuje się wstawiając obliczone wartości zmiennych do każdego równania w wyjściowym układzie równań.

Uwaga. Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki.

Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne prze-kształcenia.

2 Iloczyn — wynik mnożenia.


Jeśli wyznacznik # ≠ 0, to układ równań liniowych jest oznaczony — ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.: W, Wx, Wy są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony — ma nieskoń-czenie wiele rozwiązań.

Jeśli wyznacznik # = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań liniowych jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Pamiętaj też o tym, że jeśli w równaniu brakuje zmiennej np. �, to musisz dopisać 0�, jeśli brakuje zmiennej �, to musisz dopisać 0�. Przykładowo by rozwiązać układ równań:

�−4� = 7

2� = 8�

metodą wyznacznikową, musisz go najpierw zapisać w postaci mu równoważnej:

� 0� − 4� = 7

2� + 0� = 8 �

i dopiero teraz zacząć wyliczać wyznaczniki.

Ćwiczenie: Rozwiąż wszystkie poniższe układy równań metodą wyznacznikową. a) b) c) d) �4� + 3� = 5

5� − 2� = 6� �2� = 4� − 1

5� = 3� + 2� �−4� = 7

2� = 8� �−2� − 5 = 7�

−3� + 4 = 5�� Odp. x = 28/23, y = 1/23. Odp. x = –3/2, y = –1/2. Odp. x = 4, y = –7/4. Odp. x = –33/29, y = 43/29.

Sprawdzanie otrzymanego wyniku

Teoretycznie rzecz ujmując każdy wynik trzeba sprawdzić. Robi się to prawie tak samo jak przy sprawdzaniu wyniku pojedynczego równania z tą tylko różnicą, że czasami trzeba się pilnować do którego równania wstawiasz obliczone liczby. Wykonywanie sprawdzeń wyników pokażę na przykładzie układu:

�� + 2� = 33

4� − � = 24 �

Sprawdzanie wyniku w metodzie podstawiania

Przypuśćmy, że robiąc obliczenia tą metodą, najpierw z równania drugiego wyliczyłaś �, otrzymując postać:

�� + 2� = 33 � = 4� − 24 �

i że wyliczony � wstawiłaś do równania pierwszego. Gdy otrzymasz, że rozwiązaniem tego układu równań jest � = 9 i � = 12, to sprawdzenie musisz przymusowo wykonać poprzez wstawienie tych liczb do równania pierw-szego w pierwotnym (nie przekształconym) układzie równań. Nie możesz ich wstawiać do równania drugiego, bo z niego wyliczane było �.

Sprawdzanie wyniku w metodzie przeciwnych współczynników

Przypuśćmy, że robiąc obliczenia tą metodą, masz już wyliczoną jedną ze zmiennych i drugą z nich wyliczasz np. z równania pierwszego. Wówczas robiąc sprawdzenie, obie wyliczone liczby musisz wstawić do równania drugie-go, bo z niego nie wyliczałaś zmiennej. Gdybyś zmienną wyliczała z równania drugiego, to sprawdzenie robiłabyś wstawiając obliczone liczby do równania pierwszego.

Sprawdzanie wyników metodzie wyznacznikowej

Tu sprawdzenie robi się wstawiając obliczone liczby do każdego równania. Im więcej równań tym więcej czasu potrzeba na wykonanie sprawdzenia.


Pewnie się zastanawiasz dlaczego nigdy otrzymanych liczb nie wolno wstawiać do równania z którego się wyliczało jedną ze zmiennych. Wyjaśnienie nie jest trudne. Przypuśćmy, że po rozwiązaniu układu równań:

�� + 2� = 36

4� − � = 24 �

okazało się, że � = 7 i � = 4 oraz, że jedna ze zmiennych wyliczona została z równania drugiego. Sprawdzenie wy-konujesz oczywiście wstawiając do równania pierwszego liczbę 7 zamiast � i liczbę 4 zamiast �. Masz więc:

7 + 2 ∙ 4 = 36

7 + 8 = 36

15 = 36,

Tylko dlaczego wyszedł fałsz? Przecież oczekiwaliśmy tego, że wyjdzie prawda. Pewnie gdzieś jest błąd — albo pod-czas wykonywania sprawdzenia, albo podczas obliczania liczb 7 i 4. No i mamy problem, bo trzeba znaleźć gdzie ten błąd się wkradł. Najpierw zakładasz, że liczby te są poprawnie obliczone i sprawdzasz, czy spełniają równanie drugie:

4 ∙ 7 − 4 = 24

28 − 4 = 24

24 = 24

O! Wyszła prawda. Co jest grane? Liczby te nie spełniają równania pierwszego, a spełniają drugie? Coś tu nie tak. Powinny spełniać oba równania. Pewnie nie powinny one wyjść 7 i 4, no i trzeba sprawdzić obliczenia za pomocą których one zostały wyliczone.

Wniosek: Gdyby sprawdzenie wyniku można było robić z równania z którego była wyliczana jedna ze zmiennych, wówczas mogłoby się okazać, że w sprawdzeniu lewa strona wyjdzie równa prawej i że obliczone liczby są poprawne, podczas gdy w rzeczywistości mogłoby być inaczej.

Na wszelki wypadek warto obliczone liczby wstawiać do wszystkich równań i sprawdzać czy w każdym z nich ich lewa strona jest równa stronie prawej. Więcej czasu to zajmuje, ale daje większą pewność po-prawności obliczeń.

Zadania tekstowe

Znając już metody rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi, przystąpmy do rozwiązywania zadań tekstowych. Nim jednak to zrobisz, pamiętaj o tym by:

— treść zadania czytać fragmentami (do najbliższego znaku interpunkcyjnego lub najbliższego spójnika)

— na podstawie pytania zadanego w treści zadania, odgadywać co należy oznaczyć zmiennymi

— na podstawie przeczytanych fragmentów od razu układać stosowne równania (lub nierówności)

— weryfikować na bieżąco poprawność ułożonych równań (nierówności) z treścią zadania

— dobierać w sposób intuicyjny oznaczenia zmiennych, np. � — liczba chłopców, ' — liczba dziewczyn, � — objętość beczki, ( — liczba większa, ) — liczba mniejsza, * — wiek Agnieszki, + — wiek Beaty, itp.

— w miarę możliwości robić założenia, nawet jeśli są oczywiste np. b ≥ 0, gdzie b oznacza długość boku, A > 0, gdzie A oznacza wiek Agnieszki, w > m, gdzie w oznacza liczbę większą, zaś m liczbę mniejszą, itp.

— otrzymane wyniki oraz ważniejsze fragmenty obliczeń brać od razu w ramki

— sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z poczynionymi wcześniej założeniami

— udzielać odpowiedzi jeśli w treści zadania było zadane pytanie

— wykonywać sprawdzenia otrzymanych wyników.

Poniżej przedstawiam najczęściej spotykane w gimnazjum typy zadań na wykorzystanie układów równań.


Zadanie: Suma dwóch liczb jest równa 32. Jeżeli od każdej z nich odejmiesz 4, to otrzymasz dwie liczby, z których jedna jest 2 razy większa od drugiej. Jakie to liczby?

Oznaczenia: ( — liczba większa ) — liczba mniejsza

Stosując oznaczenia intuicyjne, nie musisz dokonywać powyższych ob-jaśnień.

Założenia: ( > )

Jeśli założenia są oczywiste np. takie jak wyżej, możesz je pominąć.

Rozwiązanie:

� ( + ) = 32 ( − 4� = 2 ) − 4�� Zauważasz, że liczba (� − 4) jest 2 razy większa od liczby �� − 4�, a nie odwrotnie — wynika to z faktu, że pomię-

dzy tymi liczbami można postawić znak równości tylko wtedy, gdy liczbę mniejszą pomnożysz 2 razy, lub liczbę

większą podzielisz 2 razy. Opuszczasz w równaniu drugim nawiasy.

�( + ) = 32 ( − 4 = 2) − 8

� Przekształcasz równanie drugie.

� ( + ) = 32 ( − 2) = 4 − 8� Zauważasz, że mnożąc równanie pierwsze lub drugie przez −1 dostaniesz po dodaniu stronami 0�. Mnożysz więc

równanie drugie przez −1 i wykonujesz dodawanie stronami.

+� ( + ) = 32 −( + 2) = 4

� 3) = 36 /: 3 ) = 12

Wiedząc już, że � = 12, wracasz się na przykład do równania pierwszego w pierwotnym układzie równań i wsta-wiasz zamiast m liczbę 12. Wyliczasz �.

( + 12 = 32 ( = 32 − 12 ( = 20

Sprawdzasz już tylko, czy obliczone liczby są zgodne z założeniem. Jeśli tak, to piszesz odpowiedź, jeśli nie, to szu-

kasz błędu w obliczeniach tak długo aż go znajdziesz.

Sprawdzasz czy otrzymane w ramkach liczby spełniają poczynione na początku założenie. Jeśli tak, to piszesz odpo-wiedź, jeśli nie to szukasz błędu (lub błędów) w obliczeniach.

Odp. Szukane liczby to 12 i 20.

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 20, a ich różnica wynosi 9. Znajdź te liczby. [Odp. 29/2 i 11/2.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 34. Jeden ze składników jest o 12 większy od drugiego. Znajdź te składni-

ki. [Odp. 23 i 11.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb wynosi 25. Jeżeli jedną z nich zwiększymy dwukrotnie, a drugą zmniejszymy

o połowę, to ich suma zwiększy się o 1. Jakie to liczby? [Odp. 9 i 16.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 15, a suma czterokrotności pierwszej liczby i trzykrotności drugiej liczby

jest równa 52. Jakie to liczby? [Odp. 7 i 8.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 41, a różnica podwojonej drugiej liczby i połowy pierwszej jest równa 42.

Jakie to liczby? [Odp. 16 i 25.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb równa jest 34, a różnica ich kwadratów 136. Znajdź te liczby. [Wykorzystaj odpowiedni wzór

skróconego mnożenia. Zastosuj metodę podstawiania. Odp. 15 i 19.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb wynosi 11, a różnica liczby większej i podwojonej liczby mniejszej jest równa 26. Co

to za liczby? [Odp. –5 i 16.]


Zadanie: Różnica dwóch liczb wynosi 7. Znajdź te liczby, jeżeli wiesz, że jedna z nich stanowi 2/3 drugiej.

Zauważ, że w tym zadaniu różnica dwóch liczb jest liczbą dodatnią, co oznacza, że od liczby większej odję-

to liczbę mniejszą a nie odwrotnie. Jest to bardzo ważne, gdyż odejmowanie (w przeciwieństwie do do-

dawania) nie jest przemienne. Innymi słowy, rozwiązując zadania w których występuje różnica dwóch

liczb, warto zamiast zmiennych � i � stosować zmienne ( i ), oznaczające odpowiednio liczbę większą

i mniejszą. Dzięki temu, że masz informację o stosunku poszukiwanych liczb, wiesz dodatkowo, że podzie-

lono liczbę mniejszą przez większą, bo 2 < 3.

Oznaczenia: ( — liczba większa ) — liczba mniejsza

Założenia: ( > )

Rozwiązanie:

�( − ) = 7)( =2

3

� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim wykonujesz mnożenie po skosie, bo to proporcja.

�( − ) = 7 3) = 2(� Zastanawiasz się nad tym jaką metodą rozwiązać ten układ równań. Przypuśćmy, że wybierasz metodę podstawiania. Z

równania pierwszego wyliczasz jedną zmienną np. �.

� ( = 7 + )3) = 2( � Do równania drugiego zamiast literki � wstawiasz (7 + �) bo tak masz w równaniu pierwszym.

3) = 2(7 + ))

3) = 14 + 2)

3) − 2) = 14 ) = 14 Obliczoną liczbę 14 wstawiasz do powyższego równania które jest w ramce i wyliczasz �. ( = 7 + 14 ( = 21

Sprawdzasz czy otrzymane w ramkach liczby spełniają poczynione na początku założenie. Jeśli tak, to piszesz odpo-wiedź, jeśli nie to szukasz błędu (lub błędów) w obliczeniach.


Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb jest równa 12. Co to za liczby, jeśli stosunek jednej liczby do drugiej jest równy

9:15? [Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. Jeśli w danym stosunku liczba przed dwukropkiem jest

mniejsza od liczby za dwukropkiem, to trzeba podzielić liczbę mniejszą przez większą. Odp. 18 i 30.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb jest równa 18. Znajdź te liczby, jeśli ich stosunek wynosi 4:1. [Podpowiedź. Stosunek dwóch

liczb to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. Jeśli w danym stosunku liczba przed dwukropkiem jest mniejsza od liczby za dwukropkiem, to trzeba

podzielić liczbę mniejszą przez większą.Odp. 6 i 24.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb jest równa 20. Jakie to liczby, jeśli jedna z nich jest mniejsza od drugiej 2,1 razy? [Odp. 20 i 42.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb jest podwojoną odwrotnością liczby 5, zaś ich suma jest dziesiątą częścią liczby 52.

Co to za liczby? [Podpowiedź. 5 =�

�. Odwrotność liczby tworzy się zamieniając jej licznik z mianownikiem. Odp. 2,8 i 2,4.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb naturalnych jest równa 5. Iloraz liczby większej i liczby 4 jest o 4,99 mniejszy od

iloczynu liczby mniejszej i liczby 10. Jakie to liczby? [Odp. � = 5,64, � = 0,64.]


Zadanie: Suma dwóch liczb jest równa 1440. Znajdź te liczby, jeżeli 10,5% jednej liczby jest równe 7,5% drugiej licz-by.

Oznaczenia: � — pierwsza liczba � — druga liczba

Nie można było zastosować oznaczeń � (liczba większa) i � (liczba mniejsza), bo z treści zadania nie wynika czy 10,5% tyczy się liczby większej czy mniejszej.

Założenia:

Brak założeń, bo nie wiesz, czy 10,5% tyczy się liczby pierwszej czy drugiej.

Jeśli by się bardzo uprzeć, to założenie można zrobić. Wystarczy zauważyć, że 10,5% > 7,5% i na podstawie tego wysnuć wniosek, że gdyby pierwsza liczba była większa do drugiej liczby, to 10,5% z liczby większej nigdy nie byłoby równe 7,5% z liczby mniejszej. Zatem w przypadku tego zadania liczba pierwsza musi być mniejsza od liczby drugiej:

� < �

Rozwiązanie:

� � + � = 1440

10,5%� = 7,5%� � Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim zamieniasz procenty na ułamki zwykłe o mianowniku 100, a równanie

pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

� � + � = 1440

10,5

100� =

7,5

100� /⋅ 100

� By pozbyć się mianowników w równaniu drugim, obie jego strony mnożysz przez 100, a równa-nie pierwsze ponownie przepisujesz bo nadal z nim nic nie robisz.

�� + � = 1440

10,5� = 7,5� � Zauważasz, że równanie drugie wygląda prawie tak samo jak w wyjściowym układzie równań

(nie posiada tylko symbolów %) i wyciągasz wniosek, że mając symbol % przy każdej liczbie w danym równaniu, wystarczy go po prostu skasować. Dzięki temu oszczędzasz czas na wyko-nywanie przekształceń jakie były powyżej. Przenosisz w równaniu drugim wyrażenie 7,5� ze strony prawej na lewą ze zmienionym znakiem by później móc zastosować metodę przeciwnych współczynników. Równanie pierwsze znowu przepisujesz, bo nadal z nim nic nie robisz. Piszesz jak zwykle znak równości pod znakiem równo-ści.

� � + � = 1440 /⋅ 7,5

10,5� − 7,5� = 0 � Zauważasz, że przy igrekach w obu równaniach masz już przeciwne znaki, więc by po dodaniu

równań stronami otrzymać 0� wystarczy równanie pierwsze pomnożyć przez 7,5 a równanie drugie przepisać. Można też było obie strony pierwszego równania pomnożyć przez −10,5, ale nie jest to polecane, gdyż można zapomnieć o zmianie wszystkich znaków na przeciwne.

+� 7,5� + 7,5� = 10800

10,5� − 7,5� = 0 � Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z � są napisane jedno pod drugim oraz wyra-

żenia z � również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań stronami jest równoważne dodawaniu ich kolumnami.

18� + 0� = 10800

18� = 10800 /: 18 � = 600

Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy �, bo chcesz wyliczyć �. Obliczoną liczbę 600 wstawiasz zamiast � do któregokolwiek równania w głównym układzie równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz �.

600 + � = 1440 � = 1440 − 600 � = 840

Mając już wyliczone obie liczby � i � sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na po-czątku zadania założeniem: � < �. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby jednego błędu w obliczeniach.


Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 180. Połowa drugiej liczby stanowi 25% pierwszej liczby. Oblicz te liczby. [Odp. 120 i 60.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 32, a 15% jednej liczby równe �

� drugiej liczby. Znajdź te liczby. [Odp. 24 i 8.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 480, a różnica 60% pierwszej liczby i 45% drugiej liczby wynosi 90. Jakie to

liczby? [Odp. 120 i 360.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 420. 75% połowy drugiej liczby jest o 100% większe od czwartej części

pierwszej liczby. Oblicz te liczby. [Podpowiedź. Czwarta część danej liczby to inaczej �

� tej liczby. Zwiększenie danej liczby o 100% jest rów-

noważne pomnożeniu tej liczby przez 2. Odp. 180 i 240.]

Ćwiczenie: Suma 6% pierwszej liczby i 8% drugiej liczby wynosi 15, a suma 42% pierwszej i 1% drugiej liczby wynosi

39. Znajdź te liczby. [Odp. 90 i 120.]


Ćwiczenie: Suma 18% pierwszej liczby i 28% drugiej liczby jest równa 40. Różnica 0,6 drugiej liczby i 0,1 pierwszej

liczby jest równa sześcianowi liczby 2. Co to za liczby? [Podpowiedź. Sześcian liczby to inna nazwa potęgi 3-ciej. Odp. 160 i 40.]

Ćwiczenie: Suma 10% pierwszej liczby i 10% drugiej liczby jest równa 10, a różnica �

� drugiej liczby i

�

� pierwszej

liczby jest równa 3,9. Oblicz te liczby. [Odp. 82 i 18.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb wynosi 52, a 15% pierwszej z nich jest równe 67% drugiej. Jakie to liczby? [Odp. 67; 15.]

Ćwiczenie: Różnica 13% drugiej liczby i dziesiątej części pierwszej liczby wynosi tyle co 8�

�% pierwszej liczby, zaś

różnica 15% potrojonej drugiej liczby i ósmej części podwojonej liczby pierwszej stanowi 71% liczby

pierwszej. Znajdź te liczby. [Podpowiedzi: Dziesiąta część danej liczby to inaczej 0,1 tej liczby. Liczby mieszane zamień na ułamki niewłaściwe.

Aby pozbyć się symbolów procenta, pomnóż obie strony równań przez 100. Odp. 30 i 64.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb wynosi tyle co podwojony kwadrat liczby 3. Jakie to liczby jeśli dodatkowo wiado-

mo, że stosunek liczby większej do liczby mniejszej pomniejszonej o 10% wynosi 2 : 1? [Podpowiedzi: Kwadrat

to inna nazwa potęgi 2-giej. Podwajając kwadrat jakiejś liczby należy najpierw wykonać potęgowanie, bo tak orzeka kolejność wykonywania działań. Jeśli

różnica dwóch liczb jest dodatnia, to od liczby większej odjęto liczbę mniejszą. Odp. 20 i 38.]


Zadanie: Julia ma w swoim portfelu 12 banknotów. Są to wyłącznie banknoty dwudziesto- i pięćdziesięciozłotowe. Policzyła, że gdyby banknotów dwudziestozłotowych miała tyle co pięćdziesięciozłotowych, a pięćdziesię-ciozłotowych tyle co dwudziestozłotowych, to miałaby o 120 zł więcej niż ma teraz. Ile pieniędzy ma Julia?

Oznaczenia: ' — liczba banknotów 20-stozłotowych � — liczba banknotów 50-stozłotowych

20' — wartość w banknotach 20-stozłotowych przed zamianą

Pewnie się zastanawiasz skąd wziął się powyższy zapis 20 . Otóż zobacz, że jeśli masz 2 banknoty po 20 zł, to razem dają one 40 zł. Jeśli masz 7 banknotów po 20 zł, to razem dają one 140 zł. Jeśli masz 10 banknotów po 20 zł to razem dają one 200 zł. Widzisz więc, że łączną wartość banknotów możesz wyliczyć mnożąc ich nominał (w tym przypadku 20 zł) przez ilość tych banknotów. Skoro banknotów 20-złotowych masz , więc łączna ich wartość to 20 .

50� — wartość w banknotach 50-stozłotowych przed zamianą

Uzasadnienie zapisu 50� jest dokładnie takie samo jak zapisu 20 .

20� — wartość w banknotach 20-stozłotowych po zamianie

W treści zadania jest mowa o tym co by było gdyby banknotów 20-złotowych było tyle co 50-ciozłotowych. Oznacza to, że po zamianie banknotów 20-złotowych byłoby tyle ile jest teraz banknotów 50-ciozłotowych, czyli �. Zatem ich wartość po zamianie wyniosłaby 20� — stąd ten zapis.

50' — wartość w banknotach 50-stozłotowych po zamianie

Założenia: ' > 0 � > 0

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że ' + � = 12 oraz, że wartość banknotów po zamianie jest równa 20� + 50' i jest o 120 zł większa od kwoty przed zamianą, czyli od 20' + 50�.

Rozwiązanie:

� ' + � = 12

20� + 50'��

= 20' + 50�� ą

+ 120 � Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim przenosisz 20 oraz 50� ze strony prawej na lewą (ze zmienionym

znakiem) by później móc wykonać redukcję wyrazów podobnych i zastosować metodę prze-

ciwnych współczynników. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim w tej chwili nie ro-

bisz.

� ' + � = 12

20� − 50� + 50' − 20' = 120� W równaniu drugim wykonujesz redukcję wyrazów podobnych, a równanie pierwsze przepi-

sujesz bo nadal z nim nic nie robisz.

� ' + � = 12

−30� + 30' = 120 � By móc zastosować metodę przeciwnych współczynników, w równaniu drugim zamieniasz

kolejnością wyrazy po lewej stronie znaku równości.

� ' + � = 12 /⋅ 3

30' − 30� = 120 /: 10 � Zauważasz, że przy literkach � są przeciwne znaki, więc obie strony równania pierwszego

mnożysz przez 3 i dodatkowo obie strony równania drugiego dzielisz przez 10. Dzięki temu po dodaniu równań stronami dostaniesz 0�.

+�3' + 3� = 36

3' − 3� = 12� Dodajesz równania stronami. Ponieważ wyrażenia z są napisane jedno pod drugim oraz

wyrażenia z � również są napisane jedno pod drugim, więc dodawanie tych równań strona-mi jest równoważne dodawaniu ich kolumnami.

6' + 0� = 48

6' = 48 /: 6 ' = 8

Obie strony równania dzielisz przez liczbę stojącą przy , bo chcesz wyliczyć . Obliczoną liczbę 8 wstawiasz zamiast do któregokolwiek równania w głównym układzie równań (lepiej w tym przypadku wybrać równanie pierwsze) i obliczasz �.

8 + � = 112 � = 12 − 8 � = 4

Mając już wyliczone obie liczby � i sprawdzasz czy wyszły one zgodnie z poczynionym na początku zadania założeniami. Jeśli tak, to zliczasz wartość pieniędzy Julii i udzielasz odpo-wiedź. Jeśli nie, to szukasz choćby jednego błędu w obliczeniach.

20' + 50� = 20 zł ⋅ 8 + 50 zł ⋅ 4 = 160 zł + 200 zł = 360 zł

Odp. Julia ma w swoim portfelu 8 banknotów po 20 zł i 4 banknoty po 50 zł czyli 360 zł.


Zadanie: Pani Genowefa zebrała jajka od swoich kur i chce je zapakować w wytłaczanki transportowe mieszczące albo dwa tuziny albo dwa mendle jajek. Niezależnie od tego które wytłaczanki wybierze, zostaną jej 4 jaj-ka. Gdyby wybrała tylko wytłaczanki mieszczące mniejszą liczbę jajek to zużyłaby o 2 wytłaczanki więcej niż gdyby wybrała wytłaczanki mieszczące większą liczbę jajek. Ile pani Genowefa zebrała jajek od swoich kur?

Oznaczenia:

� — liczba wytłaczanek (o pojemności 24 sztuk) potrzebna do zapakowania zebra-

nych jajek oprócz 4 sztuk

� — liczba wytłaczanek (o pojemności 30 sztuk) potrzebna do zapakowania zebra-

nych jajek oprócz 4 sztuk

24� — największa liczba jajek jaką można zapakować w wytłaczanki o pojemności

24 sztuk

30� — największa liczba jajek jaką można zapakować w wytłaczanki o pojemności

30 sztuk

Objaśnienia:

Tuzin to 12 sztuk, zaś mendel to 15 sztuk.

Założenia: , > )

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że 24, + 4 = 30) + 4 oraz, że , = ) + 2.

Rozwiązanie:

�24, + 4 = 30) + 4 /−4, = ) + 2 � Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

Ponieważ w równaniu drugim jest już wyznaczona zmienna �, więc ten układ równań naj-

szybciej da się rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu wystarczy w równaniu pierw-

szym zamiast literki � napisać (� + 2) bo tak masz w równaniu drugim i dodatkowo od obu

stron odjąć liczbę 4.

24 ) + 2� = 30) Wymnażasz liczbę 24 przez każdą liczbę z nawiasu.

24) + 48 = 30) Przenosisz 24� na stronę prawą, jak zawsze ze zmienionym znakiem na przeciwny.

48 = 30) − 24)

48 = 6) /: 6

8 = )

Dzielisz obie strony równania przez liczbę stojącą przy zmiennej �.

8 ⋅ 30 + 4 = 240 + 4 = 244 W tym zadaniu nie ma potrzeby dodatkowego wyliczania zmiennej �. Skoro już wiesz, że do zapakowania wszystkich zebranych jaj wystarczy 8 wytłaczanek transportowych o pojemno-ści dwóch mendli (30 sztuk) i jeszcze zostaną 4 jajka, to znaczy, że obliczoną liczbę � wystar-czy pomnożyć przez pojemność tej wytłaczanki i do otrzymanego wyniku dodać 4.

Odp. Pani Genowefa od swoich kur zebrała 244 jajka.


Zadanie: Pan Zbigniew przywiózł samochodem o ładowności 2 tony towar do swojego sklepu. Były to lodówki wa-żące po 62 kg oraz żelazka ważące po 1 kg. Lodówek było 2 razy więcej niż żelazek. Ile Pan Zbigniew przy-wiózł lodówek a ile żelazek jeśli w pełni wykorzystał ładowność swego samochodu?

Oznaczenia: - — liczba przywiezionych lodówek . — liczba przywiezionych żelazek

62- — waga wszystkich przywiezionych lodówek

1. — waga wszystkich przywiezionych żelazek

Założenia: - > 0 . > 0

Analiza zadania:

Z treści zadania wiesz, że - = 2. oraz, że 62� + 1 = 2000 kg.

Rozwiązanie: � - = 2.62- + . = 2000

� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyznaczona zmienna �, więc ten układ równań

najszybciej da się rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu wystarczy w równaniu dru-

gim zamiast literki � napisać 2� bo tak masz w równaniu pierwszym.

62 ⋅ 2.��

+ . = 2000 Wykonujesz najpierw mnożenie a potem dodawanie, bo tak orzeka o tym kolejność wyko-nywania działań.

125. = 2000 /: 125 By wyliczyć � dzielisz obie strony tego równania przez liczbę stojącą przy � czyli przez 125.

. = 16 Wiesz już że przywieziono 16 żelazek. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki � piszesz 16. Obliczasz �. - = 2 ⋅ 16 = 32 Masz już że przywieziono 32 lodówki. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczy-nionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Pan Zbigniew przywiózł do swojego sklepu 16 żelazek i 32 lodówki.

Ćwiczenie: Trzy psy rasy rottweiller ważą tyle, co pięć psów rasy pitt bull. Ile waży pies rasy pitt bull jeśli rottweil-

ler jest od niego o 20 kg cięższy. [Odp. 30 kg.]

Ćwiczenie: Suma minimalnych wynagrodzeń brutto z lat 1998 i 2003 wynosiła 1300 zł brutto. Ile wynosiło mini-malne wynagrodzenie brutto w roku 2003 jeśli było ono o 300 zł wyższe od minimalnego wynagrodze-nia w roku 1998? [Odp. 800 zł.]

Ćwiczenie: Bilet do teatru dla osoby dorosłej jest o 12 zł droższy od biletu dla dziecka. Pan Zbyszek poszedł do te-

atru z trojgiem swoich dzieci i za wszystkie bilety zapłacił 100 zł. Ile kosztował bilet dla osoby dorosłej,

a ile dla dziecka? [Odp. 34 zł i 22 zł.]

Ćwiczenie: Za podręcznik do matematyki i 3 zeszyty ćwiczeń mama Ani zapłaciła 60 zł. Gdyby kupiła tylko podręcz-nik i jeden zeszyt ćwiczeń to za zaoszczędzone pieniądze mogła by kupić jeszcze jeden taki sam pod-ręcznik. Ile kosztował podręcznik oraz jeden zeszyt ćwiczeń zakupiony przez mamę Ani? [Odp. � = 24 zł,

ć = 12 zł.]

Ćwiczenie: Na egzaminie wstępnym do renomowanego gimnazjum były 23 zadania. Za każde poprawne rozwiąza-nie zadania uczeń dostawał 6 punktów, a za każde błędne tracił 3 punkty. Ile poprawnych i ile błędnych rozwiązań udzielił zdający, jeżeli zdobył w sumie 66 punktów? [Odp. � = 15, � = 8.]

Ćwiczenie: Tomek na dużej kartce narysował czworokąty i pięciokąty które razem mają 62 boki. Ile Tomek nary-sował czworokątów a ile pięciokątów, jeśli stosunek liczby pięciokątów do liczby czworokątów wyniósł 3 : 4? [Odp. � = 8, � = 6.]

Ćwiczenie: Do szafki w sali matematycznej nauczycielka wstawiła sześciany i czworościany. Wszystkie one razem miały 38 ścian i 72 krawędzie. Ile sześcianów i ile czworościanów nauczycielka wstawiła do szafki? [Odp. � = 5, � = 2.]


Ćwiczenie: 10 jednakowych szklanek i 3 jednakowe kubki ważą razem 2,9 kg. Stosunek wagi 20 szklanek do 2 kub-ków wynosi 43 : 5. Ile waży jedna szklanka i jeden kubek? [Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb to wynik z podzielenia jednej

z liczb przez drugą. Ułóż m.in. równanie: ��

�=

��

� i zauważ, że to tzw. proporcja. Odp. � = 215 g, � = 250 g.]

Ćwiczenie: W dwóch słoikach jest mleko. Stosunek objętości mleka w słoiku pierwszym do objętości mleka w sło-iku drugim jest równy 2 : 3. Ile mililitrów mleka jest w każdym słoiku, jeśli w obu słoikach jest w sumie 1,5 litra mleka? [Podpowiedź. Stosunek dwóch liczb (objętości) to wynik z podzielenia jednej z liczb przez drugą. 1 litr = 1000 ml. Odp. � = 600 ml,

= 900 ml.]

Ćwiczenie: Iloczyn dwóch liczb jest równy 432, a ich stosunek 3 : 4. O jakich liczbach mowa? [Odp. 18 i 24.]

Ćwiczenie: Iloraz dwóch liczb, których różnica wynosi 6, jest równy 0,75. O jakich liczbach mowa? [Odp. 18 i 24.]

Zadanie: W zakładzie krawieckim w marcu dwie grupy ludzi uszyły razem 500 biało-czerwonych flag Polski. Miesiąc

później obie te grupy zwiększyły swoją wydajność — pierwsza o 15%, a druga o 10% dzięki czemu liczba

uszytych flag zwiększyła się o 561. Ile flag Polski uszyła każda z grup w marcu, a ile w kwietniu?

Oznaczenia: ) — liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w marcu / — liczba flag wykonanych przez drugą grupę w marcu 0 — liczba flag wykonanych przez pierwszą grupę w kwietniu 1 — liczba flag wykonanych przez drugą grupę w kwietniu

Założenia: 0 > ) 1 > /

Rozwiązanie:

2) + 0 = 500 / + 1 = 561 / = 115%)1 = 110%0

� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. W przypadku tego zadania będą

4 równania o 2-ch zmiennych.

Liczba 115% wzięła się stąd, że wydajność pierwszej grupy z marca wynosząca 100%�

wzrosła o 15%�. Liczba 110% wzięła się stąd, że wydajność drugiej grupy z marca wyno-

sząca 100%� wzrosła o 10%�.

W równaniu drugim zamiast dużej literki � piszesz 115%m bo tak masz w równaniu 3-cim.

W równaniu drugim zamiast dużej literki � piszesz 110%k bo tak masz w równaniu 4-tym.

� ) + 0 = 500115%) + 110%0 = 561

� W równaniu drugim pozbywasz się symboli % wykonując mnożenie obu stron przez 100. Obie strony równania pierwszego mnożysz przez −110 by później móc zastosować metodę przeciwnych współczynników.

+�−110) − 1100 = −55000

115) + 1100 = 56100 � Dodajesz równania stronami.

5) = 1100 /: 5 ) = 220

Wiesz już że � = 220. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki � piszesz 220. Obliczasz �.

0 = 500 − 220 = 280

/ = 115% ⋅ 220 = 1,15 ⋅ 220 = 253 1 = 110% ⋅ 280 = 1,10 ⋅ 280 = 308

To nie koniec obliczeń. W zadaniu tym trzeba także wyliczyć � oraz �. Robisz to wstawiając wyliczone przed chwilą liczby do 3-ciego i 4-tego równania w wyjściowym układzie równań. Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. W marcu pierwsza grupa uszyła 220 a druga 280 flag. Miesiąc później grupy te uszyły odpowiednio

253 i 308 flag.

Ćwiczenie: Do biblioteki zakupiono 30 egzemplarzy Pana Tadeusza wydanego w dwóch okładkach: twardej i mięk-

kiej. Ile zakupiono egzemplarzy w okładce miękkiej, a ile w twardej jeśli 2,5% książek w okładce mięk-

kiej jest równe 1,6% książek w okładce twardej? [Odp. � = 12 i � = 18.]

Ćwiczenie: Klasy III a i III b gimnazjum liczą w sumie 45 uczniów. Na wycieczkę zagraniczną pojechało 80% uczniów

klasy III a i 72% uczniów klasy III b. Ilu uczniów liczy klasa III a oraz III b jeśli na wycieczkę tę pojechało

38 osób (w tym czterech nauczycieli)? [Podpowiedź. Skoro pojechało 4-ch nauczycieli, to ilu pojechało uczniów? Odp. � = 20, � = 25.]


Ćwiczenie: Profesjonalny aparat fotograficzny wraz z akcesoriami kosztuje 6850 zł. Gdyby akcesoria do niego były

tańsze o 246 zł, a aparat fotograficzny droższy o 7%, to cały taki zestaw kosztowałby o 209 zł więcej niż

teraz kosztuje. Ile kosztuje aparat fotograficzny? [Odp. 6500 zł.]

Ćwiczenie: Klasa II b gimnazjum liczy 28 osób. Gdyby w tej klasie liczbę dziewcząt zmniejszyć o 6,25%, a liczbę

chłopców zwiększyć o 25%, to w klasie byłoby tyle samo dziewcząt i chłopców. Ilu chłopców oraz ile

dziewcząt liczy klasa II b? [Odp. � = 12, = 16.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb jest równa 300. Różnica 25% pierwszej z nich i 15% drugiej wynosi 3. Jakie to liczby? [Odp. 120 i 180.]

Ćwiczenie: W gospodarstwie pana Józka są świnie, krowy, konie oraz kury i gęsi. Wszystkie one razem mają

56 nóg. Gdyby pan Józek dokupił 25% liczby już posiadanych czworonogów i 25% liczby posiadanych

dwunogów to liczba nóg posiadanych przez niego stworzeń wzrosłaby o 14. Ile czworonogów

i dwunogów posiada pan Józek? [Odp. � = 8, = 12.]

Zadanie: Dwa kanistry są napełnione do pełna i zawierają razem 33 litry wody. Gdyby z kanistra drugiego wypuścić piątą a z pierwszego trzecią część wody się w nim znajdującej, to w obu kanistrach zostanie tyle samo wo-dy. Ile wody mieści się maksymalnie do pierwszego, a ile do drugiego kanistra?

Oznaczenia: � — ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze ' — ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze

Założenia: � > 0 ' > 0

Analiza treści zadania:

Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że � + ' = 33. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że

z kanistra drugiego wypuszczono �� wody jaka w nim była, czyli, że: ' −

�

�' =

�

�'. Z drugiej części tego

samego zdania wiesz, że � −�

� =

�

�. Czytając zadanie dalej dowiadujesz się, że po wypuszczeniu

z obu kanistrów wskazanych ilości wody, w nich obu zostanie tyle samo wody. Oznacza to, że wyniki

dwóch ostatnich równań musisz złączyć w jedno nowe równanie: �

� =

�

�'.

Rozwiązanie:

�� + ' = 33

2

3� =

4

5' � Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

By pozbyć się mianowników w równaniu drugim możesz albo zastosować mnożenie po skosie (bo rów-

nanie to jest proporcją), albo obie strony tego równania pomnożyć np. przez 20 (czyli przez najmniejszą

wspólną wielokrotność dla liczb znajdujących się w mianownikach). Wybranie mnożenia po skosie jest

wygodniejsze, bo da mniejsze liczby i dany układ równań będzie się łatwiej rozwiązywać.

�� + ' = 33 /⋅ 12

10� = 12' �

Równanie pierwsze mnożysz przez 12 by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z nie-wiadomą . By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie 12 ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny).

+�12� + 12' = 396

10� − 12' = 0 � Dodajesz równania stronami.

22� = 396 /: 22 � = 18 Wiesz już że � = 18. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki � piszesz 18. Obliczasz .

' = 33 − 18 = 15 Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzie-lasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Do pierwszego kanistra mieści się maksymalnie 18 litrów wody a do drugiego 15 litrów. [W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa mieściło za-miast mieści nie byłoby poprawne.]


Zadanie: W dwóch kanistrach jest 16 litrów wody. Gdyby z pierwszego kanistra przelać 8 litrów wody do kanistra drugiego, to w kanistrze drugim będzie 3 razy więcej wody niż w kanistrze pierwszym. Ile wody jest w kanistrze pierwszym, a ile w drugim?

Oznaczenia: � — ilość wody znajdującej się w pierwszym kanistrze ' — ilość wody znajdującej się w drugim kanistrze



Na podstawie zdania pierwszego wiesz, że � + ' = 16. Z pierwszej części zdania następnego wiesz, że gdyby w kanistrze pierwszym ubyło 8 litrów to jednocześnie w kanistrze drugim przybyłoby 8 litrów wody. Zatem: � − 8 — ilość wody w kanistrze pierwszym po ulaniu z niego 8 litrów ' + 8 — ilość wody w kanistrze drugim po wlaniu do niego 8 litrów z kanistra pierwszego

Ponieważ po przelaniu tych 8 litów w kanistrze drugim będzie 3 razy więcej wody niż w kanistrze pierw-szym, więc układasz równanie: ' + 8��

�� !"#"$%�

= 3 (� − 8)�� !"&�!"'�(

Rozwiązanie:

�� + ' = 16 ' + 8 = 3(� − 8)� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

By w równaniu drugim pozbyć się nawiasu, wymnażasz liczbę która przed nim stoi, przez wszystko co jest

w nawiasie. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

� � + ' = 16 /⋅ 3' + 8 = 3� − 24 �

Równanie pierwsze mnożysz przez 3 by później po dodaniu równań stronami zniknęły wyrażenia z nie-wiadomą �. By rozwiązać ten układ równań metodą przeciwnych współczynników przenosisz wyrażenie 3� ze strony prawej równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny) i dodat-kowo liczbę 8 ze strony lewej na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem na przeciwny).

+�3� + 3' = 48

−3� + ' = −32 � Dodajesz równania stronami.

4' = 16 /: 4 ' = 4

Wiesz już że = 4. Wracasz się do równania pierwszego w wyjściowym układzie równań i zamiast literki piszesz 4. Obliczasz �.

� = 16 − 4 = 12 Sprawdzasz czy otrzymane wyniki są zgodne z poczynionymi na początku założeniami. Jeśli tak, to udzie-lasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. W pierwszym kanistrze jest 12 litrów wody, a w drugim są 4 litry wody. [W treści zadania pytanie było postawione w czasie teraźniejszym. Zatem odpowiedź też musi być w czasie teraźniejszym. Użycie słowa było zamiast jest nie byłoby poprawne.]

Ćwiczenie: W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Marek przelał 5 litrów benzyny z kanistra drugie-

go do pierwszego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny

z kanistra pierwszego do drugiego, to w kanistrze drugim miałby o 20 litrów benzyny więcej niż w kani-

strze pierwszym. Ile pan Marek ma benzyny razem w obu kanistrach? [Odp. 50 litrów.]

Ćwiczenie: Na dwóch półkach sklepowych jest razem 100 kostek masła. Gdyby z drugiej półki przełożyć 2 kostki

masła na półkę pierwszą, to na drugiej półce będzie o 50% więcej kostek masła niż na półce pierwszej.

Ile kostek masła jest na każdej z półek? [Odp. p = 38 szt., d = 62 szt.]

Ćwiczenie: W dwóch kanistrach znajduje się benzyna. Gdyby pan Tomek przelał 5 litrów benzyny z kanistra pierw-

szego do drugiego, to w obu kanistrach miałby tyle samo benzyny. Gdyby zaś przelał 5 litrów benzyny


z kanistra drugiego do pierwszego, to w kanistrze pierwszym miałby 2 razy więcej benzyny niż w kani-

strze drugim. Ile pan Tomek ma benzyny w każdym z kanistrów? [Odp. � = 35, = 25.]

Ćwiczenie: Gdyby 2 osoby z klasy III b przeszły do klasy III a, to w obu klasach byłaby taka sama liczba uczniów.

Gdyby zaś 6 osób z klasy III a przeszło do klasy III b, to w klasie III b byłoby 2 razy więcej uczniów niż

w klasie III a. Ile uczniów liczy klasa III a, a ilu III b? [Odp. � = 22, � = 26.]

Ćwiczenie: W dwóch koszykach znajdują się gruszki. Gdyby połowę gruszek znajdujących się w koszyku drugim

przełożyć do koszyka pierwszego, to w koszyku pierwszym będzie o 12 gruszek więcej niż w koszyku

drugim. Gdyby zaś z koszyka pierwszego przełożyć trzecią część znajdujących się w nim gruszek, to

w koszyku drugim będzie o 32 gruszki więcej niż jest obecnie w koszyku pierwszym. Ile gruszek jest

w każdym z koszyków? [Odp. � = 12, = 40.]

Ćwiczenie: Dwa pociągi towarowe miały razem 200 wagonów. Na jednej ze stacji odpięto 20 wagonów z pociągu

pierwszego i 30 wagonów z pociągu drugiego. Następnie wagony odpięte z pociągu pierwszego dołą-

czono do pociągu drugiego, a te z odpięte z pociągu drugiego dołączono do pociągu pierwszego. Po ta-

kiej zamianie wagonów okazało się, że pociąg drugi ma o 50% więcej wagonów niż pociąg pierwszy. Ile

wagonów miał początkowo każdy z pociągów? [Odp. � = 70, = 130.]

Zadanie: W 1990 roku, pewna grupa osób chciała wyjechać na wycieczkę. Jeśli każdy z uczestników wpłaciłby po 125 000 zł, to do pokrycia kosztów zabrakłoby 1 000 000 zł, jeśli zaś każdy zapłaciłby po 160 000 zł, to zo-stałoby 120 000 zł. Ile osób chciało wyjechać na wycieczkę?

Oznaczenia: 3 — liczba uczestników która chciała wyjechać na wycieczkę 0 — koszt wycieczki

Założenia: 3 > 0 0 > 0


Wiesz, że wpłacając po 125 000 zł, do pokrycia kosztów wycieczki zabraknie 1 000 000 zł. Zatem:

125 000 ⋅ 3 = 0 − 1 000 000

Dodatkowo wiesz, że:

160 000 ⋅ 3 = 0 + 120 000

Rozwiązanie: �1250003 = 0 − 1000000

1600003 = 0 + 120000 � Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. Przykładowo z równa-

nia pierwszego wyliczasz �. Przenosisz więc liczbę −1 000 000 ze strony prawej

równania na stronę lewą (oczywiście ze zmienionym znakiem na przeciwny).

�1250003 + 1000000 = 01600003 = 0 + 120000

� W równaniu drugim zamiast niewiadomej � piszesz 125000� + 1000000 bo tak masz w równaniu pierwszym.

1600003 = 1250003 + 1000000 + 120000 Wyrażenie 125000u przenosisz ze strony prawej równania na stronę lewą ze zmienionym znakiem na przeciwny.

1600003 − 1250003 = 1000000 + 120000

350003 = 1120000 /: 35000

3 = 32 Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założe-niem. Jeśli tak, to udzielasz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Na wycieczkę chciały jechać 32 osoby.

Ćwiczenie: W dniu rozdawania świadectw, w sali gimnastycznej ustawiono kilkanaście długich ławek. Jeśli na każ-

dej z nich usiądzie po 8 uczniów, to zabraknie 6 ławek do usadzenia wszystkich. Gdyby zaś dostawić


jedną ławkę i na każdej ławce posadzić po 10 uczniów, to wszyscy uczniowie będą mieli gdzie siedzieć

i żadne miejsce wolne nie zostanie. Ilu uczniów liczy ta szkoła? Ile przyniesiono ławek na salę gimna-

styczną? [Odp. � = 200, ł = 19.]

Zadanie: W 1991 roku dwaj robotnicy otrzymali za pracę 2 620 000 zł. Pierwszy pracował 15 dni, a drugi 14 dni. Ile

złotych dziennie zarabiał każdy z nich, jeśli wiadomo, że pierwszy robotnik za 4 dni otrzymał o 160 000 zł

więcej niż drugi za 3 dni?

Oznaczenia: � — dniówka robotnika pierwszego ' — dniówka robotnika drugiego



15� — tyle zarobił pierwszy robotnik przez 15 dni

14' — tyle zarobił drugi robotnik przez 14 dni

15� + 14' = 2 620 000 — tyle zarobili obaj robotnicy razem

4� = 3' + 160 000 — na podstawie ostatniego zdania w treści zadania

Rozwiązanie:

�15� + 14' = 2620000

4� = 3' + 160000

Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu drugim przenosisz wyrażenie 3d na lewą stronę równania ze zmienionym znakiem na prze-

ciwny. Równanie pierwsze przepisujesz bo nic z nim nie robisz.

�15� + 14' = 2620000 /⋅ 3

4� − 3' = 160000/⋅ 14�

Zauważasz, że przy niewiadomych masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie obie strony równania pierwszego pomnożyć przez 3 a drugiego przez 14, by po dodaniu tych równań stronami zniknęła nie-wiadoma .

+�45� + 42' = 7 860 000

56� − 42' = 2 240 000� Dodajesz równania stronami (kolumnami).

101� = 10 100 000 /: 101

� = 100 000

4� − 160000 = 3'

4 ⋅ 100 000 − 160000 = 3'

400 000 − 160000 = 3'

240 000 = 3' /: 3

80 000 = '

Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obli-czasz niewiadomą . Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach. Niewiadomą wyliczasz np. z pierwszego równania głównego układu równań pisząc zamiast literki � wy-liczoną przed chwilą liczbę tj. 100 000.

Odp. Pierwszy robotnik zarabiał dziennie 100000 zł a drugi 80000 zł.

Ćwiczenie: W dawnych czasach czas odmierzano za pomocą klepsydry. Na turnieju rycerskim jedna walka trwała 10 minut. Czas tej walki można było odmierzyć obracając małą klepsydrę 8 razy, a następnie dużą 4 ra-zy lub małą 14 razy, a dużą 2 razy. Jaki czas odmierzały te klepsydry? [Podpowiedź. Zmiennymi m i d oznacz czas jednego

obrotu odpowiednio klepsydry małej i dużej. Odp. m = 30 s, d = 90 s.]

Ćwiczenie: Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 6 minut a drugą

przez 10 minut, to do basenu napłynie 228 litrów wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 10

minut, a druga przez 6 minut, to do zbiornika napłyną 252 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego

zbiornika każdą z tych rur? [Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej

minuty. Odp. p = 18 l, d = 12 l.]


Ćwiczenie: Do zbiornika prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 12 minut a drugą

przez 7 minut, to do basenu napłyną 332 litry wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta 2 razy kró-

cej, a druga 2 razy dłużej, to do zbiornika wpłyną 376 litry wody. Ile litrów wody wpływa do tego zbior-

nika każdą z tych rur? [Podpowiedź. Przez p i d oznacz ilość wody wpływającej odpowiednio przez rurę pierwszą i drugą w ciągu jednej minuty.

Odp. p = 16 l, d = 20 l.]

Ćwiczenie: Do basenu prowadzą dwie rury. Jeśli pierwszą z nich woda będzie wpuszczana przez 10 godzin a drugą

przez 7 godzin, to do basenu napłynie 20,88 m3 wody. Jeśli zaś pierwsza rura będzie otwarta przez 7

godzin, a druga przez 10 godzin, to do basenu napłynie 21,96 m3 wody. Ile litrów wody wpływa do tego

basenu każdą z tych rur w ciągu minuty? [Podpowiedź. 1 m3 = 1000 litrów. Godzina ma 60 minut, czyli by zamienić godziny na minuty,

trzeba liczbę godzin pomnożyć przez 60. Odp. p = 18 l, d = 24 l.]

Ćwiczenie: Do zbiornika prowadzą dwie rury. Pierwszą z nich można wlewać 16 litrów wody w ciągu minuty,

a drugą 20 litrów w ciągu minuty. Ile czasu potrzeba by przy otwartych obu tych rurach wlać do tego

zbiornika 216 litrów wody? [Podpowiedź. Szukany czas wyrażony w minutach oznacz przez . Odp. 6 minut.]

Ćwiczenie: Jaś napisał na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli zwiększy o 1 jego licznik i mianownik, to po-

wstanie ułamek �. Jeśli zaś od licznika i mianownika odejmie liczbę 2, to powstanie ułamek �

�. Jaki uła-

mek napisał Jaś? [Odp. ��]

Ćwiczenie: Iga napisała na kartce ułamek zwykły i zauważyła, że jeśli zwiększy o 2 jego licznik, a mianownik zmniej-

szy o 2, to powstanie ułamek mający tę samą liczbę w liczniku i mianowniku. Jeśli zaś licznik zmniejszy

o 2, a mianownik zwiększy o 3, to powstanie jej ułamek ��. Jaki ułamek napisała Iga? [Odp. ��

��]

Ćwiczenie: Krzyś napisała na kartce ułamek zwykły i zauważył, że jeśli jego licznik zwiększy 2 razy, a mianownik

zwiększy o 1, to powstanie mu liczba 1. Jeśli zaś licznik zmniejszy 3 razy, a mianownik zmniejszy o 1, to

powstanie mu ułamek ��. Jaki ułamek napisał Krzyś? [Odp. �

��]

Ćwiczenie: Matylda napisała na kartce ułamek zwykły właściwy i zauważyła, że jeśli jego licznik zwiększy 40 razy,

a mianownik pozostawi bez zmian, to licznik będzie 15 razy większy od mianownika. Dodatkowo za-

uważyła, że różnica między mianownikiem a licznikiem napisanego ułamka wynosi 5. Jaki ułamek napi-

sała Matylda? [Odp. ��]


Zadanie: Miara jednego z kątów trójkąta ABC wynosi 80˚ i jest ona równa różnicy dwóch pozostałych kątów. Jakie

miary mają kąty tego trójkąta?

Oznaczenia: � — miara pierwszego kąta (można też zastosować oznaczenie: α) ' — miara drugiego kąta (można też zastosować oznaczenie: β)



80° + � + ' = 180° — wynika to z faktu, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180˚ � − ' = 80° — tyle wynosi różnica między dwoma pozostałymi kątami na podstawie treści zadania

Rozwiązanie:

�80° + � + ' = 180° � − ' = 80°� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania.

W równaniu pierwszym przenosisz 80˚ na stronę prawą ze zmienionym znakiem. Równanie drugie prze-

pisujesz bo nic z nim nie robisz.

�� + ' = 180° − 80°� − ' = 80° �

Zauważasz, że przy niewiadomych masz przeciwne znaki, więc wygodnie będzie zastosować metodę przeciwnych współczynników. Obliczasz to co jest po stronie prawej pierwszego równania. Drugie rów-nanie przepisujesz bo z nim nic nie robisz.

+�� + ' = 100° � − ' = 80°

� Dodajesz równania stronami (kolumnami).

2� = 180° /: 2

� = 90°

90° − ' = 80°

90° − 80° = '

10° = '

Sprawdzasz czy otrzymany wynik jest zgodny z poczynionym na początku założeniem. Jeśli tak, to obli-czasz niewiadomą . Jeśli nie to szukasz błędu w obliczeniach. Wyliczoną przed chwilą liczbę 90˚ wstawiasz do równania np. drugiego w wyjściowym układzie równań. Dzięki temu dostajesz nowe równanie z niewiadomą d. Zauważasz, że wygodne będzie przeniesienie tej niewiadomej na stronę prawą równania i jednoczesne przeniesienie liczby 80˚ ze strony prawej na stronę lewą tegoż równania. Ponieważ w treści zadania było zadane pytanie, więc trzeba jeszcze napisać odpowiedź. Zauważ jednak, że pytanie dotyczy miar wszystkich kątów, a nie tylko tych dwóch które były wyliczane.

Odp. Kąty tego trójkąta mają miary: 10˚, 80˚, 90˚.

Ćwiczenie: Jeden z kątów trójkąta ma miarę 15˚ a różnica dwóch pozostałych wynosi 45˚. Jakie miary mają kąty tego trójkąta? [Podpowiedź. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180˚. Odp.: 15˚, 60˚, 105˚.]

Zadanie: Dowódca wojska ustawił żołnierzy w szeregach jeden za drugim. Gdyby zmniejszył liczbę szeregów o 5 i w każdym szeregu zmniejszyłby liczbę żołnierzy o 4, to liczba żołnierzy zmniejszyłaby się o 62. Gdyby zaś zwiększył liczbę szeregów o 2 i liczbę żołnierzy w każdym szeregu o 3, to wszystkich żołnierzy byłoby o 50 więcej niż jest teraz. W ilu szeregach stali żołnierze? Ilu żołnierzy było w każdym z szeregów?

Oznaczenia:

s — liczba szeregów; Założenie: 4 ∈ ℕ�

z — liczba żołnierzy w jednym szeregu; Założenie: � ∈ ℕ�

w — liczba wszystkich żołnierzy; Założenie: ( ∈ ℕ�

Oznaczenie: ℕ� oznacza zbiór liczb naturalnych dodatnich, czyli liczby: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. Używając takiego zapisu w założeniach za-

pewniasz sobie, że liczba szeregów oraz liczba żołnierzy nie może wyrażać się ułamkiem.



Masz kilka szeregów i po iluś żołnierzy w każdym szeregu. By szybko policzyć ilu tych żołnierzy jest, wy-starczy liczbę szeregów pomnożyć przez liczbę żołnierzy stojących w jednym szeregu. Innymi słowy: 4 ⋅ � = (

Jeśli zmniejszysz liczbę szeregów o 5, to zamiast powyższego 4 będzie ich 4 − 5�. Jeśli zmniejszysz liczbę żołnierzy w jednym szeregu o 4, to zamiast powyższego � będzie ich � − 4�. Zatem na podstawie treści zadania: 4 − 5� ⋅ � − 4� = ( − 62

W analogiczny sposób na podstawie drugiej części zadania, układasz następne równanie: 4 + 2� ⋅ � + 3� = ( + 50

Rozwiązanie:

� 4 ⋅ � = ( 4 − 5� ⋅ � − 4� = ( − 62 4 + 2� ⋅ � + 3� = ( + 50

� Taki układ równań układasz na podstawie treści zadania. Równanie pierwsze przepisujesz (ewentualnie

usuwasz w nim symbol mnożenia), bo nic z nim nie robisz. W równaniu drugim oraz trzecim wymnażasz

nawiasy przez siebie zgodnie z regułą wszystko przez wszystko. Pamiętaj, że takie mnożenie wykonuje

się zawsze razem ze znakami jakie stoją przed daną liczbą.

� 4� = (4� − 44 − 5� + 20 = ( − 62 4� + 34 + 2� + 6 = ( + 50

Zauważasz, że w równaniach 2 i 3 zamiast �� można napisać �, bo tak masz w równaniu pierwszym. Ponieważ równanie pierwsze zostało wstawione do równania 2 i 3, więc go już nie przepisujesz.

� ( − 44 − 5� + 20 = ( − 62 ( + 34 + 2� + 6 = ( + 50�

Przenosisz w obu równaniach wszystkie wyrażenia z � i � na stronę lewą, a pozostałe na stronę prawą tychże równań.

� −44 − 5� = ( − 62 − ( − 20

34 + 2� = ( + 50 − ( − 6

Po prawych stronach tych równań wykonujesz redukcję wyrazów podobnych. Zauważasz więc, że zmien-ne � znikną.

� −44 − 5� = −82 /⋅ 3

34 + 2� = 44 /⋅ 4�

Spostrzegasz, że przy niewiadomych � są już przeciwne znaki (również przy niewiadomych �). Wniosku-jesz więc, że ten typ układu równań szybciej da się rozwiązać metodą przeciwnych współczynników niż metodą podstawiania. Obie strony każdego z równań mnożysz przez taką liczbę, by po ich dodaniu stro-nami otrzymać 0s lub 0z.

+�

−124 − 15� = −246 124 + 8� = 176

� Dodajesz równania stronami (kolumnami) i wyliczasz �.

−7� = −70 /: (−7) � = 10 Trzeba jeszcze wyliczyć niewiadomą �. W tym celu obliczoną liczbę 10 wpisujesz do równania 2 i 3 w pierwszym układzie równań. Ponownie rozwiązujesz układ równań, ale tym razem wyliczasz z niego �.

� 4 ⋅ 10 = ( 4 − 5� ⋅ 10 − 4� = ( − 62 4 + 2� ⋅ 10 + 3� = ( + 50

� � 104 = ( 4 − 5� ⋅ 6 = ( − 62 4 + 2� ⋅ 13 = ( + 50

� �

64 − 30 = 104 − 62134 + 26 = 104 + 50

� −30 + 62 = 104 − 64 134 − 104 = 50 − 26

32 = 44 czyli 8 = 4 34 = 24 czyli 4 = 8

Wyliczoną przed chwilą liczbę 90˚ wstawiasz do równania np. drugiego w wyjściowym układzie równań. Dzięki temu dostajesz nowe równanie z niewiadomą d. Zauważasz, że wygodne będzie przeniesienie tej niewiadomej na stronę prawą równania i jednoczesne przeniesienie liczby 80˚ ze strony prawej na stronę lewą tegoż równania. W równaniu drugim oraz trzecim zamiast � piszesz 10� bo tak masz w równaniu pierwszym. Równanie pierwsze kasujesz, bo zostało ono wykorzystane. Masz 2 równania o jednej zmiennej. Zatem jedno z tych równań jest zbyteczne do wyliczenia �. Ja jednak będę kontynuował obliczenia przekształcając je oba, by pokazać, że wynik końcowy wyjdzie taki sam. Nie spiąłem tych równań klamerką, bo nie ma tu takiej potrzeby — jest tylko jedna niewiadoma. Sprawdzasz, czy wyliczone � oraz � spełnia założenia poczynione na początku tego zadania. Jeśli tak, to przystępujesz do napisania odpowiedzi, bo w treści zadania było zadane pytanie.

Odp. Było 8 szeregów, a w każdym szeregu po 10 żołnierzy.


Ćwiczenie: Gdyby w regale bibliotecznym zmniejszyć liczbę półek o 20%, a na każdej półce zwiększyć liczbę książek

o 50%, to książek w tym regale zmieściłoby się o 600 więcej. Natomiast gdyby w regale zwiększyć liczbę

półek o 10, a liczbę książek na każdej półce zmniejszyć o 20, to regał pomieściłby o 600 książek mniej.

Ile było półek i książek na każdej półce? [Odp. � = 50, � = 60.]

Ćwiczenie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Jeśli jedną z jego przyprostokątnych skrócimy o 5 cm, a drugą wy-

dłużymy o 8 cm, to jego pole wzrośnie o 65 cm2. Jeśli zaś obie jego przyprostokątne skrócimy o 4 cm, to

jego pole zmaleje o 132 cm2. Jakie długości boków ma ten trójkąt? [Podpowiedź: Pole trójkąta prostokątnego oblicza się

mnożąc ułamek ½ przez długości obu przyprostokątnych — wzór ten będzie pierwszym równaniem. Na podstawie treści ułóż jeszcze 2 równania. Rozwiąż

ten układ równań w podobny sposób jak zadanie powyższe o żołnierzach ustawionych w szeregi. Zauważ, że pytanie dotyczy długości wszystkich boków

trójkąta, a nie tylko długości przyprostokątnych. Oznacza to, że do wyliczenia długości najdłuższego boku tego trójkąta trzeba będzie posłużyć się tw. Pita-

gorasa. Odp.: 30 cm, 40 cm, 50 cm.]

Ćwiczenie: Dany jest trójkąt równoramienny ABC. Jeśli jego podstawę wydłużymy o 6 cm, a wysokość opuszczoną

na tę podstawę skrócimy o 2 cm, to jego pole zwiększy się o 10 cm2. Jeśli zaś jego podstawę skrócimy

o 4 cm, a wysokość wydłużymy o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Jaką długość ma podstawa tego

trójkąta oraz wysokość opuszczona na tę podstawę? [Podpowiedź: Trzeba ułożyć układ równań składający się z 3-ch równań.

Pierwszym z tych równań będzie wzór na pole trójkąta. Równanie drugie i trzecie ułóż zastępując obie niewiadome z pierwszego równania odpowiednimi

wyrażeniami. Odp.: 20 cm, 12 cm.]

Ćwiczenie: Dane są dwa kwadraty o bokach a i b. Wiedząc, że różnica między długościami ich boków wynosi 7 cm,

a różnica ich pól powierzchni 91 cm2, oblicz długości boków tychże kwadratów. [Podpowiedź: Ułóż 2 równania. Za-

stosuj metodę podstawiania oraz odpowiedni wzór skróconego mnożenia. W tym zadaniu nie wolno stosować metody przeciwnych współczynników, bo

równania są różnych stopni (w jednym z równań występuje potęga 2). Zauważ też, że w treści zadania nie ma zadanego pytania, więc nie trzeba pisać

słownej odpowiedzi. Wyniki: 3 cm i 10 cm.]

Ćwiczenie: Obwód prostokąta wynosi 44 cm. Różnica dwóch boków nierównoległych do siebie jest równa 14 cm.

Jakie długości boków oraz pole ma ten prostokąt? [Odp. a = 18 cm, b = 4 cm, P = 72 cm2.]

Ćwiczenie: Obwód prostokąta jest równy 66 cm. Jeżeli długość dłuższego boku zwiększymy o 75%, a krótszego

zmniejszymy o 10%, to pole tego prostokąta zwiększy się o 14950 mm2. Jakie wymiary ma ten prosto-

kąt? [Podpowiedź. Długości boków wyraź najpierw w milimetrach. Odp.: 20 cm × 13 cm.]

Ćwiczenie: Obwód równoległoboku jest równy 72 cm. Jakie długości mają boki tego równoległoboku, jeśli różnica

ich długości wynosi 12 cm. [Odp. 24 cm i 12 cm.]

Ćwiczenie: Obwód prostokąta jest równy 96 cm. Jeżeli krótszy bok wydłużymy o 6 cm, a dłuższy skrócimy o 6 cm,

to dostaniemy kwadrat. Jakie długości boków ma ten prostokąt? [Odp. 30 cm, 18 cm.]

Ćwiczenie: Obwód prostokąta jest równy 246 cm. Jeżeli krótszy bok skrócimy pięciokrotnie, a dłuższy skrócimy

dziesięciokrotnie, to dostaniemy kwadrat. Jakie długości boków ma ten prostokąt? [Odp. 82 cm, 41 cm.]

Ćwiczenie: W trapezie ABCD ∢* = 25, ∢+ = 6 − 5, ∢7 = 6 + 35, ∢8 = 150˚. Jakie miary mają kąty tego tra-

pezu? [Podpowiedź. Wykorzystaj to, że suma kątów w każdym czworokącie wynosi 360˚, oraz to, że w trapezie suma kątów przy jednym ramieniu wy-

nosi zawsze 180˚. Odp. 30˚, 60˚, 120˚, 150˚.]


Zadanie: Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wynosi 7. Dzieląc zaś tę liczbę przez liczbę otrzymaną z przestawienia jej cyfr otrzymano ułamek �

�. Jaka to liczba?

Oznaczenia: 9 — cyfra jedności napisanej liczby ' — cyfra dziesiątek napisanej liczby

Założenia: 9 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ' ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Analiza treści zadania: 9 − ' = 7 — różnica między cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek

Teraz zauważ jedną rzecz. Jak masz np. liczbę:

— 32 to możesz ją zapisać jako: 10 ⋅ 3��

+ 2


+ 8


+ 4


+ 6

Oczywiste, prawda? Teraz spójrz do treści zadania i zauważ, że nie znasz liczby o której mowa w zada-niu. Wiesz natomiast, że w oznaczeniach poczynionych tuż przed analizą tego zadania, zamiast cyfry dziesiątek (kolor czerwony) można napisać literkę ' i zamiast cyfry jedności (kolor zielony) można napi-sać literkę 9. Zatem na podstawie powyższych podpunktów, dowolną liczbę dwucyfrową:

— '9 możesz zapisać jako: 10 ⋅ '��#

+ 9. Przestawiając zaś w niej cyfry, dostajesz nową liczbę dwucyfrową:

— 9' możesz zapisać jako: 10 ⋅ 9��)

+ '.

Masz więc dwie liczby: 10' + 9 (poszukiwana liczba) oraz 109 + ' (otrzymana z przestawienia cyfr

w poszukiwanej liczbie). Skoro już wiesz jak symbolicznie zapisuje się te dwie liczby o których mowa w zadaniu, więc teraz zapisz symbolicznie zdanie, które występuje jako trzecie w treści zadania:

10' + 9109 + ' =

2

9

Rozwiązanie:

� 9 − ' = 7

10' + 9109 + ' =

2

9

� Pierwsze równanie powstało na podstawie drugiego zdania w treści zadania. Drugie równanie powstało

na podstawie trzeciego zdania w treści zadania, a wyjaśnienie tego zapisu zostało zrobione w analizie

zadania.

� 9 − ' = 7

9 10' + 9� = 2 109 + '�� Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim na razie nie było robione. W równaniu drugim zosta-ło wykonane mnożenie po skosie, bo to tzw. proporcja (iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyrazów środkowych).

� 9 − ' = 7

90' + 99 = 209 + 2'� Równanie pierwsze ponownie zostało przepisane, bo znowu z nim nic nie było robione. W równaniu dru-gim zostało wykonane mnożenie liczb stojących przed nawiasami przez wszystko co jest nawiasach. Do-chodząc do tego etapu warto się zastanowić, czy za chwilę zastosujemy metodę podstawiania, czy meto-dę przeciwnych współczynników. Mi się wydaje, że łatwiej zadanie to będzie się liczyć metodą przeciw-nych współczynników, więc w równaniu drugim wszystkie wyrażenia zawierające niewiadomą oraz � przeniosę na stronę lewą, a wszystkie wyrażenia bez niewiadomych i � na stronę prawą.

� 9 − ' = 7

90' + 99 − 2' − 209 = 0

Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim nie było robione. W równaniu drugim zostały prze-niesione ze strony prawej na stronę lewą te wyrażenia, które zawierały niewiadomą lub �, oczywiście ze zmienionymi znakami na przeciwne. Kolorem zielonkawym oraz niebieskim wyróżniłem wyrażenia po-dobne czyli zawierające tę samą niewiadomą, by później móc je do siebie dodać.

� 9 − ' = 7 /⋅ 11

−119 + 88' = 0 �

Obie strony równania pierwszego mnożę przez 11, by później po dodaniu obu równań stronami dostać 0� (metoda przeciwnych współczynników).


+� 119 − 11' = 77

−119 + 88' = 0 �

77' = 77 /: 77 ' = 1

9 − ' = 7 9 − 1 = 7 9 = 7 + 1 9 = 8

Sprawdzasz, czyli wyliczona liczba spełnia założenia poczynione na początku zadania. Jeśli tak, to prze-chodzisz do wyliczenia cyfry jedności. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Przepisuję równanie pierwsze w pierwotnego układu równań, by móc z niego wyliczyć �, czyli cyfrę jed-ności poszukiwanej liczby. Zamiast niewiadomej piszę wyliczoną przed chwilą liczbę 1. Sprawdzasz, czyli wyliczona liczba spełnia założenia poczynione na początku zadania. Jeśli tak, to prze-chodzisz do wyliczenia cyfry jedności. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

Odp. Poszukiwana liczba to 18.

Uwaga. Udzielając odpowiedzi do jakiegokolwiek zadania tekstowego, należy baczną uwagę zwracać na to, jakie by-ło w nim zadane pytanie. W tym zadaniu chodziło o znalezienie liczby, a nie jej cyfr. Oznacza to, że udziele-nie odpowiedzi, że ' = 1 zaś 9 = 8 jest błędne i nie skutkuje przyznaniem punktów za odpowiedź np. na pracy klasowej czy egzaminie. O sposobach zapisywania odpowiedzi możesz przeczytać na stronie 24.

Uwaga. W tego typu zadaniach, poszczególne rozwiązania muszą być liczbami całkowitymi nieujemnymi i w dodatku mniejszymi od 10. Jeśli po dokonaniu obliczeń dostaliśmy wynik ujemny lub będący ułamkiem lub pierwiastkiem z jakiejś tam liczby, to albo jest błąd w treści zadania, albo w obliczeniach. Najczęściej jednak jest to błąd w obliczeniach którego trzeba się pozbyć. Pamiętaj aby każdy otrzymany wynik weryfi-kować z treścią zadania. Warto to czynić poprzez robienie stosownych założeń natychmiastowo przy wpro-wadzaniu zmiennych.

Ćwiczenie: Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wynosi 5. Dzieląc zaś

tę liczbę przez liczbę otrzymaną z przestawienia jej cyfr otrzymano ułamek ��. Jaka to liczba? [Odp. 27.]

Ćwiczenie: Dana jest liczba dwucyfrowa. Różnica między jej cyfrą dziesiątek a cyfrą jedności wynosi 2. Dzieląc zaś

tę liczbę przez jej cyfrę jedności otrzymano liczbę 16. Jaka to liczba? [Odp.: 64.]

Ćwiczenie: Dana jest liczba dwucyfrowa. Suma jej cyfry dziesiątek i cyfry jedności wynosi 11. Różnica tej liczby

i liczby utworzonej z przestawienia jej cyfr wynosi 9. Jaka to liczba? [Odp.: 65.]

Ćwiczenie: Dana jest liczba dwucyfrowa. Suma cyfry dziesiątek i cyfry jedności wynosi 10. Iloraz tej liczby i liczby

utworzonej z przestawienia jej cyfr jest równy ��

. Jaka to liczba? [Podpowiedź: Iloraz to wynik dzielenia. Odp.: 28.]

Ćwiczenie: Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 7. Przestawiając w niej cyfry wyjdzie liczba o 9 mniejsza. Co to

za liczba? [Odp. 43.]

Ćwiczenie: Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 9. Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymamy liczbę

o 9 większą. Jaka to liczba? [Odp. 45.]

Ćwiczenie: Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest 3 razy większa od cyfry jedności. Przestawiając cyfry w tej licz-

bie, wyjdzie liczba o 36 od niej mniejsza. O jakiej liczbie mowa? [Odp. 62.]

Ćwiczenie: Liczba dwucyfrowa jest 7 razy większa od sumy swoich cyfr. Jaka to liczba, jeśli dodatkowo wiadomo,

że przestawiając w niej cyfry dostaniemy liczbę o 18 od niej mniejszą? [Odp. 42.]

Ćwiczenie: Dodając do liczby dwucyfrowej potrojoną cyfrę dziesiątek dostaniemy liczbę 45. Przestawiając zaś jej

cyfry dostaniemy liczbę 1,4 raza większą od liczby 45. Co to za liczba? [Odp. 36.]

Ćwiczenie*: Dane są dwie liczby dwucyfrowe o tej samej sumie cyfr. Różnica między nimi jest równa sumie ich cyfr.

Przestawiając cyfry w każdej z tych liczb, dostaniemy taką samą różnicę jak poprzednio, choć tym ra-

zem pierwsza liczba będzie większa od drugiej. O jakich liczbach mowa? [Podpowiedź: Należy ułożyć 3 równania o 2-ch

niewiadomych i stosując metodę podstawiania sprawić, by jedno z napisanych równań zniknęło. Cyfry dziesiątek i jedności pierwszej liczby oznacz odpo-

wiednio przez i �, zaś drugiej liczby odpowiednio przez � i �. Odp. Mowa o wszystkich liczbach dwucyfrowych w których suma cyfr jest równa 9.]


Zadanie: Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 98. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 2 i resztę 20. Jakie to liczby?

Oznaczenia: � — pierwsza poszukiwana liczba ' — druga poszukiwana liczba

Założenia: � > 2'

bo dzieląc liczbę pierwszą przez drugą dosta-jemy liczbę 2 i jakąś tam resztę


Na początek wróćmy się do klasy drugiej szkoły podstawowej. Mieliśmy tam przykładowo, że:

13 ∶ 5 = 2 r 3, czyli 2 ⋅ 5 + 3 = 13

W naszym zadaniu mamy dwie liczby: � i ', oraz wiemy o nich m.in. to, że:

� ∶ ' = 2 r 20, czyli 2 ⋅ '��#

+ 20 = �

Rozwiązanie:

� � + ' = 98

2' + 20 = � � Równanie pierwsze wynika z pierwszego zdania w treści zadania, a drugie z powyższych przemyśleń wy-

konanych w analizie treści zadania. Ponieważ w równaniu drugim jest już wyliczona niewiadoma �, więc

ten układ równań szybciej będzie się liczyć metodą podstawiania niż metodą przeciwnych współczynni-

ków.

2' + 20��&

+ ' = 98 W równaniu pierwszym zamiast niewiadomej � zostało napisane wyrażenie 2 + 20 bo tak było w rów-naniu drugim, a równanie drugie zniknęło (bo została zastosowana metoda podstawiania).

3' = 98 − 20 Wyrażenia zawierające niewiadomą zostały do siebie dodane. Liczba 20 została przeniesiona ze strony lewej na stronę prawą ze zmienionym znakiem na przeciwny.

3' = 78 /: 3 Przypominam, że czerwona skośna kreska oznacza, że działanie które jest za nią (w tym przypadku dzie-lenie) należy wykonać na obu stronach równania, a nie tylko na stronie lewej. ' = 26

� + 26 = 98 � = 98 − 26 � = 72

Mając już wyliczoną drugą liczbę wracasz się do równania pierwszego w pierwszym układzie równań i zamiast niewiadomej piszesz wyliczoną przed chwilą liczbę 26. Mając już wyliczone obie liczby, sprawdzasz, czy założenie poczynione na początku zadania jest prawdzi-we. Ponieważ tam było napisane, że liczba pierwsza musi być co najmniej 2 razy większa od liczby drugiej (i tak nam wyszło), więc założenie jest spełnione. Pozostaje już tylko udzielić odpowiedź, bo w treści za-dania było zadane pytanie.

Odp. Poszukiwane liczby to 72 i 26.

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 99. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 1 i resztę 29. Jakie to

liczby? [Podpowiedź: Iloraz to wynik z dzielenia dwóch liczb. Odp. 64 i 35.]

Ćwiczenie: Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 100. Iloraz pierwszej z nich przez drugą daje 32 i resztę 1. Jakie

to liczby? [Podpowiedź: Iloraz to wynik z dzielenia dwóch liczb. Odp.: 97 i 3.]

Ćwiczenie: Różnica dwóch liczb naturalnych wynosi 65. Iloraz większej z nich przez mniejszą daje 22 i resztę 2. Ja-

kie to liczby? [Podpowiedź: Różnica to wynik odejmowania dwóch liczb. Odp.: 68 i 3.]


Zadanie: Liczba trzycyfrowa jest podzielna przez 10, a suma jej cyfr jest równa 12. O jakiej liczbie mowa, jeśli jej cy-fra setek jest o 2 większa od cyfry dziesiątek?

Oznaczenia: 9 — cyfra jedności ' — cyfra dziesiątek 4 — cyfra setek

Założenia: ' ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Założenia na � nie trzeba robić, bo nie będzie ono wyliczane → patrz: analiza treści zadania.


Jeśli liczba jest podzielna przez 10, to zawsze jej ostatnią cyfrą jest 0. Zatem w tym zadaniu 9 = 0 .

Rozwiązanie:

� 9 = 0 4 + ' + 9 = 12 4 = ' + 2

� Równanie pierwsze wynika z pierwszej części pierwszego zdania w treści zadania (czyli z podzielności

liczby przez 10). Równanie drugie wynika z drugiej części pierwszego zdania (suma cyfr jest równa 12).

Równanie trzecie wynika z drugiej części drugiego zdania w treści zadania.

W równaniu drugim zamiast niewiadomej � piszesz + 1 bo tak masz w równaniu trzecim. Dodatkowo

w równaniu drugim zamiast � piszesz 0, bo tak masz w równaniu pierwszym. Równania 1 i 3 wymazujesz

(została zastosowana metoda podstawiania). ' + 2��

+ ' + 0:)

= 12 Mając taką postać równania drugiego dodajesz do siebie wyrazy podobne z niewiadomą d, a pozostałe przenosisz na prawą stronę ze zmienionymi znakami na przeciwne.

2' = 12 − 2 Wyrażenia zawierające niewiadomą zostały do siebie dodane. Liczba 2 została przeniesiona ze strony lewej na stronę prawą ze zmienionym znakiem na przeciwny.

2' = 10 /: 2

' = 5

4 = ' + 2 4 = 5 + 2 4 = 7

Mając już wyliczoną cyfrę dziesiątek sprawdzasz czy spełnia ono poczynione na początku zadania założe-nie. Jeśli tak to wracasz się do równania trzeciego w pierwszym układzie równań i zamiast niewiadomej piszesz wyliczoną przed chwilą liczbę 5. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Mając już wyliczoną cyfrę setek, sprawdzasz czy spełnia ona poczynione założenie na początku zadania. Jeśli tak, to zapisujesz odpowiedź, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.


Ćwiczenie: Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 16. Jaka to liczba, jeśli wiadomo, że jej cyfra dziesiątek jest o 2

większa o cyfry jedności? [Odp. 97.]

Ćwiczenie: W liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek jest o 3 większa od jej cyfry jedności. Cyfra jedności jest zaś 17

razy mniejsza od danej liczby dwucyfrowej. O jakiej liczbie mowa? [Odp. 85.]

Ćwiczenie: Zmniejszając cyfrę dziesiątek w liczbie dwucyfrowej o 1 oraz zwiększając cyfrę dziesiątek w tejże liczbie

o 2 dostaniemy nową liczbę dwucyfrową w której cyfra dziesiątek jest równa cyfrze jedności. Zwiększa-

jąc zaś liczbę dziesiątek o 1, a cyfrę jedności zmniejszając o 2, dostaniemy nową liczbę w której cyfra

dziesiątek jest 4 razy większa od cyfry jedności. Co to za liczba? [Podpowiedź: Z pierwszej części zadania wywnioskuj, że

− 1 = � + 2. Odp.: 74.]

Ćwiczenie: Jeśli w liczbie dwucyfrowej zmniejszymy cyfrę dziesiątek o 4, a cyfrę jedności zwiększymy o 5, to

otrzymamy liczbę dwucyfrową mniejszą od 50. Jeśli zaś cyfrę dziesiątek zwiększymy o 1, a cyfrę jedno-

ści zmniejszymy o 2, to otrzymamy liczbę dwucyfrową większą od 91. Co to za liczba? [Podpowiedź: Ułóż 2 nie-

równości. Rozwiązaniem będą te liczby dwucyfrowe które jednocześnie spełniają obie te nierówności. Odp.: 84.]

Ćwiczenie: W liczbie dwucyfrowej, suma kwadratów cyfr dziesiątek i jedności wynosi 73, a różnica kwadratów

tychże cyfr jest równa −55. Jaka to liczba? [Odp. 38.]

Ćwiczenie: W liczbie dwucyfrowej różnica kwadratów cyfr dziesiątek i jedności wynosi 11. O jakiej liczbie mowa,

jeśli cyfra jedności jest o 1 mniejsza od cyfry dziesiątek? [Odp. 65.]


Zadanie: W liczbie trzycyfrowej, cyfra dziesiątek jest równa 8. Suma dwóch skrajnych cyfr jest równa cyfrze środ-kowej. Jaka to liczba, jeśli wiadomo, że zapisując jej cyfry w odwrotnej kolejności dostaniemy liczbę trzy-cyfrową o 198 większą od niej?

Oznaczenia: 9 — cyfra jedności ' — cyfra dziesiątek 4 — cyfra setek

Założenia: 4 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 9 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Założenia na nie trzeba robić, bo nie będzie ono wyliczane — z treści zadania wiadomo, że = 8.


Zauważ, że jak masz np. liczbę:


+ 10 ⋅ 2��

+ 8


+ 10 ⋅ 8��

+ 7


+ 10 ⋅ 4��

+ 1


+ 10 ⋅ 6��

+ 5

Oczywiste, prawda? Teraz spójrz do treści zadania i zauważ, że nie znasz liczby trzycyfrowej o której mowa w zadaniu. Wiesz natomiast, że zamiast cyfry setek (kolor czerwony) możesz napisać literkę 4 (bo takie oznaczenie zostało użyte w oznaczeniach), zamiast cyfry dziesiątek (kolor zielony) możesz napisać literkę ', a zamiast cyfry jedności literkę 9. Zatem na podstawie powyższych podpunktów, dowolną liczbę trzycyfrową 4'9 możesz zapisać jako:

100 ⋅ 4��

+ 10 ⋅ '��#

+ 9. Przestawiając zaś w niej cyfry, dostajesz nową liczbę trzycyfrową 9'4 możesz zapisać jako:

100 ⋅ 9��)

+ 10 ⋅ '��#

+ 4

Masz więc dwie liczby: 1004 + 10' + 9 (poszukiwana liczba) oraz 1009 + 10' + 4 (otrzymana

z przestawienia cyfr w poszukiwanej liczbie). Skoro już wiesz jak symbolicznie zapisuje się te dwie liczby o których mowa w zadaniu, więc możesz przystąpić do rozwiązywania tego zadania.

Rozwiązanie:

;<=<> ' = 8 4 + 9 = '

1009 + 10' + 4��*�+�,� -��.+./��0�

�� 1-�0��2

+./�

= 1004 + 10' + 9��1�23�0�� *�+�,�

-��.+./��0�

+ 198 � Równanie pierwsze zostało ułożone na podstawie pierwszego zdania w treści zada-nia. Równanie drugie wynika ze zdania drugiego, a równanie trzecie ze zdania trze-ciego. Przy układaniu zapisu tego równania tkwił jednak pewien haczyk. Otóż z tre-ści zadania wynika, że liczba otrzymana z przestawienia cyfr jest o 198 większa od danej liczby. Nie można zatem było użyć zapisu:

100� + 10 + ��

= 100� + 10 + �� ę��

��

+ 198

bo wówczas strona lewa nie była by równa stronie prawej.

� 4 + 9 = 8

1009 + 4 = 1004 + 9 + 198� Równanie pierwsze zniknęło, bo została użyta metoda podstawiania, która w każ-

dym miejscu tego układu równań zamiast niewiadomej napisała liczbę 8. W rów-naniu ostatnim po obu stronach znaku równości zniknęło wyrażenie 10 (zostało zastosowane odejmowanie stronami).

� 4 + 9 = 8 4 − 1004 + 1009 − 9 = 198� Równanie pierwsze zostało przepisane, bo nic z nim nie było robione. W równaniu

drugim na stronę lewą równania przeniesiono wszystkie wyrażenia zawierające nie-wiadomą � oraz �.

� 4 + 9 = 8

−994 + 999 = 198 /: 99 � Równanie pierwsze zostało przepisane bo nic z nim nie było robione. W równaniu

drugim wykonano redukcję wyrazów podobnych, czyli dodano do siebie wyrażenia zawierające tę samą niewiadomą. Dodatkowo w celu uproszczenia obliczeń, obie strony równania drugiego podzielono przez 99.


+� 4 + 9 = 8

−4 + 9 = 2 � Wykonano dodawanie równań stronami.

29 = 10 /: 2 9 = 5

Sprawdzasz, czy otrzymany wynik spełnia założenie poczynione na początku tego zadania. Jeśli tak, przystępujesz do obliczenia cyfry setek. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.

4 + 5 = 8 4 = 8 − 5 4 = 3

W równaniu drugim w wyjściowym układzie równań, zamiast niewiadomej � piszesz wyliczoną przed chwilą liczbę 5. Sprawdzasz, czy otrzymany wynik spełnia założenie poczynione na początku tego zadania. Jeśli tak, przystępujesz do napisania odpowiedzi, bo w treści zadania było zadane pytanie. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach.


Ćwiczenie: W liczbie trzycyfrowej cyfra jedności jest równa 7. Skreślając w tej liczbie cyfrę dziesiątek dostaniemy

liczbę dwucyfrową 3 razy większą od skreślonej cyfry. O jakiej liczbie trzycyfrowej mowa? [Podpowiedź: Nie roz-

wiązuj tego zadania za pomocą układów równań. Zastosuj własne logiczne myślenie. Odp. 297.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 12. Jeśli między jej cyfry wstawimy cyfrę 5, to otrzymamy

liczbę o 860 większą od danej liczby dwucyfrowej. Co to za liczba? [Podpowiedź. Wstawiając 5 pomiędzy cyfrę dziesiątek

a jedności, sprawimy, że cyfra dziesiątek stanie się cyfrą setek. Zatem jedno z równań musi wyglądać następująco: 100 + 50 + � = 10 + � + 860.

Odp. 93.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli po jej prawej stronie zostanie dopisana cyfra 6, to

w nowootrzymanej liczbie suma cyfry setek i jedności będzie 3 razy większa od cyfry dziesiątek. Jaka to

liczba? [Odp.: 64.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 9. Jeśli po jej lewej stronie zostanie dopisana cyfra 1, to

w nowootrzymanej liczbie suma cyfry setek i jedności będzie 4 razy większa od cyfry dziesiątek. Jaka to

liczba? [Odp.: 27.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 11. Jeśli po jej lewej stronie zostanie dopisana cyfra 2 razy

większa od cyfry jedności, to nowopowstała liczba będzie o 800 większa od danej liczby dwucyfrowej.

O jakiej liczbie mowa? [Odp.: 24.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie dwucyfrowej jest równa 10. Jeśli po jej prawej stronie zostanie dopisana cyfra 2 ra-

zy większa od cyfry jedności, to nowopowstała liczba będzie o 173 większa od danej liczby dwucyfro-

wej. O jakiej liczbie mowa? [Odp.: 19.]

Ćwiczenie: Suma cyfr w liczbie trzycyfrowej wynosi 11. Zamieniając miejscami cyfrę pierwszą z ostatnią, dostanie-

my liczbę o 198 większą od danej liczby. Jaka to liczba, jeśli jej cyfra setek jest 2 razy mniejsza od cyfry

jedności? [Odp. 254.]


Zadanie: Jakub jest o 8 lat starszy od Ani. 4 lata temu był on dokładnie 2 razy od niej starszy. Ile lat mają oni obec-nie?

Oznaczenia: ? — obecny wiek Jakuba ? − 4 — wiek Jakuba 4 lata temu *— obecny wiek Ani * − 4 — wiek Ani 4 lata temu

Założenia: ? > 0 * > 0


Wiesz, że obecnie ? = * + 8 (na podstawie pierwszego zdania w treści zadania), zaś 4 lata temu oboje

mieli o 4 lata mniej, czyli Jakub miał ? − 4 lat, zaś Ania miała * − 4 lat. Dodatkowo wiesz, że wtedy Ja-kub był 2 razy starszy od Ani, czyli, że zachodziło równanie: ? − 4 = 2(* − 4).

Rozwiązanie:

� ? = * + 8? − 4 = 2 * − 4� � Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyliczona niewiadoma �, więc ten układ równań szybciej będzie się

rozwiązywać metodą podstawiania niż przeciwnych współczynników. Tak więc, w równaniu drugim zamiast � trzeba napisać � + 8 bo tak jest w równaniu pierwszym i dodatkowo skasować równanie pierwsze. W równa-

niu drugim trzeba także wykonać mnożenie liczby 2 przez wszystko co jest w nawiasie. * + 8��4

− 4 = 2* − 8 Mając taką postać równania drugiego, przenosisz wyrażenia zawierające niewiadomą � na prawą stronę rów-nania, a wszystkie pozostałe na stronę lewą. Gdyby wyrażenia zawierające � przenieść na stronę lewą, to później trzeba było by jeszcze obie strony równania mnożyć lub dzielić przez liczbę −1.

8 − 4 + 8 = 2* − *

12 = * Sprawdzasz czy wyliczony wiek Ani jest zgodny z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do wyliczenia wieku Jakuba. ? = 12 + 8 ? = 20

Wracasz się do równania pierwszego w głównym układzie równań i zamiast niewiadomej � wpisujesz przed chwilą obliczoną liczbę 12. Sprawdzasz czy wyliczony wiek Jakuba jest zgodny z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do udzielenia odpowiedzi, bo w treści zadania było zadane pytanie.

Odp. Obecnie Jakub ma 20 lat, a Ania 12 lat.

Ćwiczenie: 4 lata temu tata był 2 razy starszy od swego syna. Za 20 lat oboje będą mieć razem 90 lat. Ile lat obec-

nie ma każde z nich? [Odp. 32 lata, 18 lat.]

Ćwiczenie: Klaudia i Wincenty mają razem 20 lat. Za 18 lat wiek Klaudii będzie stanowić ¾ wieku Wincentego. Ile

lat ma teraz Klaudia oraz Wincenty? [Odp. K = 6 lat, W = 14 lat.]

Ćwiczenie: Marek i Janek mają razem 44 lata. 6 lat temu Marek miał tyle lat, ile Janek będzie mieć za 2 lata. Ile lat

mają obecnie Marek i Janek? [Odp. M = 26 lat, J = 18 lat.]

Ćwiczenie: Lech Kaczyński (prezydent Polski) w momencie swojej śmierci, sprawował prezydenturę przez �

�� czasu

swojego życia. Gdyby zmarł on 2 lata wcześniej, to prezydenturę sprawowałby przez �

�� długości swoje-

go życia. Ile lat żył oraz ile lat sprawował prezydenturę Lech Kaczyński? [Odp. Lecz Kaczyński żył 60 pełnych lat, a prezy-

denturę sprawował przez 5 lat. Zginął w katastrofie samolotu pod Smoleńskiem 10 kwietnia 2010 lecąc na obchody 70-tej rocznicy mordu w Katyniu.]

Ćwiczenie*: Ktoś zapytał znajomego, ile ma lat. Otrzymał następującą odpowiedź: „Teraz mam dwa razy więcej lat,

niż ty miałeś, gdy ja byłem w twoim wieku; gdy zaś ty będziesz w moim wieku, razem będziemy mieć

63 lata. Ile lat ma każdy ze znajomych? [Podpowiedź: Aby dowiedzieć się ile młodszy ze znajomych miał lat gdy starszy ze znajomych

miał tyle lat co młodszy ma teraz, należy ułożyć równanie: m – (s – m). Aby dowiedzieć się ile lat znajomi będą mieć, gdy młodszy z nich osiągnie wiek star-

szego, należy do ich lat dodać (s – m). Odp. m = 21 lat, s = 28 lat.]

Źródło: Z Pitagorasem przez gimnazjum, W. Łęska, S. Łęski, Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna „Adam”, Warszawa 2006, strona 35.


Zadanie: Ola i Piotrek są rodzeństwem. Ola ma o 50% więcej braci niż sióstr, a Piotrek ma tyle samo braci co sióstr. Ile dzieci mają rodzice Oli i Piotrka?

Oznaczenia: � — liczba chłopców w tej rodzinie (liczba braci Oli) '— liczba dziewczynek w tej rodzinie (liczba sióstr Piotrka)



— Każdy chłopak w tej rodzinie jest bratem Oli.

— Liczba sióstr Oli, to liczba dziewczyn w tej rodzinie pomniejszona o 1 (pomniejszona o Olę), czyli − 1.

— Skoro Ola ma o 50% więcej braci niż sióstr, więc: � = � − 1 �� %(!"�)

+ 50%� − 1 ��

�# %��,�

(!"�)

= 1,5( − 1)

— Każda dziewczyna w tej rodzinie to siostra Piotrka.

— Liczba braci Piotrka, to liczba chłopaków w tej rodzinie pomniejszona o 1, czyli � − 1. Zatem: = � − 1.

Rozwiązanie:

�� = 1,5(' − 1)' = � − 1 � Oba równania zostały ułożone na podstawie powyżej przeprowadzonej analizy zadania. Przypominam, że � to

nie tylko liczba chłopców, ale także liczba braci Oli, zaś to nie tylko liczba dziewczynek, lecz także liczba

sióstr Piotrka. Natomiast � − 1� to liczba sióstr Oli, a �� − 1� to liczba braci Piotrka. ' = 1,5(' − 1)��5

− 1 Ponieważ w równaniu pierwszym jest już wyliczona niewiadoma �, wiec w równaniu drugim zamiast niewia-domej � piszesz wyrażenie które było w równaniu pierwszym po prawej stronie znaku równości.

' = 1,5' − 1,5 − 1 Zostało wykonane mnożenie liczby która stała przed nawiasem, przez wszystko co było w nawiasie.

1,5 + 1 = 1,5' − ' Wyrażenia zawierające niewiadomą zostały przeniesione na stronę prawą tego równania, a wszystkie pozo-stałe wyrażenia na stronę lewą.

2,5 = 0,5' /⋅ 2 Ponieważ ułamek dziesiętny 0,5 to inaczej połowa, więc by się go pozbyć, wystarczyło obie strony tego rów-nania pomnożyć przez 2.

5 = ' Sprawdzasz czy wyliczona liczba dziewczynek (sióstr Piotrka) jest zgodna z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to przechodzisz do wyliczenia liczby chłopców.

5 = � − 1

5 + 1 = �

6 = � � + ' = 11

Wracasz się do równania drugiego w głównym układzie równań i zamiast niewiadomej wpisujesz przed chwilą obliczoną liczbę 5. Sprawdzasz czy wyliczona liczba chłopców (braci Oli) w tej rodzinie jest zgodna z poczynionym na początku zadania założeniem. Jeśli nie, to szukasz błędu w obliczeniach. Jeśli tak, to zliczasz ile jest dzieci w tej rodzinie, bo tego dotyczyło pytanie w tym zadaniu.

Odp. Rodzice Oli i Piotrka mają 11-ścioro dzieci.

Ćwiczenie: Maciek ma dwa razy mniej sióstr niż braci, a jego siostra Magda ma o trzech braci więcej niż sióstr. Ile

dzieci jest w tej rodzinie? [Odp. 4.]

Ćwiczenie: Punktualnie na zebranie klasowe stawiło się o 7 mam więcej niż tatusiów. Kilka minut po rozpoczęciu

zebrania przyszło jeszcze dwóch tatusiów i pięć mam. Wówczas nauczyciel prowadzący zebranie za-

uważył, że mam jest dwa razy więcej niż tatusiów. Ilu rodziców przyszło na zebranie klasowe? [Odp.: 20.]

Ćwiczenie: Pani Henia w swojej szklarni hodowała tulipany i róże. W pewnym dniu tulipanów zakwitło o 150 wię-cej niż róż. Dzień później rozkwitło jeszcze 20 tulipanów i 10 róż w wyniku czego rozkwitniętych tulipa-nów było dokładnie dwa razy więcej niż rozkwitniętych róż. Ile kwiatów rozkwitło w pierwszym dniu? [Odp. 450]


Temat: Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiado-

mymi.

Niektóre typy zadań tekstowych z jakimi można spotkać się w gimnazjum, wymagają ułożenia trzech równań stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi (najczęściej x, �, �). Wykorzystując wiedzę z klasy pierwszej gimnazjum, równa-nia takie możesz rozwiązywać tylko metodą podstawiania, co niestety nie jest ani łatwe, ani szybkie. Dużo lepszym sposobem jest zapisanie tych równań w postaci układu równań i zastosowanie tzw. metody wyznacznikowej.

Metoda wyznacznikowa

Metoda wyznacznikowa dla układu trzech równań liniowych (stopnia pierwszego) z trzema niewiadomymi: �, �, � wymaga zapisania każdego równania w postaci:

�� + �� + �� = '

i nieco większej pracowitości niż przy układach dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Zobacz to na przykładzie układu równań:

� 8� = 4 − 3� − 5�−6 − � = −2� − 4�

5� = 7 − 6�

� Przekształcasz każde jego równanie do wspomnianej postaci:

�−3� + 8� + 5� = 4

2� + 4� − 1� = 6

5� + 0� + 6� = 7

�. Wyznacznik # wyliczasz z tablicy (macierzy) składającej się z liczb stojących tylko przed zmiennymi: �, �, �.

− @ AB C −DA E F !

stosując jedną z poniższych możliwości:

a) u dołu przepisujesz dwa górne wiersze b) z prawej strony przepisujesz dwie pierwsze kolumny c) u góry dopisujesz dwa dolne wiersze d) z lewej strony dopisujesz dwie ostatnie kolumny

a) b) c) d)

# = GG− @ AB C −DA E F−3 8 52 4 −1

GG # = "− @ AB C −DA E F " −3 82 45 0

# = GG2 4 −15 0 6

− @ AB C −DA E F GG # =8 54 −10 6

"− @ AB C −DA E F " W praktyce najczęściej wybiera się sposób a), czyli dopisywanie u dołu dwóch pierwszych wierszy. Obliczanie warto-ści takiego wyznacznika wykonuje się rozpoczynając mnożenie z lewego górnego rogu:

# = GG−3 8 52 4 −1

5 0 6−3 8 52 4 −1

GG = −3 ∙ 4 ∙ 6��

+ 2 ∙ 0 ∙ 5��

+ 5 ∙ 8 ∙ −1��

��6� ( 7!'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

− (5 ∙ 4 ∙ 5��

+ −1� ∙ 0 ∙ −3��

+ 6 ∙ 8 ∙ 2��

)��6� ( &"�'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

= −308.

Wyznacznik #� obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby w pierwszej kolumnie wyrazami wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości.


#� = GG4 8 56 4 −17 0 64 8 56 4 −1

GG = 4 ∙ 4 ∙ 6��

+ 6 ∙ 0 ∙ 5��

+ 7 ∙ 8 ∙ −1��

��6� ( 7!'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

− (5 ∙ 4 ∙ 7��

+ −1� ∙ 0 ∙ 4��

+ 6 ∙ 8 ∙ 6��

)��6� ( &"�'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

= −388.

Wyznacznik # obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby z drugiej kolumny wyznacznika #, wyrazami wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości.

# = GG−3 4 52 6 −15 7 6

−3 4 52 6 −1

GG = −3 ∙ 6 ∙ 6��

+ 2 ∙ 7 ∙ 5��

+ 5 ∙ 4 ∙ −1��

��6� ( 7!'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

− (5 ∙ 6 ∙ 5��

+ −1� ∙ 7 ∙ −3��

+ 6 ∙ 4 ∙ 2��

)��6� ( &"�'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

= −277.

Wyznacznik #( obliczasz zastępując liczby z trzeciej kolumny wyznacznika #, wyrazami wolnymi:

#( = GG−3 8 42 4 65 0 7

−3 8 4

2 4 6

GG = −3 ∙ 4 ∙ 7��

+ 2 ∙ 0 ∙ 4��

+ 5 ∙ 8 ∙ 6��

��6� ( 7!'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

− (4 ∙ 4 ∙ 5��

+ 6 ∙ 0 ∙ −3��

+ 7 ∙ 8 ∙ 2��

)��6� ( &"�'!%6 %ó"�!%6 "6%$

��

= −36.

Szukane zmienne: �, �, � wyliczasz ze wzorów:

� =#�# � =

# # � =#(#

Uwaga. Powyższe wzory można stosować tylko wtedy, gdy wyznacznik # ≠ 0.

Zatem:

Sprawdzenie w tej metodzie wykonuje się wstawiając wszystkie otrzymane wyniki do tego równania w wyjściowym układzie równań, w którym występują wszystkie zmienne. W rozpatrywanym przed chwilą układzie, sprawdzenie za-leca się wykonywać tylko z równania pierwszego lub drugiego (w trzecim występuje bowiem jednomian 0�).

Uwaga. Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki.

Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne prze-kształcenia.

W celu nabrania lepszej wprawy, prześledź rozwiązywanie poniższego układu równań metodą wyznacznikową.

� 8� = 9� − 10� + 11

4� − 6 + 2� = 7� � + 5 = 2� − 3�

� �−9� + 10� + 8� = 11

+4� + 02� − 7� = 06

+1� − 02� + 3� = −5

� # = GG

−9 10 84 2 −7

1 −2 3−9 10 84 2 −7

GG = −9 ∙ 2 ∙ 3��

+ 4 ∙ −2� ∙ 8��

+ 1 ∙ 10 ∙ −7��

��

− H8 ∙ 2 ∙ 1��

+ −7� ∙ −2� ∙ −9��

+ 3 ∙ 10 ∙ 4��

�� I

� = −198

� =388

308 � =

277

308 � =

36

308


�$ = ��11 10 8

6 2 −7

−5 −2 311 10 8

6 2 −7

�� = 11 ∙ 2 ∙ 3��%%

+ 6 ∙ �−2� ∙ 8��"&%

+ �−5� ∙ 10 ∙ �−7��'#

��'(

− 8 ∙ 2 ∙ �−5��")

+ (−7) ∙ (−2) ∙ 11��#*

+ 3 ∙ 10 ∙ 6��)

��(#* �

�� = 66

# = GG−9 11 84 6 −71 −5 3

−9 11 8

4 6 −7

GG = −9 ∙ 6 ∙ 3��

+ 4 ∙ −5� ∙ 8��

+ 1 ∙ 11 ∙ −7��

��

− H8 ∙ 6 ∙ 1��

+ −7� ∙ −5� ∙ −9��

+ 3 ∙ 11 ∙ 4��

�� I

�� = −264

#( = GG−9 10 114 2 61 −2 −5−9 10 11

4 2 6

GG = −9 ∙ 2 ∙ −5��

+ 4 ∙ −2� ∙ 11��

+ 1 ∙ 10 ∙ 6��

��

− H11 ∙ 2 ∙ 1��

+ 6 ∙ −2� ∙ −9��

+ (−5) ∙ 10 ∙ 4��

�� I

�� = 132

� =66

−198= −

1

3 � =

−264

−198=

4

3 � =

132

−198= −

2

3

Uwaga. Jeśli wyznacznik # ≠ 0, to układ równań liniowych jest oznaczony — ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.: #, �$, # , #( są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony, czy-

li ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeśli wyznacznik # = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań liniowych jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

Uwaga. O tym czy istnieje rozwiązanie układu równań liniowych rozstrzyga twierdzenie Kroneckera-Capellego. Nie-stety jest ono zbyt zaawansowane żeby móc go tłumaczyć w oparciu o wiedzę z gimnazjum.

Ćwiczenie: Rozwiąż poniższe układy równań stosując metodę wyznacznikową. a) b) c) d)

� 2� − � + 3� = 5

−3� − 2� + � = −4

−5� + 4� − 6� = 6

� �2� = 6� − 5�4� = 5� + 2

3� + 6� = 8

� �−� + 5� − 3� = 4

−� + 5� − 3� = 4

−� + 5� − 3� = 4

� �7� = 8�5� = 6�3� = 4��

Odp. x = –46/27; y = 193/27; z = 140/27. Odp. x = 62/93; y = z = 124/93. Odp. x = y = z = 4. Odp. x = y = z = 0.

Metoda przeciwnych współczynników

Aby rozwiązać układ trzech równań liniowych (każda niewiadoma podniesiona jest do potęgi 1) z trzema niewiado-mymi nie trzeba stosować metody wyznacznikowej. Wystarczy znać metodę przeciwnych współczynników (strona 20) i zastosować ją odpowiednią liczbę razy (najczęściej 3).

Rozpatrzmy układ równań:

I:II:III:

� � + 2� − 3� = 0

2� − 3� + 4� = 1

3� + 4� − 5� = 2

� 1. Zastosuj metodę przeciwnych współczynników do dwóch dowolnych równań np. I i II.

2. Przekształć te równania tak, by po dodaniu ich stronami, zniknęła jedna ze zmiennych. Niech zmienną tą bę-dzie np. �.


3. Dodaj je stronami. Otrzymasz równanie o dwóch zmiennych: � i �.

4. Utwórz teraz nowy układ dwóch równań o trzech zmiennych i ponownie zastosuj metodę przeciwnych współ-czynników. Musisz jednak wziąć jedno z równań które wystąpiło w punkcie 1, np. równanie I, i to równanie które nie wystąpiło w tymże punkcie, czyli równanie III.

5. Przekształć te równania tak, by po dodaniu ich stronami, zniknęła ta sama zmienna co w punkcie 2.

6. Dodaj je stronami. Otrzymasz ponownie równanie o dwóch zmiennych: � i �.

7. Rozwiążmy teraz układ złożony z równań otrzymanych w punktach 3 i 6.

8. Wyliczone zmienne wstaw do równania w którym występują wszystkie zmienne, i wylicz brakującą trzecią zmienną.

9. Udziel odpowiedź. 10. Wykonaj ewentualnie sprawdzenie.

Zatem:

1. � � + 2� − 3� = 0

2� − 3� + 4� = 1�

2. +

�−2� − 4� + 6� = 0

2� − 3� + 4� = 1�

3. −7� + 10� = 1

4. � � + 2� − 3� = 0

3� + 4� − 5� = 2�

5. +

� −3� − 6� + 9� = 0

3� + 4� − 5� = 2�

6. −2� + 4� = 2

7. �−7� + 10� = 1

−2� + 4� = 2�

+

� 14� − 20� = −2

−10� + 20� = 10�

4� = 8 � = 2

−2 ∙ 2 + 4� = 2

−4 + 4� = 2

4� = 2 + 4

4� = 6

� =6

4=

3

2

� = 1,5

8. Z równania pierwszego w wyjściowym układzie równań, mam, że: � + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 1,5 = 0 � + 4 − 4,5 = 0 � − 0,5 = 0 � = 0,5

9. Rozwiązaniem danego układu równań jest � = 0,5; � = 2; � = 1,5.


Jak widać powyżej zaprezentowana metoda jest dość długa, ale pozwala rozwiązać układ równań liniowych z 3-ma niewiadomymi bez konieczności posługiwania się wyznacznikami.

Zadania tekstowe

Nieco wyżej pokazałem, że układy trzech równań stopnia pierwszego o trzech zmiennych można rozwiązywać nawet bez znajomości metody wyznacznikowej. Na przykładzie poniższego zadania pokażę jeszcze inny sposób rozumowa-nia. Będzie on bazować głównie na metodzie podstawiania.

Zadanie: Na parkingu samochodowym stało 65 samochodów. Były to wyłącznie mercedesy, cobry i audi. Mercede-sów i audi było o 1 więcej niż cobr, a samych mercedesów o 15 więcej niż audi. Ile sztuk samochodów każdego typu stało na tym parkingu?

W tym zadaniu pominę wyjaśnianie oznaczeń niewiadomych oraz robienie założeń, bo będą one intuicyjne.

Rozwiązanie:

I:II:III:

�) + � + � = 65 ) + � = � + 1 ) = � + 15

� Rozpatrzmy równanie I i II. Zauważmy, że gdyby w równaniu I zniknęło �, to lewe strony równań I i II były by takie same (równe). Pozbądź się zatem � z lewej strony pierwszego równania, przenosząc go na stronę prawą, oczywiście ze zmienionym znakiem. Dostaniesz wówczas układ równań:

III

�) + � = 65 − �) + � = � + 1 �

Skoro lewe strony tych równań są równe, więc 65 − � musi być równe � + 1, czyli:

65 − � = � + 1

65 − 1 = � + �

64 = 2� /: 2 � = 32

Po wstawieniu wyliczonego � do równania II, dostajesz, że:

) + � = 33.

Wyliczając ) z równania powyższego i przepisując równanie III, dostajesz nowy układ równań:

IIIII

�) = 33 − �) = � + 15�

Stosując w powyższym układzie równań metodę podstawiania, dostajesz:

33 − � = � + 15

18 = 2� � = 9

Wracając się np. do równania III, masz: ) = 9 + 15 ) = 24

Spostrzeżenie: Niewiadomą ) można też było wyliczyć z ostatniego układu równań stosując dodawanie stronami. Wówczas wyszłoby, że 2) = 48, czyli także ) = 24.

Odp. Na parkingu były: 32 cobry, 24 mercedesy i 9 audi.


Ćwiczenie: Dodając do siebie 3 liczby naturalne otrzymano 72. Jakie to liczby, jeśli druga stanowi 50% pierwszej, a trzecia jest sumą pierwszej i drugiej? [Odp.: 24, 12, 36.]

Ćwiczenie: Dodając do siebie 3 liczby naturalne otrzymano 84. Jakie to liczby, jeśli pierwsza stanowi 75% drugiej, a trzecia jest sumą pierwszej i drugiej? [Odp.: 18, 24, 42.]

Ćwiczenie: Bukiet kwiatów składa się z róż w trzech kolorach: czerwonych, różowych, żółtych. Wszystkich razem jest 34. Róż czerwonych jest o 20% więcej niż żółtych, a różowych jest o 60% więcej niż czerwonych. Ile róż poszczególnych kolorów jest w tym bukiecie? [Odp.: Czerwonych jest 10, różowych 16, a żółtych 8.]

Ćwiczenie: Rolnik ze swojego pola zebrał pszenicę, żyto i owies. Razem ważyło ono 16 ton. Pszenicy zebrał tyle ile żyta i owsa razem, a żyta o 2 tony mniej niż owsa. Ile ton poszczególnych zbóż zebrał ten rolnik? [Odp.: 8, 3, 5.]


Temat: Rozwiązywanie układów równań z wykorzystaniem wzorów skrócone-

go mnożenia

Rozwiążmy teraz kilka przykładowych układów równań metodą przeciwnych współczynników i podstawiania. Na po-czątek zacznijmy od dwóch układów równań niewykorzystujących wzorów skróconego mnożenia.

metoda przeciwnych współczynników:

� 2� − 3�4

−� + �

8= −

2� − 3� − 4

8 /∙ 8

5 � + 3�� − 2 � − 3�� = − 2� + 1� 3� − 2� + 6��

� �2 2� − 3�� − � + �� = − 2� − 3� − 4�

5� + 15� − 2� + 6� = − 6�� − 4� + 3� − 2� + 6��

�4� − 6� − � − � = −2� + 3� + 4

3� + 21� = −6�� + 4� − 3� + 2 + 6��

�4� − � − 3��

−6� − � + 2��

= 4

3� − 4� + 3��

+ 21� = 2�

� 0� − 5� = 4 /∙ 21

2� + 21� = 2 /∙ 5 �

+� 0� − 105� = 84

10� + 105� = 10 �

10� = 94 /: 10 � = 9,4

−5� = 4 /: (−5)

� = −4

5

metoda podstawiania:

� 2� − 3�4

−� + �

8= −

2� − 3� − 4

8 /∙ 8

5 � + 3�� − 2 � − 3�� = − 2� + 1� 3� − 2� + 6��

� �2 2� − 3�� − � + �� = − 2� − 3� − 4�

5� + 15� − 2� + 6� = − 6�� − 4� + 3� − 2� + 6��

�4� − 6� − � − � = −2� + 3� + 4

3� + 21� = −6�� + 4� − 3� + 2 + 6��

�4� − � − 3��

−6� − � + 2��

= 4

3� − 4� + 3��

+ 21� = 2�

�−5� = 4 /: (−5)

2� + 21� = 2�

� � = −4

5

2� + 21� = 2

� 2� + 21 ∙ J−

4

5K = 2

2� −84

5= 2 /∙ 5

10� − 84 = 10

10� = 10 + 84

10� = 94 /: 10 � = 9,4 metoda przeciwnych współczynników:

�3� − 4� = −7� = 5� − 2�

� 3� − 4� = −7

−5� + � = −2 /∙ 4�

+� 3� − 4� = −7

−20� + 4� = −8 �

−17� = −15 /: (−17)

� =15

17

� = 5 ∙15

17− 2

� =75

17−

34

17

� =41

17

metoda podstawiania:

�3� − 4� = −7� = 5� − 2�

3� − 4 5� − 2� = −7

3� − 20� + 8 = −7

−17� = −7 − 8

−17� = −15 /: (−17)

� =15

17

� = 5 ∙15

17− 2

� =75

17−

34

17

� =41

17


Przejdźmy teraz do równań wykorzystujących wzory skróconego mnożenia (strona 66). Na początek przestrzegam, że w tego typu równaniach mogą czyhać nietypowe pułapki. Zobacz jedną z nich. Przypuśćmy, że podczas rozwiązy-wania równania wystąpiło wyrażenie:

5� − 7�(5� − 7).

Patrząc na nie, odruchowo aż chce się zastosować wsm3 (strona 66). Tymczasem znaki w obu nawiasach są iden-tyczne i zrobić tego nie można. W takim nietypowym przypadku należy zauważyć, że masz do czynienia z mnoże-niem dwóch tych samych wielomianów, i wyrażenie to możesz zapisać krócej:

5� − 7� 5� − 7� = (5� − 7)�.

Robiąc to, wyraźnie już widzisz, że do jego obliczenia należy zastosować wsm2 (strona 66), a nie wsm3. Masz więc:

5� − 7� 5� − 7� = (5� − 7)� = (5�)��∙��

−2 ∙ 5� ∙ 7��

+ 7� = 25�� − 70� + 49.

Rozwiążmy teraz metodą przeciwnych współczynników, dwa układy równań wykorzystujące wsm.

�(� + 2)� − (� − 3)� − (� + 2)� = 3 − ��

� − 5� −1,5 + 3�

3= −3 ∙

2� + 3

2

�

;<=<>(� + 2)��

��

��'�8�

− (� − 3)��

��'�8�

− (� + 2)��

��'�8�

= 3 − ��

� − 5� −1,5 + 3�

3= −3 ∙

2� + 3

2��)!#�68��

/∙ 6

�

2�� + 4� + 4 − �� − 6� + 9��

− �� + 4� + 4��

= 3 − ��

6� − 6 ∙ 5� − 6 ∙1,5 + 3�

3= −3 ∙ 6 ∙

2� + 3

2

� �� + 4� + 4 − �� + 6� − 9 − �� − 4� − 4 = 3 − ��

6� − 30� − 2 1,5 + 3�� = −9(2� + 3)�

�� − ��

+ 4� + 6��

+ 4 − 4��

− 9 − �� − 4� = 3 − ��

6� − 30� − 3 − 6� = −18� − 27

� 2 10� − 4� = 3 + 9��

��

−�� + ��

6� + 18��

−30� − 6��

= 3 − 27��

� � 10� − 4� = 12

24� − 36� = −24 /: 12�

�10� − 4� = 12

2� − 3� = −2 /∙ (−5)�

+� 10� − 4� = 12

−10� + 15� = 10 �

11� = 22 � = 2

2� − 6 = −2 2� = −2 + 6 2� = 4 � = 2

�(3� + 5)� − 4� + 5� 5 − 4�� = (5� − 1)� + �−5 ∙

3� − 1�(3� + 1)

9= −(� − 2)� − 5�� + ��

�

;<<=<<> (3� + 5)��'�8�

− 4� + 5��(��)

5 − 4��'�8

= (5� − 1)��'�8�

+ �−5 ∙

3� − 1�(3� + 1)��'�8

9��)!#�68��

= − (� − 2)��'�8�

− 5�� + ��/∙ 9

�

�9�� + 30� + 25 − 25 − 16�� = 25�� − 8� + 1 + �−5 ∙ 9 ∙

9�� − 1

9= −9 �� − 4� + 4� − 9 ∙ 5�� + 9��

� �9�� + 30� +25 − 25��

+ 16�� − 25�� + 8� − � = 1

−5 9�� − 1� = −9�� + 36� − 36 − 45�� + 9��

� � 38� − � = 1

−45�� + 5 − 36� + 45�� = −9�� + 9��

− 36 � � 38� − � = 1

−36� = −36 − 5�

�38� − � = 1/∙ (−36)

0� − 36� = −41�

+�−1368� + 36� = −36

0� − 36� = −41�

−1368� = −77 /: (−1368)

� =77

1368

−36� = −41 /: (−36)

� =41

36


Jak widzisz, jedyna różnica między układami równań wykorzystującymi wzory skróconego mnożenia, a tymi które tego nie robią jest taka, że w obliczeniach zawsze pojawiają się jednomiany stopnia drugiego: ��, ��, �� z jakimiś liczbami stojącymi przed nimi. Na poziomie gimnazjum równania tworzące układ równań są tak dobrane, że po po-prawnych obliczeniach wymienione jednomiany stopnia drugiego muszą zniknąć. Jeśli nie znikają (nie redukują się po przeniesieniu na jedną stronę równania), to na pewno jest błąd w obliczeniach. W przypadku trudności ze znale-zieniem tego błędu polecam zajrzeć na wykaz tego co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do rozwiązywania równań (strona 66) i sprawdzić, czy nie został popełniony przynajmniej jeden z wymienionych błędów.

Ćwiczenie: Rozwiąż algebraicznie podane układy równań i dokonaj sprawdzenia otrzymanych wyników.

a) �2 −9��:(��)

= � − 4 ∙

�

�� = 3� + 5

� b) � � ��

��=

��

�� + 5� 5 − �� = −(4 − �)� + 3��

Odp. x = –1/9, y = 7/3. Odp. x = 42,5; y = –128.


Temat: Stężenia procentowe.

W tym opracowaniu stężenia procentowe zostaną omówione w okrojonym zakresie. Skupię się tylko na tych typach zadań które dają się rozwiązywać za pomocą układów równań. Jeśli chcesz umieć rozwiązywać wszystkie typy zadań na stężenia procentowe, przeczytaj sobie to opracowanie:

http://matematyka.strefa.pl/stezenie_procentowe.pdf

Na początku przejdźmy do krótkiego omówienia co to jest roztwór oraz jego stężenie procentowe. Otóż:

Roztwór — mieszanina cieczy np. wody z jakąś substancją mogącą się w niej rozpuścić np. z solą.

Roztwór wody z solą nazywamy solanką. Nie każdy roztwór ma swoją nazwę.

Stężenie procentowe o którym mowa w temacie, to liczba uzyskana z podzielenia masy substancji rozpuszczonej w danym roztworze (np. masa soli) przez masę roztworu (woda + sól), zamieniona na procenty, np. poprzez pomno-żenie jej przez 100%.

stężenie procentowe =masa substacji rozpuszczonej w roztworze np. masa soli

masa roztworu⋅ 100%

Stężenie procentowe oznaczamy symbolem: Cp, ale ja tego symbolu na ogół nie będę go używać.

Weźmy 20 gramów wody i rozpuśćmy w niej 5 gramów soli.

�masa wody = 20 g

masa soli = 5 gL 25 g (masa roztworu) więc stężenie procentowe =

� ;

�� ;⋅ 100% =

�

�⋅ 100% = 20%

Zauważ, że wyliczając stężenie procentowe, najpierw gramy skróciły się z gramami oraz liczba 5 z liczbą 25 (powstał ułamek 1/5), a potem liczba 5 znajdująca się w mianowni-ku tego ułamka, skróciła się z liczbą 100 przez 5 dając wynik 20%.

Jak więc widzisz, obliczanie stężenia procentowego to obliczanie jakim procentem masy roztworu jest masa sub-stancji stałej.

Zadanie: Jakie jest stężenie procentowe solanki otrzymanej ze zmieszania 15 gramów soli z 45 gramami wody? Rozwiązanie

�masa wody = 45 g

masa soli = 15 g�60 g (masa roztworu) więc stężenie procentowe =

�# +% + ⋅ 100% =

�* ⋅ 100% = 25%

Odp.: Stężenie procentowe tej solanki wynosi 25%.

W niektórych typach zadań będziesz znać stężenie procentowe roztworu i np. jego masę, a nie będziesz wiedzieć ile jest w nim soli. Aby ją wyliczyć możesz:

— przekształcić podany wyżej wzór na stężenie procentowe

lub

— wyuczyć się na pamięć, że:

masę substancji rozpuszczonej w roztworze np. masę soli, wylicza się

mnożąc stężenie procentowe roztworu przez jego masę.


Zadanie: Solanka waży 200 gramów i ma stężenie 18%. Ile jest w niej gramów soli, a ile wody?

Oznaczenia: ( — masa wody 4 — masa soli M — masa roztworu (M = ( + 4) 7& =4M ⋅ 100%

Rozwiązanie

Korzystamy z podanego wyżej wzoru na stężenie procentowe, zastępując odpowiednie symbole liczbami które

mamy w treści zadania.

18% =�

200 g Takie równanie powstaje nam gdy do wzoru na stężenie procentowe wpiszemy liczby z treści zadania.

18

100=

�200 g

Procenty zostały zamienione na ułamek zwykły. Ponieważ równanie które powstało jest tzw. Proporcją, więc można zastosować mnożenie po skosie (iloczyn wyrazów skrajnych równy jest iloczynowi wyra-zów środkowych).

100� = 18 ⋅ 200 g

100� = 3600 g /: 100 By wyliczyć �, dzielimy obie strony tego równania przez liczbę która stoi przy �.

� = 36 g

Ponieważ pytanie zadane w treści zadania dotyczyło także masy wody, więc nie można skończyć zadania na tym

etapie co jest teraz. Trzeba jeszcze wyliczyć poszukiwaną masę wody. Łatwo można to zrobić ze wzoru: M = ( + 4

bo � znamy z treści zadania (200 g), a masę soli przed chwilą wyliczyliśmy. Zatem:

200 g = � + 36 g

200 g − 36 g = �

164 g = �

Odp.: Sól w tej solance waży 36 gramów, zaś woda 164 gramy.

W tym opracowaniu więcej takich banalnych zadań na stężenia procentowe rozwiązywać już nie będę, bo nie ma w nich potrzeby stosowania układów równań. Od teraz skupię się na zadaniach w których występują 2 roztwory o różnym stężeniu.

Zadanie: Zmieszano 10%-towy roztwór soli z 6%-towym roztworem soli i otrzymano 7%-tową solankę o masie 80 g. Ile gramów ważył każdy z roztworów przed zmieszaniem?

Oznaczenia � — masa pierwszego roztworu 10%� — tyle waży sól w pierwszym roztworze � — masa drugiego roztworu 6%� — tyle waży sól w drugim roztworze

Analiza zadania

Przelewając te dwa roztwory do jednego naczynia, sprawisz, że nowy roztwór:

— będzie ważyć tyle co te dwa roztwory razem, czyli będzie mieć masę � + � — będzie zawierać tyle soli co oba te roztwory razem, sól w nim zawarta będzie ważyć: 10%� + 6%�.


Z treści zadania wiesz, że:

� + ��-.*� 0�żą �,�

��-0��. ��

= 80 g�-.*� 0�ż. ��0.

��-0ó� �� 1-�0��

-��ś+� ��

oraz 10%� + 6%��-.*� @�1- 1�*� �� łą+��2

�,2 ��-0��ó0

= 7% ⋅ 80 g��-.*� @�1- 1�*� 0 ��0.� ��-0��

�� 1-�0�� -��ś+� ��

.

Masz zatem już 2 równania które utworzą układ równań.

Rysunkowo treść tego zadania można przedstawić tak:

Rozwiązanie

� � + � = 80

10%� + 6%� = 7% ⋅ 80 /⋅ 100 �

� � + � = 80 /⋅ (−10)

10� + 6� = 7 ⋅ 80 �

+�−10� − 10� = −800

10� + 6� = 560 �

−4� = −240 /: (−4) � = 60 � + 60 = 80 � = 80 − 60 � = 20

Odp.: Przed zmieszaniem pierwszy z roztworów ważył 20 gramów a drugi 60 gramów.

Ćwiczenie: Ile gramów muszą wynosić masy roztworów 15%-towego i 3%-towego by po ich zmieszaniu otrzymać roztwór ważący 30 gramów o stężeniu równym 7%? [Odp. Roztwór 15%-towy musi ważyć 10 gramów, a 3%-towy 20 gramów.]

W zadaniu powyższym obliczaliśmy masy mieszanych ze sobą roztworów znając ich stężenie. Teraz zobacz jak roz-wiązuje się zadania w których znamy masę lub objętość mieszanych roztworów, a nie znamy ich stężeń. Nie zapo-mnij jednak o tym, że wynik końcowy który wyjdzie nie może:

— być mniejszy od 0% (masa substancji rozpuszczonej np. soli mniejsza od 0 lub masa roztworu mniejsza od 0)

— większy od 100% (masa substancji rozpuszczonej np. soli większa od masy całego roztworu)


Zadanie: Pan Pomysłowy dwukrotnie zmieszał ze sobą 2 solanki o różnych stężeniach. Gdy wziął 5 litrów pierw-szej solanki i 7 litrów drugiej, to otrzymał solankę 65%-tową. Gdy zaś wziął 20 litrów pierwszej solanki i 4 litry drugiej, to otrzymał solankę o stężeniu 70%. Jakie było stężenie każdej z tych solanek?

Analiza treści zadania

W celu lepszego zrozumienia treści zadania, warto wykonać wykresy warstwowe:

Rozwiązanie

� �% ⋅ 5 + �% ⋅ 7 = 65% ⋅ 12 /⋅ 100�% ⋅ 20 + �% ⋅ 4 = 70% ⋅ 24 /⋅ 100 � Lewa strona pierwszego równania obrazuje ilość soli w obu roztworach przy pierwszym ich

zmieszaniu. Prawa strona tegoż równania, pokazuje ilość soli w roztworze otrzymanym ze zmieszania tych dwóch roztworów. Prawa strona równania wynika z treści zadania.

Drugie równanie jest analogiczne do pierwszego — obrazuje drugie mieszanie tych solanek.

Mnożąc obie strony każdego z równań przez 100, sprawiasz, że znikają w nich symbole %.

� � ⋅ 5 + � ⋅ 7 = 65 ⋅ 12� ⋅ 20 + � ⋅ 4 = 70 ⋅ 24 � Zapisujesz ten układ równań w „ładniejszej” postaci, czyli wykorzystujesz przemienność mno-

żenia po lewej stronie obu równań.

� 5� + 7� = 780

20� + 4� = 1680 /: (−4)� Zauważasz, że ten układ równań będzie szybciej się liczyć metodą przeciwnych współczynni-

ków niż metodą podstawiania oraz że mniejsze liczby w obliczeniach wyjdą wtedy, gdy obie strony drugiego równania podzielisz przez −4 niż gdyby obie strony pierwszego równania mnożyć przez −4.

+� 5� + 7� = 780

−5� − � = −420� Dodajesz równania stronami.

6� = 360 /: 6 � = 60 � = 72

Wyliczone przed chwilą stężenie drugiego roztworu wstawiasz do równania pierwszego lub drugiego w wyjściowym układzie równań i wyliczasz z niego �, czyli poszukiwane stężenie pierwszego roztworu.

Po wyliczeniu obu stężeń weryfikujesz czy nie wyszły one mniejsze od 0% lub większe od 100%.

Odp.: Stężenie pierwszego kwasu wynosiło 72%, zaś drugiego 60%.


Temat: Omówienie niektórych zagadnień przydatnych przy rozwiązywaniu układów

równań.

Wzory skróconego mnożenia oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Aby umieć rozwiązywać wszystkie układy równań, musisz koniecznie:

— znać 3 najczęściej używane wzory skróconego mnożenia (w skrócie wsm)

wsm1: � + �� = �� + 2�� + ��

wsm2: � − �� = �� − 2�� + ��

wsm3: � − �� + �� = �� − ��

— poprawnie stosować wzory skróconego mnożenia

obliczenia błędne: obliczenia poprawne:

(3� + 4�)� = 9� + 24�� + 16� (3� + 4�)� = 9�� + 24�� + 16��

obliczenia błędne: obliczenia poprawne: 3� + 5� 5 − 3�� = 9�� − 25 3� + 5� 5 − 3�� = 5 + 3�� 5 − 3�� = 25 − 9��

obliczenia błędne: obliczenia poprawne: 3� + 5� 3� + 5� = 9�� − 25 3� + 5� 3� + 5� = 3� + 5�� = 9�� + 30� + 25

— pamiętać o tym, że jeśli przed wzorem skróconego mnożenia jest znak minus, to całe wyrażenie jakie otrzyma-liśmy po zastosowaniu ów wzoru, należy wziąć w nawias


− 5� − 2�� 5� + 2�� = −25�� − 4�� − 5� − 2�� 5� + 2�� = − 25�� − 4��

— pamiętać o tym, że jeśli przed ułamkiem występuje znak minus, to licznik tego ułamka należy traktować tak, jakby był umieszczony w nawiasie

−4� − 2�

3= −

(4� − 2�)

3

— poprawnie przekształcać równanie by pozbyć się mianowników


6 −5� − 3�

4=

7

2 /∙ 4

24 − 5� − 3� = 14

6 −5� − 3�

4=

7

2 /∙ 4

24 − 5� − 3�� = 14

— poprawnie opuszczać nawias jeśli przed nim jest umieszczony znak minus


− 2� + 3� − 4�� = −2� + 3� − 4� − 2� + 3� − 4�� = −2� − 3� + 4�

— poprawnie mnożyć jednomiany przez liczbę całkowitą


−5 ∙ 2� = −3

4 /∙ 4

−20 ∙ 8��

= −3

−5 ∙ 2��

= −3

4 /∙ 4

−40� = −3


— poprawnie obliczać proporcje


3� − 2

5� + 1=

6� + 5

10� − 3

3� − 2 ∙ 10� − 3 = 5� + 1 ∙ 6� + 5

3� − 2

5� + 1=

6� + 5

10� − 3 3� − 2� ∙ 10� − 3� = 5� + 1� ∙ 6� + 5�

— poprawnie wykonywać redukcję wyrazów podobnych


5� − 2��

− 6� − 4��

= 3� − 2� 5� − 2��

−6� − 4��

= 3� − 10�

— poprawnie przenosić jednomiany na drugą stronę równania


6� + 8 = 2� 6� + 2� = 8

8� = 8 � = 1

6� + 8 = 2� 6� − 2� = −8

4� = −8 � = −2

— pamiętać o tym, że jeśli po przeniesieniu jednomianów w równaniu np. ze strony prawej na lewą nic nie pozo-stanie, to należy wpisać zero

2�� + 7� = −2� + 3� + 2��

2�� − 2�� + 7� + 2� − 3� = 0

— pamiętać o tym, że dzielenie nie jest przemienne


3� = 7 /: 3 � =3

7

3� = 7 /: 3 � =7

3

— poprawnie wykonywać działania na liczbach ujemnych

— poprawnie skracać ułamki


6� + 16

12� − 12=

� + 4

2� − 3

6� + 16

12� − 12=

2(3� + 8)

2(6� − 6)=

3� + 8

6� − 6

— pamiętać o tym, by ułamki dziesiętne i okresowe oraz liczby mieszane zamieniać na ułamki zwykłe i dopiero wówczas mnożyć obie strony równania przez wspólną wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach

0,8� + 3�

�= 5, (6)

8

10� +

19

5= 5

�

4

5� +

19

5=

17

3 /∙ 15

— znać przynajmniej jeden rachunkowy (algebraiczny) sposób rozwiązywania układów równań

— wiedzieć o tym, że odejmowanie można wykonywać tylko wtedy, gdy obie liczby mają te same jednostki lub gdy nie mają ich wcale — zmienną np. x stojącą przy liczbie, należy traktować jak jednostkę tej liczby.

obliczenia błędne: obliczenia błędne: obliczenia poprawne: obliczenia poprawne:

5 − 2� = 3� 10� − 4 = 6� 5� − 2� = 3� 10� − 4� = 6�


Sformułowania najczęściej występujące w zadaniach tekstowych

Czytając zadania tekstowe, nie zapominaj o tym, że bardzo często występują w nich takie sformułowaniami jak:

— stanowi

— jest równy / jest równa / jest równe

— wyraża się / jest wyrażony / jest wyrażona / jest wyrażone

— ma

— to otrzymamy / to otrzymujemy / to otrzymaliśmy

które zawsze należy zapisywać symbolicznie za pomocą znaku równości. Oto kilka przykładów:

— Liczba � stanowi dwie trzecie liczby y. Zapis: � =�

�.

— Kwadrat liczby � jest równy podwojonemu sześcianowi liczby �. Zapis: �� = 2�.

— Objętość … wyraża się liczbą parzystą. Zapis: N = 20, 0 ∈ 7.

— Kasia ma 15 zł. Zapis: 1 = 15 zł

— Dodając do liczby � liczbę 7 otrzymamy liczbę 10. Zapis: � + 7 = 10

Procenty

Przejdźmy teraz do mocno skróconego przypomnienia procentów.

słowny zapis równania zapis addytywny3 zapis multiplikatywny4

Liczba y stanowi 5% liczby x. — � = 5%�

Liczba y jest o 5% większa od x. � = � + 5%� � = 105%�

Liczba y jest o 5 % mniejsza od x. � = � − 5%� � = 95%�

Liczba y jest o 128% mniejsza od x. � = � − 128%� � = −28%�

Liczba y jest o 128% większa od x. � = � + 128%� � = 228%�

Liczba y stanowi 128% liczby x. � = � + 28%� � = 128%�

Liczba 3y stanowi 7% liczby x – 4. 3� = � − 4� − 93% � − 4� 3� = 7% � − 4�

Liczba 3y jest o 7% większa od liczby x – 4. 3� = � − 4� + 7% � − 4� 3� = 107% � − 4�

Przyjrzyj się uważnie dwóm ostatnim kolumnom powyższej tabeli i zauważ, że zapis addytywny jest równoważny za-pisowi multiplikatywnemu. Jako przykład rozpatrzmy pierwszą linijkę i przekształćmy znajdujący się w niej zapis ad-dytywny na multiplikatywny: � = � + 5%�

� = 100%��

� + 5%� = 105%�

Wniosek: Układając równanie na podstawie zapisu słownego, lepiej jest wykorzystywać zapis mulitiplikatywny niż addytywny. Dzięki temu masz:

— krótszy zapis

— znacznie mniejsze prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach

— brak konieczności pamiętania o kolejności wykonywania działań. 3 Sformułowanie zapis addytywny oznacza wyrażenie ułożone za pomocą dodawania lub odejmowania. Nazwa pochodzi od angielskiego

słowa add oznaczającego dodawać. W zapisie tym można używać odejmowania, ponieważ każdą liczbę ujemną można zastąpić dodawa-

niem liczby przeciwnej np. 12 − 4 = 12 + (−4). 4 Sformułowanie zapis multiplikatywny oznacza wyrażenie ułożone za pomocą mnożenia lub dzielenia. Nazwa pochodzi od angielskiego

słowa multiply oznaczającego mnożyć. W zapisie tym można używać dzielenia, ponieważ każdą liczbę można zastąpić dzieleniem przez jej

odwrotność np. 5 ∙ 7 = 5 ∶

�.


Zobacz teraz tabele pokazujące jak zamieniać przykładowe procenty na liczby i odwrotnie.

liczba procent liczba procent liczba procent

3 300% 3

4 75%

1

3 33,3%

2 200% 1

2 50%

2

3 66,6%

1 100% 1

4 25%

3

3 99,9%

5,6 560% 0,75 75% 0,482 48,2%

1,7 170% 0,18 18% 13,524 1352,4% �% =

�100

; 11% =11

100 ; 3,7% =

3,7

100=

37

1000

Uwaga. Z powyższych tabel wynika, że 100% = 99, 9�% i nie jest to błąd. Zobacz:

0,9 0,99 0,999 0,9999 0,9999999999999999 0, (9)

zapis równoważny 1 − 0,1 1 − 0,01 1 − 0,001 1 − 0,0001 1 − 0,0000000000000001 1 − 0

zapis procentowy 90% 99% 99,9% 99,99% 99,99999999999999% 100%

Równania, proporcje

Oprócz tego, warto też przypomnieć sobie, w jaki sposób układa się równania. Na początek musisz wiedzieć, że aby móc postawić znak równości pomiędzy dwiema różnymi liczbami, np. 6 i 18, należy:

a) albo liczbę mniejszą pomnożyć odpowiednią liczbę razy, albo liczbę większą podzielić odpowiednią liczbę razy:

6 ∙ 3 = 18 albo 6 = 18 ∶ 3��

�

lub

b) do liczby mniejszej dodać odpowiednią liczbę, albo od liczby większej odjąć odpowiednią liczbę:

6 + 12 = 18 albo 6 = 18 − 12

O tym który zapis z powyższych dwóch podpunktów trzeba będzie użyć w danym zadaniu, należy odgadnąć poszuku-jąc w treści zadania słowa razy. Jeśli to słowo wystąpi, to koniecznie musisz ułożyć równanie na podstawie podpunk-tu a). Brak tego słowa będzie automatycznie oznaczać konieczność ułożenia równania analogicznego do podpunktu b).

Przypuśćmy teraz, że w zadaniu jest mowa o dwóch liczbach np. x i y, oraz o tym, że liczba y jest 7 razy większa od liczby x. Aby poprawnie zapisać równanie warto zastosować w myślach regułę wagi szalkowej. Na szali która jest wyżej wyobrażasz sobie liczbę większą (w tym przy-padku y), a na szali która jest w dole — liczbę mniejszą (w tym przypadku x). Chcąc doprowa-dzić do wyrównania szal, albo szalę, która jest niżej, podnosisz do góry, albo opuszczasz tę, która jest wyżej. Na ogół jest tak, że obliczenia będą wychodzić znacznie mniej skomplikowa-ne, jeśli szalę która jest w dole podniesiesz do góry. Oznacza to, że najczęściej będziesz liczbę mniejszą mnożyć przez odpowiednią liczbę (jeśli w treści zadania wystąpiło słowo razy), lub do liczby mniejszej dodawać odpowiednią liczbę (jeśli w treści zadania słowo razy nie wystąpiło). Innymi słowy, na podstawie treści zadania, będziesz poszukiwać liczby mniejszej z dwóch, i do tej liczby dodawać coś lub liczbę tę mnożyć przez coś. Wracając się do naszego zada-nia, powinno zostać ułożone równanie:


7� = �

bo liczba x jest 7 razy mniejsza od liczby y. Zobacz — jeśli x będzie równy 2, to w myśl tego równania, y będzie równy 14:

�� = 2 � = 14�

i jest to zgodne z treścią zadania, w której było powiedziane, że liczba y jest 7 razy większa od liczby x.

Prześledź teraz układanie równań w poniższych przykładach w oparciu o regułę wagi szalkowej.

słowny zapis równania równanie zapisane na podsta-

wie reguły wagi szalkowej równanie zapisane bezpo-średnio z zapisu słownego

Liczba x jest o 4 mniejsza od liczby y. �,

�� !"#$�%& "

+ 4 = �,�� !"'�ę "

� = � − 4

Liczba 3x jest o 7 większa od liczby 4y. 3�-

�� !"'�ę "

= 4�-�� !"

#$�%& "

+ 7 3� = 4� + 7

Liczba 5x jest 8 razy większa od liczby 11y. 5�-

�� !"'�ę "

= 8 ∙ 11�.�� !"

#$�%& "

5� = 8 ∙ 11�

Liczba 16x – 5 jest 14 razy mniejsza od liczby 19. 14 ∙ �16� − 5��

�� !"#$�%& "

= 19-�� !"'�ę "

16� − 5 =

19

14

Liczba 8 jest trzy razy większa od liczby x. 8,

�� !"'�ę "

= 3 ∙ �,�� !"

#$�%& "

8 = 3�

Liczba 8 jest trzy razy mniejsza od liczby x. 8,

�� !"#$�%& "

∙ 3 = �,�� !"'�ę "

8 =

�3

Kwadrat liczby 3x + 4 jest o dwa większy od po-trojonego kwadratu liczby 4y – 5.

�3� + 4�� !"'�ę "

= 3�4� − 5�� !"

#$�%& "

+ 2 �3� + 4�� = 3�4� − 5�� + 2

Sześcian liczby 2x – 5 jest 11 razy mniejszy od kwadratu liczby 5x.

11 ∙ �2� − 5�� !"

#$�%& "

= �5�� 2� − 5�� =

�5��

11

Iloraz5 liczby 2n przez 3k jest 5 razy mniejszy od iloczynu liczb 7k i 8n.

5 ∙2/3�-

�� !"#$�%& "

= 7� ∙ 8/�� !"'�ę "

2/3� =

7� ∙ 8/5

Ćwiczenie: Uzupełnij poniższą tabelkę.

słowny zapis równania równanie zapisane na podstawie regu-

ły wagi szalkowej równanie zapisane bezpośred-

nio z zapisu słownego

Liczba x jest o 7 mniejsza od liczby y.

Liczba x jest o 7 większa od liczby y.

Liczba x jest 7 razy większa od liczby y.

Liczba x jest 7 razy mniejsza od liczby y.

Kwadrat liczby 2y jest o 5 mniejszy od kwadratu liczby 3x – 4.

Sześcian liczby 2x jest 13 razy mniejszy od kwadratu liczby 4x + y.

Liczba 3k jest o 6 mniejsza od ilorazu liczb 5p i 8.

Liczba n jest 11 razy mniejsza od iloczynu liczb 3k i n.

Iloraz liczb 2n i 3p jest 4 razy mniejszy od iloczynu liczb 5n i 6p.

Pozostało nam już tylko krótkie przypomnienie proporcji, sformułowań używanych przy procentach oraz zamienia-nie liczby na procent i odwrotnie.

proporcja �� =

�

7�3

=4

5

2� − 4

6� + 5=

� − 6

3� + 1

rozwiązanie powyższej proporcji

� = �� 7� ∙ 5��(

= 3 ∙ 40��

�2� − 4��3� + 1��(�)�(��(��

= �6� + 5�� − 6��(��()�(��

5 Iloraz — wynik dzielenia.


Zauważ, że w ostatniej kolumnie przy rozwiązywaniu proporcji, zostały użyte nawiasy. Dostawianie ich należy robić obowiązkowo w tych przypadkach, w których licznik lub mianownik ułamka zawiera przynajmniej jedno odejmowa-nie lub dodawanie.

Równanie liniowe — równanie w którym każda niewiadoma jest podniesiona do potęgi 1.

Przykładowe równania liniowe to: 5 + x = 8; x + 3y = 12; x – 2y + 3z = 40; 5x – 4y = –7.

Równanie kwadratowe — równanie w którym przynajmniej jedna niewiadoma jest podniesiona do potęgi 2.

Przykładowe równania kwadratowe to: 5 + x2 = 9; x + 3xy = 12; x – 2y2 + 3z

2 = 40.

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi x i y np.:

x + y = 8

jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zamiast niewiadomych (zmiennych) wstawimy jakieś liczby. Oznacza to, że pisząc zamiast x konkretną liczbę, wartość y będzie wyznaczona jednoznacznie6. Zatem w równaniu powyższym:

— jeśli przyjmiemy, że x = 2, to y musi być równy 6, bo 2 + 6 = 8 — jeśli przyjmiemy, że x = 5, to y musi być równy 3, bo 5 + 3 = 8 — jeśli przyjmiemy, że x = –5, to y musi być równy 13, bo –5 + 13 = 8 itd.

Dwie liczby które wstawiamy do równania o dwóch zmiennych w miejsce tych zmiennych nazywamy parą liczb. Liczby te będziemy ujmować w nawiasy zwykłe (otwarte) i rozdzielać średnikiem.

Jeśli w równaniu występują zmienne x i y, to parę liczb będziemy zapisywać następująco: (x; y). Jeśli w równaniu występują zmienne c i d, to parę liczb będziemy zapisywać następująco: (c; d), itp.

Liczby które po wstawieniu do równania w miejsce zmiennych dają równość prawdziwą, będziemy nazywać liczbami

spełniającymi dane równanie.

Ćwiczenie: Sprawdź czy liczby x = 7 i y = 5 dają równość prawdziwą po wstawieniu do równania: 3x – y = 16.

Jeśli równanie ma dwie zmienne, to liczby spełniające go będziemy nazywać parą spełniającą to równanie. Jeśli równanie ma trzy zmienne, to liczby spełniające go będziemy nazywać trójką spełniającą to równanie.

Spostrzeżenie: Nie każda para liczb spełnia równanie o dwóch zmiennych.

Każdą parę liczb spełniającą równanie o dwóch zmiennych nazywamy rozwiązaniem tego równania.

Z klasy VI szkoły podstawowej wiemy, że parę (x; y) możemy utożsamiać ze współrzędnymi punktu w układzie współrzędnych oraz to, że kolejność liczb występujących w danej parze jest ważna. Przykładowo para (6; 2) nie jest równa parze (2; 6), gdyż przyjmując w równaniu x = 6 i y = 2, na ogół nie otrzymamy tego samego wyniku, co dla x = 2 i y = 6. Zobaczmy to na przykładzie równania x – y = 4. Aby sprawdzić, czy para (x; y) = (6; 2) spełnia podane rów-nanie, należy zamiast zmiennej x wstawić liczbę 6, zamiast zmiennej y liczbę 2 i sprawdzić czy otrzymana równość będzie prawdziwa. Dla pary (x; y) = (2; 6), należy zamiast x przyjąć liczbę 2 i zamiast y liczbę 6. Zatem:

— dla pary (x; y) = (6; 2) otrzymujemy: 6 – 2 = 4 — prawda.

— dla pary (x; y) = (2; 6) otrzymujemy: 2 – 6 = 4 — fałsz, bo 2 – 6 = –4.

Ćwiczenie: Sprawdź które z wymienionych par (x; y), spełniają równanie: 2x + y = 8.

a) (0; 8) b) (8; 0) c) (–8; 24) d) (1; 6) e) (–1; –6) f) (2; 3) g) (3; 2) Odp. a) tak, b) nie, c) tak, d) tak, e) nie f) nie g) tak.

6 Sformułowanie wartość y wyznaczona jednoznacznie oznacza, że każda metoda wyliczająca tę wartość da ten sam wynik.


Ćwiczenie: Wypisz przynajmniej 10 par (x; y) które spełniają równanie x – y = 5. Czy to prawda, że podane równa-

nie jest spełnione zarówno przez parę (6; 1) oraz (1; 6)? [Odp. Nie jest to prawda.]

Zapamiętaj. Rozwiązaniem równania o dwóch zmiennych x i y jest każda para (x; y) która spełnia to równanie.

Wiedząc już, że rozwiązaniem równania o dwóch zmiennych są odpowiednie pary liczb, wypiszmy przykładowe pary (x; y), które spełniają równanie x + y = 8 z początku tego tematu: (–1; 9), (0; 8), (1; 7), (2; 6), (4; 4), (8; 0), (9; –1), (10; –2) i zaznaczmy je w układzie współrzędnych. Zauważmy, że leżą one na jednej prostej oraz to, że nie są to wszystkie pary spełniające owe równanie. Jeśli zamiast zmiennej x przyjmiemy jakiś ułamek np. 0,25 i znajdziemy dla niego wartość y spełniającą to równanie — w tym przypadku 7,75 (bo 0,25 + 7,75 = 8), to otrzymany punkt o współrzędnych (0,25; 7,75) również będzie leżeć na tej prostej. Czyniąc tak nieskończenie wiele razy dla wszystkich możliwych wartości x, otrzymamy nieskończenie wiele par (x; y), które po zaznaczeniu w układzie współrzędnych utworzą prostą. Innymi słowy, na prostą narysowaną w układzie współrzędnych musimy patrzeć tak, jak na nieskoń-

czenie wiele punktów leżących tak bardzo blisko siebie, że pomiędzy nimi nie ma żadnych dziur ani przerw. Jeśli w momencie czytania tego opracowania znasz już pojęcie funkcji linowej, to wiesz, że taką prostą nazywamy wykre-

sem funkcji liniowej i podpisujemy ją odpowiednim wzorem.

Zadanie: Liczba x + 1 jest dwa razy większa od liczby y – 4. Ułóż odpowiednie równanie i wypisz przynajmniej 5 par liczb (x; y) spełniających go.

Rozwiązanie

Skoro x + 1 jest liczbą dwa razy większą od y – 4, to aby móc pomiędzy tymi liczbami postawić znak rów-ności, należy liczbę y – 4 pomnożyć przez 2, bo jest 2 razy mniejsza od x + 1, lub liczbę x + 1 podzielić przez 2, bo jest 2 razy większa niż y – 4. Zatem:

� + 1��7�5(B�'�ę��(�

= 2 (� − 4)��7�5(B�8��!)�(��

lub ��

�= � − 4

Zauważmy, że gdybyśmy obie strony równania drugiego pomnożyli przez 2 w celu pozbycia się mianownika, otrzymalibyśmy równanie pierwsze.

Wniosek: Szybciej znajdziemy pary (x; y) będące rozwiązaniem tego równania, wykonując wyliczenia z równania pierwszego niż drugiego.

Spostrzeżenie: Równanie pierwsze jest ułożone zgodnie z regułą wagi szalkowej (strona 69).

Zapamiętaj: Jeśli się da ułożyć równanie bez konieczności używania ułamków, to z tego korzystaj. Dzięki temu będziesz mieć mniej obliczeń i mniejsze praw-dopodobieństwo popełnienia błędu rachunkowego. Innymi słowy, staraj się jak najczęściej przy układaniu równań stosować regułę wagi szalko-wej.

Aby wypisać przykładowe pary liczb (x; y) spełniające to równanie, wygodnie będzie wyliczyć jedną ze zmiennych. Przypuśćmy, że chcemy wyliczyć zmienną x. Niezależnie od tego, czy będziemy ją wyliczać z równania pierwszego, czy drugiego, otrzymamy: � + 1 = 2� − 8 � = 2� − 8 − 1 � = 2� − 9


Ponieważ mamy wypisać przynajmniej 5 par (x; y) spełniających ułożone równanie, więc przyjmijmy za-miast y pięć dowolnych liczb i na ich podstawie wyliczmy z ostatniego równania zmienną x. Mamy więc, że:

— dla � = 0, � = 2 ∙ 0�

− 9 = −9, co daje nam parę (x; y) = (–9; 0)

— dla y = 1, � = 2 ∙ 1��


— dla y = 2, � = 2 ∙ 2��


— dla y = 3, � = 2 ∙ 3��


— dla y = 4, � = 2 ∙ 4��

− 9 = −1, co daje nam parę (x; y) = (–1; 4).

Uwaga. Jeśli w treści zadania nie było zadanego pytania, to nie trzeba udzielać odpowiedzi.

Ćwiczenie: Ułóż odpowiednie równanie i wypisz przynajmniej 5 par liczb (x; y) spełniających go.

a) Liczba 2x – 3 jest osiem razy mniejsza od liczby 4y + 5. [Odp. 8(2x – 3) = (4y + 5).]

b) Liczba 2x – 3 jest o osiem mniejsza od liczby 4y + 5. [Odp. (2x – 3) = (4y + 5) – 8.]

c) Liczba 4x – 1 jest o 5 większa od liczby 2y + 3.[Odp. (4x – 1) = (2y + 3) + 5.]

Documents

Układy równań - darmowy e-book do gimnazjum, liceum i technikum